Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực49133

Chuyên đ b i d ng HSG www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho h c sinh giáo viên Trung H c Ph Thông M T S PH NG PHÁP GI I H PH NG TRÌNH KHƠNG M U M C H I DÙNG B T ình Sinh NG TH C D u hi u cho phép ta s d ng ph ng pháp th y s ph ng trình h h n s n Tuy nhiên có nh ng h s ph ng trình b ng s n ta c ng có th s d ng ph ng pháp Ví d 1: Gi i h ph ng trình nghi m d ng: ìx + y + z = ï í ïỵ(1 + x )(1 + y)(1 + z ) = + xyz ( ) ( Gi i: VT = + x + y + z + ( xy + yz + zx ) + xyz ³ + 3 xyz + 3 ( xyz)2 + xyz = + xyz ) D u “=” x y x=y=z=1 Ví d 2: Gi i h ph ng trình: ìï x + + x + + x + = y - + y - + y - í 2 ïỵ x + y + x + y = 80 K: x ³ -1;y ³ Gi i: Ta th y r ng n u ta thay x=y-6 ph ng trình th nh t VT=VP Do đó, ta xét tr h p sau: N u x>y-6 VT>VP N u x z5 - z + 2z2 Þ ( z - 1)( z + z + 2) < 1ư ỉ Do z + z + = ỗ z - ữ + ( z + 1)2 + > nên z1 Þ x0 Gi i h ph ng trình ì xy = a ï í yz = b ï zx = c ỵ Gi i: Do abc>0 nên h cho t ng đ ng v i www.TOANTRUNGHOC.com Thi - áp Án - Chuyên -Bài T p - Ph n M m Toán, Biên so n: Th y H ình Sinh, T Tốn, tr ng THPT Hùng V ng ThuVienDeThi.com Chuyên đ b i d ng HSG www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho h c sinh giáo viên Trung H c Ph Thông éì bc êïz = a êï ê ïï ab êí y = é ì xy = a c êï êï ê ï ê í yz = b ê ï x = ac ì xy = a ï ê b ê îï ï î xyz = abc Ûê Ûê í yz = b ê ì xy = a êì bc ï( xyz )2 = abc ê ỵ ï êïz = a ê í yz = b êï êï ê ïï ab ëê ỵ xyz = - abc êí y = c êï êï ac êï x = b ëêïỵ Ví d 2: Gi i h ph ng trình ì x + y + xy = ï í x + z + xz = ï y + z + yz = ỵ HD Gi i: (*) ì( x + 1)( y + 1) = ï (*) Û í( x + 1)( z + 1) = ï( y + 1)( z + 1) = ỵ T em có th gi i ti p m t cách d dàng Ví d 3: Gi i h ì x + yz = x ï í y + zx = y ï z + xy = z ỵ HD Gi i: (*) ì x + yz = x ì x + yz = x ï ï (*) Û í x - y + yz - xz = x - y Û í( x - y)( x + y - z - 1) = ï ï( x - z )( x + z - y - 1) = ỵ ỵ x - z + yz - xy = x - z T em có th gi i ti p m t cách d dàng BÀI T P T RÈN LUY N: Gi i h ph ng trình sau: Bài 1: ì xy = ï a) í yz = ï zx = ỵ ì xy + x + y = 11 ï b) í yz + y + z = ï zx + z + x = ỵ ì xy + x + y = ï c) í yz + y + z = -3 ï xz + x + z = -5 ỵ ì xy + xz = ï d) í yz + xy = ï xz + zy = -7 ỵ Bài 2: www.TOANTRUNGHOC.com Thi - áp Án - Chuyên -Bài T p - Ph n M m Toán, Biên so n: Th y H ình Sinh, T Toán, tr ng THPT Hùng V ng ThuVienDeThi.com Chuyên đ b i d ng HSG www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho h c sinh giáo viên Trung H c Ph Thơng ì x + xy + y = ì xy + y + x + = ì x ( x + y + z ) = - yz ï ï ï c) í y + yz + z = b) í yz + z + y = a) í y( x + y + z ) = - xy ï z + zx + x = ï xz + z + 3x = ï z( x + y + z ) = - xy î î î Bài 3: ì x + yz = x ï a) í y + zx = y ï z + xy = z ỵ III PH ì y - xz = b ï b)* í z - xy = b (a,b Ỵ R) ï x - yz = a î NG PHÁP ìx2 + y + z = ï c) í y + x + z = ïz2 + x + y = ỵ ìxyz=x+y+z ïyzt=y+z + t ï d) í ï ztx = z + t + x ïỵtxy = t + x + y T N PH tốn s ph c t p n u ta gi i h v i n (x ,y ,z) nh ng ch sau m t phép đ t a=f(x), b=f(y); c=f(z) … h s đ n gi n h n Ví d 1: Gi i h ph ng trình: ì x ( y + z )2 = (3x + x + 1) y z ï 2 2 í y ( x + z ) = (4 y + y + 1) x z ï z ( x + y)2 = (5z + z + 1) x y ỵ Gi i: N u x=0 suy đ c y=z=0 Þ ( x; y; z) = (0;0;0) nghi m c a h V i x ¹ 0; y ¹ 0; z ¹ chia c hai v cho x y z ta thu đ c ìỉ y + z ử2 1 ùỗ ữ = 3+ + x x ïè yz ø ï 1 ïæ x + z = 4+ + ớỗ ữ y y ïè xz ø ï ïæ x + y = + + ùỗố xy ữứ z z2 ỵ x y t a = ; b = ;c = Ta nh n đ z c ì( a + b )2 = c + c + ï ï í( b + c ) = a + a + ï 2 ïỵ( a + c ) = b + b + (1) (2) (3) L y (2)-(3) ta đ c: (a-b)[2(a+b+c)+1]=1 L y (1)- (3) ta đ c: (b-c)[2(a+b+c)+1)=1 Suy a-b=b-c Þ a+c=2b thay vào (3) ta đ c 3b2 - b - = T em có th gi i ti p Ví d 2: Gi i h ph ng trình sau: ìï x ( + 21y ) = í ïỵ x ( y - 6) = 21 www.TOANTRUNGHOC.com Thi - áp Án - Chuyên -Bài T p - Ph n M m Toán, Biên so n: Th y H ình Sinh, T Tốn, tr ng THPT Hùng V ng ThuVienDeThi.com Chuyên đ b i d ng HSG www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho h c sinh giáo viên Trung H c Ph Thông HD: N u gi i h v i n (x;y) ta th t khó đ th y đ cđ c ph ng h ng gi i z ìï z = 21y + í ïỵ y = 21z + Nh ng m i chuy n s rõ ràng ta đ t x = Khi d a v h ây h đ i x ng lo i Các em gi i ti p Ví d 3: Gi i h ph ng trình sau: HD: Ngh ch đ o v c a t ng ph Ví d 4: Gi i h ph Gi i: H cho t 12 ì xy ïx + y = ï 18 ï yz = í ïy + z ï xz 36 = ï ỵ x + z 13 ng trình sau đ t n ph ng trình sau: ng đ ì2 x + x y = y ï í2 y + y z = z ï2 z + z x = x ỵ ng v i: ì2 x = y(1 - x ) ï í2 y = z(1 - y ) ï2 z = x (1 - z ) ỵ Khi x = ±1; y = ±1; z = ±1 không nghi m c a h nên h cho t ì 2x ïy = - x2 ï 2y ï íz = - y2 ï ï 2z ïx = - z2 ỵ ng đ ng v i (1) (2) (3) pử ổ -p t x = tan a ; ỗ < a < ÷ 2ø è 2 tan a = tan 2a - tan a tan 2a = tan 4a (2) Û z = - tan 2a tan 4a = tan 8a = tan a (3) Û x = - tan 4a ka Þ tan a = tan 8a Û a = (k Ỵ Z ) -p p -p ka p -7 0 ta có g(x)>g(0)=0 Û Ph ng trình (*) vơ nghi m V i x0 "x Ỵ R x - x +1 x - x +1 Do g (x) hàm đ ng bi n nh n x = nghi m V y h ph ng trình có nh t nghi m x = y = z = BÀI T P T RÈN LUY N: Gi i h ph ng trình sau: ì2 x + = y + y + y ï 1) í2 y + = z + z + z ï2 z + = x + x + x ỵ ì y - x + 27 x - 27 = ï 2) í z - y + 27 y - 27 = ï x - z + 27 z - 27 = ỵ ì y +1 ïx = + x ï ì2x3 + x - 18 = y3 + y ïï ï z +1 3) í2 y + y - 18 = z + z (Olympic-2009) 4) í y = + (Olympic-2008) y ï2 z + 3z - 18 = x + x ï ỵ ï ïz = + x + ïỵ z 3 ìx = y + y + y - ì x + x + 3x - = y ï ï 5) í y = z + z + z - 6) í y3 + y + 3y - = z ï z = x3 + x + x - ï z + z + 3z - = x ỵ ỵ ì x3 + x - + ln( x2 - x + 1) = y ïï Bài 7: í y3 + 3y - + ln( y2 - y + 1) = z ï ïỵ z + 3z - + ln( z - z + 1) = x www.TOANTRUNGHOC.com Thi - áp Án - Chuyên -Bài T p - Ph n M m Toán, Biên so n: Th y H ình Sinh, T Tốn, tr ng THPT Hùng V ng 11 ThuVienDeThi.com Chuyên đ b i d ng HSG www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho h c sinh giáo viên Trung H c Ph Thông Gi i:Ta gi s (x,y,z) no c a h Xét hàm s ta có: f '(t ) = 3t + + 2t - f (t ) = t + 3t - + ln(t - t + 1) > nên f(t) hàm đ ng bi n t - t +1 Ta gi s : x=Max{x,y,z} y = f ( x) ³ f ( y) = z Þ z = f ( y) ³ f (z) = x V y ta có x=y=z Vì ph ng trình x3 + x - + ln( x2 - x + 1) = có nghi m nh t x=1 nên h cho có nghi m x=y=z=1 ì x2 - x + log (6 - y) = x ï ï Bài 8: Gi i h : í y2 - y + log3 (6 - z) = y (HSG QG B ng A n m 2006) ï ï z - z + log3 (6 - x) = z ỵ ì x ïlog3 (6 - y) = ï x2 - x + ì f ( y) = g( x) ï y ï ï Û í f ( z) = g( y) Gi i: H Û ílog3 (6 - z) = y - 2y + ï ï f ( x) = g( z) ỵ ï z ïlog3 (6 - x) = ïỵ z2 - z + Trong f (t ) = log (6 - t ) ; g (t ) = Ta có f(t) hàm ngh ch bi n, g '(t ) = t t - 2t + 6-t (t - 2t + v i t ẻ (-Ơ;6) ) > "t ẻ (-Ơ;6) ị g(t) l hm b Nờn ta có n u (x,y,z) nghi m c a h x=y=z thay vào h ta có: log (6 - x) = x x - 2x + ph ng trình có nghi m nh t x=3 V y nghi m c a h cho x=y=z=3 Ng i biên so n: H ình Sinh Email: sinhqluu@gmail.com www.TOANTRUNGHOC.com Thi - áp Án - Chuyên -Bài T p - Ph n M m Toán, Biên so n: Th y H ình Sinh, T Tốn, tr ng THPT Hùng V ng 12 ThuVienDeThi.com ... Thi - áp Án - Chuyên -Bài T p - Ph n M m Toán, Biên so n: Th y H ình Sinh, T Tốn, tr ng THPT Hùng V ng ThuVienDeThi.com Chuyên đ b i d ng HSG www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho h c sinh giáo viên... Thi - áp Án - Chuyên -Bài T p - Ph n M m Toán, Biên so n: Th y H ình Sinh, T Tốn, tr ng THPT Hùng V ng ThuVienDeThi.com Chuyên đ b i d ng HSG www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho h c sinh giáo viên... Thi - áp Án - Chuyên -Bài T p - Ph n M m Tốn, Biên so n: Th y H ình Sinh, T Toán, tr ng THPT Hùng V ng ThuVienDeThi.com Chuyên đ b i d ng HSG www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho h c sinh giáo viên