Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học27867

Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2011 CHUYÊN ĐỀ TIẾP TUYẾN Xét hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ) Dạng Viết phương trình tiếp tuyến với (C) M ( x0 ; y0 ) : (y y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + y0 = f ( x0 ) ) Dạng Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k - Hồnh độ tiếp điểm x0 nghiệm phương trình: f’(x0) = (*) - Giải PT (*) tìm hồnh độ tiếp điểm x0 ⇒ tung độ tiếp điểm y0 ⇒ tốn trở dạng Dạng Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) qua điểm M ( a; b ) Cách (Phương pháp tiếp điểm) - Giả sử tiếp tuyến cần tìm tiếp xúc với (C) điểm M ( x0 ; y0 ) , suy tiếp tuyến D có phương trình dạng y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 ) () - Vì M ( a; b ) ∈ D nên b = f ' ( x0 )( a − x0 ) + f ( x0 ) (**) - Giải phương trình (**) tìm x0 ⇒ tốn trở dạng Cách (Phương pháp điều kiện tiếp xúc) - Đường thẳng D qua M ( a; b ) , với hệ số góc k (chưa biết k ) có phương trình dạng y = k ( x − a) + b (***)  f ( x ) = k ( x − a ) + b (1) - Điều kiện cần đủ để D tiếp xúc với (C ) hệ  có nghiệm (2)  f ' ( x ) = k - Thế (2) vào (1), giải phương trình tìm x , sau thay x vào (2) tìm k , thay k vào phương trình (***) ⇒ phương trình tiếp tuyến cần lập Chú ý :  f ( x ) = g ( x ) a) Đ/k để hai đường cong y = f ( x ) y = g ( x ) tiếp xúc hệ  có nghiệm  f ' ( x ) = g ' ( x ) b) Hai đường thẳng song song có hệ số góc nhau, vng góc có tích hệ số góc -1 c) Hệ số góc tiếp tuyến k = f '( x0 ), k = tan ϕ ( ϕ góc hợp tiếp tuyến trục hoành) k −a = tan ϕ + ka ax − y0 + b e) Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) tới đường thẳng D : y = ax + b ( ⇔ ax − y + b = ) : a2 +   f) DABC vuông A AB AC = ; DABC cân A AB = AC d) Tiếp tuyến có hệ số góc k (chưa biết k ) tạo với đường thẳng y = ax + b góc ϕ Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến điểm ax + b Bài Tìm a, b để đồ thị hàm số y = cắt Oy A ( 0; −1) đồng thời tiếp tuyến A có hệ số góc x −1 Đáp số: a = −4, b = Bài Cho hàm số y = f ( x ) = x3 + x + mx + có đồ thị (Cm) a) Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = điểm phân biệt C ( 0;1) , D, E b) Tìm m để tiếp tuyến với (Cm) D E vng góc với Đáp số: a )0 ≠ m < GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên Yên Bái ThuVienDeThi.com b) m = ± 65 Trang `ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ ˜vˆÝÊ*ÀœÊ*Ê `ˆÌœÀÊ /œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“ Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2011 Bài (ĐH Huế khối D-1998) Chứng minh hàm số y = − x + 2mx − 2m + qua điểm cố định A B Tìm m để tiếp tuyến A B vng góc với Đáp số: m = ; m = 4 Bài (ĐH khối B-2004) Cho hàm số y = x − x + x có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến d (C) điểm uốn chứng minh d tiếp tuyến (C) có hệ số góc nhỏ Đáp số: y = − x + / 3 Bài (HV Quân Y 1997) Cho hàm số y = x + − m( x + 1) có đồ thị (Cm) a) Viết phương trình tiếp tuyến (Cm) tai giao điểm (Cm) với Oy b) Tìm m để tiếp tuyến nói chắn hai trục toạ độ tam giác có diện tích Đáp số: a ) y = −mx + − m b)m=9 ± 5; m = −7 ± 2x −1 Bài Cho hàm số y = có đồ thị (C) Cho M (C) có xM = m Tiếp tuyến (C) M x −1 cắt hai tiệm cận A, B Gọi I giao điểm hai tiệm cận Chứng minh M trung điểm AB diện tích tam giác IAB khơng đổi x +1 Bài Cho hàm số y = có đồ thị (C) Chứng minh tiếp tuyến (C) tạo với hai tiệm cận x −1 (C) tam giác có diện tích khơng đổi Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc x + x − x − có đồ thị (C) Viết phương tình 3 tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đương thẳng d : y = x + m Bài (ĐH khối D-2005) Gọi (Cm) đồ thị hàm số y = x − x + Gọi M điểm thuộc (Cm) có 3 hồnh độ x = -1 Tìm m để tiếp tuyến (C m) điểm M song song với đường thẳng x − y = Đáp số: m = ( 3m + 1) x − m + m m ≠ giao điểm giao Bài 10 Tìm m để tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = ( ) x+m điểm (C) với trục Ox song song với đường thẳng d : y + 10 = x Viết phương trình tiếp tuyến Đáp số: m = − ; y = x − 5 3x − Bài 11 Cho hàm số y = có đồ thị (C) Viết phương tình tiếp tuyến (C) tạo với trục hồnh x −1 góc 450 Đáp số: y = − x + 2; y = − x + Bài (DB1 ĐH khối B-2002) Cho hàm số y = f ( x ) = Dạng 3: Đ/k tiếp xúc hai đường Bài 12 (DB1 ĐH khối D-2008) Gọi (Cm) đồ thị hàm số y = − x − ( 2m + 1) x − m − Tìm m để đồ thị (Cm) tiếp xúc với đường thẳng y = 2mx − m − Đáp số: m = 0; m = 1/ Bài 13 Cho hµm sè y = x3 - x + m Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục Ox ỏp s: m = ±2 Dạng 4: Tìm điểm cho tiếp tuyến thoả mãn tính chất 2x −1 Bài 14 (DB2 DDH khối B-2003) Cho hàm số y = có đồ thị (C) Gọi I giao điểm hai đường x −1 tiệm cận (C), Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M vng góc với IM GV: Hồng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên Yên Bái ThuVienDeThi.com Trang `ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ ˜vˆÝÊ*ÀœÊ*Ê `ˆÌœÀÊ /œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“ Chuyên đề khảo sát hàm số Ơn thi đại học 2011 2x có đồ thị (C) Tìm toạ độ điểm M thuộc (C), biết tiếp x +1 tuyến (C) M cắt hai trục Ox, Oy A, B tam giác OAB có diện tích Đáp số: M ( −1/ 2; −2 ) ; M (1;1) Bài 15 (ĐH khối D-2007) Cho hàm số y = x có đồ thị (C) Viết phương trình d (C) cho d x −1 hai tiệm cận (C) cắt tạo thành tam giác cân x+2 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến Bài 17 (DB2 DDH khối B-2003) Cho hàm số y = 2x + đồ thị (C), biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc toạ độ O Đáp số: y = − x − Bài 18 (ĐH Cơng Đồn 2001) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) hàm số y = x + x − 12 x − cho tiếp tuyến (C) M qua gốc tọa độ Bài 19 Tìm đường thẳng y = −2 điểm kẻ đến đồ thị (C): y = x3 − x + hai tiếp tuyến vuông Bài 16 (DB2 ĐH khối D-2007) Cho hàm số y = góc với ĐS: M ( 55 / 27; −2 ) Bài 20 (ĐHSP Hà Nội II, khối B, 1999) Tìm trục hồnh điểm kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C) hàm số y = − x + x + ĐS: a > 2; −1 ≠ a < −2 / Bài 21 Tìm m để đồ thị (C): y = x − x3 − x + ln ln có hai tiếp tuyến song song với đường thẳng y = mx x+2 Bài 22 Tìm m để từ điểm A ( 0; m ) kẻ tiếp tuyến với đồ thị (C): y = cho tiếp điểm x −1 nằm hai phía với trục hồnh Bài 23 Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C): y = x3 − x2 + cho tiếp tuyến (C) A B song song với độ dài đoạn AB = ĐS: A(3; 1) B(–1; –3) Bài 24 Cho hàm số y = x − 3x + có đồ thị (C) Gọi d đường thẳng qua điểm A(3; 4) có hệ số góc m Tìm m để d cắt (C) điểm phân biệt A, M, N cho hai tiếp tuyến (C) M N vng góc với ĐS: m = 18 ± 35 CHUYÊN ĐỀCỰC TRỊ Dạng 1: Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị (a ≠ 0) Hàm bậc ba: y=f(x) = ax3 + bx2 + cx + d Đạo hàm y’ = f’(x) = 3ax2 + 2bx + c Hàm số có cực trị (có CĐ CT) ⇔ f’(x) = có hai nghiệm phân biệt ⇔ D y ' > Chú ý: + Hai cực trị CĐ,CT đối xứng qua điểm uốn D y ' > , x1 , x2 nghiệm y ' =  y( x1 ) y( x2 ) < ( ⇔ PT ax + bx + cx + d = ( a ≠ ) có ba nghiệm phân biệt) + Hai giá trị CĐ, CT trái dấu  Hàm trùng phương: y=f(x) = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) Đạo hàm y’ = f’(x) = 4ax + 2bx = 2x(2ax + b) GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên Yên Bái ThuVienDeThi.com Trang `ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ ˜vˆÝÊ*ÀœÊ*Ê `ˆÌœÀÊ /œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“ Chuyên đề khảo sát hàm số Chú ý:  a ≠  b = Hàm số có cực trị ⇔  ;  a ≠   a.b > Ôn thi đại học 2011 a ≠ a.b < Hàm số có cực trị ⇔  + Nếu hàm số có cực trị điểm cực trị tạo thành tam giác cân + Để nhận biết điểm x0 hoành độ CĐ hay CT, ta có hai dấu hiệu: Dấu hiệu (Xét dấu đạo hàm y’): Lập bảng biến thiên Dấu hiệu (Xét dấu đạo hàm y”): Dựa vào điều kiện sau  y ' ( x0 ) = x0 điểm CĐ ⇔   y '' ( x0 ) <  y ' ( x0 ) = x0 điểm CT ⇔   y '' ( x0 ) > Bài Tìm m để hàm số sau có cực đại cực tiểu 1) y = x + mx + ( m + ) x − ( 2m + 1)  m < −2 m ≠ −2 Đáp số: 1)  2)  m > −3 < m < Bài (ĐH Bách khoa HN-2000) Tìm m để hàm số y = mx3 + 3mx − ( m − 1) x − khơng có cực trị 2) y = ( m + ) x3 + x + mx − Bài (ĐH Khối B 2002) Tìm m để hàm số y = mx + ( m − ) x + 10 có điểm cực trị Đáp số: m < −3;0 < m < x − mx + có cực đại mà khơng có cực tiểu Bài (ĐH kiến trúc-1999) Tìm m để hàm số y = mx − ( m − 1) x + (1 − 2m ) có cực trị Bài (ĐH cảnh sát-2000) Tìm m để hàm số y = Bài (ĐH khối A DB1 - 2001) Tìm m để hàm số y = ( x − m ) − x đạt cực tiểu điểm có hồnh độ x = Đáp số: m = −1 2 Bài (ĐH khối B - 2002) Tìm m để hàm số y = mx − ( m − ) x + 10 có ba cực trị Bài tập tự luyện Bài Chứng minh hàm số sau có cực đại cực tiểu 1) y = x3 − ( 2m + 1) x + 6m ( m + 1) x + x + mx − m + x − m +1 Bài Tìm m để hàm số sau có cực đại cực tiểu 1) x3 − ( m − 1) x + ( 2m − 3m + ) x − m ( m − 1) Đáp số: m < < m < 2) y = 3) y = 2) y = mx3 + 3mx − ( m − 1) x − x + ( m + ) x + 3m + 4) y = x +1 Bài Tìm m để hàm số 1) y = x3 − 2mx + ( m − 1) x + đạt cực đại x = 2) y = −mx + ( m − ) x + m − có cực đại x = mx + ( m + 1) + mx + x − 2mx + 3) y = đạt cực tiểu x = x−m x2 − x + m 4) y = có giá trị cực đại x −1 Bài Tìm m để hàm số y = ( x − 1) ( x − 4mx − 3m + 1) có hai giá trị cực trị trái dấu Bài Cho hàm số y = x − ( m + 1) x + ( m + 1) x + GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên Yên Bái ThuVienDeThi.com Trang `ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ ˜vˆÝÊ*ÀœÊ*Ê `ˆÌœÀÊ /œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“ Chun đề khảo sát hàm số 1) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị dương 2) Tìm m để hàm số nhận x = + làm điểm cực tiểu Ôn thi đại học 2011 Dạng 2: Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị Phương trình đường thẳng qua CĐ CT hàm bậc ba y = f ( x) = ax + bx + cx + d * Chia f(x) cho f’(x) ta được: f ( x) = Q( x) f '( x) + Ax + B  y1 = f ( x1 ) = Ax1 + B * Khi đó, giả sử ( x1 ; y1 ) , ( x2 ; y2 ) điểm cực trị thì:   y2 = f ( x2 ) = Ax + B * Vậy PT đường thẳng qua điểm cực trị là: y = Ax + B Bài Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x − x − x + Đáp số: y = −6 x + Bài (ĐH khối A-2002) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = − x + 3mx + (1 − m ) x + m3 − m Đáp số: y = x − m + m Bài Tìm m để hàm số y = x3 + ( m − 1) x + ( m − ) x − có đường thẳng qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = −4 x + ĐS: m = 1; m = Bài Tìm m để hàm số y = x + ( m − 1) x + 6m (1 − 2m ) x có điểm cực trị nằm đường thẳng y = −4 x ĐS: m = 2 Bài Tìm m để hàm số y = x − x + m x + m có điểm cực cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x − ĐS: m = 2 Bài tập tự luyện m Bài (ĐH – DB2 khối A 2007) Tìm m để đồ thị hàm số y = x + m + có cực trị điểm A, B x−2 cho đường thẳng AB qua gốc tọa độ O ĐS: m = Bài Tìm m để hàm số y = x + mx + x + có đường thẳng qua hai điểm cực trị vng góc với đường thẳng y = x − ĐS: m = ± 10 Bài Tìm m để hàm số y = x − x − mx + có CĐ, CT cách đường thẳng D : y = x − Bài Tìm m để hàm số y = x − ( m + 1) x + m + có hai giá trị cực trị trái dấu đường thẳng qua hai cực trị qua điểm M ( −1; ) Bài Tìm tập hợp trung điểm hai cực trị hàm số y = x − mx − x + m + 3 Dạng : Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị thỏa mãn điều kiện Bài Tìm m để hàm số y = x3 − ( m + ) x + ( 5m + 1) x − ( 4m3 + 1) có hai điểm cực trị nhỏ Đáp số: − < m < 3 Bài (ĐH khối B DB2 - 2006) Tìm m để hàm số y = x + (1 − 2m ) x + ( − m ) x + m + có hai điểm cực đại, cực tiểu đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên Yên Bái ThuVienDeThi.com Trang `ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ ˜vˆÝÊ*ÀœÊ*Ê `ˆÌœÀÊ /œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“ Chun đề khảo sát hàm số Ơn thi đại học 2011 Đáp số: m < −1; < m < Bài (CĐ - 2009) Tìm m để hàm số y = x − ( 2m − 1) x + ( − m ) x + có cực đại cực tiểu đồng thời điểm cực trị hàm số có hồnh độ dương Đáp số: − < m < 1, m ≠ 4 Bài (HV quan hệ quốc tế 1996) Tìm m để hàm số y = x − 2mx + 2m + m có điểm cực trị lập thành tam giác Đáp số: m = 3 Bài Tìm m để đồ thị hàm số y = x − 2mx + 2m + m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác Đáp số: m = 3 Bài (ĐH khối A BD1 - 2004) Tìm m để hàm số y = x − 2m x + có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác vuông cân Đáp số: m = ±1 Bài Chứng minh hàm số y = x − ( m + 1) x + 3m ( m + ) x + ln có cực đại, cực tiểu Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm có hồnh độ dương Đáp số: m > Bài (Khối B - 2007) Tìm m để hàm số y = − x + x + ( m − 1) x − 3m − có cực đại cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số cách gốc tọa độ O Đáp số: m = ± 2 Bài Tìm m để hàm số y = x + 2(m − 2) x + m − 5m + có điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân Đáp số: m = 2 Bài 10 Tìm m để hàm số y = x + ( m − 1) x + ( m − 4m + 1) x − ( m + 1) đạt cực trị x1 , x2 thỏa mãn 1 + = ( x1 + x2 ) x1 x2 Đáp số: m = 1; m = Bài 11 (ĐH Khối A 2005) Tìm m để hàm số y = mx + tiệm cận xiên có cực trị khoảng cách từ điểm cực tiểu đến x Bài tập tự luyện Bài Tìm m để hàm số 1) y = x − mx + mx − đạt cực đại hai điểm x1 , x2 cho x1 − x2 ≥   − 65  1 − 65 ĐS: m ∈  −∞; ; +∞  ∪     1 2) y = mx3 − ( m − 1) x + ( m − ) x + đạt cực trị hai điểm x1 , x2 cho x1 + x2 = 3 3) y = x − mx + x + m có cực trị A, B, C tam giác ABC nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm Bài Cho hàm số y = x3 + ( m + 1) x + ( m + 4m + 3) x Gọi x1 , x2 điểm cực trị hàm số 1) Tìm m để hàm số đạt cực trị điểm > 2) Tìm m cho A = x1 x2 − ( x1 + x2 ) đạt giá trị lớn ĐS: 1) −5 < m < −3 + ; GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên Yên Bái ThuVienDeThi.com 2) m = −4 max A = Trang `ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ ˜vˆÝÊ*ÀœÊ*Ê `ˆÌœÀÊ /œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“ Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2011 Bài (ĐH Khối B 2005) CMR với m, đồ thị hàm số y = khoảng cách hai điểm cực đại cực tiểu bẳng Bài (ĐH Khối A 2007) Tìm m để đồ thị hàm số y = x + ( m + 1) + m + x +1 ln có cực trị 20 x + ( m + 1) + m + 4m có cực đại, cực tiểu, đồng x+2 thời điểm cực trị với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông O ĐS: m = −4 ± Bài Tìm m để hàm số y = x − mx − x + m + có khoảng cách điểm CĐ CT nhỏ 13 ĐS: m = ; khoảng cách = CHUYÊN ĐỀ TƯƠNG GIAO Phương pháp chung: • Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số cho: f ( x) = g ( x) (1) • Khảo sát nghiệm phương trình (1) Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm (C1) (C2) Chú ý: * (1) vô nghiệm ⇔ (C1) (C2) khơng có điểm chung * (1) Có n nghiệm ⇔ (C1) (C2) có n điểm chung * Nghiệm x0 (1) hồnh độ điểm chung (C1) (C2) Khi tung độ điểm chung y0 = f ( x0 ) y0 = g ( x0 ) • Xét phương trình f ( x ) = ax + bx + cx + d = (1) a) Đ/k để (1) có 1, 2, nghiệm • • • f (x ) có cực đại, cực tiểu (1) có nghiệm phân biệt  yCÑ y CT < f (x ) có cực đại, cực tiểu (1) có nghiệm phân biệt  yCÑ y CT =  f (x ) cực đại, cực tiểu  (1) có nghiệm  f (x ) coù cực đại, cực tiểu   yCĐ y CT > b Đ/k để (1) có nghiệm lập thành cấp số cộng, cấp số nhân * Đ/k (1) có nghiệm lập thành CSC: Đ/k cần: G/s (1) có nghiệm x1 , x , x lập thành CSC x = − (1) (2) ( 3) b vào (1) ◊ giá trị 3a tham số Đ/k đủ: Thay giá trị tham số tìm đ/k cần vào PT (1) để xem có nghiệm lập thành CSC hay khơng * Đ/k (1) có nghiệm lập thành CSN: Đ/k cần: G/s (1) có nghiệm x1 , x , x lập thành CSN x = − tham số d vào (1) ◊ giá trị a GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên Yên Bái ThuVienDeThi.com Trang `ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ ˜vˆÝÊ*ÀœÊ*Ê `ˆÌœÀÊ /œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“ Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2011 Đ/k đủ: Thay giá trị tham số tìm đ/k cần vào PT (1) để xem có nghiệm lập thành CSN hay không Chú ý: Nếu a = ⇒ x = −d ⇒ f ( x ) = ⇒ c = b 3d Xét phương trình f ( x ) = ax + bx + c = (d ≠ ) (2) Đặt t = x đ/k t ≥ ta phương g (t ) = at + bt + c = (*) a) Đ/k để (2) vơ nghiệm, có 1,2, 3,4 nghiệm * (2) vơ nghiệm (*) vơ nghiệm có nghiệm t ≤ t < t = * (2) có nghiệm (*) có nghiệm  t < * (2) có nghiệm (*) có nghiệm t < < t t = * (2) có nghiệm (*) có nghiệm  t > * (2) có nghiệm (*) có nghiệm < t < t b) Đ/k để (2) có nghiệm lập thành cấp số cộng D >   0 < t < t t = 9t (2) có nghiệm lập thành CSC ⇔ (*) có nghiệm  ⇔ t t =  2 t t > t + t > 1 ax + b Xét phương trình = mx + n ( 3) cx + d  d - Đưa phương trình dạng: f (x ) = Ax + Bx + C = (**) x ≠ −  c  D > d  (3) có nghiệm phân biệt (**) có nghiệm phận biệt ≠ − ⇔   d  c f  − c  ≠    Chú ý: Trên điều kiện trường hợp tổng quát, giải toán cụ thể ta cố gắng nhầm nghiệm để phân tích phương trình dạng tích điều kiện đơn giản Bài tập: Dạng 1: Tìm đ/k để đồ thị cắt trục hoành k điểm phân biệt Bài (DB2 ĐH Khối D -2002) Tìm m để đồ thị hàm số y = x − mx + m − cắt trục hoành điểm phân biệt Đáp số: < m ≠ 2 Bài (DB1 ĐH Khối B -2003) Tìm m để đồ thị hàm số y = ( x − 1) x + mx + m cắt trục hoành ( ) điểm phân biệt Đáp số: m > 4;0 < m ≠ − Bài 4: Tìm m để đồ thị hàm số y = x − 3x + (1 − m ) x + + 3m cắt trục hoành a) điểm b) điểm c) điểm Đáp số: a )m < b)m=1 c)m>1 Bài 5: Tìm m để đồ thị hàm số y = x + ( m + 1) x + 2mx + m cắt trục hồnh điểm phân biệt có 2 hoành độ âm GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên Yên Bái ThuVienDeThi.com Trang `ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ ˜vˆÝÊ*ÀœÊ*Ê `ˆÌœÀÊ /œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“ Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2011 Đáp số: < m < ( ) ( ) Bài 6:Tìm m để đồ thị hàm số y = x − 2mx + 2m − x + m − m cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ dương Đáp số: < m < ( ) Bài 7: Tìm m để đồ thị hàm số y = ( x − 1) x − 2mx − m − cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ lớn -1 Đáp số: Bài 8: Tìm m để đồ thị hàm số y = x − x + 18mx − 2m cắt trục hoành điểm phân biệt thỏa mãn x1 < < x < x Đáp số: m < Bài (ĐH khối A 2010) Tìm m để đồ thị hàm số y = x − x + (1 − m ) x + m cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn điều kiện x12 + x22 + x32 < Đáp số: − Dạng 2: Tìm đ/k để đồ thị (C) cắt đường thẳng d k điểm phân biệt Bài (CĐ -2008) Tìm m để đồ thị hàm số y = biệt < m < 1; m ≠ x cắt đường thẳng d : y = −x + m hai điểm phân x −1 m < Đáp số:  m > Bài 10: Cho hàm số y = điểm phân biệt 8 x − x − 4x + Tìm m để đường thẳng y = mx + cắt đồ thị hàm số 3 3 35 < m ≠ −4 Bài 11 (DB2 ĐH Khối D -2003) Cho hàm số y = 2x − 3x − có đồ thị (C), gọi d k đường thẳng qua Đáp số: − điểm M ( 0; −1) có hệ số góc k Tìm k để đường thẳng d k cắt (C) điểm phân biệt Đáp số: − < k ≠ Bài 12 (ĐH Khối D -2006) Cho hàm số y = x − 3x + có đồ thị (C), gọi d đường thẳng qua điểm A ( 3;20 ) có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng d cắt (C) điểm phân biệt Bài 13 (ĐH Khối D -2009) Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị (C ) m hàm số y = x − ( 3m + ) x + 3m điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ Đáp số: − < m < 1, m ≠ Bài 14: Tìm để đường thẳng d : y = x + 2m cắt đồ thị hàm số y = Tìm m để đoạn thẳng AB ngắn 3x + hai điểm phân biệt A, B x −4 Đáp số: x +1 có đồ thị (C) x −1 a) Chứng minh đường thẳng d : 2x − y + m = cắt (C) hai điểm phân biệt A, B hai nhánh (C) b) Tìm m để độ dài AB ngắn Bài 15: Cho hàm số y = GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên Yên Bái ThuVienDeThi.com Trang `ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ ˜vˆÝÊ*ÀœÊ*Ê `ˆÌœÀÊ /œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“ Chuyên đề khảo sát hàm số Ơn thi đại học 2011 Dạng 3: Tìm đ/k để đồ thị cắt trục hoành điểm lập thành cấp số cộng, cấp số nhân Bài 16: Tìm m để đồ thị hàm số y = x − 3mx + 2m ( m − ) x + 9m − m cắt trục hoành điểm lập thành cấp số cộng Đáp số: m = Bài 17: Tìm m để đồ thị hàm số y = x − ( 3m + 1) x + ( 5m + ) x − cắt trục hoành điểm lập thành cấp số cộng Đáp số: m = Bài 18: Tìm m để đồ thị hàm số y = x − ( m + 1) x + 2m + cắt trục hoành điểm lập thành cấp số cộng với hệ số góc Đáp số: m = 4; m = − Bài 19: (ĐH Khối D -2008) Chứng minh đường thẳng qua điểm I (1;2 ) k ( k > −3) cắt đồ thị hàm số y = x − 3x + điểm phân biệt I, A, B đồng thời I trung điểm đoạn thẳng AB CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp chung: Để vẽ đồ thị hàm số có mang dấu GTTĐ ta thực bước sau: Bước 1: Phá dấu GTTĐ + Xét dấu biểu thức chứa bên dấu GTTĐ + Sử dụng đ/n khử dấu GTTĐ (viết hàm số cho nhiều biểu thức) Bước 2: Vẽ đồ thị phần ghép lại (vẽ chung hệ trục toạ độ Các kiến thức sử dụng: • Đ/n GTTĐ:  A A ≥ + A = A A < • Một số tính chất đồ thị: Đồ thị hàm số y = f(x) y= - f(x) đối xứng qua trục hoành Ox Đồ thị hàm số y = f(x) y = f(-x) đối xứng qua trục tung Oy Đồ thị hàm số y = f(x) y = - f(-x) đối xứng qua gốc toạ độ O Bài toán tổng quát: • ( C1 ) : y = f ( x)  Từ đồ thị (C): y = f(x), suy đồ thị hàm số sau: ( C2 ) : y = f ( x )  ( C3 ) : y = f ( x) Dạng 1: Từ đồ thị ( C ) : y = f ( x) suy đồ thị ( C1 ) : y = f ( x ) f ( x ) neáu f ( x ) ≥ B1: Ta có ( C1 ) : y = f ( x ) =  -f ( x ) neáu f ( x ) < B2: Từ đồ thị (C) suy đồ thị (C1) sau: - Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía Ox (1) (2) (do 1) GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên Yên Bái ThuVienDeThi.com Trang 10 `ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ ˜vˆÝÊ*ÀœÊ*Ê `ˆÌœÀÊ /œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“ Chuyên đề khảo sát hàm số - Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox - Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox Minh hoạ • Ơn thi đại học 2011 (do 2) Dạng 2: Từ đồ thị ( C ) : y = f ( x) suy đồ thị ( C2 ) : y = f ( x ) f ( x ) neáu x ≥ (1) B1: Ta có ( C2 ) : y = f ( x ) =  f ( − x ) neáu x < (2) B2: Từ đồ thị (C) suy đồ thị (C 2) sau: - Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía phải trục Oy - Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục tung - Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía bên trái trục Oy (nếu có) (do 1) (do 2) Minh hoạ • Dạng 3: Từ đồ thị ( C ) : y = f ( x) suy đồ thị ( C3 ) : y = f ( x ) f ( x ) ≥  B1: Ta có ( C2 ) : y = f ( x ) =  f ( x) (1)  − f ( x) (2)  B2: Từ đồ thị (C) suy đồ thị (C 3) sau: - Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía Ox - Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox - Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox (nếu có) (do 1) (do 2) Minh hoạ GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên Yên Bái ThuVienDeThi.com Trang 11 `ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ ˜vˆÝÊ*ÀœÊ*Ê `ˆÌœÀÊ /œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“ Chuyên đề khảo sát hàm số Ví dụ: (1) VD1: Cho hàm số y = − x + x Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Từ đồ thị (C), suy đồ thị hàm số sau: b) y = − x3 + x a) y = − x3 + x Ôn thi đại học 2011 c) y = − x3 + x x +1 (1) x −1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Từ đồ thị (C), suy đồ thị hàm số sau: x +1 x +1 x +1 x +1 a) y = b) y = c) y = d) y = x −1 x −1 x −1 x −1 Bài tập: VD2: Cho hàm số y = e) y = x +1 x −1 Bài tập 1: Cho hàm số y = x3 − x + 12 x − có đồ thị (C) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) b) Tìm m để phương trình x3 − x + 12 x + = m có nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình x − x + 12 x + = m có nhiều nghiệm Đáp số: b) < m < c) ≤ m ≤ Bài tập (Khối B - 2009) Cho hàm số y = x − x có đồ thị (C) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) b) Tìm m để phương trình x x − = m có nghiệm phân biệt Bài tập tự luyện Bài tập (Khối A - 2006) Cho hàm số y = x3 − x + 12 x − có đồ thị (C) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) b) Tìm m để phương trình x3 − x + 12 x − = m có nghiệm phân biệt Đáp số: < m < Đáp số: < m < Bài tập 2: Cho hàm số y = − x + x − 10 có đồ thị (C) c) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) d) Tìm m để phương trình − x + x − 10 = m có nghiệm phân biệt Đáp số: < m < GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên Yên Bái ThuVienDeThi.com Trang 12 `ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ ˜vˆÝÊ*ÀœÊ*Ê `ˆÌœÀÊ /œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“ ... ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“ Chuyên đề khảo sát hàm số Chú ý:  a ≠  b = Hàm số có cực trị ⇔  ;  a ≠   a.b > Ôn thi đại học 2011 a ≠ a.b < Hàm số có cực trị ⇔  + Nếu hàm số có cực trị điểm... ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“ Chun đề khảo sát hàm số Ơn thi đại học 2011 Đáp số: m < −1; < m < Bài (CĐ - 2009) Tìm m để hàm số y = x − ( 2m − 1) x + ( − m ) x + có cực đại cực tiểu đồng thời điểm cực trị hàm số có hồnh... ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“ Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2011 Dạng 3: Tìm đ/k để đồ thị cắt trục hoành điểm lập thành cấp số cộng, cấp số nhân Bài 16: Tìm m để đồ thị hàm số y = x − 3mx + 2m