TOÁN 12 - PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Hình thành kiến thức về véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng, tích có hướng của hai véc-tơ, phương trình tổng quát của mặt phẳng và các trường hợp đặc biệt của nó, vị trí tương đối của hai mặ[r]

(1)

SỞ GD&ĐT AN GIANG ĐÀI PT - TH AN GIANG

HƯỚNG DẪN HỌC TẬP QUA TRUYỀN HÌNH

CHƯƠNG TRÌNH HỌC KỲ 2 − MƠN TỐN KHỐI 12

MƠN HÌNH HỌC - LỚP 12

(2)

MỤC TIÊU CỦA TIẾT HỌC

Hình thành kiến thức véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng, tích có hướng hai véc-tơ, phương trình tổng qt mặt phẳng trường hợp đặc biệt nó, vị trí tương đối hai mặt phẳng, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

(3)

Hình thành kiến thức véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng, tích có hướng hai véc-tơ, phương trình tổng quát mặt phẳng trường hợp đặc biệt nó, vị trí tương đối hai mặt phẳng, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

(4)

Hình thành kiến thức véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng, tích có hướng hai véc-tơ, phương trình tổng quát mặt phẳng trường hợp đặc biệt nó, vị trí tương đối hai mặt phẳng, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

(5)

I VÉC-TƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG

1 Định nghĩa Cho mặt phẳng(α)

Nếu véc-tơ #»n khác #»

0 có giá vng góc với mặt phẳng (α)thì #»n gọi véc-tơ pháp tuyến của(α)

Chú ý:Nếu #»n véc-tơ pháp tuyến

của mặt phẳng(α)thìk#»n vớik6=0 véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng(α)

α

#»n

(6)

1 Định nghĩa

Cho mặt phẳng(α) Nếu véc-tơ #»n khác #»

α

#»n

(7)

Cho mặt phẳng(α) Nếu véc-tơ #»n khác #»

α

#»n

(8)

2 Tích có hướng hai véc-tơ

Trong không gianOxyzcho hai véc-tơ #»a =(a1;a2;a3), #» b=¡

b1;b2;b3

¢

.Tích có hướng hai véc-tơ #»a #»b véc-tơ kí hiệu xác định sau

h#»

a,#»bi=#»a∧#»b=

µ¯ ¯ ¯ ¯

a2 a3

b2 b3

¯ ¯ ¯ ¯

;

¯ ¯ ¯ ¯

a3 a1

b3 b1

¯ ¯ ¯ ¯

;

¯ ¯ ¯ ¯

a1 a2

b1 b2

¯ ¯ ¯ ả

=Ăa2b3a3b2;a3b1a1b3;a1b2a2b1

Â

(9)

Trong khơng gianOxyzcho hai véc-tơ #»a =(a1;a2;a3), #» b =¡

b1;b2;b3

¢

Tích có hướng hai véc-tơ #»a #»b véc-tơ kí hiệu xác định sau

h#»

a,#»bi=#»a∧#»b=

µ¯ ¯ ¯ ¯

a2 a3

b2 b3

¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯

a3 a1

b3 b1

¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯

a1 a2

b1 b2

¯ ¯ ¯ ¯ ¶

=¡a2b3−a3b2;a3b1−a1b3;a1b2−a2b1

¢

(10)

Trong không gianOxyzcho hai véc-tơ #»a =(a1;a2;a3), #» b =¡

b1;b2;b3

¢

h#»

a,#»bi=#»a∧#»b=

µ¯ ¯ ¯ ¯

a2 a3

b2 b3

¯ ¯ ¯ ¯

;

¯ ¯ ¯ ¯

a3 a1

b3 b1

¯ ¯ ¯ ¯

;

¯ ¯ ¯ ¯

a1 a2

b1 b2

ả

Â

(11)

b1;b2;b3

¢

h#»

a,#»bi=#»a∧#»b=

µ¯ ¯ ¯ ¯

a2 a3

b2 b3

¯ ¯ ¯ ¯

;

¯ ¯ ¯ ¯

a3 a1

b3 b1

¯ ¯ ¯ ¯

;

¯ ¯ ¯ ¯

a1 a2

b1 b2

¯ ả

Â

(12)

b1;b2;b3

¢

h#»

a,#»bi=#»a∧#»b=

µ¯ ¯ ¯ ¯

a2 a3

b2 b3

¯ ¯ ¯ ¯

;

¯ ¯ ¯ ¯

a3 a1

b3 b1

¯ ¯ ¯ ¯

;

¯ ¯ ¯ ¯

a1 a2

b1 b2

¯ ¯ ¯ ả

Â

(13)

Trong khơng gianOxyzcho hai véc-tơ #»a =(a1;a2;a3), #» b =¡

b1;b2;b3

¢

h#»

a,#»bi=#»a∧#»b=

µ¯ ¯ ¯ ¯

a2 a3

b2 b3

¯ ¯ ¯ ¯

;

¯ ¯ ¯ ¯

a3 a1

b3 b1

¯ ¯ ¯ ¯

;

¯ ¯ ¯ ¯

a1 a2

b1 b2

¯ ¯ ¯ ¯ ¶

=¡a2b3−a3b2;a3b1−a1b3;a1b2−a2b1

¢

(14)

Chú ý

h#»

a,#»bi⊥#»a,h#»a,#»bi⊥#»b

Cho hai véc-tơ #»a #»b khơng phương có giá song song với(α)hoặc nằm trên(α)thìh#»a,#»bilà véc-tơ pháp tuyến của(α)

Cho¡

ABC¢

, ta cóhAB,# » AC# »ilà véc-tơ pháp tuyến của¡

ABC¢

(15)

Chú ý

h#»

a,#»bi⊥#»a

,h#»a,#»bi⊥#»b

Cho¡

ABC¢

(16)

Chú ý

h#»

a,#»bi⊥#»a,h#»a,#»bi⊥#»b

Cho¡

ABC¢

(17)

Chú ý

h#»

a,#»bi⊥#»a,h#»a,#»bi⊥#»b

Cho hai véc-tơ #»a #»b không phương có giá song song với(α)hoặc nằm trên(α)thìh#»a,#»bilà véc-tơ pháp tuyến của(α)

Cho¡

ABC¢

(18)

Chú ý

h#»

a,#»bi⊥#»a,h#»a,#»bi⊥#»b

Cho hai véc-tơ #»a #»b không phương có giá song song với(α)hoặc nằm trên(α)thìh#»a,#»bilà véc-tơ pháp tuyến của(α)

Cho¡

ABC¢

(19)

Ví dụ 1.

Trong khơng gianOxyz, choA(−1;1;3),B(2;1;0),C(4;−1;5) Tìm véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng¡

ABC¢

Lời giải Ta thấyAB# »=(3;0;−3),

# »

AC=(5;−2;2)

Ta cóhAB,# » AC# »ilà véc-tơ pháp tuyến của¡

ABC¢

h# »

AB,AC# »i=

µ¯ ¯ ¯ ¯

0 −3

−2

¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯

−3

2 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ −2

¯ ¯ ¯ ¯ ¶

=(−6;−21;−6)là véc-tơ pháp tuyến

(ABC) Ngồi ta có véc-tơ pháp tuyến khác của(ABC)là #»n=(2;7;2)

A B

C

h# »

(20)

Ví dụ 1.

ABC¢

# »

AC=(5;−2;2)

ABC¢

h# »

AB,AC# »i=

µ¯ ¯ ¯ ¯

0 −3

−2

¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯

−3

2 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ −2

¯ ¯ ¯ ¯ ¶

(ABC) Ngoài ta có véc-tơ pháp tuyến khác của(ABC)là #»n=(2;7;2)

A B

C

h# »

(21)

Ví dụ 1.

ABC¢

# »

AC=(5;−2;2)

ABC¢

h# »

AB,AC# »i=

µ¯ ¯ ¯ ¯

0 −3

−2

¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯

−3

2 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ −2

¯ ¯ ¯ ¯ ¶

A B

C

h# »

(22)

Ví dụ 1.

ABC¢

# »

AC=(5;−2;2)

ABC¢

h# »

AB,AC# »i=

µ¯ ¯ ¯ ¯

0 −3

−2

¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯

−3

2 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ −2

¯ ¯ ¯ ¯ ¶

A B

C

h# »

(23)

Ví dụ 1.

ABC¢

# »

AC=(5;−2;2)

ABC¢

h# »

AB,AC# »i=

µ¯ ¯ ¯ ¯

0 −3

−2

¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯

−3

2 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ −2

¯ ¯ ¯ ¯ ¶

A B

C

h# »

(24)

Ví dụ 1.

ABC¢

# »

AC=(5;−2;2)

ABC¢

h# »

AB,AC# »i=

µ¯ ¯ ¯ ¯

0 −3

−2

¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯

−3

2 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ −2

¯ ¯ ¯ ¯ ¶

(ABC)

Ngồi ta có véc-tơ pháp tuyến khác của(ABC)là #»n=(2;7;2)

A B

C

h# »

(25)

Ví dụ 1.

ABC¢

# »

AC=(5;−2;2)

ABC¢

h# »

AB,AC# »i=

µ¯ ¯ ¯ ¯

0 −3

−2

¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯

−3

2 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ −2

¯ ¯ ¯ ¯ ¶

A B

C

h# »

(26)

II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG

Bài tốn

Trong khơng gianOxyz, cho mặt phẳng (α)đi qua điểmM0

¡

x0;y0;z0

¢

và nhận #»

n=¡A;B;C¢

làm véc-tơ pháp tuyến Chứng minh điều kiện cần đủ để điểmM(x;y;z)thuộc mặt phẳng (α)làA(x−x0)+B

¡

y−y0

¢

+C(z−z0)=0

Lời giải Ta cóM# »0M=

¡

x−x0;y−y0;z−z0

¢

M∈(α)⇔M0M⊂(α)⇔#»n⊥M# »0M⇔ #»n.M# »0M=0 ⇔A(x−x0)+B

¡ y−y0

¢

+C(z−z0)=0(1)(đpcm)

Từ(1)⇔Ax+By+Cz−Ax0−By0−Cz0=0

ĐặtD= −Ax0−By0−Cz0

Ta đượcAx+By+Cz+D=0(2)

α

#» n

M0

(27)

Bài tốn

¡

x0;y0;z0

¢

và nhận #»

n=¡A;B;C¢

¡

y−y0

¢

+C(z−z0)=0

¡

¢

¡ y−y0

¢

+C(z−z0)=0(1)(đpcm)

α

#» n

M0

(28)

Bài tốn

¡

x0;y0;z0

¢

và nhận #»

n=¡A;B;C¢

¡

y−y0

¢

+C(z−z0)=0

¡

¢

M∈(α)

⇔M0M⊂(α)⇔#»n⊥M# »0M⇔ #»n.M# »0M=0 ⇔A(x−x0)+B

¡ y−y0

¢

+C(z−z0)=0(1)(đpcm)

α

#» n

M0

(29)

II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QT CỦA MẶT PHẲNG

Bài tốn

¡

x0;y0;z0

¢

và nhận #»

n=¡A;B;C¢

¡

y−y0

¢

+C(z−z0)=0

¡

¢

M∈(α)⇔M0M⊂(α)

⇔#»n⊥M# »0M⇔ #»n.M# »0M=0 ⇔A(x−x0)+B

¡ y−y0

¢

+C(z−z0)=0(1)(đpcm)

α

#» n

M0

(30)

Bài tốn

Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng (α)đi qua điểmM0

¡

x0;y0;z0

¢

và nhận #»

n=¡A;B;C¢

¡

y−y0

¢

+C(z−z0)=0

¡

¢

M∈(α)⇔M0M⊂(α)⇔#»n⊥M# »0M

⇔ #»n.M# »0M=0 ⇔A(x−x0)+B

¡ y−y0

¢

+C(z−z0)=0(1)(đpcm)

α

#» n

M0

(31)

Bài tốn

¡

x0;y0;z0

¢

và nhận #»

n=¡A;B;C¢

¡

y−y0

¢

+C(z−z0)=0

¡

¢

M∈(α)⇔M0M⊂(α)⇔#»n⊥M# »0M⇔ #»n.M# »0M=0

⇔A(x−x0)+B

¡ y−y0

¢

+C(z−z0)=0(1)(đpcm)

α

#» n

M0

(32)

Bài tốn

¡

x0;y0;z0

¢

và nhận #»

n=¡A;B;C¢

¡

y−y0

¢

+C(z−z0)=0

¡

¢

¡ y−y0

¢

+C(z−z0)=0(1)(đpcm)

α

#» n

M0

(33)

Bài tốn

¡

x0;y0;z0

¢

và nhận #»

n=¡A;B;C¢

¡

y−y0

¢

+C(z−z0)=0

¡

¢

¡ y−y0

¢

+C(z−z0)=0(1)(đpcm)

Từ(1)

⇔Ax+By+Cz−Ax0−By0−Cz0=0

α

#» n

M0

(34)

Bài tốn

¡

x0;y0;z0

¢

và nhận #»

n=¡A;B;C¢

¡

y−y0

¢

+C(z−z0)=0

¡

¢

¡ y−y0

¢

+C(z−z0)=0(1)(đpcm)

α

#» n

M0

(35)

Bài toán

¡

x0;y0;z0

¢

và nhận #»

n=¡A;B;C¢

¡

y−y0

¢

+C(z−z0)=0

¡

¢

¡ y−y0

¢

+C(z−z0)=0(1)(đpcm)

α

#» n

M0

(36)

Bài tốn

¡

x0;y0;z0

¢

và nhận #»

n=¡A;B;C¢

¡

y−y0

¢

+C(z−z0)=0

¡

¢

¡ y−y0

¢

+C(z−z0)=0(1)(đpcm)

α

#» n

M0

(37)

Phương trình có dạngAx+By+Cz+D=0, đóA,B,Ckhơng đồng thời 0, gọi phương trình tổng quát mặt phẳng

Nhận xét

Nếu mặt phẳng(α)có phương trình tổng qt làAx+By+Cz+D=0 có véc-tơ pháp tuyến #»n=(A;B;C).

Phương trình mặt phẳng quaM0

¡

x0;y0;z0

¢

nhận véc-tơ #»n=(A;B;C)khác #»

0 làm véc-tơ pháp tuyến làA(x−x0)+B

¡

y−y0

¢

(38)

Nhận xét

¡

x0;y0;z0

¢

¡

y−y0

¢

(39)

Nhận xét

¡

x0;y0;z0

¢

¡

y−y0

¢

(40)

Nhận xét

¡

x0;y0;z0

¢

¡

y−y0

¢

(41)

Nhận xét

¡

x0;y0;z0

¢

nhận véc-tơ #»n=(A;B;C)khác #»

¡

y−y0

¢

(42)

Ví dụ 2.

(Đề Thi THPT Quốc Gia năm 2019) Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x−3y+z−2=0 Véc-tơ sau véctơ pháp tuyến của(P)

A. #»n3=(−3;1;−2) B. #»n2=(2;−3;−2) C. #»n1=(2;−3;1) D. #»n4=(2;1;−2)

Lời giải

Ta có véc-tơ #»n1=(2;−3;1)là véc-tơ pháp tuyến của(P)

(43)

Ví dụ 2.

(Đề Thi THPT Quốc Gia năm 2019) Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x−3y+z−2=0 Véc-tơ sau véctơ pháp tuyến của(P)

A. #»n3=(−3;1;−2) B. #»n2=(2;−3;−2) C. #»n1=(2;−3;1) D. #»n4=(2;1;−2)

Lời giải

Ta có véc-tơ #»n1=(2;−3;1)là véc-tơ pháp tuyến của(P)

(44)

Ví dụ 3.

(Đề thi THPTQG năm 2017) Trong khơng gianOxyz, phương trình dưới phương trình mặt phẳng qua điểmM(1;2;−3)và có véc-tơ pháp tuyến #»n=(1;−2;3)?

A.x−2y+3z−12=0 B.x−2y−3z+6=0

C.x−2y+3z+12=0 D.x−2y−3z−6=0

Lời giải

Gọi(α)là mặt phẳng quaM(1;2;−3)và có vtpt #»

n=(1;−2;3) Phương trình mặt phẳng(α):

1(x−1)−2(y−2)+3(z+3)=0⇔x−2y+3z+12=0

Vậy phương trình tổng quát của(α) :x−2y+3z+12=0 α

#» n

M

(45)

Ví dụ 3.

A.x−2y+3z−12=0 B.x−2y−3z+6=0

C.x−2y+3z+12=0 D.x−2y−3z−6=0

Lời giải

n=(1;−2;3)

Phương trình mặt phẳng(α):

1(x−1)−2(y−2)+3(z+3)=0⇔x−2y+3z+12=0

Vậy phương trình tổng quát của(α) :x−2y+3z+12=0

α

#» n

M

(46)

Ví dụ 3.

A.x−2y+3z−12=0 B.x−2y−3z+6=0

C.x−2y+3z+12=0 D.x−2y−3z−6=0

Lời giải

n=(1;−2;3) Phương trình mặt phẳng(α): 1(x−1)−2(y−2)+3(z+3)=0

⇔x−2y+3z+12=0

α

#» n

M

(47)

Ví dụ 3.

A.x−2y+3z−12=0 B.x−2y−3z+6=0

C.x−2y+3z+12=0 D.x−2y−3z−6=0

Lời giải

1(x−1)−2(y−2)+3(z+3)=0⇔x−2y+3z+12=0

α

#» n

M

(48)

Ví dụ 3.

(Đề thi THPTQG năm 2017) Trong không gianOxyz, phương trình dưới phương trình mặt phẳng qua điểmM(1;2;−3)và có véc-tơ pháp tuyến #»n=(1;−2;3)?

A.x−2y+3z−12=0 B.x−2y−3z+6=0

C.x−2y+3z+12=0 D.x−2y−3z−6=0

Lời giải

1(x−1)−2(y−2)+3(z+3)=0⇔x−2y+3z+12=0

#» n

M

(49)

Ví dụ 3.

A.x−2y+3z−12=0 B.x−2y−3z+6=0

C.x−2y+3z+12=0 D.x−2y−3z−6=0

Lời giải

1(x−1)−2(y−2)+3(z+3)=0⇔x−2y+3z+12=0

#» n

M

(50)

Ví dụ 4.

(Đề thi THPT Quốc Gia năm 2018) Trong không gianOxyz, cho hai điểm

A(5;−4;2)vàB(1;2;4) Mặt phẳng quaAvà vng góc với đường thẳngABcó phương trình

A.2x−3y−z+8=0 B.3x−y+3z−13=0

C.2x−3y−z−20=0 D.3x−y+3z−25=0

Lời giải Vì mặt phẳng quaAvng góc vớiABnên nhận

# »

AB=(−4;6;2)làm véc-tơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng cần tìm

−4(x−5)+6(y+4)+2(z−2)=0⇔2x−3y−z−20=0 A

B

(51)

Ví dụ 4.

A.2x−3y−z+8=0 B.3x−y+3z−13=0

C.2x−3y−z−20=0 D.3x−y+3z−25=0

Lời giải

Vì mặt phẳng quaAvng góc vớiABnên nhận # »

−4(x−5)+6(y+4)+2(z−2)=0⇔2x−3y−z−20=0

A B

(52)

Ví dụ 4.

A.2x−3y−z+8=0 B.3x−y+3z−13=0

C.2x−3y−z−20=0 D.3x−y+3z−25=0

# »

AB=(−4;6;2)làm véc-tơ pháp tuyến

Phương trình mặt phẳng cần tìm

−4(x−5)+6(y+4)+2(z−2)=0⇔2x−3y−z−20=0

A B

(53)

Ví dụ 4.

A.2x−3y−z+8=0 B.3x−y+3z−13=0

C.2x−3y−z−20=0 D.3x−y+3z−25=0

# »

−4(x−5)+6(y+4)+2(z−2)=0

⇔2x−3y−z−20=0

A B

(54)

Ví dụ 4.

A.2x−3y−z+8=0 B.3x−y+3z−13=0

C.2x−3y−z−20=0 D.3x−y+3z−25=0

# »

−4(x−5)+6(y+4)+2(z−2)=0⇔2x−3y−z−20=0 A

B

(55)

Ví dụ 5.

(Đề thi THPTQG năm 2019) Trong không gianOxyz, cho hai điểmA(4;0;1)và B(−2;2;3) Mặt phẳng trung trực đoạn thẳngABcó phương trình

A.6x−2y−2z−1=0 B.3x+y+z−6=0

C.x+y+2z−6=0 D.3x−y−z=0

Lời giải

Gọi (P) mặt phẳng trung trực đoạn AB Khi đó (P) qua trung điểmI đoạn thẳng ABvà vng góc vớiAB Ta cóAB# »=(−6;2;2)là vtpt của(P)và I(1;1;2) Phương trình mặt phẳng(P)là

−6(x−1)+2(y−1)+2(z−2)=0⇔ −6x+2y+2z=0⇔3x−y−z=0 P

A B I

(56)

Ví dụ 5.

A.6x−2y−2z−1=0 B.3x+y+z−6=0

C.x+y+2z−6=0 D.3x−y−z=0

Lời giải

−6(x−1)+2(y−1)+2(z−2)=0⇔ −6x+2y+2z=0⇔3x−y−z=0

P A B I

(57)

Ví dụ 5.

A.6x−2y−2z−1=0 B.3x+y+z−6=0

C.x+y+2z−6=0 D.3x−y−z=0

Lời giải Gọi (P) mặt phẳng trung trực đoạn AB.

Khi (P) qua trung điểmI đoạn thẳng ABvà vng góc vớiAB Ta cóAB# »=(−6;2;2)là vtpt của(P)và I(1;1;2) Phương trình mặt phẳng(P)là

−6(x−1)+2(y−1)+2(z−2)=0⇔ −6x+2y+2z=0⇔3x−y−z=0

P A B I

(58)

Ví dụ 5.

A.6x−2y−2z−1=0 B.3x+y+z−6=0

C.x+y+2z−6=0 D.3x−y−z=0

Lời giải

Gọi (P) mặt phẳng trung trực đoạn AB Khi đó (P) qua trung điểmI đoạn thẳng ABvà vng góc vớiAB.

Ta cóAB# »=(−6;2;2)là vtpt của(P)và I(1;1;2) Phương trình mặt phẳng(P)là

−6(x−1)+2(y−1)+2(z−2)=0⇔ −6x+2y+2z=0⇔3x−y−z=0

P A B I

(59)

Ví dụ 5.

A.6x−2y−2z−1=0 B.3x+y+z−6=0

C.x+y+2z−6=0 D.3x−y−z=0

Lời giải

Gọi (P) mặt phẳng trung trực đoạn AB Khi đó (P) qua trung điểmI đoạn thẳng ABvà vng góc vớiAB Ta cóAB# »=(−6;2;2)là vtpt của(P)và I(1;1;2)

Phương trình mặt phẳng(P)là

−6(x−1)+2(y−1)+2(z−2)=0⇔ −6x+2y+2z=0⇔3x−y−z=0

P A B I

(60)

Ví dụ 5.

A.6x−2y−2z−1=0 B.3x+y+z−6=0

C.x+y+2z−6=0 D.3x−y−z=0

Lời giải

−6(x−1)+2(y−1)+2(z−2)=0

⇔ −6x+2y+2z=0⇔3x−y−z=0

P A B I

(61)

Ví dụ 5.

A.6x−2y−2z−1=0 B.3x+y+z−6=0

C.x+y+2z−6=0 D.3x−y−z=0

Lời giải

−6(x−1)+2(y−1)+2(z−2)=0⇔ −6x+2y+2z=0

⇔3x−y−z=0

P A B I

(62)

Ví dụ 5.

A.6x−2y−2z−1=0 B.3x+y+z−6=0

C.x+y+2z−6=0 D.3x−y−z=0

Lời giải

−6(x−1)+2(y−1)+2(z−2)=0⇔ −6x+2y+2z=0⇔3x−y−z=0 P

A B I

(63)

Ví dụ 6.

Trong khơng gianOxyz, cho mặt phẳng qua ba điểmA(−1;0;1),B(1;1;1)và C(0;0;2)có phương trình tổng quátx+by+cz+d=0 TínhS=b+c+d.

A.S= −1 B. S=0 C.S=1 D.S= −5

Lời giải

Mặt phẳng(ABC)nhậnhAB,# » AC# »ilàm véc-tơ pháp tuyến Ta có,AB# »=(2;1;0),AC# »=(1;0;1)

⇒

h# »

AB,AC# »i=

µ¯ ¯ ¯ ¯ 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¶

=(1;−2;−1)

Phương trình(ABC) : 1(x+1)−2(y−0)−1(z−1)=0⇔x−2y−z+2=0 Suy rab= −2,c= −1,d=2 Vậy S=b+c+d= −2−1+2= −1

A B

C

h# »

AB,AC# »i

(64)

Ví dụ 6.

Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng qua ba điểmA(−1;0;1),B(1;1;1)và C(0;0;2)có phương trình tổng qtx+by+cz+d=0 TínhS=b+c+d.

A.S= −1 B. S=0 C.S=1 D.S= −5

Lời giải

Mặt phẳng(ABC)nhậnhAB,# » AC# »ilàm véc-tơ pháp tuyến

Ta có,AB# »=(2;1;0),AC# »=(1;0;1)

⇒

h# »

AB,AC# »i=

µ¯ ¯ ¯ ¯ 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¶

=(1;−2;−1)

A B

C

h# »

AB,AC# »i

(65)

Ví dụ 6.

Trong khơng gianOxyz, cho mặt phẳng qua ba điểmA(−1;0;1),B(1;1;1)và C(0;0;2)có phương trình tổng qtx+by+cz+d=0 TínhS=b+c+d.

A.S= −1 B. S=0 C.S=1 D.S= −5

Lời giải

⇒

h# »

AB,AC# »i=

µ¯ ¯ ¯ ¯ 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¶

=(1;−2;−1)

A B

C

h# »

AB,AC# »i

(66)

Ví dụ 6.

A.S= −1 B. S=0 C.S=1 D.S= −5

Lời giải

⇒

h# »

AB,AC# »i=

µ¯ ¯ ¯ ¯ 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¶

=(1;−2;−1)

A B

C

h# »

AB,AC# »i

(67)

Ví dụ 6.

A.S= −1 B. S=0 C.S=1 D.S= −5

Lời giải

⇒

h# »

AB,AC# »i=

µ¯ ¯ ¯ ¯ 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¶

=(1;−2;−1) Phương trình(ABC) : 1(x+1)−2(y−0)−1(z−1)=0

⇔x−2y−z+2=0 Suy rab= −2,c= −1,d=2 Vậy S=b+c+d= −2−1+2= −1

A B

C

h# »

AB,AC# »i

(68)

Ví dụ 6.

A.S= −1 B. S=0 C.S=1 D.S= −5

Lời giải

⇒

h# »

AB,AC# »i=

µ¯ ¯ ¯ ¯ 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¶

=(1;−2;−1)

Phương trình(ABC) : 1(x+1)−2(y−0)−1(z−1)=0⇔x−2y−z+2=0

Suy rab= −2,c= −1,d=2 Vậy S=b+c+d= −2−1+2= −1

A B

C

h# »

AB,AC# »i

(69)

Ví dụ 6.

A.S= −1 B. S=0 C.S=1 D.S= −5

Lời giải

⇒

h# »

AB,AC# »i=

µ¯ ¯ ¯ ¯ 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¶

=(1;−2;−1)

Phương trình(ABC) : 1(x+1)−2(y−0)−1(z−1)=0⇔x−2y−z+2=0 Suy rab= −2,c= −1,d=2

Vậy S=b+c+d= −2−1+2= −1

A B

C

h# »

AB,AC# »i

(70)

Ví dụ 6.

Trong khơng gianOxyz, cho mặt phẳng qua ba điểmA(−1;0;1),B(1;1;1)và C(0;0;2)có phương trình tổng quátx+by+cz+d=0 TínhS=b+c+d.

A.S= −1 B. S=0 C.S=1 D.S= −5

Lời giải

⇒

h# »

AB,AC# »i=

µ¯ ¯ ¯ ¯ 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¶

=(1;−2;−1)

Phương trình(ABC) : 1(x+1)−2(y−0)−1(z−1)=0⇔x−2y−z+2=0 Suy rab= −2,c= −1,d=2 VậyS=b+c+d= −2−1+2= −1

A B

C

h# »

AB,AC# »i

(71)

Ví dụ 6.

A.S= −1 B. S=0 C.S=1 D.S= −5

Lời giải

⇒

h# »

AB,AC# »i=

µ¯ ¯ ¯ ¯ 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¶

=(1;−2;−1)

Phương trình(ABC) : 1(x+1)−2(y−0)−1(z−1)=0⇔x−2y−z+2=0 Suy rab= −2,c= −1,d=2 VậyS=b+c+d= −2−1+2= −1

A B

C

h# »

AB,AC# »i

(72)

2 Các trường hợp riêng

Trường hợp : Hệ sốDbằng0

Cho(α)có phương trình Ax+By+Cz+D=0

D=0 thì(α) :Ax+By+Cz=0 mặt phẳng qua gốc tọa độ

x

y z

(73)

Ví dụ 7.

Trong không gianOxyz, mặt phẳng sau qua gốc tọa độO?

A.(P) :x+2y−1=0 B.(Q) :x+2y−z=0

C.(R) :y+z−2=0 D.(T) :x−z+1=0

(74)

Ví dụ 7.

Trong không gianOxyz, mặt phẳng sau qua gốc tọa độO?

A.(P) :x+2y−1=0 B.(Q) :x+2y−z=0

C.(R) :y+z−2=0 D.(T) :x−z+1=0 Lời giải

(75)

Ví dụ 7.

Trong khơng gianOxyz, mặt phẳng sau qua gốc tọa độO?

A.(P) :x+2y−1=0 B.(Q) :x+2y−z=0

Mặt phẳng(Q) :x+2y−z=0 qua gốc tọa độO.

(76)

Ví dụ 7.

Trong khơng gianOxyz, mặt phẳng sau qua gốc tọa độO?

A.(P) :x+2y−1=0 B.(Q) :x+2y−z=0

(77)

Trường hợp Một ba hệ sốA,B,Cbằng0

NếuA=0 thì(α) :By+Cz+D=0 mặt phẳng song song chứaOx.

(Xét vtpt của(α)là #»n=(0;B;C)và véc-tơ đơn vị #»i =(1;0;0)của trụcOx, ta thấy #»

(78)

NếuA=0 thì(α) :By+Cz+D=0 mặt phẳng song song chứaOx. (Xét vtpt của(α)là #»n=(0;B;C)và véc-tơ đơn vị #»i =(1;0;0)của trụcOx,

ta thấy #»

(79)

n.#»i =0·1+B·0+C·0=0

(80)

n.#»i =0·1+B·0+C·0=0⇒#»n⊥#»i

(81)

(82)

NếuA=0 thì(α) :By+Cz+D=0 mặt phẳng song song chứaOx. Xét vtpt của(α)là #»n=(0;B;C)và véc-tơ đơn vị #»i =(1;0;0)của trụcOx,ta thấy

#»

n.#»i =0·1+B·0+C·0=0⇒#»n⊥#»i Suy ra(α)song song chứaOx. FVớiD6=0 thì(α) :By+Cz+D=0 song

song vớiOx

FVớiD=0 thì(α) :By+Cz=0 chứa trục Ox

#»

i

O x

y z

O

#»

i

x

(83)

Ví dụ 8.

Trong khơng gian với hệ trục tọa độOxyz, mặt phẳng sau song song với trụcOx.

A.(P) :x+y−1=0 B.(Q) :y+z=0

C.(R) :2y+z−1=0 D.(T) :x+y−z=0

Lời giải

(84)

Ví dụ 8.

Trong khơng gian với hệ trục tọa độOxyz, mặt phẳng sau song song với trụcOx.

A.(P) :x+y−1=0 B.(Q) :y+z=0

C.(R) :2y+z−1=0 D.(T) :x+y−z=0 Lời giải

(85)

Ví dụ 8.

Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz, mặt phẳng sau song song với trụcOx.

A.(P) :x+y−1=0 B.(Q) :y+z=0

C.(R) :2y+z−1=0 D.(T) :x+y−z=0 Lời giải

(86)

NếuB=0 thì(α) :Ax+Cz+D=0 mặt phẳng song song chứaOy. FVớiD6=0 thì(α) :Ax+Cz+D=0 song

song vớiOy

FVớiD=0 thì(α) :Ax+Cz=0 chứa trục Oy

#»

j

O x

y z

O

#»

j

x

(87)

Ví dụ 9.

Trong khơng gianOxyz, viết phương trình mặt phẳng(P)đi quaM(1;0;0), N(0;0;1)và song song với trụcOy.

Lời giải

Mặt phẳng(P)song song với trụcOynên(P) :Ax+Cz+D=0, (A, C không đồng thời 0) Do (P) qua M(1;0;0) nên A+D=0⇒D= −Avà(P)đi quaN(0;0;1)

nênC+D=0⇒C= −D=A.

Từ ta suy ra(P) :Ax+Az−A=0⇔x+z−1=0

Cách khác:Ta cóMN# »=(−1;0;1)và #»j =(0,1,0) VìMN⊂(P) Oy∥(P) nên hMN,# » #»ji=(1,0,1) véc-tơ pháp tuyến (P) Mặt phẳng(P)có phương trình

1(x−1)+1(z−0)=0⇔x+z−1=0

x

y z

M N

O

#» j

(88)

Ví dụ 9.

Lời giải

Mặt phẳng(P)song song với trụcOynên(P) :Ax+Cz+D=0, (A, C không đồng thời 0)

Do (P) qua M(1;0;0) nên A+D=0⇒D= −Avà(P)đi quaN(0;0;1)

1(x−1)+1(z−0)=0⇔x+z−1=0

x

y z

M N

O

#» j

(89)

Ví dụ 9.

Lời giải

Mặt phẳng(P)song song với trụcOynên(P) :Ax+Cz+D=0, (A, C không đồng thời 0) Do (P) qua M(1;0;0)

nên A+D=0⇒D= −Avà(P)đi quaN(0;0;1)

1(x−1)+1(z−0)=0⇔x+z−1=0

x

y z

M N

O

#» j

(90)

Ví dụ 9.

Lời giải

Mặt phẳng(P)song song với trụcOynên(P) :Ax+Cz+D=0, (A, C không đồng thời 0) Do (P) qua M(1;0;0) nên A+D=0

⇒D= −Avà(P)đi quaN(0;0;1) nênC+D=0⇒C= −D=A.

1(x−1)+1(z−0)=0⇔x+z−1=0

x

y z

M N

O

#» j

(91)

Ví dụ 9.

Lời giải

Mặt phẳng(P)song song với trụcOynên(P) :Ax+Cz+D=0, (A, C không đồng thời 0) Do (P) qua M(1;0;0) nên A+D=0⇒D= −A

và(P)đi quaN(0;0;1) nênC+D=0⇒C= −D=A.

1(x−1)+1(z−0)=0⇔x+z−1=0

x

y z

M N

O

#» j

(92)

Ví dụ 9.

Lời giải

Mặt phẳng(P)song song với trụcOynên(P) :Ax+Cz+D=0, (A, C không đồng thời 0) Do (P) qua M(1;0;0) nên A+D=0⇒D= −Avà(P)đi quaN(0;0;1)

1(x−1)+1(z−0)=0⇔x+z−1=0

x

y z

M N

O

#» j

(93)

Ví dụ 9.

Lời giải

nênC+D=0

⇒C= −D=A.

1(x−1)+1(z−0)=0⇔x+z−1=0

x

y z

M N

O

#» j

(94)

Ví dụ 9.

Lời giải

1(x−1)+1(z−0)=0⇔x+z−1=0

x

y z

M N

O

#» j

(95)

Ví dụ 9.

Lời giải

Từ ta suy ra(P) :Ax+Az−A=0

⇔x+z−1=0

1(x−1)+1(z−0)=0⇔x+z−1=0

x

y z

M N

O

#» j

(96)

Ví dụ 9.

Lời giải

1(x−1)+1(z−0)=0⇔x+z−1=0

x

y z

M N

O

#» j

(97)

Ví dụ 9.

Lời giải

Cách khác:Ta cóMN# »=(−1;0;1)và #»j =(0,1,0)

VìMN⊂(P) Oy∥(P) nên hMN,# » #»ji=(1,0,1) véc-tơ pháp tuyến (P) Mặt phẳng(P)có phương trình

1(x−1)+1(z−0)=0⇔x+z−1=0

x

y z

M N

O

#» j

(98)

Ví dụ 9.

Lời giải

Cách khác:Ta cóMN# »=(−1;0;1)và #»j =(0,1,0) VìMN⊂(P) Oy∥(P) nên hMN,# » #»ji=(1,0,1) véc-tơ pháp tuyến (P)

Mặt phẳng(P)có phương trình 1(x−1)+1(z−0)=0⇔x+z−1=0

x

y z

M N

O

#» j

(99)

Ví dụ 9.

Lời giải

1(x−1)+1(z−0)=0

⇔x+z−1=0

x

y z

M N

O

#» j

(100)

Ví dụ 9.

Lời giải

1(x−1)+1(z−0)=0⇔x+z−1=0 x

y z

M N

O

#» j

(101)

NếuC=0 thì(α) :Ax+By+D=0 mặt phẳng song song chứa Oz. FVớiD6=0 thì(α) : Ax+By+D=0

song song vớiOz

FVới D=0 thì(α) :Ax+By=0 chứa trụcOz

#»

k

O x

y z

O

#»

k

x

(102)

Ví dụ 10.

Trong khơng gian với hệ trục tọa độOxyz, mặt phẳng sau chứa trục trụcOz.

A.(P) :2x+y−1=0 B.(Q) :y+z=0

C. (R) :x+2z=0 D.(T) : −x+3y=0

(103)

Ví dụ 10.

Trong khơng gian với hệ trục tọa độOxyz, mặt phẳng sau chứa trục trụcOz.

A.(P) :2x+y−1=0 B.(Q) :y+z=0

C. (R) :x+2z=0 D.(T) : −x+3y=0 Lời giải

(104)

Ví dụ 10.

Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz, mặt phẳng sau chứa trục trụcOz.

A.(P) :2x+y−1=0 B.(Q) :y+z=0

C. (R) :x+2z=0 D.(T) : −x+3y=0 Lời giải

(105)

Trường hợp : Hai ba hệ sốA,B,Cbằng0.

NếuA=B=0 thì(α) :Cz+D=0 song song trùng với(Oxy)

(106)

NếuA=B=0 thì(α) :Cz+D=0 song song trùng với(Oxy) Vì mặt phẳngCz+D=0 song song chứaOx

(107)

(108)

Vì mặt phẳngCz+D=0 song song chứa Oxvà song song chứaOynên song song trùng với(Oxy)

FVớiD6=0 thì(α) :Cz+D=0 song song với(Oxy)

FVớiD=0 thì(α) :z=0 trùng với

(Oxy)

O

−D

C

x

y z

O x

(109)

NếuA=C=0 thì(α) :By+D=0 song song trùng với(Oxz) FVớiD6=0 thì(α) :By+D=0 song

song với(Oxz)

FVớiD=0 thì(α) :y=0 trùng với

(Oxz)

O

−D

B x

y z

O x

(110)

NếuB=C=0 thì(α) :Ax+D=0 song song trùng với(Oyz) FVớiD6=0 thì(α) :Ax+D=0 song

song với(Oyz)

FVớiD=0 thì(α) :x=0 trùng với

(Oyz)

O

−D

A x

y z

O x

(111)

Nhận xét: Cả bốn hệ sốA,B, C, Dđều khác0

Ta thấyAx+By+Cz+D=0⇔Ax+By+Cz= −D⇔ A −Dx+

B

−Dy+ C

−Dz=1 Bằng cách đặta= −D

A,b= − D B,c= −

D

C ta phương trình x a+

y b+

z

(112)

Ta thấyAx+By+Cz+D=0⇔Ax+By+Cz= −D

⇔ A

−Dx+ B

−Dy+ C

A,b= − D B,c= −

D

y b+

z

(113)

B

−Dy+ C

−Dz=1

Bằng cách đặta= −D

A,b= − D B,c= −

D

y b+

z

(114)

B

−Dy+ C

A,b= − D B,c= −

D

C ta phương trình

x a+

y b+

z

(115)

B

−Dy+ C

A,b= − D B,c= −

D

y b+

z

c=1 (*)

(116)

B

−Dy+ C

A,b= − D B,c= −

D

y b+

z

(117)

B

−Dy+ C

A,b= − D B,c= −

D

y b+

z

c=1 (*) Phương trình (*) gọi phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, cắt trục Ox,Oy,Ozlần lượt điểm(a;0;0),(0;b;0),(0;0;c)

O z

x

(118)

Ví dụ 11.

Trong khơng gianOxyz, cho điểm M(3;2;4) GọiA,B,Clần lượt hình chiếu củaMtrên trụcOx,Oy,Oz Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

Lời giải Hình chiếu M(3;2;4) lên trục Ox, Oy, Oz A(3;0;0), B(0;2;0), C(0;0;4) Mặt phẳng(ABC)có phương trình

x 3+

y 2+

z

4=1⇔8x+12y+6z−24=0

⇔4x+6y+3z−12=0

O z

x

y

3

2

A

B C

(119)

Ví dụ 11.

Lời giải Hình chiếu M(3;2;4) lên trục Ox, Oy, Oz

là A(3;0;0), B(0;2;0), C(0;0;4) Mặt phẳng(ABC)có phương trình

x 3+

y 2+

z

4=1⇔8x+12y+6z−24=0

⇔4x+6y+3z−12=0

O z

x

y

3

2

A

B C

(120)

Ví dụ 11.

Lời giải Hình chiếu M(3;2;4) lên trục Ox, Oy, Oz A(3;0;0), B(0;2;0), C(0;0;4)

Mặt phẳng(ABC)có phương trình x

3+ y 2+

z

4=1⇔8x+12y+6z−24=0

⇔4x+6y+3z−12=0

O z

x

y

3

2

A

B C

(121)

Ví dụ 11.

Trong không gianOxyz, cho điểm M(3;2;4) GọiA,B,Clần lượt hình chiếu củaMtrên trụcOx,Oy,Oz Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

x 3+

y 2+

z 4=1

⇔8x+12y+6z−24=0

⇔4x+6y+3z−12=0

O z

x

y

3

2

A

B C

(122)

Ví dụ 11.

x 3+

y 2+

z

4=1⇔8x+12y+6z−24=0

⇔4x+6y+3z−12=0

O z

x

y

3

2

A

B C

(123)

Ví dụ 11.

x 3+

y 2+

z

4=1⇔8x+12y+6z−24=0

⇔4x+6y+3z−12=0

O z

x

y

3

2

A

B C

(124)

(125)

1 Hai mặt phẳng song song

Trong không gianOxyzcho hai mặt phẳng (α1) :A1x+B1y+C1z+D1=0

có véc-tơ pháp tuyếnn# »1=

¡

A1;B1;C1

¢

(α2) :A2x+B2y+C2z+D2=0

¡

A2;B2;C2

¢

(α1)và(α2)song song trùng khin# »1 vàn# »2 phương hay

# »

n1=kn# »2⇒

¡

A1;B1;C1

¢

=¡

kA2;kB2;kC2

¢

Nhânkvào hai vế phương trình (α2)ta kA2x+kB2y+kC2z+kD2=0

⇔A1x+B1y+C1z+kD2=0

α1 # » n1 # » n2 α2

(α1)∥(α2)⇔

½n# »

1=kn# »2

D16=kD2

⇔ A1

A2 =B1

B2 =C1

C2 6=D1

D2

, qui ước

  

 

A2=0⇔A1=0

B2=0⇔B1=0

C2=0⇔C1=0

(126)

¡

A1;B1;C1

¢

(α2) :A2x+B2y+C2z+D2=0

¡

A2;B2;C2

¢

# »

n1=kn# »2⇒

¡

A1;B1;C1

¢

=¡

kA2;kB2;kC2

¢

α1 # » n1 # » n2 α2

(α1)∥(α2)⇔

½n# »

1=kn# »2

D16=kD2

⇔ A1

A2 =B1

B2 =C1

C2 6=D1

D2

, qui ước

  

 

A2=0⇔A1=0

B2=0⇔B1=0

C2=0⇔C1=0

(127)

Trong khơng gianOxyzcho hai mặt phẳng (α1) :A1x+B1y+C1z+D1=0

¡

A1;B1;C1

¢

(α2) :A2x+B2y+C2z+D2=0

¡

A2;B2;C2

¢

# » n1=kn# »2

⇒¡

A1;B1;C1

¢

=¡

kA2;kB2;kC2

¢

α1 # » n1 # » n2 α2

(α1)∥(α2)⇔

½n# »

1=kn# »2

D16=kD2

⇔ A1

A2 =B1

B2 =C1

C2 6=D1

D2

, qui ước

  

 

A2=0⇔A1=0

B2=0⇔B1=0

C2=0⇔C1=0

(128)

¡

A1;B1;C1

¢

(α2) :A2x+B2y+C2z+D2=0

¡

A2;B2;C2

¢

# »

n1=kn# »2⇒

¡

A1;B1;C1

¢

=¡

kA2;kB2;kC2

¢

α1 # » n1 # » n2 α2

(α1)∥(α2)⇔

½n# »

1=kn# »2

D16=kD2

⇔ A1

A2 =B1

B2 =C1

C2 6=D1

D2

, qui ước

  

 

A2=0⇔A1=0

B2=0⇔B1=0

C2=0⇔C1=0

(129)

¡

A1;B1;C1

¢

(α2) :A2x+B2y+C2z+D2=0

¡

A2;B2;C2

¢

# »

n1=kn# »2⇒

¡

A1;B1;C1

¢

=¡

kA2;kB2;kC2

¢

α1 # » n1 # » n2 α2

(α1)∥(α2)⇔

½n# »

1=kn# »2

D16=kD2

⇔ A1

A2 =B1

B2 =C1

C2 6=D1

D2

, qui ước

  

 

A2=0⇔A1=0

B2=0⇔B1=0

C2=0⇔C1=0

(130)

¡

A1;B1;C1

¢

(α2) :A2x+B2y+C2z+D2=0

¡

A2;B2;C2

¢

# »

n1=kn# »2⇒

¡

A1;B1;C1

¢

=¡

kA2;kB2;kC2

¢

α1 # » n1 # » n2 α2

(α1)∥(α2)⇔

½n# »

1=kn# »2

D16=kD2

⇔ A1

A2 =B1

B2 =C1

C2 6=D1

D2

, qui ước

  

 

A2=0⇔A1=0

B2=0⇔B1=0

C2=0⇔C1=0

(131)

¡

A1;B1;C1

¢

(α2) :A2x+B2y+C2z+D2=0

¡

A2;B2;C2

¢

# »

n1=kn# »2⇒

¡

A1;B1;C1

¢

=¡

kA2;kB2;kC2

¢

α1 # » n1 # » n2 α2

(α1)∥(α2)

⇔

½n# »

1=kn# »2

D16=kD2

⇔ A1

A2 =B1

B2 =C1

C2 6=D1

D2

, qui ước

  

 

A2=0⇔A1=0

B2=0⇔B1=0

C2=0⇔C1=0

(132)

¡

A1;B1;C1

¢

(α2) :A2x+B2y+C2z+D2=0

¡

A2;B2;C2

¢

# »

n1=kn# »2⇒

¡

A1;B1;C1

¢

=¡

kA2;kB2;kC2

¢

α1 # » n1 # » n2 α2

(α1)∥(α2)⇔

½n# »

1=kn# »2

D16=kD2

⇔ A1

A2 =B1

B2 =C1

C2 6=D1

D2

, qui ước

  

 

A2=0⇔A1=0

B2=0⇔B1=0

C2=0⇔C1=0

(133)

¡

A1;B1;C1

¢

(α2) :A2x+B2y+C2z+D2=0

¡

A2;B2;C2

¢

# »

n1=kn# »2⇒

¡

A1;B1;C1

¢

=¡

kA2;kB2;kC2

¢

α1 # » n1 # » n2 α2

(α1)∥(α2)⇔

½n# »

1=kn# »2

D16=kD2

⇔ A1

A2 =B1

B2 =C1

C2 6=D1

D2 , qui ước     

A2=0⇔A1=0

B2=0⇔B1=0

C2=0⇔C1=0

(134)

¡

A1;B1;C1

¢

(α2) :A2x+B2y+C2z+D2=0

¡

A2;B2;C2

¢

# »

n1=kn# »2⇒

¡

A1;B1;C1

¢

=¡

kA2;kB2;kC2

¢

α1 # » n1 # » n2 α2

(α1)∥(α2)⇔

½n# »

1=kn# »2

D16=kD2

⇔ A1

A2 =B1

B2 =C1

C2 6=D1

D2

, qui ước

  

 

A2=0⇔A1=0

B2=0⇔B1=0

(135)

2 Hai mặt trùng nhau

(α1)≡ (α2)

⇔

½n# »

1=kn# »2

D1=kD2

⇔A1

A2 =B1

B2 =C1

C2 =D1

D2

,

qui ước

     

    

A2=0⇔A1=0

B2=0⇔B1=0

C2=0⇔C1=0

D2=0⇔D1=0

α1 # »

n1 # »

n2

# » n1

# » n2

α1

(136)

(α1)≡ (α2)⇔

½n# »

1=kn# »2

D1=kD2

⇔A1

A2 =B1

B2 =C1

C2 =D1

D2

,

qui ước

     

    

A2=0⇔A1=0

B2=0⇔B1=0

C2=0⇔C1=0

D2=0⇔D1=0

α1 # »

n1 # »

n2

# » n1

# » n2

α1

(137)

(α1)≡ (α2)⇔

½n# »

1=kn# »2

D1=kD2 ⇔A1

A2 =B1

B2 =C1

C2 =D1

D2

,

qui ước

     

    

A2=0⇔A1=0

B2=0⇔B1=0

C2=0⇔C1=0

D2=0⇔D1=0

α1 # »

n1 # »

n2

# » n1

# » n2

α1

(138)

(α1)≡ (α2)⇔

½n# »

1=kn# »2

D1=kD2 ⇔A1

A2 =B1

B2 =C1

C2 =D1

D2

,

qui ước

     

    

A2=0⇔A1=0

B2=0⇔B1=0

C2=0⇔C1=0

D2=0⇔D1=0

α1 # »

n1 # »

n2

# » n1

# » n2

α1

(139)

Ví dụ 12.

(Đề thi THPT Quốc Gia 2018) Trong không gianOxyz, mặt phẳng qua điểm A(2;−1;2)và song song với mặt phẳng (P) :2x−y+3z+2=0 có phương trình

A.2x−y+3z−9=0 B.2x−y+3z+11=0

C.2x−y−3z+11=0 D.2x−y+3z−11=0

Lời giải

Gọi (Q) mặt phẳng qua A song song với mặt phẳng (P) Vì#» (P)∥(Q) nên vtpt #»nP (P) vtpt (Q) Ta có

nP=(2;−1;3) Mặt phẳng(Q)có phương trình:

2(x−2)−1(y+1)+3(z−2)=0⇔2x−y+3z−11=0

Vậy phương trình tổng quát của(Q)là 2x−y+3z−11=0

P A

#» nP

Q

(140)

Ví dụ 12.

A.2x−y+3z−9=0 B.2x−y+3z+11=0

C.2x−y−3z+11=0 D.2x−y+3z−11=0

Lời giải

Gọi (Q) mặt phẳng qua A song song với mặt phẳng (P)

Vì#» (P)∥(Q) nên vtpt #»nP (P) vtpt (Q) Ta có

2(x−2)−1(y+1)+3(z−2)=0⇔2x−y+3z−11=0

P A

#» nP

Q

(141)

Ví dụ 12.

A.2x−y+3z−9=0 B.2x−y+3z+11=0

C.2x−y−3z+11=0 D.2x−y+3z−11=0

Lời giải

Gọi (Q) mặt phẳng qua A song song với mặt phẳng (P) Vì (P)∥(Q) nên vtpt #»nP (P) vtpt (Q)

Ta có #»

2(x−2)−1(y+1)+3(z−2)=0⇔2x−y+3z−11=0

P A

#» nP

Q

(142)

Ví dụ 12.

A.2x−y+3z−9=0 B.2x−y+3z+11=0

C.2x−y−3z+11=0 D.2x−y+3z−11=0

Lời giải

nP=(2;−1;3)

Mặt phẳng(Q)có phương trình: 2(x−2)−1(y+1)+3(z−2)=0⇔2x−y+3z−11=0

P A

#» nP

Q

(143)

Ví dụ 12.

A.2x−y+3z−9=0 B.2x−y+3z+11=0

C.2x−y−3z+11=0 D.2x−y+3z−11=0

Lời giải

2(x−2)−1(y+1)+3(z−2)=0

⇔2x−y+3z−11=0

P A

#» nP

Q

(144)

Ví dụ 12.

A.2x−y+3z−9=0 B.2x−y+3z+11=0

C.2x−y−3z+11=0 D.2x−y+3z−11=0

Lời giải

2(x−2)−1(y+1)+3(z−2)=0⇔2x−y+3z−11=0

P A

#» nP

Q

(145)

Ví dụ 12.

A.2x−y+3z−9=0 B.2x−y+3z+11=0

C.2x−y−3z+11=0 D.2x−y+3z−11=0

Lời giải

2(x−2)−1(y+1)+3(z−2)=0⇔2x−y+3z−11=0

P A

#» nP

Q

(146)

Ví dụ 12.

A.2x−y+3z−9=0 B.2x−y+3z+11=0

C.2x−y−3z+11=0 D.2x−y+3z−11=0

Lời giải

2(x−2)−1(y+1)+3(z−2)=0⇔2x−y+3z−11=0

P A

#» nP

(147)

3 Hai mặt phẳng cắt nhau

(α1)cắt(α2)

⇔n# »16=kn# »2

# » n1 # » n2

α2 α1

(148)

3 Hai mặt phẳng cắt nhau

(α1)cắt(α2)⇔n# »16=kn# »2

# » n1 # » n2

α2 α1

(149)

Ví dụ 13.

Có mệnh đề mệnh đề đây?

Mệnh đềP:“(α1) :x+2y−z+4=0 song song với(α2) :2x+4y−2z+8=0” Mệnh đềQ:“¡

β1¢

:3x−y+z−2=0 trùng với¡

β2¢

: −9x+3y−3z−6=0” Mệnh đềR:“¡

γ1¢

:2x+y−1=0 cắt¡

γ2¢

:4x−y+z−3=0”

Lời giải Xét mệnh đềP:

2= 4=

−1

−2=

8 suy ra(α1)≡ (α2), nên mệnh đềPsai Xét mệnh đềQ:

−9=

−1 =

1

−36=

−2

−6 suy

¡

β1¢

∥ ¡β2¢, nên mệnh đềQsai

Xét mệnh đềR: 46=

1

−1 suy

¡

γ1¢

cắt¡

γ2¢

(150)

Ví dụ 13.

β1¢

β2¢

: −9x+3y−3z−6=0” Mệnh đềR:“¡

γ1¢

:2x+y−1=0 cắt¡

γ2¢

:4x−y+z−3=0”

Lời giải

Xét mệnh đềP: 2=

2 4=

−1

−2=

−9=

−1 =

1

−36=

−2

−6 suy

¡

β1¢

1

−1 suy

¡

γ1¢

cắt¡

γ2¢

(151)

Ví dụ 13.

β1¢

β2¢

: −9x+3y−3z−6=0” Mệnh đềR:“¡

γ1¢

:2x+y−1=0 cắt¡

γ2¢

:4x−y+z−3=0”

2=

=−1 −2=

4

−9=

−1 =

1

−36=

−2

−6 suy

¡

β1¢

1

−1 suy

¡

γ1¢

cắt¡

γ2¢

(152)

Ví dụ 13.

β1¢

β2¢

: −9x+3y−3z−6=0” Mệnh đềR:“¡

γ1¢

:2x+y−1=0 cắt¡

γ2¢

:4x−y+z−3=0”

2= 4=

−1

−2

=4

−9=

−1 =

1

−36=

−2

−6 suy

¡

β1¢

1

−1 suy

¡

γ1¢

cắt¡

γ2¢

(153)

Ví dụ 13.

β1¢

β2¢

: −9x+3y−3z−6=0” Mệnh đềR:“¡

γ1¢

:2x+y−1=0 cắt¡

γ2¢

:4x−y+z−3=0”

2= 4=

−1

−2=

suy ra(α1)≡ (α2), nên mệnh đềPsai Xét mệnh đềQ:

−9=

−1 =

1

−36=

−2

−6 suy

¡

β1¢

1

−1 suy

¡

γ1¢

cắt¡

γ2¢

(154)

Ví dụ 13.

β1¢

β2¢

: −9x+3y−3z−6=0” Mệnh đềR:“¡

γ1¢

:2x+y−1=0 cắt¡

γ2¢

:4x−y+z−3=0”

2= 4=

−1

−2=

8 suy ra(α1)≡ (α2), nên mệnh đềPsai

Xét mệnh đềQ:

−9=

−1 =

1

−36=

−2

−6 suy

¡

β1¢

1

−1 suy

¡

γ1¢

cắt¡

γ2¢

(155)

Ví dụ 13.

β1¢

β2¢

: −9x+3y−3z−6=0” Mệnh đềR:“¡

γ1¢

:2x+y−1=0 cắt¡

γ2¢

:4x−y+z−3=0”

2= 4=

−1

−2=

−9=

−1

=

−36=

−2

−6 suy

¡

β1¢

1

−1 suy

¡

γ1¢

cắt¡

γ2¢

(156)

Ví dụ 13.

β1¢

β2¢

: −9x+3y−3z−6=0” Mệnh đềR:“¡

γ1¢

:2x+y−1=0 cắt¡

γ2¢

:4x−y+z−3=0”

2= 4=

−1

−2=

−9=

−1 =

1

−3

6=−2

−6 suy

¡

β1¢

1

−1 suy

¡

γ1¢

cắt¡

γ2¢

(157)

Ví dụ 13.

β1¢

β2¢

: −9x+3y−3z−6=0” Mệnh đềR:“¡

γ1¢

:2x+y−1=0 cắt¡

γ2¢

:4x−y+z−3=0”

2= 4=

−1

−2=

−9=

−1 =

1

−36=

−2

−6

suy ra¡

β1¢

1

−1 suy

¡

γ1¢

cắt¡

γ2¢

(158)

Ví dụ 13.

β1¢

β2¢

: −9x+3y−3z−6=0” Mệnh đềR:“¡

γ1¢

:2x+y−1=0 cắt¡

γ2¢

:4x−y+z−3=0”

2= 4=

−1

−2=

−9=

−1 =

1

−36=

−2

−6 suy

¡

β1¢

1

−1 suy

¡

γ1¢

cắt¡

γ2¢

(159)

Ví dụ 13.

β1¢

β2¢

: −9x+3y−3z−6=0” Mệnh đềR:“¡

γ1¢

:2x+y−1=0 cắt¡

γ2¢

:4x−y+z−3=0”

2= 4=

−1

−2=

−9=

−1 =

1

−36=

−2

−6 suy

¡

β1¢

Xét mệnh đềR:

6=

−1 suy

¡

γ1¢

cắt¡

γ2¢

(160)

Ví dụ 13.

β1¢

β2¢

: −9x+3y−3z−6=0” Mệnh đềR:“¡

γ1¢

:2x+y−1=0 cắt¡

γ2¢

:4x−y+z−3=0”

2= 4=

−1

−2=

−9=

−1 =

1

−36=

−2

−6 suy

¡

β1¢

1

−1

suy ra¡

γ1¢

cắt¡

γ2¢

(161)

Ví dụ 13.

β1¢

β2¢

: −9x+3y−3z−6=0” Mệnh đềR:“¡

γ1¢

:2x+y−1=0 cắt¡

γ2¢

:4x−y+z−3=0”

2= 4=

−1

−2=

−9=

−1 =

1

−36=

−2

−6 suy

¡

β1¢

1

−1 suy

¡

γ1¢

cắt¡

γ2¢

, nên mệnh đềR

(162)

Ví dụ 13.

β1¢

β2¢

: −9x+3y−3z−6=0” Mệnh đềR:“¡

γ1¢

:2x+y−1=0 cắt¡

γ2¢

:4x−y+z−3=0”

2= 4=

−1

−2=

−9=

−1 =

1

−36=

−2

−6 suy

¡

β1¢

1

−1 suy

¡

γ1¢

cắt¡

γ2¢

(163)

Hai mặt phẳng vng góc (α1)⊥(α2)

⇔n# »1⊥n# »2⇔n# »1·n# »2=0

# » n1

# »

(164)

Hai mặt phẳng vng góc (α1)⊥(α2)⇔n# »1⊥n# »2

⇔n# »1·n# »2=0

# » n1

# »

(165)

Hai mặt phẳng vng góc (α1)⊥(α2)⇔n# »1⊥n# »2⇔n# »1·n# »2=0

# » n1

# »

(166)

Ví dụ 14.

Trong khơng gianOxyz, cho mặt phẳng (P) :x+(m+1)y−2z+m=0 (Q) : 2x−y+3=0, vớimlà tham số thực Tìmmđể(P)và (Q)vng góc với

A.m= −5 B.m=1 C.m=3 D.m= −1

Lời giải Mặt phẳng(P)có vtpt #»n1=(1;m+1;−2)

Mặt phẳng(Q)có vtpt #»n2=(2;−1;0)

(P)⊥(Q)⇔#»n1⊥#»n2⇔ #»n1·#»n2=0⇔1·2+(m+1)·(−1)+(−2)·0=0⇔1−m=0⇔m=1

(167)

Ví dụ 14.

Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng (P) :x+(m+1)y−2z+m=0 (Q) : 2x−y+3=0, vớimlà tham số thực Tìmmđể(P)và (Q)vng góc với

A.m= −5 B.m=1 C.m=3 D.m= −1

Lời giải

Mặt phẳng(P)có vtpt #»n1=(1;m+1;−2)

(P)⊥(Q)⇔#»n1⊥#»n2⇔ #»n1·#»n2=0⇔1·2+(m+1)·(−1)+(−2)·0=0⇔1−m=0⇔m=1

(168)

Ví dụ 14.

A.m= −5 B.m=1 C.m=3 D.m= −1

(P)⊥(Q)⇔#»n1⊥#»n2⇔ #»n1·#»n2=0⇔1·2+(m+1)·(−1)+(−2)·0=0⇔1−m=0⇔m=1

(169)

Ví dụ 14.

A.m= −5 B.m=1 C.m=3 D.m= −1

(P)⊥(Q)⇔#»n1⊥#»n2⇔ #»n1·#»n2=0⇔1·2+(m+1)·(−1)+(−2)·0=0⇔1−m=0⇔m=1

(170)

Ví dụ 14.

A.m= −5 B.m=1 C.m=3 D.m= −1

(P)⊥(Q)⇔#»n1⊥#»n2

⇔ #»n1·#»n2=0⇔1·2+(m+1)·(−1)+(−2)·0=0⇔1−m=0⇔m=1

(171)

Ví dụ 14.

A.m= −5 B.m=1 C.m=3 D.m= −1

(P)⊥(Q)⇔#»n1⊥#»n2⇔ #»n1·#»n2=0

(172)

Ví dụ 14.

A.m= −5 B.m=1 C.m=3 D.m= −1

(P)⊥(Q)⇔#»n1⊥#»n2⇔ #»n1·#»n2=0⇔1·2+(m+1)·(−1)+(−2)·0=0

⇔1−m=0⇔m=1

(173)

Ví dụ 14.

A.m= −5 B.m=1 C.m=3 D.m= −1

(P)⊥(Q)⇔#»n1⊥#»n2⇔ #»n1·#»n2=0⇔1·2+(m+1)·(−1)+(−2)·0=0⇔1−m=0

⇔m=1

(174)

Ví dụ 14.

A.m= −5 B.m=1 C.m=3 D.m= −1

(P)⊥(Q)⇔#»n1⊥#»n2⇔ #»n1·#»n2=0⇔1·2+(m+1)·(−1)+(−2)·0=0⇔1−m=0⇔m=1

(175)

(176)

Định lí

Trong khơng gianOxyz, cho(α) :Ax+By+Cz+D=0 điểmM0

¡

x0;y0;z0

¢

Khoảng cách từM0 đến(α), kí hiệu d(M0,α)được tính theo cơng thức

d(M0,α)=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯

p

A2+B2+C2 Chứng minh

GọiM1

¡

x1;y1;z1

¢

là hình chiếu củaM0 lên(α) Ta thấy # »

M1M0=

¡

x0−x1;y0−y1;z0−z1

¢

, #»n=(A;B;C)cùng phương nên

¯ ¯ ¯

# » M1M0

¯ ¯ ¯·

¯ ¯#»n

¯ ¯= ¯ ¯ ¯ # » M1M0.#»n

¯ ¯ ¯=

¯

¯A(x0−x1)+B ¡

y0−y1

¢

+C(z0−z1)

¯ ¯

=¯¯Ax0+By0+Cz0+ ¡

−Ax1−By1−Cz1

¢¯ ¯

VìM1∈(α)nênAx1+By1+Cz1+D=0⇒D= −Ax1−By1−Cz1

Từ ta được¯¯ ¯

# » M1M0

¯ ¯ ¯·

¯ ¯#»n

¯ ¯=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ⇒ ¯ ¯ ¯ # » M1M0

¯ ¯ ¯=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ¯

¯#»n ¯ ¯

⇒d(M0, (α))=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯

p

A2+B2+C2 α

#» n

M0

(177)

Định lí

¡

x0;y0;z0

¢

Khoảng cách từM0 đến(α), kí hiệu d(M0,α)được tính theo công thức

d(M0,α)=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯

p

A2+B2+C2

Chứng minh

GọiM1

¡

x1;y1;z1

¢

M1M0=

¡

x0−x1;y0−y1;z0−z1

¢

¯ ¯ ¯

# » M1M0

¯ ¯ ¯·

¯ ¯#»n

¯ ¯= ¯ ¯ ¯ # » M1M0.#»n

¯ ¯ ¯=

¯

¯A(x0−x1)+B ¡

y0−y1

¢

+C(z0−z1)

¯ ¯

=¯¯Ax0+By0+Cz0+ ¡

−Ax1−By1−Cz1

¢¯ ¯

# » M1M0

¯ ¯ ¯·

¯ ¯#»n

¯ ¯=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ⇒ ¯ ¯ ¯ # » M1M0

¯ ¯ ¯=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ¯

¯#»n ¯ ¯

⇒d(M0, (α))=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯

p

A2+B2+C2 α

#» n

M0

(178)

Định lí

¡

x0;y0;z0

¢

d(M0,α)=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯

p

GọiM1

¡

x1;y1;z1

¢

M1M0=

¡

x0−x1;y0−y1;z0−z1

¢

¯ ¯ ¯

# » M1M0

¯ ¯ ¯·

¯ ¯#»n

¯ ¯= ¯ ¯ ¯ # » M1M0.#»n

¯ ¯ ¯=

¯

¯A(x0−x1)+B ¡

y0−y1

¢

+C(z0−z1)

¯ ¯

=¯¯Ax0+By0+Cz0+ ¡

−Ax1−By1−Cz1

¢¯ ¯

# » M1M0

¯ ¯ ¯·

¯ ¯#»n

¯ ¯=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ⇒ ¯ ¯ ¯ # » M1M0

¯ ¯ ¯=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ¯

¯#»n ¯ ¯

⇒d(M0, (α))=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯

p

A2+B2+C2 α

#» n

M0

(179)

Định lí

¡

x0;y0;z0

¢

d(M0,α)=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯

p

GọiM1

¡

x1;y1;z1

¢

là hình chiếu củaM0 lên(α)

Ta thấy # »

M1M0=

¡

x0−x1;y0−y1;z0−z1

¢

¯ ¯ ¯

# » M1M0

¯ ¯ ¯·

¯ ¯#»n

¯ ¯= ¯ ¯ ¯ # » M1M0.#»n

¯ ¯ ¯=

¯

¯A(x0−x1)+B ¡

y0−y1

¢

+C(z0−z1)

¯ ¯

=¯¯Ax0+By0+Cz0+ ¡

−Ax1−By1−Cz1

¢¯ ¯

# » M1M0

¯ ¯ ¯·

¯ ¯#»n

¯ ¯=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ⇒ ¯ ¯ ¯ # » M1M0

¯ ¯ ¯=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ¯

¯#»n ¯ ¯

⇒d(M0, (α))=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯

p

A2+B2+C2

α #» n

M0

(180)

Định lí

¡

x0;y0;z0

¢

d(M0,α)=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯

p

GọiM1

¡

x1;y1;z1

¢

M1M0=

¡

x0−x1;y0−y1;z0−z1

¢

, #»n=(A;B;C)cùng phương

nên

¯ ¯ ¯

# » M1M0

¯ ¯ ¯·

¯ ¯#»n

¯ ¯= ¯ ¯ ¯ # » M1M0.#»n

¯ ¯ ¯=

¯

¯A(x0−x1)+B ¡

y0−y1

¢

+C(z0−z1)

¯ ¯

=¯¯Ax0+By0+Cz0+ ¡

−Ax1−By1−Cz1

¢¯ ¯

# » M1M0

¯ ¯ ¯·

¯ ¯#»n

¯ ¯=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ⇒ ¯ ¯ ¯ # » M1M0

¯ ¯ ¯=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ¯

¯#»n ¯ ¯

⇒d(M0, (α))=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯

p

A2+B2+C2

α #» n

M0

(181)

Định lí

Trong không gianOxyz, cho(α) :Ax+By+Cz+D=0 điểmM0

¡

x0;y0;z0

¢

d(M0,α)=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯

p

GọiM1

¡

x1;y1;z1

¢

M1M0=

¡

x0−x1;y0−y1;z0−z1

¢

¯ ¯ ¯

# » M1M0

¯ ¯ ¯·

¯ ¯#»n

¯ ¯= ¯ ¯ ¯ # » M1M0.#»n

¯ ¯ ¯

=¯¯A(x0−x1)+B ¡

y0−y1

¢

+C(z0−z1)

¯ ¯

=¯¯Ax0+By0+Cz0+ ¡

−Ax1−By1−Cz1

¢¯ ¯

# » M1M0

¯ ¯ ¯·

¯ ¯#»n

¯ ¯=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ⇒ ¯ ¯ ¯ # » M1M0

¯ ¯ ¯=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ¯

¯#»n ¯ ¯

⇒d(M0, (α))=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯

p

A2+B2+C2

α #» n

M0

(182)

Định lí

¡

x0;y0;z0

¢

d(M0,α)=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯

p

GọiM1

¡

x1;y1;z1

¢

M1M0=

¡

x0−x1;y0−y1;z0−z1

¢

¯ ¯ ¯

# » M1M0

¯ ¯ ¯·

¯ ¯#»n

¯ ¯= ¯ ¯ ¯ # » M1M0.#»n

¯ ¯ ¯=

¯

¯A(x0−x1)+B ¡

y0−y1

¢

+C(z0−z1)

¯ ¯

=¯¯Ax0+By0+Cz0+ ¡

−Ax1−By1−Cz1

¢¯ ¯

# » M1M0

¯ ¯ ¯·

¯ ¯#»n

¯ ¯=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ⇒ ¯ ¯ ¯ # » M1M0

¯ ¯ ¯=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ¯

¯#»n ¯ ¯

⇒d(M0, (α))=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯

p

A2+B2+C2

α #» n

M0

(183)

Định lí

¡

x0;y0;z0

¢

d(M0,α)=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯

p

GọiM1

¡

x1;y1;z1

¢

M1M0=

¡

x0−x1;y0−y1;z0−z1

¢

¯ ¯ ¯

# » M1M0

¯ ¯ ¯·

¯ ¯#»n

¯ ¯= ¯ ¯ ¯ # » M1M0.#»n

¯ ¯ ¯=

¯

¯A(x0−x1)+B ¡

y0−y1

¢

+C(z0−z1)

¯ ¯

=¯¯Ax0+By0+Cz0+ ¡

−Ax1−By1−Cz1

¢¯ ¯

# » M1M0

¯ ¯ ¯·

¯ ¯#»n

¯ ¯=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ⇒ ¯ ¯ ¯ # » M1M0

¯ ¯ ¯=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ¯

¯#»n ¯ ¯

⇒d(M0, (α))=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯

p

A2+B2+C2

α #» n

M0

(184)

Định lí

¡

x0;y0;z0

¢

d(M0,α)=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯

p

GọiM1

¡

x1;y1;z1

¢

M1M0=

¡

x0−x1;y0−y1;z0−z1

¢

¯ ¯ ¯

# » M1M0

¯ ¯ ¯·

¯ ¯#»n

¯ ¯= ¯ ¯ ¯ # » M1M0.#»n

¯ ¯ ¯=

¯

¯A(x0−x1)+B ¡

y0−y1

¢

+C(z0−z1)

¯ ¯

=¯¯Ax0+By0+Cz0+ ¡

−Ax1−By1−Cz1

¢¯ ¯

VìM1∈(α)nênAx1+By1+Cz1+D=0

⇒D= −Ax1−By1−Cz1

# » M1M0

¯ ¯ ¯·

¯ ¯#»n

¯ ¯=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ⇒ ¯ ¯ ¯ # » M1M0

¯ ¯ ¯=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ¯

¯#»n ¯ ¯

⇒d(M0, (α))=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯

p

A2+B2+C2

α #» n

M0

(185)

Định lí

¡

x0;y0;z0

¢

d(M0,α)=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯

p

GọiM1

¡

x1;y1;z1

¢

M1M0=

¡

x0−x1;y0−y1;z0−z1

¢

¯ ¯ ¯

# » M1M0

¯ ¯ ¯·

¯ ¯#»n

¯ ¯= ¯ ¯ ¯ # » M1M0.#»n

¯ ¯ ¯=

¯

¯A(x0−x1)+B ¡

y0−y1

¢

+C(z0−z1)

¯ ¯

=¯¯Ax0+By0+Cz0+ ¡

−Ax1−By1−Cz1

¢¯ ¯

# » M1M0

¯ ¯ ¯·

¯ ¯#»n

¯ ¯=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ⇒ ¯ ¯ ¯ # » M1M0

¯ ¯ ¯=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ¯

¯#»n ¯ ¯

⇒d(M0, (α))=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯

p

A2+B2+C2

α #» n

M0

(186)

Định lí

¡

x0;y0;z0

¢

d(M0,α)=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯

p

GọiM1

¡

x1;y1;z1

¢

M1M0=

¡

x0−x1;y0−y1;z0−z1

¢

¯ ¯ ¯

# » M1M0

¯ ¯ ¯·

¯ ¯#»n

¯ ¯= ¯ ¯ ¯ # » M1M0.#»n

¯ ¯ ¯=

¯

¯A(x0−x1)+B ¡

y0−y1

¢

+C(z0−z1)

¯ ¯

=¯¯Ax0+By0+Cz0+ ¡

−Ax1−By1−Cz1

¢¯ ¯

# » M1M0

¯ ¯ ¯·

¯ ¯#»n

¯ ¯=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ⇒ ¯ ¯ ¯ # » M1M0

¯ ¯ ¯=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ¯

¯#»n ¯ ¯

⇒d(M0, (α))=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯

p

A2+B2+C2

α #» n

M0

(187)

Định lí

¡

x0;y0;z0

¢

d(M0,α)=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯

p

GọiM1

¡

x1;y1;z1

¢

M1M0=

¡

x0−x1;y0−y1;z0−z1

¢

¯ ¯ ¯

# » M1M0

¯ ¯ ¯·

¯ ¯#»n

¯ ¯= ¯ ¯ ¯ # » M1M0.#»n

¯ ¯ ¯=

¯

¯A(x0−x1)+B ¡

y0−y1

¢

+C(z0−z1)

¯ ¯

=¯¯Ax0+By0+Cz0+ ¡

−Ax1−By1−Cz1

¢¯ ¯

# » M1M0

¯ ¯ ¯·

¯ ¯#»n

¯ ¯=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ⇒ ¯ ¯ ¯ # » M1M0

¯ ¯ ¯=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ¯

¯#»n ¯ ¯

⇒d(M0, (α))=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯

p

A2+B2+C2

α #» n

M0

(188)

Định lí

¡

x0;y0;z0

¢

d(M0,α)=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯

p

GọiM1

¡

x1;y1;z1

¢

M1M0=

¡

x0−x1;y0−y1;z0−z1

¢

¯ ¯ ¯

# » M1M0

¯ ¯ ¯·

¯ ¯#»n

¯ ¯= ¯ ¯ ¯ # » M1M0.#»n

¯ ¯ ¯=

¯

¯A(x0−x1)+B ¡

y0−y1

¢

+C(z0−z1)

¯ ¯

=¯¯Ax0+By0+Cz0+ ¡

−Ax1−By1−Cz1

¢¯ ¯

# » M1M0

¯ ¯ ¯·

¯ ¯#»n

¯ ¯=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ⇒ ¯ ¯ ¯ # » M1M0

¯ ¯ ¯=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ¯

¯#»n ¯ ¯

⇒d(M0, (α))=

¯

¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯

p

A2+B2+C2 α

#» n

M0

(189)

Ví dụ 15.

(Đề minh họa - THPT.QG 2017) Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng (P) :3x+4y+2z+4=0 điểmA(1;−2;3) Tính khoảng cách d từAđến (P)

A.d=5

9 B.d=

5

29 C.d=

p

29 D.d=

p

5

Lời giải Ta có d(A; (P))=|3.1p+4.(−2)+2.3+4|

32+42+22 =

5

p

(190)

Ví dụ 15.

A.d=5

9 B.d=

5

29 C.d=

p

29 D.d=

p

5 Lời giải

Ta có d(A; (P))=|3.1p+4.(−2)+2.3+4|

32+42+22 =

5

p

(191)

Ví dụ 15.

(Đề minh họa - THPT.QG 2017) Trong khơng gianOxyz, cho mặt phẳng (P) :3x+4y+2z+4=0 điểmA(1;−2;3) Tính khoảng cách d từAđến (P)

A.d=5

9 B.d=

5

29 C.d=

p

29 D.d=

p

5 Lời giải

Ta có d(A; (P))

=|3.1p+4.(−2)+2.3+4|

32+42+22 =

5

p

(192)

Ví dụ 15.

A.d=5

9 B.d=

5

29 C.d=

p

29 D.d=

p

5 Lời giải

Ta có d(A; (P))=|3.1p+4.(−2)+2.3+4|

32+42+22

=p5

(193)

Ví dụ 15.

A.d=5

9 B.d=

5

29 C.d=

p

29 D.d=

p

5 Lời giải

Ta có d(A; (P))=|3.1p+4.(−2)+2.3+4|

32+42+22 =

5

p

(194)

Ví dụ 16.

(Đề minh họa THPTQG 2018) Trong không gianOxyzkhoảng cách hai mặt phẳng(P) :x+2y+2z−10=0 và(Q) :x+2y+2z−3=0

A.

3 B.

7

3 C.3 D.

4

Lời giải

Ta thấy (P)∥(Q) Trên (P) lấy M(0;0;5) Khi đó, khoảng cách hai mặt phẳng(P)và(Q)là:

d¡

(P), (Q)¢

=d¡

M, (Q)¢

=|0p+2·0+2·5−3|

12+22+22 =

7

P M

(195)

Ví dụ 16.

A.

3 B.

7

3 C.3 D.

4 Lời giải

Ta thấy (P)∥(Q)

Trên (P) lấy M(0;0;5) Khi đó, khoảng cách hai mặt phẳng(P)và(Q)là:

d¡

(P), (Q)¢

=d¡

M, (Q)¢

=|0p+2·0+2·5−3|

12+22+22 =

7

P M

Q

(196)

Ví dụ 16.

A.

3 B.

7

3 C.3 D.

4 Lời giải

d¡

(P), (Q)¢

=d¡

M, (Q)¢

=|0p+2·0+2·5−3|

12+22+22 =

7

P M

Q

(197)

Ví dụ 16.

A.

3 B.

7

3 C.3 D.

4 Lời giải

d¡

(P), (Q)¢

=d¡

M, (Q)¢

=|0p+2·0+2·5−3|

12+22+22 =

7

P M

Q

(198)

Ví dụ 16.

A.

3 B.

7

3 C.3 D.

4 Lời giải

d¡

(P), (Q)¢

=d¡

M, (Q)¢

=|0p+2·0+2·5−3|

12+22+22 =

7

P M

Q

(199)

Ví dụ 16.

A.

3 B.

7

3 C.3 D.

4 Lời giải

d¡

(P), (Q)¢

=d¡

M, (Q)¢

=|0p+2·0+2·5−3|

12+22+22

=7

3

P M

Q

(200)

Ví dụ 16.

A.

3 B.

7

3 C.3 D.

4 Lời giải

d¡

(P), (Q)¢

=d¡

M, (Q)¢

=|0p+2·0+2·5−3|

12+22+22 =

7

P M

Q