Phương pháp giải hệ đối xứng loại II số tập mẫu ( Phần dùng lượng giác với hàm số phía sau chưa phải làm nha Kiến thức lên 11, 12 dùng được) Hệ đối xứng loại (kiểu) II: a Định nghĩa: ìï f(x, y) = Là hệ phương trình có dạng tổng qt ïí (đổi vị trí x y cho ïï f(y, x) = ỵ phương trình trở thành phương trình kia) b Phương pháp giải chung: Trừ hai phương trình cho nhau, đưa phương trình tích, giải x theo y (hay ngược lại) vào hai phương trình hệ c Chú ý: Ngồi phương pháp chung ta sử dụng phương pháp khác như: - Phương pháp đánh giá - Phương pháp đồ thị - Phương pháp điều kiện cần đủ d Ví dụ: ìï 2x - 3x = y -2 (* ) Ví dụ 11: Giải hệ phương trình ïí (11) ïï 2y - 3y = x -2 (* * ) ïỵ GIẢI Lấy (*) trừ (**) vế với vế ta được: 3x - 3y - (3x - 3y) = Û (x - y)(x + y) - (x - y) = éx - y = éx = y ê Û (x - y)(x + y - 1) = Û ê Û êx + y - = êx = - y ê ê ë ë Với x= y thay vào (*) ta có : éx = éx = y = ê 2x - 3x = x - Û x - 3x - = Û ê Û êx = êx = y = ê ê ë ë Với x=1- y thay vào (*) ta có : 2y - 3y = (1 - y)2 - Û y - y + = (vô nghiệm) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (1; 1) (2; 2) * Các trường hợp khác: i) Có hệ phương trình sau đưa dạng tích khơng biểu diễn x theo y mà phải sử dụng cách đánh giá Giáo viên: Phạm Thị Cảnh -1ThuVienDeThi.com Phương pháp giải hệ đối xứng loại II số tập mẫu ìï x = 3x + 8y(* ) Ví dụ 12: Giải hệ phương trình ïí (12) ïï y = 3y + 8x (* * ) ïỵ GIẢI Lấy (*) trừ (**) vế với vế ta được: x - y = - 5x + 5y Û (x - y)(x + y + xy) + 5(x - y) = Û (x - y)(x + y + xy + 5) = Û (x - y)[(x + Do (x + y) + y + 5] = 0(* * * ) y) + y + > với " x, y nên (***) Û x - y = Û x = y thay vào (*) ta éx = éx = y = ê ê ê 3 được: x = 3x + 8x Û x - 11x = Û êx = 11 Û êêx = y = 11 ê ê êx = - 11 êx = y = - 11 ë ë Vậy hệ (12) có nghiệm (0;0) ; ( 11 ; 11 ) ; (- 11 ; - 11 ) ii) Có hệ phương trình sau đưa dạng tích khơng biểu diễn x theo y mà khơng sử dụng cách đánh giá ìï x = 2x + y(* ) (13) Ví dụ 13 Giải hệ phương trình ïí ïï y = 2y + x (* * ) ïỵ GIẢI Nhận xét: Nếu dùng cách giải thông thường trừ (*) cho (**) vế với vế ta được: éx - y = (x - y)(x + xy + y - 1) = Û ê êx + xy + y - = 0(* * * ) ê ë Đối với trường hợp (***) kết hợp với phương trình hệ phức tạp Ta giải theo cách sau: ìï (x - y)(x + xy + y - 1) = Trừ cộng (*) (**) vế với vế ta được: ïí ïï (x + y)(x - xy + y - 3) = ïỵ ìï x + xy + y - = ïìï x + y = ïìï x - y = ïìï x - y = Û í Úí Úí Ú íï 2 2 ïỵï x + y = ỵïï x - xy + y - = ỵïï x + xy + y - = ïỵïï x - xy + y - = TH1: ïìï x - y = ïì x = Û ïí í ïï x + y = ïï y = ỵ î Giáo viên: Phạm Thị Cảnh -2ThuVienDeThi.com Phương pháp giải hệ đối xứng loại II số tập mẫu éìï x = êï êíï ìï x - y = ìï x = y êïïỵ y = ï ï TH2: Û Û êì í í ïï x - xy + y - = ïï x = êïï x = - ỵ ỵ êí êï y = - ê ëỵïï TH3: ìï x + y = ìï ï ï Û í í ïï x + xy + y - = ïỵï ỵ x y x y = = = = ìï ïìï x + xy + y - = ïìï xy = - ï Û Û í í í ïï x - xy + y - = ïï x + y = ïï ỵ ỵ ïỵ TH4: éìï êïí ê y= - x êïỵï Û êìï x2 = êï êíï êỵï ë - - 1 éìï êïí êï xy = - êỵï Û ê ì x+ y= êïï êíï ê ëỵï x y x y = = = = - - 1 Vậy hệ phương trình (13) có nghiệm (0; 0); ( ; ); ( - ; - ) ; (1; -1) ; (-1; 1) iii) Có hệ phương trình đối xứng loại II khơng giải theo phương pháp quen thuộc ta phải dùng ẩn phụ để đưa hệ phương trình đối xứng loại II giải theo phương pháp quen thuộc ìï x + Ví dụ 14 Giải hệ phương trình ïí ïï y + ïỵ 3 y- 1= (14) x- 1= GIẢI ìï u = Đặt ïí ïï v = ïỵ x- y- ìï u + v = Hệ (14) trở thành ïí ï ïỵï v + u = theo phương pháp thông thường ta nghiệm hệ (14) (1;1) ìï x = y - y Ví dụ 15 Giải hệ phương trình ïí (15) ïï y = x - x ïỵ GIẢI: ìï u = x Đặt ïí ïï v = y ỵ ìï u = v - 2v ìï v - 2v - u = ïí Û (15') 2 ï v = u 2u u 2u v = ïïỵ ỵïï Hệ phương trình (15) trở thành Û ïí ï Giải theo phương pháp thông thường ta nghiệm hệ (15’) : Giáo viên: Phạm Thị Cảnh -3ThuVienDeThi.com Phương pháp giải hệ đối xứng loại II số tập mẫu ìï + ìïï 1- ïï u = ìï u = ìï u = ïïï u = ïí Úí Ú ïí Úí ïï v = ïï v = ïï ï 1- ï 1+ ỵ ỵ ïï v = ïï v = ỵï ỵï Vậy hệ phương trình (15) có nghiệm (0; 0) ; (3; 3) ; (3; -3) ; (-3; 3) ; (-3; -3) ; ( ( 1+ 1- 15 ; 15 ); ( - 12 1- ; 1+ 1- - 1; ); ( ; 2 2 5 );( );( - 1- - 1+ 15 - + ; 2 );( 1+ - 1+ ; );( 2 1+ - 1+ ; 2 - 1- ; 15 ); ) iv) Một số dạng hệ phương trình đối xứng loại II thường giải theo phương pháp biến đổi tương đương ìï x + + Ví dụ 16 Giải hệ phương trình ïí ïï ïỵ x- 2+ y- 2= y+ 5= (16) GIẢI: ìï x ³ Điều kiện ïí ïï y ³ ỵ Các vế hệ phương trình (16) dều khơng âm Bình phương hai vế ta được: ìï x + + y - + (x + 5)(y - 2) = 49 ìï x + y + + (x + 5)(y - 2) = 49(* ) ï ï Û í í ïï x - + y + + (x - 2)(y + 5) = 49 ïï x + y + + (x - 2)(y + 5) = 49 ïỵ ïỵ => (x + 5)(y - 2) = (x - 2)(y + 5) Û x = y Thay x=y vào (*) ta được: ìï 23 - x ³ 2x + + (x + 5)(x - 2) = 49 Û ïí Û x = 11 ïï x + 3x - 10 = (23 - x)2 ỵ Vậy hệ phương trình (16) có nghiệm (11; 11) v) Một số trường hợp điều kiện để biểu thức có nghĩa ta suy điều kiện cho ẩn từ dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ phép lượng giác hóa Ta xét ví dụ sau: ìï x + ï Ví dụ 17 Giải hệ phương trình ïí ïï y + ïỵ - y2 = (17) - x2 = GIẢI: Điều kiện x ; y £ Giáo viên: Phạm Thị Cảnh -4ThuVienDeThi.com Phương pháp giải hệ đối xứng loại II số tập mẫu ìï x = sin a - p p £ a, b £ , Đặt ïí ïï y = sin b 2 ỵ Biến đổi phương trình dạng: ïì sin a + cosb = ïì sin a + cosb = Û íï Û íï ïï sin b + cosa = ïï sin(a + b) = ỵ ỵ ìï ï ïíï ïï ïïỵ sin a + cosb = éa + b = ê êa + b = p ê ë éìï a = - b êï éa = b = éx = y = êïí sin a + cos(-a ) = ê ê Û êỵï Û ê Û êx = y = ê êa = b = p ê ë êa = b = p ê ë ê ë Vậy hệ phương trình có hai cặp nghiệm (0; 0) ; (1; 1) vi) Một số trường hợp hệ phương trình đối xứng loại II khơng giải theo phương pháp quen thc vµ khơng chọn ẩn phụ thích hợp để đưa giải quen thuộc Khi ta dïng phương pháp đánh giá sử dụng tính đơn điệu hàm số ìï + x + 11 - y = (18) Ví dụ 18 Giải hệ phương trình ïí ïï ïỵ 7+ y + 11 - x = GIẢI: Điều kiện x, y Ỵ [ - 7;11] Cộng vế theo vế phương trình hệ ta có: 7+ x + 11 - x + 7+ y + 11 - y = 12 (*) Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có: 7+ x + 11 - x £ 7+ y + 11 - y £ => + x + 11 - x + 7+ y + ìï + x = Do (*) Û ïí 11 - x ïï ïỵ 7+ y = 11 - y £ 12 Û x= y= 11 - y Vậy hệ phương trình (18) có nghiệm (2; 2) ìï x + - y = Ví dụ 19 Giải hệ phương trình ïí ïï ïỵ y+ 2- x = GIẢI: Giáo viên: Phạm Thị Cảnh -5ThuVienDeThi.com 2 (19) Phương pháp giải hệ đối xứng loại II số tập mẫu Nhận xét: Bài toán giải theo phương pháp đánh Điều kiện ³ x, y ³ Trừ vế phương trình hệ ta được: xÛ y+ x- 2- y - 2- x = 2- x = y- - y Û f(x) = f(y) với f(t) = t- 2- t Với ³ t ³ Ta thấy f’(t) = t + > 0; " t Ỵ D 2- t => Hàm đồng biến D Vậy f(x) = (f(y) Û x=y thay vào (*) ta được: x+ 2- x = Û + 2x - x = Û éx = 2x - x = Û 2x - x = Û ê êx = ê ë Vậy hệ phương trình (19) có nghiệm (0; 0) ; (2; 2) Mở rộng dạng toán chứa tham số (Tìm giá trị tham số để hệ phương trình đối xứng có nghiệm nhất) * Để giải tốn tìm giá trị tham số để hệ phương trình đối xứng có nghiệm ta dùng phương pháp điều kiện cần đủ: Bước 1: Điều kiện cần - Nhận xét nến hệ có nghiệm (x0; y0) (y0; x0) nghiệm hệ Do hệ có nghiệm x0 = y0 (*) - Thay (*) vào hệ ta giá trị tham số Đó điều kiện cần để hệ có nghiệm Bước 2: Điều kiện đủ - Thay giá trị vừa tìm tham số vào hệ giải để kiểm tra tính nghiệm hệ x xy y m Ví dụ 20: Xác định m để hệ 2 x y xy m (20) có nghiệm GIẢI: Bước 1: Điều kiện cần Nhận xét hệ có nghiệm (x0; y0) (y0; x0) nghiệm hệ Do hệ có nghiệm x0 = y0 Giáo viên: Phạm Thị Cảnh -6ThuVienDeThi.com Phương pháp giải hệ đối xứng loại II số tập mẫu Khi đó: m x x0 m m x m 3 (20) 2 x0 m 2 x0 x 2 x0 m Đó điều kiện cần để hệ có nghiệm Bước 2: Điều kiện đủ x xy y - Với m=1 ta được: 2 x y xy x+y xy nghiệm phương trình: x y (vn) xy t t2 - 3t + = nghiệm hệ x y t x y 1 xy x xy y - Với m= -1 ta 2 x y xy Nhận thấy hệ ln có hai cặp nghiệm (0; 1) (1; 0) - Với m= - x xy y x+y xy nghiệm phương trình: ta x y xy x y 1 x y xy t t - t+ =0 nghiệm hệ t 4 x y 4 (vn) xy Vậy với m=1 m= - hệ cho có nghiệm ệ phương trình (10) có nghiệm (2; 2) Giáo viên: Phạm Thị Cảnh -7ThuVienDeThi.com ... ïïỵ ỵïï Hệ phương trình (15) trở thành Û ïí ï Giải theo phương pháp thông thường ta nghiệm hệ (15’) : Giáo viên: Phạm Thị Cảnh -3ThuVienDeThi.com Phương pháp giải hệ đối xứng loại II số tập mẫu... Vậy hệ phương trình (13) có nghiệm (0; 0); ( ; ); ( - ; - ) ; (1; -1) ; (-1; 1) iii) Có hệ phương trình đối xứng loại II khơng giải theo phương pháp quen thuộc ta phải dùng ẩn phụ để đưa hệ phương. .. 15 ); ) iv) Một số dạng hệ phương trình đối xứng loại II thường giải theo phương pháp biến đổi tương đương ìï x + + Ví dụ 16 Giải hệ phương trình ïí ïï ïỵ x- 2+ y- 2= y+ 5= (16) GIẢI: ìï x ³