DE&DA HSG TOAN 7 HUYEN TINH GIA NAM HOC 2013-2014

[r]

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

HUYỆN TĨNH GIA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: 2013-2014

Môn Toán - Lớp 7

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu (4 điểm) Thực hiện phép tính:

1) A =

10 5

155

7 11 23

26 13 13 403

7 11 23

     

+

3

0,9 13

7

0,

91 10

   

2) B =

7 29 12

14 5

30.4 5.14

54.6 12.8

  Câu (4 điểm)

1) Tìm x, y biết:

1

2013 1007

2

x   y 

2) Cho n N , chứng minh rằng: 9.10n18 chia hết cho 27 Câu (4 điểm)

1) Cho

16 25 49

9 16 25

x y z

 

 và 4x3 29 Tính x + 2y + 3z 2) Cho hai đa thức: f(x) = ax2 + bx + c và g(x) = cx2 + bx + a

Chứng minh rằng: Nếu f(x0) = thì g(

x ) = (với x0 0)

Câu (5 điểm) Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M là trung điểm của BC, từ M kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác của góc BAC tại N và cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F Chứng minh rằng:

1) AE = AF 2) BE = CF 3) AE=AB+AC

2

Câu (3 điểm) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau tối giản:

7 31

, , ,

9 10 33

n n n

Họ và tên thí sinh: SBD: HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ HSG HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014

MƠN TỐN 7

Câu Y Nội dung Điểm

Câu 1

(4 điểm)

1 (2đ)

A =

2 1

5 31

7 11 23

2 1

13 31

7 11 23

                  +

1

3

5 13 10

1

13 10

          =

13 =

44 13

1đ

1đ

(2đ) B =

14 29 5 12 14 14 14 15

5.3.2.2 5.2

3 2.3 3.2

  =

15 30 17 15 31 17

5.2 5.2

2 3.2

 

=

 

 

15 30 17

15 30 17

5

3

  = 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Câu 2 (4 điểm)

(2đ) Ta có: x 2013 0 và

1 1007 2y   Suy ra:

2013 1007

2

x   y 

Phương trình đẫ cho 

2013 1007 x y          2013 1007 x y           2013 2014 x y       0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ

(2đ) Ta có: 9.10 18

n

 = 9 10 2 n

 9

(1) Mặt khác 10n

là số có tổng các chữ số là Nên 10n

 là số có tổng các chữ số là 3 Suy ra: 10n

 3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 10 n 2 27 hay 9.10n 18  27

0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ Câu 3 (4 điểm)

(2đ) Ta có:

3

4x  29  x3 =  x = 2

Suy ra:

2 16 25 49

9 16 25

+)

25

2

16

y

y



   

+)

49

2

25

z

z



  

Vây: x + 2y + 3z = 2+ 2.(-7) + 3.1 = -

0,5đ 0,25đ

2 (2đ)

- Ta có: f(x0) =  ax02 + bx0 + c =

g(

1

x ) =

2

0

1

c b a

x x

 

   

 

= 02

c b

a

x x 

=

2

0

2

c bx ax

x

 

= 02

0

x  (đpcm)

0,5đ 0,5đ

0,5đ 0,5đ Câu 4

(5 điểm)

1 (1,5đ)

2 1

x

N M

K F

E

C B

A

- Xét ANE và ANF có : ANEANF 900

AN chung EANFAN (gt)

Suy : ANE =ANF (g – c - g)  AE = AF (2 cạnh tương ứng)

1đ 0,5đ

(2đ)

- Từ C kẻ tia Cx // AB, cắt tia EF tại K - Xét BME và CMK có :

MB = MC (gt)

BME CMK  (đối đỉnh) BEM CKM (so le trong)

Suy ra: BME = CMK (g – c - g)

 BE = CK (2 cạnh tương ứng) (1)

- Vì AE = AF nên tam giác AEF cân tại A, suy ra: E F1

0,25đ

Mà: F1F2 (đối đỉnh) và E K  (so le trong)

Suy ra: F2 K

 tam giác CFK cân tại C  CF = CK (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BE = CF (đpcm)

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

(1,5đ)

Ta có: AE = AB + BE AF = AC – FC

Suy ra: AE + AF = AB + BE + AC – FC = AB + AC Mà: AE = AF, suy ra: 2.AE = AB + AC



AB AC

AE 

(đpcm)

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ Câu 5

(3 điểm) Các số đã cho có dạng: ( 2)

k

k n (với k = 7, 8, … , 31) Nếu ( 2)

k

k n là phân số tối giản thì

( 2)

k n

k

 

cũng là phân số tối giản

Mà

( 2)

1

k n n

k k

  

 

tối giản  (n + 2, k) =

 n + nguyên tố cùng với 7, 8,…,31 và n + nhỏ nhất  n + = 37  n = 35

0,5đ