Đang tải... (xem toàn văn)
Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC.[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUAN SƠN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013 – 2014
Mơn thi: Tốn
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 10/5/2014
(Đề thi có 01 trang, gồm 06 câu)
Câu 1: (4 điểm) Cho biểu thức: A = x −[(16 − x ) x
x2− 4 +
3+2 x 2 − x −
2− x
x +2 ]:
x −1 x3+4 x2+4 x a) Rút gọn A
b) Tìm x để A Câu 2: (3 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x(x - 7) - 36x
b) Chứng minh rằng: B = n - 14n + 49n - 36n chia hết cho 210 với n Z Câu : (4 điểm)
a) Giải phương trình sau :
x2+5 x+4+
2
x2
+10 x +24= 3+
9
x2+3 x −18 b) Cho ba số x,y,z≠ thỏa mãn + + = 0.Tính giá trị biểu thức: P = (xy
z2+
yz
x2+
zx
y2− 2) 2013
Câu : (4 điểm) Cho ABC đều,H trực tâm, đường cao AD M điểm bất kì trên cạnh BC Gọi E,F hình chiếu M AB, AC Gọi I trung điểm AM; ID cắt EF K
a)Chứng minh: DEIF hình thoi
b)Chứng minh: Ba điểm M,H,K thẳng hàng
Câu 5: (2 điểm) Cho hình bình hành ABCD.Trên cạnh AB BC lấy hai điểm M và N cho AN = CM.Gọi K giao điểm AN CM
CMR: KD tia phân giác góc AKC Câu (3 điểm)
a) Cho x > ;y> 0.CMR: +
b) Cho số dương a,b thỏa mãn a+b 1.Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = + + +
Hết
Cán coi thi không giải thich thêm
HƯỚNG DẪN CHẤM Tốn 8
(2)Câu ý Đáp án hướng dẫn chấm Điểm
1
a (2đ)
ĐKXĐ: x≠ 2; x≠ ;x ≠ 1 A= x −[16 x − x
2
−(3+2 x)(x +2)−(2 −3 x)(x − 2) (x −2) (x+2) ]:
x −1 x(x+2)2 = x − x − 2
( x − 2) (x +2)
x ( x +2)2 x −1
= x −x (x +2) x − 1
= − xx −1= 3 x 1− x Vậy A = 1 − x3 x
0.25đ 0.5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
b (2đ)
A
Kết hợp với đk x ≠ thì với < x < thì A 0 Có thể xét dấu
0.25đ 0.25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
2
a (2đ)
¿
x3(x2−7)2−36 x
x[x2(x2−7)2− 36] x[x(x2− 7)−6].[x(x2−7)+6]
x(x3−7 x −6).(x3− x+6) x(x3− x −6 x −6) (x3− x − x+6) x (x +1)[x ( x − 1)− 6]( x −1)[x ( x +1) −6]
x ( x+1 )(x2− x − 6)
( x −1)(x2+x −6)
x ( x +1)(x +2)(x −3)(x − 1)(x −2)(x +3)
¿
0.5đ 0.5đ
0.5đ 0.5đ
b (1đ)
Ta có: B= n - 14n + 49n - 36n = n(n - 7) - 36n Theo câu a ta có:
B = n3(n2−7)2−36 n=(n −3 )(n −2 )(n −1) n (n+1) (n+2) (n+3) Do đó: B tích số ngun liên tiếp
B2; B3 ; B5 ;B7
Mà số 2;3;5;7 đôi nguyên tố B(2.3.5.7) hay B 210 Với n Z
(3)3
a (2đ)
ĐKXĐ: x≠ -1;-4;-6;3
⇔
( x+ 1)( x +4 )+
( x +4 ) ( x+6 )= 3+
9 (x −3 )( x +6)
⇔(
x +1−
1
x +4)+(
1
x +4−
1
x +6)=
4 3+(
1
x −3−
1
x+6)
⇔
x +1=
4 3+
1
x − 3 ⇔ 3 ( x − 3)
3 (x +1) ( x − 3)=
4 ( x +1)( x −3) 3 ( x+1) ( x − 3)+
3 (x +1) 3 ( x +1) (x −3 )
⇒ x2
−8 x=0 ⇔4 x ( x− 2)=0
x = x = (thỏa mãn điền kiện) Vậy tập nghiệm phương trình: S =
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ b (2đ) x+ y+
z=0⇒
1
x+
1
y=−
1
z ⇒(1
x+
1
y)
3
=(−1
z)
3
⇒
x2+
1
y3+3
1 xy(
1
x+
1
y)=−
1
z3 ⇒ 1
x3+
1
y3+3
1 xy(−
1
z)=−
1
z3
⇒ 1 x3+
1
y3+
1
z3=
3 xyz
2 2
yz xz xy
x y z
P 3 22013 120131 Ta có:
P=(xy z2+
yz
x2+
zx
y2−2)
2013
[xyz(1
x3+
1
y3+
1
z3)−2]
2013
[xyz xyz − 2]
2013
12013=1
0.25đ 0.25đ 0.25đ 0,25đ 0.5đ 0,25đ 0,25đ 4 a (2đ) EMA vng E có EI đường trung tuyến EI=IM=IA= AM
IAE cân I = (Góc ngồi tam giác) Tương tự: = DI = AM
(4)
K H
I N
F E
M D C
B
A
Suy ra: EI = DI = 600
IED EI=ED=ID
CMTT ta có: IDF ID=DF=IF DEIF hình thoi
0.25đ 0.25đ 0.25đ 0,25đ
b (2đ)
Vì DEIF hình thoi K trung điểm EF ID Gọi N trung điểm AH
Do ABC có H trực tâm H trọng tâm AN=NH=HD
CM : NI //MH
NI // KH theo tiên đề Ơclit MH KH hay: M,H,K thẳng hàng
0.25đ 0,25đ 0.25đ 0.5đ 0.5đ 0,25đ
5 (2đ)
l
K A
B
D
C N M
J
Kẻ DI AK ; DJ CK
Ta có: SAND = AN.DI = SABCD (1)
(do chung đáy AD,cùng đườngcao hạ từ N ) SCDM = CM.DJ = SABCD (2)
(do chung đáy CD,cùng đườngcao hạ từ M )
Từ (1) (2) suy ra: AN.DI = CM.DJ
DI = DJ (do AN = CM) CM: DIK = DJK =
KD tia phân giác
0.25đ 0.5đ 0.5đ
(5)0.25đ 0,25đ
6
a (1đ)
Ta có: + (*)
(x+y) 4xy (vì x > ; y > 0) (x-y) (Đúng)
Vậy +
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
b (2đ)
Từ (*)
Với a,b >0 nên ta áp dụng bất đẳng thức câu a ta có:
M =
ab+
a2+ab+
b2+ab+
a2+b2
(2ab1 +
a2
+b2)+(
a2+ab+
1
b2+ab)+
1 2ab
(a+b)2+
4 (a+b)2+
2 (a+b)2=
10
(a+b)2≥ 10
Dấu xảy a=b=1
2
Vậy Min M = 10 a=b=1
2
0,5đ
0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ Chú ý:- HS có thể giải theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.