Chuyên đề khảo sát hàm số 1225481

Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 ÔN TẬP NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ ĐỂ VẬN DỤNG GIẢI TỐN Vấn đề CƠNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM  (x a ) ' = a x ( x)' = ' ổ1 ữ ỗ ữ= ỗ ứ ố x a- 1 x x a a (u ) ' = a u a- u ' u' a ( u)' = u ' ổ1 u' a ỗỗ ữ ữ= - èu ø u a (e )' = u '.e ( )  (a )' = a ln a a (a )' = u '.a ln a  ex ' = ex x x u u u u ( )  u.v ' = u '.v + v '.u ' ỉu u '.v - v ' u ÷ = ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗốv ứ v2  ( sin x ) ' = cosx  (cosx ) ' = - sin x a ( sin u ) ' = u '.cosu a (cosx ) ' = - u '.sin u u'  ( t an x ) ' = a ( t an u ) ' = cos x cos2 u u'  ( cot x ) ' = a ( cot u ) ' = sin x sin2 u  ( ln x ) ' =  ( ln x ) ' =  u' u u' a ( ln u ) ' = u a ( ln u ) ' = x x (loga x ) ' = u' a (loga u ) ' = x ln a u ln a Vấn đề CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Hệ thức lượng sin2 x + cos2 x = sin x t an x = cosx + t an x = cos2x Công thức nhân đôi – nhân ba – hạ bậc t an x cot x = cosx cot x = sin x + cot x = sin2 x sin 2x = 2sin x cosx cos2x = cos2 x - sin2 x = 2cos2 x - = - 2sin2 x - cos2x + cos2x Þ sin2 x = ; cos2 x = 2 sin 3x = 3sin x - sin x (3sin – 4sỉn) cos3x = cos3 x - 3cosx (4cổ – cô) Công thức cộng cung Công thức biến đổi tổng thành tích cosa + cosb = 2cos sin (a ± b) = sin a cosb ± cosa sin b cos(a ± b) = cosa cosb m sin a sin b t an a + t an b t an (a + b) = - t an a t an b t an a - t an b t an (a - b) = + t an a t an b cosa - cosb = - 2sin sin a + sin b = 2sin Công thức biến đổi tổng thành tích 1é ù êcos(a - b) + cos(a + b)û ú 2ë ù sin a cosb = é êsin (a - b) + sin (a + b)û ú 2ë ù sin a sin b = é êcos(a - b)- cos(a + b)û ú 2ë cosa cosb = a+b cos a+b a+b a- b sin a- b a- b cos 2 a+b a- b sin a - sin b = 2cos sin 2 a Công thức tính sin a , cos a theo t = t an ìï 2t ïï sin a = 1+ t ïï ïï 1- t a Đặt t = t an Þ ïí cos a = ïï 1+ t ïï ïï t an a = 2t ïï 1- t ỵ Trang ThuVienDeThi.com Chun đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 Một số công thức khác Một số công thức khác + cos4x sin 2x = + cos4x 6 cos x + sin x = - sin 2x = t an x + cot x = sin 2x cot x - t an x = 2cot 2x cos4 x + sin x = - sin x + cosx = sin x - cosx = ổ sin ỗ ỗx + ỗ ố ổ sin ỗ xỗ ỗ ố pử ữ ổ cosỗ çx ç è æ cosç ç çx + è ÷ = ÷ ÷ 4ø pö ÷ ÷ = ÷ ÷ 4ø pö ÷ ÷ ÷ ÷ 4ø pö ÷ ÷ ÷ ÷ 4ø Vấn đề PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Phương trình lượng giác bản: ìï ïï sin x = Þ x = k p ïï éu = v + k2p ï p ê a Phương trình: Đặc biệt: ïí sin x = Þ x = + k 2p trình: sin u = sin v Û ê ïï u = p - v + k2p ê ë ïï p ïï sin x = - ị x = + k2p ùợ ìï ïï cosx = Þ x = p + k p ïï éu = v + k2p ê b Phương trình: Đặc biệt: ïí cosx = Þ x = k 2p trình: cosu = cosv Û ê ïï u = - v + l 2p ê ë ïï cosx = - Þ x = p + k2p ïï ỵ ìï t an x = Û x = k p t an u = t an v Û u = v + k p ïï c Phương trình: Đặc biệt: í trình: p ïï t an x = ± Û x = ± p + k p + kp ék : u, v ùùợ ìï ïï cot x = Û x = p + k p cot u = cot v Û u = v + k p ï d Phương trình: Đặc biệt: í trình: ïï Ðk : u, v ¹ k p p ïï cot x = ± Û x = ± + k p ïỵ Phương trình lượng giác cổ điển dạng: dạng: a sin x + b cosx = c (1)  Điều kiện có nghiệm: a + b2 ³ c2  Chia hai vế cho a a2 + b2 , ta được: (1) Û a 2 a +b b (a Ỵ sin x + b 2 a +b cosx = c a + b2 ) é0, 2p ù Phương trình trở thành: ê ú ë û a +b a +b c c sin a sin x + cos a cosx = Û cos(x - a ) = = cos b 2 a +b a + b2 Û x = a ± b + k2p (k ẻ Â ) t sin a = 2 , cos a = 2 2 Phương trình lượng giác đẳng cấp bậc hai dạng: dạng a sin x + b sin x cosx + c cos x = d (2)  Kiểm tra xem cosx = có phải nghiệm hay khơng ? Nếu có nhận nghiệm  Khi cosx ¹ , chia hai vế phương trình ( 2) cho cos2 x , ta được: a t an2 x + b t an x + c = d(1 + t an2 x )  Đặt t = t an x , đưa phương trình bậc hai theo t : (a - d)t + bt + c - d = ® t ® x Trang ThuVienDeThi.com Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 Phương trình đối xứng dạng: dạng a ( sin x ± cosx ) + b sin x cosx + c = ( 3)  Đặt t = cosx ± sin x = ( 2.cos x m p ); t £ Þ t = ± 2sin x.cosx Þ sin x.cosx = ± 2 (t - 1)  Thay vào phương trình ( 3) , ta phương trình bậc hai theo t ® t ® x Phương trình đối xứng dạng: dạng a sin x ± cosx + b sin x cosx + c = ( 4)  Đặt t = cosx ± sin x = ( cos x m p ; ÐK : £ t £ 4) Þ sin x.cosx = ± (t - 1)  Giải tương tự dạng Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu trị tuyệt đối Vấn đề PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Phương trình bậc hai: hai ax + bx + c = (1) a/ Giải phương trình bậc hai Nếu b số lẻ Nếu b số chẳn Tính D = b2 - 4ac  Nếu D < Þ Phương trình vơ nghiệm  Nếu D = Þ Phương trình có nghiệm kép: x = - b 2a Tính D ' = b '2 - ac với b ' = b  Nếu D ' < Þ Phương trình vơ nghiệm  Nếu D ' = Þ Phương trình có nghiệm kép: x = -  Nếu D > Þ Phương trình có hai b' a  Nếu D ' > Þ Phương trình có hai nghiệm é êx1 = - b '- D ' ê a phân biệt: ê ê êx2 = - b '+ D ' ê a ë é êx1 = - b - D ê 2a nghiệm phân biệt: ê ê êx2 = - b + D ê 2a ë b/ Định lí Viét Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thì:  Tổng hai nghiệm: S = x1 + x2 = - c  Tích hai nghiệm: P = x1.x2 = a b a Þ x1 - x2 = D = a D' a c/ Dấu nghiệm phương trình ìï a ¹  Phương trình có hai nghiệm phân biệt Û ïí ïï D > ỵ  Phương trình có hai nghiệm trái dấu Û a.c < ìï D >  Phương trình có hai nghiệm phân biệt dấu Û ïí ïï P > ỵ Trang ThuVienDeThi.com Chun đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 ìï D > ïï ï  Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt Û ïí P > ïï ïï S < ïỵ ìï D > ïï ï  Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt Û ïí P > ïï ïï S > ïỵ d/ So sánh hai nghiệm phương trình bậc hai g(x ) = ax + bx + c = với số  ìï ïï ïï D >  x2 > x1 > b Û ïí a.g (b ) > ïï ïï S ïï > b ỵ2 ìï ïï ïï D >  x1 < x2 < b Û ïí a.g (b ) > ïï ïï S < b ïï î  x1 < b < x2 Û a.g ( b ) < Phương trình bậc 3: ax + b ' x + c ' x + d ' = ( 2) éx = a Û (x - a ) (ax + bx + c) = Û ê êax + bx + c = ( 3) ê ë 2 Đặt g(x ) = ax + bx + c , D = b - 4ac ìï D > ï ùù g(a ) ùợ Phng trỡnh ( 2) có nghiệm phân biệt Û ( 3) có nghiệm phân biệt x ¹ a Û ïí  Phương trình ( 2) có nghiệm phân biệt Û ( 3) có nghiệm kép x ¹ a ( 3) có hai nghiệm éìï D = êï êí ờùùợù g(a ) phõn bit ú cú nghiệm x = a Û ê êìï D > êï êí êïïỵï g(a ) = ë éìï D = êï êí  Phương trình ( 2) có nghiệm Û ( 3) vơ nghiệm ( 3) có nghiệm kép x = a Û êïïï g(a ) = êỵ êD < ê ë Phương trình bậc bốn trùng phương : ax + bx + c = ( 4) 2 Đặt t = x ÐK : t ³ Phương trình ( 4) Û at + bt + c = ( 5) ìï D > ïï ï  Phương trình ( 4) có nghiệm phân biệt Û ( 5) có nghiệm dương phân biệt Û ïí P > ïï ïï S > ïỵ ìï c = ï  Phương trình ( 4) có nghiệm phân biệt Û ( 5) có nghiệm t = nghiệm t > Û ïí b ïï - > ïïỵ a  Phương trình ( 4) có nghiệm phân biệt Û ( 5) có nghiệm trái dấu ( 5) có nghiệm kép Trang ThuVienDeThi.com Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 éac < ê ê dương Û êïìï D = êí êïï S > ëỵ Phương trình chứa thức : + ìï B ³ A = B Û ïí ïï A = B ïỵ Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: Bất phương trình chứa thức: thức: + ìï A ³ (hay B ³ 0) B Û ïí ïï A = B A= ïỵ ìï B ³ + A = B Û ïí ïï A = ± B ỵ éìï B < êï êíï A ³ êïỵ + A ³ B Û ê êïì B ³ êï êíï êïïỵ A ³ B ë + A = B Û A = ±B ìï B ³ ïï ï + A £ B Û ïí A ³ ïï ïï A £ B ïỵ éA ³ B +A ³ B Û ê êA £ - B ê Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: đối: + A £ B Û - B £ A £ B ë Vấn đề HÌNH HỌC PHẲNG Trong mặt phẳng Decac Oxy cho: o Bốn điểm: A (xA , yA ) , B (xB , yB ) , C (xC , yC ) M (xo , yo ) o Đường thẳng D : ax + by + c = o Đường tròn (C m ) : (x - a) + (y - b) = R hay (C m ) : x + y - 2ax - 2by + c = có tâm 2 2 I (a, b) bán kính R = a + b2 - c uuur  Véctơ AB = (xB - xA ; yB - yA ) Þ Độ dài đoạn thẳng AB = (khoảng cách hai điểm A, B)  Để ba điểm A (xA , yA ) ; B (xB , yB ) C (xC , yC ) thẳng hàng Û ( 2 (xB - xA ) + (yB - yA ) xB - xA xC - xA = yB - yA yC - yA )  Khoảng cách từ điểm M xo, yo đến đường thẳng D : ax + by + c = là: d (M , D ) = axo + bxo + c a + b2  Để A B đối xứng qua đường thẳng D Û D đường thẳng trung trực đoạn thẳng AB uuur uuur 1 AB AC sin A = AB 2.AC - AB AC 2 1 abc b = c.hc = = p ( p - a )( p - b)( p - c) = a.ha = bh = pr 2 4R (  Diện tích ΔABC: SD ABC = ) Trong đó: R, r , p bán kính đường trịn ngoại tiếp, bán kính đường trịn nội tiếp nửa chu vi  Để A B nằm phía (khác phía) so với đường thẳng D Û (axA + byA + c) (axB + byB + c) <  Để A B nằm phía so với đường thẳng D Û (axA + byA + c) (axB + byB + c) >  Để A B nằm đường tròn hay nằm ngồi đường trịn Û PA / (Cm ) PB / (Cm ) > Û (xA2 + yA2 - 2axA - 2byA + c)(xB2 + yB2 - 2axB - 2byB + c) >  Để A B nằm hai phía khác đường trịn (1 điểm phía trong, điểm phía ngồi) Û PA / (Cm ) PB / (Cm ) < Û (xA2 + yA2 - 2axA - 2byA + c)(xB2 + yB2 - 2axB - 2byB + c) < Trang ThuVienDeThi.com Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BÀI TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Cơ sở lý thuyết Định nghĩa: + Hàm số y = f (x ) đồng biến K Û " x1, x2 ẻ K v x1 < x2 ị f (x1) < f (x2 ) + Hàm số y = f (x ) nghịch biến K Û " x1, x2 ẻ K v x1 < x2 ị f (x1) > f (x2 ) Điều kiện cần: Giả sử y = f (x ) có đạo hàm khoảng I + Nếu y = f (x ) đồng biến khoảng I f '(x ) ³ 0, " x Ỵ I + Nếu y = f (x ) nghịch biến khoảng I f '(x ) £ 0, " x Ỵ I Điều kiện đủ: Giả sử y = f (x ) có đạo hàm khoảng I + Nếu y ' = f '(x ) ³ , " x Î I [ f '(x ) = số hữu hạn điểm] y = f (x ) đồng biến I + Nếu y ' = f '(x ) £ , " x Ỵ I [ f '(x ) = số hữu hạn điểm] y = f (x ) nghịch biến I + Nếu y ' = f '(x ) = , y = f (x ) khơng đổi I Chú ý: Nếu khoảng I thay đoạn nửa khoảng y = f (x ) phải liên tục DẠNG XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU (tìm khoảng tăng - giảm) CỦA HÀM SỐ y  f x  Phương pháp giải + Bước 1: Tìm tập xác định hàm số Thường gặp trường hợp sau: -y= P (x ) Þ T XÐ : Q(x ) ¹ Q( x ) -y= Q(x ) Þ TXÐ : Q(x ) ³ P (x ) Þ T XÐ : Q(x ) > -y= Q( x ) + Bước 2: Tìm điểm y ' = f '(x ) = y ' = f '(x ) không xác định, nghĩa là: tìm đạo hàm y ' = f '(x ) Cho y ' = f '(x ) = tìm nghiệm xi với (i = 1; 2; n ) + Bước 3: Sắp xếp điểm theo thứ tự tăng dần lập bảng biến thiên để xét dấu y ' = f '(x ) + Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên, kết luận khoảng đồng biến nghịch biến hàm số - f '(x ) = y ' ³ Þ Hàm số đồng biến (tăng) khoảng……và…… - f '(x ) = y ' < Þ Hàm số nghịch biến (giảm) khoảng…và…… Một số lưu ý giải toán + Lưu ý 1: Đối với hàm phân thức hữu tỷ dấu “=” khơng xảy + Lưu ý 2: Trang ThuVienDeThi.com Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 ax + b hàm số ln đồng biến (hoặc nghịch biến) TXĐ, nghĩa cx + d  Đối với hàm dạng: y = tìm y ' > (hoặc y ' < ) TXĐ ax + bx + c ln có hai khoảng đơn điệu a 'x + b'  Đối với hàm dạng: y = ax + bx + cx + dx + e ln có khoảng đồng biến  Đối với hàm dạng: y = khoảng nghịch biến  Cả ba hàm số đơn điệu ¡ + Lưu ý 3: Bảng xét dấu số hàm thường gặp a) Nhị thức bậc nhất: y = f (x ) = ax + b , (a ¹ 0)  x - trái dấu với a ax + b b a  dấu với a b) Tam thức bậc hai : y = f (x ) = ax + bx + c , (a ¹ 0)  Nếu D < , ta có bảng xét dấu:  x dấu với a f (x )  Nếu D = , ta có bảng xét dấu:  -b 2a  x dấu với a f (x )  dấu với a  Nếu D > , gọi x1, x2 hai nghiệm tam thức f (x ) = , ta có bảng xét dấu:  x  x2 x1 dấu với a trái dấu với a dấu với a c) Đối với hàm mà có y ' = f '(x ) = có nhiều nghiệm, ta xét dấu theo nguyên tắc: (phương pháp chung)  Thay điểm lân cận xo gần xn bên ô phải bảng xét dấu vào f '(x ) [Thay số xo cho dễ tìm f (x ) f '(x ) ]  Xét dấu theo nguyên tắc: Dấu f '(x ) đổi dấu qua nghiệm đơn không đổi dấu qua nghiệm kép + Lưu ý 4: Xem lại số cách giải phương trình lượng giác thường gặp ta đưa hàm số lượng giác dạng đa thức số trường hợp + Lưu ý 5: Cách tính đạo hàm hàm số dạng hữu tỉ (phân thức) a b y= c d ax + b ad - cb Þ y' = = cx + d (cx + d ) (cx + d ) a b a c a' c' x+ b c Cách nhớ: (Anh bạn ăn cháo hai lần bỏ chạy) a ' b' b ' c ' (b ' a - a ' b) x + 2(c ' a - a ' c) x + (c ' b - b ' c) ax + bx + c y ' Þ = = 2 a ' x2 + b' x + c ' (a ' x + b ' x + c ') (a ' x + b ' x + c ') y= x2 + Cách nhớ: Tích đường chéo trừ tích đường chéo phụ Bài Tìm khoảng đơn điệu hàm số: a/ y = - x + 4x - b/ y = x - 6x + 8x + c/ y = x + 4x + d/ y = - x + 6x - 9x + e/ y = x + 3x + 3x + f/ y = Trang ThuVienDeThi.com x - 2x Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang g/ y = Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 2x - x- h/ y = - x + 2x - x+ b/ y = 3x + 1- x i/ y = x - 8x + x- c/ y = Bài Tìm khoảng đơn điệu hàm số: a/ y = ( d/ y = - 3x ) 6x + e/ y = x + - x + 3x + f/ y = - 2x x+ x+ x2 - x + 3 x - 2x Bài Tìm khoảng đơn điệu hàm số: a/ y = x + 5x + d/ y = x + 2x + b/ y = - x + - 2x + 5x - e/ y = x - 7x - 7x + 15 Bài Tìm khoảng đơn điệu hàm số sau: ù a/ y = x - sin x , x Ỵ é ê0; p ú ë û ù c/ y = sin x + cosx , é ê0; p û ú ë c/ y = 4x - x f/ y = 2x - x + 3x + ù b/ y = 2sin x + cos2x , x Ỵ é ê ë0; p ú û d/ y = sin x - cos2x + sin x + é pù ê 2ú ë û e/ y = sin2 x + cosx + , x Ỵ ê0; ú f/ y = 2sin x - Bài Chứng minh rằng: a/ Hàm số y = x + x - cosx - đồng biến ¡ é ë b/ Hàm số y = 2sin x + t an x - 3x đồng biến nửa khoảng ê0; p sin x , x Ỵ [0; p ] ) DẠNG Tìm điều kiện tham số để hàm số y  f x  đồng biến nghịch biến I Cơ sở lý thuyết Cho hàm số y = f (x, m ) với m tham số, có tập xác định D  Hàm số y = f (x, m ) đồng biến D Û y ' ³ " x Ỵ D  Hàm số y = f (x, m ) nghịch biến D Û y ' £ , " x Ỵ D  Hàm số y = f (x, m ) đồng biến ¡  Tham số m Û y ' = f '(x, m) ³ 0, " x Ỵ ¡ Û y ' ³ xỴ ¡  Hàm số y = f (x, m ) nghịch biến ¡ Û y ' = f '(x, m) £ 0, " x Î ¡ Û max y ' £ xÎ ¡  Hàm số đồng biến ¡ phải xác định ¡ II Phương pháp giải Dạng 1: Nếu y ' = f '(x, m) = ax + bx + c thì: ìï a > ïï D £ ỵ ìï a <  Để hàm số y = f (x, m ) nghịch biến (giảm) ¡ Û y ' = f '(x, m) £ 0; " x Ỵ ¡ Û ïí ïï D £ ỵ  Để hàm số y = f (x, m ) đồng biến (tăng) ¡ Û y ' = f '(x, m) ³ 0; " x Î ¡ Û ïí Chú ý: Đối với hàm phân số hữu tỉ dấu “=” khơng xảy Dạng 2: Nếu y ' = ax + b ; " x Ỵ [a ; b ] thì: ìï y '(a ) ³ ï  Để hàm số y = f (x, m ) đồng biến [a ; b ] Û y ' ³ ; " x Ỵ [a ; b ] Û í ïï y '( b ) ³ ïỵ Trang ThuVienDeThi.com Chun đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 ïì y '(a ) £ ï  Để hàm số y = f (x, m ) nghịch biến [a ; b ] Û y ' £ ; " x Ỵ [a ; b ] Û í ïï y '( b ) £ ïỵ Dạng 3: Nếu y ' = f '(x ) = ax + bx + c y ' = f '(x ) hàm khác, mà ta cần y ' = f '(x ) ³ hay y ' = f '(x ) £ khoảng (a, b) đoạn [a, b] (hoặc nửa đoạn hay nửa khoảng đó) Thì ta làm theo bước sau:  Bước 1: Tìm miền xác định y ' = f '(x )  Bước 2: Độc lập (tách) m (hay biểu thức chứa m ) khỏi biến x chuyển m vế Đặt vế lại g(x ) Lưu ý chuyển vế thành phân thức phải để ý điều kiện xác định biểu thức để xét dấu g '(x ) ta đưa vào bảng xét dấu g '(x )  Bước 3: Tính g '(x ) Cho g '(x ) = tìm nghiệm  Bước 4: Lập bảng biến thiên g '(x )  Bước 5: Kết luận: “Lớn số lớn – Bé số bé” Nghĩa là: + ta đặt m ³ g x dựa vào bảng biến thiên ta lấy giá trị m ³ số lớn bảng biến thiên () + ta đặt m £ g (x ) dựa vào bảng biến thiên ta lấy giá trị m £ số nhỏ bảng biến thiên Dạng 4: Tìm m để hàm số y = ax + bx + cx + d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) = l Ta giải sau:  Bước 1: Tính y ' = f '(x ) ìa¹ ï  Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến nghịch biến: ïí ïï D > ỵ (  Bước 3: Biến đổi x1 - x2 = l thành x1 - x2 )- (1) (2) 4x1.x2 = l  Bước 4: Sử dụng định lý Viét đưa (2) thành phương trình theo m  Bước 5: Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm III Một số lưu ý giải toán  Lưu ý 1: Cần sử dụng thành thạo định lí Viét so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số   Lưu ý 2: Ta dùng dạng tốn loại để giải tốn tìm tham số m bất phương trình tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, vơ nghiệm 1, 2, …n nghiệm, … Bài Tìm tham số m để hàm số: a/ y = x - 3x + 3(m + 2)x + 3m - đồng biến ¡ b/ y = x - ( 2m - 1) x + ( - m ) x + đồng biến ¡ c/ y = x + (m - 3) x + 2mx + đồng biến tập xác định d/ y = - x + 3x + 3(m - 1)x - 3m - giảm 2 ( - m ) x - (m + 3) x + (m + 2) x - tăng ¡ f/ y = 13(m - 1)x + (m + 1) x + 3x + đồng biến ¡ e/ y = Đáp số: a/ m ³ - d/ m = b/ - £ m £ e/ - Bài Tìm tham số m để hàm số: £ m£ - Trang ThuVienDeThi.com é ë ù û c/ m Ỵ ê6 - 3;6 + 3 ú f/ m ẻ (- Ơ ; - 1) ẩ ộ ê ë2; + ¥ ) Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 mx + - 2m nghịch biến tập xác định x+m mx - b/ y = đồng biến khoảng xác định x- m+ 2mx + c/ y = nghịch biến khoảng xác định x+m - 2x + (m + 2)x - 3m + d/ y = nghịch biến khoảng xác định x- a/ y = Đáp số: a/ - < m < b/ - < m < c/ - < m< d/ m £ 2 Bài Tìm tham số m để hàm số: ù a/ y = x - 2mx - (m + 1) x + đồng biến đoạn é ê0;2ú ë û 3 ( ) b/ y = x + 3x + (m + 1) x + 4m nghịch biến khoảng - 1;1 ( c/ y = x + 3x - mx - đồng biến khoảng 0;+ ¥ ) x - mx + (2m - 1) x - m + nghịch biến khoảng (- 2; 0) mx + e/ y = nghịch biến khoảng (- ¥ ;1) x+m mx + 6x - f/ y = nghịch biến nửa khoảng é ê ë1; + ¥ ) x+ g/ y = x + m cosx đồng biến ¡ d/ y = Đáp số: a/ m £ - e/ - £ m £ b/ m £ - 10 c/ m £ f/ - < m < - g/ m £ - Bài Tìm tham số m để hàm số: ( ) ( d/ m ³ 14 h/ - £ m £ ) a/ y = x - m + x - 2m - 3m + x + 2m - m đồng biến nửa khoảng é ê2; + ¥ ë ) x  (m  1).x  (m  4m  3).x  m đồng biến nửa khoảng é ê ë1; + ¥ ) c/ y  x  (m  1).x  m.(m  2).x  đồng biến đoạn é 4;9ù ê ú ë û d/ y  x  mx  (2m  m  7).x  2(m  1).(2m  3) đồng biến nửa khoảng é ê ë2; + ¥ ) b/ y  Bài Tìm giá trị thực m để hàm số: a/ y = x + 3x + mx + m giảm đoạn có độ dài b/ y = - x + x - ( - m ) x + tăng đoạn có độ dài Đáp số: a/ m = b/ m = 14 DẠNG Ứng dụng tính đơn điệu chứng minh bất đẳng thức Phương pháp giải  Bước 1: Chuyển bất đẳng thức dạng f (x ) > (hay < , ³ , £ ) Xét hàm số y = f (x ) tập xác định đề định miềm xác định toán mà ta phải tìm  Bước 2: Xét dấu y ' = f '(x ) Suy hàm số đồng biến (hay nghịch biến) Trang 10 ThuVienDeThi.com Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093  Bước 3: Dựa vào định nghĩa đồng biến (hay nghịch biến) để kết luận Tức là: + Hàm số y = f (x ) đồng biến K Û " x1, x2 ẻ K v x1 < x2 ị f (x1) < f (x2 ) + Hàm số y = f (x ) nghịch biến K Û " x1, x2 ẻ K v x1 < x2 ị f (x1) > f (x2 ) Một số lưu ý giải toán  Lưu ý 1: Trong trường hợp ta chưa xét dấu f '(x ) ta đặt h(x ) = f '(x ) quay lại tiếp tục xét dấu h '(x ) … xét dấu thơi  Lưu ý 2: Nếu bất đẳng thức có hai biến ta đưa bất đẳng thức dạng f (a) < f (b) Xét tính đơn điệu hàm số f (x ) khoảng (a, b) Bài Chứng minh é pù ê 2ú ë û æ pö c/ t an x > sin x, " x ẻ ỗ 0; ữ ỗ ữ ố 2ứ a/ sin x £ x, " x Ỵ ê0, ú b/ t an x > x, " x Ỵ ỉ pư ữ , " x ẻ ỗỗ0; ữ ố 2ứ 3! x3 ổ pử , " x ẻ ỗỗ0; ữ f/ t an x > x + ÷ è 2ø æ pö æ pö a sin x + t an x > x, " x ẻ ỗ 0; ữ ữ ỗ ố 2ứ 3 b sin x < x - c sin x > 2x p , " x Ỵ d x sin 1 < + 1- , " x Ỵ p sin x x g x > , " x ẻ (1; + Ơ ổ pử ữ ỗ0; ữ ỗ ố 2ứ ) x3 + x5 120 , "x > , " x Ỵ ( 0; + ¥ ) x 6x 1 x2 f + x < + x < + x, " x > x ổ pử ữ ỗ0; ữ h 28/ sin2 x < ( p - x ) , " x ẻ ỗ ố 2ứ p (0; p 2) x x3 d/ sin x > x - ữ ỗ0; ữ e/ t an x + 2sin x > 3x, " x ẻ ỗ ố 2ứ Bi Chng minh rng e (0; p 2) > 1- DẠNG Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình – bất phương trình có chứa tham số m ( ) Bài tốn Tìm m để phương trình f x; m = có nghiệm D ? () ( )  Bước Độc lập (tách) m khỏi biến số x đưa dạng f x = A m ()  Bước Lập bảng biến thiên hàm số f x D ( )  Bước Dựa vào bảng biến thiên xác định giá trị tham số m để đường thẳng y = A m nằm ngang cắt () đồ thị hàm số y = f x () ( )  Bước Kết luận giá trị cần tìm m để phương trình f x = A m có nghiệm D Lưu ý: ( ) có GTLN GTNN D giá trị m cần tìm m thỏa mãn: f (x ) £ A (m ) £ max f (x ) + Nếu hàm số y = f x D D + Nếu toán u cầu tìm tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta cần dựa vào bảng biến thiên để xác định cho đường thẳng y = A m nằm ngang cắt đồ thị hàm số y = f x k điểm phân ( ) () biệt Bài tốn Tìm m để bất phương trình f x; m ³ f x; m £ có nghiệm D ? ( ) ( Trang 11 ThuVienDeThi.com ) Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 () ( ) () ( )  Bước Độc lập (tách) m khỏi biến số x đưa dạng f x ³ A m f x £ A m ()  Bước Lập bảng biến thiên hàm số f x D  Bước Dựa vào bảng biến thiên xác định giá trị tham số m để bất phương trình có nghiệm: + Với bất phương trình f x ³ A m m cho tồn phần đồ thị nằm đường () ( ) ( ) (khi max f (x ) $) + Với bất phương trình f (x ) £ A (m ) m cho tồn phần đồ thị nằm đường thẳng y = A (m ), tức A (m ) ³ f (x ) (khi f (x ) $) Bài tốn Tìm tham số m để bất phương trình f (x ) ³ A (m ) f (x ) £ A (m ) nghiệm " x Î D ? + Bất phương trình f (x ) ³ A (m ) nghiệm " x Ỵ D Û f (x ) ³ A (m ) ( ) ( ) thẳng y = A m , tức A m £ max f x D D D D D () ( ) () ( ) + Bất phương trình f x £ A m nghiệm " x Ỵ D Û max f x £ A m D Lưu ý: + Các toán liên quan h phng trỡnh, h bt phng trỡnh ắ ắđ ta cần biến đổi chuyển phương trình bất phương trình + Khi đổi biến, cần quan tâm đến điều kiện biến LOẠI Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình có chứa tham số m Bài Tìm tham số thực m để phương trình: a/ x + 3x + = m có nghiệm thực b/ m x + = x + m có nghiệm thực phân biệt c/ ù x - 4x + ³ x - 4x + m có nghiệm thực đoạn é ê2; 3û ú ë Đáp số: a/ m ³ b/ - < m < Bài Tìm tham số thực m để phương trình: c/ m £ - a/ x  mx   x  có hai nghiệm phân biệt b/ x   x   x  x  m có nghiệm c/ x   m x   x  có nghiệm d/  x  x   mx có nghiệm Đáp số: a/ m  b/   m  10 c/ 1  m   m  1 d/  m  Bài Tìm tham số thực m để phương trình: a/  x   x  3  x 6  x   m có nghiệm b/ x  x   x  x   m có nghiệm LOẠI Ứng dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình có chứa tham số Bài Tìm m để bất phương trình x    x  m có nghiệm Trang 12 ThuVienDeThi.com Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 Đáp số: m  14 Bài Tìm tham số Đáp số: m  m để bất phương trình sau có nghiệm: 1 mx  x   m  4  x 6  x   x  x  m Bài Tìm m để bất phương trình (1) nghiệm với x  4;6 Đáp số: m  Bài Tìm m để bất phương trình m x   x  m có nghiệm với x Đáp số: m   BÀI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Cơ sở lý thuyết Khái niệm cực trị hàm số: Giả sử hàm số y = f (x ) xác định tập D D Ì ¡ ( )và xo Ỵ D ( ) ( ) + xo điểm cực đại hàm số y = f (x ) $ a, b Ỵ D xo Ỵ (a, b) cho f (x ) < f xo , " x Î (a;b) \ {xo } Khi đó: f (xo ) gọi giá trị cực đại y = f (x ) () ( ) ( ) + xo điểm cực tiểu hàm số y = f (x ) $ a, b Ỵ D xo Ỵ (a, b) cho f x > f xo , " x Ỵ (a;b) \ {xo } Khi đó: f (xo ) gọi giá trị cực tiểu y = f (x ) + Nếu xo điểm cực trị hàm số y = f (x ) điểm (xo ; f (xo )) gọi điểm cực trị đồ thị hàm số y = f (x ) Điều kiện cần để hàm số có cực trị (Định lý Ferman) Nếu hàm số y = f (x ) có đạo hàm xo đạt cực trị điểm f ' (xo ) = Nghĩa hàm số y = f (x ) đạt cực trị điểm mà đạo hàm khơng có đạo hàm Điều kiện đủ để hàm số có cực trị a Định lý 1: Giả sử hàm số y = f (x ) liên tục khoảng (a;b) É xo có đạo hàm (a, b) \ { xo } + Nếu f '(x ) đổi dấu từ âm sang dương x qua xo y = f (x ) đạt cực tiểu xo + Nếu f '(x ) đổi dấu từ dương sang âm x qua xo y = f (x ) đạt cực đại xo x f '(x ) a – f(a) a f '(x ) + y = f (x ) b + f(b) cực tiểu f(xo) y = f (x ) x xo xo f(xo) cực đại f(a) b – f(b) b Định lý 2: Giả sử hàm số y = f (x ) có đạo hàm (a; b) É xo ; f ' (xo ) = f '' (xo ) ¹ + Nếu f '' (xo ) < y = f (x ) đạt cực đại xo Trang 13 ThuVienDeThi.com Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 + Nếu f '' (xo ) > y = f (x ) đạt cực tiểu xo DẠNG TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Phương pháp giải  Qui tắc 1: Dùng định lý  Bước 1: Tìm miền xác định Tính y ' = f '(x )  Bước 2: Tìm điểm xi (i = 1, 2, , n ) y ' = f '(x ) = y ' = f '(x ) không xác định  Bước 3: Xét dấu f '(x ) , từ suy điểm cực trị dựa vào định lý  Qui tắc 2: Dùng định lý  Bước 1: Tìm miền xác định Tính y ' = f '(x )  Bước 2: Tìm điểm xi (i = 1, 2, , n ) y ' = f '(x ) = y ' = f '(x ) không xác định  Bước 3: Xét dấu f ''(x ) f ''(xi ) - Nếu f ''(xi ) < hàm số đạt cực đại xi - Nếu f ''(xi ) > hàm số đạt cực tiểu xi Một số lưu ý giải tốn  Có qui tắc tìm cực trị dựa vào định lí (qui tắc 1) định lí (qui tắc 2):  Nếu việc xét dấu đạo hàm bậc dễ dàng, nên dùng qui tắc  Nếu việc xét dấu khó khăn (ví dụ tốn mà hàm số cho có dạng lượng giác, tốn có chứa tham số), nên dùng qui tắc  Nếu y ' không đổi dấu qua nghiệm (nghiệm kép) hàm số khơng có cực trị  Đối với hàm bậc y ' = có nghiệm phân biệt điều kiện cần đủ để hàm có cực trị  Khơng cần xét hàm số y = f (x ) có hay khơng có đạo hàm điểm x = xo bỏ qua điều kiện “hàm số liên tục điểm xo ” ìï y '(x ) = o  Hàm số đạt cực trị xo Û ùớ ùù y ''(xo ) ợ i với hàm số thức ta không xét dấu bậc 1, bậc chọn điểm để xét dấu Bài Tìm cực trị hàm số sau: a/ y = x + 3x + 3x + d/ y = x - 6x + 9x - c/ y = - e/ y = - x + 6x - 8x + f/ y = x - 2x - ( ) Đáp số:a/ Hàm số khơng có cực trị () c/ yCÐ = y = x + x - 2x b/ y = x + 3x - 9x + () b/ yCÐ = y - = 31; yCT = y = - ổ1ử 11 ữ ; yCT = y ỗ = ỗỗ ữ ữ ữ ố2ứ ( ) d/ hàm số khơng có cực trị e/ yC D = y - = 25 ; Hàm số cực tiểu () () ( ) f/ yCÐ = y = - ; yCT = y = y - = - Bài Tìm cực trị hàm số sau: a/ y = - 2x x- b/ y = 3x + 1- x Đáp số:a/ Hàm số khơng có cực trị c/ yCÐ = y = ; yCT = y - = 12 () ( ) c/ y = - x + 2x - x+2 d/ y = b/ Hàm số khơng có cực trị d/ Hàm số khơng có cực trị Bài Tìm cực trị hàm số: a/ y = - x + 3x b/ y = x - x Trang 14 ThuVienDeThi.com c/ y = 2x - x2 - x - 8x + x- Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 ( 2x - d/ y = 2x + - ) ( e/ y = x x + Đáp số: () ( 2)= - ; y () a/ yCÐ = y = ; yCT = y = b/ yCT = y - () ( 2)= () () f/ yCÐ = y = ; yCT = y = - Bài Tìm cực trị hàm số: a/ y = sin 2x - x b/ y = 2sin 2x - é pù ê 2ú ë û d/ y = cosx sin x ê0; ú c/ y = - 2cosx - cos2x Đáp số: ö = y d/ yCT = y 2 = + Hàm số khơng có điểm cực đại e/ yCÐ = y - = ; yCT = y = ổp ỗố6 Cé x ( ) c/ Hàm số khơng có cực đại ( ) ) f/ y = x - ỉp ỉ p p ữ ỗỗ + k p ữ ữ ữ yCT = y ỗ + k p = - + - kp ỗ ữ ữ ỗ ỗ ÷ ÷ ÷ ø è6 ø è ứ ổp ổp ỗỗ + (2k + 1) p ữ ữ ữ b/ yCé = y ỗ = y = y = - ỗỗ + k p ữ ữ ữ CT ỗố4 ữ ữ 2ứ è4 ø ỉ 2p c/ yCÐ = y ç ± + k 2p ÷ ÷ ÷= yCT = y (k p ) = 2(1 - cosk p ) ỗ ố ứ ữ a/ yCé = y ỗ ỗ + kpữ ữ= () d/ Hàm số đạt cực đại x = b ; y b = 12 với sin b = 3 DẠNG TÌM THAM SỐ m ĐỂ HÀM SỐ CĨ CỰC TRỊ TẠI x Bài tốn 1: Cho hàm số y = f (x, m) Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị điểm x = x Phương pháp giải + Tìm tập xác định + Tính y ' = f '(x, m) + Để hàm số đạt cực trị x = x thì: f '(x 0, m) = Þ m Bài tốn 2: Cho hàm số y = f (x, m) Tìm tham số m để hàm số đạt cực đại điểm x = x Phương pháp giải + Tìm tập xác định + Tính y ' = f '(x, m); y '' = f ''(x, m) ìï f ' (x , m ) = ï Þ m ïï f '' (x 0, m ) < ïỵ + Để hàm số đạt cực đại x = x thì: ïí Bài tốn 3: Cho hàm số y = f (x, m) Tìm tham số m để hàm số đạt cực tiểu điểm x = x Phương pháp giải + Tìm tập xác định + Tính y ' = f '(x, m); y '' = f ''(x, m) ìï f ' (x , m ) = ï + Để hàm số đạt cực tiểu x = x thì: í Þ m ïï f '' (x 0, m ) > ïỵ Bài Tìm tham số để hàm số: 2 a/ y = x - 3mx + 3(m - 1)x + m đạt cực đại x = Trang 15 ThuVienDeThi.com Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 b/ y = - (m + 5m )x + 6mx + 6x - đạt cực tiểu x = 3 2 c/ y = x - 2x + mx + đạt cực tiểu x = d/ y = mx + 3x + 12x + đạt cực đại điểm x = x + mx + e/ y = đạt cực đại x = x+m Đáp số a/ m = b/ m = - c/ m = d/ m = - e/ m = - Bài Tìm tham số m để hàm số: a/ y = x - mx + (m - m + 1)x + đạt cực trị x = Khi hàm số đạt cực đại hay cực tiểu Tìm cực trị tương ứng b/ y = - x + mx - để hàm số nhận điểm M (2; 0) làm điểm cực đại c/ y = 2(m - 3) sin x - 2m sin 2x + 3m - đạt cực tiểu x = Đáp số a/ m = b/ m = p c/ m = Bài Tìm tham số a, b để hàm số: a/ y = x4 + ax + b có cực trị x = - giá trị cực trị tương ứng hàm số - 5 b/ y = a x + 2ax - 9x + b có giá trị cực trị số dương xo = điểm cực đại 9 128 140 Đáp số:a/ a = - ;b = b/ a = a = ; b ³ ; b³ 25 27 27 Bài Tìm giá trị tham số để hàm số : a/ y = x + mx + (m + 1) x - có cực trị x = Khi hàm số đạt cực đại hay cực tiểu ? Tính giá trị cực trị tương ứng b/ y = 2x - ( - 2m ) x + ( m - 5) x - có cực trị x = Khi hàm số đạt cực đại hay cực tiểu Tính giá trị cực trị tương ứng c/ y= x + 2mx - có điểm cực trị x = - Khi hàm số đạt giá trị cực tiểu hay cực đại Tính giá x+1 trị cực trị tương ứng ỉ 2ư d/ y = x - mx + ỗ m- ữ ỗ ữx + đạt cực trị x = Khi đó, điểm cực đại hay cực tiểu, tính giá è 3ø trị cực trị cịn lại (nếu có) Bài Tìm giá trị tham số a;b để hàm số : x - (2a + b) x - a - b đạt giá trị cực đại x = b/ y = - x + (a - 3b) x - 3a + b đạt giá trị cực tiểu x = c/ y = x - ( 3a - 2b) x - a + 2b có giá trị cực trị x = Khi hàm số đạt cực tiểu hay a/ y = cực đại ax + bx + ab đạt cực trị x = x = bx + a ax + 2x + b e/ y = đạt cực đại x = x2 + x + ax + b d/ y = để hàm số đạt cực trị –6 x = - x- Bài Tìm giá trị tham số a;b; c để hàm số : d/ y = Trang 16 ThuVienDeThi.com Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang 3 Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 a/ y = x + ax + bx + c đạt cực trị điểm x = - đồ thị hàm số qua điểm A ( 0,1) b/ y = x + ax + bx + c đạt cực tiểu điểm A (1, - 3) đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ c/ y = ax + bx + c để đồ thị qua gốc tọa độ O đạt cực trị - x = Bài Tìm giá trị tham số a;b; c; d để hàm số : 3 a/ y = ax + bx + cx + d đạt cực tiểu điểm x = 0, f ( 0) = đạt cực đại x = , có giá trị cực đại b/ y = ax + bx + cx + d đạt cực tiểu x = đạt cực đại x = 27 DẠNG BIỆN LUẬN HOÀNH ĐỘ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Hàm số y = f (x ) có n cực trị  y’ = có n nghiệm phân biệt Một số lưu ý giải toán  Lưu ý 1: Hoành độ cực trị thường nghiệm phương trình bậc Do đó, ta cần phải nắm vững kiến thức phương trình bậc như: Định lý Viét, so sánh nghiệm phương trình bậc với số  bất kỳ, điều kiện có nghiệm phương trình, … đồng thời, liên quan đến số tính chất hình học phẳng ax + bx + c có cực đại cực dx + e  Lưu ý 2: Hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d hàm hữu tỉ y = ìï a ¹ tiểu (2 cực trị) Û y ' = có hai nghiệm phân biệt Û ïí ïï D > ỵ  Lưu ý 3: Để A B thuộc hai nhánh đồ thị dạng y = ax + b ax + bx + c y = điểm A cx + d ex + d B phải nằm hai phía so với đường tiệm cận đứng tương ứng đồ thị y y TCĐ: x = – d/c TCN: y = – a/c TCĐ: x = – d/e A A O B (C): y = x O ax + b cx + d B ax + bx + c (C): y = ex + d y A x – d/c B d B A x1 O x2 x I B Trang 17 ThuVienDeThi.com Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093  Lưu ý 4: Cực trị hàm bậc bốn : y = ax + bx + cx + d é x= ê4ax + 3bx + 2c = = g (x ) (2) + Ta có: y ' = 4ax + 3bx + 2cx Þ y ' = Û ê ê ë ìï D > ï + Hàm số có cực trị (2) có hai nghiệm phân biệt khác ( ) ùù g (0) ùợ Khi đó: Hàm số có cực tiểu, cực đại a > Hàm số có cực đại, cực tiểu a < + Hàm số có cực trị (2) có nghiệm kép vơ nghiệm có nghiệm x = ìï D < Û ïí ïï g (0) = ïỵ Khi đó: Hàm có cực tiểu a > (nghĩa có cực tiểu mà khơng có cực đại) Hàm số có cực đại a < (nghĩa có cực đại mà khơng có cực tiểu) Loại Tìm giá trị tham số m để hàm số n cực trị , khơng có cực trị Hàm bậc y = ax + bx + cx + d (a ¹ 0) 3 ( ) (* ) Hàm bậc 3: y = ax + bx + cx + d a ¹ Phương pháp giải: - Ta có: y ' = 3ax + 2bx + c Þ y ' = Û 3ax + 2bx + c = (1) ìï a ¹ ï ïï D (1) > ïỵ + Hàm số * có cực trị  có hai nghiệm phân biệt Û ïí () () ìï a ¹ ï ïï D (1) £ ïỵ + Hàm số * khơng có cực trị  có nghiệm kép vơ nghiệm Û ïí () () Bài Tìm giá trị tham số m để hàm số có cực trị a/ y = x - 3mx + (m + 2)x + 3m + 3 æm - 3ư ÷x - ( - m ) x + 2x - d/ y = çç è ø÷ c/ y = (m + 2) x + 3x + mx - e/ y = x + mx + (2m + 3)x + 3 2 c/ y = x - 3(m - 1)x + (2m - 3m + 2)x - m (m - 1) e/ y = - x + ( - m ) x - ( - 3m ) x + 2m Bài Tìm giá trị tham số m để hàm số khơng có cực trị a/ y = x - 3mx + 3mx + 3m + c/ y = ( + m ) x - ( 2m + 8) x + x + Bài Chứng minh hàm số: f/ y = ( + m ) x - ( 2m + 8) x + x + Bài Tìm giá trị tham số m để hàm số có cực trị a/ y = x + (m - 2) x - (m + 2) x - 3 b/ y = - x + (m + 1) x - 3x b/ y = 2x - (m - 2)x + (6 - 3m)x + m + d/ y = (1 - m ) x + (m + 2) x - (m - 1) x + m + ỉm - 3ư ÷ ÷x - ( - m ) x + 2x - ứ f/ y = ỗ ỗố 3 b/ y = x + (m - 1) x + 3x - d/ y = x - ( 2m - 1) x + 3x + Trang 18 ThuVienDeThi.com Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 x - mx - x + m + ln có cực đại cực tiểu với giá trị m 3 b/ y = 2x - 3( 2m + 1) x + 6m (m + 1) x + đạt cực trị x1, x2 với giá trị m biểu thức x2 - x1 không phụ thuộc vào m a/ y = Hàm bậc trùng phương y = ax + bx + c (a ¹ 0) Hàm bậc trùng phương : y = ax + bx + c (a ¹ 0) (* ) Phương pháp giải: é x= 4ax + 2b = = g (x ) (1) ê ë  Ta có: y ' = 4ax + 2bx = x 4ax + 2b Þ y ' = Û ê ê ( ) ìï g (0) ¹ ï  Hàm số (* )có cực trị  (1) có hai nghiệm phân biệt khác Û í ïï D (1) > ïỵ Khi đó: Hàm số có cực tiểu, cực đại a > Hàm số có cực đại, cực tiểu a <  Hàm số có cực trị (1) có nghiệm kép vơ nghiệm có nghiệm x = éD £ ê Û ê () Û g (0) = ê ë ïïì D < Û í ïïỵï g (0) = ïìï a.b > í ïỵï b = Khi đó: Hàm số có cực tiểu a > (nghĩa có cực tiểu mà khơng có cực đại) Hàm số có cực đại a < (nghĩa có cực đại mà khơng có cực tiểu) Chú ý: Hàm bậc trùng phương:  Ln có cực trị  Nếu có cực trị cực trị ln tạo thành tam giác cân đỉnh thuộc trục oy Bài Tìm giá trị tham số m để hàm số có cực trị a/ y = x - 2(m - 4) x + 2m - c/ y = x + (m - 4)x + d/ y = mx + (m - 9)x + 10 Bài Tìm giá trị tham số m để hàm số có cực trị a/ y = x + 2(m + 1) x + 2 b/ y = mx + (m - 1)x + - 2m c/ y = x - mx + 4x + m d/ y = Bài Tìm giá trị tham số m để hàm số có cực trị a/ y = 2x + 8mx + ( 8m + 1) x b/ y = x + 2(m + 1) x + 1 x - (m - 1) x + m - m 4 b/ y = x + (m - 1) x + 2 c/ y = x - 2mx + 2m - d/ y = (m - 2) x + 2mx + m - Bài Chứng minh hàm số ln có cực đại cực tiểu " m Ỵ D x + mx + (m + 3) x - 4m 3 c/ y = x + (m - 2) x - (m + 2) x - a/ y = - x + (2m - 1) x - (m - m - 3)x + 3 2 d/ y = x - 3mx + 3(m - 1)x - m b/ y = - Hàm phân thức ax + bx + c y = f (x ) = dx + e Trang 19 ThuVienDeThi.com Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Hàm phân thức: y = f (x ) = Phương pháp giải: Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 ax + bx + c dx + e (* ) ỡù dx + e ị f '(x ) = Û ïí  Ta có: y ' = f '(x ) = ïï ad.x + 2aex + bc + dc = = g (x ) (dx + e) ïỵ ìï ỉ e ữ ù g ỗỗ- ữ ù e ữạ ù ữ ỗ d ố ứ Hm số (* )có cực trị  (1) có hai nghiệm phân biệt khác x ¹ ïï d ïï D (1) > ợ ỡù ad ù Hàm số (* ) khơng có cực trị  (1) có nghiệm kép vơ nghiệm Û í ïï D (1) £ ïỵ + bc + dc ad.x + 2aex (1) Bài Tìm giá trị tham số m để hàm số có cực trị x - x + m2 - x+1 x - (m + 1) x - m + c/ y = x- Bài Tìm giá trị tham số m để hàm số có cực trị x - (m + 1) x - m + 4m - a/ y = x- mx - (m - 2) x - x+ 2 x + mx - d/ y = mx - b/ y = a/ y = c/ y = x - mx + x- Bài Tìm giá trị tham số m để hàm số khơng có cực trị a/ y = x + 2mx - x- m b/ y = x2 - x + m x+1 x + (m - 1)x - m d/ y = x+1 b/ y = - x + mx + x- c/ y = Bài Chứng minh hàm số ln có cực đại cực tiểu " m Ỵ D x - (m + 1) x - m + 4m - x- x + m (m - 1)x - m + b/ y = x- m x + mx - m + d/ y = x- m+ x - m (m + 1) x + m + a/ y = x- m x - x + m2 - c/ y = x+1 Loại Tìm giá trị tham số m để hàm số có n cực trị thỏa điều kiện cho trước (sử dụng định lí Viét) Hàm bậc y = ax + bx + cx + d (a ¹ 0) Cách viết phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị hàm bậc ba: y = f ( x ) = ax + bx + cx + d  Bước 1: Tìm điều kiện để có cực trị là: y ' = có nghiệm phân biệt Khi đó, giả sử (x1, y1 ) , (x2, y2 ) điểm cực trị  Bước 2: Chia f (x ) cho f '(x ) ta được: f (x ) = Q(x ).f '(x ) + Ax + B Trang 20 ThuVienDeThi.com ... = b/ Hàm số khơng có cực trị d/ Hàm số khơng có cực trị Bài Tìm cực trị hàm số: a/ y = - x + 3x b/ y = x - x Trang 14 ThuVienDeThi.com c/ y = 2x - x2 - x - 8x + x- Chuyên đề khảo sát hàm số 12... ThuVienDeThi.com Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BÀI TÍNH... Để hàm số đạt cực tiểu x = x thì: í Þ m ïï f '' (x 0, m ) > ïỵ Bài Tìm tham số để hàm số: 2 a/ y = x - 3mx + 3(m - 1)x + m đạt cực đại x = Trang 15 ThuVienDeThi.com Chuyên đề khảo sát hàm số