Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi bộ môn toán41015

S GIÁO D C VÀ ðÀO T O THÀNH PH C N THƠ TRƯ NG THPT CHUYÊN LÝ T TR NG M T S CHUYÊN ð B I DƯ NG H C SINH GI I B MƠN TỐN C N THƠ − 2006 DeThiMau.vn L I NÓI ð U Nh m ñáp ng yêu c u ngày cao cách d y h c b ng phương pháp m i, ñ c bi t vi c gi ng d y, b i dư ng ñ i ngũ h c sinh gi i c a trư ng THPT ph m vi Thành ph C n Thơ T Toán − Tin h c c a trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng ph i h p v i b ph n chuyên môn c a S Giáo d c − ðào t o c g ng biên so n m t s chuyên ñ nh m đáp ng m t ph n nh ng yêu c u Trong l n H i th o này, chúng tơi g i đ n b n ñ ng nghi p, nh ng ngư i có nhi u tâm huy t vi c b i dư ng h c sinh gi i m t s chuyên ñ sau Chuyên ñ Nguyên lý Dirichlet ng d ng Chuyên ñ Dãy s − Phương trình hàm Chun đ M t s phương pháp ch ng minh b!t ñ"ng th c Chuyên ñ M t giáo án d y h c theo phương pháp m i chương trình phân ban l p 10 Hy v ng r ng, qua nh ng chun đ s# giúp ích m t ph n cho anh ch$ ñ ng nghi p tích lũy đư c ngu n tư li u phong phú trình gi ng d y, b i dư ng h c sinh gi i Tuy nhiên, q trình biên so n tài li u khơng th% tránh kh i nh ng sai sót Mong đ ng nghi p thơng c m góp ý M i thư t& góp ý xin vui lịng g i v m t hai ñ$a ch' sau − Phòng GDTrH S Giáo d c − ðào t o Thành ph C n Thơ, − T Toán − Tin h c trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng Thành ph C n Thơ (ði n tho i: 071.821428) DeThiMau.vn M CL C Chuyên ñ Trang Nguyên lý Dirichlet Phương pháp sai phân 13 Phương trình hàm 18 M't s( g)i ý ch*ng minh b,t ñ-ng th*c ñ.ng b/c 24 Giáo án d4y: H7 th*c lư)ng tam giác 32 DeThiMau.vn NGUYÊN LÝ DIRICHLET ð#ng B&o Hòa A L I M ð U Trong s nguyên lý c a tốn h c dùng đ% ch ng minh tốn v s h c, đ i s , dãy s , hình h c, suy lu n logic…, nguyên lý Dirichlet ñư c xây d ng ñơn gi n tính hi u qu c a ch ng minh r!t cao D ng ñơn gi n c a nguyên lý là: “N u nh t n + th vào n l ng t n t i nh!t m t l ng nh t con”, hay t ng quát hơn: “N u nh t n th vào m l ng n = k.m + r (r ≠ 0), t n t i l ng nh t nh!t k + th ” B i v y ngun lý Dirichlet cịn đư c g i nguyên lý Chu ng Th (hay nguyên lý c a nh ng ngăn kéo) B n ch!t nguyên lý Dirichlet m t ñ$nh lý v t p h p h u h n Ta có th% phát bi%u xác ngun lý là: “Cho hai t p h p A, B khác r)ng, có s ph n t h u h n s ph n t c a t p A nhi u s ph n t c a t p B N u v i m t quy t c đó, m)i ph n t c a t p A cho tương ng v i m t ph n t c a t p B t n t i hai ph n t khác c a t p A mà chúng tương ng v i m t ph n t c a t p B” Nguyên lý Dirichlet ñư c xây d ng b i nhà Bác h c ngư i ð c, g c Pháp, Peter Gustap Leigen Dirichlet (1805 – 1859) Sau xét m t s tốn mà vi c ch ng minh hồn tồn d a vào nguyên lý Dirichlet B NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG S H C Bài toán Cho 100 s t nhiên b!t kỳ a1, a2, …, a100 Ch ng minh r ng s !y, có m t s mà t ng c a chúng chia h t cho 100 Gi i 100 ð t Si = ∑ Có hai trư ng h p: i =1 TH1: N u t n t i Si ≡ (mod 100) ta có đpcm TH2: N u Si ≡ r (mod 100), i = 1,100, r = 1,99 theo nguyên lý Dirchlet t n t i Sj, Sk ( j , k = 1,100, j ≠ k ) cho Sj ≡ Sk (mod 100) hay Sj – Sk ≡ (mod 100) (đpcm) Bài tốn Ch ng minh r ng 52 s nguyên tùy ý t n t i hai s mà t ng ho c hi u c a chúng chia h t cho 100 Gi i M t s nguyên chia cho 100 có t!t c 51 lo i s dư 0, ±1, ±2, …, ±50 T& v i 52 s nguyên tùy ý a1, a2,…, a52 chia cho 100 ph i có nh!t s có m t lo i s dư Khơng m!t t ng qt gi s s a1 a2 th a a1 ≡ r1(mod 100), a2 ≡ r2(mod 100) Khi đó: + N u r1 = r2 a1 – a2 ≡ 0(mod 100) + N u r1 = - r2 a1 + a2 ≡ 0(mod 100) V y tốn đư c ch ng minh Bài tốn Ch ng minh r ng có vô s s chia h t cho 1911 mà bi%u di+n th p phân c a s khơng có ch s 0, 1, 2, Gi i G i a s t nhiên mà bi%u di+n th p phân c a khơng có ch s 0, 1, 2, Rõ ràng s v y vô h n 2006 DeThiMau.vn Xét dãy s a, aa, aaa, , aaa aaa 2006 1911 +1 a 2006 ðem chia t!t c s cho 1911 theo nguyên lý Dirichlet s# có nh!t hai s có m t s dư Gi s hai s aaa aaa aaa aaa (n > m) m a n a Khi ñó 2006 aaa aaa − aaa aaa ⋮ 1911 n a m a Hay 2006 aaa a 00 ⋮ 1911 n−m a m ( 2006 Vì (10, 19) = nên 10mk ,1911 ) = 1, suy aaa a ⋮ 19 112006 n−m (*) a Do a vơ s nên t& (*) ta suy đpcm Bài toán Cho s nguyên phân bi t a1, a2, a3, a4, a5 Xét tích sau đây: P = (a1 − a2 )(a1 − a3 )(a1 − a4 )(a1 − a5 )(a2 − a3 )(a2 − a4 )(a2 − a5 )(a3 − a4 )(a3 − a5 )(a4 − a5 ) Ch ng minh P ⋮ 288 Gi i Ta có 288 = 25.32 (2, 3) = nên ñ% ch ng minh P ⋮ 288 ta ch' c n ch ng minh P ⋮ 25 P ⋮32 Theo nguyên lý Dirichlet n + s nguyên tùy ý, t n t i hai s mà hi u c a chúng chia h t cho n T& s a1, a2, a3, a4 s# có hai s có hi u chia h t cho s a2, a3, a4, a5 có hai s có hi u chia h t cho V y P ⋮ 32 (1) L i theo nguyên lý Dirichlet s ñã cho có nh!t s có tính ch,n l- Ch' có th% có hai trư ng h p sau x y ra: a N u có nh!t s có tính ch,n l-, t& s có th% l p nên C42 = hi u khác chia h t cho 2, tích c a chúng chia h t cho 26 Suy P ⋮ 25 b N u có s có tính ch,n, l- khơng làm m!t tính t ng quát gi s s a1,a2, a3 có tính ch,n Khi hai s cịn l i a4 a5 có tính l- V y hi u sau chia h t cho 2: a1 – a2, a1 – a3, a2 – a3, a4 – a5 M t khác s cho có nh!t hai s chia cho ph i có m t s dư, th hi u c a chúng chia h t cho Suy P ⋮ 25 Tóm l i m i trư ng h p ta ñ u có P ⋮ 25 (2) T& (1) (2) ta ñư c P ⋮ 288 (ñpcm) M t s t p Bài Cho ba s a, a + k, a + 2k ñ u s nguyên t l n Ch ng minh k chia h t cho Bài Cho 1004 s nguyên t& ñ n 2006 Ch ng minh r ng s !y t n t i hai s th a s chia h t cho s Bài Ch ng minh r ng ln t n t i s t nhiên n đ% 19n ⋮ M 00 01 2006 Bài Ch ng minh r ng t n t i s t nhiên A th a ch s c a A ch' bao g m ch s 0, 2, 7, ñ ng th i A ⋮ 20072007 DeThiMau.vn Bài Cho 19 s t nhiên liên ti p Ch ng minh r ng s !y t n t i m t s có t ng ch s chia h t cho 10 Bài Ch ng minh r ng 39 s t nhiên liên ti p, t n t i m t s có t ng ch s chia h t cho 11 Bài Ch ng minh r ng v i m i s nguyên t p > 5, t n t i s n = 111…1 th a n ⋮ p Bài Ch ng minh r ng v i m i n nguyên dương cho trư c, t n t i s có d ng A = 111 1000 th a A ⋮ n p p Bài Cho 2006 s t nhiên đơi m t khác nh 4010 Ch ng minh r ng t n t i s th a t ng hai s b ng s Bài 10 Các s t& ñ n 10 ñư c x p ng.u nhiên chung quanh m t đư ng trịn Ch ng minh r ng có nh!t ba s liên ti p mà t ng c a chúng nh!t 17 C NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG ð ðO ð i v i đ dài, di n tích, th% tích có m t nguyên lý tương t nguyên lý Dirichlet ñ i v i t p h p theo m t nghĩa Ta t m g i nguyên lý Dirichlet ñ i v i ñ dài, di n tích, th% tích Trư c h t ta xét trư ng h p ñ dài: Trên ñư ng th"ng cho đo n AB có đ dài a m t s ño n AiBi ( i = 1, n ) có t ng đ dài b Khi đó: + N u b < a bên đo n AB có m t đi%m M n m bên ngồi t!t c đo n AiBi + N u b > a ño n AB ch a t!t c đo n AiBi t n t i nh!t hai đo n AiBi có đi%m chung M t cách t ng quát: + N u b < ka bên đo n AB t n t i đi%m M thu c khơng q k – ño n + N u b > ka ño n AB ch a t!t c đo n AiBi có nh!t k + ño n AiBi có ñi%m chung Tương t ta có th% phát bi%u nguyên lý Dirichlet cho trư ng h p thay ño n AB b i cung AB đo n AiBi b ng cung Ai Bi c a m t đư ng trịn Cũng hồn tồn tương t ta có th% phát bi%u ngun lý Dirichlet đ i v i di n tích hình (H) hình (H1), (H2),…, (Hn) n m m t ph"ng (ho c n m m t c u), ñ i v i th% tích kh i (V) kh i (V1), V2),…,(Vn) khơng gian Ngồi m t s tốn ta c n ñ n khái ni m lân c n c a m t hình m t ph"ng C th% ta có đ$nh nghĩa sau ð nh nghĩa Trong m t ph"ng cho hình (H) m t s dương d Ta g i lân c n d c a hình (H) t p h p t!t c hình trịn có tâm thu c (H) bán kính b ng d ( đ% đơn gi n ta xét hình trịn đóng, t c k% c biên) Như v y lân c n d c a hình (H) t p h p t!t c đi%m M có kho ng cách t& M đ n đi%m g n nh!t c a (H) khơng vư t d Sau ñây xét m t s tốn ngun lý Dirichlet đ đo: Bài tốn Trong hình vng c nh b ng v# m t s đư ng trịn có t ng chu vi b ng 10 Ch ng minh r ng t n t i đư ng th"ng c t nh!t đư ng trịn s đư ng trịn v# Gi i DeThiMau.vn Gi s hình vng c nh b ng ñã cho ABCD mà v# n đư ng trịn (Oi) Chi u t!t c đư ng trịn (Oi) lên c nh AB Hình chi u c a đư ng trịn (Oi) c nh AB ño n th"ng AiBi b ng đư ng kính di c a Khi ñó ta có: n n n 10 π d = 10 ⇔ π A B = 10 ⇒ ∑ i ∑ i i ∑ Ai Bi = > = AB (1) i =1 i =1 π i =1 Vì đo n AiBi ch a đo n AB nên t& (1) suy t n t i ñi%m M ñi%m chung c a nh!t đo n AiBi Khi đư ng th"ng (d) qua M, vng góc v i AB c t nh!t đư ng trịn có hình chi u đo n AiBi nói (đpcm) Bài tốn Trong hình vng c nh b ng 10 k- 12 ño n th"ng b!t kỳ, m)i ño n có đ dài b ng Ch ng minh r ng ta có th% d ng đư c m t hình trịn có bán kính b ng n m hình vng cho khơng có đi%m chung v i b!t kỳ ño n 12 ño n !y Gi i Xét lân c n c a ño n AiBi Nh n th!y lân c n c a ño n AiBi m t hình g m hai hình vng c nh b ng (chung c nh AiBi, n m v hai phía c a AiBi ) M N hai n a hình trịn n m ngồi hình ch nh t MNPQ, có tâm Ai, Bi bán kính b ng Lân c n c a ño n AiBi v y có di n tích Ai Bi b ng + π Xét hình vng c nh b ng 10 ch a 12 ño n th"ng AiBi ( i = 1,10 ) Q P A B m)i ño n có đ dài b ng D ng hình vng EFIJ n m F hình vng ABCD, có c nh song song v i c nh c a ABCD E cách c nh c a ABCD m t kho ng b ng (Hình v#) V i m)i ño n AiBi ta d ng lân c n c a T ng di n tích c a 12 lân c n 12(2 + π ) 61,8 Do v y 12 lân c n c a ño n ñã I J cho khơng ph kín h t EFIJ Suy t n t i ñi%m O thu c EFIJ th a O n m t!t c lân c n c a ño n AiBi D C T& hình trịn tâm O bán kính b ng n m ABCD (vì có tâm n m EFIJ) khơng có đi%m chung v i b!t kỳ ño n 12 ño n ñã cho (ñpcm) M t s t p Bài Trong hình vng c nh b ng l!y 100 đi%m b!t kỳ Ch ng minh r ng có nh!t đi%m n m m t hình trịn bán kính b ng Bài Trên đo n th"ng có đ dài b ng 100 ngư i ta l!y m t s ño n th"ng r i tơ đi%m c a chúng b ng màu ñ Cho bi t kho ng cách gi a hai đi%m đư c tơ đ b!t kỳ ln khác Ch ng minh r ng t ng ñ dài đo n tơ đ khơng vư t q 50 Bài Trong m t hình trịn bán kính R < k- 36 ño n th"ng, m)i ño n có đ dài b ng Ch ng minh r ng v i m t phương (d) b!t kỳ cho trư c t n t i m t đư ng th"ng song song ho c vng góc v i (d) c t nh!t 36 ño n th"ng Bài Trong m t ph"ng v# góc nh n Ch ng minh r ng mi n góc nh n khơng th% ph kín tồn b m t ph"ng Bài Trong hình (H) có di n tích 100cm2 k- m t đư ng g!p khúc có đ dài 48cm Ch ng minh r ng (H) ln t n t i đi%m M có kho ng cách đ n đi%m g n nh!t c a (H) l n 1cm Bài Trong hình trịn bán kính b ng k- m t s dây cung Bi t r ng m)i ñư ng kính c a đư ng trịn c t khơng q k dây cung Ch ng minh r ng t ng ñ dài dây cung bé kπ DeThiMau.vn Bài Trong hình vng c nh b ng 100 v# m t s đư ng trịn có bán kính b ng Bi t r ng m)i đo n th"ng có đ dài b ng 10 n m hình vng cho đ u c t nh!t m t đư ng trịn s đư ng trịn nói Ch ng minh r ng s đư ng trịn v# khơng 416 Bài Trong hình trịn có di n tích S l!y 17 ñi%m b!t kỳ Ch ng minh r ng 17 đi%m !y có đi%m th"ng hàng ho c l p thành m t tam giác có di n tích bé S 15 Bài Cho m t s h u h n hình trịn mà t p h p c a chúng m t hình có di n tích b ng Ch ng minh r ng ta có th% ch n s hình trịn m t s hình đơi m t n m ngồi có t ng di n tích khơng nh Bài 10 Trong hình vng c nh b ng 50 ta d ng m t đư ng g!p khúc có tính ch!t: kho ng cách t& m t ñi%m b!t kỳ c a hình vng đ n đi%m g n nh!t c a ñư ng g!p khúc nh ho c b ng Ch ng minh r ng ñ dài c a ñư ng g!p khúc !y l n 1248 D NGUN LÝ DIRIHLET TRONG HÌNH H C Bài tốn Cho 2007 ñi%m m t ph"ng, bi t r ng m)i nhóm đi%m b!t kỳ c a đi%m bao gi có th% ch n đi%m có kho ng cách bé Ch ng minh r ng đi%m có nh!t 1004 ñi%m n m m t ñư ng trịn bán kính b ng Gi i Ta có 2007 = 1003 + G i A m t ñi%m 2007 ñi%m ñã cho V# đư ng trịn tâm A bán kính b ng (ký hi u (A, 1)) N u t!t c 2006 ñi%m l i ñ u n m ñư ng trịn (A, 1), hi%n nhiên tốn ñư c gi i Gi s có ñi%m B n m ngồi đư ng trịn (A, 1), t c AB > Khi d ng đư ng trịn (B, 1), ta ch ng minh t!t c 2007 ñi%m ñã cho n m (A, 1) ho c (B, 1) Th t v y, l!y C b!t kỳ ta xét nhóm đi%m A, B, C Theo gi thi t AB > nên AC < ho c BC < 1, C n m ñư ng tròn (A, 1) ho c ñư ng tròn (B, 1) Như v y 2007 ñi%m ñã cho n m hai đư ng trịn (A, 1) (B, 1) Theo nguyên lý Dirichlet ph i có m t đư ng trịn ch a nh!t 1004 đi%m (đpcm) Bài tốn Cho đi%m m t ph"ng cho b!t kỳ ñi%m ñ'nh c a m t tam giác mà c nh c a đ u có chi u dài khác Ch ng minh r ng t n t i m t c nh v&a c nh nh nh!t c a tam giác này, v&a c nh l n nh!t c a tam giác khác Gi i Ta tơ màu đ c nh nh nh!t c a tam giác tơ màu xanh c nh cịn l i Ta ch ng minh t n t i m t tam giác có c nh màu ñ Th t v y t& ñi%m A ñi%m ñã cho, n i v i ñi%m cịn l i ta đư c c nh Do ch' có hai màu nên c nh ph i có nh!t c nh màu, gi s c nh AB, AC AD N u AB, AC, AD màu ñ , ñó tam giác BCD có m t c nh màu ñ ch"ng h n BC nên d.n ñ n tam giác ABC có c nh màu ñ N u AB, AC, AD màu xanh tam giác BCD có c nh màu ñ V i tam giác có c nh màu đ c nh l n nh!t c a tam giác !y c nh th a u c u tốn (đpcm) Bài tốn Cho m t ña giác l i 17 ñ'nh Ngư i ta dùng màu xanh, vàng, đ đ% tơ h t t!t c c nh ñư ng chéo c a ña giác !y Ch ng minh r ng t n t i m t tam giác có ba đ'nh đ'nh c a đa giác mà c nh c a đư c tơ b i m t màu DeThiMau.vn Gi i G i A m t đ'nh c a ña giác N i A v i ñ'nh l i ta ñư c t!t c 16 c nh (ñư c hi%u c nh ho c ñư ng chéo c a đa giác) Do ch' có ba màu nên s 16 c nh !y ph i có nh!t c nh đư c tơ b i m t màu Không m!t t ng quát ta g i c nh !y AAi ( i = 1, ) đư c tơ b i màu xanh Khi có hai trư ng h p: TH1: N u t n t i c nh AiAk ( i, k = 1, 6; i ≠ k ) ñư c tơ b i màu xanh tam giác AAiAk th a yêu c u toán TH2: N u m i c nh AiAk ( i, k = 1, 6; i ≠ k ) ch' đư c tơ b i hai màu vàng đ c nh A1Ai ( i = 2, ) có nh!t c nh đư c tơ b i m t màu Không m!t t ng quát gi s ba c nh !y A1A2, A1A3, A1A4 ñư c tơ b i màu đ Khi ta xét tam giác A2A3A4: N u t n t i m t c nh c a tam giác ñư c tơ b i màu đ , ch"ng h n c nh A2A3, tam giác A1A2A3 th a yêu c u toán Ngư c l i m i c nh c a tam giác A2A3A4 ñư c tơ b i màu vàng tam giác th a yêu c u toán V y m i trư ng h p ta ln có tam giác th a yêu c u c a toán (ñpcm) M t s t p Bài Trong hình vng c nh b ng cho trư c 33 đi%m, khơng có đi%m th"ng hàng Ngư i ta v# đư ng trịn có bán kính đ u b ng có tâm đi%m cho H i có hay khơng đi%m s đi%m nói cho chúng ñ u thu c vào ph n chung c a hình trịn có tâm ba đi%m !y? Bài Cho m t hình vng đư ng th"ng, c m)i đư ng th"ng đ u chia hình vng thành hai t giác có t0 s di n tích Ch ng minh r ng s ñư ng th"ng !y có nh!t ba đư ng đ ng quy Bài Trong đư ng trịn đư ng kính b ng ta l!y 10 ñi%m tùy ý Ch ng minh r ng 10 ñi%m !y t n t i hai ñi%m v i kho ng cách gi a chúng bé Bài Cho hình bình hành ABCD 25 ñư ng th"ng th a m)i ñư ng chúng chia ABCD thành hình thang có t0 s di n tích b ng Ch ng minh r ng 25 ñư ng th"ng !y, t n t i ñư ng ñ ng quy t i m t ñi%m Bài Trên m t đư ng trịn ngư i ta tơ màu xanh m t s cung cho hai cung màu xanh b!t kỳ khơng có đi%m chung t ng ñ dài cung ñư c tô màu xanh nh n a chu vi đư ng trịn Ch ng minh r ng có nh!t m t đư ng kính c a đư ng trịn mà hai đ u c a khơng b$ tơ màu Bài Trong hình vng có c nh b ng có 101 đi%m tùy ý Ch ng minh r ng có nh!t đi%m n m hình trịn bán kính b ng Bài Cho ñư ng trịn bán kính b ng n đi%m A1, A2,…, An m t ph ng Ch ng minh r ng đư ng trịn có th% tìm đư c ñi%m M cho MA1 + MA2 + …+ MAn ≥ n Bài Trong m t ph"ng cho hình trịn cho tâm c a m)i hình trịn n m ngồi t!t c hình trịn khác Ch ng minh r ng khơng có đi%m chung cho c hình trịn Bài Cho m t c u tâm O bán kính R = a Tìm s đi%m l n nh!t có th% đ t m t c u cho kho ng cách gi a đi%m b!t kỳ chúng khơng bé b Tìm s đi%m l n nh!t có th% đ t m t c u cho kho ng cách gi a ñi%m b!t kỳ chúng l n DeThiMau.vn Bài 10 Trong m t ph"ng v i h t a ñ Oxy cho n – giác l i A1A2…An có t!t c đ'nh đ u đi%m ngun Bi t r ng hình n – giác (bao g m t!t c ñi%m thu c mi n thu c biên) không ch a b!t c m t đi%m ngun khác ngồi đ'nh Ai ( i = 1, n ) Tìm giá tr$ l n nh!t có th% có c a s n E NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG DÃY S VÀ SUY LU N LOGIC Bài toán Cho 100 s t nhiên a1, a2,…, a100 th a : ≤ 100 (i = 1,100) , 100 ∑a i = 200 i =1 Ch ng minh r ng s ln t n t i m t s s có t ng b ng 100 Gi i a N u t!t c s đ u b ng t& gi thi t a1 = a2 = … = a100 = Khi ta ch' c n ch n 50 s t ng c a chúng s# th a yêu c u toán b N u a1 ≠ a2 ta xây d ng dãy g m 100 s S1 = a1, S2 = a2, S3 = a1 + a2, …, S100 = a1 + a2 + …+ a99 + N u t n t i Si ⋮100 (i = 1,100) Khi < Si < 200 nên Si = 100 th a yêu c u toán + N u m i Si (i = 1,100) đ u khơng chia h t cho 100 theo nguyên lý Dirichlet ( t n t i nh!t hai s Si , Sk i, k = 1,100; i ≠ k ) cho Si ≡ Sk (mod 100) Gi s Sk > Si, ta có Sk – Si ⋮ 100 M t khác < Si < 200 nên suy Sk – Si = 100 th a yêu c u toán V y tốn đư c ch ng minh Bài toán Cho 69 s nguyên dương phân bi t không vư t 100 Ch ng minh r ng có th% ch n đư c s a, b, c, d s !y cho a < b < c a + b + c = d Gi i Không m!t t ng quát g i a1, a2, …, a69 s ñã cho th a ≤ a1 < a2 < … < a69 ≤ 100 Suy a1 ≤ 32 Ta thành l p dãy s : < a2 + a1 < a3 + a1 < … < a69 + a1 ≤ 132 < a3 – a2 < a4 – a2 … > a9 Khi s ph n t l n a0 nhi u nh!t 20 (bao g m s l n a0, s l n a1, …, s l n a9) Suy a0 ≥ 80 L p lu n tương t ta có a1 ≥ 78 Vì a2 > a3 > … > a8 ≥ a9 + ⇒ ≥ a9 + – i (i = 2,8) T& a0 + a1 + a2 +… + a9 ≥ 80 + 78 + (a9 + 7) + (a9 + 6) + … + a9 + + a9 ≥ 8a9 + 180 (1) Xét t ng S s thu c hàng có ch a a9 s l n th Ta có: S ≤ 100 + 99 + a9 + a9 – + a9 – + … + a9 – ≤ 8a9 + 171 (2) (1) (2) cho ta S < a0 + a1 +… + a9 (ñpcm) 10 DeThiMau.vn M t s t p Bài Xét A m t t p c a t p h p s t nhiên cho 1999 s t nhiên liên ti p b!t kỳ ln có m t s n m A Ch ng minh r ng t n t i hai s A th a s chia h t cho s Bài Gi s a1, a2, …, an dãy s th c cho trư c Ch ng minh r ng t n t i m t s th c x cho t!t c s a1 + x, a2 + x, …, an + x ñ u s vô t0 Bài Cho s th c x1, x2, …, x8 tùy ý Xét s sau ñây: x1x3 + x2x4, x1x5 + x2x6, x1x7 + x2x8, x3x5 + x4x6, x3x7 + x4x8, x5x7 + x6x8 Ch ng minh r ng s !y có nh!t m t s khơng âm Bài Trong m t tr i hè qu c t có 21 b n thi u nhi ñ n t& châu l c: Á, Âu, M1, ð i Dương Bi t r ng m)i b n nói đư c m t hai th ti ng Anh, Pháp Ch ng minh r ng t n t i b n m t châu l c nói chuy n ñư c v i mà không c n ñ n phiên d$ch Bài Ch ng minh r ng ngư i b!t kỳ t n t i ngư i đơi m t quen ho c đơi m t khơng quen B i Có 2006 th nh t vào 1003 chu ng, m)i chu ng nh t Sau m)i ngày ngư i ta l i thay ñ i v$ trí c a th cho khơng có chung chu ng trư c l i n m chung chu ng m t l n n a H i t i đa có ngày làm ñư c v y Bài Dãy s t nhiên (an) ñư c xác ñ$nh b i:  a1 =   an +1 = (n + 1)an + 1, n ∈ N * Trong m t ph"ng cho an + đi%m khác nhau, khơng có ba đi%m th"ng hàng T!t c ño n th"ng n i nh ng ñi%m ñư c tơ b i n màu cho Ch ng minh r ng v i m i n = 1, 2,… t n t i tam giác có đ'nh ñi%m ñi%m ñã cho mà nh ng c nh c a đư c tơ b i m t màu Bài Gi s m)i ñi%m c a m t ph"ng ñư c tô b i m t hai màu xanh ho c ñ Ch ng minh r ng t n t i m t hình ch nh t có b n ñ'nh ñư c tô b i m t màu Bài Cho ñi%m A, B, C, D, E khơng có ba đi%m th"ng hàng thu c m t ph"ng v i h t a ñ Oxy Bi t r ng m)i đi%m đ u có t a ñ nh ng s nguyên Ch ng minh r ng có nh!t ba tam giác t o thành có di n tích s ngun Bài 10 Gi s s h u t0 r v i r, s ∈ N < r < s, ñ oc vi t dư i d ng th p phân: s r = 0, k1 , k2 , k3 , s Ch ng minh r ng dãy s r l1 = 10 − k1 s r l2 = 102 − (10k1 + k2 ) s r l3 = 103 − (102 k1 + 10k2 + k3 ) s có nh!t hai s gi ng 11 DeThiMau.vn TÀI LI U THAM KH O [1] Báo Toán h c Tu i tr- [2] Các chuyên ñ v S h c c a GS Phan Huy Kh i [3] Chuyên ñ nguyên lý Dirichlet c a TS Nguy+n H u ði%n [4] Các toán ch n l c c a GS Phan ð c Chính [5] Chun đ ngun lý Dirichlet c a PGS Nguy+n Văn Xoa, PTS Nguy+n Vũ Lương [6] Graph c a GS Hoàng Chúng [7] Chuyên ñ S h c Hình h c c a Ths Nguy+n Vũ Thanh 12 DeThiMau.vn PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN Tr/n Di1u Minh Phương pháp sai phân phương pháp ñư c áp d ng r ng rãi nhi u lĩnh v c khoa h c k1 thu t, n i dung c a đưa toán c n xét v vi c gi i phương trình sai phân ho c h phương trình sai phân Trong ph n ñ c p t i vi c gi i m t s phương trình sai phân b n v i m c đích ñi tìm s h ng t ng quát c a m t dãy s mà ch y u ñi tìm nghi m t ng quát c a phương trinh sai phân n tính kh o sát m t vài d ng phương trình sai phân mà ta có th% n tính hố ð nh nghĩa Phương trình sai phân n tính c a hàm un theo bi n n m t bi%u th c n tính gi a giá tr$ c a hàm un t i ñi%m khác un+ k + a1un + k −1 + + ak un = f n (1) Trong – h ng s ho c hàm s theo n fn – hàm s c a n un – giá tr$ c n tìm đư c g i 2n + Phương trình (1) đư c g i phương trình n tính c!p k, đ% tìm un ph i cho trư c k giá tr$ liên ti p c a un + fn ≡ 0, (1) ñư c g i phương trình sai phân n tính thu n nh!t + fn ≡/ 0, (1) ñư c g i phương trình sai phân n tính khơng thu n nh!t + fn ≡ 0, = const (1) đư c g i phương trình sai phân n tính thu n nh!t c!p k v i h s h ng Khi (1) tr thành un+ k + a1un + k +1 + + ak un = (2) + Hàm s un theo n th a (1) ñư c g i nghi m c a phương trình sai phân n tính (1) Nghi m 2.1 Nghi m c a phương trình thu n nh t (2) Hàm s un theo n th a (1) ñư c g i nghi m c a phương trình sai phân n tính (1) • Nghi m t ng quát: Hàm s uɶn ph thu c k tham s , th a (2) ñư c g i nghi m t ng quát • Nghi m riêng un* : Nghi m t ng quát uɶn ñư c g i nghi m riêng n u v i m i t p giá tr$ ban ñ u u1, u2,…, uk ta ñ u xác ñ$nh ñư c nh!t tham s c1, c2,…, ck ñ% uɶn v&a th a (2) v&a th a uɶ1 = u1 , uɶ2 = u2 , …, uɶk = uk 2.2 ð nh lý Nghi m t ng quát un c a (1) b ng t ng uɶn un* , v i un* m t nghi m riêng b!t kỳ c a (1) 2.3 ð nh lý N u un1 , un2 , , unk k nghi m ñ c l p n tính c a (2) t c t& C1un1 + C2un2 + + Ck unk = 13 DeThiMau.vn suy C1 = C2 = … = Ck = nghi m t ng quát c a (2) k uɶn = ∑ ci uni i =1 ci = const 2.4 Phương trình đ c trưng c a (1), (2) Là phương trình d ng: xk + a1xk−1 +…+ ak = (3) 2.5 Nghi m t ng quát c a phương trình sai phân n tính thu n nh t (2) 2.5.1 ð nh lý N u (3) có k nghi m th c khác λ1, λ2, …, λk nghi m t ng quát c a (2) k un = ∑ ci λin i =1 2.5.2 ð nh lý N u (3) có nghi m λj b i m nghi m t ng quát c a (2) m −1 un = ∑ c j ni λ jn + i =0 k ∑ cλ n i i j ≠ i =1 2.5.3 ð nh lý N u (3) có nghi m ph c λ j = a + bi = r (cos ϕ + i sin ϕ ) a b (3) có nghi m ph c liên h p λ j = a − bi = r (cos ϕ − i sin ϕ ) r = λ j = a + b , ϕ = acgumenλ j t c tgϕ = Khi λ jn = r n (cos nϕ − i sin nϕ ) ; λ jn = r n (cos nϕ − i sin nϕ ) nghi m c a (3) Do nghi m t ng qt c a (2) k un = ∑ cλ n i i + r n (c j1 cos nϕ + c j sin nϕ ) j ≠i =1 Chú ý: N u phương trình đ c trưng (3) có nghi m ph c λj b i m có nghi m ph c liên h p b i m λ j Khi nghi m t ng quát c a (2) k un = ∑ cλ n i i + r n ( A1 + A2 n + + Am n m−1 )cos nϕ j ≠ i =1 + r n ( B1 + B2 n + + Bm n m−1 )sin nϕ Các trư ng h p ñ c bi t Các trư ng h p đ c bi t tìm nghi m riêng c a phương trình khơng thu n nh!t (1) 3.1 fn ña th c b c m c a n + N u nghi m λ1, λ2, …, λk c a (3) khác nghi m riêng có d ng * un = Qm (n) , Qm ña th c b c c a fn + N u (3) có nghi m λ = b i s nghi m riêng có d ng un* = n s Qm (n) 3.2 f n = Pm (n).β n v i Pm(n) ña th c b c m c a n + N u phương trình đ c trưng (3) có nghi m th c khác β nghi m riêng có d ng un* = Qm (n).β n , Qm(n) ña th c b c fn + N u phương trình đ c trưng (3) có nghi m λ = β b i s nghi m riêng * s un = n Qm ( n).β n 14 DeThiMau.vn 3.3 f n = α cos nx + β sin nx , α,β ∈ IR, Nghi m riêng có d ng un* = a cos nx + b sin nx 3.4 f n = f n + f n + + f n k Ta tìm nghi m riêng un* i ng v i hàm f n nghi m riêng c a (1) i k un* = ∑ un*i i =1 Bài toán 1 Cho dãy (un) xác ñ$nh b i u0 = 2, u1 = un+1 = 3un − 2un−1 (n = 2,3,…) Tìm un Cho dãy (un) xác đ$nh b i u1 = 1, u2 = 2un+1 − 2un + un−1 = (n = 2,3, ) Tìm un Bài tốn Tìm nghi m t ng qt c a phương trình sai phân a) xn+4 −10xn+3 + 35xn+2 − 50xn+1 + 24xn = 48.5n b) xn+3 − 7xn+2 + 16xn+1 − 12xn = 2n (24 − 24n) π π c) xn+3 – 2xn+2 − xn+1 + 2xn = (2− ) cosn + 2sinn 4 Gi i a) Phương trình đ c trưng λ4 − 10λ3 + 35λ2 − 50λ + 24 = có nghi m 1,2, 3, ñ u khác 5; pm(n) ña th c b c nên nghi m riêng có d ng xn* = a.5 n Thay vào phương trình sai phân chia v cho 5n ta ñư c a.54 − 10a.53 + 35a.52 − 50a.5 + 24a = 48 ⇒a=2 ⇒ nghi m riêng x *n = 2,5n Do nghi m t ng qt xn = c11n + c22n + c33n + c44n +2,5n b) Phương trình đ c trưng λ3 − 7λ2 + 16λ − 12 = có nghi m λ1 = (b i 2), λ2 = , pm(n) = 24 − 24n Do nghi m riêng có d ng xn* = n2(an + b)2n Th x n* vào phương trình v i c lư ng cho 2n ta ñư c: [a(n + 3) + b] (n + 3)2 – 28 [a(n + 2) + b](n + 2)2 + 32[a(n + 1) + b](n + 1)2 – − 2(an + b)n2 = 24 − 24n ð ng nh!t h s suy a = 1, b = ⇒ x n* = n3.2n π π c) Nghi m riêng d ng x n* = a cos n +b sin n 4 thay x n* vào phương trình rút g n, ta đư c: π π π π [(2 − )a − 2b]cos n + [2a − (2 − )b]sin n = (2 − )cosn + 2sinn So sánh h s c a cos n π sin n π 4 π hai v ta ñư c a = 1, b = 0, x n* = cos n 15 DeThiMau.vn Bài t p Tìm nghi m t ng quát c a phương trình sai phân sau: un +3 − 7un + + 16un +1 − 12un = un +3 − 5un + + 8un +1 − 6un = un +3 − 7un + + 16un +1 − 12un = n + un + − un +3 − 3un + + 5un +1 − 2un = un +3 − 7un + + 16un +1 − 12un = n (24 − 24n) un + − 10un +3 + 35un + − 50un +1 + 24un = 48.5n nπ nπ un +3 − 2un + − un +1 + 2un = (2 − 2)cos + 2sin 4 nπ nπ un + − 3un + + 3un + − 3un +1 + 2un = sin − cos + 10.2n + 2 3 M t s toán sai phân khơng n tính, ta bi n đ i đưa v tốn sai phân n tính đư c g i n tính hóa M t s phương trình sai phân h s bi n thiên đơi có th% bi n đ i ñ% ñưa v d ng phương trình sai phân n tính v i h s h ng s Sau m t s ví d minh h a: Bài tốn Cho dãy (xn) xác đ$nh b i x1 = x2 = 1, x n = x n2−1 + , n = 3,4, xn−2 Tìm (xn) Gi i Ta có th% n tính hóa sau Tìm xn = a1xn−1 + a2xn−2 + b t& cơng th c xác đ$nh dãy ta có: x3 = 3, x4 = 11, x5 = 41 thay: x3, x4, x5 vào xn ta ñư c a1 + a2 + b = 3a1 + a2 + b = 11 11a1 + 3a2 + b = 41 gi i h ta ñư c: a1 = 4, b = 0, a2 = − x n = x n −1 − x n − bây gi ta ch ng minh b ng quy n p r ng: x n = x n −1 − x n − d ng n tính c a dãy ñã cho (Vi c ch ng minh dành cho b n đ c) Chú ý Bài tốn ñư c phát bi u t ng quát sau: Cho dãy (xn) xác ñ$nh b i x1 = a, x2 = b, xn = xn2−1 + c , n = 3, 4, xn − b2 + c a+ a x −x có d ng n tính xn = n −1 n−2 b 16 DeThiMau.vn Bài tốn Dãy (xn) xác đ$nh b i x0 = 0, x1 = x n +1 = x n + 24 x n2 + n∈Z* Tìm xn? Gi i Ta có th% n tính hóa sau: Tìm x n +1 = a1 x n + a x n −1 + b Cho n = 1, 2, ta ñư c x2 = 10, x3 = 99, x4 = 980 t& a1 + b = 10 10a1 + a2 + b = 99 99a1 + 10a2 + b = 980 Gi i h ta ñư c a1 =10, a2 = − 1, b = xn+1 = 10xn − xn−1 (Ch ng minh ñi u ki n ñ b n ñ c t ch ng minh) Bài tốn Dãy (xn) xác đ$nh b i xn +1 = c ( xn + ) , x0 = a > c > (c > 0) xn Tìm xn? Gi i Ta có th% n tính hóa sau c ( xn + ) − c x n2 − c x n + c  x n − c  xn x n +1 − c  = = =   c x n +1 + c ( xn + ) + c xn + c xn + c  xn + c  xn ñ t yn = xn − c xn + c ta suy ra: yn+1= y n2 v i y0= a− c a+ c B ng qui n p ta ch ng minh ñư c yn> ∀n ∈ N T& y n +1 = y n2 ⇔ log m y n +1 = log m y n ð t Un = logmyn ta ñư c h th c n tính: Un+1 = 2Un v i U0 = logmy0 = log m a − c (Ch ng minh ñi u ki n ñ b n ñ c t ch ng minh) a+ c Bài t p Dãy (xn) xác ñ$nh b i x1 = 1, x2 = 2, x3 = 4, xn+3 = xn5+ xn3+1 xn−2 Tìm xn? Dãy (xn) xác đ$nh b i x1 = 0, x n + = n(n + 1)(n + 2) ( x n + 1) (n + 3)(n + 4)(n + 5) Tìm xn? Dãy (xn) xác ñ$nh b i x1 = x2 = 1, x n + = Tìm xn? Dãy (xn) xác ñ$nh b i x1 = x n x n+1 x n − x n +1 2(n + 1)(n + 2) n(n + 2) 3(n + 2) 2 , n = 1,2, x n +1 + xn + , x2 = , xn+ = n+3 (n + 1)(n + 3) n(n + 3) Tìm xn? 17 DeThiMau.vn PHƯƠNG TRÌNH HÀM Tr/n Di1u Minh Lý thuy t phương trình hàm m t nh ng lĩnh v c nghiên c u quan tr ng c a gi i tích tốn h c Các d ng tốn v phương trình hàm r!t phong phú, bao g m lo i phương trình n tính phương trình phi n, phương trình m t 2n hàm phương trình nhi u 2n hàm Trong kỳ thi h c sinh gi i Toán thư ng xu!t hi n d ng toán khác liên quan t i phương trình hàm Nh m trao ñ i kinh nghi m gi ng d y lo i tốn này, chúng tơi trình bày m t ph n nh toán liên quan t i phương trình hàm c th% gi i phương trình hàm l p hàm liên t c Hy v ng r ng qua phát hi n nh ng cách gi i ñ c s c hơn, thú v$ tìm đư c thu t toán gi i nh ng toán t ng quát khác I M t s ki n th c v t p h p s hàm s T p h p s th c 1.1 Nguyên lý Archimède ∀ε > 0, ∀x > ln ∃k ∈ N*: kε > x 1.2 Tính trù m t T p h p A ⊂ IR ñư c g i trù m t IR ch' ∀x,y ∈ IR: x < y ñ u ∃a ∈ A : x < a < y Nh n xét (i) Q trù m t IR, nói cách khác “Gi a hai s th c tùy ý ln có nh t m t s h u t ” (ii) ∀x ∈ IR, ∃ dãy h u t' (xn) : xn → x m  (iii) T p h p A =  n , m ∈ , n ∈ ℕ  trù m t IR 2  m Suy ∀x ∈ IR, ∃ dãy (xn) v i xn = n h i t v x 2 Hàm s 2.1 Hàm s c ng tính, nhân tính t p h p 2.1.1 Hàm s f(x) ñư c g i c ng tính t p xác đ$nh D n u ∀x,y ∈ D x + y ∈ D f(x + y) = f(x) + f(y) 2.1.2 Hàm s f(x) ñư c g i nhân tính t p xác đ$nh D n u ∀x,y ∈ D xy ∈ D f(xy) = f(x)f(y) 2.2 Hàm s c ng tính, nhân tính tính đơn u 2.2.1 Hàm s f : IR → IR c ng tính th a x ≥ f(x) ≥ (ho c f(x) ≤ 0) f(x) hàm s tăng (ho c gi m) 2.2.2 N u f(x) ñơn ñi u c ng tính IR có d ng f(x) = kx 2.2.3 N u hàm f : IR+ → IR+ đơn u nhân tính f(x) có d ng f(x) = xα, ∀α ∈ IR 2.3 Hàm s liên t c 2.3.1 N u hàm s f đơn ánh, liên t c (a;b) ñơn ñi u th c s (a;b) 18 DeThiMau.vn 2.3.2 N u hàm f : IR → IR liên t c c ng tính f(x) = kx, k ∈ IR (phương trình hàm Cauchy) 2.3.3 N u hàm f : IR+ → IR+ liên t c nhân tính f(x) = xα, ∀α ∈ IR  x + y  f ( x) + f ( y ) , ∀x,y ∈ IR 2.3.4 N u hàm f liên t c IR f  =   f(x) = ax + b, a,b ∈ IR II ð c trưng hàm c a m t s hàm s sơ c"p ð% ñ$nh hư ng, g i ý d đốn cơng th c nghi m c a phương trình hàm, xét m t vài tính ch!t hàm tiêu bi%u c a m t s d ng hàm s quen bi t Hàm s b c nh t  x + y  f ( x) + f ( y ) f(x) = ax + b (ab ≠ 0) có tính ch!t f  , ∀x,y ∈ IR =   Hàm s n tính f(x) = ax (a ≠ 0) có tính ch!t f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x,y ∈ IR Hàm s mũ f(x) = ax (a > 0, a ≠ 1) có tính ch!t f(x + y) = f(x).f(y), ∀x,y ∈ IR Hàm s logarit f(x) = loga|x| (a > 0, a ≠ 1) có tính ch!t f(xy) = f(x) + f(y), ∀x,y ∈ IR* Hàm s lũy th a f(x) = |x|a có tính ch!t f(xy) = f(x).f(y), ∀x,y ∈ IR* Hàm s lư ng giác Hàm s y = sinx có tính ch!t f(3x) = 3f(x) − 4f 3(x), ∀x ∈ IR Hàm s y = cosx có tính ch!t f(x) = 2f 2(x) − 1, ∀x ∈ IR ho c f(x + y) + f(x − y) = 2f(x).f(y), ∀x ∈ IR Hàm s y = tgx có tính ch!t f ( x) + f ( y ) (2k + 1)π f ( x + y) = , ∀x, y ∈ ℝ, x + y ≠ ,k ∈ − f ( x) f ( y ) Hàm s y = cotgx có tiính ch!t f ( x) f ( y ) − , ∀x, y ∈ ℝ, x + y ≠ kπ , k ∈ f ( x + y) = f ( x) + f ( y ) Hàm s lư ng giác ngư c Hàm s y = arcsinx có tính ch!t ) ( f ( x) + f ( y ) = f x − y + y − x , ∀x, y ∈ [−1;1] Hàm s y = arccosx có tính ch!t ) ( f ( x) + f ( y ) = f xy − (1 − x )(1 − y ) , ∀x, y ∈ [−1;1] Hàm s y = arctgx có tính ch!t  x+ y  f ( x) + f ( y ) = f   , ∀x, y ∈ ℝ, xy ≠  − xy  Hàm s y = arccotgx có tính ch!t  xy −  f ( x) + f ( y ) = f   , ∀x, y ∈ ℝ, x + y ≠  x+ y  19 DeThiMau.vn M t vài hàm s thông d ng khác Hàm s f(x) = cxn có tính ch!t f ( n ) x n + y n = f ( x) + f ( y ), x, y ≥ Hàm s f(x) = cx2 có tính ch!t f ( x + y ) − f ( x − y ) = f ( x) f ( y ) ho c f ( x + y ) + f ( x − y ) = 2[ f ( x) + f ( y )] c Hàm s f ( x) = có tính ch!t x f ( x) f ( y ) f ( x + y) = f ( x) + f ( y ) III Phương trình hàm l#p hàm liên t$c Trong ph n này, xét m t s tốn gi i phương trình hàm có s d ng tính liên t c c a hàm s Vi c v n d ng khái ni m liên t c đ% gi i địi h i ph i n m v ng b n ch!t M t l p tốn đưa v phương trình hàm Cauchy nên vi c n m v ng cơng th c có k1 thu t, thu t bi n ñ i ñi u ki n ñã cho ñ% ñưa v ñi u ki n c a phương trình hàm Cauchy u h t s c c n thi t M t s tốn tr nên đơn gi n ho c có cách gi i ñơn gi n n u ta bi t khai thác, bi n ñ i ñi u ki n tương ng ph c t p v thành d ng quen thu c M t s nh n xét c n lưu ý (a) N u f c ng tính liên t c IR (ho c IR+) f(x) = kx (b) N u hàm f liên t c IR (ho c IR+) th a  x + y  f ( x) + f ( y ) f , ∀x,y ∈ IR f(x) = ax + b =   (c) N u hàm f liên t c nhân tính IR+ f(x) = xα, ∀α ∈ IR (d) N u hàm s f ñơn ánh, liên t c f đơn u th c s (e) N u ta có cơng th c c a f X ⊂ IR X trù m t IR ta có cơng th c c a f IR Bài toán (Phương trình hàm Cauchy) Tìm hàm liên t c f(x) IR th a ñi u ki n f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x,y ∈ IR (1) Gi i T& (1) ta có: f(0) = 0, f(−x) = − f(x) f(2x) = 2f(x), ∀x ∈ IR b ng quy n p suy f(nx) = nf(x), ∀x ∈ IR, n ∈ N T& f(−x) = − f(x) suy f(mx) = mf(x), ∀m ∈ Z, ∀x ∈ IR p V i x ∈ Q, ∃p ∈ Z, q ∈ N* cho x = Khi ñó q f(p) = f(p.1) = pf(1)  p  p f ( p ) = f  q  = qf    q q  p p suy f ( x) = f   = f (1) = xf (1) q q 20 DeThiMau.vn ... ngũ h c sinh gi i c a trư ng THPT ph m vi Thành ph C n Thơ T Toán − Tin h c c a trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng ph i h p v i b ph n chuyên môn c a S Giáo d c − ðào t o c g ng biên so n m t s chuyên. .. t vi c b i dư ng h c sinh gi i m t s chuyên ñ sau Chuyên ñ Nguyên lý Dirichlet ng d ng Chun đ Dãy s − Phương trình hàm Chuyên ñ M t s phương pháp ch ng minh b!t ñ"ng th c Chuyên ñ M t giáo án... Toán h c Tu i tr- [2] Các chuyên ñ v S h c c a GS Phan Huy Kh i [3] Chuyên ñ nguyên lý Dirichlet c a TS Nguy+n H u ði%n [4] Các toán ch n l c c a GS Phan ð c Chính [5] Chuyên ñ nguyên lý Dirichlet