ĐỀ VÀ ĐÁP HSG TOÁN 7 HUYỆN QUAN SƠN NĂM HỌC 2013-2014

[r]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUAN SƠN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013 – 2014

Mơn thi: Tốn; Lớp: 7

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 10/5/2014

(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu)

Bài 1 (4 điểm)

a/ Tính giá trị biểu thức :

1 1

A

2.4 4.6 6.8 2012.2014

    

b/ So sánh S 2  2324  2 100 và P 2 101

Bài 2 (4 điểm):

a/ Tìm x biết 3x 2x 2 

b/ Tìm x, y, z biết 2x 3y;5x 7z  và 3x-7y+5z=30 Bài 3 (4 điểm)

a/ Tìm đa thức bậc hai f(x) biết rằng : f(0)=10; f(1)=20 và f(3)=58

b/ Chứng minh rằng nếu m2 mn n 9 2 với m,n là các số tự nhiên thì m, n chia hết

cho

Bài 4 (6 điểm): Cho tam giác ABC cân tại A Lấy điểm D cạnh BC, tia đối của tia CB lấy điểm E cho CE=BD Các đường thẳng vng góc với BC tại D và E lần lượt cắt các đường thẳng AB và AC theo thứ tự tại M, N Gọi I là giao điểm của MN với BC

a/ Chứng minh rằng I là trung điểm của MN

b/ Chứng minh rằng đường thẳng vng góc với MN tại I qua một điểm cố định Bài 5 (2 điểm): Tìm các số tự nhiên x, y, z 0 thoả mãn điều kiện: x+y+z=xyz

HẾT

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN : TOÁN

Bài y Nội dung Điểm

Bài

4,0 đ a

2,0đ

Ta có :  

1 1

k k 2 k k

 

   

    với k N*



Cho k chạy từ đến 2012 và k là số chẵn ta được

1 1

A

2.4 4.6 6.8 2012.2014

1 1 1 1 1

2 4 6 2012 2014

    

 

          

 

1 1 503

2 2014 2014

 

   

 

Vậy

503 A

2014



0,5

0,75 0,5

0,25

b

2,0đ

Ta có:

2 100 100

S 2  2 2  2   1 2 2 2  2

 2S 2  2324  2 100 2101  2S S 2  101

 S 2 101 2 101  S P

Vậy S < P

0,25 0,75 0,25 0,5 0,25

Bài a

2,0đ

+ Với

1

x 2x 2x 2x

2



       

Ta có

3xx 3 2x 2   3x 2x 1  2   (thoả mãn đk)

+ Với

 

1

x 2x 2x 2x

2



       

Ta có

3x 2x 2   3x2x 1  2

0,25

0,5 0,25 0,25

1

5x x

5

   

(không thoả mãn ĐK) Vậy x=3

0,25

b

2,0đ

Ta có

x y x y

2x 3y

3 21 14

    

(1)

x z x z

5x 7z

7 21 15

    

(2)

Từ (1) và (2)

x y z

21 14 15

  

3x 7y 5z 3x 7y 5z 30

63 98 75 63 98 75 40

 

     

 

x 63

x

21 4

   

y 21

y

14  4  ;

z 45

z

15 4 

Vậy

63 21 45

x , y ,z

4

   0,25 0,25 0,25 0,5 0,75

Bài a

2,0đ

Gọi đa thức bậc hai là f x  ax2 bx c với a 0

Ta có : f 0  10 c 10

f 1  20 a b c 20    a b 10  (1)

 

 

f 58 9a 3b c 58

9a 3b 48 3a b 16

    

     

Từ (1) và (2)  2a 6  a 3  b 10 7  

Vậy đa thức cần tìm là f x  3x2 7x 10

0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 b 2,0đ

Ta có :  

2

2

m mn n  m n 3mn (1)

Vì m2 mn n 9 2

 2  

2

m mn n m n m n

         

m n2

  

Kết hợp với (1)  3mn 9  mn (3)

Vì là số nguyên tố nên từ (2) và (3) suy m và n chia

0,5

hết cho Suy đpcm

Bài

6,0 điểm

a

3,0

Chứng minh DBMECN  DM = EN

Chứng minh DMIENI  IM = IN

Hay I là trung điểm của MN

1,0 0,25 1,25 0,5

b

3,0

Gọi O là giao điểm của đường trung trực của BC với đường thẳng vng góc với MN tại I

Vì AB = AC  AO là đường trung trực của BC  OB=OC Vì I là trung điểm của MN  OI là đường trung trực của MN  OM = ON

Vì DBMECN  BM = CN Xét OBM và OCN có

OB = OC, OM = ON, BM = CN

0,25 0,25 0,25 0,5

E D

O

I

N M

C B

 OBM= OCN(C.C.C)  OBM OCN  (1)

Vì AO là đường trung trực của BC  OBA OCA  (2)

Từ (1) và (2) OCN OCA 

OC AC

 

Vì vậy O là giao điểm của đường trung trực của cạnh BC với đường thẳng vng góc với AC tại C nên điểm O cố định Suy điều phải chứng minh

0,5 0,5 0,5 0,25

Bài

2,0đ

Không mất tính tổng quát của bài toán giả sử x y z  Vì x, y, z là các số tự nhiên khác  x y z   Ta có x y z xyz    *

1 1

1

yz xz xy

   

2 2

1 1

1

x x x x

    

2

x x

   

Thay vào (*) ta được 1+y+z = yz

y z 1  

   

y 1 y

z z

  

 

   

  

 

x, y,z 1;2;3

 

Vì vai trò của x, y, z nên các bộ số (x,y,z) thoả mãn bài toán là : 1;2;3 ; 1;3;2 ; 2;1;3 ; 2;3;1 ; 3;1;2 ; 3;2;1          

0,5 0,25 0,25

0,5 0,5 0,5 0,25

0,25