Chuyền đề bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán 79166

CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN PHẦN ĐẠI SỐ Chuyền đề 1: Các toán thực phép tính: Các kiến thức vận dụng: - Tính chất phép cộng , phép nhân - Các phép toán lũy thừa: an = a a a ; am.an = am+n ; am : an = am –n ( a  0, m  n) n a b (am)n = am.n ; ( a.b)n = an bn ; ( )n  an (b  0) bn Một số tốn : Bài 1: a) Tính tổng : 1+ + +… + n , 1+ + +… + (2n -1) b) Tính tổng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n+1) 1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2) Với n số tự nhiên khác không HD : a) 1+2 + + + n = n(n+1) 1+ 3+ 5+ …+ (2n-1) = n2 b) 1.2+2.3+3.4+ …+ n(n+1) = [1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4(5 – 2) + … + n(n + 1)( (n+2) – (n – 1))] : = [ 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 +……+ n( n+1)(n+2)] : = n(n+ 1)(n+2) :3 1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2) = [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( -1) + 3.4.5.(6 -2) + ……+ n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n-1))]: = n(n+1)(n+2)(n+3) : Tổng quát: Bài 2: a) Tính tổng : S = 1+ a + a2 +… + an b) Tính tổng : A = c c c    với a2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an-1 = k a1.a2 a2 a3 an 1.an HD: a) S = 1+ a + a2 +… + an  aS = a + a2 +… + an + an+1 Ta có : aS – S = an+1 –  ( a – 1) S = an+1 – Nếu a =  S = n Nếu a khác , suy S = a n 1  a 1 c c 1  (  ) với b – a = k a.b k a b c 1 c 1 c Ta có : A = (  )  (  )   (  ) k a1 a2 k a2 a3 k an 1 an b) Áp dụng c 1 1 1  ) (      k a1 a2 a2 a3 an 1 an c 1 = (  ) k a1 an = Bài : a) Tính tổng : 12 + 22 + 32 + … + n2 b) Tính tổng : 13 + 23 + 33 + … + n3 HD : a) 12 + 22 + 32 + ….+ n2 = n(n+1)(2n+1): b) 13 + 23 + 33 + … + n3 = ( n(n+1):2)2 ThuVienDeThi.com -Bài 3: Thùc hiÖn phÐp tÝnh: a) A = ( b) B  HD : A = Bài 4: 1 1      49     ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 212.35  46.92  510.73  255.492 2 3  125.7   14 9 ;B= 28 1, Tính: 1   P = 2003 2004 2005 5   2003 2004 2005  2   2002 2003 2004 3   2002 2003 2004 2, Biết: 13 + 23 + + 103 = 3025 Tính: S = 23 + 43 + 63 + + 203 3   0,375  0,3    1,5   0,75  11 12  : 1890  115 Bài 5: a) TÝnh A     2,5   1,25  0,625  0,5    2005   11 12   1 1 1 b) Cho B       2004  2005 3 3 3 Chøng minh r»ng B  5  13   10  230  46 25 6 Bài 6: a) Tính :  27 2  10   1   : 12  14  7  10   1 1     2012 b) TÝnh P  2011 2010 2009     2011 HD: Nhận thấy 2011 + = 2010+2 = … 2012 2010 1     2011 2011 2012 2012 1 1  2012     2011 = 2012(     ) 2011 2012 1 1 1 (1     99  100)    (63.1,2  21.3,6) 2 9 c) A       99  100  MS   Bài 7: a) TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc:  11   2 1 31  15  19   14  31   1 A   1 93  50       12      ThuVienDeThi.com -b) Chøng tá r»ng: B   1 1      2 3 2004 2004 Bài 8: a) Tính giá trị biểu thức:    81,624 :  4,505   125   A  11      13   : , 88 , 53 ( , 75 )    : 25       25  b) Chøng minh r»ng tæng: S 1 1 1     n   n   2002  2004  0,2 2 2 2 2 Chuyên đề 2: Bài tốn tính chất dãy tỉ số nhau: Kiến thức vận dụng : a c   a.d  b.c b d a c e a c e abe -Nếu      với gt tỉ số dều có nghĩa b d f b d f bd  f a c e - Có   = k Thì a = bk, c = d k, e = fk b d f - Bài tập vận dụng Dạng Vận dụng tính chất dãy tỉ số để chứng minh đẳng thức a c a2  c2 a  Chứng minh rằng: 2  c b b c b a c HD: Từ  suy c  a.b c b a  c a  a.b 2  b c b  a.b a ( a  b) a  = b( a  b) b Bài 2: Cho a,b,c  R a,b,c  thoả mãn b2 = ac Chứng minh rằng: a (a  2012b) = c (b  2012c) Bài 1: Cho HD: Ta có (a + 2012b)2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.b2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.ac = a( a + 2.2012.b + 20122.c) (b + 2012c)2 = b2 + 2.2012.bc + 20122.c2 = ac+ 2.2012.bc + 20122.c2 = c( a + 2.2012.b + 20122.c) Suy : (a  2012b) a = (b  2012c) c Bài 3: Chøng minh r»ng nÕu HD : Đặt a c 5a  3b 5c  3d  th×  b d 5a  3b 5c  3d a c   k  a = kb, c = kd b d ThuVienDeThi.com -5a  3b b(5k  3) 5k  5c  3d d (5k  3) 5k      5a  3b b(5k  3) 5k  5c  3d d (5k  3) 5k  5a  3b 5c  3d Vậy  5a  3b 5c  3d Suy : a  b ab  với a,b,c, d  Chứng minh : c  d cd a c a d   b d b c 2 a b ab 2ab a  2ab  b (a  b) ab   ( ) (1) HD : Ta có 2  = 2 c d cd 2cd c  2cd  d (c  d ) cd Bài 4: BiÕt a  b ab 2ab a  2ab  b (a  b) a b =    ( ) (2) 2 2 c d cd 2cd c  2cd  d (c  d ) cd a b a b c  d  c  d ab a b Từ (1) (2) suy : ( ) ( )  cd cd ab  ba  c  d d  c Xét TH đến đpcm a c Chøng minh r»ng:  b d ab a  b a  b2 ab  vµ    cd c  d c2  d cd  a c HD : Xuất phát từ  biến đổi theo b d ab a  b a c a  b ab     ( ) hướng làm xuất 2 cd c  d b d c d cd Bài : Cho tØ lÖ thøc Bài : Cho d·y tØ sè b»ng nhau: 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    a b c d ab bc cd d a TÝnh M     cd d a ab bc 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d HD : Từ    a b c d 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d Suy : 1  1  1  1 a b c d abcd abcd abcd abcd     a b c d Nếu a + b + c + d =  a + b = -( c+d) ; ( b + c) = -( a + d) ab bc cd d a  M     = -4 cd d a ab bc ab bc cd d a Nếu a + b + c + d   a = b = c = d  M     =4 cd d a ab bc Bài : a) Chøng minh r»ng: NÕu x y z   a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c ThuVienDeThi.com -Th× b) Cho: a b c   x  y  z 2x  y  z 4x  y  z a b c   b c d abc a Chøng minh:    d bcd  x y z a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c HD : a) Từ      x y z a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c a  2b  c 2(2a  b  c) 4a  4b  c a  (1)    x 2y z x  2y  z 2(a  2b  c) (2a  b  c) 4a  4b  c b (2)    2x y z 2x  y  z 4(a  2b  c) 4(2a  b  c) 4a  4b  c c (3)    4x 4y z 4x  y  z a b c Từ (1) ;(2) (3) suy :   x  y  z 2x  y  z 4x  y  z x y z t Bài 8: Cho    y zt zt  x t  x y x y z chøng minh r»ng biÓu thøc sau cã giá trị nguyên x y y z zt t x    zt t  x x y y z x y z t y z t z t  x t  x y x y z    HD Từ     x y z t y zt zt  x t  x y x y z y z t z t  x tx y x yz  1  1  1  1 x y z t x y z t z t  x y t  x y z x y z t     x y z t P Nếu x + y + z + t = P = - Nếu x + y + z + t  x = y = z = t  P = yzx zx y x yz   x y z  x y z Hãy tính giá trị biểu thức : B = 1   1   1   y  z  x   Bài : Cho số x , y , z khác thỏa mãn điều kiện : Bài 10 : a) Cho số a,b,c,d khác Tính T =x2011 + y2011 + z2011 + t2011 Biết x,y,z,t thỏa mãn: x 2010  y 2010  z 2010  t 2010 x 2010 y 2010 z 2010 t 2010     a  b2  c2  d a b c d b) Tìm số tự nhiên M nhỏ có chữ số thỏa mãn điều kiện: M = a + b = c +d = e + f a 14 c 11 e 13  ;  ;  b 22 d 13 f 17 a b c c) Cho số a, b, c thỏa mãn :   2009 2010 2011 Biết a,b,c,d,e,f thuộc tập N* ThuVienDeThi.com -Tính giá trị biểu thức : M = 4( a - b)( b – c) – ( c – a )2 Một số tương tự Bài 11: Cho d·y tØ sè b»ng nhau: 2012a  b  c  d a  2012b  c  d a  b  2012c  d a  b  c  2012d    a b c d ab bc cd d a TÝnh M     cd d a ab bc Bài 12: Cho số x , y , z, t khác thỏa mãn điều kiện : y  z  t  nx z  t  x  ny t  x  y  nz x  y  z  nt    ( n số tự nhiên) x y z t x + y + z + t = 2012 Tính giá trị biểu thức P = x + 2y – 3z + t Dạng : Vận dụng tính chất dãy tỉ số để tìm x,y,z,… 1+3y 1+5y 1+7y Bài 1: Tìm cặp số (x;y) biết :   12 5x 4x HD : Áp dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng ta cã: 1+3y 1+5y 1+7y  7y   5y 2y  5y   3y 2y       12 5x 4x 4x  5x x 5x  12 5x  12 => 2y 2y  với y = thay vào không thỏa mãn  x x  12 Nếu y khác => -x = 5x -12 => x = Thay x = vào ta được: 3y y 1    y =>1+ 3y = -12y => = -15y => y = 12 2 15 1 VËy x = 2, y = tho¶ mÃn đề 15 Bi : Cho a b c   a + b + c ≠ 0; a = 2012 b c a Tính b, c HD : từ a b c abc      a = b = c = 2012 b c a abc Bài : Tìm số x,y,z biết : y  x 1 x  z  x  y     x y z x yz HD: Áp dụng t/c dãy tỉ số nhau: y  x  x  z  x  y  2( x  y  z )    2 (vì x+y+z  0) x y z ( x  y  z) x yz Suy : x + y + z = 0,5 từ tìm x, y, z 1 y 1 y 1 y   18 24 6x  y  y  y 2(1  y )  (1  y )  y   y  (1  y ) HD : Từ     18 24 6x 2.18  24 18  24  x Bài : Tìm x, biết rằng: ThuVienDeThi.com -1   x 1 6x x y z Bài 6: T×m x, y, z biÕt:    x yz (x, y, z  ) z  y 1 x  z 1 x  y  x y z x yz    x yz   HD : Từ z  y 1 x  z 1 x  y  2( x  y  z ) 1 1 Từ x + y + z =  x + y = - z , y +z = - x , z + x = - y thay vào đẳng thức 2 2 Suy : ban đầu để tìm x 3x y 3z   vµ x  y  z  64 216 2x 1 y  2x  y  Bài : Tìm x , y biết :   7x Bài : T×m x, y, z biÕt Chuyên đề 3: Vận dụng tính chất phép tốn để tìm x, y Kiến thức vận dụng : - Tính chất phép tốn cộng, nhân số thực - Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế  A, A  - Tính chất giá trị tuyệt đối : A  với A ; A     A, A  - Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : A  B  A  B dấu ‘=’ xẩy AB  0; A  B  A  B dấu ‘= ‘ xẩy A,B >0 A  m A  m A m (m  0) ; A  m   (hay  m  A  m) với m >  A  m  A  m - Tính chất lũy thừa số thực : A2n  với A ; - A2n  với A Am = An  m = n; An = Bn  A = B (nếu n lẻ ) A =  B ( n chẵn) 0< A < B  An < Bn ; Bài tập vận dụng Dạng 1: Các toán Bài 1: Tìm x biết a) x + 2x + 3x + 4x + … + 2011x = 2012.2013 b) x 1 x  x  x     2011 2010 2009 2008 HD : a) x + 2x + 3x + 4x + … + 2011x = 2012.2013  x( + + + ….+ 2011) = 2012.2013  x 2011.2012 2.2013  2012.2013  x  2011 ThuVienDeThi.com -b) Nhận xét : 2012 = 2011+1= 2010 +2 = 2009 +3 = 2008 +4 Từ  x 1 x  x  x     2011 2010 2009 2008 ( x  2012)  2011 ( x  2012)  2010 ( x  2012)  2009 ( x  2012)  2008    2011 2010 2009 2008 x  2012 x  2012 x  2012 x  2012     2 2011 2010 2009 2008 1 1  ( x  2012)(    )  2 2011 2010 2009 2008 1 1  x  2 : (    )  2012 2011 2010 2009 2008  Bài Tìm x nguyên biết a) 1 1 49      1.3 3.5 5.7 (2 x  1)(2 x  1) 99 b) 1- + 32 – 33 + ….+ (-3)x = 91006  Dạng : Tìm x có chứa giá trị tuyệt đối  Dạng : x  a  x  b x  a  x  b  x  c Khi giải cần tìm giá trị x để GTTĐ không, so sánh giá trị để chia khoảng giá trị x ( so sánh –a –b) Bài : Tìm x biết : a) x  2011  x  2012 b) x  2010  x  2011  2012 HD : a) x  2011  x  2012 (1) VT = x  2011  0, x nên VP = x – 2012   x  2012 (*)  x  2011  x  2012  2011  2012(vôly ) Từ (1)     x  2011  2012  x  x  (2011  2012) : Kết hợp (*)  x = 4023:2 b) x  2010  x  2011  2012 (1) Nếu x  2010 từ (1) suy : 2010 – x + 2011 – x = 2012  x = 2009 :2 (lấy) Nếu 2010 < x < 2011 từ (1) suy : x – 2010 + 2011 – x = 2012 hay = 2012 (loại) Nếu x  2011 từ (1) suy : x – 2010 + x – 2011 = 2012  x = 6033:2(lấy) Vậy giá trị x : 2009 :2 6033:2 Một số tương tự: Bài : a) T×m x biÕt x   x   b) T×m x biÕt: x  x   x  c) T×m x biÕt: x    x  Bi : a)Tìm giá trị x ®Ó: x   x   3x ThuVienDeThi.com -b) Tìm x biết: x   x   x Bài : tìm x biết : a) x   b) x  2011  2012 Dạng : Sử dụng BĐT giá trị tuyệt đối Bài : a) Tìm x ngyên biết : x   x   x   x   b) Tìm x biết : x  2010  x  2012  x  2014  HD : a) ta có x   x   x   x   x    x  x    x  (1) Mà x   x   x   x   suy ( 1) xẩy dấu “=” 1  x    x  x nguyên nên x  {3;4;5} 3  x  Hay  b) ta có x  2010  x  2012  x  2014  x  2010  2014  x  x  2012  (*) Mà x  2010  x  2012  x  2014  nên (*) xẩy dấu “=”  x  2012   x  2012 2010  x  2014 Suy ra:  Các tương tự Bài : Tìm x nguyên biết : x   x    x  100  2500 Bài : Tìm x biết x   x    x  100  605 x Bài : T×m x, y tho¶ m·n: x   x   y   x  = Bài : Tìm x, y biết : x  2006 y  x  2012  HD : ta có x  2006 y  với x,y x  2012  với x Suy : x  2006 y  x  2012  với x,y mà x  2006 y  x  2012  x  y   x  2006 y  x  2012     x  2012, y   x  2012  Bài : Tìm số nguyên x thoả mÃn 2004 x   x  10  x  101  x  990  x  1000 Dạng chứa lũy thừa số hữu tỉ Bài 1: Tìm số tự nhiên x, biết : a) 5x + 5x+2 = 650 b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162 HD : a) 5x + 5x+2 = 650  5x ( 1+ 52) = 650  5x = 25  x = b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162  3x -1(1 + 5) = 162  3x – = 27  x = Bài : Tìm số tự nhiên x, y , biết: a) 2x + 3y = 12x b) 10x : 5y = 20y 22 x y HD : a) =  x 1  x  x 1  y  x Nhận thấy : ( 2, 3) =  x – = y-x =  x = y = b) 10x : 5y = 20y  10x = 102y  x = 2y 2x + 3y 12x Bài : Tìm m , n nguyên dương thỏa mãn : a) 2m + 2n = 2m +n b) 2m – 2n = 256 HD: a) 2m + 2n = 2m +n  2m + n – 2m – 2n =  2m ( 2n – 1) –( 2n – 1) = 2n    (2m -1)(2n – 1) =   m  m  n 1 2   ThuVienDeThi.com -b) 2m – 2n = 256  2n ( 2m – n - 1) = 28 Dễ thấy m  n, ta xét trường hợp : + Nếu m – n =  n = , m = + Nếu m – n  2m – n – số lẻ lớn 1, VT chứa TSNT khác 2, mà VT chứa TSNT suy TH không xẩy : n = , m = Bài : Tìm x , biết :  x   x 1 HD : x   x 1  x   x 11  x   x 11 0 0  x   1   x  10     10 x 1   x   1 x  7        x7  x10       1( x7)10 0  x 1    x7010 x7 x 8  ( x7) 1 x 6 Bài : Tìm x, y biết : x  2011y  ( y  1)2012  HD : ta có x  2011y  với x,y (y – 1)2012  với y Suy : x  2011y  ( y  1)2012  với x,y Mà x  2011y  ( y  1)2012   x  2011 y     x  2011, y   y 1  Các tập tương tự : Bài : Tìm x, y biết : a) x   (3 y  4)2012  b) (2 x  1)2  y  x   12  5.22 Chuyên đề 4: Giá trị nguyên biến , giá trị biểu thức : Các kiến thức vận dụng: - Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, - Phân tích TSNT, tính chất số nguyên tố, hợp số , số phương - Tính chất chia hết tổng , tích - ƯCLN, BCNN số Bài tập vận dụng : * Tìm x,y dạng tỡm nghim ca a thc Bi 1: a) Tìm sè nguyªn tè x, y cho: 51x + 26y = 2000 b) Tìm số tự nhiên x, y biết: 7( x  2004)  23  y ThuVienDeThi.com -c) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = d) Tìm số nguyên tè tho¶ m·n : x2-2y2=1 HD: a) Từ 51x + 26y = 2000  17.3.x = 2.( 1000 – 13 y) 3,17 số NT nên x  mà x NT  x = Lại có 1000 – 13y  51 , 1000 – 13y > y NT  y = b) Từ 7( x  2004)  23  y (1) 7(x–2004)2   23  y   y  23  y  {0, 2,3, 4} Mặt khác số NT  13  y  y = y = thay vào (1) suy : x= 2005 ,y =4 x = 2003, y = x 1   x   1  y 3   y   3 c) Ta có xy + 3x - y =  ( x – 1)( y + 3) =   x 1   x   3  y 3 1  y   1 d) x2-2y2=1  x   y  ( x  1)( x  1)  y  x 1  y x   x 1  y y  VP = 2y2 chia hết cho suy x > , mặt khác y nguyên tố   a) Tìm số nguyên thỏa mãn : x – y + 2xy = b) Tìm x, y  ฀ biết: 25  y  8( x  2012)2 HD : a) Từ x – y + 2xy =  2x – 2y + 2xy =  (2x - 1)( 2y + 1) = 13 b) Từ 25  y  8( x  2012)2  y2  25 25 – y2 chia hết cho , suy y = y = y = , từ tìm x 1 Bi a) Tìm giá trị nguyên dương cđa x vµ y, cho: x y b) Tìm số a, b, c nguyên dương thoả mÃn : a  3a   5b vµ a   5c 1  x5 HD : a) Từ    ( x + y) = xy (*)  xy    x y  y 5 + Với x chia hết cho , đặt x = q ( q số tự nhiên khác 0) thay vào (*) suy ra: 5q + y = qy  5q = ( q – ) y Do q = không thỏa mãn , nên với q khác ta có Bài 5q  5  Z  q   Ư(5) , từ tìm y, x q 1 q 1 b) a  3a   5b  a2 ( a +3) = 5b – , mà a   5c  a2 5c = 5( 5b – – 1) 5b 1   a  c 1 Do a, b, c nguyên dương nên c = 1( c >1 5b – - không chia hết cho a khơng số ngun.) Với c =  a = b = y Bi 4: Tìm cặp số nguyên tố p, q tho¶ m·n: 52 p  2013  52 p  q 2 HD : 52 p  2013  52 p  q  2013  q  25 p  25 p  2013  q  25 p (25 p  1) Do p nguyên tố nên 2013  q  252 2013 – q2 > từ tìm c q Bi : Tìm tất số nguyên dương n cho: 2n chia hết cho HD : Với n < 2n không chia hết cho Với n  n = 3k n = 3k + n = 3k + ( k  N * ) Xét n = 3k , 2n -1 = 23k – = 8k – = ( + 1)k -1 = 7.A + -1 = 7.A  Xét n = 3k +1 2n – = 23k+1 – = 2.83k – = 2.(7A+1) -1 = 7A + không chia hết cho 2 ThuVienDeThi.com -Xét n = 3k+2 2n – = 23k +2 -1 = 4.83k – = 4( 7A + 1) – = A + không chia hết cho Vậy n = 3k với k  N * * Tìm x , y để biểu thức có giá trị ngun, hay chia hết: Bài T×m số nguyên m để: a) Giá trị biểu thức m -1 chia hết cho giá trị biểu thức 2m + b) 3m   HD : a) Cách : Nếu m >1 m -1 < 2m +1 , suy m -1 không chia hết cho 2m +1 Nếu m < -2 m   2m  , suy m -1 không chia hết cho 2m +1 Vậy m  { -2; -1; 0; 1} Cách : Để m  1 2m   2(m  1) 2m   (2m  1)  3 2m   3 2m  b) 3m    - < 3m – <  Bài m  2 m  m nguyên 3 m  a) Tìm x nguyên để x chia hÕt cho x  b) T×m x  Z để A Z tìm giá trị  2x  x  2( x  3)  HD: A = =  2 x3 x3 x3 x3 2012 x  Bài 3: Tìm x nguyên để 1006 x  A= HD : 2012 x  2(1006 x  1)  2009 2009 =  2 1006 x  1006 x  1006 x  2012 x   20091006 x   x số CP 1006 x  Với x >1 x số CP 1006 x   2012  2009 suy 2009 không chia hết cho 1006 x  để Với x = thay vào khơng thỏa mãn Với x = 2009 :1006 x   2009 Chuyên đề : Giá trị lớn , giá trị nhỏ biểu thức: 1.Các kiến thức vận dụng : * a2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2  với a,b * a2 – ab + b2 = ( a – b)2  với a,b *A2n  với A, - A2n  với A * A  0, A ,  A  0, A * A  B  A  B , A, B dấu “ = ” xẩy A.B  * A  B  A  B , A, B dấu “ = ” xẩy A,B  Bài tập vận dụng: * Dạng vận dụng đẳng thức : a2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2  với a,b Và a2 – ab + b2 = ( a – b)2  với a,b Bài 1: Tìm giá trị nhỏ đa thức sau: a) P(x) = 2x2 – 4x + 2012 b) Q(x) = x2 + 100x – 1000 ThuVienDeThi.com -HD : a) P(x) = 2x2 – 4x + 2012 = 2(x2 – 2.x + 12 ) + 2010 = 2( x – 1)2 + 2010 Do ( x - 1)2  với x , nên P(x)  2010 Vậy Min P(x) = 2010 ( x - 1)2 = hay x = b) Q(x) = x2 + 100x – 1000 = ( x + 50)2 – 3500  - 3500 với x Vậy Min Q(x) = -3500 Từ ta có tốn tổng qt : Tìm GTNN đa thức P(x) = a x2 + bx +c ( a > 0) b b b2 + ( )2 ) + ( c ) 2a 2a 4a b 4ac  b 4ac  b 4ac  b b ) , x Vậy Min P(x) = = a( x  )  ( x =  2a 4a 4a 4a 2a HD: P(x) = a x2 + bx +c = a( x2 + 2.x Bài : Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) A = - a2 + 3a + b) B = x – x2 3 25 25 25 Do (a  )  0, a nên A  , a Vậy Max A = a = 4 2 2 c) B = x  x  ( x  2.x.1  )   ( x  1)  Do ( x  1)  0, x  B  1, x HD : a) A = - a2 + 3a + = (a  2.a  ( )2 )  (4  )  (a  )2  Vậy Max B = x = Bài : Tìm giá trị lớn biểu thức sau: a) P = 2012 x  x  2013 b) Q = a 2012  2013 a 2012  2011 * Dạng vận dụng A2n  với A, - A2n  với A Bài : Tìm GTNN biểu thức : a) P = ( x – 2y)2 + ( y – 2012)2012 b) Q = ( x + y – 3)4 + ( x – 2y)2 + 2012 HD : a) ( x  y )2  0, x, y ( y  2012)2012  0, y suy : P  với x,y x  y   x  4024   Min P =   y  2012   y  2012 b) Ta có ( x  y  3)  0.x, y ( x  y )2  0.x, y suy : Q  2012 với x,y ( x  y  3)  x   Min Q = 2012   y 1 ( x  y )  2013 Bài : Tìm GTLN R = Bài : Cho ph©n sè: C  ( x  2)  ( x  y )  3x 2 4 x 5 (x Z) a) Tìm x Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn b) Tìm x Z để C số tù nhiªn HD : C  x  4.(3 x  2) 12 x  23    (1  ) x  3.(4 x  5) 12 x  15 12 x  15 C lớn Vậy Max C = 23 lớn  12 x  15 nhỏ 12 x  15   x  12 x  15 23 (1  )  x = ThuVienDeThi.com 7n có giá trị lớn 2n n  2(7 n  8) 14n  16    (1  ) HD : Ta có 2n  7(2n  3) 14n  21 14n  21 7n  Để lớn lớn  14n  21  14n – 21 có giá trị nhỏ 14n  21 2n  21  n   n nhỏ  n = 14 * Dạng vận dụng A  0, A ,  A  0, A Bài : T×m sè tù nhiên n để phân số A B A  B , A, B dấu “ = ” xẩy A.B  A  B  A  B , A, B dấu “ = ” xẩy A,B  Bài 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức a) A = ( x – 2)2 + y  x + b) B = 2011 2012  x  2010 HD: a) ta có ( x  2)2  với x y  x  với x,y  A  với x,y ( x  2)   x  Suy A nhỏ =   y   y  x  b) Ta có  x  2010  với x  2012  x  2010  2012 với x B B 2011 2011 với x, suy Min B = x = 2010 2012 2012 Bài : Tìm giá trị nhỏ biểu thức a) A  x  2011  x  2012 b) B  x  2010  x  2011  x  2012 c) C = x   x    x  100 HD : a) Ta có A  x  2011  x  2012 = x  2011  2012  x  x  2011  2012  x  với x  A  với x Vậy Min A = Khi ( x  2011)(2012  x)   2011  x  2012 b) ta có B  x  2010  x  2011  x  2012  ( x  2010  2012  x )  x  2011 Do x  2010  2012  x  x  2010  2012  x  với x (1) Và x  2011  với x (2) Suy B  ( x  2010  2012  x )  x  2011  Vậy Min B = BĐT (1) (2) ( x  2010)(2012  x)   x  2011  x  2011  xẩy dấu “=” hay  c) Ta có x   x    x  100 = ( x   100  x )  ( x   99  x )   ( x  50  56  x )  x   100  x  x   99  x   x  50  56  x = 99 + 97 + + = 2500 Suy C  2050 với x Vậy Min C = 2500 ( x  1)(100  x)  1  x  100 ( x  2)(99  x)  2  x  99     50  x  56    ( x  50)(56  x)  50  x  56 ThuVienDeThi.com -Chuyên đề : Dạng toán chứng minh chia hết 1.Kiến thức vận dụng * Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, * Chữ số tận 2n, 3n ,4n, 5n ,6n, 7n, 8n, 9n * Tính chất chia hết tổng Bài tập vận dụng: Bài : Chứng minh : Với số nguyên dương n : 3n   2n   3n  2n chia hết cho 10 HD: ta có 3n  2n  3n  2n = 3n  3n  2n  2n = 3n (32  1)  2n (22  1) = 3n 10  2n   3n 10  2n1 10 = 10( 3n -2n) Vậy 3n  2n  3n  2n  10 với n số nguyên dương Bài : Chứng tỏ rằng: 2004 A = 75 (4 + 42003 + + 42 + + 1) + 25 số chia hết cho 100 HD: A = 75 (42004 + 42003 + + 42 + + 1) + 25 = 75.( 42005 – 1) : + 25 = 25( 42005 – + 1) = 25 42005 chia hết cho 100 Bài : Cho m, n  N* p số nguyên tố thoả mãn: p mn = (1) m 1 p Chứng minh : p2 = n + HD : + Nếu m + n chia hết cho p  p  (m  1) p số nguyên tố m, n  N*  m = m = p +1 từ (1) ta có p2 = n + + Nếu m + n không chia hết cho p , từ ( 1)  (m + n)(m – 1) = p2 Do p số nguyên tố m, n  N*  m – = p2 m + n =1  m = p2 +1 n = - p2 < (loại) Vậy p2 = n + Bài 4: a) Sè A  101998  cã chia hÕt cho kh«ng ? Cã chia hÕt cho kh«ng ? b) Chøng minh r»ng: A  3638  4133 chia hÕt cho HD: a) Ta có 101998 = ( + 1)1998 = 9.k + ( k số tự nhiên khác không) = 3.1 + Suy : A  101998  = ( 9.k + 1) – ( 3.1+1) = 9k -3 chia hết cho , không chia hết cho b) Ta có 3638 = (362)19 = 129619 = ( 7.185 + 1) 19 = 7.k + ( k  N*) 4133 = ( 7.6 – 1)33 = 7.q – ( q  N*) Suy : A  3638  4133 = 7k + + 7q – = 7( k + q)  Bài : a) Chøng minh r»ng: 3n   2n   3n  2n chia hết cho 30 với n nguyên dương b) Chøng minh r»ng: 2a - 5b + 6c  17 nÕu a - 11b + 3c  17 (a, b, c  Z) Bài : a) Chøng minh r»ng: 3a  2b  17  10a  b  17 (a, b  Z ) b) Cho ®a thøc f ( x)  ax  bx  c (a, b, c nguyªn) CMR nÕu f(x) chia hÕt cho với giá trị x a, b, c ®Ịu chia hÕt cho HD a) ta có 17a – 34 b 17 3a + 2b 17  17a  34b  3a  2b17  2(10a  16b)17  10a  16b 17 (2, 7) =  10a  17b  16b 17  10a  b 17 b) Ta có f(0) = c f(0)   c  ThuVienDeThi.com -f(1) - f(-1) = (a + b + c) - ( a – b + c) = 2b , f(1) f(-1) chia hết cho  2b  b ( 2, 3) = f(1)   a  b  c  b c chia hết cho  a  Vậy a, b, c chia hết cho Bài : a) Chøng minh r»ng 102006  53 lµ mét sè tù nhiên b) Cho 2n số nguyên tố (n > 2) Chứng minh 2n hợp số HD : b) ta có (2n +1)( 2n – 1) = 22n -1 = 4n -1 (1) Do 4n- chia hêt cho v 2n số nguyên tố (n > 2) suy 2n -1 chia hết cho hay 2n -1 hợp số Chuyên đề : Bất đẳng thức 1.Kiến thức vận dụng * Kỹ thuật làm trội : Nếu a1 < a2 < a3 Chøng tá r»ng: M  HD : Ta có M a b c không số nguyên ab bc ca a b c a b c abc       1 ab bc ca abc cab abc abc  M 1 Mặt khác M  3( a b c (a  b)  b (b  c)  c (c  a )  a      ab bc ca ab bc ca b c a   ) = – N Do N >1 nên M < ab bc ca Vậy < M < nên M không số nguyên Bài Chứng minh : a  b  ab (1) , a  b  c  3 abc (2) với a, b, c  HD : a  b  ab  (a  b)2  4ab  a  2ab  b  4ab  a  2ab  b   (a  b)2  (*) Do (*) với a,b nên (1) Bài : Với a, b, c số dương Chứng minh a b a a) (a  b)(  )  (1) a b c b) (a  b  c)(   )  (2) b HD : a) Cách : Từ (a  b)(  )   (a  b)2  4ab  (a  b)2  (*) Do (*) suy (1) ThuVienDeThi.com -Cách 2: Ta có a  b  ab 1 1    (a  b)(  )  ab 4 a b a b ab ab Dấu “ =” xẩy a = b a b c b) Ta có : (a  b  c)(   )   Lại có bc ac ab a b b c a c    3 (  )  (  )  (  ) a b c b a c b c a a b b c a c   2;   2;   b a c b c a a b c Suy (a  b  c)(   )      Dấu “ = ” xẩy a = b = c Bi : a) Cho z, y, z sè d­¬ng Chøng minh r»ng: x y z    2x  y  z y  z  x 2z  x  y b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = Chøng minh r»ng: ab  bc  ca  HD : b) Tính ( a + b + c)2 từ cm ab  bc  ca  Chuyên đề : Các toán đa thức ẩn Bài : Cho đa thức P(x) = a x3 + bx2 + cx + d ( a khác 0) Biết P(1) = 100 , P( -1) = 50 , P(0) = , P( 2) = 120 Tính P(3) HD : ta có P(1) = 100  a + b + c + d = 100 P(-1) = 50  - a + b – c + d = 50 P( 0) =  d = P(2) = 8a + 4b + c + d = 120 Từ tìm c, d, a XĐ P(x) Bài : Cho f ( x)  ax  bx c với a, b, c số h÷u tØ Chøng tá r»ng: f (2) f (3)  BiÕt r»ng 13a  b  2c  HD : f( -2) = 4a – 2b + c f(3) = 9a + 3b + c  f(-2).f(3) =(4a – 2b + c)( 9a + 3b + c) Nhận thấy ( 4a – 2b + c) + ( 9a + 3b + c) = 13a + b + 2c =  ( 4a – 2b + c ) = - ( 9a + 3b + c) Vậy f(-2).f(3) = - ( 4a – 2b + c).( 4a – 2b + c) = - ( 4a -2b + c)2  Bài Cho ®a thøc f ( x)  ax  bx  c víi a, b, c số thực Biết f(0); f(1); f(2) có giá trị nguyên Chứng minh 2a, 2b có giá trị nguyên HD : f(0) = c , f(1) = a + b + c , f(2) = 4a + 2b + c Do f(0) ,f(1), f(2) nguyên  c , a + b + c 4a + 2b + c nguên  a + b 4a + 2b = (a + b) + 2a = 4( a + b) -2b ngyên  2a , 2b nguyên Bài Chøng minh r»ng: f(x)  ax  bx  cx  d cã giá trị nguyên với x nguyên 6a, 2b, a + b + c vµ d số nguyên HD : f(0) = d , f(1) = a + b + c + d , f(2) = 8a +4 b + c + d Nếu f(x) có giá trị nguyên với x  d , a + b + c + d, 8a +4b + c + d số nguyên Do d nguyên  a + b + c nguyên (a + b + c + d) + (a + b +c +) +2b nguyên  2b nguyên  6a nguyên Chiều ngược lại cm tương tự ThuVienDeThi.com -Bài : Tìm tổng hệ số đa thức nhận sau bỏ dấu ngoặc biểu thức: A(x) = (3  x  x ) 2004 (3  x  x ) 2005 HD : Giả sử A( x) = ao + a1x + a2x2 + … + a4018x4018 Khi A(1) = ao + a1 +a2 + …….+ a4018 A(1) = nên ao + a1 +a2 + …….+ a4018 = Bài : Cho x = 2011 TÝnh giá trị biểu thức: x 2011 2012 x 2010  2012 x 2009  2012 x 2008   2012 x  2012 x  HD : Đặt A = x 2011  2012 x 2010  2012 x 2009  2012 x 2008   2012 x  2012 x  x 2010 ( x  2011)  x 2009 ( x  2011)  x 2008 ( x  2011)   x( x  2011)  x   x = 2012 A = 2011 Chuyên đề Các toán thực tế Kiến thức vận dụng - Tính chất đại lượng tỉ lệ thuận : Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x : y = k.x  y y1 y2 y3     n  k ( k hệ số tỉ lệ ) x1 x2 x3 xn - Tính chất đại lượng tỉ lệ nghịch : Đại lượng y đại lượng x gọi hai đại lượng tỉ lệ nghịch : x.y = a  x1 y1  x2 y2  x3 y3   xn yn  a ( a hệ số tỉ lệ ) - Tính chất dãy tỉ số - Bài tập vận dụng *Phương pháp giải : Đọc kỹ đề , từ xác định đại lượng toán Chỉ đại lượng biết , đại lượng cần tìm Chỉ rõ mối quan hệ đại lượng ( tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch) Áp dụng tính chất đại lượng tỉ lệ tính chất dãy tỉ số để giải Bài : Một vật chuyển động cạnh hình vng Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vng biết tổng thời gian vật chuyển động bốn cạnh 59 giây Bài : Ba líp 7A,7B,7C cã 94 häc sinh tham gia trồng Mỗi học sinh lớp 7A trồng cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng cây, Hỏi lớp có học sinh Biết số lớp trồng Bi : Một ô tô phải từ A đến B thời gian dự định Sau nửa quÃng đường ô tô tăng vận tốc lên 20 % đến B sớm dự định 10 phút Tính thời gian ô tô từ A đến B Bi : Trên quÃng đường AB dài 31,5 km An từ A đến B, Bình từ B đến A Vận tốc An so với Bình 2: Đến lúc gặp nhau, thời gian An so với Bình 3: Tính quÃng đường người tới lúc gặp ? Bi : Ba đội cơng nhân làm cơng việc có khối lượng Thời gian hồn thành cơng việc đội І, ІІ, ІІІ 3, 5, ngày Biêt đội ІІ nhiều đội ІІІ ThuVienDeThi.com -là người suất công nhân Hỏi đội có công nhân ? Bài : Ba ô tô khởi hành từ A phía B Vận tốc ô tô thứ ô tô thứ hai Km/h Biết thơi gian ô tô thứ nhất, thứ hai thứ ba hết quãng đường AB : 40 phút, 5 , Tính vận tốc tơ ? PHẦN HÌNH HỌC Một số phương pháp chứng minh hình hoc 1.Chứng minh hai đoạn thẳng nhau: P2 : - Chứng minh hai tam giác chứa hai đoạn thẳng - Chứng minh hai đoạn thẳng hai cạnh bên tam giác cân - Dựa vào tính chất đường trung tuyến, đường trung trực đoạn thẳng - Dựa vào định lí Py-ta- go để tính độ dài đoạn thẳng 2.Chứng minh hai góc nhau: P2 : - Chứng minh hai tam giác chứa hai góc - Chứng minh hai góc hai góc đáy tam giác cân - Chứng minh hai đường thẳng song song mà hai góc cặp góc so le ,đồng vị - Dựa vào tính chất đường phân giác tam giác Chứng minh ba điểm thẳng hàng: P2 : - Dựa vào số đo góc bẹt ( Hai tia đối nhau) - Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ điểm - Hai đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng thứ - Dựa vào tính chất đường trung tuyến, phân giác, trung trực, đường cao Chứng minh hai đường thẳng vuông góc P2 : - Tính chất tam giác vng, định lí Py – ta – go đảo - Qua hệ đường thẳng song song đường thẳng vuông góc - Tính chất đường trung trực, ba đường cao I ThuVienDeThi.com -5 Chứng minh đường thẳng đồng quy( qua điểm ) P2 : - Dựa vào tính chất đường tam giác So sánh hai đoạn thẳng, hai góc : P2 : - Gắn hai đoạn thẳng , hai góc vào tam giác từ vận định lí quan hệ cạnh góc đối diện tam giác , BĐT tam giác - Dựa vào định lí quan hệ đường xiên hình chiếu, đường xiên đường vng góc II Bài tập vận dụng Bài : Cho tam gi¸c ABC cã Â < 900 Vẽ phía tam giác hai đoạn thẳng AD vuông góc AB; AE vuông góc AC Chứng minh: DC = BE vµ DC  BE HD: D Phân tích tìm hướng giải E *Để CM DC = BE cần CM ∆ABE = ∆ ADC ( c.g.c) A Có : AB = AD, AC = AE (gt) ฀ ฀  Cần CM : DAC  BAE I ฀ ฀ ฀ Có : BAE  900  BAC  DAC K * Gọi I giao điểm AB CD Để CM : DC  BE cần CM I฀2  B฀1  900 B ฀  900 Có I฀1  I฀2 ( Hai góc đối đỉnh) I฀1  D ฀ ฀  Cần CM B1  D1 ( ∆ABE = ∆ ADC) Lời giải C ฀ ฀ ฀ ฀ ฀  90  BAC  DAC  DAC  BAE a) Ta có BAE , mặt khác AB = AD, AC = AE (gt) Suy ∆ABE = ∆ ADC(c.g.c)  DC = BE b) Gọi I giao điểm AB CD ฀  900 ( ∆ ADI vuông A) B ฀ D ฀ ( Ta có I฀1  I฀2 ( Hai góc đối đỉnh) , I฀1  D 1 ฀ ฀ ∆ABE = ∆ ADC)  I  B1  90  DC  BC *Khai thác 1: Từ ta thấy : DC = BE vµ DC  BE ∆ABD ∆ ACE vng cân, có ∆ABD ∆ ACE vuông cân , Từ B kẻ BK  CD D ba điểm E, K, B thẳng hàng Ta có tốn 1.2 Bài 1: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ phía tam giác hai đoạn thẳng AD vuông góc AB; AE vuông góc AC T B kẻ BK  CD K Chứng minh ba điểm E, K, B thẳng hàng HD : Từ chứng minh DC  BE mà BK  CD K suy ba điểm E, K, B thẳng hàng *Khai thác 1.1 Từ 1.1 gọi M trung điểm DE kẻ tia M A MA  BC từ ta có tốn 1.2 Bài 1.2: Cho tam gi¸c ABC cã Â < 900 Vẽ phía tam giác hai đoạn thẳng AD vuông góc AB; AE vuông góc AC Gi M l trung điểm DE kẻ tia M A Chứng minh : MA  BC Phân tích tìm hướng giải HD: Gọi H giao điểm tia MA BC ThuVienDeThi.com ... Bài : Ba líp 7A,7B,7C cã 94 häc sinh tham gia trồng Mỗi học sinh lớp 7A trồng cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng cây, Hỏi lớp có học sinh Biết số lớp trồng Bi : Một... 50  x  56 ThuVienDeThi.com -Chuyên đề : Dạng toán chứng minh chia hết 1.Kiến thức vận dụng * Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, * Chữ số tận... c = Chøng minh r»ng: ab  bc  ca  HD : b) Tính ( a + b + c)2 từ cm ab  bc  ca  Chuyên đề : Các toán đa thức ẩn Bài : Cho đa thức P(x) = a x3 + bx2 + cx + d ( a khác 0) Biết P(1) = 100 ,