1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Chuyên đề khảo sát hàm số 1225481

20 3 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 20
Dung lượng 404,67 KB

Nội dung

Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 ÔN TẬP NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ ĐỂ VẬN DỤNG GIẢI TỐN Vấn đề CƠNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM  (x a ) ' = a x ( x)' = ' ổ1 ữ ỗ ữ= ỗ ứ ố x a- 1 x x a a (u ) ' = a u a- u ' u' a ( u)' = u ' ổ1 u' a ỗỗ ữ ữ= - èu ø u a (e )' = u '.e ( )  (a )' = a ln a a (a )' = u '.a ln a  ex ' = ex x x u u u u ( )  u.v ' = u '.v + v '.u ' ỉu u '.v - v ' u ÷ = ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗốv ứ v2  ( sin x ) ' = cosx  (cosx ) ' = - sin x a ( sin u ) ' = u '.cosu a (cosx ) ' = - u '.sin u u'  ( t an x ) ' = a ( t an u ) ' = cos x cos2 u u'  ( cot x ) ' = a ( cot u ) ' = sin x sin2 u  ( ln x ) ' =  ( ln x ) ' =  u' u u' a ( ln u ) ' = u a ( ln u ) ' = x x (loga x ) ' = u' a (loga u ) ' = x ln a u ln a Vấn đề CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Hệ thức lượng sin2 x + cos2 x = sin x t an x = cosx + t an x = cos2x Công thức nhân đôi – nhân ba – hạ bậc t an x cot x = cosx cot x = sin x + cot x = sin2 x sin 2x = 2sin x cosx cos2x = cos2 x - sin2 x = 2cos2 x - = - 2sin2 x - cos2x + cos2x Þ sin2 x = ; cos2 x = 2 sin 3x = 3sin x - sin x (3sin – 4sỉn) cos3x = cos3 x - 3cosx (4cổ – cô) Công thức cộng cung Công thức biến đổi tổng thành tích cosa + cosb = 2cos sin (a ± b) = sin a cosb ± cosa sin b cos(a ± b) = cosa cosb m sin a sin b t an a + t an b t an (a + b) = - t an a t an b t an a - t an b t an (a - b) = + t an a t an b cosa - cosb = - 2sin sin a + sin b = 2sin Công thức biến đổi tổng thành tích 1é ù êcos(a - b) + cos(a + b)û ú 2ë ù sin a cosb = é êsin (a - b) + sin (a + b)û ú 2ë ù sin a sin b = é êcos(a - b)- cos(a + b)û ú 2ë cosa cosb = a+b cos a+b a+b a- b sin a- b a- b cos 2 a+b a- b sin a - sin b = 2cos sin 2 a Công thức tính sin a , cos a theo t = t an ìï 2t ïï sin a = 1+ t ïï ïï 1- t a Đặt t = t an Þ ïí cos a = ïï 1+ t ïï ïï t an a = 2t ïï 1- t ỵ Trang ThuVienDeThi.com Chun đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 Một số công thức khác Một số công thức khác + cos4x sin 2x = + cos4x 6 cos x + sin x = - sin 2x = t an x + cot x = sin 2x cot x - t an x = 2cot 2x cos4 x + sin x = - sin x + cosx = sin x - cosx = ổ sin ỗ ỗx + ỗ ố ổ sin ỗ xỗ ỗ ố pử ữ ổ cosỗ çx ç è æ cosç ç çx + è ÷ = ÷ ÷ 4ø pö ÷ ÷ = ÷ ÷ 4ø pö ÷ ÷ ÷ ÷ 4ø pö ÷ ÷ ÷ ÷ 4ø Vấn đề PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Phương trình lượng giác bản: ìï ïï sin x = Þ x = k p ïï éu = v + k2p ï p ê a Phương trình: Đặc biệt: ïí sin x = Þ x = + k 2p trình: sin u = sin v Û ê ïï u = p - v + k2p ê ë ïï p ïï sin x = - ị x = + k2p ùợ ìï ïï cosx = Þ x = p + k p ïï éu = v + k2p ê b Phương trình: Đặc biệt: ïí cosx = Þ x = k 2p trình: cosu = cosv Û ê ïï u = - v + l 2p ê ë ïï cosx = - Þ x = p + k2p ïï ỵ ìï t an x = Û x = k p t an u = t an v Û u = v + k p ïï c Phương trình: Đặc biệt: í trình: p ïï t an x = ± Û x = ± p + k p + kp ék : u, v ùùợ ìï ïï cot x = Û x = p + k p cot u = cot v Û u = v + k p ï d Phương trình: Đặc biệt: í trình: ïï Ðk : u, v ¹ k p p ïï cot x = ± Û x = ± + k p ïỵ Phương trình lượng giác cổ điển dạng: dạng: a sin x + b cosx = c (1)  Điều kiện có nghiệm: a + b2 ³ c2  Chia hai vế cho a a2 + b2 , ta được: (1) Û a 2 a +b b (a Ỵ sin x + b 2 a +b cosx = c a + b2 ) é0, 2p ù Phương trình trở thành: ê ú ë û a +b a +b c c sin a sin x + cos a cosx = Û cos(x - a ) = = cos b 2 a +b a + b2 Û x = a ± b + k2p (k ẻ Â ) t sin a = 2 , cos a = 2 2 Phương trình lượng giác đẳng cấp bậc hai dạng: dạng a sin x + b sin x cosx + c cos x = d (2)  Kiểm tra xem cosx = có phải nghiệm hay khơng ? Nếu có nhận nghiệm  Khi cosx ¹ , chia hai vế phương trình ( 2) cho cos2 x , ta được: a t an2 x + b t an x + c = d(1 + t an2 x )  Đặt t = t an x , đưa phương trình bậc hai theo t : (a - d)t + bt + c - d = ® t ® x Trang ThuVienDeThi.com Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 Phương trình đối xứng dạng: dạng a ( sin x ± cosx ) + b sin x cosx + c = ( 3)  Đặt t = cosx ± sin x = ( 2.cos x m p ); t £ Þ t = ± 2sin x.cosx Þ sin x.cosx = ± 2 (t - 1)  Thay vào phương trình ( 3) , ta phương trình bậc hai theo t ® t ® x Phương trình đối xứng dạng: dạng a sin x ± cosx + b sin x cosx + c = ( 4)  Đặt t = cosx ± sin x = ( cos x m p ; ÐK : £ t £ 4) Þ sin x.cosx = ± (t - 1)  Giải tương tự dạng Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu trị tuyệt đối Vấn đề PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Phương trình bậc hai: hai ax + bx + c = (1) a/ Giải phương trình bậc hai Nếu b số lẻ Nếu b số chẳn Tính D = b2 - 4ac  Nếu D < Þ Phương trình vơ nghiệm  Nếu D = Þ Phương trình có nghiệm kép: x = - b 2a Tính D ' = b '2 - ac với b ' = b  Nếu D ' < Þ Phương trình vơ nghiệm  Nếu D ' = Þ Phương trình có nghiệm kép: x = -  Nếu D > Þ Phương trình có hai b' a  Nếu D ' > Þ Phương trình có hai nghiệm é êx1 = - b '- D ' ê a phân biệt: ê ê êx2 = - b '+ D ' ê a ë é êx1 = - b - D ê 2a nghiệm phân biệt: ê ê êx2 = - b + D ê 2a ë b/ Định lí Viét Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thì:  Tổng hai nghiệm: S = x1 + x2 = - c  Tích hai nghiệm: P = x1.x2 = a b a Þ x1 - x2 = D = a D' a c/ Dấu nghiệm phương trình ìï a ¹  Phương trình có hai nghiệm phân biệt Û ïí ïï D > ỵ  Phương trình có hai nghiệm trái dấu Û a.c < ìï D >  Phương trình có hai nghiệm phân biệt dấu Û ïí ïï P > ỵ Trang ThuVienDeThi.com Chun đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 ìï D > ïï ï  Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt Û ïí P > ïï ïï S < ïỵ ìï D > ïï ï  Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt Û ïí P > ïï ïï S > ïỵ d/ So sánh hai nghiệm phương trình bậc hai g(x ) = ax + bx + c = với số  ìï ïï ïï D >  x2 > x1 > b Û ïí a.g (b ) > ïï ïï S ïï > b ỵ2 ìï ïï ïï D >  x1 < x2 < b Û ïí a.g (b ) > ïï ïï S < b ïï î  x1 < b < x2 Û a.g ( b ) < Phương trình bậc 3: ax + b ' x + c ' x + d ' = ( 2) éx = a Û (x - a ) (ax + bx + c) = Û ê êax + bx + c = ( 3) ê ë 2 Đặt g(x ) = ax + bx + c , D = b - 4ac ìï D > ï ùù g(a ) ùợ Phng trỡnh ( 2) có nghiệm phân biệt Û ( 3) có nghiệm phân biệt x ¹ a Û ïí  Phương trình ( 2) có nghiệm phân biệt Û ( 3) có nghiệm kép x ¹ a ( 3) có hai nghiệm éìï D = êï êí ờùùợù g(a ) phõn bit ú cú nghiệm x = a Û ê êìï D > êï êí êïïỵï g(a ) = ë éìï D = êï êí  Phương trình ( 2) có nghiệm Û ( 3) vơ nghiệm ( 3) có nghiệm kép x = a Û êïïï g(a ) = êỵ êD < ê ë Phương trình bậc bốn trùng phương : ax + bx + c = ( 4) 2 Đặt t = x ÐK : t ³ Phương trình ( 4) Û at + bt + c = ( 5) ìï D > ïï ï  Phương trình ( 4) có nghiệm phân biệt Û ( 5) có nghiệm dương phân biệt Û ïí P > ïï ïï S > ïỵ ìï c = ï  Phương trình ( 4) có nghiệm phân biệt Û ( 5) có nghiệm t = nghiệm t > Û ïí b ïï - > ïïỵ a  Phương trình ( 4) có nghiệm phân biệt Û ( 5) có nghiệm trái dấu ( 5) có nghiệm kép Trang ThuVienDeThi.com Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 éac < ê ê dương Û êïìï D = êí êïï S > ëỵ Phương trình chứa thức : + ìï B ³ A = B Û ïí ïï A = B ïỵ Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: Bất phương trình chứa thức: thức: + ìï A ³ (hay B ³ 0) B Û ïí ïï A = B A= ïỵ ìï B ³ + A = B Û ïí ïï A = ± B ỵ éìï B < êï êíï A ³ êïỵ + A ³ B Û ê êïì B ³ êï êíï êïïỵ A ³ B ë + A = B Û A = ±B ìï B ³ ïï ï + A £ B Û ïí A ³ ïï ïï A £ B ïỵ éA ³ B +A ³ B Û ê êA £ - B ê Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: đối: + A £ B Û - B £ A £ B ë Vấn đề HÌNH HỌC PHẲNG Trong mặt phẳng Decac Oxy cho: o Bốn điểm: A (xA , yA ) , B (xB , yB ) , C (xC , yC ) M (xo , yo ) o Đường thẳng D : ax + by + c = o Đường tròn (C m ) : (x - a) + (y - b) = R hay (C m ) : x + y - 2ax - 2by + c = có tâm 2 2 I (a, b) bán kính R = a + b2 - c uuur  Véctơ AB = (xB - xA ; yB - yA ) Þ Độ dài đoạn thẳng AB = (khoảng cách hai điểm A, B)  Để ba điểm A (xA , yA ) ; B (xB , yB ) C (xC , yC ) thẳng hàng Û ( 2 (xB - xA ) + (yB - yA ) xB - xA xC - xA = yB - yA yC - yA )  Khoảng cách từ điểm M xo, yo đến đường thẳng D : ax + by + c = là: d (M , D ) = axo + bxo + c a + b2  Để A B đối xứng qua đường thẳng D Û D đường thẳng trung trực đoạn thẳng AB uuur uuur 1 AB AC sin A = AB 2.AC - AB AC 2 1 abc b = c.hc = = p ( p - a )( p - b)( p - c) = a.ha = bh = pr 2 4R (  Diện tích ΔABC: SD ABC = ) Trong đó: R, r , p bán kính đường trịn ngoại tiếp, bán kính đường trịn nội tiếp nửa chu vi  Để A B nằm phía (khác phía) so với đường thẳng D Û (axA + byA + c) (axB + byB + c) <  Để A B nằm phía so với đường thẳng D Û (axA + byA + c) (axB + byB + c) >  Để A B nằm đường tròn hay nằm ngồi đường trịn Û PA / (Cm ) PB / (Cm ) > Û (xA2 + yA2 - 2axA - 2byA + c)(xB2 + yB2 - 2axB - 2byB + c) >  Để A B nằm hai phía khác đường trịn (1 điểm phía trong, điểm phía ngồi) Û PA / (Cm ) PB / (Cm ) < Û (xA2 + yA2 - 2axA - 2byA + c)(xB2 + yB2 - 2axB - 2byB + c) < Trang ThuVienDeThi.com Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BÀI TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Cơ sở lý thuyết Định nghĩa: + Hàm số y = f (x ) đồng biến K Û " x1, x2 ẻ K v x1 < x2 ị f (x1) < f (x2 ) + Hàm số y = f (x ) nghịch biến K Û " x1, x2 ẻ K v x1 < x2 ị f (x1) > f (x2 ) Điều kiện cần: Giả sử y = f (x ) có đạo hàm khoảng I + Nếu y = f (x ) đồng biến khoảng I f '(x ) ³ 0, " x Ỵ I + Nếu y = f (x ) nghịch biến khoảng I f '(x ) £ 0, " x Ỵ I Điều kiện đủ: Giả sử y = f (x ) có đạo hàm khoảng I + Nếu y ' = f '(x ) ³ , " x Î I [ f '(x ) = số hữu hạn điểm] y = f (x ) đồng biến I + Nếu y ' = f '(x ) £ , " x Ỵ I [ f '(x ) = số hữu hạn điểm] y = f (x ) nghịch biến I + Nếu y ' = f '(x ) = , y = f (x ) khơng đổi I Chú ý: Nếu khoảng I thay đoạn nửa khoảng y = f (x ) phải liên tục DẠNG XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU (tìm khoảng tăng - giảm) CỦA HÀM SỐ y  f x  Phương pháp giải + Bước 1: Tìm tập xác định hàm số Thường gặp trường hợp sau: -y= P (x ) Þ T XÐ : Q(x ) ¹ Q( x ) -y= Q(x ) Þ TXÐ : Q(x ) ³ P (x ) Þ T XÐ : Q(x ) > -y= Q( x ) + Bước 2: Tìm điểm y ' = f '(x ) = y ' = f '(x ) không xác định, nghĩa là: tìm đạo hàm y ' = f '(x ) Cho y ' = f '(x ) = tìm nghiệm xi với (i = 1; 2; n ) + Bước 3: Sắp xếp điểm theo thứ tự tăng dần lập bảng biến thiên để xét dấu y ' = f '(x ) + Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên, kết luận khoảng đồng biến nghịch biến hàm số - f '(x ) = y ' ³ Þ Hàm số đồng biến (tăng) khoảng……và…… - f '(x ) = y ' < Þ Hàm số nghịch biến (giảm) khoảng…và…… Một số lưu ý giải toán + Lưu ý 1: Đối với hàm phân thức hữu tỷ dấu “=” khơng xảy + Lưu ý 2: Trang ThuVienDeThi.com Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 ax + b hàm số ln đồng biến (hoặc nghịch biến) TXĐ, nghĩa cx + d  Đối với hàm dạng: y = tìm y ' > (hoặc y ' < ) TXĐ ax + bx + c ln có hai khoảng đơn điệu a 'x + b'  Đối với hàm dạng: y = ax + bx + cx + dx + e ln có khoảng đồng biến  Đối với hàm dạng: y = khoảng nghịch biến  Cả ba hàm số đơn điệu ¡ + Lưu ý 3: Bảng xét dấu số hàm thường gặp a) Nhị thức bậc nhất: y = f (x ) = ax + b , (a ¹ 0)  x - trái dấu với a ax + b b a  dấu với a b) Tam thức bậc hai : y = f (x ) = ax + bx + c , (a ¹ 0)  Nếu D < , ta có bảng xét dấu:  x dấu với a f (x )  Nếu D = , ta có bảng xét dấu:  -b 2a  x dấu với a f (x )  dấu với a  Nếu D > , gọi x1, x2 hai nghiệm tam thức f (x ) = , ta có bảng xét dấu:  x  x2 x1 dấu với a trái dấu với a dấu với a c) Đối với hàm mà có y ' = f '(x ) = có nhiều nghiệm, ta xét dấu theo nguyên tắc: (phương pháp chung)  Thay điểm lân cận xo gần xn bên ô phải bảng xét dấu vào f '(x ) [Thay số xo cho dễ tìm f (x ) f '(x ) ]  Xét dấu theo nguyên tắc: Dấu f '(x ) đổi dấu qua nghiệm đơn không đổi dấu qua nghiệm kép + Lưu ý 4: Xem lại số cách giải phương trình lượng giác thường gặp ta đưa hàm số lượng giác dạng đa thức số trường hợp + Lưu ý 5: Cách tính đạo hàm hàm số dạng hữu tỉ (phân thức) a b y= c d ax + b ad - cb Þ y' = = cx + d (cx + d ) (cx + d ) a b a c a' c' x+ b c Cách nhớ: (Anh bạn ăn cháo hai lần bỏ chạy) a ' b' b ' c ' (b ' a - a ' b) x + 2(c ' a - a ' c) x + (c ' b - b ' c) ax + bx + c y ' Þ = = 2 a ' x2 + b' x + c ' (a ' x + b ' x + c ') (a ' x + b ' x + c ') y= x2 + Cách nhớ: Tích đường chéo trừ tích đường chéo phụ Bài Tìm khoảng đơn điệu hàm số: a/ y = - x + 4x - b/ y = x - 6x + 8x + c/ y = x + 4x + d/ y = - x + 6x - 9x + e/ y = x + 3x + 3x + f/ y = Trang ThuVienDeThi.com x - 2x Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang g/ y = Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 2x - x- h/ y = - x + 2x - x+ b/ y = 3x + 1- x i/ y = x - 8x + x- c/ y = Bài Tìm khoảng đơn điệu hàm số: a/ y = ( d/ y = - 3x ) 6x + e/ y = x + - x + 3x + f/ y = - 2x x+ x+ x2 - x + 3 x - 2x Bài Tìm khoảng đơn điệu hàm số: a/ y = x + 5x + d/ y = x + 2x + b/ y = - x + - 2x + 5x - e/ y = x - 7x - 7x + 15 Bài Tìm khoảng đơn điệu hàm số sau: ù a/ y = x - sin x , x Ỵ é ê0; p ú ë û ù c/ y = sin x + cosx , é ê0; p û ú ë c/ y = 4x - x f/ y = 2x - x + 3x + ù b/ y = 2sin x + cos2x , x Ỵ é ê ë0; p ú û d/ y = sin x - cos2x + sin x + é pù ê 2ú ë û e/ y = sin2 x + cosx + , x Ỵ ê0; ú f/ y = 2sin x - Bài Chứng minh rằng: a/ Hàm số y = x + x - cosx - đồng biến ¡ é ë b/ Hàm số y = 2sin x + t an x - 3x đồng biến nửa khoảng ê0; p sin x , x Ỵ [0; p ] ) DẠNG Tìm điều kiện tham số để hàm số y  f x  đồng biến nghịch biến I Cơ sở lý thuyết Cho hàm số y = f (x, m ) với m tham số, có tập xác định D  Hàm số y = f (x, m ) đồng biến D Û y ' ³ " x Ỵ D  Hàm số y = f (x, m ) nghịch biến D Û y ' £ , " x Ỵ D  Hàm số y = f (x, m ) đồng biến ¡  Tham số m Û y ' = f '(x, m) ³ 0, " x Ỵ ¡ Û y ' ³ xỴ ¡  Hàm số y = f (x, m ) nghịch biến ¡ Û y ' = f '(x, m) £ 0, " x Î ¡ Û max y ' £ xÎ ¡  Hàm số đồng biến ¡ phải xác định ¡ II Phương pháp giải Dạng 1: Nếu y ' = f '(x, m) = ax + bx + c thì: ìï a > ïï D £ ỵ ìï a <  Để hàm số y = f (x, m ) nghịch biến (giảm) ¡ Û y ' = f '(x, m) £ 0; " x Ỵ ¡ Û ïí ïï D £ ỵ  Để hàm số y = f (x, m ) đồng biến (tăng) ¡ Û y ' = f '(x, m) ³ 0; " x Î ¡ Û ïí Chú ý: Đối với hàm phân số hữu tỉ dấu “=” khơng xảy Dạng 2: Nếu y ' = ax + b ; " x Ỵ [a ; b ] thì: ìï y '(a ) ³ ï  Để hàm số y = f (x, m ) đồng biến [a ; b ] Û y ' ³ ; " x Ỵ [a ; b ] Û í ïï y '( b ) ³ ïỵ Trang ThuVienDeThi.com Chun đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 ïì y '(a ) £ ï  Để hàm số y = f (x, m ) nghịch biến [a ; b ] Û y ' £ ; " x Ỵ [a ; b ] Û í ïï y '( b ) £ ïỵ Dạng 3: Nếu y ' = f '(x ) = ax + bx + c y ' = f '(x ) hàm khác, mà ta cần y ' = f '(x ) ³ hay y ' = f '(x ) £ khoảng (a, b) đoạn [a, b] (hoặc nửa đoạn hay nửa khoảng đó) Thì ta làm theo bước sau:  Bước 1: Tìm miền xác định y ' = f '(x )  Bước 2: Độc lập (tách) m (hay biểu thức chứa m ) khỏi biến x chuyển m vế Đặt vế lại g(x ) Lưu ý chuyển vế thành phân thức phải để ý điều kiện xác định biểu thức để xét dấu g '(x ) ta đưa vào bảng xét dấu g '(x )  Bước 3: Tính g '(x ) Cho g '(x ) = tìm nghiệm  Bước 4: Lập bảng biến thiên g '(x )  Bước 5: Kết luận: “Lớn số lớn – Bé số bé” Nghĩa là: + ta đặt m ³ g x dựa vào bảng biến thiên ta lấy giá trị m ³ số lớn bảng biến thiên () + ta đặt m £ g (x ) dựa vào bảng biến thiên ta lấy giá trị m £ số nhỏ bảng biến thiên Dạng 4: Tìm m để hàm số y = ax + bx + cx + d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) = l Ta giải sau:  Bước 1: Tính y ' = f '(x ) ìa¹ ï  Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến nghịch biến: ïí ïï D > ỵ (  Bước 3: Biến đổi x1 - x2 = l thành x1 - x2 )- (1) (2) 4x1.x2 = l  Bước 4: Sử dụng định lý Viét đưa (2) thành phương trình theo m  Bước 5: Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm III Một số lưu ý giải toán  Lưu ý 1: Cần sử dụng thành thạo định lí Viét so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số   Lưu ý 2: Ta dùng dạng tốn loại để giải tốn tìm tham số m bất phương trình tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, vơ nghiệm 1, 2, …n nghiệm, … Bài Tìm tham số m để hàm số: a/ y = x - 3x + 3(m + 2)x + 3m - đồng biến ¡ b/ y = x - ( 2m - 1) x + ( - m ) x + đồng biến ¡ c/ y = x + (m - 3) x + 2mx + đồng biến tập xác định d/ y = - x + 3x + 3(m - 1)x - 3m - giảm 2 ( - m ) x - (m + 3) x + (m + 2) x - tăng ¡ f/ y = 13(m - 1)x + (m + 1) x + 3x + đồng biến ¡ e/ y = Đáp số: a/ m ³ - d/ m = b/ - £ m £ e/ - Bài Tìm tham số m để hàm số: £ m£ - Trang ThuVienDeThi.com é ë ù û c/ m Ỵ ê6 - 3;6 + 3 ú f/ m ẻ (- Ơ ; - 1) ẩ ộ ê ë2; + ¥ ) Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 mx + - 2m nghịch biến tập xác định x+m mx - b/ y = đồng biến khoảng xác định x- m+ 2mx + c/ y = nghịch biến khoảng xác định x+m - 2x + (m + 2)x - 3m + d/ y = nghịch biến khoảng xác định x- a/ y = Đáp số: a/ - < m < b/ - < m < c/ - < m< d/ m £ 2 Bài Tìm tham số m để hàm số: ù a/ y = x - 2mx - (m + 1) x + đồng biến đoạn é ê0;2ú ë û 3 ( ) b/ y = x + 3x + (m + 1) x + 4m nghịch biến khoảng - 1;1 ( c/ y = x + 3x - mx - đồng biến khoảng 0;+ ¥ ) x - mx + (2m - 1) x - m + nghịch biến khoảng (- 2; 0) mx + e/ y = nghịch biến khoảng (- ¥ ;1) x+m mx + 6x - f/ y = nghịch biến nửa khoảng é ê ë1; + ¥ ) x+ g/ y = x + m cosx đồng biến ¡ d/ y = Đáp số: a/ m £ - e/ - £ m £ b/ m £ - 10 c/ m £ f/ - < m < - g/ m £ - Bài Tìm tham số m để hàm số: ( ) ( d/ m ³ 14 h/ - £ m £ ) a/ y = x - m + x - 2m - 3m + x + 2m - m đồng biến nửa khoảng é ê2; + ¥ ë ) x  (m  1).x  (m  4m  3).x  m đồng biến nửa khoảng é ê ë1; + ¥ ) c/ y  x  (m  1).x  m.(m  2).x  đồng biến đoạn é 4;9ù ê ú ë û d/ y  x  mx  (2m  m  7).x  2(m  1).(2m  3) đồng biến nửa khoảng é ê ë2; + ¥ ) b/ y  Bài Tìm giá trị thực m để hàm số: a/ y = x + 3x + mx + m giảm đoạn có độ dài b/ y = - x + x - ( - m ) x + tăng đoạn có độ dài Đáp số: a/ m = b/ m = 14 DẠNG Ứng dụng tính đơn điệu chứng minh bất đẳng thức Phương pháp giải  Bước 1: Chuyển bất đẳng thức dạng f (x ) > (hay < , ³ , £ ) Xét hàm số y = f (x ) tập xác định đề định miềm xác định toán mà ta phải tìm  Bước 2: Xét dấu y ' = f '(x ) Suy hàm số đồng biến (hay nghịch biến) Trang 10 ThuVienDeThi.com Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093  Bước 3: Dựa vào định nghĩa đồng biến (hay nghịch biến) để kết luận Tức là: + Hàm số y = f (x ) đồng biến K Û " x1, x2 ẻ K v x1 < x2 ị f (x1) < f (x2 ) + Hàm số y = f (x ) nghịch biến K Û " x1, x2 ẻ K v x1 < x2 ị f (x1) > f (x2 ) Một số lưu ý giải toán  Lưu ý 1: Trong trường hợp ta chưa xét dấu f '(x ) ta đặt h(x ) = f '(x ) quay lại tiếp tục xét dấu h '(x ) … xét dấu thơi  Lưu ý 2: Nếu bất đẳng thức có hai biến ta đưa bất đẳng thức dạng f (a) < f (b) Xét tính đơn điệu hàm số f (x ) khoảng (a, b) Bài Chứng minh é pù ê 2ú ë û æ pö c/ t an x > sin x, " x ẻ ỗ 0; ữ ỗ ữ ố 2ứ a/ sin x £ x, " x Ỵ ê0, ú b/ t an x > x, " x Ỵ ỉ pư ữ , " x ẻ ỗỗ0; ữ ố 2ứ 3! x3 ổ pử , " x ẻ ỗỗ0; ữ f/ t an x > x + ÷ è 2ø æ pö æ pö a sin x + t an x > x, " x ẻ ỗ 0; ữ ữ ỗ ố 2ứ 3 b sin x < x - c sin x > 2x p , " x Ỵ d x sin 1 < + 1- , " x Ỵ p sin x x g x > , " x ẻ (1; + Ơ ổ pử ữ ỗ0; ữ ỗ ố 2ứ ) x3 + x5 120 , "x > , " x Ỵ ( 0; + ¥ ) x 6x 1 x2 f + x < + x < + x, " x > x ổ pử ữ ỗ0; ữ h 28/ sin2 x < ( p - x ) , " x ẻ ỗ ố 2ứ p (0; p 2) x x3 d/ sin x > x - ữ ỗ0; ữ e/ t an x + 2sin x > 3x, " x ẻ ỗ ố 2ứ Bi Chng minh rng e (0; p 2) > 1- DẠNG Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình – bất phương trình có chứa tham số m ( ) Bài tốn Tìm m để phương trình f x; m = có nghiệm D ? () ( )  Bước Độc lập (tách) m khỏi biến số x đưa dạng f x = A m ()  Bước Lập bảng biến thiên hàm số f x D ( )  Bước Dựa vào bảng biến thiên xác định giá trị tham số m để đường thẳng y = A m nằm ngang cắt () đồ thị hàm số y = f x () ( )  Bước Kết luận giá trị cần tìm m để phương trình f x = A m có nghiệm D Lưu ý: ( ) có GTLN GTNN D giá trị m cần tìm m thỏa mãn: f (x ) £ A (m ) £ max f (x ) + Nếu hàm số y = f x D D + Nếu toán u cầu tìm tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta cần dựa vào bảng biến thiên để xác định cho đường thẳng y = A m nằm ngang cắt đồ thị hàm số y = f x k điểm phân ( ) () biệt Bài tốn Tìm m để bất phương trình f x; m ³ f x; m £ có nghiệm D ? ( ) ( Trang 11 ThuVienDeThi.com ) Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 () ( ) () ( )  Bước Độc lập (tách) m khỏi biến số x đưa dạng f x ³ A m f x £ A m ()  Bước Lập bảng biến thiên hàm số f x D  Bước Dựa vào bảng biến thiên xác định giá trị tham số m để bất phương trình có nghiệm: + Với bất phương trình f x ³ A m m cho tồn phần đồ thị nằm đường () ( ) ( ) (khi max f (x ) $) + Với bất phương trình f (x ) £ A (m ) m cho tồn phần đồ thị nằm đường thẳng y = A (m ), tức A (m ) ³ f (x ) (khi f (x ) $) Bài tốn Tìm tham số m để bất phương trình f (x ) ³ A (m ) f (x ) £ A (m ) nghiệm " x Î D ? + Bất phương trình f (x ) ³ A (m ) nghiệm " x Ỵ D Û f (x ) ³ A (m ) ( ) ( ) thẳng y = A m , tức A m £ max f x D D D D D () ( ) () ( ) + Bất phương trình f x £ A m nghiệm " x Ỵ D Û max f x £ A m D Lưu ý: + Các toán liên quan h phng trỡnh, h bt phng trỡnh ắ ắđ ta cần biến đổi chuyển phương trình bất phương trình + Khi đổi biến, cần quan tâm đến điều kiện biến LOẠI Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình có chứa tham số m Bài Tìm tham số thực m để phương trình: a/ x + 3x + = m có nghiệm thực b/ m x + = x + m có nghiệm thực phân biệt c/ ù x - 4x + ³ x - 4x + m có nghiệm thực đoạn é ê2; 3û ú ë Đáp số: a/ m ³ b/ - < m < Bài Tìm tham số thực m để phương trình: c/ m £ - a/ x  mx   x  có hai nghiệm phân biệt b/ x   x   x  x  m có nghiệm c/ x   m x   x  có nghiệm d/  x  x   mx có nghiệm Đáp số: a/ m  b/   m  10 c/ 1  m   m  1 d/  m  Bài Tìm tham số thực m để phương trình: a/  x   x  3  x 6  x   m có nghiệm b/ x  x   x  x   m có nghiệm LOẠI Ứng dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình có chứa tham số Bài Tìm m để bất phương trình x    x  m có nghiệm Trang 12 ThuVienDeThi.com Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 Đáp số: m  14 Bài Tìm tham số Đáp số: m  m để bất phương trình sau có nghiệm: 1 mx  x   m  4  x 6  x   x  x  m Bài Tìm m để bất phương trình (1) nghiệm với x  4;6 Đáp số: m  Bài Tìm m để bất phương trình m x   x  m có nghiệm với x Đáp số: m   BÀI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Cơ sở lý thuyết Khái niệm cực trị hàm số: Giả sử hàm số y = f (x ) xác định tập D D Ì ¡ ( )và xo Ỵ D ( ) ( ) + xo điểm cực đại hàm số y = f (x ) $ a, b Ỵ D xo Ỵ (a, b) cho f (x ) < f xo , " x Î (a;b) \ {xo } Khi đó: f (xo ) gọi giá trị cực đại y = f (x ) () ( ) ( ) + xo điểm cực tiểu hàm số y = f (x ) $ a, b Ỵ D xo Ỵ (a, b) cho f x > f xo , " x Ỵ (a;b) \ {xo } Khi đó: f (xo ) gọi giá trị cực tiểu y = f (x ) + Nếu xo điểm cực trị hàm số y = f (x ) điểm (xo ; f (xo )) gọi điểm cực trị đồ thị hàm số y = f (x ) Điều kiện cần để hàm số có cực trị (Định lý Ferman) Nếu hàm số y = f (x ) có đạo hàm xo đạt cực trị điểm f ' (xo ) = Nghĩa hàm số y = f (x ) đạt cực trị điểm mà đạo hàm khơng có đạo hàm Điều kiện đủ để hàm số có cực trị a Định lý 1: Giả sử hàm số y = f (x ) liên tục khoảng (a;b) É xo có đạo hàm (a, b) \ { xo } + Nếu f '(x ) đổi dấu từ âm sang dương x qua xo y = f (x ) đạt cực tiểu xo + Nếu f '(x ) đổi dấu từ dương sang âm x qua xo y = f (x ) đạt cực đại xo x f '(x ) a – f(a) a f '(x ) + y = f (x ) b + f(b) cực tiểu f(xo) y = f (x ) x xo xo f(xo) cực đại f(a) b – f(b) b Định lý 2: Giả sử hàm số y = f (x ) có đạo hàm (a; b) É xo ; f ' (xo ) = f '' (xo ) ¹ + Nếu f '' (xo ) < y = f (x ) đạt cực đại xo Trang 13 ThuVienDeThi.com Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 + Nếu f '' (xo ) > y = f (x ) đạt cực tiểu xo DẠNG TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Phương pháp giải  Qui tắc 1: Dùng định lý  Bước 1: Tìm miền xác định Tính y ' = f '(x )  Bước 2: Tìm điểm xi (i = 1, 2, , n ) y ' = f '(x ) = y ' = f '(x ) không xác định  Bước 3: Xét dấu f '(x ) , từ suy điểm cực trị dựa vào định lý  Qui tắc 2: Dùng định lý  Bước 1: Tìm miền xác định Tính y ' = f '(x )  Bước 2: Tìm điểm xi (i = 1, 2, , n ) y ' = f '(x ) = y ' = f '(x ) không xác định  Bước 3: Xét dấu f ''(x ) f ''(xi ) - Nếu f ''(xi ) < hàm số đạt cực đại xi - Nếu f ''(xi ) > hàm số đạt cực tiểu xi Một số lưu ý giải tốn  Có qui tắc tìm cực trị dựa vào định lí (qui tắc 1) định lí (qui tắc 2):  Nếu việc xét dấu đạo hàm bậc dễ dàng, nên dùng qui tắc  Nếu việc xét dấu khó khăn (ví dụ tốn mà hàm số cho có dạng lượng giác, tốn có chứa tham số), nên dùng qui tắc  Nếu y ' không đổi dấu qua nghiệm (nghiệm kép) hàm số khơng có cực trị  Đối với hàm bậc y ' = có nghiệm phân biệt điều kiện cần đủ để hàm có cực trị  Khơng cần xét hàm số y = f (x ) có hay khơng có đạo hàm điểm x = xo bỏ qua điều kiện “hàm số liên tục điểm xo ” ìï y '(x ) = o  Hàm số đạt cực trị xo Û ùớ ùù y ''(xo ) ợ i với hàm số thức ta không xét dấu bậc 1, bậc chọn điểm để xét dấu Bài Tìm cực trị hàm số sau: a/ y = x + 3x + 3x + d/ y = x - 6x + 9x - c/ y = - e/ y = - x + 6x - 8x + f/ y = x - 2x - ( ) Đáp số:a/ Hàm số khơng có cực trị () c/ yCÐ = y = x + x - 2x b/ y = x + 3x - 9x + () b/ yCÐ = y - = 31; yCT = y = - ổ1ử 11 ữ ; yCT = y ỗ = ỗỗ ữ ữ ữ ố2ứ ( ) d/ hàm số khơng có cực trị e/ yC D = y - = 25 ; Hàm số cực tiểu () () ( ) f/ yCÐ = y = - ; yCT = y = y - = - Bài Tìm cực trị hàm số sau: a/ y = - 2x x- b/ y = 3x + 1- x Đáp số:a/ Hàm số khơng có cực trị c/ yCÐ = y = ; yCT = y - = 12 () ( ) c/ y = - x + 2x - x+2 d/ y = b/ Hàm số khơng có cực trị d/ Hàm số khơng có cực trị Bài Tìm cực trị hàm số: a/ y = - x + 3x b/ y = x - x Trang 14 ThuVienDeThi.com c/ y = 2x - x2 - x - 8x + x- Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 ( 2x - d/ y = 2x + - ) ( e/ y = x x + Đáp số: () ( 2)= - ; y () a/ yCÐ = y = ; yCT = y = b/ yCT = y - () ( 2)= () () f/ yCÐ = y = ; yCT = y = - Bài Tìm cực trị hàm số: a/ y = sin 2x - x b/ y = 2sin 2x - é pù ê 2ú ë û d/ y = cosx sin x ê0; ú c/ y = - 2cosx - cos2x Đáp số: ö = y d/ yCT = y 2 = + Hàm số khơng có điểm cực đại e/ yCÐ = y - = ; yCT = y = ổp ỗố6 Cé x ( ) c/ Hàm số khơng có cực đại ( ) ) f/ y = x - ỉp ỉ p p ữ ỗỗ + k p ữ ữ ữ yCT = y ỗ + k p = - + - kp ỗ ữ ữ ỗ ỗ ÷ ÷ ÷ ø è6 ø è ứ ổp ổp ỗỗ + (2k + 1) p ữ ữ ữ b/ yCé = y ỗ = y = y = - ỗỗ + k p ữ ữ ữ CT ỗố4 ữ ữ 2ứ è4 ø ỉ 2p c/ yCÐ = y ç ± + k 2p ÷ ÷ ÷= yCT = y (k p ) = 2(1 - cosk p ) ỗ ố ứ ữ a/ yCé = y ỗ ỗ + kpữ ữ= () d/ Hàm số đạt cực đại x = b ; y b = 12 với sin b = 3 DẠNG TÌM THAM SỐ m ĐỂ HÀM SỐ CĨ CỰC TRỊ TẠI x Bài tốn 1: Cho hàm số y = f (x, m) Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị điểm x = x Phương pháp giải + Tìm tập xác định + Tính y ' = f '(x, m) + Để hàm số đạt cực trị x = x thì: f '(x 0, m) = Þ m Bài tốn 2: Cho hàm số y = f (x, m) Tìm tham số m để hàm số đạt cực đại điểm x = x Phương pháp giải + Tìm tập xác định + Tính y ' = f '(x, m); y '' = f ''(x, m) ìï f ' (x , m ) = ï Þ m ïï f '' (x 0, m ) < ïỵ + Để hàm số đạt cực đại x = x thì: ïí Bài tốn 3: Cho hàm số y = f (x, m) Tìm tham số m để hàm số đạt cực tiểu điểm x = x Phương pháp giải + Tìm tập xác định + Tính y ' = f '(x, m); y '' = f ''(x, m) ìï f ' (x , m ) = ï + Để hàm số đạt cực tiểu x = x thì: í Þ m ïï f '' (x 0, m ) > ïỵ Bài Tìm tham số để hàm số: 2 a/ y = x - 3mx + 3(m - 1)x + m đạt cực đại x = Trang 15 ThuVienDeThi.com Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 b/ y = - (m + 5m )x + 6mx + 6x - đạt cực tiểu x = 3 2 c/ y = x - 2x + mx + đạt cực tiểu x = d/ y = mx + 3x + 12x + đạt cực đại điểm x = x + mx + e/ y = đạt cực đại x = x+m Đáp số a/ m = b/ m = - c/ m = d/ m = - e/ m = - Bài Tìm tham số m để hàm số: a/ y = x - mx + (m - m + 1)x + đạt cực trị x = Khi hàm số đạt cực đại hay cực tiểu Tìm cực trị tương ứng b/ y = - x + mx - để hàm số nhận điểm M (2; 0) làm điểm cực đại c/ y = 2(m - 3) sin x - 2m sin 2x + 3m - đạt cực tiểu x = Đáp số a/ m = b/ m = p c/ m = Bài Tìm tham số a, b để hàm số: a/ y = x4 + ax + b có cực trị x = - giá trị cực trị tương ứng hàm số - 5 b/ y = a x + 2ax - 9x + b có giá trị cực trị số dương xo = điểm cực đại 9 128 140 Đáp số:a/ a = - ;b = b/ a = a = ; b ³ ; b³ 25 27 27 Bài Tìm giá trị tham số để hàm số : a/ y = x + mx + (m + 1) x - có cực trị x = Khi hàm số đạt cực đại hay cực tiểu ? Tính giá trị cực trị tương ứng b/ y = 2x - ( - 2m ) x + ( m - 5) x - có cực trị x = Khi hàm số đạt cực đại hay cực tiểu Tính giá trị cực trị tương ứng c/ y= x + 2mx - có điểm cực trị x = - Khi hàm số đạt giá trị cực tiểu hay cực đại Tính giá x+1 trị cực trị tương ứng ỉ 2ư d/ y = x - mx + ỗ m- ữ ỗ ữx + đạt cực trị x = Khi đó, điểm cực đại hay cực tiểu, tính giá è 3ø trị cực trị cịn lại (nếu có) Bài Tìm giá trị tham số a;b để hàm số : x - (2a + b) x - a - b đạt giá trị cực đại x = b/ y = - x + (a - 3b) x - 3a + b đạt giá trị cực tiểu x = c/ y = x - ( 3a - 2b) x - a + 2b có giá trị cực trị x = Khi hàm số đạt cực tiểu hay a/ y = cực đại ax + bx + ab đạt cực trị x = x = bx + a ax + 2x + b e/ y = đạt cực đại x = x2 + x + ax + b d/ y = để hàm số đạt cực trị –6 x = - x- Bài Tìm giá trị tham số a;b; c để hàm số : d/ y = Trang 16 ThuVienDeThi.com Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang 3 Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 a/ y = x + ax + bx + c đạt cực trị điểm x = - đồ thị hàm số qua điểm A ( 0,1) b/ y = x + ax + bx + c đạt cực tiểu điểm A (1, - 3) đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ c/ y = ax + bx + c để đồ thị qua gốc tọa độ O đạt cực trị - x = Bài Tìm giá trị tham số a;b; c; d để hàm số : 3 a/ y = ax + bx + cx + d đạt cực tiểu điểm x = 0, f ( 0) = đạt cực đại x = , có giá trị cực đại b/ y = ax + bx + cx + d đạt cực tiểu x = đạt cực đại x = 27 DẠNG BIỆN LUẬN HOÀNH ĐỘ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Hàm số y = f (x ) có n cực trị  y’ = có n nghiệm phân biệt Một số lưu ý giải toán  Lưu ý 1: Hoành độ cực trị thường nghiệm phương trình bậc Do đó, ta cần phải nắm vững kiến thức phương trình bậc như: Định lý Viét, so sánh nghiệm phương trình bậc với số  bất kỳ, điều kiện có nghiệm phương trình, … đồng thời, liên quan đến số tính chất hình học phẳng ax + bx + c có cực đại cực dx + e  Lưu ý 2: Hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d hàm hữu tỉ y = ìï a ¹ tiểu (2 cực trị) Û y ' = có hai nghiệm phân biệt Û ïí ïï D > ỵ  Lưu ý 3: Để A B thuộc hai nhánh đồ thị dạng y = ax + b ax + bx + c y = điểm A cx + d ex + d B phải nằm hai phía so với đường tiệm cận đứng tương ứng đồ thị y y TCĐ: x = – d/c TCN: y = – a/c TCĐ: x = – d/e A A O B (C): y = x O ax + b cx + d B ax + bx + c (C): y = ex + d y A x – d/c B d B A x1 O x2 x I B Trang 17 ThuVienDeThi.com Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093  Lưu ý 4: Cực trị hàm bậc bốn : y = ax + bx + cx + d é x= ê4ax + 3bx + 2c = = g (x ) (2) + Ta có: y ' = 4ax + 3bx + 2cx Þ y ' = Û ê ê ë ìï D > ï + Hàm số có cực trị (2) có hai nghiệm phân biệt khác ( ) ùù g (0) ùợ Khi đó: Hàm số có cực tiểu, cực đại a > Hàm số có cực đại, cực tiểu a < + Hàm số có cực trị (2) có nghiệm kép vơ nghiệm có nghiệm x = ìï D < Û ïí ïï g (0) = ïỵ Khi đó: Hàm có cực tiểu a > (nghĩa có cực tiểu mà khơng có cực đại) Hàm số có cực đại a < (nghĩa có cực đại mà khơng có cực tiểu) Loại Tìm giá trị tham số m để hàm số n cực trị , khơng có cực trị Hàm bậc y = ax + bx + cx + d (a ¹ 0) 3 ( ) (* ) Hàm bậc 3: y = ax + bx + cx + d a ¹ Phương pháp giải: - Ta có: y ' = 3ax + 2bx + c Þ y ' = Û 3ax + 2bx + c = (1) ìï a ¹ ï ïï D (1) > ïỵ + Hàm số * có cực trị  có hai nghiệm phân biệt Û ïí () () ìï a ¹ ï ïï D (1) £ ïỵ + Hàm số * khơng có cực trị  có nghiệm kép vơ nghiệm Û ïí () () Bài Tìm giá trị tham số m để hàm số có cực trị a/ y = x - 3mx + (m + 2)x + 3m + 3 æm - 3ư ÷x - ( - m ) x + 2x - d/ y = çç è ø÷ c/ y = (m + 2) x + 3x + mx - e/ y = x + mx + (2m + 3)x + 3 2 c/ y = x - 3(m - 1)x + (2m - 3m + 2)x - m (m - 1) e/ y = - x + ( - m ) x - ( - 3m ) x + 2m Bài Tìm giá trị tham số m để hàm số khơng có cực trị a/ y = x - 3mx + 3mx + 3m + c/ y = ( + m ) x - ( 2m + 8) x + x + Bài Chứng minh hàm số: f/ y = ( + m ) x - ( 2m + 8) x + x + Bài Tìm giá trị tham số m để hàm số có cực trị a/ y = x + (m - 2) x - (m + 2) x - 3 b/ y = - x + (m + 1) x - 3x b/ y = 2x - (m - 2)x + (6 - 3m)x + m + d/ y = (1 - m ) x + (m + 2) x - (m - 1) x + m + ỉm - 3ư ÷ ÷x - ( - m ) x + 2x - ứ f/ y = ỗ ỗố 3 b/ y = x + (m - 1) x + 3x - d/ y = x - ( 2m - 1) x + 3x + Trang 18 ThuVienDeThi.com Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 x - mx - x + m + ln có cực đại cực tiểu với giá trị m 3 b/ y = 2x - 3( 2m + 1) x + 6m (m + 1) x + đạt cực trị x1, x2 với giá trị m biểu thức x2 - x1 không phụ thuộc vào m a/ y = Hàm bậc trùng phương y = ax + bx + c (a ¹ 0) Hàm bậc trùng phương : y = ax + bx + c (a ¹ 0) (* ) Phương pháp giải: é x= 4ax + 2b = = g (x ) (1) ê ë  Ta có: y ' = 4ax + 2bx = x 4ax + 2b Þ y ' = Û ê ê ( ) ìï g (0) ¹ ï  Hàm số (* )có cực trị  (1) có hai nghiệm phân biệt khác Û í ïï D (1) > ïỵ Khi đó: Hàm số có cực tiểu, cực đại a > Hàm số có cực đại, cực tiểu a <  Hàm số có cực trị (1) có nghiệm kép vơ nghiệm có nghiệm x = éD £ ê Û ê () Û g (0) = ê ë ïïì D < Û í ïïỵï g (0) = ïìï a.b > í ïỵï b = Khi đó: Hàm số có cực tiểu a > (nghĩa có cực tiểu mà khơng có cực đại) Hàm số có cực đại a < (nghĩa có cực đại mà khơng có cực tiểu) Chú ý: Hàm bậc trùng phương:  Ln có cực trị  Nếu có cực trị cực trị ln tạo thành tam giác cân đỉnh thuộc trục oy Bài Tìm giá trị tham số m để hàm số có cực trị a/ y = x - 2(m - 4) x + 2m - c/ y = x + (m - 4)x + d/ y = mx + (m - 9)x + 10 Bài Tìm giá trị tham số m để hàm số có cực trị a/ y = x + 2(m + 1) x + 2 b/ y = mx + (m - 1)x + - 2m c/ y = x - mx + 4x + m d/ y = Bài Tìm giá trị tham số m để hàm số có cực trị a/ y = 2x + 8mx + ( 8m + 1) x b/ y = x + 2(m + 1) x + 1 x - (m - 1) x + m - m 4 b/ y = x + (m - 1) x + 2 c/ y = x - 2mx + 2m - d/ y = (m - 2) x + 2mx + m - Bài Chứng minh hàm số ln có cực đại cực tiểu " m Ỵ D x + mx + (m + 3) x - 4m 3 c/ y = x + (m - 2) x - (m + 2) x - a/ y = - x + (2m - 1) x - (m - m - 3)x + 3 2 d/ y = x - 3mx + 3(m - 1)x - m b/ y = - Hàm phân thức ax + bx + c y = f (x ) = dx + e Trang 19 ThuVienDeThi.com Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Hàm phân thức: y = f (x ) = Phương pháp giải: Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 ax + bx + c dx + e (* ) ỡù dx + e ị f '(x ) = Û ïí  Ta có: y ' = f '(x ) = ïï ad.x + 2aex + bc + dc = = g (x ) (dx + e) ïỵ ìï ỉ e ữ ù g ỗỗ- ữ ù e ữạ ù ữ ỗ d ố ứ Hm số (* )có cực trị  (1) có hai nghiệm phân biệt khác x ¹ ïï d ïï D (1) > ợ ỡù ad ù Hàm số (* ) khơng có cực trị  (1) có nghiệm kép vơ nghiệm Û í ïï D (1) £ ïỵ + bc + dc ad.x + 2aex (1) Bài Tìm giá trị tham số m để hàm số có cực trị x - x + m2 - x+1 x - (m + 1) x - m + c/ y = x- Bài Tìm giá trị tham số m để hàm số có cực trị x - (m + 1) x - m + 4m - a/ y = x- mx - (m - 2) x - x+ 2 x + mx - d/ y = mx - b/ y = a/ y = c/ y = x - mx + x- Bài Tìm giá trị tham số m để hàm số khơng có cực trị a/ y = x + 2mx - x- m b/ y = x2 - x + m x+1 x + (m - 1)x - m d/ y = x+1 b/ y = - x + mx + x- c/ y = Bài Chứng minh hàm số ln có cực đại cực tiểu " m Ỵ D x - (m + 1) x - m + 4m - x- x + m (m - 1)x - m + b/ y = x- m x + mx - m + d/ y = x- m+ x - m (m + 1) x + m + a/ y = x- m x - x + m2 - c/ y = x+1 Loại Tìm giá trị tham số m để hàm số có n cực trị thỏa điều kiện cho trước (sử dụng định lí Viét) Hàm bậc y = ax + bx + cx + d (a ¹ 0) Cách viết phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị hàm bậc ba: y = f ( x ) = ax + bx + cx + d  Bước 1: Tìm điều kiện để có cực trị là: y ' = có nghiệm phân biệt Khi đó, giả sử (x1, y1 ) , (x2, y2 ) điểm cực trị  Bước 2: Chia f (x ) cho f '(x ) ta được: f (x ) = Q(x ).f '(x ) + Ax + B Trang 20 ThuVienDeThi.com ... = b/ Hàm số khơng có cực trị d/ Hàm số khơng có cực trị Bài Tìm cực trị hàm số: a/ y = - x + 3x b/ y = x - x Trang 14 ThuVienDeThi.com c/ y = 2x - x2 - x - 8x + x- Chuyên đề khảo sát hàm số 12... ThuVienDeThi.com Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BÀI TÍNH... Để hàm số đạt cực tiểu x = x thì: í Þ m ïï f '' (x 0, m ) > ïỵ Bài Tìm tham số để hàm số: 2 a/ y = x - 3mx + 3(m - 1)x + m đạt cực đại x = Trang 15 ThuVienDeThi.com Chuyên đề khảo sát hàm số

Ngày đăng: 28/03/2022, 21:58

w