1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi khối lớp 6 phần số học47947

19 3 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 19
Dung lượng 280,88 KB

Nội dung

ΧΗΥΨ⊇Ν ĐỀ BỒI DƯỠNG ΗΣΓ LỚP PHẦN SỐ HỌC ΒℵΙ 1: Τ⊂Μ CHỮ SỐ TẬN Χ∧ΝΓ Τm chữ số tận χνγ số tự νηιν λ◊ dạng το〈ν ηαψ Đa số χ〈χ τ◊ι liệu dạng το〈ν ν◊ψ sử dụng κη〈ι niệm đồng dư, κη〈ι niệm trừu tượng ϖ◊ κηνγ χ⌠ τρονγ chương τρνη ς χ⌠ κηνγ τ học σινη, đặc biệt λ◊ χ〈χ bạn lớp ϖ◊ lớp κη⌠ χ⌠ thể hiểu ϖ◊ tiếp τηυ Θυα β◊ι viết ν◊ψ, τι ξιν τρνη β◊ψ với χ〈χ bạn số τνη chất ϖ◊ phương πη〈π giải β◊ι το〈ν “τm chữ số tận χνγ”, sử dụng kiến thức ΤΗΧΣ Χηνγ τα xuất πη〈τ từ τνη chất σαυ: Τνη chất 1: α) Χ〈χ số χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ 0, 1, 5, κηι ννγ λν lũy thừa bậc bất κ τη chữ số tận χνγ κηνγ τηαψ đổi β) Χ〈χ số χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ 4, κηι ννγ λν lũy thừa bậc lẻ τη chữ số tận χνγ κηνγ τηαψ đổi χ) Χ〈χ số χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ 3, 7, κηι ννγ λν lũy thừa bậc 4ν (ν thuộc Ν) τη chữ số tận χνγ λ◊ δ) Χ〈χ số χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ 2, 4, κηι ννγ λν lũy thừa bậc 4ν (ν thuộc Ν) τη chữ số tận χνγ λ◊ Việc chứng mινη τνη chất τρν κηνγ κη⌠, ξιν δ◊νη χηο bạn đọc Như vậy, muốn τm chữ số tận χνγ số tự νηιν ξ = αm, trước hết τα ξ〈χ định chữ số tận χνγ α − Nếu chữ số tận χνγ α λ◊ 0, 1, 5, τη ξ χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ 0, 1, 5, − Nếu chữ số tận χνγ α λ◊ 3, 7, 9, ϖ αm = α4ν + ρ = α4ν.αρ với ρ = 0, 1, 2, νν từ τνη chất 1χ => chữ số tận χνγ ξ χηνη λ◊ chữ số tận χνγ αρ − Nếu chữ số tận χνγ α λ◊ 2, 4, 8, trường hợp τρν, từ τνη chất 1δ => chữ số tận χνγ ξ χηνη λ◊ chữ số tận χνγ 6.αρ Β◊ι το〈ν 1: Τm chữ số tận χνγ χ〈χ số: 99 α) β) 141414 χ) 4567 Lời giải: α) Trước hết, τα τm số dư πηπ χηια 99 χηο 4: 99 − = (9 − 1)(98 + 97 + … + + 1) χηια hết χηο => 99 = 4κ + (κ thuộc Ν) => 799 = 74κ + = 74κ.7 Dο 74κ χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ (τηεο τνη chất 1χ) => 799 χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ β) Dễ thấy 1414 = 4κ (κ thuộc Ν) => τηεο τνη chất 1δ τη 141414 = 144κ χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ χ) Τα χ⌠ 567 − χηια hết χηο => 567 = 4κ + (κ thuộc Ν) => 4567 = 44κ + = 44κ.4, τηεο τνη chất 1δ, 44κ χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ νν 4567 χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ Τνη chất σαυ => từ τνη chất Τνη chất 2: Một số tự νηιν bất κ, κηι ννγ λν lũy thừa bậc 4ν + (ν thuộc Ν) τη chữ số tận χνγ κηνγ τηαψ đổi ςνDοχ − Τảι τ◊ι λιệυ, ϖăn βảν πη〈π λυậτ, βιểυ mẫυ mιễν πη ThuVienDeThi.com Chữ số tận χνγ tổng χ〈χ lũy thừa ξ〈χ định χ〈χη τνη tổng χ〈χ chữ số tận χνγ lũy thừa τρονγ tổng Β◊ι το〈ν 2: Τm chữ số tận χνγ tổng Σ = 21 + 35 + 49 + … + 20048009 Lời giải: Nhận ξτ: Mọi lũy thừa τρονγ Σ χ⌠ số mũ κηι χηια χηο τη dư (χ〈χ lũy thừa χ⌠ dạng ν4(ν − 2) + 1, ν thuộc {2, 3, …, 2004}) Τηεο τνη chất 2, lũy thừa τρονγ Σ ϖ◊ χ〈χ số tương ứng χ⌠ chữ số tận χνγ giống νηαυ, chữ số tận χνγ tổng: (2 + + … + 9) + 199.(1 + + … + 9) + + + + = 200(1 + + … + 9) + = 9009 Vậy chữ số tận χνγ tổng Σ λ◊ Từ τνη chất tiếp tục => τνη chất Τνη chất 3: α) Số χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ κηι ννγ λν lũy thừa bậc 4ν + χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ ; số χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ κηι ννγ λν lũy thừa bậc 4ν + χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ β) Số χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ κηι ννγ λν lũy thừa bậc 4ν + χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ ; số χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ κηι ννγ λν lũy thừa bậc 4ν + χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ χ) Χ〈χ số χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ 0, 1, 4, 5, 6, 9, κηι ννγ λν lũy thừa bậc 4ν + κηνγ τηαψ đổi chữ số tận χνγ Β◊ι το〈ν 3: Τm chữ số tận χνγ tổng Τ = 23 + 37 + 411 + … + 20048011 Lời giải: Nhận ξτ: Mọi lũy thừa τρονγ Τ χ⌠ số mũ κηι χηια χηο τη dư (χ〈χ lũy thừa χ⌠ dạng ν4(ν − 2) + 3, ν thuộc {2, 3, …, 2004}) Τηεο τνη chất τη 23 χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ ; 37 χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ ; 411 χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ ; … Như vậy, tổng Τ χ⌠ chữ số tận χνγ chữ số tận χνγ tổng: (8 + + + + + + + 9) + 199.(1 + + + + + + + + 9) + + + + = 200(1 + + + + + + + + 9) + + + = 9019 Vậy chữ số tận χνγ tổng Τ λ◊ ∗ Τρονγ số β◊ι το〈ν κη〈χ, việc τm chữ số tận χνγ dẫn đến lời giải κη〈 độc đáo Β◊ι το〈ν 4: Tồn ηαψ κηνγ số tự νηιν ν σαο χηο ν2 + ν + χηια hết χηο 19952000 Lời giải: 19952000 tận χνγ chữ số νν χηια hết χηο ς vậy, τα đặt vấn đề λ◊ liệu ν2 + ν + χ⌠ χηια hết χηο κηνγ ? Τα χ⌠ ν2 + ν = ν(ν + 1), λ◊ τχη ηαι số tự νηιν λιν tiếp νν chữ số tận χνγ ν2 + ν χ⌠ thể λ◊ ; ; => ν2 + ν + χ⌠ thể tận χνγ λ◊ ; ; => ν2 + ν + κηνγ χηια hết χηο Vậy κηνγ tồn số tự νηιν ν σαο χηο ν2 + ν + χηια hết χηο 19952000 Sử dụng τνη chất “một số χηνη phương χ⌠ thể tận χνγ χ〈χ chữ số ; ; ; ; ; 9”, τα χ⌠ thể giải β◊ι το〈ν σαυ: Β◊ι το〈ν 5: Chứng mινη χ〈χ tổng σαυ κηνγ thể λ◊ số χηνη phương: ςνDοχ − Τảι τ◊ι λιệυ, ϖăn βảν πη〈π λυậτ, βιểυ mẫυ mιễν πη ThuVienDeThi.com α) Μ = 19κ + 5κ + 1995κ + 1996κ (với κ chẵn) β) Ν = 20042004κ + 2003 Sử dụng τνη chất “một số νγυψν tố lớn χ⌠ thể tận χνγ χ〈χ chữ số ; ; ; 9”, τα tiếp tục giải β◊ι το〈ν: Β◊ι το〈ν 6: Χηο π λ◊ số νγυψν tố lớn Chứng mινη rằng: π8ν +3.π4ν − χηια hết χηο ∗ Χ〈χ bạn ηψ giải χ〈χ β◊ι tập σαυ: Β◊ι 1: Τm số dư χ〈χ πηπ χηια: α) 21 + 35 + 49 + … + 20038005 χηο β) 23 + 37 + 411 + … + 20038007 χηο Β◊ι 2: Τm chữ số tận χνγ Ξ, Ψ: Ξ = 22 + 36 + 410 + … + 20048010 Ψ = 28 + 312 + 416 + … + 20048016 Β◊ι 3: Chứng mινη chữ số tận χνγ ηαι tổng σαυ giống νηαυ: Υ = 21 + 35 + 49 + … + 20058013 ς = 23 + 37 + 411 + … + 20058015 Β◊ι 4: Chứng mινη κηνγ tồn χ〈χ số tự νηιν ξ, ψ, ζ thỏa mν: 19ξ + 5ψ + 1980ζ = 1975430 + 2004 ∗ Χ〈χ bạn thử νγηιν cứu χ〈χ τνη chất ϖ◊ phương πη〈π τm nhiều chữ số tận χνγ số tự νηιν, χηνγ τα tiếp tục τραο đổi vấn đề ν◊ψ ∗ Τm ηαι chữ số tận χνγ Nhận ξτ: Nếu ξ Є Ν ϖ◊ ξ = 100κ + ψ, τρονγ κ ; ψ Є Ν τη ηαι chữ số tận χνγ ξ χηνη λ◊ ηαι chữ số tận χνγ ψ Hiển νηιν λ◊ ψ ≤ ξ Như vậy, để đơn giản việc τm ηαι chữ số tận χνγ số tự νηιν ξ τη τηαψ ϖ◊ο τα τm ηαι chữ số tận χνγ số tự νηιν ψ (nhỏ hơn) Ρ⌡ ρ◊νγ số ψ χ◊νγ nhỏ τη việc τm χ〈χ chữ số tận χνγ ψ χ◊νγ đơn giản Từ nhận ξτ τρν, τα đề xuất phương πη〈π τm ηαι chữ số tận χνγ số tự νηιν ξ = αm σαυ: Trường hợp 1: Nếu α chẵn τη ξ = αm ∶ 2m Gọi ν λ◊ số tự νηιν σαο χηο αν − ∶ 25 Viết m = πν + θ (π ; θ Є Ν), τρονγ θ λ◊ số nhỏ để αθ ∶ τα χ⌠: ξ = αm = αθ(απν − 1) + αθ ς αν − ∶ 25 => απν − ∶ 25 Mặt κη〈χ, δο (4, 25) = νν αθ(απν − 1) ∶ 100 Vậy ηαι chữ số tận χνγ αm χηνη λ◊ ηαι chữ số tận χνγ αθ Tiếp τηεο, τα τm ηαι chữ số tận χνγ αθ Trường hợp 2: Nếu α lẻ , gọi ν λ◊ số tự νηιν σαο χηο αν − ∶ 100 Viết m = υν + ϖ (υ ; ϖ Є Ν, ≤ ϖ < ν) τα χ⌠: ξ = αm = αϖ(αυν − 1) + αϖ ς αν − ∶ 100 => αυν − ∶ 100 Vậy ηαι chữ số tận χνγ αm χηνη λ◊ ηαι chữ số tận χνγ αϖ Tiếp τηεο, τα τm ηαι chữ số tận χνγ αϖ Τρονγ ηαι trường hợp τρν, χηα κη⌠α để giải β◊ι το〈ν λ◊ χηνγ τα phải τm số tự νηιν ν Nếu ν χ◊νγ nhỏ τη θ ϖ◊ ϖ χ◊νγ nhỏ νν dễ δ◊νγ τm ηαι chữ số tận χνγ αθ ϖ◊ αϖ ςνDοχ − Τảι τ◊ι λιệυ, ϖăn βảν πη〈π λυậτ, βιểυ mẫυ mιễν πη ThuVienDeThi.com Β◊ι το〈ν 7: Τm ηαι chữ số tận χνγ χ〈χ số: α) α2003 β) 799 Lời giải: α) Dο 22003 λ◊ số chẵn, τηεο trường hợp 1, τα τm số tự νηιν ν nhỏ σαο χηο 2ν − ∶ 25 Τα χ⌠ 210 = 1024 => 210 + = 1025 ∶ 25 => 220 − = (210 + 1)(210 − 1) ∶ 25 => 23(220 − 1) ∶ 100 Mặt κη〈χ: 22003 = 23(22000 − 1) + 23 = 23((220)100 − 1) + 23 = 100κ + (κ Є Ν) Vậy ηαι chữ số tận χνγ 22003 λ◊ 08 β) Dο 799 λ◊ số lẻ, τηεο trường hợp 2, τα τm số tự νηιν ν β σαο χηο 7ν − ∶ 100 Τα χ⌠ 74 = 2401 => 74 − ∶ 100 Mặt κη〈χ: 99 − ∶ => 99 = 4κ + (κ Є Ν) Vậy 799 = 74κ + = 7(74κ − 1) + = 100θ + (θ Є Ν) tận χνγ ηαι chữ số 07 Β◊ι το〈ν 8: Τm số dư πηπ χηια 3517 χηο 25 Lời giải: Trước hết τα τm ηαι chữ số tận χνγ 3517 Dο số ν◊ψ lẻ νν τηεο trường hợp 2, τα phải τm số tự νηιν ν nhỏ σαο χηο 3ν − ∶ 100 Τα χ⌠ 310 = 95 = 59049 => 310 + ∶ 50 => 320 − = (310 + 1) (310 − 1) ∶ 100 Mặt κη〈χ: 516 − ∶ => 5(516 − 1) ∶ 20 => 517 = 5(516 − 1) + = 20κ + =>3517 = 320κ + = 35(320κ − 1) + 35 = 35(320κ − 1) + 243, χ⌠ ηαι chữ số tận χνγ λ◊ 43 Vậy số dư πηπ χηια 3517 χηο 25 λ◊ 18 Τρονγ trường hợp số χηο χηια hết χηο τη τα χ⌠ thể τm τηεο χ〈χη γι〈ν tiếp Trước τιν, τα τm số dư πηπ χηια số χηο 25, từ συψ ρα χ〈χ khả ηαι chữ số tận χνγ Cuối χνγ, dựa ϖ◊ο giả thiết χηια hết χηο để chọn γι〈 trị Χ〈χ τη dụ τρν χηο thấy rằng, α = α = τη ν = 20 ; α = τη ν = Một χυ hỏi đặt ρα λ◊: Nếu α bất κ τη ν nhỏ λ◊ βαο νηιυ ? Τα χ⌠ τνη chất σαυ (bạn đọc tự chứng mινη) Τνη chất 4: Nếu α Є Ν ϖ◊ (α, 5) = τη α20 − ∶ 25 Β◊ι το〈ν 9: Τm ηαι chữ số tận χνγ χ〈χ tổng: α) Σ1 = 12002 + 22002 + 32002 + + 20042002 β) Σ2 = 12003 + 22003 + 32003 + + 20042003 Lời giải: α) Dễ thấy, α chẵn τη α2 χηια hết χηο ; α lẻ τη α100 − χηια hết χηο ; α χηια hết χηο τη α2 χηια hết χηο 25 Mặt κη〈χ, từ τνη chất τα συψ ρα với α Є Ν ϖ◊ (α, 5) = τα χ⌠ α100 − ∶ 25 Vậy với α Є Ν τα χ⌠ α2(α100 − 1) ∶ 100 Dο Σ1 = 12002 + 22(22000 − 1) + + 20042(20042000 − 1) + 22 + 32 + + 20042 ς ηαι chữ số tận χνγ tổng Σ1 χηνη λ◊ ηαι chữ số tận χνγ tổng 12 + 22 + 32 + + 20042 〈π dụng χνγ thức: 12 + 22 + 32 + + ν2 = ν(ν + 1)(2ν + 1)/6 =>12 + 22 + + 20042 = 2005 ξ 4009 ξ 334 = 2684707030, tận χνγ λ◊ 30 ςνDοχ − Τảι τ◊ι λιệυ, ϖăn βảν πη〈π λυậτ, βιểυ mẫυ mιễν πη ThuVienDeThi.com Vậy ηαι chữ số tận χνγ tổng Σ1 λ◊ 30 β) Ηο◊ν το◊ν tương tự χυ α, Σ2 = 12003 + 23(22000 − 1) + + 20043(20042000 − 1) + 23 + 33 + 20043 ς thế, ηαι chữ số tận χνγ tổng Σ2 χηνη λ◊ ηαι chữ số tận χνγ 13 + 23 + 33 + + 20043 〈π dụng χνγ thức: => 13 + 23 + + 20043 = (2005 ξ 1002)2 = 4036121180100, tận χνγ λ◊ 00 Vậy ηαι chữ số tận χνγ tổng Σ2 λ◊ 00 Trở lại β◊ι το〈ν (ΤΤΤ2 số 15), τα thấy χ⌠ thể sử dụng việc τm chữ số tận χνγ để nhận biết số κηνγ phải λ◊ số χηνη phương Τα χ⌠ thể nhận biết điều τηνγ θυα việc τm ηαι chữ số tận χνγ Τα χ⌠ τνη chất σαυ (bạn đọc tự chứng mινη) Τνη chất 5: Số tự νηιν Α κηνγ phải λ◊ số χηνη phương nếu: + Α χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ 2, 3, 7, ; + Α χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ m◊ chữ số η◊νγ chục λ◊ chữ số chẵn ; + Α χ⌠ chữ số η◊νγ đơn vị κη〈χ m◊ chữ số η◊νγ chục λ◊ lẻ ; + Α χ⌠ chữ số η◊νγ đơn vị λ◊ m◊ chữ số η◊νγ chục κη〈χ ; + Α χ⌠ ηαι chữ số tận χνγ λ◊ lẻ Β◊ι το〈ν 10: Χηο ν Є Ν ϖ◊ ν − κηνγ χηια hết χηο Chứng mινη 7ν + κηνγ thể λ◊ số χηνη phương Lời giải: Dο ν − κηνγ χηια hết χηο νν ν = 4κ + ρ (ρ Є {0, 2, 3}) Τα χ⌠ 74 − = 2400 ∶ 100 Τα viết 7ν + = 74κ + ρ + = 7ρ(74κ − 1) + 7ρ + Vậy ηαι chữ số tận χνγ 7ν + χηνη λ◊ ηαι chữ số tận χνγ 7ρ + (ρ = 0, 2, 3) νν χ⌠ thể λ◊ 03, 51, 45 Τηεο τνη chất τη ρ⌡ ρ◊νγ 7ν + κηνγ thể λ◊ số χηνη phương κηι ν κηνγ χηια hết χηο ∗ Τm βα chữ số tận χνγ Nhận ξτ: Tương tự trường hợp τm ηαι chữ số tận χνγ, việc τm βα chữ số tận χνγ số tự νηιν ξ χηνη λ◊ việc τm số dư πηπ χηια ξ χηο 1000 Nếu ξ = 1000κ + ψ, τρονγ κ ; ψ Є Ν τη βα chữ số tận χνγ ξ χηνη λ◊ βα chữ số tận χνγ ψ (ψ ≤ ξ) Dο 1000 = ξ 125 m◊ (8, 125) = νν τα đề xuất phương πη〈π τm βα chữ số tận χνγ số tự νηιν ξ = αm σαυ: Trường hợp 1: Nếu α chẵn τη ξ = αm χηια hết χηο 2m Gọi ν λ◊ số tự νηιν σαο χηο αν − χηια hết χηο 125 Viết m = πν + θ (π ; θ Є Ν), τρονγ θ λ◊ số nhỏ để αθ χηια hết χηο τα χ⌠: ξ = αm = αθ(απν − 1) + αθ ς αν − χηια hết χηο 125 => απν − χηια hết χηο 125 Mặt κη〈χ, δο (8, 125) = νν αθ(απν − 1) χηια hết χηο 1000 Vậy βα chữ số tận χνγ αm χηνη λ◊ βα chữ số tận χνγ αθ Tiếp τηεο, τα τm βα chữ số tận χνγ αθ Trường hợp 2: Nếu α lẻ , gọi ν λ◊ số tự νηιν σαο χηο αν − χηια hết χηο 1000 Viết m = υν + ϖ (υ ; ϖ Є Ν, ≤ ϖ < ν) τα χ⌠: ςνDοχ − Τảι τ◊ι λιệυ, ϖăn βảν πη〈π λυậτ, βιểυ mẫυ mιễν πη ThuVienDeThi.com ξ = αm = αϖ(αυν − 1) + αϖ ς αν − χηια hết χηο 1000 => αυν − χηια hết χηο 1000 Vậy βα chữ số tận χνγ αm χηνη λ◊ βα chữ số tận χνγ αϖ Tiếp τηεο, τα τm βα chữ số tận χνγ αϖ Τνη chất σαυ συψ ρα từ τνη chất Τνη chất 6: Nếu α Є Ν ϖ◊ (α, 5) = τη α100 − χηια hết χηο 125 Chứng mινη: Dο α20 − χηια hết χηο 25 νν α20, α40, α60, α80 κηι χηια χηο 25 χ⌠ χνγ số dư λ◊ => α20 + α40 + α60 + α80 + χηια hết χηο Vậy α100 − = (α20 − 1)( α80 + α60 + α40 + α20 + 1) χηια hết χηο 125 Β◊ι το〈ν 11: Τm βα chữ số tận χνγ 123101 Lời giải: Τηεο τνη chất 6, δο (123, 5) = => 123100 − χηια hết χηο 125 (1) Mặt κη〈χ: 123100 − = (12325 − 1)(12325 + 1)(12350 + 1) => 123100 − χηια hết χηο (2) ς (8, 125) = 1, từ (1) ϖ◊ (2) συψ ρα: 123100 − χηι hết χηο 1000 => 123101 = 123(123100 − 1) + 123 = 1000κ + 123 (κ ∩ Ν) Vậy 123101 χ⌠ βα chữ số tận χνγ λ◊ 123 Β◊ι το〈ν 12: Τm βα chữ số tận χνγ 3399 98 Lời giải: Τηεο τνη chất 6, δο (9, 5) = => 9100 − χηι hết χηο 125 (1) Tương tự β◊ι 11, τα χ⌠ 9100 − χηια hết χηο (2) ς (8, 125) = 1, từ (1) ϖ◊ (2) συψ ρα: 9100 − χηια hết χηο 1000 => 3399 98 = 9199 = 9100π + 99 = 999(9100π − 1) + 999 = 1000θ + 999 (π, θ Є Ν) Vậy βα chữ số tận χνγ 3399 98 χηνη λ◊ βα chữ số tận χνγ 999 Lại ϖ 9100 − χηια hết χηο 1000 => βα chữ số tận χνγ 9100 λ◊ 001 m◊ 999 = 9100: => βα chữ số tận χνγ 999 λ◊ 889 (dễ kiểm τρα chữ số tận χνγ 999 λ◊ 9, σαυ dựa ϖ◊ο πηπ νην để ξ〈χ định ) 399 98 Vậy βα chữ số tận χνγ λ◊ 889 Nếu số χηο χηια hết χηο τη τα χ⌠ thể τm βα chữ số tận χνγ χ〈χη γι〈ν tiếp τηεο χ〈χ bước: Τm dư πηπ χηια số χηο 125, từ συψ ρα χ〈χ khả βα chữ số tận χνγ, cuối χνγ kiểm τρα điều kiện χηια hết χηο để chọn γι〈 trị Β◊ι το〈ν 13: Τm βα chữ số tận χνγ 2004200 Lời giải: δο (2004, 5) = (τνη chất 6) => 2004100 χηια χηο 125 dư => 2004200 = (2004100)2 χηια χηο 125 dư => 2004200 χ⌠ thể tận χνγ λ◊ 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876 Dο 2004200 χηια hết χηο νν χ⌠ thể tận χνγ λ◊ 376 Từ phương πη〈π τm ηαι ϖ◊ βα chữ số tận χνγ τρνη β◊ψ, χηνγ τα χ⌠ thể mở rộng để τm nhiều βα chữ số tận χνγ số tự νηιν ςνDοχ − Τảι τ◊ι λιệυ, ϖăn βảν πη〈π λυậτ, βιểυ mẫυ mιễν πη ThuVienDeThi.com Σαυ λ◊ số β◊ι tập vận dụng: Β◊ι 1: Chứng mινη 1ν + 2ν + 3ν + 4ν χηια hết χηο κηι ϖ◊ κηι ν κηνγ χηια hết χηο Β◊ι 2: Chứng mινη 920002003, 720002003 χ⌠ chữ số tận χνγ giống νηαυ Β◊ι 3: Τm ηαι chữ số tận χνγ của: α) 3999 β) 111213 Β◊ι 4: Τm ηαι chữ số tận χνγ của: Σ = 23 + 223 + + 240023 Β◊ι 5: Τm βα chữ số tận χνγ của: Σ = 12004 + 22004 + + 20032004 Β◊ι 6: Χηο (α, 10) = Chứng mινη βα chữ số tận χνγ α101 βα chữ số tận χνγ α Β◊ι 7: Χηο Α λ◊ số chẵn κηνγ χηια hết χηο 10 Ηψ τm βα chữ số tận χνγ Α200 Β◊ι 8: Τm βα chữ số tận χνγ số: 199319941995 2000 Β◊ι 9: Τm σ〈υ chữ số tận χνγ 521 ΒℵΙ 2: CHỨNG ΜΙΝΗ MỘT SỐ ΚΗΝΓ PHẢI Λℵ SỐ ΧΗ⊆ΝΗ PHƯƠNG Τρονγ chương τρνη Το〈ν lớp 6, χ〈χ εm học χ〈χ β◊ι το〈ν λιν θυαν tới πηπ χηια hết số tự νηιν χηο số tự νηιν κη〈χ ϖ◊ đặc biệt λ◊ giới thiệu số χηνη phương, λ◊ số tự νηιν βνη phương số tự νηιν (chẳng hạn: ; ; ; ;16 ; 25 ; 121 ; 144 ; …) Kết hợp χ〈χ kiến thức τρν, χ〈χ εm χ⌠ thể giải β◊ι το〈ν: Chứng mινη số κηνγ phải λ◊ số χηνη phương Đây λ◊ χ〈χη củng cố χ〈χ kiến thức m◊ χ〈χ εm học Những β◊ι το〈ν ν◊ψ λ◊m tăng τηm λ∫νγ σαψ m mν το〈ν χηο χ〈χ εm Νην chữ số tận χνγ ς số χηνη phương βνη phương số tự νηιν νν χ⌠ thể thấy νγαψ số χηνη phương phải χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ τρονγ χ〈χ chữ số ; ; ; ; ; Từ χ〈χ εm χ⌠ thể giải β◊ι το〈ν kiểu σαυ đây: Β◊ι το〈ν 1: Chứng mινη số: ν = 20042 + 20032 + 20022 − 20012 κηνγ phải λ◊ số χηνη phương Lời giải: Dễ δ◊νγ thấy chữ số tận χνγ χ〈χ số 20042 ; 20032 ; 20022 ; 20012 λ◊ ; ; ; Dο số ν χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ νν ν κηνγ phải λ◊ số χηνη phương ςνDοχ − Τảι τ◊ι λιệυ, ϖăn βảν πη〈π λυậτ, βιểυ mẫυ mιễν πη ThuVienDeThi.com Χη : Nhiều κηι số χηο χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ τρονγ χ〈χ số ; ; ; ; ; κηνγ phải λ◊ số χηνη phương Κηι χ〈χ bạn phải lưu  τηm χητ nữa: Nếu số χηνη phương χηια hết χηο số νγυψν tố π τη phải χηια hết χηο π2 Β◊ι το〈ν 2: Chứng mινη số 1234567890 κηνγ phải λ◊ số χηνη phương Lời giải: Thấy νγαψ số 1234567890 χηια hết χηο (ϖ chữ số tận χνγ λ◊ 0) κηνγ χηια hết χηο 25 (ϖ ηαι chữ số tận χνγ λ◊ 90) Dο số 1234567890 κηνγ phải λ◊ số χηνη phương Χη : Χ⌠ thể λ luận 1234567890 χηια hết χηο (ϖ chữ số tận χνγ λ◊ 0), κηνγ χηια hết χηο (ϖ ηαι chữ số tận χνγ λ◊ 90) νν 1234567890 κηνγ λ◊ số χηνη phương Β◊ι το〈ν 3: Chứng mινη số χ⌠ tổng χ〈χ chữ số λ◊ 2004 τη số κηνγ phải λ◊ số χηνη phương Lời giải: Τα thấy tổng χ〈χ chữ số số 2004 λ◊ νν 2004 χηια hết χηο m◊ κηνγ χηια hết νν số χ⌠ tổng χ〈χ chữ số λ◊ 2004 χηια hết χηο m◊ κηνγ χηια hết χηο 9, δο số ν◊ψ κηνγ phải λ◊ số χηνη phương Dνγ τνη chất số dư Chẳng hạn χ〈χ εm gặp β◊ι το〈ν σαυ đây: Β◊ι το〈ν 4: Chứng mινη số χ⌠ tổng χ〈χ chữ số λ◊ 2006 κηνγ phải λ◊ số χηνη phương Chắc chắn χ〈χ εm dễ bị “χηο〈νγ” Vậy β◊ι το〈ν ν◊ψ τα phải nghĩ tới điều γ ? ς χηο giả thiết tổng χ〈χ chữ số νν chắn χ〈χ εm phải nghĩ tới πηπ χηια χηο χηο Nhưng lại κηνγ gặp điều “κ diệu” β◊ι το〈ν Thế τη τα ν⌠ι điều γ số ν◊ψ ? Chắc chắn số ν◊ψ χηια χηο phải dư Từ τα χ⌠ lời giải Lời giải: ς số χηνη phương κηι χηια χηο χ⌠ số dư λ◊ m◊ τηι (χοι β◊ι tập để χ〈χ εm tự chứng mινη !) Dο tổng χ〈χ chữ số số λ◊ 2006 νν số χηια χηο dư Chứng tỏ số χηο κηνγ phải λ◊ số χηνη phương Tương tự χ〈χ εm χ⌠ thể tự giải β◊ι το〈ν: Β◊ι το〈ν 5: Chứng mινη tổng χ〈χ số tự νηιν λιν tiếp từ đến 2005 κηνγ phải λ◊ số χηνη phương Β◊ι το〈ν 6: Chứng mινη số: ν = 20044 + 20043 + 20042 + 23 κηνγ λ◊ số χηνη phương Βψ χ〈χ εm τηεο δ⌡ι β◊ι το〈ν σαυ để nghĩ tới “τνη huống” Β◊ι το〈ν 7: Chứng mινη số: ν = 44 + 4444 + 444444 + 44444444 + 15 κηνγ λ◊ số χηνη phương Nhận ξτ: Nếu ξτ ν χηια χηο 3, χ〈χ εm thấy số dư πηπ χηια λ◊ 1, λ◊ κηνγ “bắt chước” χ〈χη giải χ〈χ β◊ι το〈ν ; ; ; Nếu ξτ chữ số tận χνγ χ〈χ εm thấy chữ số tận χνγ ν λ◊ νν κηνγ λ◊m “tương tự” χ〈χ β◊ι το〈ν ; Số dư πηπ χηια ν χηο λ◊ dễ thấy nhất, χηνη λ◊ Một số χηνη phương κηι χηια χηο χηο số dư ν◊ο ? Χ〈χ εm χ⌠ thể tự chứng mινη ϖ◊ kết quả: số dư χ⌠ thể λ◊ Như λ◊ χ〈χ εm giải ξονγ β◊ι το〈ν ςνDοχ − Τảι τ◊ι λιệυ, ϖăn βảν πη〈π λυậτ, βιểυ mẫυ mιễν πη ThuVienDeThi.com “Kẹp” số ηαι số χηνη phương “λιν tiếp” Χ〈χ εm χ⌠ thể thấy rằng: Nếu ν λ◊ số tự νηιν ϖ◊ số tự νηιν κ thỏa mν ν2 < κ < (ν + 1)2 τη κ κηνγ λ◊ số χηνη phương Từ χ〈χ εm χ⌠ thể ξτ χ〈χ β◊ι το〈ν σαυ: Β◊ι το〈ν 8: Chứng mινη số 4014025 κηνγ λ◊ số χηνη phương Nhận ξτ: Số ν◊ψ χ⌠ ηαι chữ số tận χνγ λ◊ 25, χηια χηο dư 1, χηια χηο dư Thế λ◊ tất χ〈χ χ〈χη λ◊m trước κηνγ vận dụng Χ〈χ εm χ⌠ thể thấy lời giải τηεο hướng κη〈χ Lời giải: Τα χ⌠ 20032 = 4012009 ; 20042 = 4016016 νν 20032 < 4014025 < 20042 Chứng tỏ 4014025 κηνγ λ◊ số χηνη phương Β◊ι το〈ν 9: Chứng mινη Α = ν(ν + 1)(ν + 2)(ν + 3) κηνγ λ◊ số χηνη phương với số tự νηιν ν κη〈χ Nhận ξτ: Đối với χ〈χ εm λ◊m θυεν với dạng biểu thức ν◊ψ τη χ⌠ thể nhận ρα Α + λ◊ số χηνη phương (đây λ◊ β◊ι το〈ν θυεν thuộc với lớp 8) Χ〈χ εm lớp 6, lớp χ⌠ thể chịu κη⌠ đọc lời giải Lời giải: Τα χ⌠: Α + = ν(ν + 1)(ν + 2)(ν + 3) + = (ν2 + 3ν)(ν2 + 3ν + 2) + = (ν2 + 3ν)2 + 2(ν2 + 3ν) +1 = (ν2 + 3ν +1)2 Mặt κη〈χ: (ν2 + 3ν)2 < (ν2 + 3ν)2 + 2(ν2 + 3ν) = Α Điều ν◊ψ hiển νηιν ϖ ν ≥ Chứng tỏ: (ν2 + 3ν)2 < Α < Α + = (ν2 + 3ν +1)2 => Α κηνγ λ◊ số χηνη phương Χ〈χ εm χ⌠ thể ρν luyện χ〈χη thử giải β◊ι το〈ν σαυ: Β◊ι το〈ν 10: Ηψ τm số tự νηιν ν σαο χηο Α = ν4 − 2ν3 + 3ν2 − 2ν λ◊ số χηνη phương Gợi : Nghĩ đến (ν2 − ν + 1)2 Β◊ι το〈ν 11: Chứng mινη số 235 + 2312 + 232003 κηνγ λ◊ số χηνη phương Gợi : Nghĩ đến πηπ χηια χηο πηπ χηια χηο Β◊ι το〈ν 12: Χ⌠ 1000 mảnh βα ηνη chữ nhật, τρν mảnh βα γηι số τρονγ χ〈χ số từ đến 1001 σαο χηο κηνγ χ⌠ ηαι mảnh ν◊ο γηι số giống νηαυ Chứng mινη rằng: Κηνγ thể γηπ tất χ〈χ mảnh βα ν◊ψ liền νηαυ để số χηνη phương Β◊ι το〈ν 13: Chứng mινη rằng: Tổng χ〈χ βνη phương bốn số tự νηιν λιν tiếp κηνγ thể λ◊ số χηνη phương Gợi : Nghĩ tới πηπ χηια χηο Β◊ι το〈ν 14: Chứng mινη số 333333 + 555555 + 777777 κηνγ λ◊ số χηνη phương Gợi : Nghĩ đến πηπ χηια χηο … chục (?) Β◊ι το〈ν 15: Λχ đầu χ⌠ ηαι mảnh βα, cậu β τινη nghịch cầm mảnh βα λν lại ξ ρα λ◊m bốn mảnh Cậu τα mονγ λ◊m đến λχ ν◊ο số mảnh βα λ◊ số χηνη phương Cậu τα χ⌠ thực mονγ muốn κηνγ ? ςνDοχ − Τảι τ◊ι λιệυ, ϖăn βảν πη〈π λυậτ, βιểυ mẫυ mιễν πη ThuVienDeThi.com Để kết τηχ β◊ι viết ν◊ψ, τι muốn χηχ χ〈χ εm học thật giỏi mν το〈ν νγαψ từ đầu bậc ΤΗΧΣ ϖ◊ χηο τι ν⌠ι ρινγ với χ〈χ θυ thầy χ: νγυψν tắc χηυνγ để chứng mινη số tự νηιν κηνγ λ◊ số χηνη phương, λ◊ dựa ϖ◊ο τρονγ χ〈χ điều kiện cần để số λ◊ số χηνη phương (m◊ χ〈χ θυ thầy χ biết: điều kiện cần τρν đời λ◊ δνγ để … phủ định !) Từ χ〈χ θυ thầy χ χ⌠ thể σ〈νγ tạo τηm nhiều β◊ι το〈ν τη vị κη〈χ ΒℵΙ 3: CHỨNG ΜΙΝΗ MỘT SỐ Λℵ SỐ ΧΗ⊆ΝΗ PHƯƠNG Χ〈χ bạn giới thiệu χ〈χ phương πη〈π chứng mινη số κηνγ phải λ◊ số χηνη phương τρονγ ΤΤΤ2 số Β◊ι viết ν◊ψ, τι muốn giới thiệu với χ〈χ bạn β◊ι το〈ν chứng mινη số λ◊ số χηνη phương Phương πη〈π 1: Dựa ϖ◊ο định nghĩa Τα biết rằng, số χηνη phương λ◊ βνη phương số tự νηιν Dựa ϖ◊ο định nghĩa ν◊ψ, τα χ⌠ thể định hướng giải χ〈χ β◊ι το〈ν Β◊ι το〈ν 1: Chứng mινη: Với số tự νηιν ν τη αν = ν(ν + 1)(ν + 2)(ν + 3) + λ◊ số χηνη phương Lời giải: Τα χ⌠: αν = ν(ν + 1) (ν + 2) (ν + 3) + = (ν2 + 3ν) (ν2 + 3ν + 2) + = (ν2 + 3ν)2 + 2(ν2 + 3ν) + = (ν2 + 3ν + 1)2 Với ν λ◊ số tự νηιν τη ν2 + 3ν + λ◊ số tự νηιν, τηεο định nghĩa, αν λ◊ số χηνη phương Β◊ι το〈ν 2: Chứng mινη số: Lời giải: λ◊ số χηνη phương Τα χ⌠: ςνDοχ − Τảι τ◊ι λιệυ, ϖăn βảν πη〈π λυậτ, βιểυ mẫυ mιễν πη ThuVienDeThi.com Vậy: λ◊ số χηνη phương Phương πη〈π 2: Dựa ϖ◊ο τνη chất đặc biệt Τα χ⌠ thể chứng mινη τνη chất đặc biệt: “Nếu α, β λ◊ ηαι số tự νηιν νγυψν tố χνγ νηαυ ϖ◊ α.β λ◊ số χηνη phương τη α ϖ◊ β λ◊ χ〈χ số χηνη phương” Β◊ι το〈ν 3: Chứng mινη rằng: Nếu m, ν λ◊ χ〈χ số tự νηιν thỏa mν 3m2 + m = 4ν2 + ν τη m − ν ϖ◊ 4m + 4ν + λ◊ số χηνη phương Lời giải: Τα χ⌠: 3m2 + m = 4ν2 + ν tương đương với 4(m2 − ν2) + (m − ν) = m2 ηαψ λ◊ (m − ν)(4m + 4ν + 1) = m2 (∗) Gọi δ λ◊ ước χηυνγ lớn m − ν ϖ◊ 4m + 4ν + τη (4m + 4ν + 1) + 4(m − ν) χηια hết χηο δ => 8m + χη hết χηο δ Mặt κη〈χ, từ (∗) τα χ⌠: m2 χηια hết χηο δ2 => m χηια hết χηο δ Từ 8m + χηια hết χηο δ ϖ◊ m χηια hết χηο δ τα χ⌠ χηια hết χηο δ => δ = Vậy m − ν ϖ◊ 4m + 4ν + λ◊ χ〈χ số tự νηιν νγυψν tố χνγ νηαυ, thỏa mν (∗) νν χηνγ λ◊ χ〈χ số χηνη phương Cuối χνγ ξιν gửi tới χ〈χ bạn số β◊ι το〈ν τη vị số χηνη phương: 1) Chứng mινη χ〈χ số σαυ λ◊ số χηνη phương: ςνDοχ − Τảι τ◊ι λιệυ, ϖăn βảν πη〈π λυậτ, βιểυ mẫυ mιễν πη ThuVienDeThi.com 2) Χηο χ〈χ số νγυψν dương α, β, χ đôi νγυψν tố χνγ νηαυ, thỏa mν: 1/α + 1/β = 1/χ Ηψ χηο biết α + β χ⌠ λ◊ số χηνη phương ηαψ κηνγ ? 3) Chứng mινη rằng, với số tự νηιν ν τη 3ν + κηνγ λ◊ số χηνη phương 4) Τm số tự νηιν ν để ν2 + 2ν + 2004 λ◊ số χηνη phương 5) Chứng mινη: Nếu: ϖ◊ ν λ◊ ηαι số tự νηιν τη α λ◊ số χηνη phương ΒℵΙ 4: MỘT DẠNG ΤΟℑΝ VỀ ƯCLN ςℵ ΒΧΝΝ Τρονγ chương τρνη số học lớp 6, σαυ κηι học χ〈χ κη〈ι niệm ước χηυνγ lớn (ƯCLN) ϖ◊ bội χηυνγ nhỏ (ΒΧΝΝ), χ〈χ bạn gặp dạng το〈ν τm ηαι số νγυψν dương κηι biết số yếu tố τρονγ χ⌠ χ〈χ kiện ƯCLN ϖ◊ ΒΧΝΝ Phương πη〈π χηυνγ để giải: 1/ Dựa ϖ◊ο định nghĩa ƯCLN để biểu diễn ηαι số phải τm, λιν hệ với χ〈χ yếu tố χηο để τm ηαι số 2/ Τρονγ số trường hợp, χ⌠ thể sử dụng mối θυαν hệ đặc biệt ƯCLN, ΒΧΝΝ ϖ◊ τχη ηαι số νγυψν dương α, β, λ◊: αβ = (α, β).[α, β], τρονγ (α, β) λ◊ ƯCLN ϖ◊ [α, β] λ◊ ΒΧΝΝ α ϖ◊ β Việc chứng mινη hệ thức ν◊ψ κηνγ κη⌠: Τηεο định nghĩa ƯCLN, gọi δ = (α, β) => α = mδ ; β = νδ với m, ν thuộc Ζ+ ; (m, ν) = (∗) Từ (∗) => αβ = mνδ2 ; [α, β] = mνδ => (α, β).[α, β] = δ.(mνδ) = mνδ2 = αβ => αβ = (α, β).[α, β] (∗∗) Χηνγ τα ηψ ξτ số ϖ dụ mινη họa Β◊ι το〈ν 1: Τm ηαι số νγυψν dương α, β biết [α, β] = 240 ϖ◊ (α, β) = 16 Lời giải: Dο ϖαι τρ∫ α, β λ◊ νηαυ, κηνγ τνη tổng θυ〈τ, giả sử α ≤ β Từ (∗), δο (α, β) = 16 νν α = 16m ; β = 16ν (m ≤ ν δο α ≤ β) với m, ν thuộc Ζ+ ; (m, ν) = Τηεο định nghĩa ΒΧΝΝ: [α, β] = mνδ = mν.16 = 240 => mν = 15 => m = , ν = 15 m = 3, ν = => α = 16, β = 240 α = 48, β = 80 Χη : Τα χ⌠ thể 〈π dụng χνγ thức (∗∗) để giải β◊ι το〈ν ν◊ψ: αβ = (α, β).[α, β] => mν.162 = 240.16 συψψ ρα mν = 15 Β◊ι το〈ν 2: Τm ηαι số νγυψν dương α, β biết αβ = 216 ϖ◊ (α, β) = Lời giải: Lập luận β◊ι 1, giả sử α ≤ β Dο (α, β) = => α = 6m ; β = 6ν với m, ν thuộc Ζ+ ; (m, ν) = ; m ≤ ν ς vậy: αβ = 6m.6ν = 36mν => αβ = 216 tương đương mν = tương đương m = 1, ν = m = 2, ν = tương đương với α = 6, β = 36 hoặcc λ◊ α = 12, β = 18 Β◊ι το〈ν 3: Τm ηαι số νγυψν dương α, β biết αβ = 180, [α, β] = 60 Lời giải: Từ (∗∗) => (α, β) = αβ/[α, β] = 180/60 = ςνDοχ − Τảι τ◊ι λιệυ, ϖăn βảν πη〈π λυậτ, βιểυ mẫυ mιễν πη ThuVienDeThi.com Τm (α, β) = 3, β◊ι το〈ν đưa dạng β◊ι το〈ν Kết quả: α = 3, β = 60 α = 12, β = 15 Χη : Τα χ⌠ thể τνη (α, β) χ〈χη trực tiếp từ định nghĩa ƯCLN, ΒΧΝΝ: Τηεο (∗) τα χ⌠ αβ = mνδ2 = 180 ; [α, β] = mνδ = 60 => δ = (α, β) = Β◊ι το〈ν 4: Τm ηαι số νγυψν dương α, β biết α/β = 2,6 ϖ◊ (α, β) = Lời giải: Τηεο (∗), (α, β) = => α = 5m ; β = 5ν với m, ν thuộc Ζ+ ; (m, ν) = ς vậy: α/β = m/ν = 2,6 => m/ν = 13/5 tương đương với m = 13 ϖ◊ ν = ηαψ α = 65 ϖ◊ β = 25 Χη : πην số tương ứng với 2,6 phải chọn λ◊ πην số tối giản δο (m, ν) = Β◊ι το〈ν 5: Τm α, β biết α/β = 4/5 ϖ◊ [α, β] = 140 Lời giải: Đặt (α, β) = δ ς , α/β = 4/5 , mặt κη〈χ (4, 5) = νν α = 4δ, β = 5δ Lưu  [α, β] = 4.5.δ = 20δ = 140 => δ = => α = 28 ; β = 35 Β◊ι το〈ν 6: Τm ηαι số νγυψν dương α, β biết α + β = 128 ϖ◊ (α, β) = 16 Lời giải: Lập luận β◊ι 1, giả sử α ≤ β Τα χ⌠: α = 16m ; β = 16ν với m, ν thuộc Ζ+ ; (m, ν) = ; m ≤ ν ς vậy: α + β = 128 tương đương 16(m + ν) = 128 tương đương m + ν = Tương đương với m = 1, ν = m = 3, ν = ηαψ α = 16, β = 112 α = 48, β = 80 Β◊ι το〈ν 7: Τm α, β biết α + β = 42 ϖ◊ [α, β] = 72 Lời giải: Gọi δ = (α, β) => α = mδ ; β = νδ với m, ν thuộc Ζ+ ; (m, ν) = Κηνγ τνη tổng θυ〈τ, giả sử α ≤ β => m ≤ ν Dο đó: α + β = δ(m + ν) = 42 (1) [α, β] = mνδ = 72 (2) => δ λ◊ ước χηυνγ 42 ϖ◊ 72 => δ thuộc {1 ; ; ; 6} Lần lượt τηαψ χ〈χ γι〈 trị δ ϖ◊ο (1) ϖ◊ (2) để τνη m, ν τα thấy χ⌠ trường hợp δ = => m + ν = ϖ◊ mν = 12 => m = ϖ◊ ν = (thỏa mν χ〈χ điều kiện m, ν) Vậy δ = ϖ◊ α = 3.6 = 18 , β = 4.6 = 24 Β◊ι το〈ν 8: Τm α, β biết α − β = 7, [α, β] = 140 Lời giải: Gọi δ = (α, β) => α = mδ ; β = νδ với m, ν thuộc Ζ+ ; (m, ν) = Dο đó: α − β = δ(m − ν) = (1’) [α, β] = mνδ = 140 (2’) => δ λ◊ ước χηυνγ ϖ◊ 140 => δ thuộc {1 ; 7} Τηαψ χ〈χ γι〈 trị δ ϖ◊ο (1’) ϖ◊ (2’) để τνη m, ν τα kết δυψ nhất: δ = => m − ν = ϖ◊ mν = 20 => m = 5, ν = Vậy δ = ϖ◊ α = 5.7 = 35 ; β = 4.7 = 28 Β◊ι tập tự giải: 1/ Τm ηαι số α, β biết 7α = 11β ϖ◊ (α, β) = 45 2/ Τm ηαι số biết tổng χηνγ 448, ƯCLN χηνγ 16 ϖ◊ χηνγ χ⌠ χ〈χ chữ số η◊νγ đơn vị giống νηαυ 3/ Χηο ηαι số tự νηιν α ϖ◊ β Τm tất χ〈χ số tự νηιν χ σαο χηο τρονγ βα số, τχη ηαι số λυν χηια hết χηο số χ∫ν lại ΒℵΙ 5: ΝΓΥΨ⊇Ν Λ⊆ ĐI − Ρ⊆ΧΗ − Λ⊇ ςνDοχ − Τảι τ◊ι λιệυ, ϖăn βảν πη〈π λυậτ, βιểυ mẫυ mιễν πη ThuVienDeThi.com Νγυψν λ Đi-rích-lê πη〈τ biểu σαυ: “Nếu χ⌠ m vật đặt ϖ◊ο ν χ〈ι ngăn κο ϖ◊ m > ν τη χ⌠ τ ngăn κο chứa τ ηαι vật” Νγυψν λ Đi-rích-lê γιπ τα chứng mινη tồn “ngăn κο” chứa τ ηαι vật m◊ κηνγ ρα λ◊ “ngăn κο” ν◊ο Χ〈χ bạn ηψ λ◊m θυεν việc vận dụng νγυψν λ θυα χ〈χ β◊ι το〈ν σαυ Β◊ι το〈ν 1: Chứng mινη τρονγ 11 số tự νηιν bất κ βαο tồn τ số χ⌠ hiệu χηια hết χηο 10 Lời giải: Với 11 số tự νηιν κηι χηια χηο 10 τα 11 số dư, m◊ số tự νηιν bất κ κηι χηια χηο 10 χ⌠ 10 khả dư λ◊ ; ; ; ; ; ς χ⌠ 11 số dư m◊ χ⌠ 10 khả dư, τηεο νγυψν λ Đi-rích-lê, tồn τ số κηι χηια χηο 10 χ⌠ χνγ số dư δο hiệu χηνγ χηια hết χηο 10 (đpcm) Β◊ι το〈ν 2: Chứng mινη tồn số χ⌠ dạng 19941994 199400 χηια hết χηο 1995 Lời giải: Ξτ 1995 số χ⌠ dạng: 1994 ; 19941994 ; ; Nếu τρονγ χ〈χ số τρν χηια hết χηο 1995 τη dễ δ◊νγ χ⌠ đpcm Nếu χ〈χ số τρν κηνγ χηια hết χηο 1995 τη κηι χηια số χηο 1995 χ⌠ 1994 khả dư λ◊ ; ; ; ; 1994 ς χ⌠ 1995 số dư m◊ χ⌠ 1994 khả dư, τηεο νγυψν λ Đi-rích-lê tồn τ số κηι χηια χηο 1995 χ⌠ χνγ số dư, hiệu χηνγ χηια hết χηο 1995 Giả sử ηαι số λ◊: Κηι đó: = 1994 199400 χηια hết χηο 1995 (đpcm) Β◊ι το〈ν 3: Chứng mινη tồn số tự νηιν κ σαο χηο (1999⊥κ − 1) χηια hết χηο104 Lời giải: Ξτ 104 + số χ⌠ dạng: 19991 ; 19992 ; ; 1999104 + Lập luận tương tự β◊ι το〈ν τα được: (1999m − 1999ν) χηια hết χηο 104 (m > ν) ηαψ 1999ν (1999m−ν − 1) χηια hết χηο 104 ς 1999ν ϖ◊ 104 νγυψν tố χνγ νηαυ, δο (1999m−ν − 1) χηια hết χηο 104 Đặt m − ν = κ => 1999⊥κ − χηια hết χηο 104 (đpcm) Β◊ι το〈ν 4: Chứng mινη tồn số viết ηαι chữ số χηια hết χηο 2003 Lời giải: Ξτ 2004 số χ⌠ dạng ; 11 ; 111 ; ; Lập luận tương tự β◊ι το〈ν τα được: ηαψ 11 100 χηια hết χηο 2003 (đpcm) Một số β◊ι το〈ν tự giải: ςνDοχ − Τảι τ◊ι λιệυ, ϖăn βảν πη〈π λυậτ, βιểυ mẫυ mιễν πη ThuVienDeThi.com Β◊ι το〈ν 5: Chứng mινη số νγυψν tố π τα χ⌠ thể τm số viết ηαι chữ số χηια hết χηο π Β◊ι το〈ν 6: Chứng mινη số tự νηιν κηνγ χηια hết χηο ϖ◊ τη tồn bội ν⌠ χ⌠ dạng: 111 Β◊ι το〈ν 7: Chứng mινη tồn số χ⌠ dạng 1997κ (κ thuộc Ν) χ⌠ tận χνγ λ◊ 0001 Β◊ι το〈ν 8: Chứng mινη χ〈χ số νγυψν m ϖ◊ ν νγυψν tố χνγ νηαυ τη τm số tự νηιν κ σαο χηο mκ − χηια hết χηο ν Χ〈χ bạn ηψ đón đọc số σαυ: Νγυψν λ Đi-rích-lê với β◊ι το〈ν ηνη học τη vị ΒℵΙ 6: ΝΓΥΨ⊇Ν Λ⊆ ĐI-RÍCH-LÊ & NHỮNG ΒℵΙ ΤΟℑΝ Η⊂ΝΗ HỌC ΤΗ∨ VỊ Νγυψν λ χ⌠ thể mở rộng σαυ: Nếu χ⌠ m vật đặt ϖ◊ο ν χ〈ι ngăn κο ϖ◊ m > κ.ν τη χ⌠ τ ngăn κο chứa τ κ + vật Với mở rộng ν◊ψ, τα χ∫ν χ⌠ thể giải τηm nhiều β◊ι το〈ν κη〈χ Σαυ ξιν giới thiệu để bạn đọc λ◊m θυεν việc vận dụng νγυψν λ Đi-rích-lê với số β◊ι το〈ν ηνη học Β◊ι το〈ν 1: Τρονγ ταm γι〈χ χ⌠ cạnh (đơn vị độ δ◊ι, hiểu đến cuối β◊ι viết) lấy 17 điểm Chứng mινη τρονγ 17 điểm χ⌠ τ ηαι điểm m◊ khoảng χ〈χη χηνγ κηνγ vượt θυ〈 Lời giải: Χηια ταm γι〈χ χ⌠ cạnh τη◊νη 16 ταm γι〈χ χ⌠ cạnh (ηνη 1) ς 17 > 16, τηεο νγυψν λ Đi-rích-lê, tồn τ ταm γι〈χ cạnh χ⌠ chứa τ điểm τρονγ số 17 điểm χηο Khoảng χ〈χη ηαι điểm λυν κηνγ vượt θυ〈 (đpcm) Β◊ι το〈ν 2: Τρονγ ηνη ϖυνγ cạnh 7, lấy 51 điểm Chứng mινη χ⌠ điểm τρονγ 51 điểm χηο nằm τρονγ ηνη τρ∫ν χ⌠ β〈ν κνη Lời giải: Χηια ηνη ϖυνγ cạnh τη◊νη 25 ηνη ϖυνγ νηαυ, cạnh ηνη ϖυνγ nhỏ 5/7 (ηνη 2) ςνDοχ − Τảι τ◊ι λιệυ, ϖăn βảν πη〈π λυậτ, βιểυ mẫυ mιễν πη ThuVienDeThi.com ς 51 điểm χηο thuộc 25 ηνη ϖυνγ nhỏ, m◊ 51 > 2.25 νν τηεο νγυψν λ Điρχη−λ, χ⌠ τ ηνη ϖυνγ nhỏ chứa τ điểm (3 = + 1) τρονγ số 51 điểm χηο Ηνη ϖυνγ cạnh χ⌠ β〈ν κνη đường τρ∫ν ngoại tiếp λ◊: Vậy β◊ι το〈ν chứng mινη Ηνη τρ∫ν ν◊ψ χηνη λ◊ ηνη τρ∫ν β〈ν κνη 1, chứa ηνη ϖυνγ τα ρα τρν Β◊ι το〈ν 3: Τρονγ mặt phẳng χηο 2003 điểm σαο χηο điểm bất κ χ⌠ τ điểm χ〈χη νηαυ khoảng κηνγ vượt θυ〈 Chứng mινη rằng: tồn ηνη τρ∫ν β〈ν κνη chứa τ 1002 điểm Lời giải: Lấy điểm Α bất κ τρονγ 2003 điểm χηο, vẽ đường τρ∫ν Χ1 τm Α β〈ν κνη + Nếu tất χ〈χ điểm nằm τρονγ ηνη τρ∫ν Χ1 τη hiển νηιν χ⌠ đpcm + Nếu tồn điểm Β m◊ khoảng χ〈χη Α ϖ◊ Β lớn τη τα vẽ đường τρ∫ν Χ2 τm Β β〈ν κνη Κηι đó, ξτ điểm Χ bất κ τρονγ số 2001 điểm χ∫ν lại Ξτ điểm Α, Β, Χ, ϖ ΑΒ > νν τηεο giả thiết τα χ⌠ ΑΧ ≤ ΒΧ ≤ Ν⌠ι χ〈χη κη〈χ, điểm Χ phải thuộc Χ1 Χ2 => 2001 điểm κη〈χ Β ϖ◊ Α phải nằm τρονγ Χ1 Χ2 Τηεο νγυψν λ Điρχη−λ τα χ⌠ ηνη τρ∫ν chứa τ 1001 điểm Τνη τηm τm ηνη τρ∫ν ν◊ψ τη ηνη τρ∫ν ν◊ψ χηνη λ◊ ηνη τρ∫ν β〈ν κνη chứa τ 1002 điểm τρονγ 2003 điểm χηο Β◊ι το〈ν 4: Χηο ηνη βνη η◊νη ΑΒΧD, kẻ 17 đường thẳng σαο χηο đường thẳng χηια ΑΒΧD τη◊νη ηαι ηνη τηανγ χ⌠ tỉ số diện τχη 1/3 Chứng mινη rằng, τρονγ 17 đường thẳng χ⌠ đường thẳng đồng θυψ ςνDοχ − Τảι τ◊ι λιệυ, ϖăn βảν πη〈π λυậτ, βιểυ mẫυ mιễν πη ThuVienDeThi.com ... chữ số tận χνγ λ◊ 90) νν 1234 567 890 κηνγ λ◊ số χηνη phương Β◊ι το〈ν 3: Chứng mινη số χ⌠ tổng χ〈χ chữ số λ◊ 2004 τη số κηνγ phải λ◊ số χηνη phương Lời giải: Τα thấy tổng χ〈χ chữ số số 2004... chương τρνη Το〈ν lớp 6, χ〈χ εm học χ〈χ β◊ι το〈ν λιν θυαν tới πηπ χηια hết số tự νηιν χηο số tự νηιν κη〈χ ϖ◊ đặc biệt λ◊ giới thiệu số χηνη phương, λ◊ số tự νηιν βνη phương số tự νηιν (chẳng... chữ số tận χνγ λ◊ β) Số χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ κηι ννγ λν lũy thừa bậc 4ν + χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ ; số χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ κηι ννγ λν lũy thừa bậc 4ν + χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ χ) Χ〈χ số χ⌠

Ngày đăng: 31/03/2022, 17:55

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w