ΧΗΥΨ⊇Ν ĐỀ BỒI DƯỠNG ΗΣΓ LỚP PHẦN SỐ HỌC ΒℵΙ 1: Τ⊂Μ CHỮ SỐ TẬN Χ∧ΝΓ Τm chữ số tận χνγ số tự νηιν λ◊ dạng το〈ν ηαψ Đa số χ〈χ τ◊ι liệu dạng το〈ν ν◊ψ sử dụng κη〈ι niệm đồng dư, κη〈ι niệm trừu tượng ϖ◊ κηνγ χ⌠ τρονγ chương τρνη ς χ⌠ κηνγ τ học σινη, đặc biệt λ◊ χ〈χ bạn lớp ϖ◊ lớp κη⌠ χ⌠ thể hiểu ϖ◊ tiếp τηυ Θυα β◊ι viết ν◊ψ, τι ξιν τρνη β◊ψ với χ〈χ bạn số τνη chất ϖ◊ phương πη〈π giải β◊ι το〈ν “τm chữ số tận χνγ”, sử dụng kiến thức ΤΗΧΣ Χηνγ τα xuất πη〈τ từ τνη chất σαυ: Τνη chất 1: α) Χ〈χ số χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ 0, 1, 5, κηι ννγ λν lũy thừa bậc bất κ τη chữ số tận χνγ κηνγ τηαψ đổi β) Χ〈χ số χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ 4, κηι ννγ λν lũy thừa bậc lẻ τη chữ số tận χνγ κηνγ τηαψ đổi χ) Χ〈χ số χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ 3, 7, κηι ννγ λν lũy thừa bậc 4ν (ν thuộc Ν) τη chữ số tận χνγ λ◊ δ) Χ〈χ số χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ 2, 4, κηι ννγ λν lũy thừa bậc 4ν (ν thuộc Ν) τη chữ số tận χνγ λ◊ Việc chứng mινη τνη chất τρν κηνγ κη⌠, ξιν δ◊νη χηο bạn đọc Như vậy, muốn τm chữ số tận χνγ số tự νηιν ξ = αm, trước hết τα ξ〈χ định chữ số tận χνγ α − Nếu chữ số tận χνγ α λ◊ 0, 1, 5, τη ξ χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ 0, 1, 5, − Nếu chữ số tận χνγ α λ◊ 3, 7, 9, ϖ αm = α4ν + ρ = α4ν.αρ với ρ = 0, 1, 2, νν từ τνη chất 1χ => chữ số tận χνγ ξ χηνη λ◊ chữ số tận χνγ αρ − Nếu chữ số tận χνγ α λ◊ 2, 4, 8, trường hợp τρν, từ τνη chất 1δ => chữ số tận χνγ ξ χηνη λ◊ chữ số tận χνγ 6.αρ Β◊ι το〈ν 1: Τm chữ số tận χνγ χ〈χ số: 99 α) β) 141414 χ) 4567 Lời giải: α) Trước hết, τα τm số dư πηπ χηια 99 χηο 4: 99 − = (9 − 1)(98 + 97 + … + + 1) χηια hết χηο => 99 = 4κ + (κ thuộc Ν) => 799 = 74κ + = 74κ.7 Dο 74κ χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ (τηεο τνη chất 1χ) => 799 χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ β) Dễ thấy 1414 = 4κ (κ thuộc Ν) => τηεο τνη chất 1δ τη 141414 = 144κ χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ χ) Τα χ⌠ 567 − χηια hết χηο => 567 = 4κ + (κ thuộc Ν) => 4567 = 44κ + = 44κ.4, τηεο τνη chất 1δ, 44κ χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ νν 4567 χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ Τνη chất σαυ => từ τνη chất Τνη chất 2: Một số tự νηιν bất κ, κηι ννγ λν lũy thừa bậc 4ν + (ν thuộc Ν) τη chữ số tận χνγ κηνγ τηαψ đổi ςνDοχ − Τảι τ◊ι λιệυ, ϖăn βảν πη〈π λυậτ, βιểυ mẫυ mιễν πη ThuVienDeThi.com Chữ số tận χνγ tổng χ〈χ lũy thừa ξ〈χ định χ〈χη τνη tổng χ〈χ chữ số tận χνγ lũy thừa τρονγ tổng Β◊ι το〈ν 2: Τm chữ số tận χνγ tổng Σ = 21 + 35 + 49 + … + 20048009 Lời giải: Nhận ξτ: Mọi lũy thừa τρονγ Σ χ⌠ số mũ κηι χηια χηο τη dư (χ〈χ lũy thừa χ⌠ dạng ν4(ν − 2) + 1, ν thuộc {2, 3, …, 2004}) Τηεο τνη chất 2, lũy thừa τρονγ Σ ϖ◊ χ〈χ số tương ứng χ⌠ chữ số tận χνγ giống νηαυ, chữ số tận χνγ tổng: (2 + + … + 9) + 199.(1 + + … + 9) + + + + = 200(1 + + … + 9) + = 9009 Vậy chữ số tận χνγ tổng Σ λ◊ Từ τνη chất tiếp tục => τνη chất Τνη chất 3: α) Số χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ κηι ννγ λν lũy thừa bậc 4ν + χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ ; số χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ κηι ννγ λν lũy thừa bậc 4ν + χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ β) Số χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ κηι ννγ λν lũy thừa bậc 4ν + χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ ; số χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ κηι ννγ λν lũy thừa bậc 4ν + χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ χ) Χ〈χ số χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ 0, 1, 4, 5, 6, 9, κηι ννγ λν lũy thừa bậc 4ν + κηνγ τηαψ đổi chữ số tận χνγ Β◊ι το〈ν 3: Τm chữ số tận χνγ tổng Τ = 23 + 37 + 411 + … + 20048011 Lời giải: Nhận ξτ: Mọi lũy thừa τρονγ Τ χ⌠ số mũ κηι χηια χηο τη dư (χ〈χ lũy thừa χ⌠ dạng ν4(ν − 2) + 3, ν thuộc {2, 3, …, 2004}) Τηεο τνη chất τη 23 χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ ; 37 χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ ; 411 χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ ; … Như vậy, tổng Τ χ⌠ chữ số tận χνγ chữ số tận χνγ tổng: (8 + + + + + + + 9) + 199.(1 + + + + + + + + 9) + + + + = 200(1 + + + + + + + + 9) + + + = 9019 Vậy chữ số tận χνγ tổng Τ λ◊ ∗ Τρονγ số β◊ι το〈ν κη〈χ, việc τm chữ số tận χνγ dẫn đến lời giải κη〈 độc đáo Β◊ι το〈ν 4: Tồn ηαψ κηνγ số tự νηιν ν σαο χηο ν2 + ν + χηια hết χηο 19952000 Lời giải: 19952000 tận χνγ chữ số νν χηια hết χηο ς vậy, τα đặt vấn đề λ◊ liệu ν2 + ν + χ⌠ χηια hết χηο κηνγ ? Τα χ⌠ ν2 + ν = ν(ν + 1), λ◊ τχη ηαι số tự νηιν λιν tiếp νν chữ số tận χνγ ν2 + ν χ⌠ thể λ◊ ; ; => ν2 + ν + χ⌠ thể tận χνγ λ◊ ; ; => ν2 + ν + κηνγ χηια hết χηο Vậy κηνγ tồn số tự νηιν ν σαο χηο ν2 + ν + χηια hết χηο 19952000 Sử dụng τνη chất “một số χηνη phương χ⌠ thể tận χνγ χ〈χ chữ số ; ; ; ; ; 9”, τα χ⌠ thể giải β◊ι το〈ν σαυ: Β◊ι το〈ν 5: Chứng mινη χ〈χ tổng σαυ κηνγ thể λ◊ số χηνη phương: ςνDοχ − Τảι τ◊ι λιệυ, ϖăn βảν πη〈π λυậτ, βιểυ mẫυ mιễν πη ThuVienDeThi.com α) Μ = 19κ + 5κ + 1995κ + 1996κ (với κ chẵn) β) Ν = 20042004κ + 2003 Sử dụng τνη chất “một số νγυψν tố lớn χ⌠ thể tận χνγ χ〈χ chữ số ; ; ; 9”, τα tiếp tục giải β◊ι το〈ν: Β◊ι το〈ν 6: Χηο π λ◊ số νγυψν tố lớn Chứng mινη rằng: π8ν +3.π4ν − χηια hết χηο ∗ Χ〈χ bạn ηψ giải χ〈χ β◊ι tập σαυ: Β◊ι 1: Τm số dư χ〈χ πηπ χηια: α) 21 + 35 + 49 + … + 20038005 χηο β) 23 + 37 + 411 + … + 20038007 χηο Β◊ι 2: Τm chữ số tận χνγ Ξ, Ψ: Ξ = 22 + 36 + 410 + … + 20048010 Ψ = 28 + 312 + 416 + … + 20048016 Β◊ι 3: Chứng mινη chữ số tận χνγ ηαι tổng σαυ giống νηαυ: Υ = 21 + 35 + 49 + … + 20058013 ς = 23 + 37 + 411 + … + 20058015 Β◊ι 4: Chứng mινη κηνγ tồn χ〈χ số tự νηιν ξ, ψ, ζ thỏa mν: 19ξ + 5ψ + 1980ζ = 1975430 + 2004 ∗ Χ〈χ bạn thử νγηιν cứu χ〈χ τνη chất ϖ◊ phương πη〈π τm nhiều chữ số tận χνγ số tự νηιν, χηνγ τα tiếp tục τραο đổi vấn đề ν◊ψ ∗ Τm ηαι chữ số tận χνγ Nhận ξτ: Nếu ξ Є Ν ϖ◊ ξ = 100κ + ψ, τρονγ κ ; ψ Є Ν τη ηαι chữ số tận χνγ ξ χηνη λ◊ ηαι chữ số tận χνγ ψ Hiển νηιν λ◊ ψ ≤ ξ Như vậy, để đơn giản việc τm ηαι chữ số tận χνγ số tự νηιν ξ τη τηαψ ϖ◊ο τα τm ηαι chữ số tận χνγ số tự νηιν ψ (nhỏ hơn) Ρ⌡ ρ◊νγ số ψ χ◊νγ nhỏ τη việc τm χ〈χ chữ số tận χνγ ψ χ◊νγ đơn giản Từ nhận ξτ τρν, τα đề xuất phương πη〈π τm ηαι chữ số tận χνγ số tự νηιν ξ = αm σαυ: Trường hợp 1: Nếu α chẵn τη ξ = αm ∶ 2m Gọi ν λ◊ số tự νηιν σαο χηο αν − ∶ 25 Viết m = πν + θ (π ; θ Є Ν), τρονγ θ λ◊ số nhỏ để αθ ∶ τα χ⌠: ξ = αm = αθ(απν − 1) + αθ ς αν − ∶ 25 => απν − ∶ 25 Mặt κη〈χ, δο (4, 25) = νν αθ(απν − 1) ∶ 100 Vậy ηαι chữ số tận χνγ αm χηνη λ◊ ηαι chữ số tận χνγ αθ Tiếp τηεο, τα τm ηαι chữ số tận χνγ αθ Trường hợp 2: Nếu α lẻ , gọi ν λ◊ số tự νηιν σαο χηο αν − ∶ 100 Viết m = υν + ϖ (υ ; ϖ Є Ν, ≤ ϖ < ν) τα χ⌠: ξ = αm = αϖ(αυν − 1) + αϖ ς αν − ∶ 100 => αυν − ∶ 100 Vậy ηαι chữ số tận χνγ αm χηνη λ◊ ηαι chữ số tận χνγ αϖ Tiếp τηεο, τα τm ηαι chữ số tận χνγ αϖ Τρονγ ηαι trường hợp τρν, χηα κη⌠α để giải β◊ι το〈ν λ◊ χηνγ τα phải τm số tự νηιν ν Nếu ν χ◊νγ nhỏ τη θ ϖ◊ ϖ χ◊νγ nhỏ νν dễ δ◊νγ τm ηαι chữ số tận χνγ αθ ϖ◊ αϖ ςνDοχ − Τảι τ◊ι λιệυ, ϖăn βảν πη〈π λυậτ, βιểυ mẫυ mιễν πη ThuVienDeThi.com Β◊ι το〈ν 7: Τm ηαι chữ số tận χνγ χ〈χ số: α) α2003 β) 799 Lời giải: α) Dο 22003 λ◊ số chẵn, τηεο trường hợp 1, τα τm số tự νηιν ν nhỏ σαο χηο 2ν − ∶ 25 Τα χ⌠ 210 = 1024 => 210 + = 1025 ∶ 25 => 220 − = (210 + 1)(210 − 1) ∶ 25 => 23(220 − 1) ∶ 100 Mặt κη〈χ: 22003 = 23(22000 − 1) + 23 = 23((220)100 − 1) + 23 = 100κ + (κ Є Ν) Vậy ηαι chữ số tận χνγ 22003 λ◊ 08 β) Dο 799 λ◊ số lẻ, τηεο trường hợp 2, τα τm số tự νηιν ν β σαο χηο 7ν − ∶ 100 Τα χ⌠ 74 = 2401 => 74 − ∶ 100 Mặt κη〈χ: 99 − ∶ => 99 = 4κ + (κ Є Ν) Vậy 799 = 74κ + = 7(74κ − 1) + = 100θ + (θ Є Ν) tận χνγ ηαι chữ số 07 Β◊ι το〈ν 8: Τm số dư πηπ χηια 3517 χηο 25 Lời giải: Trước hết τα τm ηαι chữ số tận χνγ 3517 Dο số ν◊ψ lẻ νν τηεο trường hợp 2, τα phải τm số tự νηιν ν nhỏ σαο χηο 3ν − ∶ 100 Τα χ⌠ 310 = 95 = 59049 => 310 + ∶ 50 => 320 − = (310 + 1) (310 − 1) ∶ 100 Mặt κη〈χ: 516 − ∶ => 5(516 − 1) ∶ 20 => 517 = 5(516 − 1) + = 20κ + =>3517 = 320κ + = 35(320κ − 1) + 35 = 35(320κ − 1) + 243, χ⌠ ηαι chữ số tận χνγ λ◊ 43 Vậy số dư πηπ χηια 3517 χηο 25 λ◊ 18 Τρονγ trường hợp số χηο χηια hết χηο τη τα χ⌠ thể τm τηεο χ〈χη γι〈ν tiếp Trước τιν, τα τm số dư πηπ χηια số χηο 25, từ συψ ρα χ〈χ khả ηαι chữ số tận χνγ Cuối χνγ, dựa ϖ◊ο giả thiết χηια hết χηο để chọn γι〈 trị Χ〈χ τη dụ τρν χηο thấy rằng, α = α = τη ν = 20 ; α = τη ν = Một χυ hỏi đặt ρα λ◊: Nếu α bất κ τη ν nhỏ λ◊ βαο νηιυ ? Τα χ⌠ τνη chất σαυ (bạn đọc tự chứng mινη) Τνη chất 4: Nếu α Є Ν ϖ◊ (α, 5) = τη α20 − ∶ 25 Β◊ι το〈ν 9: Τm ηαι chữ số tận χνγ χ〈χ tổng: α) Σ1 = 12002 + 22002 + 32002 + + 20042002 β) Σ2 = 12003 + 22003 + 32003 + + 20042003 Lời giải: α) Dễ thấy, α chẵn τη α2 χηια hết χηο ; α lẻ τη α100 − χηια hết χηο ; α χηια hết χηο τη α2 χηια hết χηο 25 Mặt κη〈χ, từ τνη chất τα συψ ρα với α Є Ν ϖ◊ (α, 5) = τα χ⌠ α100 − ∶ 25 Vậy với α Є Ν τα χ⌠ α2(α100 − 1) ∶ 100 Dο Σ1 = 12002 + 22(22000 − 1) + + 20042(20042000 − 1) + 22 + 32 + + 20042 ς ηαι chữ số tận χνγ tổng Σ1 χηνη λ◊ ηαι chữ số tận χνγ tổng 12 + 22 + 32 + + 20042 〈π dụng χνγ thức: 12 + 22 + 32 + + ν2 = ν(ν + 1)(2ν + 1)/6 =>12 + 22 + + 20042 = 2005 ξ 4009 ξ 334 = 2684707030, tận χνγ λ◊ 30 ςνDοχ − Τảι τ◊ι λιệυ, ϖăn βảν πη〈π λυậτ, βιểυ mẫυ mιễν πη ThuVienDeThi.com Vậy ηαι chữ số tận χνγ tổng Σ1 λ◊ 30 β) Ηο◊ν το◊ν tương tự χυ α, Σ2 = 12003 + 23(22000 − 1) + + 20043(20042000 − 1) + 23 + 33 + 20043 ς thế, ηαι chữ số tận χνγ tổng Σ2 χηνη λ◊ ηαι chữ số tận χνγ 13 + 23 + 33 + + 20043 〈π dụng χνγ thức: => 13 + 23 + + 20043 = (2005 ξ 1002)2 = 4036121180100, tận χνγ λ◊ 00 Vậy ηαι chữ số tận χνγ tổng Σ2 λ◊ 00 Trở lại β◊ι το〈ν (ΤΤΤ2 số 15), τα thấy χ⌠ thể sử dụng việc τm chữ số tận χνγ để nhận biết số κηνγ phải λ◊ số χηνη phương Τα χ⌠ thể nhận biết điều τηνγ θυα việc τm ηαι chữ số tận χνγ Τα χ⌠ τνη chất σαυ (bạn đọc tự chứng mινη) Τνη chất 5: Số tự νηιν Α κηνγ phải λ◊ số χηνη phương nếu: + Α χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ 2, 3, 7, ; + Α χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ m◊ chữ số η◊νγ chục λ◊ chữ số chẵn ; + Α χ⌠ chữ số η◊νγ đơn vị κη〈χ m◊ chữ số η◊νγ chục λ◊ lẻ ; + Α χ⌠ chữ số η◊νγ đơn vị λ◊ m◊ chữ số η◊νγ chục κη〈χ ; + Α χ⌠ ηαι chữ số tận χνγ λ◊ lẻ Β◊ι το〈ν 10: Χηο ν Є Ν ϖ◊ ν − κηνγ χηια hết χηο Chứng mινη 7ν + κηνγ thể λ◊ số χηνη phương Lời giải: Dο ν − κηνγ χηια hết χηο νν ν = 4κ + ρ (ρ Є {0, 2, 3}) Τα χ⌠ 74 − = 2400 ∶ 100 Τα viết 7ν + = 74κ + ρ + = 7ρ(74κ − 1) + 7ρ + Vậy ηαι chữ số tận χνγ 7ν + χηνη λ◊ ηαι chữ số tận χνγ 7ρ + (ρ = 0, 2, 3) νν χ⌠ thể λ◊ 03, 51, 45 Τηεο τνη chất τη ρ⌡ ρ◊νγ 7ν + κηνγ thể λ◊ số χηνη phương κηι ν κηνγ χηια hết χηο ∗ Τm βα chữ số tận χνγ Nhận ξτ: Tương tự trường hợp τm ηαι chữ số tận χνγ, việc τm βα chữ số tận χνγ số tự νηιν ξ χηνη λ◊ việc τm số dư πηπ χηια ξ χηο 1000 Nếu ξ = 1000κ + ψ, τρονγ κ ; ψ Є Ν τη βα chữ số tận χνγ ξ χηνη λ◊ βα chữ số tận χνγ ψ (ψ ≤ ξ) Dο 1000 = ξ 125 m◊ (8, 125) = νν τα đề xuất phương πη〈π τm βα chữ số tận χνγ số tự νηιν ξ = αm σαυ: Trường hợp 1: Nếu α chẵn τη ξ = αm χηια hết χηο 2m Gọi ν λ◊ số tự νηιν σαο χηο αν − χηια hết χηο 125 Viết m = πν + θ (π ; θ Є Ν), τρονγ θ λ◊ số nhỏ để αθ χηια hết χηο τα χ⌠: ξ = αm = αθ(απν − 1) + αθ ς αν − χηια hết χηο 125 => απν − χηια hết χηο 125 Mặt κη〈χ, δο (8, 125) = νν αθ(απν − 1) χηια hết χηο 1000 Vậy βα chữ số tận χνγ αm χηνη λ◊ βα chữ số tận χνγ αθ Tiếp τηεο, τα τm βα chữ số tận χνγ αθ Trường hợp 2: Nếu α lẻ , gọi ν λ◊ số tự νηιν σαο χηο αν − χηια hết χηο 1000 Viết m = υν + ϖ (υ ; ϖ Є Ν, ≤ ϖ < ν) τα χ⌠: ςνDοχ − Τảι τ◊ι λιệυ, ϖăn βảν πη〈π λυậτ, βιểυ mẫυ mιễν πη ThuVienDeThi.com ξ = αm = αϖ(αυν − 1) + αϖ ς αν − χηια hết χηο 1000 => αυν − χηια hết χηο 1000 Vậy βα chữ số tận χνγ αm χηνη λ◊ βα chữ số tận χνγ αϖ Tiếp τηεο, τα τm βα chữ số tận χνγ αϖ Τνη chất σαυ συψ ρα từ τνη chất Τνη chất 6: Nếu α Є Ν ϖ◊ (α, 5) = τη α100 − χηια hết χηο 125 Chứng mινη: Dο α20 − χηια hết χηο 25 νν α20, α40, α60, α80 κηι χηια χηο 25 χ⌠ χνγ số dư λ◊ => α20 + α40 + α60 + α80 + χηια hết χηο Vậy α100 − = (α20 − 1)( α80 + α60 + α40 + α20 + 1) χηια hết χηο 125 Β◊ι το〈ν 11: Τm βα chữ số tận χνγ 123101 Lời giải: Τηεο τνη chất 6, δο (123, 5) = => 123100 − χηια hết χηο 125 (1) Mặt κη〈χ: 123100 − = (12325 − 1)(12325 + 1)(12350 + 1) => 123100 − χηια hết χηο (2) ς (8, 125) = 1, từ (1) ϖ◊ (2) συψ ρα: 123100 − χηι hết χηο 1000 => 123101 = 123(123100 − 1) + 123 = 1000κ + 123 (κ ∩ Ν) Vậy 123101 χ⌠ βα chữ số tận χνγ λ◊ 123 Β◊ι το〈ν 12: Τm βα chữ số tận χνγ 3399 98 Lời giải: Τηεο τνη chất 6, δο (9, 5) = => 9100 − χηι hết χηο 125 (1) Tương tự β◊ι 11, τα χ⌠ 9100 − χηια hết χηο (2) ς (8, 125) = 1, từ (1) ϖ◊ (2) συψ ρα: 9100 − χηια hết χηο 1000 => 3399 98 = 9199 = 9100π + 99 = 999(9100π − 1) + 999 = 1000θ + 999 (π, θ Є Ν) Vậy βα chữ số tận χνγ 3399 98 χηνη λ◊ βα chữ số tận χνγ 999 Lại ϖ 9100 − χηια hết χηο 1000 => βα chữ số tận χνγ 9100 λ◊ 001 m◊ 999 = 9100: => βα chữ số tận χνγ 999 λ◊ 889 (dễ kiểm τρα chữ số tận χνγ 999 λ◊ 9, σαυ dựa ϖ◊ο πηπ νην để ξ〈χ định ) 399 98 Vậy βα chữ số tận χνγ λ◊ 889 Nếu số χηο χηια hết χηο τη τα χ⌠ thể τm βα chữ số tận χνγ χ〈χη γι〈ν tiếp τηεο χ〈χ bước: Τm dư πηπ χηια số χηο 125, từ συψ ρα χ〈χ khả βα chữ số tận χνγ, cuối χνγ kiểm τρα điều kiện χηια hết χηο để chọn γι〈 trị Β◊ι το〈ν 13: Τm βα chữ số tận χνγ 2004200 Lời giải: δο (2004, 5) = (τνη chất 6) => 2004100 χηια χηο 125 dư => 2004200 = (2004100)2 χηια χηο 125 dư => 2004200 χ⌠ thể tận χνγ λ◊ 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876 Dο 2004200 χηια hết χηο νν χ⌠ thể tận χνγ λ◊ 376 Từ phương πη〈π τm ηαι ϖ◊ βα chữ số tận χνγ τρνη β◊ψ, χηνγ τα χ⌠ thể mở rộng để τm nhiều βα chữ số tận χνγ số tự νηιν ςνDοχ − Τảι τ◊ι λιệυ, ϖăn βảν πη〈π λυậτ, βιểυ mẫυ mιễν πη ThuVienDeThi.com Σαυ λ◊ số β◊ι tập vận dụng: Β◊ι 1: Chứng mινη 1ν + 2ν + 3ν + 4ν χηια hết χηο κηι ϖ◊ κηι ν κηνγ χηια hết χηο Β◊ι 2: Chứng mινη 920002003, 720002003 χ⌠ chữ số tận χνγ giống νηαυ Β◊ι 3: Τm ηαι chữ số tận χνγ của: α) 3999 β) 111213 Β◊ι 4: Τm ηαι chữ số tận χνγ của: Σ = 23 + 223 + + 240023 Β◊ι 5: Τm βα chữ số tận χνγ của: Σ = 12004 + 22004 + + 20032004 Β◊ι 6: Χηο (α, 10) = Chứng mινη βα chữ số tận χνγ α101 βα chữ số tận χνγ α Β◊ι 7: Χηο Α λ◊ số chẵn κηνγ χηια hết χηο 10 Ηψ τm βα chữ số tận χνγ Α200 Β◊ι 8: Τm βα chữ số tận χνγ số: 199319941995 2000 Β◊ι 9: Τm σ〈υ chữ số tận χνγ 521 ΒℵΙ 2: CHỨNG ΜΙΝΗ MỘT SỐ ΚΗΝΓ PHẢI Λℵ SỐ ΧΗ⊆ΝΗ PHƯƠNG Τρονγ chương τρνη Το〈ν lớp 6, χ〈χ εm học χ〈χ β◊ι το〈ν λιν θυαν tới πηπ χηια hết số tự νηιν χηο số tự νηιν κη〈χ ϖ◊ đặc biệt λ◊ giới thiệu số χηνη phương, λ◊ số tự νηιν βνη phương số tự νηιν (chẳng hạn: ; ; ; ;16 ; 25 ; 121 ; 144 ; …) Kết hợp χ〈χ kiến thức τρν, χ〈χ εm χ⌠ thể giải β◊ι το〈ν: Chứng mινη số κηνγ phải λ◊ số χηνη phương Đây λ◊ χ〈χη củng cố χ〈χ kiến thức m◊ χ〈χ εm học Những β◊ι το〈ν ν◊ψ λ◊m tăng τηm λ∫νγ σαψ m mν το〈ν χηο χ〈χ εm Νην chữ số tận χνγ ς số χηνη phương βνη phương số tự νηιν νν χ⌠ thể thấy νγαψ số χηνη phương phải χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ τρονγ χ〈χ chữ số ; ; ; ; ; Từ χ〈χ εm χ⌠ thể giải β◊ι το〈ν kiểu σαυ đây: Β◊ι το〈ν 1: Chứng mινη số: ν = 20042 + 20032 + 20022 − 20012 κηνγ phải λ◊ số χηνη phương Lời giải: Dễ δ◊νγ thấy chữ số tận χνγ χ〈χ số 20042 ; 20032 ; 20022 ; 20012 λ◊ ; ; ; Dο số ν χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ νν ν κηνγ phải λ◊ số χηνη phương ςνDοχ − Τảι τ◊ι λιệυ, ϖăn βảν πη〈π λυậτ, βιểυ mẫυ mιễν πη ThuVienDeThi.com Χη : Nhiều κηι số χηο χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ τρονγ χ〈χ số ; ; ; ; ; κηνγ phải λ◊ số χηνη phương Κηι χ〈χ bạn phải lưu τηm χητ nữa: Nếu số χηνη phương χηια hết χηο số νγυψν tố π τη phải χηια hết χηο π2 Β◊ι το〈ν 2: Chứng mινη số 1234567890 κηνγ phải λ◊ số χηνη phương Lời giải: Thấy νγαψ số 1234567890 χηια hết χηο (ϖ chữ số tận χνγ λ◊ 0) κηνγ χηια hết χηο 25 (ϖ ηαι chữ số tận χνγ λ◊ 90) Dο số 1234567890 κηνγ phải λ◊ số χηνη phương Χη : Χ⌠ thể λ luận 1234567890 χηια hết χηο (ϖ chữ số tận χνγ λ◊ 0), κηνγ χηια hết χηο (ϖ ηαι chữ số tận χνγ λ◊ 90) νν 1234567890 κηνγ λ◊ số χηνη phương Β◊ι το〈ν 3: Chứng mινη số χ⌠ tổng χ〈χ chữ số λ◊ 2004 τη số κηνγ phải λ◊ số χηνη phương Lời giải: Τα thấy tổng χ〈χ chữ số số 2004 λ◊ νν 2004 χηια hết χηο m◊ κηνγ χηια hết νν số χ⌠ tổng χ〈χ chữ số λ◊ 2004 χηια hết χηο m◊ κηνγ χηια hết χηο 9, δο số ν◊ψ κηνγ phải λ◊ số χηνη phương Dνγ τνη chất số dư Chẳng hạn χ〈χ εm gặp β◊ι το〈ν σαυ đây: Β◊ι το〈ν 4: Chứng mινη số χ⌠ tổng χ〈χ chữ số λ◊ 2006 κηνγ phải λ◊ số χηνη phương Chắc chắn χ〈χ εm dễ bị “χηο〈νγ” Vậy β◊ι το〈ν ν◊ψ τα phải nghĩ tới điều γ ? ς χηο giả thiết tổng χ〈χ chữ số νν chắn χ〈χ εm phải nghĩ tới πηπ χηια χηο χηο Nhưng lại κηνγ gặp điều “κ diệu” β◊ι το〈ν Thế τη τα ν⌠ι điều γ số ν◊ψ ? Chắc chắn số ν◊ψ χηια χηο phải dư Từ τα χ⌠ lời giải Lời giải: ς số χηνη phương κηι χηια χηο χ⌠ số dư λ◊ m◊ τηι (χοι β◊ι tập để χ〈χ εm tự chứng mινη !) Dο tổng χ〈χ chữ số số λ◊ 2006 νν số χηια χηο dư Chứng tỏ số χηο κηνγ phải λ◊ số χηνη phương Tương tự χ〈χ εm χ⌠ thể tự giải β◊ι το〈ν: Β◊ι το〈ν 5: Chứng mινη tổng χ〈χ số tự νηιν λιν tiếp từ đến 2005 κηνγ phải λ◊ số χηνη phương Β◊ι το〈ν 6: Chứng mινη số: ν = 20044 + 20043 + 20042 + 23 κηνγ λ◊ số χηνη phương Βψ χ〈χ εm τηεο δ⌡ι β◊ι το〈ν σαυ để nghĩ tới “τνη huống” Β◊ι το〈ν 7: Chứng mινη số: ν = 44 + 4444 + 444444 + 44444444 + 15 κηνγ λ◊ số χηνη phương Nhận ξτ: Nếu ξτ ν χηια χηο 3, χ〈χ εm thấy số dư πηπ χηια λ◊ 1, λ◊ κηνγ “bắt chước” χ〈χη giải χ〈χ β◊ι το〈ν ; ; ; Nếu ξτ chữ số tận χνγ χ〈χ εm thấy chữ số tận χνγ ν λ◊ νν κηνγ λ◊m “tương tự” χ〈χ β◊ι το〈ν ; Số dư πηπ χηια ν χηο λ◊ dễ thấy nhất, χηνη λ◊ Một số χηνη phương κηι χηια χηο χηο số dư ν◊ο ? Χ〈χ εm χ⌠ thể tự chứng mινη ϖ◊ kết quả: số dư χ⌠ thể λ◊ Như λ◊ χ〈χ εm giải ξονγ β◊ι το〈ν ςνDοχ − Τảι τ◊ι λιệυ, ϖăn βảν πη〈π λυậτ, βιểυ mẫυ mιễν πη ThuVienDeThi.com “Kẹp” số ηαι số χηνη phương “λιν tiếp” Χ〈χ εm χ⌠ thể thấy rằng: Nếu ν λ◊ số tự νηιν ϖ◊ số tự νηιν κ thỏa mν ν2 < κ < (ν + 1)2 τη κ κηνγ λ◊ số χηνη phương Từ χ〈χ εm χ⌠ thể ξτ χ〈χ β◊ι το〈ν σαυ: Β◊ι το〈ν 8: Chứng mινη số 4014025 κηνγ λ◊ số χηνη phương Nhận ξτ: Số ν◊ψ χ⌠ ηαι chữ số tận χνγ λ◊ 25, χηια χηο dư 1, χηια χηο dư Thế λ◊ tất χ〈χ χ〈χη λ◊m trước κηνγ vận dụng Χ〈χ εm χ⌠ thể thấy lời giải τηεο hướng κη〈χ Lời giải: Τα χ⌠ 20032 = 4012009 ; 20042 = 4016016 νν 20032 < 4014025 < 20042 Chứng tỏ 4014025 κηνγ λ◊ số χηνη phương Β◊ι το〈ν 9: Chứng mινη Α = ν(ν + 1)(ν + 2)(ν + 3) κηνγ λ◊ số χηνη phương với số tự νηιν ν κη〈χ Nhận ξτ: Đối với χ〈χ εm λ◊m θυεν với dạng biểu thức ν◊ψ τη χ⌠ thể nhận ρα Α + λ◊ số χηνη phương (đây λ◊ β◊ι το〈ν θυεν thuộc với lớp 8) Χ〈χ εm lớp 6, lớp χ⌠ thể chịu κη⌠ đọc lời giải Lời giải: Τα χ⌠: Α + = ν(ν + 1)(ν + 2)(ν + 3) + = (ν2 + 3ν)(ν2 + 3ν + 2) + = (ν2 + 3ν)2 + 2(ν2 + 3ν) +1 = (ν2 + 3ν +1)2 Mặt κη〈χ: (ν2 + 3ν)2 < (ν2 + 3ν)2 + 2(ν2 + 3ν) = Α Điều ν◊ψ hiển νηιν ϖ ν ≥ Chứng tỏ: (ν2 + 3ν)2 < Α < Α + = (ν2 + 3ν +1)2 => Α κηνγ λ◊ số χηνη phương Χ〈χ εm χ⌠ thể ρν luyện χ〈χη thử giải β◊ι το〈ν σαυ: Β◊ι το〈ν 10: Ηψ τm số tự νηιν ν σαο χηο Α = ν4 − 2ν3 + 3ν2 − 2ν λ◊ số χηνη phương Gợi : Nghĩ đến (ν2 − ν + 1)2 Β◊ι το〈ν 11: Chứng mινη số 235 + 2312 + 232003 κηνγ λ◊ số χηνη phương Gợi : Nghĩ đến πηπ χηια χηο πηπ χηια χηο Β◊ι το〈ν 12: Χ⌠ 1000 mảnh βα ηνη chữ nhật, τρν mảnh βα γηι số τρονγ χ〈χ số từ đến 1001 σαο χηο κηνγ χ⌠ ηαι mảnh ν◊ο γηι số giống νηαυ Chứng mινη rằng: Κηνγ thể γηπ tất χ〈χ mảnh βα ν◊ψ liền νηαυ để số χηνη phương Β◊ι το〈ν 13: Chứng mινη rằng: Tổng χ〈χ βνη phương bốn số tự νηιν λιν tiếp κηνγ thể λ◊ số χηνη phương Gợi : Nghĩ tới πηπ χηια χηο Β◊ι το〈ν 14: Chứng mινη số 333333 + 555555 + 777777 κηνγ λ◊ số χηνη phương Gợi : Nghĩ đến πηπ χηια χηο … chục (?) Β◊ι το〈ν 15: Λχ đầu χ⌠ ηαι mảnh βα, cậu β τινη nghịch cầm mảnh βα λν lại ξ ρα λ◊m bốn mảnh Cậu τα mονγ λ◊m đến λχ ν◊ο số mảnh βα λ◊ số χηνη phương Cậu τα χ⌠ thực mονγ muốn κηνγ ? ςνDοχ − Τảι τ◊ι λιệυ, ϖăn βảν πη〈π λυậτ, βιểυ mẫυ mιễν πη ThuVienDeThi.com Để kết τηχ β◊ι viết ν◊ψ, τι muốn χηχ χ〈χ εm học thật giỏi mν το〈ν νγαψ từ đầu bậc ΤΗΧΣ ϖ◊ χηο τι ν⌠ι ρινγ với χ〈χ θυ thầy χ: νγυψν tắc χηυνγ để chứng mινη số tự νηιν κηνγ λ◊ số χηνη phương, λ◊ dựa ϖ◊ο τρονγ χ〈χ điều kiện cần để số λ◊ số χηνη phương (m◊ χ〈χ θυ thầy χ biết: điều kiện cần τρν đời λ◊ δνγ để … phủ định !) Từ χ〈χ θυ thầy χ χ⌠ thể σ〈νγ tạo τηm nhiều β◊ι το〈ν τη vị κη〈χ ΒℵΙ 3: CHỨNG ΜΙΝΗ MỘT SỐ Λℵ SỐ ΧΗ⊆ΝΗ PHƯƠNG Χ〈χ bạn giới thiệu χ〈χ phương πη〈π chứng mινη số κηνγ phải λ◊ số χηνη phương τρονγ ΤΤΤ2 số Β◊ι viết ν◊ψ, τι muốn giới thiệu với χ〈χ bạn β◊ι το〈ν chứng mινη số λ◊ số χηνη phương Phương πη〈π 1: Dựa ϖ◊ο định nghĩa Τα biết rằng, số χηνη phương λ◊ βνη phương số tự νηιν Dựa ϖ◊ο định nghĩa ν◊ψ, τα χ⌠ thể định hướng giải χ〈χ β◊ι το〈ν Β◊ι το〈ν 1: Chứng mινη: Với số tự νηιν ν τη αν = ν(ν + 1)(ν + 2)(ν + 3) + λ◊ số χηνη phương Lời giải: Τα χ⌠: αν = ν(ν + 1) (ν + 2) (ν + 3) + = (ν2 + 3ν) (ν2 + 3ν + 2) + = (ν2 + 3ν)2 + 2(ν2 + 3ν) + = (ν2 + 3ν + 1)2 Với ν λ◊ số tự νηιν τη ν2 + 3ν + λ◊ số tự νηιν, τηεο định nghĩa, αν λ◊ số χηνη phương Β◊ι το〈ν 2: Chứng mινη số: Lời giải: λ◊ số χηνη phương Τα χ⌠: ςνDοχ − Τảι τ◊ι λιệυ, ϖăn βảν πη〈π λυậτ, βιểυ mẫυ mιễν πη ThuVienDeThi.com Vậy: λ◊ số χηνη phương Phương πη〈π 2: Dựa ϖ◊ο τνη chất đặc biệt Τα χ⌠ thể chứng mινη τνη chất đặc biệt: “Nếu α, β λ◊ ηαι số tự νηιν νγυψν tố χνγ νηαυ ϖ◊ α.β λ◊ số χηνη phương τη α ϖ◊ β λ◊ χ〈χ số χηνη phương” Β◊ι το〈ν 3: Chứng mινη rằng: Nếu m, ν λ◊ χ〈χ số tự νηιν thỏa mν 3m2 + m = 4ν2 + ν τη m − ν ϖ◊ 4m + 4ν + λ◊ số χηνη phương Lời giải: Τα χ⌠: 3m2 + m = 4ν2 + ν tương đương với 4(m2 − ν2) + (m − ν) = m2 ηαψ λ◊ (m − ν)(4m + 4ν + 1) = m2 (∗) Gọi δ λ◊ ước χηυνγ lớn m − ν ϖ◊ 4m + 4ν + τη (4m + 4ν + 1) + 4(m − ν) χηια hết χηο δ => 8m + χη hết χηο δ Mặt κη〈χ, từ (∗) τα χ⌠: m2 χηια hết χηο δ2 => m χηια hết χηο δ Từ 8m + χηια hết χηο δ ϖ◊ m χηια hết χηο δ τα χ⌠ χηια hết χηο δ => δ = Vậy m − ν ϖ◊ 4m + 4ν + λ◊ χ〈χ số tự νηιν νγυψν tố χνγ νηαυ, thỏa mν (∗) νν χηνγ λ◊ χ〈χ số χηνη phương Cuối χνγ ξιν gửi tới χ〈χ bạn số β◊ι το〈ν τη vị số χηνη phương: 1) Chứng mινη χ〈χ số σαυ λ◊ số χηνη phương: ςνDοχ − Τảι τ◊ι λιệυ, ϖăn βảν πη〈π λυậτ, βιểυ mẫυ mιễν πη ThuVienDeThi.com 2) Χηο χ〈χ số νγυψν dương α, β, χ đôi νγυψν tố χνγ νηαυ, thỏa mν: 1/α + 1/β = 1/χ Ηψ χηο biết α + β χ⌠ λ◊ số χηνη phương ηαψ κηνγ ? 3) Chứng mινη rằng, với số tự νηιν ν τη 3ν + κηνγ λ◊ số χηνη phương 4) Τm số tự νηιν ν để ν2 + 2ν + 2004 λ◊ số χηνη phương 5) Chứng mινη: Nếu: ϖ◊ ν λ◊ ηαι số tự νηιν τη α λ◊ số χηνη phương ΒℵΙ 4: MỘT DẠNG ΤΟℑΝ VỀ ƯCLN ςℵ ΒΧΝΝ Τρονγ chương τρνη số học lớp 6, σαυ κηι học χ〈χ κη〈ι niệm ước χηυνγ lớn (ƯCLN) ϖ◊ bội χηυνγ nhỏ (ΒΧΝΝ), χ〈χ bạn gặp dạng το〈ν τm ηαι số νγυψν dương κηι biết số yếu tố τρονγ χ⌠ χ〈χ kiện ƯCLN ϖ◊ ΒΧΝΝ Phương πη〈π χηυνγ để giải: 1/ Dựa ϖ◊ο định nghĩa ƯCLN để biểu diễn ηαι số phải τm, λιν hệ với χ〈χ yếu tố χηο để τm ηαι số 2/ Τρονγ số trường hợp, χ⌠ thể sử dụng mối θυαν hệ đặc biệt ƯCLN, ΒΧΝΝ ϖ◊ τχη ηαι số νγυψν dương α, β, λ◊: αβ = (α, β).[α, β], τρονγ (α, β) λ◊ ƯCLN ϖ◊ [α, β] λ◊ ΒΧΝΝ α ϖ◊ β Việc chứng mινη hệ thức ν◊ψ κηνγ κη⌠: Τηεο định nghĩa ƯCLN, gọi δ = (α, β) => α = mδ ; β = νδ với m, ν thuộc Ζ+ ; (m, ν) = (∗) Từ (∗) => αβ = mνδ2 ; [α, β] = mνδ => (α, β).[α, β] = δ.(mνδ) = mνδ2 = αβ => αβ = (α, β).[α, β] (∗∗) Χηνγ τα ηψ ξτ số ϖ dụ mινη họa Β◊ι το〈ν 1: Τm ηαι số νγυψν dương α, β biết [α, β] = 240 ϖ◊ (α, β) = 16 Lời giải: Dο ϖαι τρ∫ α, β λ◊ νηαυ, κηνγ τνη tổng θυ〈τ, giả sử α ≤ β Từ (∗), δο (α, β) = 16 νν α = 16m ; β = 16ν (m ≤ ν δο α ≤ β) với m, ν thuộc Ζ+ ; (m, ν) = Τηεο định nghĩa ΒΧΝΝ: [α, β] = mνδ = mν.16 = 240 => mν = 15 => m = , ν = 15 m = 3, ν = => α = 16, β = 240 α = 48, β = 80 Χη : Τα χ⌠ thể 〈π dụng χνγ thức (∗∗) để giải β◊ι το〈ν ν◊ψ: αβ = (α, β).[α, β] => mν.162 = 240.16 συψψ ρα mν = 15 Β◊ι το〈ν 2: Τm ηαι số νγυψν dương α, β biết αβ = 216 ϖ◊ (α, β) = Lời giải: Lập luận β◊ι 1, giả sử α ≤ β Dο (α, β) = => α = 6m ; β = 6ν với m, ν thuộc Ζ+ ; (m, ν) = ; m ≤ ν ς vậy: αβ = 6m.6ν = 36mν => αβ = 216 tương đương mν = tương đương m = 1, ν = m = 2, ν = tương đương với α = 6, β = 36 hoặcc λ◊ α = 12, β = 18 Β◊ι το〈ν 3: Τm ηαι số νγυψν dương α, β biết αβ = 180, [α, β] = 60 Lời giải: Từ (∗∗) => (α, β) = αβ/[α, β] = 180/60 = ςνDοχ − Τảι τ◊ι λιệυ, ϖăn βảν πη〈π λυậτ, βιểυ mẫυ mιễν πη ThuVienDeThi.com Τm (α, β) = 3, β◊ι το〈ν đưa dạng β◊ι το〈ν Kết quả: α = 3, β = 60 α = 12, β = 15 Χη : Τα χ⌠ thể τνη (α, β) χ〈χη trực tiếp từ định nghĩa ƯCLN, ΒΧΝΝ: Τηεο (∗) τα χ⌠ αβ = mνδ2 = 180 ; [α, β] = mνδ = 60 => δ = (α, β) = Β◊ι το〈ν 4: Τm ηαι số νγυψν dương α, β biết α/β = 2,6 ϖ◊ (α, β) = Lời giải: Τηεο (∗), (α, β) = => α = 5m ; β = 5ν với m, ν thuộc Ζ+ ; (m, ν) = ς vậy: α/β = m/ν = 2,6 => m/ν = 13/5 tương đương với m = 13 ϖ◊ ν = ηαψ α = 65 ϖ◊ β = 25 Χη : πην số tương ứng với 2,6 phải chọn λ◊ πην số tối giản δο (m, ν) = Β◊ι το〈ν 5: Τm α, β biết α/β = 4/5 ϖ◊ [α, β] = 140 Lời giải: Đặt (α, β) = δ ς , α/β = 4/5 , mặt κη〈χ (4, 5) = νν α = 4δ, β = 5δ Lưu [α, β] = 4.5.δ = 20δ = 140 => δ = => α = 28 ; β = 35 Β◊ι το〈ν 6: Τm ηαι số νγυψν dương α, β biết α + β = 128 ϖ◊ (α, β) = 16 Lời giải: Lập luận β◊ι 1, giả sử α ≤ β Τα χ⌠: α = 16m ; β = 16ν với m, ν thuộc Ζ+ ; (m, ν) = ; m ≤ ν ς vậy: α + β = 128 tương đương 16(m + ν) = 128 tương đương m + ν = Tương đương với m = 1, ν = m = 3, ν = ηαψ α = 16, β = 112 α = 48, β = 80 Β◊ι το〈ν 7: Τm α, β biết α + β = 42 ϖ◊ [α, β] = 72 Lời giải: Gọi δ = (α, β) => α = mδ ; β = νδ với m, ν thuộc Ζ+ ; (m, ν) = Κηνγ τνη tổng θυ〈τ, giả sử α ≤ β => m ≤ ν Dο đó: α + β = δ(m + ν) = 42 (1) [α, β] = mνδ = 72 (2) => δ λ◊ ước χηυνγ 42 ϖ◊ 72 => δ thuộc {1 ; ; ; 6} Lần lượt τηαψ χ〈χ γι〈 trị δ ϖ◊ο (1) ϖ◊ (2) để τνη m, ν τα thấy χ⌠ trường hợp δ = => m + ν = ϖ◊ mν = 12 => m = ϖ◊ ν = (thỏa mν χ〈χ điều kiện m, ν) Vậy δ = ϖ◊ α = 3.6 = 18 , β = 4.6 = 24 Β◊ι το〈ν 8: Τm α, β biết α − β = 7, [α, β] = 140 Lời giải: Gọi δ = (α, β) => α = mδ ; β = νδ với m, ν thuộc Ζ+ ; (m, ν) = Dο đó: α − β = δ(m − ν) = (1’) [α, β] = mνδ = 140 (2’) => δ λ◊ ước χηυνγ ϖ◊ 140 => δ thuộc {1 ; 7} Τηαψ χ〈χ γι〈 trị δ ϖ◊ο (1’) ϖ◊ (2’) để τνη m, ν τα kết δυψ nhất: δ = => m − ν = ϖ◊ mν = 20 => m = 5, ν = Vậy δ = ϖ◊ α = 5.7 = 35 ; β = 4.7 = 28 Β◊ι tập tự giải: 1/ Τm ηαι số α, β biết 7α = 11β ϖ◊ (α, β) = 45 2/ Τm ηαι số biết tổng χηνγ 448, ƯCLN χηνγ 16 ϖ◊ χηνγ χ⌠ χ〈χ chữ số η◊νγ đơn vị giống νηαυ 3/ Χηο ηαι số tự νηιν α ϖ◊ β Τm tất χ〈χ số tự νηιν χ σαο χηο τρονγ βα số, τχη ηαι số λυν χηια hết χηο số χ∫ν lại ΒℵΙ 5: ΝΓΥΨ⊇Ν Λ⊆ ĐI − Ρ⊆ΧΗ − Λ⊇ ςνDοχ − Τảι τ◊ι λιệυ, ϖăn βảν πη〈π λυậτ, βιểυ mẫυ mιễν πη ThuVienDeThi.com Νγυψν λ Đi-rích-lê πη〈τ biểu σαυ: “Nếu χ⌠ m vật đặt ϖ◊ο ν χ〈ι ngăn κο ϖ◊ m > ν τη χ⌠ τ ngăn κο chứa τ ηαι vật” Νγυψν λ Đi-rích-lê γιπ τα chứng mινη tồn “ngăn κο” chứa τ ηαι vật m◊ κηνγ ρα λ◊ “ngăn κο” ν◊ο Χ〈χ bạn ηψ λ◊m θυεν việc vận dụng νγυψν λ θυα χ〈χ β◊ι το〈ν σαυ Β◊ι το〈ν 1: Chứng mινη τρονγ 11 số tự νηιν bất κ βαο tồn τ số χ⌠ hiệu χηια hết χηο 10 Lời giải: Với 11 số tự νηιν κηι χηια χηο 10 τα 11 số dư, m◊ số tự νηιν bất κ κηι χηια χηο 10 χ⌠ 10 khả dư λ◊ ; ; ; ; ; ς χ⌠ 11 số dư m◊ χ⌠ 10 khả dư, τηεο νγυψν λ Đi-rích-lê, tồn τ số κηι χηια χηο 10 χ⌠ χνγ số dư δο hiệu χηνγ χηια hết χηο 10 (đpcm) Β◊ι το〈ν 2: Chứng mινη tồn số χ⌠ dạng 19941994 199400 χηια hết χηο 1995 Lời giải: Ξτ 1995 số χ⌠ dạng: 1994 ; 19941994 ; ; Nếu τρονγ χ〈χ số τρν χηια hết χηο 1995 τη dễ δ◊νγ χ⌠ đpcm Nếu χ〈χ số τρν κηνγ χηια hết χηο 1995 τη κηι χηια số χηο 1995 χ⌠ 1994 khả dư λ◊ ; ; ; ; 1994 ς χ⌠ 1995 số dư m◊ χ⌠ 1994 khả dư, τηεο νγυψν λ Đi-rích-lê tồn τ số κηι χηια χηο 1995 χ⌠ χνγ số dư, hiệu χηνγ χηια hết χηο 1995 Giả sử ηαι số λ◊: Κηι đó: = 1994 199400 χηια hết χηο 1995 (đpcm) Β◊ι το〈ν 3: Chứng mινη tồn số tự νηιν κ σαο χηο (1999⊥κ − 1) χηια hết χηο104 Lời giải: Ξτ 104 + số χ⌠ dạng: 19991 ; 19992 ; ; 1999104 + Lập luận tương tự β◊ι το〈ν τα được: (1999m − 1999ν) χηια hết χηο 104 (m > ν) ηαψ 1999ν (1999m−ν − 1) χηια hết χηο 104 ς 1999ν ϖ◊ 104 νγυψν tố χνγ νηαυ, δο (1999m−ν − 1) χηια hết χηο 104 Đặt m − ν = κ => 1999⊥κ − χηια hết χηο 104 (đpcm) Β◊ι το〈ν 4: Chứng mινη tồn số viết ηαι chữ số χηια hết χηο 2003 Lời giải: Ξτ 2004 số χ⌠ dạng ; 11 ; 111 ; ; Lập luận tương tự β◊ι το〈ν τα được: ηαψ 11 100 χηια hết χηο 2003 (đpcm) Một số β◊ι το〈ν tự giải: ςνDοχ − Τảι τ◊ι λιệυ, ϖăn βảν πη〈π λυậτ, βιểυ mẫυ mιễν πη ThuVienDeThi.com Β◊ι το〈ν 5: Chứng mινη số νγυψν tố π τα χ⌠ thể τm số viết ηαι chữ số χηια hết χηο π Β◊ι το〈ν 6: Chứng mινη số tự νηιν κηνγ χηια hết χηο ϖ◊ τη tồn bội ν⌠ χ⌠ dạng: 111 Β◊ι το〈ν 7: Chứng mινη tồn số χ⌠ dạng 1997κ (κ thuộc Ν) χ⌠ tận χνγ λ◊ 0001 Β◊ι το〈ν 8: Chứng mινη χ〈χ số νγυψν m ϖ◊ ν νγυψν tố χνγ νηαυ τη τm số tự νηιν κ σαο χηο mκ − χηια hết χηο ν Χ〈χ bạn ηψ đón đọc số σαυ: Νγυψν λ Đi-rích-lê với β◊ι το〈ν ηνη học τη vị ΒℵΙ 6: ΝΓΥΨ⊇Ν Λ⊆ ĐI-RÍCH-LÊ & NHỮNG ΒℵΙ ΤΟℑΝ Η⊂ΝΗ HỌC ΤΗ∨ VỊ Νγυψν λ χ⌠ thể mở rộng σαυ: Nếu χ⌠ m vật đặt ϖ◊ο ν χ〈ι ngăn κο ϖ◊ m > κ.ν τη χ⌠ τ ngăn κο chứa τ κ + vật Với mở rộng ν◊ψ, τα χ∫ν χ⌠ thể giải τηm nhiều β◊ι το〈ν κη〈χ Σαυ ξιν giới thiệu để bạn đọc λ◊m θυεν việc vận dụng νγυψν λ Đi-rích-lê với số β◊ι το〈ν ηνη học Β◊ι το〈ν 1: Τρονγ ταm γι〈χ χ⌠ cạnh (đơn vị độ δ◊ι, hiểu đến cuối β◊ι viết) lấy 17 điểm Chứng mινη τρονγ 17 điểm χ⌠ τ ηαι điểm m◊ khoảng χ〈χη χηνγ κηνγ vượt θυ〈 Lời giải: Χηια ταm γι〈χ χ⌠ cạnh τη◊νη 16 ταm γι〈χ χ⌠ cạnh (ηνη 1) ς 17 > 16, τηεο νγυψν λ Đi-rích-lê, tồn τ ταm γι〈χ cạnh χ⌠ chứa τ điểm τρονγ số 17 điểm χηο Khoảng χ〈χη ηαι điểm λυν κηνγ vượt θυ〈 (đpcm) Β◊ι το〈ν 2: Τρονγ ηνη ϖυνγ cạnh 7, lấy 51 điểm Chứng mινη χ⌠ điểm τρονγ 51 điểm χηο nằm τρονγ ηνη τρ∫ν χ⌠ β〈ν κνη Lời giải: Χηια ηνη ϖυνγ cạnh τη◊νη 25 ηνη ϖυνγ νηαυ, cạnh ηνη ϖυνγ nhỏ 5/7 (ηνη 2) ςνDοχ − Τảι τ◊ι λιệυ, ϖăn βảν πη〈π λυậτ, βιểυ mẫυ mιễν πη ThuVienDeThi.com ς 51 điểm χηο thuộc 25 ηνη ϖυνγ nhỏ, m◊ 51 > 2.25 νν τηεο νγυψν λ Điρχη−λ, χ⌠ τ ηνη ϖυνγ nhỏ chứa τ điểm (3 = + 1) τρονγ số 51 điểm χηο Ηνη ϖυνγ cạnh χ⌠ β〈ν κνη đường τρ∫ν ngoại tiếp λ◊: Vậy β◊ι το〈ν chứng mινη Ηνη τρ∫ν ν◊ψ χηνη λ◊ ηνη τρ∫ν β〈ν κνη 1, chứa ηνη ϖυνγ τα ρα τρν Β◊ι το〈ν 3: Τρονγ mặt phẳng χηο 2003 điểm σαο χηο điểm bất κ χ⌠ τ điểm χ〈χη νηαυ khoảng κηνγ vượt θυ〈 Chứng mινη rằng: tồn ηνη τρ∫ν β〈ν κνη chứa τ 1002 điểm Lời giải: Lấy điểm Α bất κ τρονγ 2003 điểm χηο, vẽ đường τρ∫ν Χ1 τm Α β〈ν κνη + Nếu tất χ〈χ điểm nằm τρονγ ηνη τρ∫ν Χ1 τη hiển νηιν χ⌠ đpcm + Nếu tồn điểm Β m◊ khoảng χ〈χη Α ϖ◊ Β lớn τη τα vẽ đường τρ∫ν Χ2 τm Β β〈ν κνη Κηι đó, ξτ điểm Χ bất κ τρονγ số 2001 điểm χ∫ν lại Ξτ điểm Α, Β, Χ, ϖ ΑΒ > νν τηεο giả thiết τα χ⌠ ΑΧ ≤ ΒΧ ≤ Ν⌠ι χ〈χη κη〈χ, điểm Χ phải thuộc Χ1 Χ2 => 2001 điểm κη〈χ Β ϖ◊ Α phải nằm τρονγ Χ1 Χ2 Τηεο νγυψν λ Điρχη−λ τα χ⌠ ηνη τρ∫ν chứa τ 1001 điểm Τνη τηm τm ηνη τρ∫ν ν◊ψ τη ηνη τρ∫ν ν◊ψ χηνη λ◊ ηνη τρ∫ν β〈ν κνη chứa τ 1002 điểm τρονγ 2003 điểm χηο Β◊ι το〈ν 4: Χηο ηνη βνη η◊νη ΑΒΧD, kẻ 17 đường thẳng σαο χηο đường thẳng χηια ΑΒΧD τη◊νη ηαι ηνη τηανγ χ⌠ tỉ số diện τχη 1/3 Chứng mινη rằng, τρονγ 17 đường thẳng χ⌠ đường thẳng đồng θυψ ςνDοχ − Τảι τ◊ι λιệυ, ϖăn βảν πη〈π λυậτ, βιểυ mẫυ mιễν πη ThuVienDeThi.com ... chữ số tận χνγ λ◊ 90) νν 1234 567 890 κηνγ λ◊ số χηνη phương Β◊ι το〈ν 3: Chứng mινη số χ⌠ tổng χ〈χ chữ số λ◊ 2004 τη số κηνγ phải λ◊ số χηνη phương Lời giải: Τα thấy tổng χ〈χ chữ số số 2004... chương τρνη Το〈ν lớp 6, χ〈χ εm học χ〈χ β◊ι το〈ν λιν θυαν tới πηπ χηια hết số tự νηιν χηο số tự νηιν κη〈χ ϖ◊ đặc biệt λ◊ giới thiệu số χηνη phương, λ◊ số tự νηιν βνη phương số tự νηιν (chẳng... chữ số tận χνγ λ◊ β) Số χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ κηι ννγ λν lũy thừa bậc 4ν + χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ ; số χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ κηι ννγ λν lũy thừa bậc 4ν + χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ χ) Χ〈χ số χ⌠