Toán học lớp 12 Phương pháp tọa độ trong không gian27258

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A Hệ trục tọa độ Oxyz không gian Hệ trục tọa độ Oxyz hệ trục gồm có ba trục Ox, Oy, Oz vng góc với đơi Ox  Oy  Tức là: Oy  Oz Oz  Ox  z r k r i r j y O x - Hệ trục tọa độ Oxyz gồm có thành phần sau: o o o o Góc tọa độ O: O(0;0;0) Trục tọa độ:  Trục Ox: Gọi trục hoành Trục Oy: Gọi trục tung Trục Oz: Gọi trục cao Các vectơ đơn vị vecto phương trục tọa độ: r  Trục Ox: Có vecto đơn vị Ox có vecto phương i  1;0;0  r r  Trục Oy: Có vecto đơn vị j  0;1;0  Oy có vecto phương j  0;1;0  r r  Trục Oz: Có vecto đơn vị k  0;0;1 Oz có vecto phương k  0;0;1 Các mặt phẳng tọa độ:  Có ba mặt phẳng tọa độ là: Mp(Oxy), mp(Oyz), mp(Ozx)     B Tọa độ điểm: uuuur Oxy   Oyz   Ba mặt phẳng tọa độ vng góc với đơi một, tức là: Oyz   Ozx   Ozx   Oxy  r r r r Mp(Oxy) có vecto pháp tuyến là: n  k  i, j  r r r r Mp(Oyz) có vecto pháp tuyến là: n  i   j , k  r r r r Mp(Ozx) có vecto pháp tuyến là: n  j   k , i  uuuur r r r Tọa độ OM tọa độ điểm M, tức là: OM  x.i  y j  z.k  M ( x; y; z ) o Đặc biệt: Gốc tọa độ O(0;0;0) o Điểm M(a;b;c) thuộc trục tọa độ:  M  Ox  M(a;0;0) NX: Điểm nằm trục Ox ln có tung độ cao độ =0  M  Oy  M(0;b;0) NX: Điểm nằm trục Oy ln có hồnh độ cao độ =0  M  Oz  M(0;0;c) NX: Điểm nằm trục Oz ln có hồnh độ tung độ =0 o Điểm M(a;b;c) thuộc mặt phẳng tọa độ:  M  (Oxy)  M(a;b;0) NX: Điểm nằm mp Oxy ln có cao độ =0  M  (Oyz)  M(0;b;c) NX: Điểm nằm mp Oyz ln có hồnh độ =0  M  (Ozx)  M(a;0;c) NX: Điểm nằm mp Ozx có tung độ =0 13 ThuVienDeThi.com r r r r r Đặc biệt:  (0;0;0) r C Tọa độ vectơ: a  a1.i  a2 j  a3 k  a  (a1 ; a2 ; a3 ) D Các tính chất vectơ r r Cho a  a1 ; a2 ; a3 , b  b1 ; b2 ; b3  số k tuỳ ý, ta có: r r Tổng hiệu hai vectơ Là vecto a  b  a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3  Tích vectơ r  Tích vecto với số Là vecto k a  k a1 ; k a2 ; k a3   Tích vơ hướng hai vecto: Là số rr o a.b  a1.b1  a2 b2  a3 b3 Tích có hướng hai vecto: Là vecto r r  a2 a a3 a1 a1 a ; ; o  a, b     b2 b3 b3 b1 b1 b Độ dài vectơ Là số không âm r o a  a12  a22  a32 rr r r Đặc biệt: a.b   a  b     r r r r r Đặc biệt:  a, b    a phương b r Đặc biệt: Vectơ  Hai vectơ nhau: Tọa độ tương ứng a1  b1 r r r r r r  o a  b  a2  b2 Đặc biệt: a  kb  a phương với b a  b  Góc hai vectơ: Bằng tích vơ hướng chia tích độ dài rr r r a.b o cos a, b  r r Cần nhớ: Góc hai vectơ góc tùy ý a.b r r r r r r o Đặc biệt: cos a, b   a, b  900  a  b       E Tính chất vecto tọa độ điểm Cho hai điểm A x A ; y A ; z A , B xB ; yB ; z B  Khi đó: uuur uuur Tọa độ vectơ AB là: AB  xB  x A ; yB  y A ; z B  z A  uuur uuur Độ dài AB : Độ dài đoạn thẳng AB độ dài AB uuur 2 AB  AB  xB  x A    yB  y A   z B  z A  Chú ý: Độ dài đoạn thẳng AB hay gọi khoảng cách hai điểm A B  x  xB y A  y B z A  z B  Toạ độ trung điểm I đoạn thẳng AB là: I  A ; ; 2   Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC là: Tọa độ trọng tâm G tứ diện ABCD là:  x  xB  xC y A  yB  yC z A  z B  zC  G A ; ;  3   x  x  x  x y  y  y  y z  z  z  zD  B C D B C D G A ; A ; A B C 4     F Vecto vng góc, vecto phương  Hai vecto vng góc với nhau: Hai vecto vng góc có tích vơ hướng r r rr o a  b  a.b  r r r r r r o a  b  a, b  900  cos a, b       Hai vecto phương r r r r r o Hai vectơ a , b phương   a, b   r r r r r r o Hai vectơ a , b phương  a  kb b  k a r r a b a a b b o Hai vectơ a , b phương       với mẫu số  b1 b2 b3 a1 a2 a3 G Vecto đồng phẳng, vecto không đồng phẳng   r r r r r r Ba vectơ a, b, c đồng phẳng   a, b  c  r r r r r r Ba vectơ a, b, c không đồng phẳng   a, b  c  14 ThuVienDeThi.com H Các tính chất điểm thường áp dụng uuur uuur r uuur uuur Ba điểm A, B, C thẳng hàng vecto AB, AC phương   AB, AC   uuur uuur r uuur uuur  Ba điểm A, B, C không thẳng hàng vecto AB, AC không phương   AB, AC   uuur uuur uuur uuur uuur uuur  Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng vecto AB, AC , AD đồng phẳng   AB, AC  AD  uuur uuur uuur uuur uuur uuur  A, B, C, D không đồng phẳng vt AB, AC , AD không đồng phẳng   AB, AC  AD  uuur uuur I Diện tích tam giác ABC: S ABC   AB, AC  uuur uuur J Diện tích HBH ABCD: S ABCD   AB, AC  uuur uuur uuur K Thể tích tứ diện ABCD: VABCD   AB, AC  AD VABCD  B.h Các dạng toán thường gặp Dạng 1: Tìm tọa độ điểm tọa điểm, tọa độ vectơ, vectơ nhau: Bài 1: Tìm tọa độ điểm M biết: uuuur uuuur r r r AM  1; 2;3, A(1;-1;2) OM  3i  j  k uuuur r r uuuur r r AM  i  2k , A(-1;-1;3) OM  j  3k uuuur r r r uuuur r r AM  i  j  2k , A(0;-1;-2) OM  i  j Bài 2: Cho năm điểm A(1;2;2), B(2;-2;0), C(0;-2;-1), D(-2;0;-1) Tính tọa độ trung điểm đoạn thẳng: AB, AC, AD Tính tọa độ trọng tâm tam giác sau: ABC, ABD Bài 3: Cho hai điểm A(1;2;3), B(4;5;6) Tìm điểm C cho A trung điểm BC Cho hai điểm M(-1;0;3), N(0;2;-3) Tìm điểm E cho N trung điểm ME Bài 4: Cho ba điểm A(1;2;2), B(2;-2;0), C(0;-2;-1) Tìm điểm M cho A trọng tâm tam giác BCM Tìm điểm N cho B trọng tâm tam giác ANC Bài 5: Tìm tọa độ điểm M biết: Vận dụng hai vecto uuur uuur uuur MA  AB  OA với A(2;1;0), B(-2;0;1) uuur uuur r 3MA  MB  với A(2;1;4), B(-2;3;1) uuur uuur MA  5MB với A(2;1;0), B(-2;0;1) Bài 6: Cho ba điểm A(1;6;3), B(1;2;-3), C(0;2;-4) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành Cho hai điểm A(1;-7;3), B(1;2;-9) Tìm tọa độ điểm C để tứ giác OABC hình bình hành Cho hai điểm M(1;-1;3), N(1;0;-4) Tìm tọa độ điểm P để tứ giác OMNP hình bình hành r r r r r Dạng 2: Vectơ phương với nhau: a phương b   a, b   Bài 1: Xét phương vectơ sau r r r r a  1;1;1, b  2; 2; 2 , a  2; 2;1, b  2; 2; 1 r r r r a  2;1; 2 , b  2; 1;0  a  1;3;0 , b  2; 1;0   Bài 2: Cho ba điểm A(1;2;3), B(1;2;-3), C(0;2;-4) Chứng minh A, B, C không thẳng thàng Bài 3: Cho hai điểm A(1;2;-3), B(9;-8;1), C(-1;1;2) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng r r rr Dạng 3: Vectơ vng góc với a  b  a.b  r r r r Bài 1: Cho a  m;6; 5 , b  m; m; 1 Tìm m để a  b r r r r Bài 2: Cho a  m;3; 2 , b  m; m; 1 Tìm m để a  b Bài 3: Cho ba điểm A(1;-3;0), B(1;-6;4), C(13;-3;0) Chứng minh tam giác ABC vuông Bài 4: Cho ba điểm A(-1;1;2), B(0;1;1), C(1;0;4) Chứng minh tam giác ABC vng Tính diện tích tam giác Cho ba điểm A(1;-3;0), B(1;-6;4), C(13;-3;0) Chứng minh tam giác ABC vuông Cho ba điểm, M(0;1;1), N(1;0;4) P(-1;1;2) Chứng minh tam giác vuông Cho ba điểm A(1;0;3), B(2;2;4), C(0;3;-2) Chứng minh tam giác ABC vuông Cho ba điểm A(1;1;0), B(0;2;0), C(0;0;2) Chứng minh tam giác ABC vuông A 15 ThuVienDeThi.com Dạng 4: Độ dài vectơ, chu vi diện tích tam giác Bài 1: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Tính độ dài đoạn thẳng AB, AC, BC Chứng minh tam giác ABC tam giác Tính diện tích tam giác Bài 2: Cho ba điểm A(2;2;0), B(2;0;2), C(0;2;2) Tính độ dài đoạn thẳng AB, AC, BC Chứng minh tam giác ABC tam giác Tính diện tích tam giác Dạng 5: Chứng minh A, B, C, D đồng phẳng khơng đồng phẳng, tính thể tích tứ diện ABCD Bài 1: Cho bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1) Chứng minh A, B, C, D không đồng phẳng Tính thể tích tứ diện ABCD Bài 2: Cho bốn điểm A(1;0;1), B(2;1;2), C(1;-1;1), D(4;5;-5) CMR: A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện Tính thể tích tứ diện ABCD Bài 3: Cho ba điểm A(1;-4;1), B(2;1;2), C(1;-1;1) Chứng minh O, A, B ,C không đồng phẳng uuur r r r uuur r r r uuur r r r uuur r r r Bài 4: Cho bốn điểm A, B, C, D thỏa mãn OA  i  j  2k , OB  i  j  2k , OC  4i  j  2k , OD  4i  j  2k Xác định tọa độ điểm A, B, C, D Chứng minh A, B, C, D bốn điểm đồng phẳng - Phương trình mặt cầu - Phương trình mặt phẳng - Phương trình đường thẳng PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Phương trình mặt cầu: Có hai dạng phương trình mặt cầu Dạng 1: Phương trình tắc mặt cầu Mặt cầu cầu (S) có tâm I(a;b;c) có bán kính R Phương trình mặt cầu có dạng: x  a    y  b   z  c   R 2 Dạng 2: Phương trình mặt cầu dạng khai triển Từ pt x  a    y  b   z  c   R 2 Ta khai triển đẳng thức, ta được: x  y  z  2ax-2by-2cz+a +b +c -R =0 Ta đặt d=a +b +c -R , ta phương trình: x  y  z  2ax-2by-2cz+d=0 Như ta có hai dạng phương trình mặt cầu: o Mc (S): x  a    y  b   z  c   R có tâm I(a;b;c) bán kính R 2 o Mc (S): x  y  z  2ax-2by-2cz+d=0 có I(a;b;c) bán kính R  a  b  c  d Các dạng tốn phương trình mặt cầu: Có hai dạng tốn phương trình mặt cầu - Dạng 1: Cho phương trình mặt cầu xác định tâm bán kính mặt cầu cho yếu tố liên quan đến mặt cầu xác định tâm bán kính mặt cầu - Dạng 2: Cho yếu tố liên quan đến mặt cầu viết phương trình mặt cầu Dạng 1: Xác định tâm bán kính mặt cầu Dạng Dạng Mặt cầu (S): x  y  z  2ax-2by-2cz+d=0  Mc (S): x  a    y  b   z  c   R 2 2  Có tâm I(a;b;c) bán kính R  Có tâm I(a;b;c) với hệ số x hệ số y a= b= 2 2 c= hệ số z 2 Bán kính: R  a  b  c  d Bài tập xác định tâm bán kính mặt cầu Bài 1: Xác định tâm bán kính mặt cầu (S) x-1   y    z  3  x+1   y    z  3  x-2   y  z  1  x   y  3  z  3  36 2 2 Bài 2: Xác định tâm bán kính mặt cầu (S) x  y  z  x  y  z   2 2 2 x  y  z  x  y  z   x  y  z  x  y  z   x  y  z  x  y  z  x  y  z  x  y  z   x  y  z  x  z  16 ThuVienDeThi.com Xác định tâm bán kính mặt cầu có tâm A(1;2;3) qua điểm B(;3;4;2) Xác định tâm bán kính mặt cầu có đường kính AB với A(1;2;3) B(-1;0;4) Bài 4: Xác định bán kính mặt cầu có tâm I(5;-6;-4) Tiếp xúc với trục Ox Tiếp xúc với trục Oy Tiếp xúc với trục Oz Bài 5: Xác định bán kính mặt cầu có tâm I(3;-4;-5) Tiếp xúc với mp(Oxy) Tiếp xúc với mp(Oyz) Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu Bài 3: A Lập phương trình mặt cầu dạng x  a    y  b   z  c   R 2  Cách giải: Tìm tâm I bán kính R mặt cầu Các dạng phương trình mặt cầu thường gặp  Dạng 1:  Mặt cầu có tâm I bán kính R  Mặt cầu có tâm I đường kính d d  Có bán kính là: R   Dạng 2: Mặt cầu có tâm A qua điểm B  Có bán kính là: R= AB    Dạng3: Mặt cầu có đường kính AB  Có tâm trung điểm I đoạn thẳng AB AB  Có bán kính R=  Hoặc có bán kính R= IA  IB Dạng 4: Mặt cầu có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P) Ax  By0  Cz0  D  Có bán kính R  d I , ( P)   A2  B  C  Hoặc có bán kính R=IH với H hình chiếu vng góc I lên (P) Dạng 5: Mặt cầu có tâm I tiếp xúc với đường thẳng d  Có bán kính R  d I , d   Hoặc có bán kính R=IH với H hình chiếu vng góc I lên d B Lập phương trình mặt cầu dạng: x  y  z  2ax-2by-2cz+d=0  Cách giải: Lập hệ phương trình với bốn phương trình bốn ẩn a, b, c, d Dạng 1: Lập phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D Phướng pháp  Pt mặt cầu (S) có dạng: x  y  z  2ax-2by-2cz+d=0 (*)  Vì A, B, C, D thuộc (S): thế tọa độđiểm A vào pt (*)  thế tọa độđiểm B vào pt (*)  thế tọa độđiểm C vào pt (*) thế tọa độđiểm D vào pt (*)  - Giải hệ phương trình phương pháp thế, ta tìm a, b, c, d - Sau a, b, c, d vào pt (*) Chú ý: Đề hỏi thêm xác định tâm, tính bán kính, tính diện tích xung quanh thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp Dạng 2: Lập Pt mc qua ba điểm A, B, C có tâm thuộc mp (P): Ax+By+Cz+D=0 Phướng pháp o Pt mặt cầu (S) có dạng: x  y  z  2ax-2by-2cz+d=0 (*) o Vì tâm I(a;b;c) thuộc (P), nên: A.a+B.b+C.c+D=0 o Vì A, B, C thuộc (S) nên suy hệ phương trình:  A.a  B.b  C.c  D   thế tọa độđiểm A vào pt (*) o Nên ta có hệ bốn pt là:  thế tọa độđiểm B vào pt (*) thế tọa độđiểm C vào pt (*)  Dạng 3: Lập phương trình mặt cầu qua ba điểm có tâm thuộc mặt phẳng tọa độ Phương pháp: Vận dụng điểm thuộc mặt phẳng tọa độ 17 ThuVienDeThi.com Dạng 4: Lập phương trình mặt cầu qua hai điểm có tâm thuộc trục tọa độ Phương pháp: Vận dụng điểm thuộc trục tọa độ Vị trị trí tương đối mặt cầu a Vị trí tương đối điểm A với mặt cầu: Có vị trí tương đối - Điểm A nằm mặt cầu  IAR b Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu - Mặt phẳng mặt cầu có ba vị trí tương đối: + Mặt phẳng mặt cầu khơng có điểm chung + Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu điểm + Mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến đường trịn Cho mặt phẳng (P) có phương trình: Ax+By+Cz+D=0 Cho mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) bán kính R Tính khoảng cách h  d I , ( P)  , sau so sánh h với R Nếu h>R mặt phẳng (P) mặt cầu (S) khơng có điểm chung Nếu h=R mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm H Khi đó: a Mặt phẳng (P) gọi tiếp diện mặt cầu b Điểm H gọi tiếp điểm c IH vng góc với mặt phẳng (P), H hình chiếu vng góc tâm I lên mp(P) Nếu hR đường thẳng d mặt cầu (S) khơng có điểm chung Nếu h=R đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm H Khi đó: a Đường thẳng d gọi tiếp tuyến mặt cầu b Điểm H gọi tiếp điểm c IH vng góc với d H hình chiếu vng góc tâm I lên đường thẳng d Nếu h