Toán học Phương pháp giải hệ phương trình27300

PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LUYỆN THI ĐẠI HỌC  f ( x; y )   g ( x; y )  với f(x;y) = f(y;x) g(x;y) = g(y;x) * Biến đổi hệ theo x+y x+y Đặt S = x + y P = xy  Biến đổi hệ theo S, P giải hệ tìm hai ẩn  Với nghiệm (S;P) ta giải pt X2 – SX + P = để tìm x, y  Chú ý: với tốn phức tạp ta tìm cách đặt ẩn phụ cho x, y  x  xy  y  suy x, y nghiệm phương X 1 X  x  x  Do đó,   y  y 1 trình X  X     Vậy nghiệm hệ (1; 2), (2;1) b Hệ 2 2  x  xy  y   x  xy  y  ( x      2 2 2 ( x  y )  x y  21 (7  xy )  x y  21 49  b 2  x y  xy   x  y   x  y     xy     x  y  3     x  y  3  xy      xy   x  y   x  xy  y  c 3  4 2  x  y  x y  21  x  y  Giải:  x  y  xy   xy ( x  y )  s  x  y Đặt   P  xy x  y  ta có x, y nghiệm  xy  a Hệ   Hệ trở thành S  x  y  ta có  P   xy  2 ( x  y )  xy  ( x ( x  y )  xy       2 2 49  14 xy  x y  x y  21  xy   xy Ví dụ Giải hệ a  suy x, y nghiệm phương trình X  X   ( PTVN ) * Với  I Hệ đối xứng loại 1: * Có dạng:  S  x  y  ta có  P   xy  * Với  * Với  phương trình P   S S  P   P   S     SP   S (5  S )   S  5S   S  P   S   P    S    S   S      P  X 1 X  3X     X  x  x  Do đó,   y  y 1  x  y  3 * Với  ta có x, y nghiệm  xy  ThuVienDeThi.com phương trình     Suy         X  1 X  3X      X  2  x  1  x  2 Do đó,    y  2  y  1 Vậy nghiệm hệ cho (1; 2), (2;1), (1;  2), (2;  1) c Điều kiện: x  0, y  x 1  x   y 2  y  64    x  64 x 2    y  y 1 3  33 11  33 P (l ) Vậy nghiệm hệ (1;64), (64,1) * Với S  Ví dụ Giải hệ phương trình u  x  u  x ; u  x  Đặt  v  y  v  y ; v  y  x3  x  x  22  y  y  y  (x, y  2 x  y  x  y   Hệ trở thành 3 u  v  (u  v)  3uv(u  v)    2  u  v  (u  v)  2uv   R) ( ĐỀ TSĐH KHỐI A NĂM 2012) Giải: Cách 1: S  u  v  Đặt   P  uv  Hệ trở thành  S  3PS   S  15S  18  0x3  x  x  22  y  y  y   S  3PS       2 S2 5   S2 5 x  y  x  y  P  P   S  P   2   = -x Hệ   S   3  33  S  S  15S  18         S2 5 P    S  3  33 (l )     P  S   * Với S   P  ta có  u   u  v  v     u  uv    v  trở Đặt t thành t  y  3t  y  9(t  y )  22  Đặt S 2 t  y  t  y    3 2 = y + t; P = y.t Hệ trở thành  S  3PS  3( S  P)  S  22  S  3PS  3( S  P)      1 S  2P  S   P  (S  S  )   2 3 2 S  S  45S  82    P     P  (S  S  )  S  2  2 Vậy nghiệm    3   ;  ; ;  2 2 2  Cách 2: ThuVienDeThi.com hệ  x3  x  x  22  y  y  y  Đặt u  2 ( x  )  ( y  )   2 1 = x ; v = y + 2 Hệ cho thành 45  3 45 u  u  u  (v  1)  (v  1)  (v  1) 4  2 u  v   Xét hàm f(t) = t  t  45 t có f’(t) = 45 3t  3t  < với t thỏa t  f(u) = f(v + 1)  u = v +  (v + 1)2 + v2 =  v = hay v = -1  v  v  1 hay   u  u  Điều kiện: x  0; y   x  xy  y (1) Hệ    y  xy  x (2) Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta yx  y  x  x  y x  y  4    * Với y = x thay vào (1) ta  x   y  (l )  x  2  y  2 x  x    * Với y = - x – thay vào (1) ta x  x    x  2  y  2 Vậy nghiệm hệ ( - ; - ) x  y   Ví dụ 2.Giải hệ:  (*)  y  x    Hệ cho có nghiệm    3   ;  ; ;  2 2 2  Giải: Cách 1: Điều kiện: y  3, x   (*)    II Hệ đối xứng loại 2: Hệ đối xứng loại hệ có dạng  f x; y   0(1)   g y; x   0(2) Cách giải Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta pt dạng x  y ( x  y ) g ( x; y ))     g ( x; y )  4y   x  y  x Ví dụ Giải hệ   y  3x  x  y x  x  y   y 3  5 x  y    2 x 3  5 y  y   25  10 x  x x  y   x   25  10 y  y  x   25    x  (1)  y  (2)   x  y x  y    (3)  y   25  10 x  x (4)  x  y Ta có (3)   x  y   *Với x=y thay vào (4) ta được: y  10 y  25   y   y  11 y  28   x   y  (l )  x   y  Giải: ThuVienDeThi.com * Với y = – x thay vào (4) ta  9 (l ) x  2  x  x  19    9 9 y (l ) x  2  III Hệ phương trình đẳng cấp: Vậy nghiệm hệ là: (4; 4) a1 x  b1 xy  c1 y  d1  a x  b2 xy  c y  d Xét hệ đẳng cấp bậc hai: Cách giải: Cách 2: u  y  Đặt  với u  0, v  v  x   y  u    x  v  + Thay x = vào hệ để kiểm tra có thỏa hệ phương trình khơng + Với x  đặt y=tx, biến đổi đưa pt bặc hai theo t giải t suy x, y v   u  v  u  (1)    u  v  (2) u   v  Cách khác: Hệ trở thành Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta u  v  u  v   (u  v)(u  v)  (u  v)  +Khử số hạng tự để đưa phương trình dạng u  v  u  v u  v  1    u   v + Đặt x = ty, pt trở thành 2 * Với u = v thay vào (1) ta v   u  v2  v     v  2 (loai )  x 3 1 x   Ta có hệ:   y   y  * Với u=1-v thay vào (1) ta được: ax  bxy  cy  y  y (at  bt  c)    at  bt  c   Xét y = thay vào hệ tìm x  Xét at  bt  c  tìm nghiệm (nếu có) sau tìm x,y  1 1 1  u  1  (loai ) v  2 2 Ví dụ Giải hệ: v 1 v   v  v 1     1  x  xy  y  (loai ) v   2  2 x  xy  y  Giải Vậy hệ có nghiệm (4;4) Cách Thay x = vào hệ ta thấy không thỏa hệ Với x  đặt y = tx ta ThuVienDeThi.com 2 có x=0 khơng thỏa hệ t  Ta  x (3t  2t  1)  3t  2t      Đặt y=tx ta có:  2 t   82 t  2t  2  x (t  2t  2)  2   x3 (1  4t  t )  m  4t  t m     3t  x (1  3t )   x  1; y   4t  t Với t=-2 ta có:  Xét hàm số f ( x)  ta có:  x  1; y  2  3t  3t  2t  Với t=- ta có:  0t  f ' (t )  3 (1  3t )  Bảng biến thiên  x  17 ; y   17   t   x   17 ; y  17   Cách 2: Hệ cho tương đương với 2 x  x  y  18  16 x  14 xy  y   2 18 x  18 xy  y  18 2 f/(t) f(t) - +    Đặt y=tx ta có:  x   x0 x (16  14t  3t )    3t  14t  16  Từ bảng biến thiên, suy đường t=-2 t=3 m thẳng y  cắt đồ thị hàm số u  Với x=0 hệ trở thành:  hệ vô u   4t  t f ( x)  hai điểm có  3t nghiệm  x  1; y  hoành độ t1   t Với t=-2 ta có:   x  1; y  2 phương trình   x  ; y   17 x2  x suy  3t1  3t1 Với t=- ta có:   2t1  x   17 ; y  17 y   3t1 2 Ví dụ Tìm giá trị m để hệ có nghiệm Vậy với m hệ ln có nghiệm  x  xy  y  m   x  xy  Giải: ThuVienDeThi.com IV Phương pháp thế, cộng đại số: c/ Gọi (x1 ,y1); ( x2 ,y2) nghiệm hệ cho Chứng minh rằng: (x2 - x1)2+ ( y2 – y1)2  1 Phương pháp thế: Giải: Ví dụ Giải hệ phương trình sau: 2 x  x  y  (1)   xy  x  y  ( 2) iải: * Khi x  1 thay vào hệ ta y2  không thỏa hệ  1  G Từ (2)  x=a-ay thay vào (1) ta (a  1) y  a (2a  1) y  a  a  (3) a/ với a=1, ta có (3) trở thành: 2y2y   x  y=0   y   x  2  1 2 b/ Hệ có nghiệm phân biệt  (3) có Vậy hệ có nghiệm: (1;0), ( ; ) * Khi x  1 , từ (2)  y  Thay vào (1) ta được: 3 x x 1 nghiệm phân biệt a   0a    c/ Khi  a  hệ có nghiệm 3 x 2x  x    7  x 1   x  1 x  x  x   x   y  (x1;y1), (x2;y2)  x  2  y  1 y1,y2 nghiệm (3) nên   x     17  mãn 17 thỏa  x   y   17 a (2a  1)  2 x  x  x    y1  y  a    x  a  ay1   17  17 lại có  x   y   x  a  ay  y1 y   17a  a 2  a 1   Khi đó, Vậy hệ cho có bốn nghiệm: 1; 2,  2;  1, y  y1   ay1  ay 2  ( y  y1 )  (a  1)( y1  y )     17  17     17  17   ,   ; ;     4  17  17      x  y  x  (1)  x  ay  a  (2) Ví dụ 2: Cho hệ:   y  x (9  x ) Ví dụ Giải hệ:   x y  y  x a/ Giải hệ a=1 b/ Tìm a để hệ có nghiệm phân biệt ThuVienDeThi.com Giải: *Khi x=0 hệ trở thành: Vậy hệ cho có bốn nghiệm:  y   y0   y  3;1,  3;1,   96 78   96 78  ,    ; ;   13   13 13   13 *Khi x  , Hệ  y  x  y  x y  y 3  y  y 3 ( ) x   ( ) ( ) ( ) 21 x y x x       Ví dụ Giải hệ:   x  x  x x  y  x  x  y       xy  y   y( x  y )   y( x  y )  Giải: x   Hệ đãx cho x   y  x   x    x x   y  Thay (2) vào (1) ta được: y  x x  y  xy  y  x  Giải: Từ (2)  x  3y  2 (3) Thay vào (1) ta được:   x2 x   x x  xy  24     y  x  24  x * Với x = vào (3) ta y     Vô nghiệm x  24 thay vào (3) ta x được: 13x  213x  864  x   y   x  3  y  1   96 78  x   y 13 13   96 78 x   y 13 13  * Với y   xy  y  xy  x  xy  x y   y( y  x  xy  x  1)   y  xy  y  ( x  x  1)   x  x  y  y (1) Ví dụ Giải hệ   x   y  (2)    y  xy  xy  x y  y  Vậy hệ có nghiệm (0;0), (1;2), (2;2) x  8x  y y   y  y  x  y  xy  x  y  x (1)   y  x  x  y (2) y    y  y( x  1)  ( x  1)    y ( x  1)( y  x  1)   x  y  x  * Với y = thay vào (2) ta x = x = Suy trường hợp hệ có nghiệm (0; 0), (1; 0) * Với x  thay vào (2) ta y = y = -1 Suy trường hợp hệ có nghiệm (1; 0), (1; -1) * Với y  x  thay vào (2) ta  x   y  1  x  1 y  Suy trường hợp hệ có nghiệm: (0;-1), (1; 0) Vậy hệ cho có bốn nghiệm: (0; 0), (1; 0), (0; - 1), (1; -1) ThuVienDeThi.com Ví dụ Giải hệ sau:  x( x  1)(2 x  x  4)  2  x  x y  x y  x    x  xy  x  ( ĐỀ TSĐH KHỐI B NĂM 2008) Giải: ( x  xy )  x  (1) Hệ cho    x  xy  x  (2) x2 Từ (2)  xy  3x   thay vào (1)   x  (l )    x   y  1   x  2  y    Ví dụ Giải hệ phương trình sau  x   y ( y  x)  y (1)  ( x  1)( y  x  2)  y (2) ta được: ( ĐỀ DỰ BỊ TSĐH KHỐI A NĂM  x2  x  x    x   x  12 x  48 x  64 x   x( x3  12 x  48 x  64)  2006)     Giải: Từ (1)  x   y  y ( y  x) thay vào (2) ta x  x      x  4  x  12 x  48 x  64  * Với x = thay vào (2) ta = Suy hệ vô nghiệm * Với x = -  y  17 Ví dụ Giải hệ: 4 (4  y  x)( y  x  2)    (4  ( x  y ))( y  x  2)    x ( y  1)( x  y  1)  x  x  (1)   xy  x   x (2) Giải: Ta có (2)  x( y  1)  x  * Với x = thay vào hệ thấy không thỏa hệ * Với x  ta có y 1  x2 1 x Thay vào (1) ta được: x2 1 x2 1 x2 ( )( x  )  3x  x  x x y   (4  y  x)( y  x  2)   * Với y = thay vào (1) ta thấy hệ vô nghiệm * Với 17 Vậy nghiệm hệ  4;   (4 y  y ( y  x))( y  x  2)  y  y (4  ( y  x))( y  x  2)  y   y ((4  y  x)( y  x  2)  1)  (*) Đặt t = x + y, (*) trở thành (4 – t)( t – 2) – =  t  Suy x + y =  y   x thay vào (1) ta x   (3  x)3  4(3  x) x  1 y   x2  x      x  2  y  Vậy nghiệm hệ (1; 2), (2;5) Ví dụ Giải hệ phương trình sau  x3  xy  49 (1)  2  x  xy  y  y  17 x (2) Giải: ThuVienDeThi.com * Thay x = vào hệ ta thấy x = khơng thỏa hệ Đặt t = x/y phương trình (4) trở thành t   t3 + 3t2 – 7t + =  t  2  thay vào (2) ta t  2   x  49 x  xy   y  17  24 y ( x  x)  x3  51 x  49 Với t = ta có x = y hệ có nghiệm 3x 1 1 ( ; ), (  ;  )  24 xy ( x  1)  ( x  1)(2 x  49 x  49)  ( x  1)(24 xy3 x32  49 x  349)  03 Với t = 2  hệ có nghiệm  x  1 2 2  ( ; ), ( ; )  y  x  49 x  49 7  7   24 x x3  49 * Với x  từ (1)  y   (*) 3x + Khi x = - thay vào (*) ta Với t = - + hệ có nghiệm x  49 x  49 + Khi y  thay vào (*) 24 x ( y  4 2 ; ); ( 72 7 2 ; ) 72 ta  x  49 x  49  x3  49    x  x3  45 x  94 x  49    24 x 3x    ( x  1) (4 x  x  49)   x  1  y  4 Vậy nghiệm hệ (1;  4), (1; 4) Ví dụ 10 Giải hệ phương trình  x3  xy  y  2 x  y .1 (1) Hệ   Thay (2) vào (1) ta x3 – 7xy2 + 3x2y + 3y3 = (3) * Với y = hệ cho vơ nghiệm * Với y  ta có x y 4y x 4x y Điều kiện: x  0; y  Giải : x y   x  y  Ví dụ Giải hệ   y  3x   Giải: 3  x  xy  y  x  y   x  xy  1  x  xy (2) Phương pháp cộng đại số:  x  xy  y (1) Hệ    y  xy  x (2) Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta yx  y  x  x  y x  y  4    * Với y = x thay vào (1) ta  x   y  (l )  x  2  y  2 x  x    x y (3)  ( )3  3( )2    (4) * Với y = - x – thay vào (1) ThuVienDeThi.com ta u  y  Đặt  với u  0, v  x  x    x  2  y  2 Vậy nghiệm hệ ( - ; - ) v  x   y  u    x  v  x  y   Ví dụ Giải hệ:  (*) Hệ trở thành Giải: Cách 1: Điều kiện: y  3, x  v  u  (1) v   u    u  v  (2) u   v   y  x    (*)    Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta x  y  y 3  5 x   x3  5 y  y   25  10 x  x  x   25  10 y  y  u  v  u  v   u  v  u  v u  v  1    u   v * Với u = v thay vào (1) ta v   u  v2  v     v  2 (loai ) x   x  (1)  x 3 1 y  x   y  (2)  Ta có hệ:      2  y 3 1 y        10 10 x y x y x y x  y x  y    (3)  * 10 Với vào (1) ta được:  y   25   x   25  10 y  y ) x  u=1-v x (4thay   1 1  u  1 v  2 x  y v2 1 v   v2  v 1    Ta có (3)    1 (loai ) x  y   v   *Với x=y thay vào (4) ta được: y  10 y  25   y   y  11 y  28   x   y  (l )  x   y  Vậy hệ có nghiệm (4;4) * Với y = – x thay vào (4) ta  9 (l ) x  2 x  x  19     9 9 y (l ) x  2  Vậy nghiệm hệ là: (4; 4) Cách 2: Ví dụ Giải hệ phương trình sau:  y  xy  y  x  1   2  y  xy  y  x  x   Hệ cho   y  xy  y  x  1 (1)  2 y  xy  y  x  x  (2) 10 ThuVienDeThi.com iải: G Cộng (1) (2) vế theo vế ta được: y  3 x  1y  x  x  (*) Ví dụ Giải hệ sau:  x  y  xy    x  x  1  x  y  Do đó, (*) có hai nghiệm: y = x + 1; y = 2x * Với y  x  thay vào (1) ta được: 3= (Vô nghiệm) * Với y = 2x thay vào (1) ta được:  2  y  2 x    2  y  2 x   Điều kiện: x  0, y   x  y  xy  16 (1) Hệ    x  y  xy  16 (2) Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta x2  y  x  y   x2  y  x  y  2( x  y )  ( x  y )  ( x  y )   y  x Vậy hệ cho có hai nghiệm: 2  2      ;  ;          Ví dụ Giải hệ phương trình:  x1  y 1    x 6  y   Giải: Thay vào phương trình (2) ta x = 2, suy ta y = Vậy nghiệm hệ (2; 2) Ví dụ Giải hệ sau:  x  x  y   x  y  x  y   y  18 (1)   x  x  y   x  y  x  y   y  (2) Giải: Điều kiện: x  -1, y  Cộng vế theo vế trừ vế theo vế ta có hệ Giải:  x   x   y   y   10   x   x   y   y    x   x   y   y   10   5  x   x 1  y   y 1   Điều kiện: x  x  y   , Đặt u= x   x  , v = y   y  Ta có hệ  x  16 x  73  10  x    u  v10 u  v 5 5   2 u v x  y 5 nghiệm hệ  y2  x  y 1  Trừ (1) (2) ta được: x  y   y   x thay vào (1) ta x   x  16 x  73  10  x  16 x  73  100  20 x   x  9  x    x   4x    25( x  9)  16 x  72 x  81   11 ThuVienDeThi.com 9   x   x     4 x4 9 x  72 x  144   x   suy y = (thỏa mãn hệ) Vậy nghiệm hệ (4; 4) Giải:  x  y  3x  y  Hệ   3( x  x)  2( y  y )  Đặt: u= x  3x v=y2+4y Hệ trở thành: V Phương pháp đặt ẩn phụ: Đặt ẩn phụ cách nhóm hạng tử , sử dụng đẳng thức:   13 x ;y   u  v  u    x  3x        y  y  2u  2v  v   x   13 ; y  Ví dụ Giải hệ: * a  b  (a  b)  2ab * a  b  (a  b)  2ab   x  y  x y  xy  xy   (1) (TS K   x  y  xy (1  x)   (2)  x  y  x  y  Ví dụ Giải hệ  A 2008)  xy ( x  1)( y  1)  12 Hệ cho Giải: Giải: Ta có: (2)   x( x  1)  y ( y  1)    x( x  1) y ( y  1)  12 u  x( x  1) Đặt v  y ( y  1) u  v  u   Hệ trở thành  uv  12 v  u   v  Từ suy nghiệm hệ x  y  xy  x y   5  ( x  y )  xy   4 Ta tìm cách biến đổi (1) pt có chứa x  y xy Ta có (1)  x  y  xy ( x  y  1)   Đặt u  x  y v  xy hệ trở thành 5   u v uv u o v      ;        2;1, 1;2, 1;3,  3;1,  2;2, 2;2,  2;3,  3;2 u   ; v   u v      2 Ví dụ Giải hệ:  x  y  x  y   3 x  y  x  y  12 ThuVienDeThi.com ta có hệ  x  y  x       y  3 25  xy     16 Với u=- , v   ta có hệ: 2  2 x  x   x   x  x         y   x  y   y    2x Với u=0, v=- Từ suy nghiệm hệ 2;1, 1;2, 1;3,  3;1,  2;2, 2;2,  2;3,  3;2 Ví dụ Giải bất phương trình x  x3y  x2 y2   x y  x2  xy  x  y   Ví dụ Giải hệ:  (*) ( ĐỀ DỰ BỊ KHỐI A NĂM 2007) Giải:  y  x   Giải: (x2  xy)2  x3y  Hệ cho   Cách 1: Điều kiện: y  3, x  3 (x  xy)  x y  Đặt u =  x2 + xy, v = x3y (I) thành Giải:  x( x  1)  y ( y  1)  Hệ    x( x  1) y ( y  1)  12 u  x( x  1) Đặt v  y ( y  1) u  v  u  Hệ trở thành   uv  12 v  u   v   (*)     u2  v  v   u  u  u      v  v   u  v   u  u  x  x  y   y 3  5 x  y    2 y    x  x 25 10 x 3  5 y  x  y   x   25  10 y  y  x   25    x  (1)  y  (2)  Do hệ cho tương đương:  x  y x  y    (3) x2  xy  x2  xy  y  x y   y   25  10 x  x (4)      x  x   1(vn)   x y  x y  x  y Ta có (3)   x  y   x  x  1 *Với x = y thay vào (4) ta được:   y  y  1 y  10 y  25   y   y  11 y  28   x   y  (l )  x   y  x  y  x  y  Ví dụ Giải hệ   xy ( x  1)( y  1)  12 13 ThuVienDeThi.com * Với y = – x thay vào (4) ta Đặt S  x  y,  9 (l ) x  trở thành: x  x  19     9 9 y (l ) ìïï SP = 30 x  2  í Giải P  xy , Hệ phương trình ìï ïï P = 30 ï Û ïí ỉ S 90 ữ ùù S(S - 3P) = 35 ùù ỗ ợ S ữ ùù Sỗ ữ = 35 ỗ Sứ ïỵ è ïì S = ïì x + y = ïì x = ïìï x = Û ïí Û ïí Û ïí Úí ïï P = ïï xy = ïï y = ïï y = ỵ ỵ ỵ ỵ Vậy nghiệm hệ là: (4; 4) Cách 2: Điều kiện: y  3, x  u  y  Đặt  với u  0, v  v  x   y  u    x  v  Ví dụ Giải hệ phương trình  xy ( x  y )  2  3 x  y  Hệ trở thành Giải Đặt t   y, S  x  t , trình trở thành: v  u  (1) v   u    u  v  (2) u   v  P  xt , Hệ phương ïìï xt(x + t) = ïì SP = Û ïí í 3 ïï x + t = ïï S - 3SP = ỵ ỵ ìï S = ìï x = ìï x = Û ïí Û ïí Û ïí ïï P = ïï t = ïï y = - ỵ ỵ ỵ Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta u  v  u  v   u  v  u  v u  v  1    u   v Ví dụ Giải hệ phương trình * Với u = v thay vào (1) ta x  y     x y   x2  y     x2 y v   u  v v20  v  2 (loai )  x 3 1 x  Ta có hệ:    y   y  Giải Điều kiện x  0, y  Hệ phương  trình  5tương đương với: * Với u=1-v thay vào (1) ta được:  1  u ïì 1ỉ v  ïïï çççx + v2 1 v   v2  v 1    ïè  í 1 (loai ) ùù ỗổ v ùù ỗx + ỗ ùợ ố (loai ) 1ử ữ+ ổ ữ= ỗy +2 ữ 2ữ ữ ç ÷ ç xø è ỳ 2 1ư 1ư ữ + ổ ữ ỗ + y ữ ữ ỗỗ ÷ ÷ = è xø yø Đặt Vậy hệ có nghiệm (4;4) Ví dụ Giải hệ phương trình  x y  xy  30  3  x  y  35 ổ 1ử S = ỗỗx + ữ ữ+ ỗố ữ xø ta có: 14 ThuVienDeThi.com ỉ ỉ ưỉ 1ử ỗỗy + ữ ữ, P = ỗỗx + ữ ữỗỗy + ữ ữ ỗ ỗ ữ ữỗ ữ ố ố yứ x ứố yứ ỡổ ùùù ỗỗx + ỡù S = ỡù S = ù ỗố ïí Û ïí Û ïí ï S - 2P = ùP= ùổ ợù ợù ùùù ỗỗỗx + ïỵ è ìï ïï x + = ïì x = x Û ïí Û ïí ïï ïï y = ỵ = ïï y + y ùợ ổ 1ử ữ ữ + ỗỗy ữ ç xø è ưỉ ÷ç ÷çy + ÷ ç x øè Ví dụ 10 Giải hệ phương trình  x  y  xy  (1)  (2)  x  y  Giải Điều kiện x, y  Đặt t  xy  , ta có: xy = t (2) Þ x + y = 16 - 2t Thế vào (1), ta được: t - 32t + 128 = - t Û t = u  2  v  3 *Từ giải nghiệm (x;y) (1;0) (-1;0) Điều kiện: x  y  Hệ cho     2      x y x y 3( ) ( ) 3  x  y     (x ( x  y)2    x y   ( x  y )   ( x  y )    ( x  y )  x  y  ( x  y x y   u  x  y  x y Đặt  v  x  y  Ta có  2 x  y  x  x  y  x y    x  y   y  x  y   x y  (x  xy )  1 x  xy  u *Đặt  , x y  v u   v u   Hệ trở thành  v  u  1 v  Giải: 3u  v  13 u   u v   v   (x  xy )   x 3y 2 x    x y sau: Hệ trở thành  Suy ra: Ví dụ 11 Giải hệ phương trình : x  x 3y  x 2y   x y  x  xy  1 Giải: *Hệ cho   1ư Ví dụ 12 Giải hệ phương trình ÷ ÷= ÷ ỳ  2 3( x  y )  ( x  y )  7  1÷ ( x  y)2  = ÷ ÷  ỳ +  y3   x  Ví dụ 13 Giải hệ   x  y  82 Giải: Điều kiện: x  Đặt u  x  v  y  x  u Ta có   x  u   3  y   v  y  v  u  v  (1) Hệ cho trở thành  u  v  81 (2) Từ (1)  v   u thay vào (2) ta u  (3  u )3  81 u  u  9u  27u  54   (u  3)(u  2u  15u  18)  15 ThuVienDeThi.com Hệ trở thành u     u 3 v  u  u  2u  15u  18  ( VN )  2  v   u   v    u v  u  14u  42 (1     u   v   u    v v  x   x   Khi ta có  u  v  14v  42 (  y 1  y   Vậy nghiệm hệ ( 9; 1) Lấy (1) trừ (2) cộng (1) cho (2) vế theo vế ta x  y 1  Ví dụ 14 Giải hệ   y  x   Giải: x  y 1 Điều kiện:  u  y    y  u4 1 Đặt  Suy ra,   x  v  v  x   Khi hệ trở thành v  u  u  v u  v    u  v  v  v  v(v  1)  u  v u      v  ( n)   v   v  1 (l )    y 1  y 1  Suy   x   Vậy nghiệm hệ (1; 1)  x5  y2  Ví dụ 15 Giải hệ   x   y   Điều kiện: x  2, y  y2 2 x  ( y  2) x  xy  m ( x, y  ¡ )   x  x  y   2m Giải: Hệ u  x   x  u  suy ra,  Đặt  v  17    x    x   Suy ra,   y2   y  17   17   x  Vậy nghiệm hệ   y  17  Ví dụ 16 ( ĐỀ TSĐH KHỐI D NĂM 2011) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm x  Giải: 2v  2u  14u  14v  2(v  u )(v  u )  14(v  u )    u  v  u  v  3  u  ( n)  2(v  u ).3  14(v  u )  v  u      u v u v 3       v  ( n )   y  v   ( x  x)(2 x  y )  m  ( x  x)  (2 x  y )   2m  u  x  x ( u   ) Đặt  v  x  y (v  ¡ ) 16 ThuVienDeThi.com Hệ thành (x2  xy)2  x3y  (I)   (x2  xy)  x3y  : v  (1  2m)  u u  v   2m   uv  m u  u  m(2u  1) Đặt u =  x2 + xy, v = x3y (I) thành v   m  u    u  u  m (1)   2u  Đặt f(u) u  u ,u ; 2u  2u  2u  ; (2u  1) f/(u) = f/(u)=0  u  u = 1  (loại) 1   u 1  Do hệ cho tương đương: x2  xy  x2  xy  y  x y      x  x  1(vn) x y  x3y  x  x  1   y  y  1 Ví dụ 18 Giải hệ  x  x  y  y    2  x y  x  y  22  Giải: + f/(u) +   u2  v  v   u  u  u      v  v   u  v   u  u  2) f(u) 2  Đặt – Vậy hệ có nghiệm  (1) có nghiệm 2 thuộc   ;    m     x2   u  y   v Hệ trở thành u   v  Ví dụ 17 Giải hệ phương trình (2)  ( x  2)  ( y  3)   2 ( x   4)( y   3)  x   20   2 x  x y  x y  (I)  x y  x2  xy  u  v   u.v  4(u  v)   u   v   x   x  2  x  ; ; ;   y   y   y   x     y  ( ĐỀ DỰ BỊ KHỐI A NĂM 2007) Giải: 17 ThuVienDeThi.com Đặt ẩn phụ cách chia nhân hai vế phương trình hệ cho biểu thức chia hai phương trình hệ: Ta có hệ aa ba720  ab  43 hay ab  125 Vậy 1    x  y   x  y  5 hay  x x  3   12  y  y x  4x    x  3y Giải:  *Khi x=0 hệ trở thành:  y   y0   y  *Khi x  ,  x  5x  12  (VN) x  12y Hệ    y  x (9  x ) Ví dụ Giải hệ:   x y  y  x aa bb713  hay x    y   x3 yhay 3y  y y  y   3 y  ( x )  x  ( x  x )  y ( x  x )  ( x  x)  21 x   x hệ phương Ví dụ Giải trình      x 2  x y y y   y( x  )   xy   y( xx(x  )y61)  3y0 6     x x    x (x, y  R) (x  y)     x hệ có nghiệm (0;0), (1;2), (2;2) Ví dụ Giải hệ phương trình  xy  x   7y (x, y  ¡ )  2    x y xy 13y  ( ĐỀ TSĐH KHỐI B NĂM 2009) Giải: *Với y = hệ vô nghiệm x   x  y  y  * y  hệ   x  x    13 y y  x Đặt a = x  ; b =  y y x a  x    x   a  2b y y y ( ĐỀ TSĐH KHỐI D NĂM 2009) Giải: ĐK : x ≠ Hệ phương trình tương đương :  x(x  y  1)   x(x  y)  x     2 2  x (x  y)  x   (x  y)   x ĐK : x ≠ Đặt t=x(x + y) Hệ trở thành:  t  x  tx 3  t  x   t         2  t  x   (t  x)  2tx   tx  x2  18 ThuVienDeThi.com Vậy * Với u   v thay vào (2) ta   x(x  y)   x(x  y)   y 1 y     2v  v   v    2v  2v      x2  x 1  x 1   x  1  v   Ví dụ Giải hệ phương trình  1  v   2  2 x  x  y   1  3 u  + Khi v  ta có  y  y x  y  2 2   1  Giải :  y    Điều kiện : 1 y     3  x   2 x  x  y   x    2 Hệ     x20 1  3 u  + Khi v  ta có  y y 2 u  x  1   y   Đặt    1 y  v  y    3  x   x  2u  u  v   (1)   2 Hệ trở thành  2v  v  u   (2) Vậy nghiệm hệ (-1 ;-1),(1 ;1), ( Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta 3 3 ), ( ) ; ; 2 2 2u  2v  2u  2v   u  v  u  v  2 1 1  (u  v)(u  v)  u  v   (u  v)(u  v  1)  Ví dụ : Giải hệ phương trình: u  v  x  y  xy   y  , ( x, y  R )  2 u   v y ( x  y )  x  y   * Với u = v thay vào (2) ta v  2v  v  v     v  1 + Khi v   u  ta có 1  1 y 1  y x  x   + Khi v  1  u  1 ta có 1   1  y  1  y  x  1  x  1  Giải: * Thay y = vào hệ ta thấy không thỏa hệ * Với y  , ta có:  x2  x y 4   x  y  xy   y y    2  y( x  y)  x  y  ( x  y )  x    y x2  ,v  x y Đặt u  y 19 ThuVienDeThi.com Ta có hệ: * Với v   u  ta có u  v  u   v v  3, u     x  y    x     v  u  v  v  15  v   5, u       y 1  x  1 + Với v  3, u  ta có hệ: * Với v   u  ta có  x2   y  x2   y  x2  x    x  1, y  2        x  2, y  51 x   x  y  x y 3  y  3 x  y  3 x     1 y    + Với v  5, u  ta có hệ:   x 2 2 x 1  y x 1  y  x  x  46  Ví dụ Giải hệ sau:    x  y   y    x y    x    1  xy  xy  x  , hệ vô nghiệm  1 y y 3 y Vậy hệ cho có hai nghiệm:  x x x  ( x; y )  {(1; 2), (2; 5)} Ví dụ Giải hệ phương trình sau:  x  xy  x     ( x  y )    x  Điều kiện: x  1   y Hệ   x  y  x x Đặt u  0 x Giải:   x  y   x  Hệ cho  ( x  y )     x2 u  x  y Đặt  Hệ trở thành v   x u   3v  (1)  2 u  5v   (2) Từ (1)  u  3v  thay vào (2) ta y 1 x y 3 y x v  y 0 Hệ trở thành u  v  uv  u  v  uv    3 2 u  v  u  3v (u  v)(u  v  uv)  u  3v u  v  uv  u  v  uv  u     v  (u  v)(1  2uv)  u  3v v(u  uv  1)  (3v  1)  5v    9v  6v   5v   v   4v  v     v   Giải: Điều kiện: x > 0, y   1 x  Suy  x  y   y 0  Vậy nghiệm hệ ( 1; 0) 1  x y  xy  10 x 1  xy  y  x Ví dụ Giải hệ  Giải: 20 ThuVienDeThi.com ... (2) Ví dụ 2: Cho hệ:   y  x (9  x ) Ví dụ Giải hệ:   x y  y  x a/ Giải hệ a=1 b/ Tìm a để hệ có nghiệm phân biệt ThuVienDeThi.com Giải: *Khi x=0 hệ trở thành: Vậy hệ cho có bốn nghiệm:... x1)2+ ( y2 – y1)2  1 Phương pháp thế: Giải: Ví dụ Giải hệ phương trình sau: 2 x  x  y  (1)   xy  x  y  ( 2) iải: * Khi x  1 thay vào hệ ta y2  không thỏa hệ  1  G Từ (2)  x=a-ay... nghiệm hệ (1; 2), (2;5) Ví dụ Giải hệ phương trình sau  x3  xy  49 (1)  2  x  xy  y  y  17 x (2) Giải: ThuVienDeThi.com * Thay x = vào hệ ta thấy x = không thỏa hệ Đặt t = x/y phương