Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUAN SƠN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013 – 2014
Mơn thi: Tốn; Lớp: 7
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 10/5/2014
(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu)
Bài 1 (4 điểm)
a/ Tính giá trị biểu thức :
1 1
A
2.4 4.6 6.8 2012.2014
b/ So sánh S 2 2324 2 100 và P 2 101
Bài 2 (4 điểm):
a/ Tìm x biết 3x 2x 2
b/ Tìm x, y, z biết 2x 3y;5x 7z và 3x-7y+5z=30 Bài 3 (4 điểm)
a/ Tìm đa thức bậc hai f(x) biết rằng : f(0)=10; f(1)=20 và f(3)=58
b/ Chứng minh rằng nếu m2 mn n 9 2 với m,n là các số tự nhiên thì m, n chia hết
cho
Bài 4 (6 điểm): Cho tam giác ABC cân tại A Lấy điểm D cạnh BC, tia đối của tia CB lấy điểm E cho CE=BD Các đường thẳng vng góc với BC tại D và E lần lượt cắt các đường thẳng AB và AC theo thứ tự tại M, N Gọi I là giao điểm của MN với BC
a/ Chứng minh rằng I là trung điểm của MN
b/ Chứng minh rằng đường thẳng vng góc với MN tại I qua một điểm cố định Bài 5 (2 điểm): Tìm các số tự nhiên x, y, z 0 thoả mãn điều kiện: x+y+z=xyz
HẾT
(2)HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN : TOÁN
Bài y Nội dung Điểm
Bài
4,0 đ a
2,0đ
Ta có :
1 1
k k 2 k k
với k N*
Cho k chạy từ đến 2012 và k là số chẵn ta được
1 1
A
2.4 4.6 6.8 2012.2014
1 1 1 1 1
2 4 6 2012 2014
1 1 503
2 2014 2014
Vậy
503 A
2014
0,5
0,75 0,5
0,25
b
2,0đ
Ta có:
2 100 100
S 2 2 2 2 1 2 2 2 2
2S 2 2324 2 100 2101 2S S 2 101
S 2 101 2 101 S P
Vậy S < P
0,25 0,75 0,25 0,5 0,25
Bài a
2,0đ
+ Với
1
x 2x 2x 2x
2
Ta có
3xx 3 2x 2 3x 2x 1 2 (thoả mãn đk)
+ Với
1
x 2x 2x 2x
2
Ta có
3x 2x 2 3x2x 1 2
0,25
0,5 0,25 0,25
(3)1
5x x
5
(không thoả mãn ĐK) Vậy x=3
0,25
b
2,0đ
Ta có
x y x y
2x 3y
3 21 14
(1)
x z x z
5x 7z
7 21 15
(2)
Từ (1) và (2)
x y z
21 14 15
3x 7y 5z 3x 7y 5z 30
63 98 75 63 98 75 40
x 63
x
21 4
y 21
y
14 4 ;
z 45
z
15 4
Vậy
63 21 45
x , y ,z
4
0,25 0,25 0,25 0,5 0,75
Bài a
2,0đ
Gọi đa thức bậc hai là f x ax2 bx c với a 0
Ta có : f 0 10 c 10
f 1 20 a b c 20 a b 10 (1)
f 58 9a 3b c 58
9a 3b 48 3a b 16
Từ (1) và (2) 2a 6 a 3 b 10 7
Vậy đa thức cần tìm là f x 3x2 7x 10
0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 b 2,0đ
Ta có :
2
2
m mn n m n 3mn (1)
Vì m2 mn n 9 2
2
2
m mn n m n m n
m n2
Kết hợp với (1) 3mn 9 mn (3)
Vì là số nguyên tố nên từ (2) và (3) suy m và n chia
0,5
(4)hết cho Suy đpcm
Bài
6,0 điểm
a
3,0
Chứng minh DBMECN DM = EN
Chứng minh DMIENI IM = IN
Hay I là trung điểm của MN
1,0 0,25 1,25 0,5
b
3,0
Gọi O là giao điểm của đường trung trực của BC với đường thẳng vng góc với MN tại I
Vì AB = AC AO là đường trung trực của BC OB=OC Vì I là trung điểm của MN OI là đường trung trực của MN OM = ON
Vì DBMECN BM = CN Xét OBM và OCN có
OB = OC, OM = ON, BM = CN
0,25 0,25 0,25 0,5
E D
O
I
N M
C B
(5) OBM= OCN(C.C.C) OBM OCN (1)
Vì AO là đường trung trực của BC OBA OCA (2)
Từ (1) và (2) OCN OCA
OC AC
Vì vậy O là giao điểm của đường trung trực của cạnh BC với đường thẳng vng góc với AC tại C nên điểm O cố định Suy điều phải chứng minh
0,5 0,5 0,5 0,25
Bài
2,0đ
Không mất tính tổng quát của bài toán giả sử x y z Vì x, y, z là các số tự nhiên khác x y z Ta có x y z xyz *
1 1
1
yz xz xy
2 2
1 1
1
x x x x
2
x x
Thay vào (*) ta được 1+y+z = yz
y z 1
y 1 y
z z
x, y,z 1;2;3
Vì vai trò của x, y, z nên các bộ số (x,y,z) thoả mãn bài toán là : 1;2;3 ; 1;3;2 ; 2;1;3 ; 2;3;1 ; 3;1;2 ; 3;2;1
0,5 0,25 0,25
0,5 0,5 0,5 0,25
0,25