Bài giảng Véc tơ trong không gian (tham khảo)28016

Khóa học Chinh phục HÌNH KHƠNG GIAN (Pro-S 2018) Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG – MOON.VN Tài li u gi ng (Chương trình PRO)S 2018) 01 VÉC TƠ TRONG KHƠNG GIAN (Tham khảo) Thầy Đặng Việt Hùng – Facebook: LyHung95 VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Group th o lu n t p : www.facebook.com/groups/Thayhungdz KIẾN THỨC TRỌNG TÂM : I CÁC QUY TẮC VÉC TƠ Quy tắc véc tơ đối : Với hai điểm A, B cho trước ta ln có AB = − BA ⇔ AB + BA = Quy tắc cộng véc tơ : Cho trước hai điểm A, B Với điểm M1, M2 Mn ta ln có hệ thức sau: AB = AM1 + M1M + M M + + M n B Quy tắc trừ hai véc tơ : Cho trước hai điểm A, B Với điểm M ta ln có AB = MB − MA Quy tắc hình bình hành : AB + AD = AC Cho hình bình hành ABCD, AB = DC Quy tắc trung tuyến: Cho hai điểm A, B Nếu M trung điểm AB ta có  MA + MB = hệ thức   AM + BM = Quy tắc trung tuyến: Cho tam giác ABC, gọi M N theo thứ tự trung điểm AB + AC = 2AM BC AC Khi BA + BC = 2BN Quy tắc trọng tâm: Cho tam giác ABC có trọng tâm G hình vẽ GA + GB + GC =  Khi ta có   AG = AM = 2GM  Nhận xét: +) Với điểm I ta ln có IA + IB + IC = 3IG +) Điểm G gọi trọng tâm tứ diện ABCD GA + GB + GC + GD = CÁC VÍ DỤ MẪU THAM KHẢO (Phần video giảng hệ thống ví dụ khác em !) Ví dụ 1: [ĐVH] Cho tứ diện ABCD Xác định điểm M, N thỏa mãn: a) AM = AB + AC + AD b) AN = AB + AC − AD Lời giải: Tham gia chương trình PRO-S TỐN 2018 MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2018 ! ThuVienDeThi.com Khóa học Chinh phục HÌNH KHƠNG GIAN (Pro-S 2018) Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG – MOON.VN a) AM = AB + AC + AD Gọi I trung điểm BC, AB + AC = 2AI Gọi J điểm đối xứng A qua I, ta có 2AI = AJ  → AB + AC = AJ Từ AB + AC + AD = AJ + AD = 2AE , với E trung điểm DJ Theo bài, AM = AB + AC + AD = 2AE Vậy M điểm đối xứng A qua E b) AN = AB + AC − AD Theo a, ta có AB + AC = 2AI = AJ Gọi J điểm đối xứng A qua I, ta có  → AN = AB + AC − AD = AJ − AD = DJ Vậy tam giác ADJ ta tạo hình bình hành ADJN điểm N thỏa mãn yêu cầu điểm cần tìm Ví dụ 2: [ĐVH] Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AB CD, G trung điểm MN G1 trọng tâm tam giác BCD Chứng minh hệ thức sau: 1 a) AC + BD = AD + BC b) MN = AC + BD = AD + BC 2 c) GA + GB + GC + GD = d) NA + NB + NC + ND = 4NG, ∀N ( ) ( ) e) AB + AC + AD = 3AG Lời giải: a) AC + BD = AD + BC Sử dụng quy tắc cộng véc tơ ta có AC = AD + DC  → AC + BD = AD + BC + DC + CD  BD = BC + CD ( ) → AC + BD = AD + BC Mà DC + CD =  1 b) MN = AC + BD = AD + BC 2 Chứng minh: MN = AC + BD ⇔ AC + BD = 2MN AC = AM + MN + NC Theo quy tắc cộng ta có BD = BM + MN + ND ( ) ( ) ( ( ) ) (  → AC + BD = AM + BM + 2MN + NC + ND ) AM + BM = Theo quy tắc trung điểm ta lại có   NC + ND = Từ ta AC + BD = 2MN  → ( dpcm ) Chứng minh: MN = ( AD + BC ) Tham gia chương trình PRO-S TỐN 2018 MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2018 ! ThuVienDeThi.com Khóa học Chinh phục HÌNH KHƠNG GIAN (Pro-S 2018) Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG – MOON.VN Ta chứng minh tương tự trên, sử dụng kêt câu a AC + BD = AD + BC ta điều phải chứng minh c) GA + GB + GC + GD = Theo quy tắc trung điểm ∆GAB ∆GCD ta có GA + GB = 2GM (  → GA + GB + GC + GD = GM + GN GC + GD = 2GN ) Mà G trung điểm MN nên GM + GN =  → GA + GB + GC + GD = d) NA + NB + NC + ND = 4NG, ∀N NA = NG + GA Ta có NB = NG + GB NC = NG + GC ( )  → NA + NB + NC + ND = 4NG + GA + GB + GC + GD = 4NG ND = NG + GD e) AB + AC + AD = 3AG1 Sử dụng quy tắc trung tuyến cho ∆ACD ta AC + AD = 2AN Gọi I điểm đối xứng A qua N, 2AN = AI  → AC + AD = AI ( ) Ta có AB + AC + AD = AB + AC + AD = AB + AI = 2AE, với E trung điểm BI Xét ∆ABI có BN AE đường trung tuyến, giả sử BN ∩ AE = G′ G′ trọng tâm ∆ABI Khi BG ′ = BN = BG1  → G ′ ≡ G1 2AE AB + AC + AD = ← → AB + AC + AD = 3AG1 Mà AG1 = AE = 3 II PHÉP PHÂN TÍCH, CHỨNG MINH CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN VÉC TƠ Ba véc tơ đồng phẳng: Cho ba véc tơ đồng phẳng a, b, c Khi đó, tồn phép phân tích c = ma + nb Ba véc tơ không đồng phẳng: Cho ba véc tơ đồng phẳng a, b, c Khi đó, với véc tơ d tồn phép phân tích d = ma + nb + pc CÁC VÍ DỤ MẪU THAM KHẢO (Phần video giảng hệ thống ví dụ khác em !) Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Hãy phân tích véc tơ SA, SB, SC, SD theo AB, AC, SO Lời giải: Phân tích SA : 1 Ta có SA = SO + OA = SO + CA = SO − AC 2  → SA = SO − AC Phân tích SB : SB = SO + OB = SO + OA + AB = SO − AC + AB  → SB = SO − AC + AB Phân tích SC :   SA + SC = 2SO  → SC = 2SO − SA = 2SO −  SO − AC     → SC = SO + AC Phân tích SD : ( ) Tham gia chương trình PRO-S TỐN 2018 MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2018 ! ThuVienDeThi.com Khóa học Chinh phục HÌNH KHƠNG GIAN (Pro-S 2018) Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG – MOON.VN   SB + SD = 2SO  → SD = 2SO − SB = 2SO −  SO − AC + AB     → SD = SO + AC − AB Ví dụ 2: [ĐVH] Cho tứ diện ABCD, gọi M N theo thứ tự trung điểm AB, CD Chứng minh ba véc tơ MN, BC, AD đồng phẳng Lời giải: Nhận xét: Để chứng minh ba véc tơ MN, BC, AD đồng phẳng ta kiểm tra xem có đẳng thức véc tơ liên quan đến ba véc tơ hay khơng Bằng trực quan hình học, ta thấy MN BC AD nên ta xuất phát từ véc tơ MN theo hai hướng BC AD MN = MA + AD + DN Ta có  MN = MB + BC + CN ( ) ( ) (  → 2MN = MA + MB + BC + AD + DN + CN ) ( ) Từ ta có MN = BC + AD , tức ba véc tơ đồng phẳng Ví dụ 3: [ĐVH] Cho hình chóp tam giác S.ABC Trên đoạn SA lấy điểm M cho MS = −2MA đoạn BC lấy điểm N cho NB = − NC Chứng minh ba vectơ AB, MN, SC đồng phẳng Lời giải: Tương tự ví dụ trên, phân tích MN theo hai hướng MN = MA + AB + BN, (1) Ta có  MN = MS + SC + CN, ( ) Nhân hai vế (1) với cộng với (2) ta ( ) ( ) ( 3MN = 2MA + MS + 2AB + SC + 2BN + CN )  2MA + MS = MS = −2MA Từ giả thiết  ←→  2NB + NC =  NB = − NC  → 3MN = 2AB + SC ⇔ MN = AB + SC 3 Vậy ba véc tơ AB, MN, SC đồng phẳng Ví dụ 4: [ĐVH] Cho tứ diện S.ABC Gọi G trọng tâm tam giác ABC a) Phân tích vectơ SG theo ba véc tơ SA, SB, SC b) Gọi D trọng tâm tứ diện S.ABC Phân tích vectơ SD theo ba vectơ SA, SB, SC Lời giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( a) Ta có: GA + GB + GC = ⇒ GS + SA + GS + SB + GS + SC = ⇒ SG = ( ) SA + SB + SC (1) ) b) Ta có : DS + DA + DB + DC = ⇒ DS + DS + SA + DS + SB + DS + SC = ⇒ SA + SB + SC = SD ⇒ SD = (1) ⇒ SD = ( ) SA + SB + SC Tham gia chương trình PRO-S TỐN 2018 MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2018 ! ThuVienDeThi.com Khóa học Chinh phục HÌNH KHƠNG GIAN (Pro-S 2018) Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG – MOON.VN Ví dụ 5: [ĐVH] Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có AA ' = a, AB = b , AC = c a) Hãy phân tích vectơ B′C , BC ′ theo vectơ a, b, c b) Gọi G′ trọng tâm tam giác A′B′C′ Biểu diễn véc tơ AG ′ qua véc tơ a, b, c Lời giải: a) B ' C = B ' B + B ' C ' = B ' B + B ' A ' + A ' C ' = −a − b + c BC ' = BB ' + B ' C ' = BB ' + B ' A ' + A ' C ' = a − b + c b) AG ′ = ( ) ( ) ( 1 AA ' + AB ' + AC ' = AA ' + AB ' + AC ' = a + b + c 3 ) Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn Tham gia chương trình PRO-S TỐN 2018 MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2018 ! ThuVienDeThi.com ... CHỨNG MINH CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN VÉC TƠ Ba véc tơ đồng phẳng: Cho ba véc tơ đồng phẳng a, b, c Khi đó, tồn phép phân tích c = ma + nb Ba véc tơ không đồng phẳng: Cho ba véc tơ đồng phẳng... AB, CD Chứng minh ba véc tơ MN, BC, AD đồng phẳng Lời giải: Nhận xét: Để chứng minh ba véc tơ MN, BC, AD đồng phẳng ta kiểm tra xem có đẳng thức véc tơ liên quan đến ba véc tơ hay khơng Bằng trực... ba véc tơ AB, MN, SC đồng phẳng Ví dụ 4: [ĐVH] Cho tứ diện S.ABC Gọi G trọng tâm tam giác ABC a) Phân tích vectơ SG theo ba véc tơ SA, SB, SC b) Gọi D trọng tâm tứ diện S.ABC Phân tích vectơ