sáng kiến kinh nghiệm chuyên đề khảo sát hàm số phân thức

MỤC LỤC Trang Phần MỞ ĐẦU 02 1.Lý chọn sáng kiến…………………………………………… 02 2.Mục đích sáng kiến…………………………………………… 03 Phạm vi, đối tượng áp dụng sáng kiến……………………… 03 4.Thời gian thực triển khai sáng kiến 03 Phần NỘI DUNG……………………………………………… 03 I Cơ sở lý luận sáng kiến…………………………………… 03 II Thực trạng sáng kiến…………………………………… 04 III Các biện pháp giải vấn đề…………………………… 05 IV Hiệu sáng kiến…………………………………… 23 Phần KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ………………………… 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT 26 THPT (Trung học phổ thơng) PTTT (Phương trình tiếp tuyến) PHẦN 1: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Bài toán khảo sát hàm số tốn liên quan, ln thể tính đặc trưng , toàn diện HÀM SỐ khái niệm bao trùm phân mơn đại số giải tích Đối với học sinh trường THPT nhắc tới toán hàm số phân thức, tiềm thức học sinh suy nghĩ tới vấn đề khảo sát, tiếp tuyến, giá trị lớn nhỏ nhất, toán biện luận (Vấn đề mà học sinh cảm thấy khó khăn làm dạng toán này) Bên cạnh thực trạng đầu vào với nhiều học sinh yếu vấn đề khó khăn trở ngại lớn giáo viên dạy ôn thi tốt nghiệp lớp 12 + Trong học sinh tồn tiềm thức hàm số phân thức hàm số khó + Rất nhiều học sinh có đầu vào thấp, kiến thức em bị rỗng nhiều dẫn tới dù phép biến đổi đơn giản lại khó khăn với em Hoặc em dễ tính nhầm + Thực trạng cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT gồm 20-30% số điểm khảo sát tốn có liên quan Là giáo viên trực tiếp đứng lớp, trực tiếp ôn thi tốt nghiệp cho em nhiều năm Tôi trăn trở làm để nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Tốn nhằm giúp em đỗ tốt nghiệp THPT, vấn đề cốt lõi 12 năm đèn sách Làm để học sinh không cảm thấy băn khoăn, trở ngại gặp toán Trước thay đổi GDĐT kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm học 2015-2016 nhằm trang bị cho học sinh kiến thức bản, quan trọng để em có kiến thức tốt thi Trên sở 20-30% số điểm toán khảo sát hàm số toán liên quan đề thi tốt nghiệp THPT, toán hàm số phân thức tốn có bước tổng qt, cốt lõi vấn đề tư tưởng ngại tiếp cận với hàm số phân thức lượng lớn học sinh Từ kinh nghiệm giảng dạy, tích lũy chun mơn, phụ đạo học sinh yếu bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 12, luyện thi Tốt nghiệp, ĐH-CĐ, lựa chọn phân dạng cho toán hàm số phân thức từ đơn giản đến phức tạp, để giúp cho đối tượng học sinh khơng bị thụ động đa dạng tốn, liều thuốc bình tĩnh để học sinh dựa vào hoạt động học tập khảo thí Từ đó, tơi lựa chọn đề tài ": Chuyên đề khảo sát hàm số ''các toán liên quan tới hàm số phân thức'' mong muốn giúp học sinh u thích mơn Tốn, học sinh học lớp 12, ôn thi Tốt nghiệp lồng ghép ĐH-CĐ kỳ thi quốc gia năm học 2015-2016, làm tài liệu tham khảo để ôn luyện kiểm tra kiến thức mình, vững vàng, tự tin, làm tốt dạng tập liên quan tới hàm số phân thức 2 Mục đích sáng kiến - Nhằm giúp học sinh củng cố kiến thức hàm số phân thức, học sinh biết quy từ toán lạ tốn quen thuộc, từ có hướng giải cụ thể đạt kết cao học tập, kì thi tốt nghiệp THPT tới - Tổng hợp số dạng tập toán liên qua tới hàm số phân thức - Giúp giáo viên, học sinh hệ thống thêm kiến thức dạng toán - Tuyển chọn xếp tốn theo trình tự hợp lý để giúp học sinh dễ dàng tiếp cận kiến thức Phạm vi, đối tượng áp dụng sáng kiến - Đối tượng nghiên cứu: Là học sinh trường THPT Nguyễn Lương Bằng chủ yếu học sinh khối 12 - Phạm vi nghiên cứu: Hệ thống số dạng toán hàm số phân thức chương trình THPT Thời gian thực triển khai sáng kiến - Thời gian thực sáng kiến năm học 2014-2015 năm học 2015-2016 - Thời gian triển khai sáng kiến, học kỳ năm học 2015-2016 PHẦN NỘI DUNG I Cơ sở lý luận sáng kiến Cơ sở lí thuyết Các tốn giải đơn giản nhờ cách quy lạ quen , nhận biết từ trực quan qua trình biến đổi để đưa dạng tổng quát +) Lý thuyết: ax  b (c �0, ad  bc �0) ta có: cx  d �d � Tập xác định D  R \ � � �c ad  bc f '( x )  (dấu đạo hàm phụ thuộc vào tử số ) (cx  d ) Cho hàm số f ( x)  Như từ toán hàm số phân thức ta quy xét dấu tử số ad  bc biểu thức có giá trị ln dương ln âm ( biểu thức quen thuộc với học sinh ) TH1: ad  bc  Ta có: f '( x)  ad  bc d  (x � ) (cx  d ) c *Có kết luận phù hợp +) Hàm số khơng có cực trị +) Hàm số nghịch biến toàn tập xác định ad  bc d TH2: ad  bc  Ta có: f '( x)  (cx  d )2  (x � c ) *Có kết luận phù hợp +) Hàm số khơng có cực trị +) Hàm số đồng biến toàn tập xác định +) Ghi nhớ: Hàm số f ( x )  ax  b (c �0, ad  bc �0) luôn cực trị cx  d Định hướng kiểm tra toán hàm số phân thức dựa vào dấu số ad-bc ( điều xác định chép xong đề bài) Cơ sở lý luận Trong chuyên đề chủ yếu tổng hợp dạng toán hàm số phân thức để chương trình sách giáo khoa, thi tốt nghiệp THPT Đại học,cao đẳng, trung học chuyên nghiệp Trước thực tế học sinh không phân loại kiến thức liên quan tới tập hàm số phân thức trường THPT Nguyễn Lương Bằng, tổng hợp cho học sinh dạng toán tạo sở cho học sinh tích lũy phát huy khả vận dụng làm tốn Sáng kiến kinh nghiệm cung cấp cho học sinh không kiến thức mà phương pháp suy luận, khả tư Từ kiến thức phải dẫn dắt học sinh có kiến thức nâng cao cách tự nhiên Sau khảo sát việc làm toán phần khảo sát hàm số hàm số phân thức để áp dụng sáng kiến dạy cho học sinh đầu năm học 2015-2016 cho học sinh lớp 12A2,12A4,12A6 trường THPT Nguyễn Lương Bằng nhận thấy tỷ lệ sau: Không Nhận biết, Nhận biết Nhận biết biết nhận vận dụng, vận dụng, giải biết biết vận dụng chưa giải được hoàn hoàn chỉnh chỉnh Số lượng 15 13 28 27 Tỉ lệ ( %) 18% 26% 34% 33% II Thực trạng sáng kiến Thuận lợi - Học sinh chủ động hoạt động tự học tiết học lớp nhà - Sau áp dụng sáng kiến học sinh hoạt động làm tâp hứng thú hơn, áp dụng tốt vào làm dạng toán liên hàm số bậc Khó khăn - Giáo viên nhiều thời gian để chuẩn bị dạng tập - Đa số học sinh kiến thức chưa nắm vững, áp dụng vào tính tốn với kỹ chưa tốt Số liệu thống kê Trong năm trước, gặp toán liên quan đến hàm số bậc khảo sát hàm số số lượng học sinh lớp 12A1,12A3,12A4 năm học 2014-2015 trường THPT Nguyễn Lương Bằng biết vận dụng thể qua bảng sau: Không Nhận biết, Nhận biết Nhận biết biết nhận vận vận dụng , giải biết biết vận dụng dụng ,chưa giải hoàn được hoàn chỉnh chỉnh Số lượng 30 30 20 13 Tỉ lệ ( %) 32% 32% 22% 14% III Các biện pháp giải vấn đề 1- Biện pháp chung Giáo viên cần nghiên cứu sách giáo khoa mơn tốn THPT; đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông bổ túc trung học phổ thông, đại học, cao đẳng qua năm; tài liệu đề thi tuyển sinh mơn tốn, khai thác tài liệu mạng Từ tìm phương pháp dạy tối ưu chuyên đê khảo sát hàm số phân thức, phân loại thành dạng khác từ dễ đến khó để phù hợp với đối tượng học sinh Trong dạng có phương pháp chung, ví dụ mẫu cụ thể hệ thống tập hợp lí nhằm dẫn dắt học sinh trình học tập, tạo tinh thần học tập hứng thú cho học sinh 2- Nội dung trọng tâm sáng kiến - Phân loại rõ ràng tập khảo sát hàm số liên quan tới hàm bậc chương trình THPT - Tổng hợp dạng tập từ đến nâng cao áp dụng cho thi tốt nghiệp THPT, Đại học, cao đẳng Các toán khảo sát hàm số, hàm số phân thức 3.1 Vận dụng sáng kiến vào phần ‘Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số’ Dạng tập 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f ( x)  ax  b (c �0, ad  bc �0)  a; b  cx  d Cụ thể hóa bước: �d � + TXĐ D  R \ � � �c ad  bc + Tính f '( x)  (cx  d ) ( đạo hàm dương ln âm) + Tính f (a)  ?; f (b)  ? Như với toán đòi hỏi học sinh cần làm xác ba bước cụ thể nêu Học sinh cần sai ba bước coi toán sai hoàn toàn, để hướng dẫn cụ thể cho học sinh làm tốn tơi vận dụng số điều sau vào trình giảng dạy - Một nhắc học sinh phải đưa hàm số dạng tổng quát trước thực bước toán, khơng học sinh tính đạo hàm dẽ nhầm - Hai cần hướng dẫn học sinh tính xác đạo hàm hàm số cách viết thẳng hàng hệ số hàm số lập định thức nháp ab từ xác cd định dấu đạo hàm - Ba tính giá trị hàm số hai đầu mút f (a); f (b) so sánh suy kết luận, học sinh tính bình thường lưu ý ‘ chỗ có x hàm số thay a b’ - Bốn gặp toán cho dạng f ( x)  mx  n  ax  b cx  d ax  b ta tìm TXĐ tính đạo hàm bình thường với lưu ý: cx  d ax  b ad  bc f '( x )  (m  )'  cx  d (cx  d ) f ( x)  m  dấu đạo hàm hai dạng hàm số phụ thuộc vào dấu biểu thức ad  bc Ví dụ (Bài tập SGK giải tích 12 trang 23) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f ( x )   2;0 x 1 c) f ( x)  x    0; 2 x2 2 x  2; 4 1 x b) f ( x)   Giải: a) f ( x)   x x    2; 4 1 x x 1 TXĐ: R \  1 Ta có: f '( x)  1.1  (1).2  0x �1 Lại có: ( x  1) (  x  1) 2 Kết luận Maxf ( x)  f (4)  ; Minf ( x)  f (2)   2;4  2;4  b) f ( x)    0; 2 x 1 f (2)  f (4)  TXĐ: R \  1 5 Ta có: f '( x )  ( x  1)2  0x �1 Lại có: Kết luận f (0)  3 f (2)  Maxf ( x)  f(2)  7; Minf ( x)  f(0)  3 � � � 0;2 � � � 0;2 � � � � � � c) f ( x)  x   TXĐ: R \  2  0; 2 x2 Ta có: f '( x)   ( x  2)2  0x �2 Lại có: �f (0)  � � f (2)  � � Maxf ( x)  f  ; Minf ( x)  f  Kết luận � � (2) �0;2 � (0) 0;2 � � � � � � � � * Nhận xét : Khi học sinh làm tập tìm giá trị lớn nhỏ hàm số phân thức thường khơng tính đạo hàm dẫn tới không xét dấu đạo hàm dạng toán nêu Khi giáo viên đưa dạng toán thứ khắc phục lỗi học sinh làm tốt dạng Dạng tập 2: ax  b (c �0, ad  bc �0) có đồ thị (C ) Viết phương trình tiếp cx  d tuyến với đồ thị (C ) điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc (C ) Về học sinh cần nắm phương trình tiếp tuyến M ( x0 ; y0 ) thuộc (C ) có dạng: f ( x)  k ( x  x0 )  y0 Nhưng giải vấn đề học sinh thường mắc Cho hàm số f ( x)  số điều sau + Đề cho kiện x0 ; y0 ; k + Bài toán viết phương trình tiếp tuyến học cuối kì II lớp 11, đa số học sinh khối bổ túc quên, nhớ cách hệ thống Để hướng dẫn học sinh làm tốn tơi có áp dụng số sáng kiến sau - Một học sinh cần nắm vai trò ba kiện x0 ; y0 ; k nhau, bên cạnh có kiện x0 quan trọng vì: Nếu cho x0 ta hồn tồn tìm hai kiện lại nhờ vào mối quan hệ toán học sau: y y ;k  y ' (x ) (x ) 0 - Hai học sinh cần đánh số kiện x0 ; y0 ; k 1,2,3 ( từ trở ta tạm gọi 1,2,3) học sinh xác định rõ đề cho khuyết kiện nào? Khuyết tìm sao? Và phải tìm đầy đủ ba kiện viết phương trình tiếp tuyến - Ba phân tích đề học sinh gạch chân từ ngữ quan trọng đề bài, giúp học sinh xác định yếu tố biết, yếu tố cần tìm - Bốn tốn hồn tồn độc lập với tốn khảo sát, trước giải tốn học sinh cần: Viết lại biểu thức hàm số đề bài, viết lại biểu thức đạo hàm, có học sinh tính tốn giá trị hạn chế sai sót cách tối đa Ví dụ: Cho hàm số y  x3 có đồ thị (C ) x 1 a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) M (1; 1) b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) điểm có tung độ c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y  x  Giải: + Gạch chân từ cần thiết đề a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) M (1; 1) ( biết yếu tố 1,2 cần phải tìm yếu tố 3) Ta có: y  x3 x 1 1.1  (3).1 4 TXĐ R \  1 ; y '  ( x  1)2  ( x  1)  0x �1 ; k  y '(1)  (1  1)  Phương trình tiếp tuyến M (1; 1) có dạng y  k ( x  x0 )  y0 � y  1( x  1)  � y  x  b)Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) điểm có tung độ ( biết yếu tố 2, dựa vào mối quan hệ tốn học để tìm yếu tố 3) y x3 x 1 1.1  (3).1 TXĐ R \  1 ; y '  ( x  1)2  ( x  1)  0x �1 x 3 Ta có: y0  �  x  � 2( x0  1)  x0  � x0  5 k  y '( x0 )   (5  1) Phương trình tiếp tuyến y0  có dạng y  k ( x  x0 )  y0 1 13 � y  ( x  5)  � y  x  9 c)Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y  x  ( tiếp tuyến song song với đường thẳng y  x  gián tiếp cho ta hệ số góc k  , yếu tố Ta cần xác định yếu tố 2) y x3 x 1 1.1  (3).1 TXĐ R \  1 ; y '  ( x  1)2  ( x  1)  0x �1 Ta có: k  y '( x ) �  x0   1 � x0  2 � � ( x  1)  � � � � x0   x0  ( x0  1) � � +) x0  2 � y0  y( 2)  Phương trình tiếp tuyến x0  2 có dạng y  k ( x  x0 )  y0 � y  4.( x  2)  � y  x  13 +) x0  � y0  y(0)  3 Phương trình tiếp tuyến x0  có dạng y  k ( x  x0 )  y0 � y  4.( x  0)  � y  x  Dạng tập 3: Cho hàm số f ( x)  hàm số ax  b (c �0, ad  bc �0) khảo sát biến thiên vẽ đồ thị cx  d Về khảo sát hàm số phân thức học sinh nắm bước sơ đồ khảo sát Nhưng học sinh thường mắc số sai lầm sau + Sai xác định khoảng đồng biến nghịch biến, học sinh thường lấy giá trị tử số đạo hàm vừa tính để áp vào khoảng đồng biến nghịch biến ( dẫn tới kết luận hàm số đồng biến nghịch biến khoảng (�; ad  bc);(ad  bc; �) ) + Học sinh khơng kết luận cực trị (vì cho hàm số khơng có cực trị khơng cần kết luận) + Học sinh xác định giới hạn để suy tiệm cận đứng, tìm giới hạn nhầm dấu + Học sinh vẽ bảng biến thiên sai + Lúng túng vẽ đồ thị Để hạn chế sai lầm học sinh làm tốn tơi có áp dụng số sáng kiến sau - Một ghi TXĐ nháp ghi nhớ giá trị d , giá trị xuất c TXĐ, dấu đạo hàm, khoảng đồng biến nghịch biến, tiệm cận đứng, bảng biến thiên - Hai hướng dẫn học sinh kiểm tra nhanh kết phần giới hạn suy tiệm cận đứng việc ngầm quy ước: Khi tính đạo hàm f '( x)  ad  bc d  0; x � (cx  d ) c lim f ( x)  �; lim f ( x)  � có trái dấu x �( d  ) c x �( d  ) c ad  bc d Nếu f '( x)  (cx  d )2  0; x � c lim f ( x)  �; lim f ( x)  � có x �( d  ) c x �( d  ) c dấu - Ba việc quy ước giúp học sinh kiểm tra tính sai bảng biến thiên - Bốn vẽ đồ thị học sinh cần vẽ theo thứ tự bước: B1 Xác định giao điểm đồ thị với trục tung cách cho x  tìm y  ? mà tơi thường hướng dẫn học sinh che phần chứa x hàm số lại b d y: Ta giao điểm A(0; ) B2 Xác định giao điểm đồ thị với trục hoành cách cho y  tìm x  ? mà thường hướng dẫn học sinh che phần mẫu số đi, giải phương trình tử số b a 0: Ta giao điểm B( ;0) d a c c B3 Đồ thị hàm số nhận giao hai tiệm cận I ( ; ) làm tâm đối xứng, thường nhắc học sinh lấy giá trị phần tiệm cận, x y thứ tự tiệm cận đứng tiệm cận ngang Ví dụ : Khi hướng dẫn học sinh làm toán khảo sát sau Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y  2x  x 1 (*) + Tơi u cầu học sinh giải phương trình mẫu số để suy TXĐ + Lập tính định thức ab để suy đạo hàm hàm số (nếu định thức tính cd số dương đạo hàm dương ngược lại) 10 y=0 � 2x + = � x=  Đồ thị hàm số nhận giao hai tiệm cận I ( -1 ; ) làm tâm đối xứng y f(x)=(2x +3 ) /( x + ) f(x)=2 x=-1 x -5 -4 -3 -2 -1 -1 Một số lưu ý để không bị điểm câu khảo sát hàm hữu tỉ: - Hệ trục tọa độ, tiệm cận nhánh đồ thị phải vẽ trọn vẹn - Nhánh đồ thị phải đối xứng qua tiệm cận (thể tính đối xứng qua giao điểm đường tiệm cận) - Mút nhánh đồ thị phải có xu hướng chạm vào đường tiệm cận không lồi lõm, đầu mút không cong rời khỏi đường tiệm cận 3.2 Tổng hợp tập theo dạng tốn a) TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Câu Cho hàm số y  mx  x m (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m 1 2) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) nghịch biến khoảng (�;1)  Tập xác định: D = R \ {–m} m2  � y (x  m)2 Hàm số nghịch biến khoảng xác định  y �  � 2  m (1) 12  m Để hàm số (1) nghịch biến khoảng (�;1) ta phải có � (2) Kết hợp (1) (2) ta được: 2  m�1 m b): CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Câu Cho hàm số y  2x  có đồ thị (C) x 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Chứng minh đường thẳng d: y   x  m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ  PT hoành độ giao điểm (C) d: 2x    x m x �x �2 �f (x)  x  (4  m)x  1 2m (1) � Do (1) có   m2  1 f (2)  (2)2  (4 m).(2)  1 2m 3 �0, m nên đường thẳng d luôn cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt A, B Ta có: yA  m xA; yB  m xB nên AB2  (xB  xA )2  (yB  yA )2  2(m2  12) Suy AB ngắn  AB2 nhỏ  m Khi đó: AB  24 Câu Cho hàm số y  x3 x 1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm I (1;1) cắt đồ thị (C) hai điểm M, N cho I trung điểm đoạn MN  Phương trình đường thẳng d : y  k  x  1  d cắt (C) điểm phân biệt M, N � x 3  kx  k  có nghiệm phân biệt x 1 khác 1  f ( x)  kx  2kx  k   có nghiệm phân biệt khác 1  �k �0 � �  4k  � k  �f (1)  �0 � Mặt khác: xM  xN  2  xI � I trung điểm MN với k  Kết luận: Phương trình đường thẳng cần tìm y  kx  k  với k  Câu Cho hàm số y  2x  (C) x 1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm m để đường thẳng (d): y  2x  m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B 13 cho AB   PT hoành độ giao điểm: 2x   2x  m x 1  2x2  mx  � m  (x �1) (1) d cắt (C) điểm phân biệt A, B  (1) có nghiệm phân biệt x1, x2 khác –1  m2  8m 16  0� (2) m � x  x2   � �1 Khi ta có: � Gọi A x1;2x1  m , B  x2;2x2  m m  �x1 x2  � 2 AB =  ( x1  x2 )  4( x1  x2 )2   ( x1  x2 )  4x1 x2   m2  8m 20  � m 10  �m 2 � (thoả (2)) Vậy: m 10; m 2 Câu Cho hàm số y  x1 (1) x m 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m 2) Tìm giá trị tham số m cho đường thẳng (d): y  x  cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm A B cho AB  2  PT hoành độ giao điểm: �x �m x1  x � �2 x m �x  (m 1)x  2m 1 (*) d cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm A, B phân biệt  (*) có hai nghiệm phân biệt khác m �   � �m2  6m  � �m 3 �m 3 �� � � m�1 m�1 �x �m � � (**) �x  x  (m 1) Khi gọi x1, x2 nghiệm (*), ta có �x1.x 2 2m �1 Các giao điểm d đồ thị hàm số (1) A(x1; x1  2), B(x2; x2  2) 2 (x  x )2  4x1x2 � 2(m2  6m 3) Suy AB  2(x1  x2)  2� �1 � � m 1 2 Theo giả thiết ta 2(m  6m 3)  � m  6m  � � m Kết hợp với điều kiện (**) ta m giá trị cần tìm Câu Cho hàm số y  2x  x 1 � (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm m để đường thẳng d: y  x  m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho OAB vuông O 14  Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d: x2  (m 3)x  1 m 0, x �1 (*) (*) có   m2  2m  0, m�R (*) khơng có nghiệm x = �x  x  3 m  (*) ln có nghiệm phân biệt xA , xB Theo định lí Viét: �xA.x B 1 m �A B Khi đó: A xA; xA  m , B  xB; xB  m uur uur OAB vuông O OAOB  � xAxB   xA  m  xB  m   x A x B  m x A  x B   m 0  m  Vậy: m = –2 C): TIẾP TUYẾN Câu Cho hàm số y  2x (C) x2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị (C) đến tiếp tuyến lớn  Tiếp tuyến (d) đồ thị (C) điểm M có hồnh độ a �2 thuộc (C) có phương trình: y (a  2)2 (x  a)  2a � 4x  (a  2)2 y  2a2  a Tâm đối xứng (C) I  2;2 Ta có: d(I , d)  a 16  (a  2) � a 2 2.4.(a  2)  a 2 a 2 � a d(I , d) lớn (a  2)2  � � a  4 � Từ suy có hai tiếp tuyến y  x y  x  Câu Cho hàm số y  x 2x  (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O (x0)   Gọi (x0; y0) toạ độ tiếp điểm  y � 1 (2x0  3)2 0 OAB cân O nên tiếp tuyến  song song với đường thẳng y   x (vì tiếp 15 � x  1� y0   1  �0 (2x0  3)2 x0  2 � y0  � � + Với x0  1; y0   : y  1 (x  1) � y   x (loại) + Với x0  2; y0   : y   (x  2) � y   x  (nhận) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y   x  1 (x0)  tuyến có hệ số góc âm) Nghĩa là: y � Câu Cho hàm số y  2x  có đồ thị (C) x 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến M (C) cắt hai tiệm cận (C) A, B cho AB ngắn � � (m)    Lấy điểm M �m;  �� C  Ta có: y� m (m 2)2 1 y  (x  m)   Tiếp tuyến (d) M có phương trình: m (m 2)2 � � Giao điểm (d) với tiệm cận đứng là: A�2;2  � m � � Giao điểm (d) với tiệm cận ngang là: B(2m�2;2) � � � � ��8 Dấu “=” xảy  (m 2)2 � � Vậy điểm M cần tìm có tọa độ là: M(3;3) M(1;1) (m 2)2  Ta có: AB  4� Câu 10 Cho hàm số y  � m � m � x 1 có đồ thị (C) x 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi I giao điểm hai tiệm cận Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M cắt tiệm cận A B với chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ   Giao điểm tiệm cận I (1;2) Gọi M  x0 ;2   + PTTT M có dạng: y  3 (x0  1) (x  x0)      (C) x0   x0   + Toạ độ giao điểm tiếp tuyến với tiệm cận: A 1;2  x    ,  1 B (2x0  1;2) 1 x0   2.3  (đvdt) + Ta có: SIAB  IA.IB  �x  � + IAB vng có diện tích khơng đổi  chu vi IAB đạt giá trị nhỏ 16 IA= IB  2 x   x0   x0 1    x0 1  Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện M1  1 3;2 3 , M2  1 3;2  3 Khi chu vi AIB =  Chú ý: Với số dương a, b thoả ab = S (khơng đổi) biểu thức P = a  b  a2  b2 nhỏ a = b Thật vậy: P = a  b  a2  b2  ab  2ab  (2 2) ab  (2 2) S Dấu "=" xảy  a = b Câu 11 Cho hàm số y  2x  x1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến  Tiếp tuyến (C) điểm M (x0; f (x0)) �(C) có phương trình: y  f '(x0)(x  x0)  f (x0)  x  (x0  1)2 y  2x02  2x0  1 (*) Khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến (*) 2�  2x0 1 (x0  1)  2 � x0  � x0  � Các tiếp tuyến cần tìm : x  y   x  y   Câu 12 Cho hàm số y  x (C) x1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm Oy tất điểm từ kẻ tiếp tuyến tới (C)  Gọi M (0; yo) điểm cần tìm PT đường thẳng qua M có dạng: y  kx  yo (d) �x  �  kx  yo (yo  1)x2  2(yo  1)x  yo  1 (1) � �x  � �� 2 (d) tiếp tuyến (C) � � 2 k k � �x �1; 2 ( x  ) � �(x  1) (*) YCBT  hệ (*) có 1nghiệm � (1) có nghiệm khác 17 �yo  �y �1 � � �o x  ; y  1� k  8 � � �� �� o x  '  (yo  1)  (yo  1)(yo  1)  � � � x  0; yo  1� k  2 � � Vậy có điểm cần tìm là: M(0; 1) M(0; –1) Câu 13 Cho hàm số y  2x  x 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến cách hai điểm A(2; 4), B(4; 2)  Gọi x0 hoành độ tiếp điểm ( x0 �1) PTTT (d) y  (x0  1)2 (x  x0)  2x0  x0   x  (x0  1)2 y  2x02  2x0  1 Ta có: d(A, d)  d(B, d)  2 4(x0  1)2  2x02  2x0   4 2(x0  1)2  2x02  2x0   x0  �x0  �x0  2 Vậy có ba phương trình tiếp tuyến: y  x  ; y  x  1; y  x  d): BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Câu 14 Cho hàm số y  3x  x (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số � 2 � �: � 3� 0; 2) Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm đoạn � sin6 x  cos6 x  m (sin4 x  cos4 x)  Xét phương trình: sin6 x  cos6 x  m (sin4 x  cos4 x) (*) � � � 1 sin2 2x  m� 1 sin 2x�  3sin2 2x  2m(2  sin2 2x) � � � 2 � 0; �thì t � 0;1 Khi (1) trở thành: Đặt t  sin2 2x Với x�� � 3� 2m 3t  0;1� với t �� � � t � sin2x   t 0;1� � sin2x  t Nhận xét : với t �� � �ta có : � sin2x  t � � 2 � �thì � 3� 0; Để (*) có nghiệm thuộc đoạn � 18 �3 � � � t �� ;1�� t �� ;1� � � �2 � � (1) �3 � �4 � Dưa vào đồ thị (C) ta có: y(1)  2m�y� �� 1 2m�  Câu 15 Cho hàm số y   m� 10 x 1 x 1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số x 1 2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x   m x 1 x 1  Số nghiệm x   m số giao điểm đồ thị (C): y  x  y  m Dựa vào đồ thị ta suy được: m  1; m  nghiệm m  1 1  m �1 nghiệm vô nghiệm e): ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ Câu 16 Cho hàm số y  2x  (C) x 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến (C) M với đường thẳng qua M giao điểm hai đường tiệm cận có tích hệ số góc –9  Giao điểm tiệm cận I (1;2) � y y � 3 M I Gọi M �x0;2 x  1��(C ) � kIM  x  x  (x0  1)2 � � M I � + Hệ số góc tiếp tuyến M: kM  y (x0)   x0  1 � x 0 + YCBT � kM kIM    �x0  2 Vậy có điểm M thỏa mãn: M(0; –3) �0 M(–2; 5) Câu 17 Cho hàm số y  2x 1 x 1 (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm (C) điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận (C) nhỏ  Gọi M (x0; y0)  (C), ( x0 �1) y0  2x0  1  2 x0  x0  Gọi A, B hình chiếu M TCĐ TCN thì: 19 x0  MA  x0  1, MB  y0   Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: MA  MB �2 MA.MB  x0  � MA + MB nhỏ x0   2 x0  � x 0 � �0 x0  2 x0  � Vậy ta có hai điểm cần tìm (0; 1) (–2; 3) Câu hỏi tương tự: a) y  Câu 18 2x 1 x 1 ĐS: x0  1 � Cho hàm số y  2x  x 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng MN biết M(–3; 0) N(–1; –1) uuur  MN  (2; 1)  Phương trình MN: x  2y   Phương trình đường thẳng (d)  MN có dạng: y  2x  m Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (d): 2x   2x  m  2x2  mx  m  (x �1) x (1) (d) cắt (C) hai điểm phân biệt A, B    m2 �8m�32  (2) Khi A(x1;2x1  m), B(x2;2x2  m) với x1, x2 nghiệm (1) �x  x2 � � m m� ; x1  x2  m� I �  ; �(theo định lý Vi-et) � � � 2� Trung điểm AB I �1 A, B đối xứng qua MN  I � MN  m 4 � x Suy (1)  2x  4x  � �x   A(0; –4), B(2; 0) � Câu 19 Cho hàm số y 2x x 1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm đồ thị (C) hai điểm B, C thuộc hai nhánh cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A với A(2; 0)  Ta có (C ) : y   x1 � � Gọi B �b;2  � � � , C� c;2  � � với b  1 c b  1� � c  1� Gọi H, K hình chiếu B, C lên trục Ox � � � � � � Ta có: AB  AC; � BAC  900 � CAK  BAH  900  CAK  ACK � BAH  ACK 20 và: � �  AH  CK BHA  CKA  90 �  ABH  CAK � HB  AK � 2 b  2 � � c  � b  1 Hay: � c �2   c � b Vậy B(1;1), C(3;3) B  Câu 20 Cho hàm số y  C H A x 2x  1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm điểm đồ thị (C) cách hai điểm A(2; 0) B(0; 2)  PT đường trung trực đọan AB: y  x Những điểm thuộc đồ thị cách A B có hồnh độ nghiệm PT: � 1 x � x 2 �  x  x  x1  � 2x  � 1 x � � � 1 1 � � 1 1 � , , �; � � Hai điểm cần tìm là: � � �� � 2 � �� � III Một số tập đề nghị Bài tập Bài (Tốt nghiệp phổ thông 2009) Cho hàm số y  2x 1 x2 a, Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b, Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết hệ số góc tiếp tuyến – Bài ( Đại học khối D – 2002) Cho hàm số: y  (2m  1) x  m (1) x 1 (m tham số) a, Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) ứng với m = -1 b, Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x Bài 3: (Đại học khối D – 2007) Cho hàm số y  2x x 1 a, Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho 21 K b, Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến (C) M cắt hai trục Ox, Oy A, B tam giác OAB có diện tích Bài 4: (Cao đẳng – 2008) Cho hàm số y  x x 1 a, Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b, Tìm m đẻ đường thẳng d: y = -x + m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt Bài 5: (Đại học khối A – 2009) Cho hàm số y  x2 2x  (1) a, Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) b, Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hồnh, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O Bài 6: ( Đại học khối B – 2010) Cho hàm số y  2x 1 x 1 a, Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b, Tìm m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB có diện tích (O gốc tọa độ) Bài 7: ĐH Khối A-2011 Cho hàm số: y  x 1 2x 1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b) Chứng minh với m đường thẳng y = x + m cắt đồ thị (C) điểm phân biệt A B Gọi k1, k2 hệ số góc tiếp tuyến với (C) A B Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn Bài 8: D- 2011 Cho hàm số: y  2x 1 x 1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b) Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + cắt đồ thị (C) điểm phân biệt A, B cho khoảng cách từ A B đến trục hoành Bài CĐ- 2012 22 Cho hàm số y  2x  (1) x 1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1 ) b) Viết phương trình tiếp tuyến d đồ thị hàm số (1), biết d vng góc với đường thẳng y = x + Bài 10 ĐH 2013 (A, A1) Cho hàm số y  2x 1 (1) x a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1 ) b) Điểm M thuộc đồ thị hàm số (1) có tung độ Tiếp tuyến đồ thị hàm số(1) M cắt trục Ox, Oy A, B Tính diện tích tam giác OAB Bài 11 ĐH 2014 (A, A1) Cho hàm số y  x2 (1) x a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1 ) b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị hàm số (1) cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d: y = -x IV Hiệu sáng kiến 1) Sáng kiến làm được: a) Những điểm khác biệt, tính sáng kiến so với biện pháp, giải pháp áp dụng - Sáng kiến loạt hướng dẫn cụ thể tỉ mỉ dạng tập Sáng kiến giúp học sinh mường tượng rõ cơng việc cần làm gì, làm nào, trình bày tốn - Sáng kiến đưa học sinh từ toán tổng quát tới việc chia nhỏ công đoạn, yếu tố 1,2,3 mối quan hệ yếu tố nhằm thực toán cách khâu, đoạn ứng với thang điểm khác đề thi tốt nghiệp - Sáng kiến phần giúp đơn giản hóa vấn đề nhằm giúp học sinh hạn chế tối đa sai sót làm thi - Sáng kiến giúp cho học sinh trình bày lời giải cách thành thục hơn, vấn đề trình bày điểm yếu học sinh thời mơn tự luận mơn tốn b) Khả áp dụng sáng kiến - Sáng kiến áp dụng học sinh lớp 12 học chương I ‘’Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số’’ - Sáng kiến áp dụng thi tốt nghiệp trung học phổ thông thi tuyển sinh đại học cao đẳng (Được gộp lại thành kỳ thi TN THPT quốc gia) 23 c) Phạm vi áp dụng sáng kiến Sáng kiến áp dụng trình giảng dạy chương I phân mơn đại số giải tích lớp 12 Vận dụng vào q trình ơn thi tốt nghiệp THPT năm học 2015-2016 Trình bày hiệu quả, lợi ích áp dụng sáng kiến mang lại Nghiên cứu phân tích dạng tập hàm số phân thức giúp học sinh giải toán đề thi tốt nghiệp THPT tốt Nó có ý nghĩa lớn ảnh hưởng tới kết thi tốt nghiệp em Giúp học sinh nhìn thấy hướng giải toán mà SGK đề cập ví dụ nhỏ, phát huy tư độc lập làm chủ kiến thức Để em đạt kết cao kì thi tốt nghiệp tới Sáng kiến nhằm phát triển tư khái quát tổng hợp học sinh, giúp học sinh phân tích đề tốt hơn, định dạng toán tốt Qua thực tế giảng dạy hai lớp 12A2,12A4,12A6 bước đầu thực tạo hứng thú cho học sinh Thời gian nghiên cứu đề tài tơi hạn chế, tơi chưa thật khai thác hết dạng tập có liên quan, mong nhận đóng góp ý kiến từ thầy cô giáo em học sinh Hiệu thực nghiệm Bài kiểm tra đối tượng học sinh lớp 12A2;12A4;12A6 năm học 2015-2016 áp dụng sáng kiến sau Không Nhận biết, Nhận biết Nhận biết nhận vận biết vận dụng biết biết vận dụng dụng ,chưa giải , giải được hoàn hoàn chỉnh chỉnh Số lượng 10 28 44 Tỉ lệ ( %) 0% 12% 34% 54% Sau thực nghiệm sáng kiến học sinh học tập tích cực, hứng thú Đặc biệt em thận trọng phân tích đề bài, hiểu chất tốn, chủ động sáng tạo trình làm PHẦN KẾT LUẬN, KIỂN NGHỊ Kết luận: Trên số Các toán liên quan tới hàm số phân thức mà thân đúc rút qua q trình giảng dạy mơn Tốn tìm tòi tài liệu tham khảo Tôi nhận thấy em học sinh lớp 12 trang bị hệ thống kiến thức từ dễ đến khó trình bày hầu hết em tự tin, không lung túng em gặp dạng tốn nói đa số em giải tốt 24 Tuy rằng, phương pháp ví dụ tơi nêu viết có phương pháp ví dụ hay mà thân tơi chưa tìm hiểu đến Rất mong đóng góp ý kiến tất đồng nghiệp để kinh nghiệm ngày hồn thiện hơn, góp phần nâng cao hiệu giảng dạy mơn Tốn nói chung tốn hàm số phân thức nói riêng Kiến nghị Hiện nhà trường phổ thơng có số sách tham khảo vấn đề toán liên quan tới khảo sát , xong thực tế việc nghiên cứu đề tài để áp dụng vào học tập em chưa thật đạt kết cao Chủ yếu hoạt động lớp Tôi mạnh dạn đề xuất ý kiến , có nên tập hợp toàn đề tài nghiên cứu từ năm cho học sinh tham khảo, nghiên cứu áp dụng Việc tổ chức thực chuyên đề học sinh hiệu , học sinh đóng góp ý kiến Tơi mong nhà trường tạo điều kiện tốt để chuyên đề vào thực tiễn PHẦN IV:TÀI LIỆU THAM KHẢO Tuyển tập chun đề luyện thi đại học mơn tốn Trần Phương (NXB Hà Nội) Tuyển tập đề thi Đại học, Cao đẳng mơn tốn Sách giáo khoa Đại số Giải tích 12 (NXB Giáo Dục - 2007) Đề thi tốt nghiệp THPT năm gần tham khảo tài liệu mạng 25 Yên Bái , ngày tháng 11 năm 2015 Người viết Nguyễn Công Thành XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ( Ký tên, đóng dấu) XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN NGÀNH GDĐT …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 26 ... kiến thức mà phương pháp suy luận, khả tư Từ kiến thức phải dẫn dắt học sinh có kiến thức nâng cao cách tự nhiên Sau khảo sát việc làm toán phần khảo sát hàm số hàm số phân thức để áp dụng sáng kiến. .. đẳng Các toán khảo sát hàm số, hàm số phân thức 3.1 Vận dụng sáng kiến vào phần ‘Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số Dạng tập 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f ( x)  ax ... tham khảo để ôn luyện kiểm tra kiến thức mình, vững vàng, tự tin, làm tốt dạng tập liên quan tới hàm số phân thức 2 Mục đích sáng kiến - Nhằm giúp học sinh củng cố kiến thức hàm số phân thức,