TRƯỜNG ΤΗΠΤ ĐỘI CẤN Λ⊇ ΗΥΨ LỘC PHƯƠNG ΤΡ⊂ΝΗ MẶT CẦU Phương τρνη mặt cầu: Dạng 1: Mặt cầu τm Ι(α; β; χ), β〈ν κνη Ρ: ξ α ψ β ζ χ Ρ (1) 2 Dạng 2: ξ ψ ζ 2αξ + 2βψ + 2χζ + δ = α β χ δ (2) Κηι đó: Mặt cầu τm Ι(−α; −β; −χ), β〈ν κνη Ρ α β χ δ Vị τρ tương đối mặt cầu với đường thẳng: Χηο mặt cầu (Χ) τm Ι(α; β; χ), β〈ν κνη Ρ ϖ◊ đường thẳng Τνη: δ Ι , Nếu: δ Ι , Ρ : Χ ; δ Ι , Ρ : Χ điểm πην biệt; δ Ι , Ρ : , Χ tiếp ξχ νηαυ, gọi λ◊ tiếp tuyến mặt cầu Vị τρ tương đối mặt cầu với mặt phẳng: Χηο mặt cầu (Χ) τm Ι(α; β; χ), β〈ν κνη Ρ ϖ◊ mặt phẳng Π : Αξ + Βψ + Χζ + D = Τνη: δ Ι , Π Nếu: Αα +Ββ +Χχ+D Α2 Β2 Χ 1) δ Ι , Π Ρ : Π Χ ; 2) δ Ι , Π Ρ : Π Χ λ◊ đường τρ∫ν Η ; ρ Ρ δ Ι ; Π với Η λ◊ ηνη chiếu Ι τρν (Π) Vậy đường τρ∫ν τρονγ κηνγ γιαν χ⌠ phương τρνη: 2 2 ξ α ψ β ζ χ Ρ Αξ + Βψ + Χζ + D = 3) δ Ι , Π Ρ : Π , Χ tiếp ξχ νηαυ điểm Η λ◊ ηνη chiếu Ι τρν (Π), (Π) gọi λ◊ tiếp diện mặt cầu (Χ) ΙΙ Χ〈χ dạng το〈ν: Dạng 1: Ξ〈χ định τm ϖ◊ β〈ν κνη mặt cầu χηο trước (dạng πτ (2)): Χ〈χη 1: Đưa dạng Χ〈χη 2: Kiểm τρα điều kiện α β χ δ τm ϖ◊ β〈ν κνη ς dụ: Χηο phương τρνη: ξ ψ ζ 2m ξ 4mψ +8m = Τm điều kiện để phương τρνη τρν λ◊ phương τρνη mặt cầu Κηι τm tập hợp τm họ mặt cầu Giải: Πτ χηο ξ m ψ 2m ζ m 4m 2 -1ThuVienDeThi.com TRƯỜNG ΤΗΠΤ ĐỘI CẤN Λ⊇ ΗΥΨ LỘC λ◊ phương τρνη mặt cầu m 4m m m 2 ψΙ2 Κηι τm Ι (m ; 2m;0) Τα thấy τm Ι thuộc mặt phẳng Οξψ ϖ◊: ξΙ ψ Vậy tập hợp τm Ι λ◊ παραβολ ξ nằm τρονγ mπ Οξψ bỏ điểm: Μ (2; 2;0) ϖ◊ Ν (2; 2 2;0) Dạng 2: Viết phương τρνη mặt cầu κηι biết số yếu tố χηο trước Đi ξ〈χ định τm ϖ◊ β〈ν κνη mặt cầu: − Biết τm: τm β〈ν κνη; − Biết β〈ν κνη: τm τm; − Chưa biết τm ϖ◊ β〈ν kính:Viết phương τρνη mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, tiếp ξχ với mặt phẳng χηο trước thường ξ〈χ định τm trước σαυ τm β〈ν κνη Β◊ι 1: Lập phương τρνη mặt cầu τm Ι(4; 3; 2) ϖ◊ tiếp ξχ với mặt phẳng (ΑΒΧ) với: Α(3; 0; 0), Β(0; 3; 0), Χ(0; 0; 3) ξ ψ ζ Giải: Phương τρνη mπ(ΑΒΧ): ξ ψ ζ 3 Β〈ν κνη mặt cầu: Ρ δ Ι , ΑΒΧ Phương τρνη mặt cầu: ξ ξ 3 ξ 2 12 Β◊ι 2: Lập phương τρνη mặt cầu τm Ι(2; 3; −1) σαο χηο mặt cầu cắt đường thẳng (δ) χ⌠ 5ξ ψ + 3ζ 20 = phương τρνη: điểm Α, Β σαο χηο ΑΒ = 16 3ξ ψ + ζ = Giải: (δ) θυα Μ(11; 0; −25) ϖ◊ χ⌠ ϖχ tơ phương υ 2;1; Gọi Η λ◊ ηνη chiếu Ι τρν (δ) Χ⌠: ΜΙ , υ 15 Β〈ν κνη mặt cầu: ΙΗ δ Ι , ΑΒ υ ΑΒ Ρ ΙΗ 17 Vậy phương τρνη mặt cầu: Β◊ι 3: Ρ δ Α Η ξ ψ 3 ζ 1 2 Β 289 ξ 1 ψ ζ 2 ϖ◊ ηαι mặt phẳng Π1 : ξ + 2ψ + 2ζ = 0; Π2 : 2ξ + ψ + 2ζ 1= Lập phương τρνη mặt cầu Τρονγ κηνγ γιαν Οξψζ χηο đường thẳng (δ) χ⌠ phương τρνη: χ⌠ τm Ι nằm τρν (δ) ϖ◊ tiếp ξχ với mặt phẳng τρν Giải: -2ThuVienDeThi.com TRƯỜNG ΤΗΠΤ ĐỘI CẤN Λ⊇ ΗΥΨ LỘC Ι δ Ι 2τ 1; τ 2; 2τ 3 Mặt cầu tiếp ξχ với mặt phẳng δ Ι , Π1 δ Ι , Π2 τ 8τ 9τ 8τ 9τ τ 18 τ τ 9 17 τ = Ι1 1; 2;3; Ρ1 Πτ m / χ Σ1 : ξ 1 ψ ζ 3 2 18 19 16 15 τ Ι ; ; ; Ρ2 Πτ m / χ Σ : 17 17 17 17 17 Χη : Nếu Π1 Π2 : 2 2 19 16 15 ξ ψ ζ 17 17 17 289 1) δ σονγ σονγ κηνγ χ〈χη Π1 ϖ◊ Π2 nằm τρν Π1 mặt cầu thoả mν 2) δ σονγ σονγ ϖ◊ χ〈χη Π1 ϖ◊ Π2 : Χ⌠ ϖ số mặt cầu thoả mν Π2 : Κηνγ χ⌠ 3) δ κηνγ σονγ σονγ, κηνγ nằm τρν Π1 ϖ◊ Π2 : Χ⌠ mặt cầu thoả mν Β◊ι 4: Lập phương τρνη mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ΑΒΧD với Α(1; 1; 0), Β(3; 1; 2), Χ(−1; 1; 2) ϖ◊ D(1; −1; 2) Giải: ΙΑ2 ΙΒ 2 Χ〈χη 1: Gọi Ι(ξ; ψ; ζ) ΙΒ ΙΧ ΙΧ ΙD Ι 1;1;1, Ρ ΙΑ Χ〈χη 2: Gọi phương τρνη mặt cầu λ◊: ξ ψ ζ 2αξ + 2βψ + 2χζ + δ = α β χ δ Mặt cầu θυα điểm Α, Β, Χ, D νν: 2α 2β δ 6α 2β 4χ δ 14 α β 1; χ 2; δ 2 α β χ δ 2α 2β 4χ δ Kết luận: Phương τρνη mặt cầu λ◊: ξ 1 ψ 1 ζ Χη : Β◊ι το〈ν (ĐH ΚD−2004): Τρονγ κηνγ γιαν Οξψζ χηο điểm Α(2; 0;1), Β(1; 0; 0), Χ(1; 1; 1) ϖ◊ mặt phẳng (Π) χ⌠ phương τρνη: ξ + ψ + ξ − = Viết phương τρνη mặt cầu θυα điểm Α, Β, Χ ϖ◊ χ⌠ τm thuộc mặt phẳng (Π) Χ〈χη giải β◊ι το〈ν ν◊ψ tương tự χ〈χη β◊ι το〈ν τρν 2 Dạng 3: Lập phương τρνη tiếp diện mặt cầu Β◊ι το〈ν 1: Lập phương τρνη tiếp diện (Π) mặt cầu (Σ) τm Ι, β〈ν κνη Ρ điểm Α -3ThuVienDeThi.com TRƯỜNG ΤΗΠΤ ĐỘI CẤN Λ⊇ ΗΥΨ LỘC Χ〈χη giải: mπ(Π) θυα Α ϖ◊ nhận ϖχ tơ ΙΑ λ◊m ϖχ tơ πη〈π tuyến Β◊ι το〈ν 2: Lập phương τρνη tiếp diện (Π) mặt cầu (Σ) τm Ι(α; β; χ), β〈ν κνη Ρ biết ϖχ tơ πη〈π tuyến (Π) λ◊: ν Α; Β; Χ Χ〈χη giải: Π : Αξ + Βψ + Χζ + D = Χ⌠: δ Ι , Π Ρ Αα +Ββ +Χχ+D Α2 Β2 Χ Ρ τm D συψ ρα phương τρνη mπ(Π) Χη : Τρονγ β◊ι το〈ν χηο biết ϖχ tơ πη〈π tuyến dạng: − Biết Π σονγ σονγ với mặt phẳng σονγ σονγ với đường thẳng χηο trước − Biết ϖυνγ γ⌠χ với đường thẳng χηο trước Β◊ι το〈ν 3: Ρ Lập phương τρνη tiếp diện (Π) mặt cầu (Σ) τm Ι(α; β; χ), β〈ν κνη Ρ biết (Π) chứa đường thẳng (δ) χηο trước Χ〈χη giải: − Ξτ đường thẳng (δ) dạng phương τρνη tổng θυ〈τ; − Viết phương τρνη χηm mặt phẳng θυα (δ); − Sử dụng điều kiện tiếp ξχ τm ρα mπ(Π) Β◊ι το〈ν 4: Lập phương τρνη tiếp diện (Π) mặt cầu (Σ), τm Ι(α; β; χ), β〈ν κνη Ρ biết (Π) θυα điểm Χ ϖ◊: 1) Σονγ σονγ với đường thẳng (δ) χηο trước 2) ςυνγ γ⌠χ với mặt phẳng (Θ) χηο trước Ι Η Π δ δ Χ〈χη giải: 1) Gọi: Θ δ ; Χ ; α Π Θ α θυα Α ϖ◊ σονγ σονγ với δ νν χ⌠ πτ ξ〈χ định Β◊ι το〈ν trở τη◊νη viết phương τρνη mπ(Π) θυα α ϖ◊ tiếp ξχ với mặt cầu (Σ) 2) Tương tự τρν với: δ θυα Α ϖ◊ ϖυνγ γ⌠χ với mπ(Θ) Dạng 4: Đường τρ∫ν τρονγ κηνγ γιαν Β◊ι το〈ν 1: Ξ〈χ định τm, τνη β〈ν κνη đường τρ∫ν λ◊ γιαο mặt phẳng với mặt cầu χηο trước: Χ〈χη giải: Sử dụng τνη chất phần Β.Ι2) để τm τm, τνη β〈ν κνη đường τρ∫ν Β◊ι το〈ν 2: Τm τm ϖ◊ β〈ν κνη đường τρ∫ν λ◊ γιαο mặt cầu (Σ), (Σ∋) χ⌠ τm λ◊ Ι, Ι∋; β〈ν κνη Ρ, Ρ∋ Χ〈χη giải: − Đưa πτ đường τρ∫ν λ◊ γιαο mặt cầu πτ đường τρ∫ν λ◊ γιαο mặt cầu (Σ) với mặt phẳng (Θ) -4ThuVienDeThi.com TRƯỜNG ΤΗΠΤ ĐỘI CẤN Λ⊇ ΗΥΨ LỘC − Τm đường τρ∫ν λ◊ Ο ΙΙ ∋ Θ ; β〈ν κνη ρ Ρ δ Ι ; Π Β◊ι το〈ν 3: Lập phương τρνη tiếp tuyến đường τρ∫ν σαυ kẻ từ Α χηο trước: 2 ξ α ψ β ζ χ Ρ 1 Αξ + Βψ + Χζ + D = Χ〈χη giải: Gọi Β λ◊ tiếp điểm Để Β thuộc đường τρ∫ν νν toạ độ Β thoả mν (1) Lại χ⌠: tiếp tuyến ΑΒ của đường τρ∫ν đồng thời λ◊ tiếp tuyến mặt cầu τm Ο νν: ΑΒ ΟΒ ΑΒ ΟΒ 2 từ (1) ϖ◊ (2) συψ ρα toạ độ Β tiếp tuyến ΑΒ Dạng 5: Ứng dụng mặt cầu giải số β◊ι το〈ν đại số Β◊ι 1: ξ ψ ζ 1 Τm m để phương τρνη σαυ χ⌠ nghiệm, ηψ τm nghiệm đó: 2 ξ ψ ζ m (1) Giải: Nghiệm hệ phương τρνη (nếu χ⌠) λ◊ tọa độ điểm χηυνγ của: mặt cầu (Σ): ξ ψ ζ 1 , (Σ) χ⌠ τm Ο(0; 0; 0) β〈ν κνη Ρ = ϖ◊ mặt phẳng :2 ξ ψ ζ m Dο hệ (1) χ⌠ nghiệm κηι ϖ◊ κηι (Σ) ϖ◊ () tiếp ξχ νηαυ δ Ο, ( ) m m 1 m 22 (1) 22 ΤΗ1:m = nghiệm hệ λ◊ ηνη chiếu ϖυνγ γ⌠χ Η Ο τρν (1): 2ξ – ψ + 2ζ – = ξ 2τ đường thẳng θυα Ο ϖ◊ ϖυνγ γ⌠χ với (1) χ⌠ phương τρνη ψ τ τ Ρ ζ 2τ γι〈 trị τηαm số τ tương ứng với điểm χηυνγ (1) ϖ◊ λ◊ τ = 2 2 Η ; ; 3 3 ΤΗ2: m = −3 Gọi Η’ λ◊ ηνη chiếu ϖυνγ γ⌠χ Ο τρν (2): 2ξ – ψ + 2ζ + = 2 Η’ ; ; (tương tự ΤΗ1) 3 2 Vậy κηι m = τη hệ χ⌠ mghiệm δυψ λ◊ ξ ; ψ ; ζ 3 2 κηι m = − τη hệ χ⌠ mghiệm δυψ λ◊ ξ ; ψ ; ζ 3 ξ ψ ζ 1 Β◊ι 2: Giải hệ phương τρνη: ξ ψ ζ 2 3 ξ ψ ζ 3 -5ThuVienDeThi.com TRƯỜNG ΤΗΠΤ ĐỘI CẤN Giải: Λ⊇ ΗΥΨ LỘC Mặt cầu (Σ): ξ ψ ζ , τm Ο β〈ν κνη Ρ = tiếp ξχ với νηαυ ϖ δ Ο, ( ) 3 12 12 12 ϖ◊ mπ(): ξ + ψ + ζ – = 3Ρ ξ ψ ζ 1 Dο hệ phương τρνη χ⌠ nghiệm δυψ nhất, 2 ξ ψ ζ dễ thấy nghiệm λ◊ ξ = ψ = ζ = ϖ◊ nghiệm ν◊ψ thỏa (3) Vậy hệ χηο χ⌠ nghiệm δυψ ξ = ψ = ζ = Β◊ι 3: Χηο βα số thực ξ, ψ, ζ thỏa: ξ ψ ζ 1 Τm ΓΤΛΝ ϖ◊ ΓΤΝΝ của: Φ 2ξ ψ ζ Giải: Ξτ mặt cầu (Σ): ξ ψ ζ 1 , τm Ο, β〈ν κνη Ρ = ϖ◊ mặt phẳng (): ξ ψ ζ = ξ 2τ Đường thẳng θυα Ο ϖ◊ ϖυνγ γ⌠χ với () χ⌠ phương τρνη ψ 2τ τ Ρ γι〈 trị τηαm ζ τ số τ tương ứng với γιαο điểm ϖ◊ (Σ) λ◊ τ = 2 1 2 1 4 9 3 δ Β, ( ) 4 2 2 1 ϖ◊ (Σ) cắt νηαυ điểm: Α ; ; ϖ◊ Β ; ; 3 3 3 δ Α, ( ) 4 9 3 1 2 2; Lấy Μ(ξ; ψ; ζ) (Σ), δ Μ , ( ) Λυν χ⌠ 2ξ ψ ζ 22 22 1 Φ δ Α, ( ) δ Μ , ( ) δ Β, ( ) Φ Φ 12 ;z= 3 Φmαξ = đạt κηι ξ = ψ = ; z = 3 Vậy Φmιν = đạt κηι ξ = ψ = Β◊ι tập vận dụng: Β◊ι 1: 2ξ ψ ζ 1= Τρονγ hệ toạ độ Οξψζ χηο đường thẳng (δ): ϖ◊ mặt cầu (Σ) χ⌠ ξ ψ ζ 4= phương τρνη: ξ ψ ζ 4ξ 6ψ + m = Τm m để δ cắt mặt cầu (Σ) điểm Μ, Ν σαο χηο ΜΝ = Β◊ι 2: Τρονγ κηνγ γιαν Οξψζ χηο mπ(Π): 2ξ + 2ψ + ζ + = ϖ◊ Ι(1; 2; −2): α) Lập phương τρνη mặt cầu (Χ), τm Ι σαο χηο γιαο tuyến mặt cầu (Χ) ϖ◊ mπ (Π) λ◊ đường τρ∫ν χ⌠ χηυ ϖι 8 -6- ThuVienDeThi.com ... ξ ψ ζ Giải: Phương τρνη mπ(ΑΒΧ): ξ ψ ζ 3 Β〈ν κνη mặt cầu: Ρ δ Ι , ΑΒΧ Phương τρνη mặt cầu: ξ ξ 3 ξ 2 12 Β◊ι 2: Lập phương τρνη mặt cầu τm... Viết phương τρνη mặt cầu θυα điểm Α, Β, Χ ϖ◊ χ⌠ τm thuộc mặt phẳng (Π) Χ〈χη giải β◊ι το〈ν ν◊ψ tương tự χ〈χη β◊ι το〈ν τρν 2 Dạng 3: Lập phương τρνη tiếp diện mặt cầu Β◊ι το〈ν 1: Lập phương. .. Viết phương τρνη mặt cầu κηι biết số yếu tố χηο trước Đi ξ〈χ định τm ϖ◊ β〈ν κνη mặt cầu: − Biết τm: τm β〈ν κνη; − Biết β〈ν κνη: τm τm; − Chưa biết τm ϖ◊ β〈ν kính:Viết phương τρνη mặt