Đang tải... (xem toàn văn)
Vẽ các đường tiệm cận nếu có, chỉ rõ các điểm đặc biệt cực đại, cực tiểu, điểm uốn, các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.. Chú ý nếu hàm y = fx chẵn thì đồ thị nhận trục oy làm t[r]
(1)Môn Toán www.truongthi.com.vn KHẢO SÁT H ÀM SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ Giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cần tiến hành các bước sau 1) Tìm tập xác định, xét tính chẵn, lẻ, tuần hoàn Nếu hàm số chẵn hay lẻ cần khảo sát x ≥ 0, với x < hàm số có tính đối xứng Nếu hàm tuần hoàn thì cần xét trên chu kì 2) Tính y’, y” Xét dấu y’ để tìm khoảng đơn điệu Xét dấu y” để tìm các khoảng lồi lõm, điểm uốn 3) Tìm các điểm cực đại, cực tiểu, điểm uốn Tìm các đường tiệm cận Xác định các giao điểm đồ thị với các trục 4) Lập bảng biến thiên 5) Vẽ đồ thị Vẽ các đường tiệm cận (nếu có), rõ các điểm đặc biệt (cực đại, cực tiểu, điểm uốn, các giao điểm đồ thị với các trục tọa độ) Chú ý hàm y = f(x) chẵn thì đồ thị nhận trục oy làm trục đối xứng, còn hàm y = f(x) lẻ thì đồ thị có tâm đối xứng là gốc tọa độ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số a) Hàm bậc hai : y = ax + bx + c a≠0 b + Ta có y = a x + 2a 4ac − b 4a Đồ thị đường parabol suy từ đồ thị hàm y = ax phép tịnh tiến r b 4ac − b song song theo véctơ r = − , 2a 4a 4ac − b b đạt x = − Hàm tăng trên 2a 4a b b − 2a , +∞ , giảm trên −∞, − 2a Với a > 0, y = 4ac − b b Với a < 0, max y = , đạt x = − Hàm tăng trên 4a 2a ( −∞, −b / 2a ) , giảm trên ( −b / 2a, +∞ ) b) Hàm bậc ba: y = f(x) = ax + bx + cx + d a ≠ − Tập xác định (− ∞, + ∞) 2 − Ta có y’ = ax + 2bx + c, ∆’y’ = b − ac y” = ax + b Nếu a > thì + Với b − 3ac < 0, y’ > với x, đó hàm luôn đồng biến + Với b − 3ac > 0, phương trình y’ = có hai nghiệm phân biệt x1 < x2 và y’ > ⇔ x ∉ [x1, x2] Hàm số tăng (giảm) trên (−∞, x1) và (x2, + ∞) (tương ứng, trên (x1, x2)) Điểm cực đại (cực tiểu) là (x1, y(x1)) (tương ứng (x2, f(x2)) Nếu a < thì + Với b − 3ac < 0, y’ < với ∀x, hàm y luôn nghịch biến Lop12.net (2) Môn Toán www.truongthi.com.vn + Với b − 3ac > 0, tương tự ta có Hàm y luôn nghịch biến trên (−∞, x1) và (x2, + ∞) y đồng biến trên (x1, x2) Điểm cực tiểu (cực đại) (x1, f(x1)) (tương ứng (x2, f(x2)) − Điểm uốn: y” = ⇔ x = − b/3a, điểm uốn là (−b/3a, f(−b/3a)) − Tâm đối xứng (−b/3a, f(−b/3a)) là điểm uốn ax + b ,c ≠ cx + d a bc − ad Ta có y = + c c2 x + d c a − Nếu bc − ad = thì y ≡ , x ≠ − d/c c c) Hàm phân thức: y = − Nếu bc − ad ≠ thì đồ thị hàm số suy từ đồ thị hàm số y= bc − ad k với k = x c2 phép tịnh tiến theo véctơ r r = (−d/c, a/c) Đồ thị có hai tiệm cận x = − d/c và y = a/c d) Hàm phân thức: y = f ( x ) = Ta có f(x) = ax + ( b − ad ) + Tập xác định R\ {− d} a (x + d) − m y' = (x + d) ax + bx + c ,a≠0 x+d ad2 − bd + c x+d , m = ad − bd + c − Nếu m = thì y = ax + (b − ad), x ≠ − d − Nếu am < thì + Với a > 0, y’ > (∀ x ≠ −d), hàm đồng biến trên (−∞, −d), (−d, +∞) + Với a < 0, y’ < (x ≠ −d), hàm nghịch biến trên (− ∞, −d), (−d, +∞) − Nếu am > thì phương trình y’ = có hai nghiệm x1,2 = −d m m a + Nếu a > thì hàm tăng trên (−∞, x1), (x2, +∞) giảm trên (x1, − d), (−d, x2) các điểm cực đại (cực tiểu) là (x1, 2ax1 + b), (tương ứng, (x2, 2ax2 + b) + Nếu a < thì hàm tăng trên (x1, − d1), (−d1, x2) và giảm trên (−∞, x1), (x2, +∞) Điểm cực tiểu là (x1, 2ax1 + b) Điểm cực đại: (x2, 2ax2 + b) Ví dụ Cho hàm số y = f(x) = mx + 3mx − (m − 1)x − a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = b) Xác định m để hàm y = f(x) không có cực trị Giải a) với m = 1, y = x + 3x − Tập xác định R Lop12.net (3) Môn Toán www.truongthi.com.vn y’ = 3x + 6x, y’ = ⇔ x = và x = − y’ = 3(x + 2) x > ⇔ x < − x > y’ < ⇔ − < x < Vậy y tăng (giảm) thực trên (− ∞, − 2) và (0, +∞) (tương ứng (−2, 0)) Hàm có điểm cực đại (− 2, 3) và cực tiểu (0, − 1) y” = 6x + 6, y” = ⇔ x = − 1, y” đổi dấu qua x = − y = f(x) có điểm uốn (−1, 1) Ta có bảng biến thiên X 2 + y’ + Y 1 Đồ thị y -2 x -1 b) y’ = 3mx + 6mx − (m − 1) Điều kiện cần và đủ để y = f(x) không có cực là phương trình f’ (x) = không có hai nghiệm phân biệt, nghĩa là m = ⇔0≤m≤ m ≠ ∆ ' = 9m2 + 3m(m − 1) ≤ Ví dụ Cho hàm số y = x + mx − m a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m = b) Khi nào đồ thị cắt trục hoành điểm phân biệt c) Xác định m cho x ≤ ⇒ y ≤ Giải a) m = ⇒ y = x + 3x − Tập xác định R Chiều biến thiên y’ = 3x + 6x, y’ = ⇔ x = và x = − y’ > ⇔ x < − và x > Trên (−∞, − 2), (1, +∞) hàm đồng biến y’ < ⇔ x ∈ (−2, 0), trên đó y nghịch biến y” = 6x + 6, ta có điểm uốn (−1, −1) Bảng biến thiên X 2 y’ + Y 3 Đồ thị xem hình vẽ Lop12.net + (4) Môn Toán www.truongthi.com.vn y -2 -1 x -3 b) Đồ thị cắt trục hoành điểm phân biệt và hàm số có cực đại và cực tiểu và ycđ yct < Thấy y’ = 3x + 2mx = x(3x + 2m) y’ = ⇔ x = và x = − 2m/3 Hàm có cực đại và cực tiểu ⇔ − 2m/3 ≠ ⇔ m ≠ y c® y ct = y ( ) y ( −2m / ) = − m ⇔ 4m2 − 27 > ⇔ m > 4m3 − 27m <0 27 3 Vậy đồ thị cắt trục hoành ba điểm phân biệt và m > 3 / c) y ( x ) ≤ với x ≤ ⇒ y ( ) = m ≤ Với m ≤ , m ≠ 0, ta có −2m / ≤ Vậy, với m ∈ [−1, 1]\ {0} để y ( x ) ≤ với x ≤ điều kiện đủ là ≥ y ( −2m / ) = 4m3 −m 27 (vì y (−1) = − 1, y(1) = 1, y (0) = −m thuộc [−1, 1]) Nhưng 4m3 4m2 −, = m − ≤ m ≤ m ≤ m = thỏa 27 27 mãn Kết luận m ∈ [−1, 1] Ví dụ Cho hàm số y = (m − 2)x − mx + (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m = − b) Chứng minh m ∈ (0, 2) hàm không có cực đại và cực tiểu c) Chứng minh đồ thị hàm số (1) luôn qua ba điểm cố định Giải a) Tập xác định R y’ = − 9x + = ⇔ x = − 1/3 và x = 1/3 Điểm cực đại (−1/3, 16/9), cực tiểu (1/3, 20/9) y” = − 18x = ⇔ x= 0, điểm uốn (0, 2) Bảng biến thiên Lop12.net (5) Môn Toán www.truongthi.com.vn X Y’ Y 1/3 16/9 1/3 20/9 + y 20/9 16/9 -1 -1/3 1/3 x b) y’ = 3(m − 2)x − m Khi m ∈ (0, 2) ⇒ m / 3(m − 2) < và phương trình y’ = vô nghiệm 3 c) y = mx − 2x − mx + ⇔ mx (x − 1) − 2(x − 1) − y = Điểm cố định (xo, yo) phải thỏa mãn ( ) x x2 − = xo = 0, o o ⇔ xo = −1, y o = −2 xo − x = o ( yo = yo = , ) yo = Đồ thị luôn qua điểm cố định (0, 2), (− 1, 4), (1, 0) Ví dụ Cho hàm số y = f(x) = 2x − 3(2m + 1)x + 6m (m + 1)x + (1) a) Tìm quĩ tích điểm uốn b) Tìm quĩ tích điểm cực đại c) Tìm quĩ tích trung điểm đoạn nối điểm cực đại và cực tiểu đồ thị Giải a) y’ = 6x − 6(2m + 1) x + 6m(m + 1) y” = 12x − 6(2m + 1), y” = ⇔ x = 2m + y” đổi dấu x biến thiên qua (2m + 1)/2 Vậy điểm uốn là 2m + 2m + 2m + 2x − Từ x = suy m = , thay vào U ,f 2 phương trình y = f(x) ta thu y = 2x3 − x + Vậy quĩ tích đồ thị hàm y = 2x3 − x + x = m b) y’ = 6[x − (2m + 1)x + m (m + 1)], y’ = ⇔ x = m + Đó là hai nghiệm phân biệt và rõ ràng y’(x) < ⇔ x ∈ (m, m + 1) y’(x) > ⇔ x ∈ (−∞, m) ∪ (m + 1, +∞) 10 Lop12.net (6) Môn Toán www.truongthi.com.vn Vậy hàm luôn có cực đại và cực tiểu x = m và x = m + tương ứng Điểm cực đại là (m, f(m)) Khử m cách thay m = x, vào (1) ta y = 2x + 3x + Vậy đồ thị hàm y = 2x + 3x + là quĩ tích các điểm cực đại hàm số m thay đổi c) Trung điểm đoạn nối điểm cực đại và cực tiểu là điểm uốn, mà quĩ tích đã biết câu a) Ví dụ Cho hàm số y = f(x) = x − mx − (2m + 1)x + mx + a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với a = b) Tìm các điểm trên trục tung cho qua đó có thể kẻ ba tiếp tuyến với đồ thị y = f(x) với m = c) Xác định m cho phương trình f(x) = có hai nghiệm khác lớn Giải a) Với m = 0, hàm số có dạng y=x −x +1 T.X.Đ R y’ = 2x(2x − 1), y’ = ⇔ x = và x = ± /2 y” = 2(6x − 1), y” = ⇔ x = ± /6 y” đổi dấu qua x = ± /6 nên hàm số có hai điểm uốn (− )( /6,31/36 , ) /6,31/36 Bảng biến thiên X − /2 Y’ Y 0 + /2 + − y 3/4 - /2 /2 x b) f(x) là hàm chẵn nên trục tung là trục đối xứng Nên qua điểm trên trục tung kẻ ba tiếp tuyến với đồ thị thì phải có tiếp tuyến song song với trục hoành Từ đó điểm cần tìm phải là điểm M(0, 1) Ta kiểm tra điều đó Giả sử y = ax + là tiếp tuyến khác qua a Khi đó phải có x − x + = ax + o o o 4x o − 2x o = a xo là hoành độ tiếp điểm 12 Lop12.net (7) Môn Toán www.truongthi.com.vn ( ) Giải hệ đó (đối với (xo, a)) ta có các nghiệm (0, 0), và ± /3, ± /9 ( ) Từ đó các tiếp tuyến khác y = là y = ± /9 x + Vậy điểm cần tìm là M (0, 1) c) Phương trình x − mx − (2m + 1)x + mx + = (1) tương ứng với 1 − m x − − ( 2m + ) = (2) x x2 1 > 0, đó x > thì t(x) > t(1) = Bây Đặt t = x − t’(x) = + x x2 x2 + (2) có dạng t − mt − (2 − 1) = (3) Vậy để có hai nghiệm lớn 1, phương trình (3) phải có hai nghiệm dương Tức là phải có ∆ = m2 − ( − 2m ) > ⇔ S / = m / > p = − 2m > ( ⇔ m ∈ −4 + 5, / ) m2 + 8m − > m > m < / Ví dụ Cho hàm số y= mx − x−m (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = b) Với m nào hàm đồng biến, nghịch biến không đổi? c) Chứng minh m thay đổi đồ thị luôn qua hai điểm cố định d) Tìm quĩ tích tâm đối xứng đồ thị Giải a) Với m = 2, y = Tập xác định R\ { 2} 2x − =2+ x−2 x−2 Đồ thị có hai tiệm cận x = và y = y' = − ( x − )2 > với ∀ x ≠ Vậy y giảm trên các khoảng (−∞, 2) và (2, +∞) Các điểm đặc biệt x = ⇒ y = 1/2; y = ⇒ x = 1/2 Vậy đồ thị qua các điểm (0, 1/2) và (1/2, 0) Bảng biến thiên X y’ Y +∞ ∞ Đồ thị có tâm đối xứng là giao điểm I hai tiệm cận 14 Lop12.net (8) Môn Toán www.truongthi.com.vn y I 1/2 b) y ' = − m2 ( x − m )2 , 1/2 x x≠m • Nếu − m > (⇔ − < m < 1) thì hàm luôn đồng biến trên khoảng (−∞, m) và (m, +∞) • Nếu − m < (⇔ m ∉ [−1, 1] thì hàm luôn nghịch biến trên khoảng xác định • Nếu − m = (⇔ m = ± 1) thì y không đổi m = ⇒ y ≡ trên R\ {1} m = − ⇒ y ≡ − trên R\ { −1} c) Giả sử (xo, yo) là điểm cố định Khi đó x o ≠ m x o y o + − m ( xo + y o ) = víi mäi m xo = −y o x + yo = x = 1, y o = −1 ⇒ o ⇔ ⇔ o x o y o = −1 xo = −1, y o = xo = Vậy đồ thị luôn qua hai điểm cố định (1, −1) và (−1, 1) d) Tâm đối xứng là giao hai tiệm cận tức là điểm (m, m) Khi m thay đổi các điểm này vạch đường thẳng y = x Ví dụ Cho hàm số y = ( m + ) x − m2 x−m a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m = b) Chứng minh với m tiệm cận xiên đồ thị luôn tiếp xúc với parabôn cố định Xác định parabôn đó c) Tìm tất các điểm mà tiệm cận xiên không qua Giải a) Tập xác định R\ {1} 2x − 1 = ( x + 1) + x −1 x −1 y' = 2− , y’ = ⇔ x = ± ( x − )2 Với m = 1, y = 16 Lop12.net (9) Môn Toán www.truongthi.com.vn y’ < ⇔ x ∈ − Điểm cực đại − , +∞ ∪ + 2 ,1 + 2 2 , − 2 , cực tiểu + , + 2 2 y’ > ⇔ x ∈ −∞, − Bảng biến thiên X y’ + 1− 2 2 1+ − || 4−2 2 + 4+2 Tiệm cận xiên y = 2(x + 1) Tiệm cận đứng x=1 b) Ta có tiệm cận xiên y = (m + 1)x + m + m y +2 I -1 Giả sử các tiệm cận xiên trên luôn tiếp xúc parabôn cố định y = ax + bx + c, a ≠ Khi đó phương trình 2 ax + bx + c = (m + 1)x + m + m có nghiệm kép với m Ta phải có 2 ∆ = (b − m − 1) − 4a(c − m − m) = với m, hay 2 (4a + 1)m + 2(2a − b + 1)m + b − 4ac − 2b + = với m 4a + = ⇔ 2a − b + = ⇔ b − 4ac − 2b + = a = −1 / b = / c = −1 / Như parabôn cần tìm là 18 Lop12.net x (10) Môn Toán www.truongthi.com.vn y=− 1 x + x− =0 4 c) Giả sử (xo, yo) là điểm mà tiệm cận không qua Từ đó phương trình yo = (m + 1)xo + m + m vô nghiệm, hay phương trình m + (xo + 1)m + xo − yo = vô nghiệm ⇔ ∆ = (xo + 1) − 4(xo − yo) < 1 ⇔ y o < − x o2 + x o − 4 Đó là các điểm nằm parabôn y=− 1 x + x− 4 Ví dụ Cho hàm số y= x2 − 3x + ( x − 1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Tìm các điểm trên đồ thị cho tổng các khoảng cách từ đó đến các tiệm cận là nhỏ c) tìm các điểm trên đồ thị cho tổng các khoảng cách từ đó đến hai trục là nhỏ d) Tìm các điểm M, N trên hai nhánh đồ thị (mỗi điểm thuộc nhánh) cho độ dài đoạn MN là nhỏ Giải a) Ta có y = y' = 1 Tập xác định R\ {1} x−2+ 2 x − 1− 2 ( x − )2 , y’ = ⇔ x = −1 và x = 3 y’(x) > với x < − x > 3/2 điểm cực tiểu 3, 2 5 y’(x) < với − < x < < x < 3/2 điểm cực đại −1, − X y’ Y + 1 − || − + y -1 3/2 x -5/2 -3 20 10 Lop12.net (11) Môn Toán www.truongthi.com.vn Tiệm cận xiên : y = ( x − ) ~ x − 2y − = Tiệm cận đứng: x = x = 0, y = −3 b) Giả sử M(x, y) là điểm thuộc đồ thị mà tổng các khoảng cách d = d1 + d2 đó d1 (tương ứng d2) là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng (tương ứng tiệm cận xiên) là bé Ta có d1 = x − , d2 = và d = x − + Vậy d ≥ x −x −2+ −2 x − 12 + 22 = x −1 x −1 x −1 x −1 Dấu xảy x − = = 45 x −1 ⇔ x = 1± c) Điểm M(x, y) thuộc đồ thị thì x ≠ và y = 45 và d = x−2+ , x ∈ ( −∞, ) ∪ ( 1, +∞ ) x −1 1 x + x − + x − víi x ∈ ( 1,+∞ ) x − x − + víi x ∈ ( −∞, ) x − c1) Xét f(x) với x > Ta có f ' ( x ) = + = − − ( x − )2 ( x − )2 2 ⇒x−1= , x =1+ 3 f’(x) < x ∈ 1, + , +∞ và f’(x) > x ∈ + 3 2 Vậy f ( x ) = + + 1 + −2+ x >1 2 3 x = +3 f’(x) = ⇔ ( x − ) = c2) Xét f(x) với ≤ x < Khi đó 22 11 Lop12.net 1 Tổng các x−2+ 2 x − khoảng cách từ M đến các trục là f (x) = x + 45 (12) Môn Toán www.truongthi.com.vn f (x) = x 2 − + 1, f ' ( x ) = + >0 x −1 ( x − )2 Vậy f ( x ) = f ( ) = ≤ x <1 c3) Xét f(x) với x < Khi đó 1 x − 2) + ( 2 x − 2 , f '(x) = ⇔ x = − f ' (x) = − + ( x − )2 f ( x ) = −x − f’(x) < x < − và f(x) > x > − 3 3 Vậy f ( x ) = − − +1− =− +2 2 2 x<0 3 − So sánh ta thấy f ( x ) = f ( ) = x ≠1 d) Giả sử M(s, y(s)) và N (t, y(t)) đây t < < s là các điểm thuộc đồ thị Khi đó y (s) − y ( t ) = (s − t ) 1 và s−t+ 2 ( s − ) ( − t ) MN = ( s − t ) (s − t ) 1 + s − t + 4 ( s − ) ( − t ) Nhưng 2 (s − t ) (s − t ) 16 ≥ = , đó ( s − ) ( − t ) s − + − t 2 s − t ( ) 1 16 MN ≥ s − t + s − t + = 4 s − t 64 − = (s − t ) + +8≥ s − t ( ) ≥2 64 = Dấu đạt s − = − t s + t = 5 64 ⇔ ( s − t )2 = s−t = 4 (s − t ) so = + / =1+ 45 45 to = − 45 Từ đó M(so, y(so)), N (to, y(to)) 24 12 Lop12.net (13) Môn Toán www.truongthi.com.vn 26 13 Lop12.net (14)