Hình thành kiến thức về véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng, tích có hướng của hai véc-tơ, phương trình tổng quát của mặt phẳng và các trường hợp đặc biệt của nó, vị trí tương đối của hai mặ[r]
(1)SỞ GD&ĐT AN GIANG ĐÀI PT - TH AN GIANG HƯỚNG DẪN HỌC TẬP QUA TRUYỀN HÌNH
CHƯƠNG TRÌNH HỌC KỲ 2 − MƠN TỐN KHỐI 12
MƠN HÌNH HỌC - LỚP 12
(2)MỤC TIÊU CỦA TIẾT HỌC
Hình thành kiến thức véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng, tích có hướng hai véc-tơ, phương trình tổng qt mặt phẳng trường hợp đặc biệt nó, vị trí tương đối hai mặt phẳng, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
(3)MỤC TIÊU CỦA TIẾT HỌC
Hình thành kiến thức véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng, tích có hướng hai véc-tơ, phương trình tổng quát mặt phẳng trường hợp đặc biệt nó, vị trí tương đối hai mặt phẳng, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
(4)MỤC TIÊU CỦA TIẾT HỌC
Hình thành kiến thức véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng, tích có hướng hai véc-tơ, phương trình tổng quát mặt phẳng trường hợp đặc biệt nó, vị trí tương đối hai mặt phẳng, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
(5)I VÉC-TƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG
1 Định nghĩa Cho mặt phẳng(α)
Nếu véc-tơ #»n khác #»
0 có giá vng góc với mặt phẳng (α)thì #»n gọi véc-tơ pháp tuyến của(α)
Chú ý:Nếu #»n véc-tơ pháp tuyến
của mặt phẳng(α)thìk#»n vớik6=0 véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng(α)
α
#»n
(6)I VÉC-TƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG
1 Định nghĩa
Cho mặt phẳng(α) Nếu véc-tơ #»n khác #»
0 có giá vng góc với mặt phẳng (α)thì #»n gọi véc-tơ pháp tuyến của(α)
Chú ý:Nếu #»n véc-tơ pháp tuyến
của mặt phẳng(α)thìk#»n vớik6=0 véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng(α)
α
#»n
(7)I VÉC-TƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG
1 Định nghĩa
Cho mặt phẳng(α) Nếu véc-tơ #»n khác #»
0 có giá vng góc với mặt phẳng (α)thì #»n gọi véc-tơ pháp tuyến của(α)
Chú ý:Nếu #»n véc-tơ pháp tuyến
của mặt phẳng(α)thìk#»n vớik6=0 véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng(α)
α
#»n
(8)2 Tích có hướng hai véc-tơ
Trong không gianOxyzcho hai véc-tơ #»a =(a1;a2;a3), #» b=¡
b1;b2;b3
¢
.Tích có hướng hai véc-tơ #»a #»b véc-tơ kí hiệu xác định sau
h#»
a,#»bi=#»a∧#»b=
µ¯ ¯ ¯ ¯
a2 a3
b2 b3
¯ ¯ ¯ ¯
;
¯ ¯ ¯ ¯
a3 a1
b3 b1
¯ ¯ ¯ ¯
;
¯ ¯ ¯ ¯
a1 a2
b1 b2
¯ ¯ ¯ ả
=Ăa2b3a3b2;a3b1a1b3;a1b2a2b1
Â
(9)2 Tích có hướng hai véc-tơ
Trong khơng gianOxyzcho hai véc-tơ #»a =(a1;a2;a3), #» b =¡
b1;b2;b3
¢
Tích có hướng hai véc-tơ #»a #»b véc-tơ kí hiệu xác định sau
h#»
a,#»bi=#»a∧#»b=
µ¯ ¯ ¯ ¯
a2 a3
b2 b3
¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯
a3 a1
b3 b1
¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯
a1 a2
b1 b2
¯ ¯ ¯ ¯ ¶
=¡a2b3−a3b2;a3b1−a1b3;a1b2−a2b1
¢
(10)2 Tích có hướng hai véc-tơ
Trong không gianOxyzcho hai véc-tơ #»a =(a1;a2;a3), #» b =¡
b1;b2;b3
¢
.Tích có hướng hai véc-tơ #»a #»b véc-tơ kí hiệu xác định sau
h#»
a,#»bi=#»a∧#»b=
µ¯ ¯ ¯ ¯
a2 a3
b2 b3
¯ ¯ ¯ ¯
;
¯ ¯ ¯ ¯
a3 a1
b3 b1
¯ ¯ ¯ ¯
;
¯ ¯ ¯ ¯
a1 a2
b1 b2
ả
=Ăa2b3a3b2;a3b1a1b3;a1b2a2b1
Â
(11)2 Tích có hướng hai véc-tơ
Trong không gianOxyzcho hai véc-tơ #»a =(a1;a2;a3), #» b =¡
b1;b2;b3
¢
.Tích có hướng hai véc-tơ #»a #»b véc-tơ kí hiệu xác định sau
h#»
a,#»bi=#»a∧#»b=
µ¯ ¯ ¯ ¯
a2 a3
b2 b3
¯ ¯ ¯ ¯
;
¯ ¯ ¯ ¯
a3 a1
b3 b1
¯ ¯ ¯ ¯
;
¯ ¯ ¯ ¯
a1 a2
b1 b2
¯ ả
=Ăa2b3a3b2;a3b1a1b3;a1b2a2b1
Â
(12)2 Tích có hướng hai véc-tơ
Trong không gianOxyzcho hai véc-tơ #»a =(a1;a2;a3), #» b =¡
b1;b2;b3
¢
.Tích có hướng hai véc-tơ #»a #»b véc-tơ kí hiệu xác định sau
h#»
a,#»bi=#»a∧#»b=
µ¯ ¯ ¯ ¯
a2 a3
b2 b3
¯ ¯ ¯ ¯
;
¯ ¯ ¯ ¯
a3 a1
b3 b1
¯ ¯ ¯ ¯
;
¯ ¯ ¯ ¯
a1 a2
b1 b2
¯ ¯ ¯ ả
=Ăa2b3a3b2;a3b1a1b3;a1b2a2b1
Â
(13)2 Tích có hướng hai véc-tơ
Trong khơng gianOxyzcho hai véc-tơ #»a =(a1;a2;a3), #» b =¡
b1;b2;b3
¢
.Tích có hướng hai véc-tơ #»a #»b véc-tơ kí hiệu xác định sau
h#»
a,#»bi=#»a∧#»b=
µ¯ ¯ ¯ ¯
a2 a3
b2 b3
¯ ¯ ¯ ¯
;
¯ ¯ ¯ ¯
a3 a1
b3 b1
¯ ¯ ¯ ¯
;
¯ ¯ ¯ ¯
a1 a2
b1 b2
¯ ¯ ¯ ¯ ¶
=¡a2b3−a3b2;a3b1−a1b3;a1b2−a2b1
¢
(14)Chú ý
h#»
a,#»bi⊥#»a,h#»a,#»bi⊥#»b
Cho hai véc-tơ #»a #»b khơng phương có giá song song với(α)hoặc nằm trên(α)thìh#»a,#»bilà véc-tơ pháp tuyến của(α)
Cho¡
ABC¢
, ta cóhAB,# » AC# »ilà véc-tơ pháp tuyến của¡
ABC¢
(15)Chú ý
h#»
a,#»bi⊥#»a
,h#»a,#»bi⊥#»b
Cho hai véc-tơ #»a #»b khơng phương có giá song song với(α)hoặc nằm trên(α)thìh#»a,#»bilà véc-tơ pháp tuyến của(α)
Cho¡
ABC¢
, ta cóhAB,# » AC# »ilà véc-tơ pháp tuyến của¡
ABC¢
(16)Chú ý
h#»
a,#»bi⊥#»a,h#»a,#»bi⊥#»b
Cho hai véc-tơ #»a #»b khơng phương có giá song song với(α)hoặc nằm trên(α)thìh#»a,#»bilà véc-tơ pháp tuyến của(α)
Cho¡
ABC¢
, ta cóhAB,# » AC# »ilà véc-tơ pháp tuyến của¡
ABC¢
(17)Chú ý
h#»
a,#»bi⊥#»a,h#»a,#»bi⊥#»b
Cho hai véc-tơ #»a #»b không phương có giá song song với(α)hoặc nằm trên(α)thìh#»a,#»bilà véc-tơ pháp tuyến của(α)
Cho¡
ABC¢
, ta cóhAB,# » AC# »ilà véc-tơ pháp tuyến của¡
ABC¢
(18)Chú ý
h#»
a,#»bi⊥#»a,h#»a,#»bi⊥#»b
Cho hai véc-tơ #»a #»b không phương có giá song song với(α)hoặc nằm trên(α)thìh#»a,#»bilà véc-tơ pháp tuyến của(α)
Cho¡
ABC¢
, ta cóhAB,# » AC# »ilà véc-tơ pháp tuyến của¡
ABC¢
(19)Ví dụ 1.
Trong khơng gianOxyz, choA(−1;1;3),B(2;1;0),C(4;−1;5) Tìm véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng¡
ABC¢
Lời giải Ta thấyAB# »=(3;0;−3),
# »
AC=(5;−2;2)
Ta cóhAB,# » AC# »ilà véc-tơ pháp tuyến của¡
ABC¢
h# »
AB,AC# »i=
µ¯ ¯ ¯ ¯
0 −3
−2
¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯
−3
2 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ −2
¯ ¯ ¯ ¯ ¶
=(−6;−21;−6)là véc-tơ pháp tuyến
(ABC) Ngồi ta có véc-tơ pháp tuyến khác của(ABC)là #»n=(2;7;2)
A B
C
h# »
(20)Ví dụ 1.
Trong khơng gianOxyz, choA(−1;1;3),B(2;1;0),C(4;−1;5) Tìm véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng¡
ABC¢
Lời giải Ta thấyAB# »=(3;0;−3),
# »
AC=(5;−2;2)
Ta cóhAB,# » AC# »ilà véc-tơ pháp tuyến của¡
ABC¢
h# »
AB,AC# »i=
µ¯ ¯ ¯ ¯
0 −3
−2
¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯
−3
2 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ −2
¯ ¯ ¯ ¯ ¶
=(−6;−21;−6)là véc-tơ pháp tuyến
(ABC) Ngoài ta có véc-tơ pháp tuyến khác của(ABC)là #»n=(2;7;2)
A B
C
h# »
(21)Ví dụ 1.
Trong khơng gianOxyz, choA(−1;1;3),B(2;1;0),C(4;−1;5) Tìm véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng¡
ABC¢
Lời giải Ta thấyAB# »=(3;0;−3),
# »
AC=(5;−2;2)
Ta cóhAB,# » AC# »ilà véc-tơ pháp tuyến của¡
ABC¢
h# »
AB,AC# »i=
µ¯ ¯ ¯ ¯
0 −3
−2
¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯
−3
2 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ −2
¯ ¯ ¯ ¯ ¶
=(−6;−21;−6)là véc-tơ pháp tuyến
(ABC) Ngoài ta có véc-tơ pháp tuyến khác của(ABC)là #»n=(2;7;2)
A B
C
h# »
(22)Ví dụ 1.
Trong khơng gianOxyz, choA(−1;1;3),B(2;1;0),C(4;−1;5) Tìm véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng¡
ABC¢
Lời giải Ta thấyAB# »=(3;0;−3),
# »
AC=(5;−2;2)
Ta cóhAB,# » AC# »ilà véc-tơ pháp tuyến của¡
ABC¢
h# »
AB,AC# »i=
µ¯ ¯ ¯ ¯
0 −3
−2
¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯
−3
2 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ −2
¯ ¯ ¯ ¯ ¶
=(−6;−21;−6)là véc-tơ pháp tuyến
(ABC) Ngồi ta có véc-tơ pháp tuyến khác của(ABC)là #»n=(2;7;2)
A B
C
h# »
(23)Ví dụ 1.
Trong khơng gianOxyz, choA(−1;1;3),B(2;1;0),C(4;−1;5) Tìm véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng¡
ABC¢
Lời giải Ta thấyAB# »=(3;0;−3),
# »
AC=(5;−2;2)
Ta cóhAB,# » AC# »ilà véc-tơ pháp tuyến của¡
ABC¢
h# »
AB,AC# »i=
µ¯ ¯ ¯ ¯
0 −3
−2
¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯
−3
2 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ −2
¯ ¯ ¯ ¯ ¶
=(−6;−21;−6)là véc-tơ pháp tuyến
(ABC) Ngồi ta có véc-tơ pháp tuyến khác của(ABC)là #»n=(2;7;2)
A B
C
h# »
(24)Ví dụ 1.
Trong khơng gianOxyz, choA(−1;1;3),B(2;1;0),C(4;−1;5) Tìm véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng¡
ABC¢
Lời giải Ta thấyAB# »=(3;0;−3),
# »
AC=(5;−2;2)
Ta cóhAB,# » AC# »ilà véc-tơ pháp tuyến của¡
ABC¢
h# »
AB,AC# »i=
µ¯ ¯ ¯ ¯
0 −3
−2
¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯
−3
2 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ −2
¯ ¯ ¯ ¯ ¶
=(−6;−21;−6)là véc-tơ pháp tuyến
(ABC)
Ngồi ta có véc-tơ pháp tuyến khác của(ABC)là #»n=(2;7;2)
A B
C
h# »
(25)Ví dụ 1.
Trong khơng gianOxyz, choA(−1;1;3),B(2;1;0),C(4;−1;5) Tìm véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng¡
ABC¢
Lời giải Ta thấyAB# »=(3;0;−3),
# »
AC=(5;−2;2)
Ta cóhAB,# » AC# »ilà véc-tơ pháp tuyến của¡
ABC¢
h# »
AB,AC# »i=
µ¯ ¯ ¯ ¯
0 −3
−2
¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯
−3
2 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ −2
¯ ¯ ¯ ¯ ¶
=(−6;−21;−6)là véc-tơ pháp tuyến
(ABC) Ngoài ta có véc-tơ pháp tuyến khác của(ABC)là #»n=(2;7;2)
A B
C
h# »
(26)II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
Bài tốn
Trong khơng gianOxyz, cho mặt phẳng (α)đi qua điểmM0
¡
x0;y0;z0
¢
và nhận #»
n=¡A;B;C¢
làm véc-tơ pháp tuyến Chứng minh điều kiện cần đủ để điểmM(x;y;z)thuộc mặt phẳng (α)làA(x−x0)+B
¡
y−y0
¢
+C(z−z0)=0
Lời giải Ta cóM# »0M=
¡
x−x0;y−y0;z−z0
¢
M∈(α)⇔M0M⊂(α)⇔#»n⊥M# »0M⇔ #»n.M# »0M=0 ⇔A(x−x0)+B
¡ y−y0
¢
+C(z−z0)=0(1)(đpcm)
Từ(1)⇔Ax+By+Cz−Ax0−By0−Cz0=0
ĐặtD= −Ax0−By0−Cz0
Ta đượcAx+By+Cz+D=0(2)
α
#» n
M0
(27)II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
Bài tốn
Trong khơng gianOxyz, cho mặt phẳng (α)đi qua điểmM0
¡
x0;y0;z0
¢
và nhận #»
n=¡A;B;C¢
làm véc-tơ pháp tuyến Chứng minh điều kiện cần đủ để điểmM(x;y;z)thuộc mặt phẳng (α)làA(x−x0)+B
¡
y−y0
¢
+C(z−z0)=0
Lời giải Ta cóM# »0M=
¡
x−x0;y−y0;z−z0
¢
M∈(α)⇔M0M⊂(α)⇔#»n⊥M# »0M⇔ #»n.M# »0M=0 ⇔A(x−x0)+B
¡ y−y0
¢
+C(z−z0)=0(1)(đpcm)
Từ(1)⇔Ax+By+Cz−Ax0−By0−Cz0=0
ĐặtD= −Ax0−By0−Cz0
Ta đượcAx+By+Cz+D=0(2)
α
#» n
M0
(28)II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
Bài tốn
Trong khơng gianOxyz, cho mặt phẳng (α)đi qua điểmM0
¡
x0;y0;z0
¢
và nhận #»
n=¡A;B;C¢
làm véc-tơ pháp tuyến Chứng minh điều kiện cần đủ để điểmM(x;y;z)thuộc mặt phẳng (α)làA(x−x0)+B
¡
y−y0
¢
+C(z−z0)=0
Lời giải Ta cóM# »0M=
¡
x−x0;y−y0;z−z0
¢
M∈(α)
⇔M0M⊂(α)⇔#»n⊥M# »0M⇔ #»n.M# »0M=0 ⇔A(x−x0)+B
¡ y−y0
¢
+C(z−z0)=0(1)(đpcm)
Từ(1)⇔Ax+By+Cz−Ax0−By0−Cz0=0
ĐặtD= −Ax0−By0−Cz0
Ta đượcAx+By+Cz+D=0(2)
α
#» n
M0
(29)II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QT CỦA MẶT PHẲNG
Bài tốn
Trong khơng gianOxyz, cho mặt phẳng (α)đi qua điểmM0
¡
x0;y0;z0
¢
và nhận #»
n=¡A;B;C¢
làm véc-tơ pháp tuyến Chứng minh điều kiện cần đủ để điểmM(x;y;z)thuộc mặt phẳng (α)làA(x−x0)+B
¡
y−y0
¢
+C(z−z0)=0
Lời giải Ta cóM# »0M=
¡
x−x0;y−y0;z−z0
¢
M∈(α)⇔M0M⊂(α)
⇔#»n⊥M# »0M⇔ #»n.M# »0M=0 ⇔A(x−x0)+B
¡ y−y0
¢
+C(z−z0)=0(1)(đpcm)
Từ(1)⇔Ax+By+Cz−Ax0−By0−Cz0=0
ĐặtD= −Ax0−By0−Cz0
Ta đượcAx+By+Cz+D=0(2)
α
#» n
M0
(30)II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QT CỦA MẶT PHẲNG
Bài tốn
Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng (α)đi qua điểmM0
¡
x0;y0;z0
¢
và nhận #»
n=¡A;B;C¢
làm véc-tơ pháp tuyến Chứng minh điều kiện cần đủ để điểmM(x;y;z)thuộc mặt phẳng (α)làA(x−x0)+B
¡
y−y0
¢
+C(z−z0)=0
Lời giải Ta cóM# »0M=
¡
x−x0;y−y0;z−z0
¢
M∈(α)⇔M0M⊂(α)⇔#»n⊥M# »0M
⇔ #»n.M# »0M=0 ⇔A(x−x0)+B
¡ y−y0
¢
+C(z−z0)=0(1)(đpcm)
Từ(1)⇔Ax+By+Cz−Ax0−By0−Cz0=0
ĐặtD= −Ax0−By0−Cz0
Ta đượcAx+By+Cz+D=0(2)
α
#» n
M0
(31)II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
Bài tốn
Trong khơng gianOxyz, cho mặt phẳng (α)đi qua điểmM0
¡
x0;y0;z0
¢
và nhận #»
n=¡A;B;C¢
làm véc-tơ pháp tuyến Chứng minh điều kiện cần đủ để điểmM(x;y;z)thuộc mặt phẳng (α)làA(x−x0)+B
¡
y−y0
¢
+C(z−z0)=0
Lời giải Ta cóM# »0M=
¡
x−x0;y−y0;z−z0
¢
M∈(α)⇔M0M⊂(α)⇔#»n⊥M# »0M⇔ #»n.M# »0M=0
⇔A(x−x0)+B
¡ y−y0
¢
+C(z−z0)=0(1)(đpcm)
Từ(1)⇔Ax+By+Cz−Ax0−By0−Cz0=0
ĐặtD= −Ax0−By0−Cz0
Ta đượcAx+By+Cz+D=0(2)
α
#» n
M0
(32)II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
Bài tốn
Trong khơng gianOxyz, cho mặt phẳng (α)đi qua điểmM0
¡
x0;y0;z0
¢
và nhận #»
n=¡A;B;C¢
làm véc-tơ pháp tuyến Chứng minh điều kiện cần đủ để điểmM(x;y;z)thuộc mặt phẳng (α)làA(x−x0)+B
¡
y−y0
¢
+C(z−z0)=0
Lời giải Ta cóM# »0M=
¡
x−x0;y−y0;z−z0
¢
M∈(α)⇔M0M⊂(α)⇔#»n⊥M# »0M⇔ #»n.M# »0M=0 ⇔A(x−x0)+B
¡ y−y0
¢
+C(z−z0)=0(1)(đpcm)
Từ(1)⇔Ax+By+Cz−Ax0−By0−Cz0=0
ĐặtD= −Ax0−By0−Cz0
Ta đượcAx+By+Cz+D=0(2)
α
#» n
M0
(33)II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
Bài tốn
Trong khơng gianOxyz, cho mặt phẳng (α)đi qua điểmM0
¡
x0;y0;z0
¢
và nhận #»
n=¡A;B;C¢
làm véc-tơ pháp tuyến Chứng minh điều kiện cần đủ để điểmM(x;y;z)thuộc mặt phẳng (α)làA(x−x0)+B
¡
y−y0
¢
+C(z−z0)=0
Lời giải Ta cóM# »0M=
¡
x−x0;y−y0;z−z0
¢
M∈(α)⇔M0M⊂(α)⇔#»n⊥M# »0M⇔ #»n.M# »0M=0 ⇔A(x−x0)+B
¡ y−y0
¢
+C(z−z0)=0(1)(đpcm)
Từ(1)
⇔Ax+By+Cz−Ax0−By0−Cz0=0
ĐặtD= −Ax0−By0−Cz0
Ta đượcAx+By+Cz+D=0(2)
α
#» n
M0
(34)II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QT CỦA MẶT PHẲNG
Bài tốn
Trong khơng gianOxyz, cho mặt phẳng (α)đi qua điểmM0
¡
x0;y0;z0
¢
và nhận #»
n=¡A;B;C¢
làm véc-tơ pháp tuyến Chứng minh điều kiện cần đủ để điểmM(x;y;z)thuộc mặt phẳng (α)làA(x−x0)+B
¡
y−y0
¢
+C(z−z0)=0
Lời giải Ta cóM# »0M=
¡
x−x0;y−y0;z−z0
¢
M∈(α)⇔M0M⊂(α)⇔#»n⊥M# »0M⇔ #»n.M# »0M=0 ⇔A(x−x0)+B
¡ y−y0
¢
+C(z−z0)=0(1)(đpcm)
Từ(1)⇔Ax+By+Cz−Ax0−By0−Cz0=0
ĐặtD= −Ax0−By0−Cz0
Ta đượcAx+By+Cz+D=0(2)
α
#» n
M0
(35)II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
Bài toán
Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng (α)đi qua điểmM0
¡
x0;y0;z0
¢
và nhận #»
n=¡A;B;C¢
làm véc-tơ pháp tuyến Chứng minh điều kiện cần đủ để điểmM(x;y;z)thuộc mặt phẳng (α)làA(x−x0)+B
¡
y−y0
¢
+C(z−z0)=0
Lời giải Ta cóM# »0M=
¡
x−x0;y−y0;z−z0
¢
M∈(α)⇔M0M⊂(α)⇔#»n⊥M# »0M⇔ #»n.M# »0M=0 ⇔A(x−x0)+B
¡ y−y0
¢
+C(z−z0)=0(1)(đpcm)
Từ(1)⇔Ax+By+Cz−Ax0−By0−Cz0=0
ĐặtD= −Ax0−By0−Cz0
Ta đượcAx+By+Cz+D=0(2)
α
#» n
M0
(36)II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QT CỦA MẶT PHẲNG
Bài tốn
Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng (α)đi qua điểmM0
¡
x0;y0;z0
¢
và nhận #»
n=¡A;B;C¢
làm véc-tơ pháp tuyến Chứng minh điều kiện cần đủ để điểmM(x;y;z)thuộc mặt phẳng (α)làA(x−x0)+B
¡
y−y0
¢
+C(z−z0)=0
Lời giải Ta cóM# »0M=
¡
x−x0;y−y0;z−z0
¢
M∈(α)⇔M0M⊂(α)⇔#»n⊥M# »0M⇔ #»n.M# »0M=0 ⇔A(x−x0)+B
¡ y−y0
¢
+C(z−z0)=0(1)(đpcm)
Từ(1)⇔Ax+By+Cz−Ax0−By0−Cz0=0
ĐặtD= −Ax0−By0−Cz0
Ta đượcAx+By+Cz+D=0(2)
α
#» n
M0
(37)II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
1 Định nghĩa
Phương trình có dạngAx+By+Cz+D=0, đóA,B,Ckhơng đồng thời 0, gọi phương trình tổng quát mặt phẳng
Nhận xét
Nếu mặt phẳng(α)có phương trình tổng qt làAx+By+Cz+D=0 có véc-tơ pháp tuyến #»n=(A;B;C).
Phương trình mặt phẳng quaM0
¡
x0;y0;z0
¢
nhận véc-tơ #»n=(A;B;C)khác #»
0 làm véc-tơ pháp tuyến làA(x−x0)+B
¡
y−y0
¢
(38)II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
1 Định nghĩa
Phương trình có dạngAx+By+Cz+D=0, đóA,B,Ckhơng đồng thời 0, gọi phương trình tổng quát mặt phẳng
Nhận xét
Nếu mặt phẳng(α)có phương trình tổng qt làAx+By+Cz+D=0 có véc-tơ pháp tuyến #»n=(A;B;C).
Phương trình mặt phẳng quaM0
¡
x0;y0;z0
¢
nhận véc-tơ #»n=(A;B;C)khác #»
0 làm véc-tơ pháp tuyến làA(x−x0)+B
¡
y−y0
¢
(39)II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
1 Định nghĩa
Phương trình có dạngAx+By+Cz+D=0, đóA,B,Ckhơng đồng thời 0, gọi phương trình tổng quát mặt phẳng
Nhận xét
Nếu mặt phẳng(α)có phương trình tổng qt làAx+By+Cz+D=0 có véc-tơ pháp tuyến #»n=(A;B;C).
Phương trình mặt phẳng quaM0
¡
x0;y0;z0
¢
nhận véc-tơ #»n=(A;B;C)khác #»
0 làm véc-tơ pháp tuyến làA(x−x0)+B
¡
y−y0
¢
(40)II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
1 Định nghĩa
Phương trình có dạngAx+By+Cz+D=0, đóA,B,Ckhơng đồng thời 0, gọi phương trình tổng quát mặt phẳng
Nhận xét
Nếu mặt phẳng(α)có phương trình tổng qt làAx+By+Cz+D=0 có véc-tơ pháp tuyến #»n=(A;B;C).
Phương trình mặt phẳng quaM0
¡
x0;y0;z0
¢
nhận véc-tơ #»n=(A;B;C)khác #»
0 làm véc-tơ pháp tuyến làA(x−x0)+B
¡
y−y0
¢
(41)II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QT CỦA MẶT PHẲNG
1 Định nghĩa
Phương trình có dạngAx+By+Cz+D=0, đóA,B,Ckhơng đồng thời 0, gọi phương trình tổng quát mặt phẳng
Nhận xét
Nếu mặt phẳng(α)có phương trình tổng qt làAx+By+Cz+D=0 có véc-tơ pháp tuyến #»n=(A;B;C).
Phương trình mặt phẳng quaM0
¡
x0;y0;z0
¢
nhận véc-tơ #»n=(A;B;C)khác #»
0 làm véc-tơ pháp tuyến làA(x−x0)+B
¡
y−y0
¢
(42)Ví dụ 2.
(Đề Thi THPT Quốc Gia năm 2019) Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x−3y+z−2=0 Véc-tơ sau véctơ pháp tuyến của(P)
A. #»n3=(−3;1;−2) B. #»n2=(2;−3;−2) C. #»n1=(2;−3;1) D. #»n4=(2;1;−2)
Lời giải
Ta có véc-tơ #»n1=(2;−3;1)là véc-tơ pháp tuyến của(P)
(43)Ví dụ 2.
(Đề Thi THPT Quốc Gia năm 2019) Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x−3y+z−2=0 Véc-tơ sau véctơ pháp tuyến của(P)
A. #»n3=(−3;1;−2) B. #»n2=(2;−3;−2) C. #»n1=(2;−3;1) D. #»n4=(2;1;−2)
Lời giải
Ta có véc-tơ #»n1=(2;−3;1)là véc-tơ pháp tuyến của(P)
(44)Ví dụ 3.
(Đề thi THPTQG năm 2017) Trong khơng gianOxyz, phương trình dưới phương trình mặt phẳng qua điểmM(1;2;−3)và có véc-tơ pháp tuyến #»n=(1;−2;3)?
A.x−2y+3z−12=0 B.x−2y−3z+6=0
C.x−2y+3z+12=0 D.x−2y−3z−6=0
Lời giải
Gọi(α)là mặt phẳng quaM(1;2;−3)và có vtpt #»
n=(1;−2;3) Phương trình mặt phẳng(α):
1(x−1)−2(y−2)+3(z+3)=0⇔x−2y+3z+12=0
Vậy phương trình tổng quát của(α) :x−2y+3z+12=0 α
#» n
M
(45)Ví dụ 3.
(Đề thi THPTQG năm 2017) Trong khơng gianOxyz, phương trình dưới phương trình mặt phẳng qua điểmM(1;2;−3)và có véc-tơ pháp tuyến #»n=(1;−2;3)?
A.x−2y+3z−12=0 B.x−2y−3z+6=0
C.x−2y+3z+12=0 D.x−2y−3z−6=0
Lời giải
Gọi(α)là mặt phẳng quaM(1;2;−3)và có vtpt #»
n=(1;−2;3)
Phương trình mặt phẳng(α):
1(x−1)−2(y−2)+3(z+3)=0⇔x−2y+3z+12=0
Vậy phương trình tổng quát của(α) :x−2y+3z+12=0
α
#» n
M
(46)Ví dụ 3.
(Đề thi THPTQG năm 2017) Trong khơng gianOxyz, phương trình dưới phương trình mặt phẳng qua điểmM(1;2;−3)và có véc-tơ pháp tuyến #»n=(1;−2;3)?
A.x−2y+3z−12=0 B.x−2y−3z+6=0
C.x−2y+3z+12=0 D.x−2y−3z−6=0
Lời giải
Gọi(α)là mặt phẳng quaM(1;2;−3)và có vtpt #»
n=(1;−2;3) Phương trình mặt phẳng(α): 1(x−1)−2(y−2)+3(z+3)=0
⇔x−2y+3z+12=0
Vậy phương trình tổng quát của(α) :x−2y+3z+12=0
α
#» n
M
(47)Ví dụ 3.
(Đề thi THPTQG năm 2017) Trong khơng gianOxyz, phương trình dưới phương trình mặt phẳng qua điểmM(1;2;−3)và có véc-tơ pháp tuyến #»n=(1;−2;3)?
A.x−2y+3z−12=0 B.x−2y−3z+6=0
C.x−2y+3z+12=0 D.x−2y−3z−6=0
Lời giải
Gọi(α)là mặt phẳng quaM(1;2;−3)và có vtpt #»
n=(1;−2;3) Phương trình mặt phẳng(α):
1(x−1)−2(y−2)+3(z+3)=0⇔x−2y+3z+12=0
Vậy phương trình tổng quát của(α) :x−2y+3z+12=0
α
#» n
M
(48)Ví dụ 3.
(Đề thi THPTQG năm 2017) Trong không gianOxyz, phương trình dưới phương trình mặt phẳng qua điểmM(1;2;−3)và có véc-tơ pháp tuyến #»n=(1;−2;3)?
A.x−2y+3z−12=0 B.x−2y−3z+6=0
C.x−2y+3z+12=0 D.x−2y−3z−6=0
Lời giải
Gọi(α)là mặt phẳng quaM(1;2;−3)và có vtpt #»
n=(1;−2;3) Phương trình mặt phẳng(α):
1(x−1)−2(y−2)+3(z+3)=0⇔x−2y+3z+12=0
Vậy phương trình tổng quát của(α) :x−2y+3z+12=0 α
#» n
M
(49)Ví dụ 3.
(Đề thi THPTQG năm 2017) Trong khơng gianOxyz, phương trình dưới phương trình mặt phẳng qua điểmM(1;2;−3)và có véc-tơ pháp tuyến #»n=(1;−2;3)?
A.x−2y+3z−12=0 B.x−2y−3z+6=0
C.x−2y+3z+12=0 D.x−2y−3z−6=0
Lời giải
Gọi(α)là mặt phẳng quaM(1;2;−3)và có vtpt #»
n=(1;−2;3) Phương trình mặt phẳng(α):
1(x−1)−2(y−2)+3(z+3)=0⇔x−2y+3z+12=0
Vậy phương trình tổng quát của(α) :x−2y+3z+12=0 α
#» n
M
(50)Ví dụ 4.
(Đề thi THPT Quốc Gia năm 2018) Trong không gianOxyz, cho hai điểm
A(5;−4;2)vàB(1;2;4) Mặt phẳng quaAvà vng góc với đường thẳngABcó phương trình
A.2x−3y−z+8=0 B.3x−y+3z−13=0
C.2x−3y−z−20=0 D.3x−y+3z−25=0
Lời giải Vì mặt phẳng quaAvng góc vớiABnên nhận
# »
AB=(−4;6;2)làm véc-tơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng cần tìm
−4(x−5)+6(y+4)+2(z−2)=0⇔2x−3y−z−20=0 A
B
(51)Ví dụ 4.
(Đề thi THPT Quốc Gia năm 2018) Trong không gianOxyz, cho hai điểm
A(5;−4;2)vàB(1;2;4) Mặt phẳng quaAvà vng góc với đường thẳngABcó phương trình
A.2x−3y−z+8=0 B.3x−y+3z−13=0
C.2x−3y−z−20=0 D.3x−y+3z−25=0
Lời giải
Vì mặt phẳng quaAvng góc vớiABnên nhận # »
AB=(−4;6;2)làm véc-tơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng cần tìm
−4(x−5)+6(y+4)+2(z−2)=0⇔2x−3y−z−20=0
A B
(52)Ví dụ 4.
(Đề thi THPT Quốc Gia năm 2018) Trong không gianOxyz, cho hai điểm
A(5;−4;2)vàB(1;2;4) Mặt phẳng quaAvà vng góc với đường thẳngABcó phương trình
A.2x−3y−z+8=0 B.3x−y+3z−13=0
C.2x−3y−z−20=0 D.3x−y+3z−25=0
Lời giải Vì mặt phẳng quaAvng góc vớiABnên nhận
# »
AB=(−4;6;2)làm véc-tơ pháp tuyến
Phương trình mặt phẳng cần tìm
−4(x−5)+6(y+4)+2(z−2)=0⇔2x−3y−z−20=0
A B
(53)Ví dụ 4.
(Đề thi THPT Quốc Gia năm 2018) Trong không gianOxyz, cho hai điểm
A(5;−4;2)vàB(1;2;4) Mặt phẳng quaAvà vng góc với đường thẳngABcó phương trình
A.2x−3y−z+8=0 B.3x−y+3z−13=0
C.2x−3y−z−20=0 D.3x−y+3z−25=0
Lời giải Vì mặt phẳng quaAvng góc vớiABnên nhận
# »
AB=(−4;6;2)làm véc-tơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng cần tìm
−4(x−5)+6(y+4)+2(z−2)=0
⇔2x−3y−z−20=0
A B
(54)Ví dụ 4.
(Đề thi THPT Quốc Gia năm 2018) Trong không gianOxyz, cho hai điểm
A(5;−4;2)vàB(1;2;4) Mặt phẳng quaAvà vng góc với đường thẳngABcó phương trình
A.2x−3y−z+8=0 B.3x−y+3z−13=0
C.2x−3y−z−20=0 D.3x−y+3z−25=0
Lời giải Vì mặt phẳng quaAvng góc vớiABnên nhận
# »
AB=(−4;6;2)làm véc-tơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng cần tìm
−4(x−5)+6(y+4)+2(z−2)=0⇔2x−3y−z−20=0 A
B
(55)Ví dụ 5.
(Đề thi THPTQG năm 2019) Trong không gianOxyz, cho hai điểmA(4;0;1)và B(−2;2;3) Mặt phẳng trung trực đoạn thẳngABcó phương trình
A.6x−2y−2z−1=0 B.3x+y+z−6=0
C.x+y+2z−6=0 D.3x−y−z=0
Lời giải
Gọi (P) mặt phẳng trung trực đoạn AB Khi đó (P) qua trung điểmI đoạn thẳng ABvà vng góc vớiAB Ta cóAB# »=(−6;2;2)là vtpt của(P)và I(1;1;2) Phương trình mặt phẳng(P)là
−6(x−1)+2(y−1)+2(z−2)=0⇔ −6x+2y+2z=0⇔3x−y−z=0 P
A B I
(56)Ví dụ 5.
(Đề thi THPTQG năm 2019) Trong không gianOxyz, cho hai điểmA(4;0;1)và B(−2;2;3) Mặt phẳng trung trực đoạn thẳngABcó phương trình
A.6x−2y−2z−1=0 B.3x+y+z−6=0
C.x+y+2z−6=0 D.3x−y−z=0
Lời giải
Gọi (P) mặt phẳng trung trực đoạn AB Khi đó (P) qua trung điểmI đoạn thẳng ABvà vng góc vớiAB Ta cóAB# »=(−6;2;2)là vtpt của(P)và I(1;1;2) Phương trình mặt phẳng(P)là
−6(x−1)+2(y−1)+2(z−2)=0⇔ −6x+2y+2z=0⇔3x−y−z=0
P A B I
(57)Ví dụ 5.
(Đề thi THPTQG năm 2019) Trong không gianOxyz, cho hai điểmA(4;0;1)và B(−2;2;3) Mặt phẳng trung trực đoạn thẳngABcó phương trình
A.6x−2y−2z−1=0 B.3x+y+z−6=0
C.x+y+2z−6=0 D.3x−y−z=0
Lời giải Gọi (P) mặt phẳng trung trực đoạn AB.
Khi (P) qua trung điểmI đoạn thẳng ABvà vng góc vớiAB Ta cóAB# »=(−6;2;2)là vtpt của(P)và I(1;1;2) Phương trình mặt phẳng(P)là
−6(x−1)+2(y−1)+2(z−2)=0⇔ −6x+2y+2z=0⇔3x−y−z=0
P A B I
(58)Ví dụ 5.
(Đề thi THPTQG năm 2019) Trong không gianOxyz, cho hai điểmA(4;0;1)và B(−2;2;3) Mặt phẳng trung trực đoạn thẳngABcó phương trình
A.6x−2y−2z−1=0 B.3x+y+z−6=0
C.x+y+2z−6=0 D.3x−y−z=0
Lời giải
Gọi (P) mặt phẳng trung trực đoạn AB Khi đó (P) qua trung điểmI đoạn thẳng ABvà vng góc vớiAB.
Ta cóAB# »=(−6;2;2)là vtpt của(P)và I(1;1;2) Phương trình mặt phẳng(P)là
−6(x−1)+2(y−1)+2(z−2)=0⇔ −6x+2y+2z=0⇔3x−y−z=0
P A B I
(59)Ví dụ 5.
(Đề thi THPTQG năm 2019) Trong không gianOxyz, cho hai điểmA(4;0;1)và B(−2;2;3) Mặt phẳng trung trực đoạn thẳngABcó phương trình
A.6x−2y−2z−1=0 B.3x+y+z−6=0
C.x+y+2z−6=0 D.3x−y−z=0
Lời giải
Gọi (P) mặt phẳng trung trực đoạn AB Khi đó (P) qua trung điểmI đoạn thẳng ABvà vng góc vớiAB Ta cóAB# »=(−6;2;2)là vtpt của(P)và I(1;1;2)
Phương trình mặt phẳng(P)là
−6(x−1)+2(y−1)+2(z−2)=0⇔ −6x+2y+2z=0⇔3x−y−z=0
P A B I
(60)Ví dụ 5.
(Đề thi THPTQG năm 2019) Trong không gianOxyz, cho hai điểmA(4;0;1)và B(−2;2;3) Mặt phẳng trung trực đoạn thẳngABcó phương trình
A.6x−2y−2z−1=0 B.3x+y+z−6=0
C.x+y+2z−6=0 D.3x−y−z=0
Lời giải
Gọi (P) mặt phẳng trung trực đoạn AB Khi đó (P) qua trung điểmI đoạn thẳng ABvà vng góc vớiAB Ta cóAB# »=(−6;2;2)là vtpt của(P)và I(1;1;2) Phương trình mặt phẳng(P)là
−6(x−1)+2(y−1)+2(z−2)=0
⇔ −6x+2y+2z=0⇔3x−y−z=0
P A B I
(61)Ví dụ 5.
(Đề thi THPTQG năm 2019) Trong không gianOxyz, cho hai điểmA(4;0;1)và B(−2;2;3) Mặt phẳng trung trực đoạn thẳngABcó phương trình
A.6x−2y−2z−1=0 B.3x+y+z−6=0
C.x+y+2z−6=0 D.3x−y−z=0
Lời giải
Gọi (P) mặt phẳng trung trực đoạn AB Khi đó (P) qua trung điểmI đoạn thẳng ABvà vng góc vớiAB Ta cóAB# »=(−6;2;2)là vtpt của(P)và I(1;1;2) Phương trình mặt phẳng(P)là
−6(x−1)+2(y−1)+2(z−2)=0⇔ −6x+2y+2z=0
⇔3x−y−z=0
P A B I
(62)Ví dụ 5.
(Đề thi THPTQG năm 2019) Trong không gianOxyz, cho hai điểmA(4;0;1)và B(−2;2;3) Mặt phẳng trung trực đoạn thẳngABcó phương trình
A.6x−2y−2z−1=0 B.3x+y+z−6=0
C.x+y+2z−6=0 D.3x−y−z=0
Lời giải
Gọi (P) mặt phẳng trung trực đoạn AB Khi đó (P) qua trung điểmI đoạn thẳng ABvà vng góc vớiAB Ta cóAB# »=(−6;2;2)là vtpt của(P)và I(1;1;2) Phương trình mặt phẳng(P)là
−6(x−1)+2(y−1)+2(z−2)=0⇔ −6x+2y+2z=0⇔3x−y−z=0 P
A B I
(63)Ví dụ 6.
Trong khơng gianOxyz, cho mặt phẳng qua ba điểmA(−1;0;1),B(1;1;1)và C(0;0;2)có phương trình tổng quátx+by+cz+d=0 TínhS=b+c+d.
A.S= −1 B. S=0 C.S=1 D.S= −5
Lời giải
Mặt phẳng(ABC)nhậnhAB,# » AC# »ilàm véc-tơ pháp tuyến Ta có,AB# »=(2;1;0),AC# »=(1;0;1)
⇒
h# »
AB,AC# »i=
µ¯ ¯ ¯ ¯ 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¶
=(1;−2;−1)
Phương trình(ABC) : 1(x+1)−2(y−0)−1(z−1)=0⇔x−2y−z+2=0 Suy rab= −2,c= −1,d=2 Vậy S=b+c+d= −2−1+2= −1
A B
C
h# »
AB,AC# »i
(64)Ví dụ 6.
Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng qua ba điểmA(−1;0;1),B(1;1;1)và C(0;0;2)có phương trình tổng qtx+by+cz+d=0 TínhS=b+c+d.
A.S= −1 B. S=0 C.S=1 D.S= −5
Lời giải
Mặt phẳng(ABC)nhậnhAB,# » AC# »ilàm véc-tơ pháp tuyến
Ta có,AB# »=(2;1;0),AC# »=(1;0;1)
⇒
h# »
AB,AC# »i=
µ¯ ¯ ¯ ¯ 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¶
=(1;−2;−1)
Phương trình(ABC) : 1(x+1)−2(y−0)−1(z−1)=0⇔x−2y−z+2=0 Suy rab= −2,c= −1,d=2 Vậy S=b+c+d= −2−1+2= −1
A B
C
h# »
AB,AC# »i
(65)Ví dụ 6.
Trong khơng gianOxyz, cho mặt phẳng qua ba điểmA(−1;0;1),B(1;1;1)và C(0;0;2)có phương trình tổng qtx+by+cz+d=0 TínhS=b+c+d.
A.S= −1 B. S=0 C.S=1 D.S= −5
Lời giải
Mặt phẳng(ABC)nhậnhAB,# » AC# »ilàm véc-tơ pháp tuyến Ta có,AB# »=(2;1;0),AC# »=(1;0;1)
⇒
h# »
AB,AC# »i=
µ¯ ¯ ¯ ¯ 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¶
=(1;−2;−1)
Phương trình(ABC) : 1(x+1)−2(y−0)−1(z−1)=0⇔x−2y−z+2=0 Suy rab= −2,c= −1,d=2 Vậy S=b+c+d= −2−1+2= −1
A B
C
h# »
AB,AC# »i
(66)Ví dụ 6.
Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng qua ba điểmA(−1;0;1),B(1;1;1)và C(0;0;2)có phương trình tổng qtx+by+cz+d=0 TínhS=b+c+d.
A.S= −1 B. S=0 C.S=1 D.S= −5
Lời giải
Mặt phẳng(ABC)nhậnhAB,# » AC# »ilàm véc-tơ pháp tuyến Ta có,AB# »=(2;1;0),AC# »=(1;0;1)
⇒
h# »
AB,AC# »i=
µ¯ ¯ ¯ ¯ 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¶
=(1;−2;−1)
Phương trình(ABC) : 1(x+1)−2(y−0)−1(z−1)=0⇔x−2y−z+2=0 Suy rab= −2,c= −1,d=2 Vậy S=b+c+d= −2−1+2= −1
A B
C
h# »
AB,AC# »i
(67)Ví dụ 6.
Trong khơng gianOxyz, cho mặt phẳng qua ba điểmA(−1;0;1),B(1;1;1)và C(0;0;2)có phương trình tổng qtx+by+cz+d=0 TínhS=b+c+d.
A.S= −1 B. S=0 C.S=1 D.S= −5
Lời giải
Mặt phẳng(ABC)nhậnhAB,# » AC# »ilàm véc-tơ pháp tuyến Ta có,AB# »=(2;1;0),AC# »=(1;0;1)
⇒
h# »
AB,AC# »i=
µ¯ ¯ ¯ ¯ 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¶
=(1;−2;−1) Phương trình(ABC) : 1(x+1)−2(y−0)−1(z−1)=0
⇔x−2y−z+2=0 Suy rab= −2,c= −1,d=2 Vậy S=b+c+d= −2−1+2= −1
A B
C
h# »
AB,AC# »i
(68)Ví dụ 6.
Trong khơng gianOxyz, cho mặt phẳng qua ba điểmA(−1;0;1),B(1;1;1)và C(0;0;2)có phương trình tổng qtx+by+cz+d=0 TínhS=b+c+d.
A.S= −1 B. S=0 C.S=1 D.S= −5
Lời giải
Mặt phẳng(ABC)nhậnhAB,# » AC# »ilàm véc-tơ pháp tuyến Ta có,AB# »=(2;1;0),AC# »=(1;0;1)
⇒
h# »
AB,AC# »i=
µ¯ ¯ ¯ ¯ 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¶
=(1;−2;−1)
Phương trình(ABC) : 1(x+1)−2(y−0)−1(z−1)=0⇔x−2y−z+2=0
Suy rab= −2,c= −1,d=2 Vậy S=b+c+d= −2−1+2= −1
A B
C
h# »
AB,AC# »i
(69)Ví dụ 6.
Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng qua ba điểmA(−1;0;1),B(1;1;1)và C(0;0;2)có phương trình tổng qtx+by+cz+d=0 TínhS=b+c+d.
A.S= −1 B. S=0 C.S=1 D.S= −5
Lời giải
Mặt phẳng(ABC)nhậnhAB,# » AC# »ilàm véc-tơ pháp tuyến Ta có,AB# »=(2;1;0),AC# »=(1;0;1)
⇒
h# »
AB,AC# »i=
µ¯ ¯ ¯ ¯ 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¶
=(1;−2;−1)
Phương trình(ABC) : 1(x+1)−2(y−0)−1(z−1)=0⇔x−2y−z+2=0 Suy rab= −2,c= −1,d=2
Vậy S=b+c+d= −2−1+2= −1
A B
C
h# »
AB,AC# »i
(70)Ví dụ 6.
Trong khơng gianOxyz, cho mặt phẳng qua ba điểmA(−1;0;1),B(1;1;1)và C(0;0;2)có phương trình tổng quátx+by+cz+d=0 TínhS=b+c+d.
A.S= −1 B. S=0 C.S=1 D.S= −5
Lời giải
Mặt phẳng(ABC)nhậnhAB,# » AC# »ilàm véc-tơ pháp tuyến Ta có,AB# »=(2;1;0),AC# »=(1;0;1)
⇒
h# »
AB,AC# »i=
µ¯ ¯ ¯ ¯ 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¶
=(1;−2;−1)
Phương trình(ABC) : 1(x+1)−2(y−0)−1(z−1)=0⇔x−2y−z+2=0 Suy rab= −2,c= −1,d=2 VậyS=b+c+d= −2−1+2= −1
A B
C
h# »
AB,AC# »i
(71)Ví dụ 6.
Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng qua ba điểmA(−1;0;1),B(1;1;1)và C(0;0;2)có phương trình tổng qtx+by+cz+d=0 TínhS=b+c+d.
A.S= −1 B. S=0 C.S=1 D.S= −5
Lời giải
Mặt phẳng(ABC)nhậnhAB,# » AC# »ilàm véc-tơ pháp tuyến Ta có,AB# »=(2;1;0),AC# »=(1;0;1)
⇒
h# »
AB,AC# »i=
µ¯ ¯ ¯ ¯ 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¶
=(1;−2;−1)
Phương trình(ABC) : 1(x+1)−2(y−0)−1(z−1)=0⇔x−2y−z+2=0 Suy rab= −2,c= −1,d=2 VậyS=b+c+d= −2−1+2= −1
A B
C
h# »
AB,AC# »i
(72)2 Các trường hợp riêng
Trường hợp : Hệ sốDbằng0
Cho(α)có phương trình Ax+By+Cz+D=0
D=0 thì(α) :Ax+By+Cz=0 mặt phẳng qua gốc tọa độ
x
y z
(73)Ví dụ 7.
Trong không gianOxyz, mặt phẳng sau qua gốc tọa độO?
A.(P) :x+2y−1=0 B.(Q) :x+2y−z=0
C.(R) :y+z−2=0 D.(T) :x−z+1=0
(74)Ví dụ 7.
Trong không gianOxyz, mặt phẳng sau qua gốc tọa độO?
A.(P) :x+2y−1=0 B.(Q) :x+2y−z=0
C.(R) :y+z−2=0 D.(T) :x−z+1=0 Lời giải
(75)Ví dụ 7.
Trong khơng gianOxyz, mặt phẳng sau qua gốc tọa độO?
A.(P) :x+2y−1=0 B.(Q) :x+2y−z=0
C.(R) :y+z−2=0 D.(T) :x−z+1=0 Lời giải
Mặt phẳng(Q) :x+2y−z=0 qua gốc tọa độO.
(76)Ví dụ 7.
Trong khơng gianOxyz, mặt phẳng sau qua gốc tọa độO?
A.(P) :x+2y−1=0 B.(Q) :x+2y−z=0
C.(R) :y+z−2=0 D.(T) :x−z+1=0 Lời giải
(77)Trường hợp Một ba hệ sốA,B,Cbằng0
NếuA=0 thì(α) :By+Cz+D=0 mặt phẳng song song chứaOx.
(Xét vtpt của(α)là #»n=(0;B;C)và véc-tơ đơn vị #»i =(1;0;0)của trụcOx, ta thấy #»
(78)Trường hợp Một ba hệ sốA,B,Cbằng0
NếuA=0 thì(α) :By+Cz+D=0 mặt phẳng song song chứaOx. (Xét vtpt của(α)là #»n=(0;B;C)và véc-tơ đơn vị #»i =(1;0;0)của trụcOx,
ta thấy #»
(79)Trường hợp Một ba hệ sốA,B,Cbằng0
NếuA=0 thì(α) :By+Cz+D=0 mặt phẳng song song chứaOx.
(Xét vtpt của(α)là #»n=(0;B;C)và véc-tơ đơn vị #»i =(1;0;0)của trụcOx, ta thấy #»
n.#»i =0·1+B·0+C·0=0
(80)Trường hợp Một ba hệ sốA,B,Cbằng0
NếuA=0 thì(α) :By+Cz+D=0 mặt phẳng song song chứaOx.
(Xét vtpt của(α)là #»n=(0;B;C)và véc-tơ đơn vị #»i =(1;0;0)của trụcOx, ta thấy #»
n.#»i =0·1+B·0+C·0=0⇒#»n⊥#»i
(81)Trường hợp Một ba hệ sốA,B,Cbằng0
NếuA=0 thì(α) :By+Cz+D=0 mặt phẳng song song chứaOx.
(Xét vtpt của(α)là #»n=(0;B;C)và véc-tơ đơn vị #»i =(1;0;0)của trụcOx, ta thấy #»
(82)Trường hợp Một ba hệ sốA,B,Cbằng0
NếuA=0 thì(α) :By+Cz+D=0 mặt phẳng song song chứaOx. Xét vtpt của(α)là #»n=(0;B;C)và véc-tơ đơn vị #»i =(1;0;0)của trụcOx,ta thấy
#»
n.#»i =0·1+B·0+C·0=0⇒#»n⊥#»i Suy ra(α)song song chứaOx. FVớiD6=0 thì(α) :By+Cz+D=0 song
song vớiOx
FVớiD=0 thì(α) :By+Cz=0 chứa trục Ox
#»
i
O x
y z
O
#»
i
x
(83)Ví dụ 8.
Trong khơng gian với hệ trục tọa độOxyz, mặt phẳng sau song song với trụcOx.
A.(P) :x+y−1=0 B.(Q) :y+z=0
C.(R) :2y+z−1=0 D.(T) :x+y−z=0
Lời giải
(84)Ví dụ 8.
Trong khơng gian với hệ trục tọa độOxyz, mặt phẳng sau song song với trụcOx.
A.(P) :x+y−1=0 B.(Q) :y+z=0
C.(R) :2y+z−1=0 D.(T) :x+y−z=0 Lời giải
(85)Ví dụ 8.
Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz, mặt phẳng sau song song với trụcOx.
A.(P) :x+y−1=0 B.(Q) :y+z=0
C.(R) :2y+z−1=0 D.(T) :x+y−z=0 Lời giải
(86)Trường hợp Một ba hệ sốA,B,Cbằng0
NếuB=0 thì(α) :Ax+Cz+D=0 mặt phẳng song song chứaOy. FVớiD6=0 thì(α) :Ax+Cz+D=0 song
song vớiOy
FVớiD=0 thì(α) :Ax+Cz=0 chứa trục Oy
#»
j
O x
y z
O
#»
j
x
(87)Ví dụ 9.
Trong khơng gianOxyz, viết phương trình mặt phẳng(P)đi quaM(1;0;0), N(0;0;1)và song song với trụcOy.
Lời giải
Mặt phẳng(P)song song với trụcOynên(P) :Ax+Cz+D=0, (A, C không đồng thời 0) Do (P) qua M(1;0;0) nên A+D=0⇒D= −Avà(P)đi quaN(0;0;1)
nênC+D=0⇒C= −D=A.
Từ ta suy ra(P) :Ax+Az−A=0⇔x+z−1=0
Cách khác:Ta cóMN# »=(−1;0;1)và #»j =(0,1,0) VìMN⊂(P) Oy∥(P) nên hMN,# » #»ji=(1,0,1) véc-tơ pháp tuyến (P) Mặt phẳng(P)có phương trình
1(x−1)+1(z−0)=0⇔x+z−1=0
x
y z
M N
O
#» j
(88)Ví dụ 9.
Trong khơng gianOxyz, viết phương trình mặt phẳng(P)đi quaM(1;0;0), N(0;0;1)và song song với trụcOy.
Lời giải
Mặt phẳng(P)song song với trụcOynên(P) :Ax+Cz+D=0, (A, C không đồng thời 0)
Do (P) qua M(1;0;0) nên A+D=0⇒D= −Avà(P)đi quaN(0;0;1)
nênC+D=0⇒C= −D=A.
Từ ta suy ra(P) :Ax+Az−A=0⇔x+z−1=0
Cách khác:Ta cóMN# »=(−1;0;1)và #»j =(0,1,0) VìMN⊂(P) Oy∥(P) nên hMN,# » #»ji=(1,0,1) véc-tơ pháp tuyến (P) Mặt phẳng(P)có phương trình
1(x−1)+1(z−0)=0⇔x+z−1=0
x
y z
M N
O
#» j
(89)Ví dụ 9.
Trong khơng gianOxyz, viết phương trình mặt phẳng(P)đi quaM(1;0;0), N(0;0;1)và song song với trụcOy.
Lời giải
Mặt phẳng(P)song song với trụcOynên(P) :Ax+Cz+D=0, (A, C không đồng thời 0) Do (P) qua M(1;0;0)
nên A+D=0⇒D= −Avà(P)đi quaN(0;0;1)
nênC+D=0⇒C= −D=A.
Từ ta suy ra(P) :Ax+Az−A=0⇔x+z−1=0
Cách khác:Ta cóMN# »=(−1;0;1)và #»j =(0,1,0) VìMN⊂(P) Oy∥(P) nên hMN,# » #»ji=(1,0,1) véc-tơ pháp tuyến (P) Mặt phẳng(P)có phương trình
1(x−1)+1(z−0)=0⇔x+z−1=0
x
y z
M N
O
#» j
(90)Ví dụ 9.
Trong khơng gianOxyz, viết phương trình mặt phẳng(P)đi quaM(1;0;0), N(0;0;1)và song song với trụcOy.
Lời giải
Mặt phẳng(P)song song với trụcOynên(P) :Ax+Cz+D=0, (A, C không đồng thời 0) Do (P) qua M(1;0;0) nên A+D=0
⇒D= −Avà(P)đi quaN(0;0;1) nênC+D=0⇒C= −D=A.
Từ ta suy ra(P) :Ax+Az−A=0⇔x+z−1=0
Cách khác:Ta cóMN# »=(−1;0;1)và #»j =(0,1,0) VìMN⊂(P) Oy∥(P) nên hMN,# » #»ji=(1,0,1) véc-tơ pháp tuyến (P) Mặt phẳng(P)có phương trình
1(x−1)+1(z−0)=0⇔x+z−1=0
x
y z
M N
O
#» j
(91)Ví dụ 9.
Trong khơng gianOxyz, viết phương trình mặt phẳng(P)đi quaM(1;0;0), N(0;0;1)và song song với trụcOy.
Lời giải
Mặt phẳng(P)song song với trụcOynên(P) :Ax+Cz+D=0, (A, C không đồng thời 0) Do (P) qua M(1;0;0) nên A+D=0⇒D= −A
và(P)đi quaN(0;0;1) nênC+D=0⇒C= −D=A.
Từ ta suy ra(P) :Ax+Az−A=0⇔x+z−1=0
Cách khác:Ta cóMN# »=(−1;0;1)và #»j =(0,1,0) VìMN⊂(P) Oy∥(P) nên hMN,# » #»ji=(1,0,1) véc-tơ pháp tuyến (P) Mặt phẳng(P)có phương trình
1(x−1)+1(z−0)=0⇔x+z−1=0
x
y z
M N
O
#» j
(92)Ví dụ 9.
Trong khơng gianOxyz, viết phương trình mặt phẳng(P)đi quaM(1;0;0), N(0;0;1)và song song với trụcOy.
Lời giải
Mặt phẳng(P)song song với trụcOynên(P) :Ax+Cz+D=0, (A, C không đồng thời 0) Do (P) qua M(1;0;0) nên A+D=0⇒D= −Avà(P)đi quaN(0;0;1)
nênC+D=0⇒C= −D=A.
Từ ta suy ra(P) :Ax+Az−A=0⇔x+z−1=0
Cách khác:Ta cóMN# »=(−1;0;1)và #»j =(0,1,0) VìMN⊂(P) Oy∥(P) nên hMN,# » #»ji=(1,0,1) véc-tơ pháp tuyến (P) Mặt phẳng(P)có phương trình
1(x−1)+1(z−0)=0⇔x+z−1=0
x
y z
M N
O
#» j
(93)Ví dụ 9.
Trong khơng gianOxyz, viết phương trình mặt phẳng(P)đi quaM(1;0;0), N(0;0;1)và song song với trụcOy.
Lời giải
Mặt phẳng(P)song song với trụcOynên(P) :Ax+Cz+D=0, (A, C không đồng thời 0) Do (P) qua M(1;0;0) nên A+D=0⇒D= −Avà(P)đi quaN(0;0;1)
nênC+D=0
⇒C= −D=A.
Từ ta suy ra(P) :Ax+Az−A=0⇔x+z−1=0
Cách khác:Ta cóMN# »=(−1;0;1)và #»j =(0,1,0) VìMN⊂(P) Oy∥(P) nên hMN,# » #»ji=(1,0,1) véc-tơ pháp tuyến (P) Mặt phẳng(P)có phương trình
1(x−1)+1(z−0)=0⇔x+z−1=0
x
y z
M N
O
#» j
(94)Ví dụ 9.
Trong khơng gianOxyz, viết phương trình mặt phẳng(P)đi quaM(1;0;0), N(0;0;1)và song song với trụcOy.
Lời giải
Mặt phẳng(P)song song với trụcOynên(P) :Ax+Cz+D=0, (A, C không đồng thời 0) Do (P) qua M(1;0;0) nên A+D=0⇒D= −Avà(P)đi quaN(0;0;1)
nênC+D=0⇒C= −D=A.
Từ ta suy ra(P) :Ax+Az−A=0⇔x+z−1=0
Cách khác:Ta cóMN# »=(−1;0;1)và #»j =(0,1,0) VìMN⊂(P) Oy∥(P) nên hMN,# » #»ji=(1,0,1) véc-tơ pháp tuyến (P) Mặt phẳng(P)có phương trình
1(x−1)+1(z−0)=0⇔x+z−1=0
x
y z
M N
O
#» j
(95)Ví dụ 9.
Trong khơng gianOxyz, viết phương trình mặt phẳng(P)đi quaM(1;0;0), N(0;0;1)và song song với trụcOy.
Lời giải
Mặt phẳng(P)song song với trụcOynên(P) :Ax+Cz+D=0, (A, C không đồng thời 0) Do (P) qua M(1;0;0) nên A+D=0⇒D= −Avà(P)đi quaN(0;0;1)
nênC+D=0⇒C= −D=A.
Từ ta suy ra(P) :Ax+Az−A=0
⇔x+z−1=0
Cách khác:Ta cóMN# »=(−1;0;1)và #»j =(0,1,0) VìMN⊂(P) Oy∥(P) nên hMN,# » #»ji=(1,0,1) véc-tơ pháp tuyến (P) Mặt phẳng(P)có phương trình
1(x−1)+1(z−0)=0⇔x+z−1=0
x
y z
M N
O
#» j
(96)Ví dụ 9.
Trong khơng gianOxyz, viết phương trình mặt phẳng(P)đi quaM(1;0;0), N(0;0;1)và song song với trụcOy.
Lời giải
Mặt phẳng(P)song song với trụcOynên(P) :Ax+Cz+D=0, (A, C không đồng thời 0) Do (P) qua M(1;0;0) nên A+D=0⇒D= −Avà(P)đi quaN(0;0;1)
nênC+D=0⇒C= −D=A.
Từ ta suy ra(P) :Ax+Az−A=0⇔x+z−1=0
Cách khác:Ta cóMN# »=(−1;0;1)và #»j =(0,1,0) VìMN⊂(P) Oy∥(P) nên hMN,# » #»ji=(1,0,1) véc-tơ pháp tuyến (P) Mặt phẳng(P)có phương trình
1(x−1)+1(z−0)=0⇔x+z−1=0
x
y z
M N
O
#» j
(97)Ví dụ 9.
Trong khơng gianOxyz, viết phương trình mặt phẳng(P)đi quaM(1;0;0), N(0;0;1)và song song với trụcOy.
Lời giải
Mặt phẳng(P)song song với trụcOynên(P) :Ax+Cz+D=0, (A, C không đồng thời 0) Do (P) qua M(1;0;0) nên A+D=0⇒D= −Avà(P)đi quaN(0;0;1)
nênC+D=0⇒C= −D=A.
Từ ta suy ra(P) :Ax+Az−A=0⇔x+z−1=0
Cách khác:Ta cóMN# »=(−1;0;1)và #»j =(0,1,0)
VìMN⊂(P) Oy∥(P) nên hMN,# » #»ji=(1,0,1) véc-tơ pháp tuyến (P) Mặt phẳng(P)có phương trình
1(x−1)+1(z−0)=0⇔x+z−1=0
x
y z
M N
O
#» j
(98)Ví dụ 9.
Trong khơng gianOxyz, viết phương trình mặt phẳng(P)đi quaM(1;0;0), N(0;0;1)và song song với trụcOy.
Lời giải
Mặt phẳng(P)song song với trụcOynên(P) :Ax+Cz+D=0, (A, C không đồng thời 0) Do (P) qua M(1;0;0) nên A+D=0⇒D= −Avà(P)đi quaN(0;0;1)
nênC+D=0⇒C= −D=A.
Từ ta suy ra(P) :Ax+Az−A=0⇔x+z−1=0
Cách khác:Ta cóMN# »=(−1;0;1)và #»j =(0,1,0) VìMN⊂(P) Oy∥(P) nên hMN,# » #»ji=(1,0,1) véc-tơ pháp tuyến (P)
Mặt phẳng(P)có phương trình 1(x−1)+1(z−0)=0⇔x+z−1=0
x
y z
M N
O
#» j
(99)Ví dụ 9.
Trong khơng gianOxyz, viết phương trình mặt phẳng(P)đi quaM(1;0;0), N(0;0;1)và song song với trụcOy.
Lời giải
Mặt phẳng(P)song song với trụcOynên(P) :Ax+Cz+D=0, (A, C không đồng thời 0) Do (P) qua M(1;0;0) nên A+D=0⇒D= −Avà(P)đi quaN(0;0;1)
nênC+D=0⇒C= −D=A.
Từ ta suy ra(P) :Ax+Az−A=0⇔x+z−1=0
Cách khác:Ta cóMN# »=(−1;0;1)và #»j =(0,1,0) VìMN⊂(P) Oy∥(P) nên hMN,# » #»ji=(1,0,1) véc-tơ pháp tuyến (P) Mặt phẳng(P)có phương trình
1(x−1)+1(z−0)=0
⇔x+z−1=0
x
y z
M N
O
#» j
(100)Ví dụ 9.
Trong khơng gianOxyz, viết phương trình mặt phẳng(P)đi quaM(1;0;0), N(0;0;1)và song song với trụcOy.
Lời giải
Mặt phẳng(P)song song với trụcOynên(P) :Ax+Cz+D=0, (A, C không đồng thời 0) Do (P) qua M(1;0;0) nên A+D=0⇒D= −Avà(P)đi quaN(0;0;1)
nênC+D=0⇒C= −D=A.
Từ ta suy ra(P) :Ax+Az−A=0⇔x+z−1=0
Cách khác:Ta cóMN# »=(−1;0;1)và #»j =(0,1,0) VìMN⊂(P) Oy∥(P) nên hMN,# » #»ji=(1,0,1) véc-tơ pháp tuyến (P) Mặt phẳng(P)có phương trình
1(x−1)+1(z−0)=0⇔x+z−1=0 x
y z
M N
O
#» j
(101)Trường hợp Một ba hệ sốA,B,Cbằng0
NếuC=0 thì(α) :Ax+By+D=0 mặt phẳng song song chứa Oz. FVớiD6=0 thì(α) : Ax+By+D=0
song song vớiOz
FVới D=0 thì(α) :Ax+By=0 chứa trụcOz
#»
k
O x
y z
O
#»
k
x
(102)Ví dụ 10.
Trong khơng gian với hệ trục tọa độOxyz, mặt phẳng sau chứa trục trụcOz.
A.(P) :2x+y−1=0 B.(Q) :y+z=0
C. (R) :x+2z=0 D.(T) : −x+3y=0
(103)Ví dụ 10.
Trong khơng gian với hệ trục tọa độOxyz, mặt phẳng sau chứa trục trụcOz.
A.(P) :2x+y−1=0 B.(Q) :y+z=0
C. (R) :x+2z=0 D.(T) : −x+3y=0 Lời giải
(104)Ví dụ 10.
Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz, mặt phẳng sau chứa trục trụcOz.
A.(P) :2x+y−1=0 B.(Q) :y+z=0
C. (R) :x+2z=0 D.(T) : −x+3y=0 Lời giải
(105)Trường hợp : Hai ba hệ sốA,B,Cbằng0.
NếuA=B=0 thì(α) :Cz+D=0 song song trùng với(Oxy)
(106)Trường hợp : Hai ba hệ sốA,B,Cbằng0.
NếuA=B=0 thì(α) :Cz+D=0 song song trùng với(Oxy) Vì mặt phẳngCz+D=0 song song chứaOx
(107)Trường hợp : Hai ba hệ sốA,B,Cbằng0.
NếuA=B=0 thì(α) :Cz+D=0 song song trùng với(Oxy)
(108)Trường hợp : Hai ba hệ sốA,B,Cbằng0.
NếuA=B=0 thì(α) :Cz+D=0 song song trùng với(Oxy)
Vì mặt phẳngCz+D=0 song song chứa Oxvà song song chứaOynên song song trùng với(Oxy)
FVớiD6=0 thì(α) :Cz+D=0 song song với(Oxy)
FVớiD=0 thì(α) :z=0 trùng với
(Oxy)
O
−D
C
x
y z
O x
(109)Trường hợp : Hai ba hệ sốA,B,Cbằng0.
NếuA=C=0 thì(α) :By+D=0 song song trùng với(Oxz) FVớiD6=0 thì(α) :By+D=0 song
song với(Oxz)
FVớiD=0 thì(α) :y=0 trùng với
(Oxz)
O
−D
B x
y z
O x
(110)Trường hợp : Hai ba hệ sốA,B,Cbằng0.
NếuB=C=0 thì(α) :Ax+D=0 song song trùng với(Oyz) FVớiD6=0 thì(α) :Ax+D=0 song
song với(Oyz)
FVớiD=0 thì(α) :x=0 trùng với
(Oyz)
O
−D
A x
y z
O x
(111)Nhận xét: Cả bốn hệ sốA,B, C, Dđều khác0
Ta thấyAx+By+Cz+D=0⇔Ax+By+Cz= −D⇔ A −Dx+
B
−Dy+ C
−Dz=1 Bằng cách đặta= −D
A,b= − D B,c= −
D
C ta phương trình x a+
y b+
z
(112)Nhận xét: Cả bốn hệ sốA,B, C, Dđều khác0
Ta thấyAx+By+Cz+D=0⇔Ax+By+Cz= −D
⇔ A
−Dx+ B
−Dy+ C
−Dz=1 Bằng cách đặta= −D
A,b= − D B,c= −
D
C ta phương trình x a+
y b+
z
(113)Nhận xét: Cả bốn hệ sốA,B, C, Dđều khác0
Ta thấyAx+By+Cz+D=0⇔Ax+By+Cz= −D⇔ A −Dx+
B
−Dy+ C
−Dz=1
Bằng cách đặta= −D
A,b= − D B,c= −
D
C ta phương trình x a+
y b+
z
(114)Nhận xét: Cả bốn hệ sốA,B, C, Dđều khác0
Ta thấyAx+By+Cz+D=0⇔Ax+By+Cz= −D⇔ A −Dx+
B
−Dy+ C
−Dz=1 Bằng cách đặta= −D
A,b= − D B,c= −
D
C ta phương trình
x a+
y b+
z
(115)Nhận xét: Cả bốn hệ sốA,B, C, Dđều khác0
Ta thấyAx+By+Cz+D=0⇔Ax+By+Cz= −D⇔ A −Dx+
B
−Dy+ C
−Dz=1 Bằng cách đặta= −D
A,b= − D B,c= −
D
C ta phương trình x a+
y b+
z
c=1 (*)
(116)Nhận xét: Cả bốn hệ sốA,B, C, Dđều khác0
Ta thấyAx+By+Cz+D=0⇔Ax+By+Cz= −D⇔ A −Dx+
B
−Dy+ C
−Dz=1 Bằng cách đặta= −D
A,b= − D B,c= −
D
C ta phương trình x a+
y b+
z
(117)Nhận xét: Cả bốn hệ sốA,B, C, Dđều khác0
Ta thấyAx+By+Cz+D=0⇔Ax+By+Cz= −D⇔ A −Dx+
B
−Dy+ C
−Dz=1 Bằng cách đặta= −D
A,b= − D B,c= −
D
C ta phương trình x a+
y b+
z
c=1 (*) Phương trình (*) gọi phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, cắt trục Ox,Oy,Ozlần lượt điểm(a;0;0),(0;b;0),(0;0;c)
O z
x
(118)Ví dụ 11.
Trong khơng gianOxyz, cho điểm M(3;2;4) GọiA,B,Clần lượt hình chiếu củaMtrên trụcOx,Oy,Oz Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
Lời giải Hình chiếu M(3;2;4) lên trục Ox, Oy, Oz A(3;0;0), B(0;2;0), C(0;0;4) Mặt phẳng(ABC)có phương trình
x 3+
y 2+
z
4=1⇔8x+12y+6z−24=0
⇔4x+6y+3z−12=0
O z
x
y
3
2
A
B C
(119)Ví dụ 11.
Trong khơng gianOxyz, cho điểm M(3;2;4) GọiA,B,Clần lượt hình chiếu củaMtrên trụcOx,Oy,Oz Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
Lời giải Hình chiếu M(3;2;4) lên trục Ox, Oy, Oz
là A(3;0;0), B(0;2;0), C(0;0;4) Mặt phẳng(ABC)có phương trình
x 3+
y 2+
z
4=1⇔8x+12y+6z−24=0
⇔4x+6y+3z−12=0
O z
x
y
3
2
A
B C
(120)Ví dụ 11.
Trong khơng gianOxyz, cho điểm M(3;2;4) GọiA,B,Clần lượt hình chiếu củaMtrên trụcOx,Oy,Oz Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
Lời giải Hình chiếu M(3;2;4) lên trục Ox, Oy, Oz A(3;0;0), B(0;2;0), C(0;0;4)
Mặt phẳng(ABC)có phương trình x
3+ y 2+
z
4=1⇔8x+12y+6z−24=0
⇔4x+6y+3z−12=0
O z
x
y
3
2
A
B C
(121)Ví dụ 11.
Trong không gianOxyz, cho điểm M(3;2;4) GọiA,B,Clần lượt hình chiếu củaMtrên trụcOx,Oy,Oz Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
Lời giải Hình chiếu M(3;2;4) lên trục Ox, Oy, Oz A(3;0;0), B(0;2;0), C(0;0;4) Mặt phẳng(ABC)có phương trình
x 3+
y 2+
z 4=1
⇔8x+12y+6z−24=0
⇔4x+6y+3z−12=0
O z
x
y
3
2
A
B C
(122)Ví dụ 11.
Trong không gianOxyz, cho điểm M(3;2;4) GọiA,B,Clần lượt hình chiếu củaMtrên trụcOx,Oy,Oz Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
Lời giải Hình chiếu M(3;2;4) lên trục Ox, Oy, Oz A(3;0;0), B(0;2;0), C(0;0;4) Mặt phẳng(ABC)có phương trình
x 3+
y 2+
z
4=1⇔8x+12y+6z−24=0
⇔4x+6y+3z−12=0
O z
x
y
3
2
A
B C
(123)Ví dụ 11.
Trong không gianOxyz, cho điểm M(3;2;4) GọiA,B,Clần lượt hình chiếu củaMtrên trụcOx,Oy,Oz Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
Lời giải Hình chiếu M(3;2;4) lên trục Ox, Oy, Oz A(3;0;0), B(0;2;0), C(0;0;4) Mặt phẳng(ABC)có phương trình
x 3+
y 2+
z
4=1⇔8x+12y+6z−24=0
⇔4x+6y+3z−12=0
O z
x
y
3
2
A
B C
(124)(125)1 Hai mặt phẳng song song
Trong không gianOxyzcho hai mặt phẳng (α1) :A1x+B1y+C1z+D1=0
có véc-tơ pháp tuyếnn# »1=
¡
A1;B1;C1
¢
(α2) :A2x+B2y+C2z+D2=0
có véc-tơ pháp tuyếnn# »2=
¡
A2;B2;C2
¢
(α1)và(α2)song song trùng khin# »1 vàn# »2 phương hay
# »
n1=kn# »2⇒
¡
A1;B1;C1
¢
=¡
kA2;kB2;kC2
¢
Nhânkvào hai vế phương trình (α2)ta kA2x+kB2y+kC2z+kD2=0
⇔A1x+B1y+C1z+kD2=0
α1 # » n1 # » n2 α2
(α1)∥(α2)⇔
½n# »
1=kn# »2
D16=kD2
⇔ A1
A2 =B1
B2 =C1
C2 6=D1
D2
, qui ước
A2=0⇔A1=0
B2=0⇔B1=0
C2=0⇔C1=0
(126)1 Hai mặt phẳng song song
Trong không gianOxyzcho hai mặt phẳng (α1) :A1x+B1y+C1z+D1=0
có véc-tơ pháp tuyếnn# »1=
¡
A1;B1;C1
¢
(α2) :A2x+B2y+C2z+D2=0
có véc-tơ pháp tuyếnn# »2=
¡
A2;B2;C2
¢
(α1)và(α2)song song trùng khin# »1 vàn# »2 phương hay
# »
n1=kn# »2⇒
¡
A1;B1;C1
¢
=¡
kA2;kB2;kC2
¢
Nhânkvào hai vế phương trình (α2)ta kA2x+kB2y+kC2z+kD2=0
⇔A1x+B1y+C1z+kD2=0
α1 # » n1 # » n2 α2
(α1)∥(α2)⇔
½n# »
1=kn# »2
D16=kD2
⇔ A1
A2 =B1
B2 =C1
C2 6=D1
D2
, qui ước
A2=0⇔A1=0
B2=0⇔B1=0
C2=0⇔C1=0
(127)1 Hai mặt phẳng song song
Trong khơng gianOxyzcho hai mặt phẳng (α1) :A1x+B1y+C1z+D1=0
có véc-tơ pháp tuyếnn# »1=
¡
A1;B1;C1
¢
(α2) :A2x+B2y+C2z+D2=0
có véc-tơ pháp tuyếnn# »2=
¡
A2;B2;C2
¢
(α1)và(α2)song song trùng khin# »1 vàn# »2 phương hay
# » n1=kn# »2
⇒¡
A1;B1;C1
¢
=¡
kA2;kB2;kC2
¢
Nhânkvào hai vế phương trình (α2)ta kA2x+kB2y+kC2z+kD2=0
⇔A1x+B1y+C1z+kD2=0
α1 # » n1 # » n2 α2
(α1)∥(α2)⇔
½n# »
1=kn# »2
D16=kD2
⇔ A1
A2 =B1
B2 =C1
C2 6=D1
D2
, qui ước
A2=0⇔A1=0
B2=0⇔B1=0
C2=0⇔C1=0
(128)1 Hai mặt phẳng song song
Trong không gianOxyzcho hai mặt phẳng (α1) :A1x+B1y+C1z+D1=0
có véc-tơ pháp tuyếnn# »1=
¡
A1;B1;C1
¢
(α2) :A2x+B2y+C2z+D2=0
có véc-tơ pháp tuyếnn# »2=
¡
A2;B2;C2
¢
(α1)và(α2)song song trùng khin# »1 vàn# »2 phương hay
# »
n1=kn# »2⇒
¡
A1;B1;C1
¢
=¡
kA2;kB2;kC2
¢
Nhânkvào hai vế phương trình (α2)ta kA2x+kB2y+kC2z+kD2=0
⇔A1x+B1y+C1z+kD2=0
α1 # » n1 # » n2 α2
(α1)∥(α2)⇔
½n# »
1=kn# »2
D16=kD2
⇔ A1
A2 =B1
B2 =C1
C2 6=D1
D2
, qui ước
A2=0⇔A1=0
B2=0⇔B1=0
C2=0⇔C1=0
(129)1 Hai mặt phẳng song song
Trong khơng gianOxyzcho hai mặt phẳng (α1) :A1x+B1y+C1z+D1=0
có véc-tơ pháp tuyếnn# »1=
¡
A1;B1;C1
¢
(α2) :A2x+B2y+C2z+D2=0
có véc-tơ pháp tuyếnn# »2=
¡
A2;B2;C2
¢
(α1)và(α2)song song trùng khin# »1 vàn# »2 phương hay
# »
n1=kn# »2⇒
¡
A1;B1;C1
¢
=¡
kA2;kB2;kC2
¢
Nhânkvào hai vế phương trình (α2)ta kA2x+kB2y+kC2z+kD2=0
⇔A1x+B1y+C1z+kD2=0
α1 # » n1 # » n2 α2
(α1)∥(α2)⇔
½n# »
1=kn# »2
D16=kD2
⇔ A1
A2 =B1
B2 =C1
C2 6=D1
D2
, qui ước
A2=0⇔A1=0
B2=0⇔B1=0
C2=0⇔C1=0
(130)1 Hai mặt phẳng song song
Trong không gianOxyzcho hai mặt phẳng (α1) :A1x+B1y+C1z+D1=0
có véc-tơ pháp tuyếnn# »1=
¡
A1;B1;C1
¢
(α2) :A2x+B2y+C2z+D2=0
có véc-tơ pháp tuyếnn# »2=
¡
A2;B2;C2
¢
(α1)và(α2)song song trùng khin# »1 vàn# »2 phương hay
# »
n1=kn# »2⇒
¡
A1;B1;C1
¢
=¡
kA2;kB2;kC2
¢
Nhânkvào hai vế phương trình (α2)ta kA2x+kB2y+kC2z+kD2=0
⇔A1x+B1y+C1z+kD2=0
α1 # » n1 # » n2 α2
(α1)∥(α2)⇔
½n# »
1=kn# »2
D16=kD2
⇔ A1
A2 =B1
B2 =C1
C2 6=D1
D2
, qui ước
A2=0⇔A1=0
B2=0⇔B1=0
C2=0⇔C1=0
(131)1 Hai mặt phẳng song song
Trong không gianOxyzcho hai mặt phẳng (α1) :A1x+B1y+C1z+D1=0
có véc-tơ pháp tuyếnn# »1=
¡
A1;B1;C1
¢
(α2) :A2x+B2y+C2z+D2=0
có véc-tơ pháp tuyếnn# »2=
¡
A2;B2;C2
¢
(α1)và(α2)song song trùng khin# »1 vàn# »2 phương hay
# »
n1=kn# »2⇒
¡
A1;B1;C1
¢
=¡
kA2;kB2;kC2
¢
Nhânkvào hai vế phương trình (α2)ta kA2x+kB2y+kC2z+kD2=0
⇔A1x+B1y+C1z+kD2=0
α1 # » n1 # » n2 α2
(α1)∥(α2)
⇔
½n# »
1=kn# »2
D16=kD2
⇔ A1
A2 =B1
B2 =C1
C2 6=D1
D2
, qui ước
A2=0⇔A1=0
B2=0⇔B1=0
C2=0⇔C1=0
(132)1 Hai mặt phẳng song song
Trong khơng gianOxyzcho hai mặt phẳng (α1) :A1x+B1y+C1z+D1=0
có véc-tơ pháp tuyếnn# »1=
¡
A1;B1;C1
¢
(α2) :A2x+B2y+C2z+D2=0
có véc-tơ pháp tuyếnn# »2=
¡
A2;B2;C2
¢
(α1)và(α2)song song trùng khin# »1 vàn# »2 phương hay
# »
n1=kn# »2⇒
¡
A1;B1;C1
¢
=¡
kA2;kB2;kC2
¢
Nhânkvào hai vế phương trình (α2)ta kA2x+kB2y+kC2z+kD2=0
⇔A1x+B1y+C1z+kD2=0
α1 # » n1 # » n2 α2
(α1)∥(α2)⇔
½n# »
1=kn# »2
D16=kD2
⇔ A1
A2 =B1
B2 =C1
C2 6=D1
D2
, qui ước
A2=0⇔A1=0
B2=0⇔B1=0
C2=0⇔C1=0
(133)1 Hai mặt phẳng song song
Trong không gianOxyzcho hai mặt phẳng (α1) :A1x+B1y+C1z+D1=0
có véc-tơ pháp tuyếnn# »1=
¡
A1;B1;C1
¢
(α2) :A2x+B2y+C2z+D2=0
có véc-tơ pháp tuyếnn# »2=
¡
A2;B2;C2
¢
(α1)và(α2)song song trùng khin# »1 vàn# »2 phương hay
# »
n1=kn# »2⇒
¡
A1;B1;C1
¢
=¡
kA2;kB2;kC2
¢
Nhânkvào hai vế phương trình (α2)ta kA2x+kB2y+kC2z+kD2=0
⇔A1x+B1y+C1z+kD2=0
α1 # » n1 # » n2 α2
(α1)∥(α2)⇔
½n# »
1=kn# »2
D16=kD2
⇔ A1
A2 =B1
B2 =C1
C2 6=D1
D2 , qui ước
A2=0⇔A1=0
B2=0⇔B1=0
C2=0⇔C1=0
(134)1 Hai mặt phẳng song song
Trong khơng gianOxyzcho hai mặt phẳng (α1) :A1x+B1y+C1z+D1=0
có véc-tơ pháp tuyếnn# »1=
¡
A1;B1;C1
¢
(α2) :A2x+B2y+C2z+D2=0
có véc-tơ pháp tuyếnn# »2=
¡
A2;B2;C2
¢
(α1)và(α2)song song trùng khin# »1 vàn# »2 phương hay
# »
n1=kn# »2⇒
¡
A1;B1;C1
¢
=¡
kA2;kB2;kC2
¢
Nhânkvào hai vế phương trình (α2)ta kA2x+kB2y+kC2z+kD2=0
⇔A1x+B1y+C1z+kD2=0
α1 # » n1 # » n2 α2
(α1)∥(α2)⇔
½n# »
1=kn# »2
D16=kD2
⇔ A1
A2 =B1
B2 =C1
C2 6=D1
D2
, qui ước
A2=0⇔A1=0
B2=0⇔B1=0
(135)2 Hai mặt trùng nhau
(α1)≡ (α2)
⇔
½n# »
1=kn# »2
D1=kD2
⇔A1
A2 =B1
B2 =C1
C2 =D1
D2
,
qui ước
A2=0⇔A1=0
B2=0⇔B1=0
C2=0⇔C1=0
D2=0⇔D1=0
α1 # »
n1 # »
n2
# » n1
# » n2
α1
(136)2 Hai mặt trùng nhau
(α1)≡ (α2)⇔
½n# »
1=kn# »2
D1=kD2
⇔A1
A2 =B1
B2 =C1
C2 =D1
D2
,
qui ước
A2=0⇔A1=0
B2=0⇔B1=0
C2=0⇔C1=0
D2=0⇔D1=0
α1 # »
n1 # »
n2
# » n1
# » n2
α1
(137)2 Hai mặt trùng nhau
(α1)≡ (α2)⇔
½n# »
1=kn# »2
D1=kD2 ⇔A1
A2 =B1
B2 =C1
C2 =D1
D2
,
qui ước
A2=0⇔A1=0
B2=0⇔B1=0
C2=0⇔C1=0
D2=0⇔D1=0
α1 # »
n1 # »
n2
# » n1
# » n2
α1
(138)2 Hai mặt trùng nhau
(α1)≡ (α2)⇔
½n# »
1=kn# »2
D1=kD2 ⇔A1
A2 =B1
B2 =C1
C2 =D1
D2
,
qui ước
A2=0⇔A1=0
B2=0⇔B1=0
C2=0⇔C1=0
D2=0⇔D1=0
α1 # »
n1 # »
n2
# » n1
# » n2
α1
(139)Ví dụ 12.
(Đề thi THPT Quốc Gia 2018) Trong không gianOxyz, mặt phẳng qua điểm A(2;−1;2)và song song với mặt phẳng (P) :2x−y+3z+2=0 có phương trình
A.2x−y+3z−9=0 B.2x−y+3z+11=0
C.2x−y−3z+11=0 D.2x−y+3z−11=0
Lời giải
Gọi (Q) mặt phẳng qua A song song với mặt phẳng (P) Vì#» (P)∥(Q) nên vtpt #»nP (P) vtpt (Q) Ta có
nP=(2;−1;3) Mặt phẳng(Q)có phương trình:
2(x−2)−1(y+1)+3(z−2)=0⇔2x−y+3z−11=0
Vậy phương trình tổng quát của(Q)là 2x−y+3z−11=0
P A
#» nP
Q
(140)Ví dụ 12.
(Đề thi THPT Quốc Gia 2018) Trong không gianOxyz, mặt phẳng qua điểm A(2;−1;2)và song song với mặt phẳng (P) :2x−y+3z+2=0 có phương trình
A.2x−y+3z−9=0 B.2x−y+3z+11=0
C.2x−y−3z+11=0 D.2x−y+3z−11=0
Lời giải
Gọi (Q) mặt phẳng qua A song song với mặt phẳng (P)
Vì#» (P)∥(Q) nên vtpt #»nP (P) vtpt (Q) Ta có
nP=(2;−1;3) Mặt phẳng(Q)có phương trình:
2(x−2)−1(y+1)+3(z−2)=0⇔2x−y+3z−11=0
Vậy phương trình tổng quát của(Q)là 2x−y+3z−11=0
P A
#» nP
Q
(141)Ví dụ 12.
(Đề thi THPT Quốc Gia 2018) Trong không gianOxyz, mặt phẳng qua điểm A(2;−1;2)và song song với mặt phẳng (P) :2x−y+3z+2=0 có phương trình
A.2x−y+3z−9=0 B.2x−y+3z+11=0
C.2x−y−3z+11=0 D.2x−y+3z−11=0
Lời giải
Gọi (Q) mặt phẳng qua A song song với mặt phẳng (P) Vì (P)∥(Q) nên vtpt #»nP (P) vtpt (Q)
Ta có #»
nP=(2;−1;3) Mặt phẳng(Q)có phương trình:
2(x−2)−1(y+1)+3(z−2)=0⇔2x−y+3z−11=0
Vậy phương trình tổng quát của(Q)là 2x−y+3z−11=0
P A
#» nP
Q
(142)Ví dụ 12.
(Đề thi THPT Quốc Gia 2018) Trong không gianOxyz, mặt phẳng qua điểm A(2;−1;2)và song song với mặt phẳng (P) :2x−y+3z+2=0 có phương trình
A.2x−y+3z−9=0 B.2x−y+3z+11=0
C.2x−y−3z+11=0 D.2x−y+3z−11=0
Lời giải
Gọi (Q) mặt phẳng qua A song song với mặt phẳng (P) Vì#» (P)∥(Q) nên vtpt #»nP (P) vtpt (Q) Ta có
nP=(2;−1;3)
Mặt phẳng(Q)có phương trình: 2(x−2)−1(y+1)+3(z−2)=0⇔2x−y+3z−11=0
Vậy phương trình tổng quát của(Q)là 2x−y+3z−11=0
P A
#» nP
Q
(143)Ví dụ 12.
(Đề thi THPT Quốc Gia 2018) Trong không gianOxyz, mặt phẳng qua điểm A(2;−1;2)và song song với mặt phẳng (P) :2x−y+3z+2=0 có phương trình
A.2x−y+3z−9=0 B.2x−y+3z+11=0
C.2x−y−3z+11=0 D.2x−y+3z−11=0
Lời giải
Gọi (Q) mặt phẳng qua A song song với mặt phẳng (P) Vì#» (P)∥(Q) nên vtpt #»nP (P) vtpt (Q) Ta có
nP=(2;−1;3) Mặt phẳng(Q)có phương trình:
2(x−2)−1(y+1)+3(z−2)=0
⇔2x−y+3z−11=0
Vậy phương trình tổng quát của(Q)là 2x−y+3z−11=0
P A
#» nP
Q
(144)Ví dụ 12.
(Đề thi THPT Quốc Gia 2018) Trong không gianOxyz, mặt phẳng qua điểm A(2;−1;2)và song song với mặt phẳng (P) :2x−y+3z+2=0 có phương trình
A.2x−y+3z−9=0 B.2x−y+3z+11=0
C.2x−y−3z+11=0 D.2x−y+3z−11=0
Lời giải
Gọi (Q) mặt phẳng qua A song song với mặt phẳng (P) Vì#» (P)∥(Q) nên vtpt #»nP (P) vtpt (Q) Ta có
nP=(2;−1;3) Mặt phẳng(Q)có phương trình:
2(x−2)−1(y+1)+3(z−2)=0⇔2x−y+3z−11=0
Vậy phương trình tổng quát của(Q)là 2x−y+3z−11=0
P A
#» nP
Q
(145)Ví dụ 12.
(Đề thi THPT Quốc Gia 2018) Trong không gianOxyz, mặt phẳng qua điểm A(2;−1;2)và song song với mặt phẳng (P) :2x−y+3z+2=0 có phương trình
A.2x−y+3z−9=0 B.2x−y+3z+11=0
C.2x−y−3z+11=0 D.2x−y+3z−11=0
Lời giải
Gọi (Q) mặt phẳng qua A song song với mặt phẳng (P) Vì#» (P)∥(Q) nên vtpt #»nP (P) vtpt (Q) Ta có
nP=(2;−1;3) Mặt phẳng(Q)có phương trình:
2(x−2)−1(y+1)+3(z−2)=0⇔2x−y+3z−11=0
Vậy phương trình tổng quát của(Q)là 2x−y+3z−11=0
P A
#» nP
Q
(146)Ví dụ 12.
(Đề thi THPT Quốc Gia 2018) Trong không gianOxyz, mặt phẳng qua điểm A(2;−1;2)và song song với mặt phẳng (P) :2x−y+3z+2=0 có phương trình
A.2x−y+3z−9=0 B.2x−y+3z+11=0
C.2x−y−3z+11=0 D.2x−y+3z−11=0
Lời giải
Gọi (Q) mặt phẳng qua A song song với mặt phẳng (P) Vì#» (P)∥(Q) nên vtpt #»nP (P) vtpt (Q) Ta có
nP=(2;−1;3) Mặt phẳng(Q)có phương trình:
2(x−2)−1(y+1)+3(z−2)=0⇔2x−y+3z−11=0
Vậy phương trình tổng quát của(Q)là 2x−y+3z−11=0
P A
#» nP
(147)3 Hai mặt phẳng cắt nhau
(α1)cắt(α2)
⇔n# »16=kn# »2
# » n1 # » n2
α2 α1
(148)3 Hai mặt phẳng cắt nhau
(α1)cắt(α2)⇔n# »16=kn# »2
# » n1 # » n2
α2 α1
(149)Ví dụ 13.
Có mệnh đề mệnh đề đây?
Mệnh đềP:“(α1) :x+2y−z+4=0 song song với(α2) :2x+4y−2z+8=0” Mệnh đềQ:“¡
β1¢
:3x−y+z−2=0 trùng với¡
β2¢
: −9x+3y−3z−6=0” Mệnh đềR:“¡
γ1¢
:2x+y−1=0 cắt¡
γ2¢
:4x−y+z−3=0”
Lời giải Xét mệnh đềP:
2= 4=
−1
−2=
8 suy ra(α1)≡ (α2), nên mệnh đềPsai Xét mệnh đềQ:
−9=
−1 =
1
−36=
−2
−6 suy
¡
β1¢
∥ ¡β2¢, nên mệnh đềQsai
Xét mệnh đềR: 46=
1
−1 suy
¡
γ1¢
cắt¡
γ2¢
(150)Ví dụ 13.
Có mệnh đề mệnh đề đây?
Mệnh đềP:“(α1) :x+2y−z+4=0 song song với(α2) :2x+4y−2z+8=0” Mệnh đềQ:“¡
β1¢
:3x−y+z−2=0 trùng với¡
β2¢
: −9x+3y−3z−6=0” Mệnh đềR:“¡
γ1¢
:2x+y−1=0 cắt¡
γ2¢
:4x−y+z−3=0”
Lời giải
Xét mệnh đềP: 2=
2 4=
−1
−2=
8 suy ra(α1)≡ (α2), nên mệnh đềPsai Xét mệnh đềQ:
−9=
−1 =
1
−36=
−2
−6 suy
¡
β1¢
∥ ¡β2¢, nên mệnh đềQsai
Xét mệnh đềR: 46=
1
−1 suy
¡
γ1¢
cắt¡
γ2¢
(151)Ví dụ 13.
Có mệnh đề mệnh đề đây?
Mệnh đềP:“(α1) :x+2y−z+4=0 song song với(α2) :2x+4y−2z+8=0” Mệnh đềQ:“¡
β1¢
:3x−y+z−2=0 trùng với¡
β2¢
: −9x+3y−3z−6=0” Mệnh đềR:“¡
γ1¢
:2x+y−1=0 cắt¡
γ2¢
:4x−y+z−3=0”
Lời giải Xét mệnh đềP:
2=
=−1 −2=
4
8 suy ra(α1)≡ (α2), nên mệnh đềPsai Xét mệnh đềQ:
−9=
−1 =
1
−36=
−2
−6 suy
¡
β1¢
∥ ¡β2¢, nên mệnh đềQsai
Xét mệnh đềR: 46=
1
−1 suy
¡
γ1¢
cắt¡
γ2¢
(152)Ví dụ 13.
Có mệnh đề mệnh đề đây?
Mệnh đềP:“(α1) :x+2y−z+4=0 song song với(α2) :2x+4y−2z+8=0” Mệnh đềQ:“¡
β1¢
:3x−y+z−2=0 trùng với¡
β2¢
: −9x+3y−3z−6=0” Mệnh đềR:“¡
γ1¢
:2x+y−1=0 cắt¡
γ2¢
:4x−y+z−3=0”
Lời giải Xét mệnh đềP:
2= 4=
−1
−2
=4
8 suy ra(α1)≡ (α2), nên mệnh đềPsai Xét mệnh đềQ:
−9=
−1 =
1
−36=
−2
−6 suy
¡
β1¢
∥ ¡β2¢, nên mệnh đềQsai
Xét mệnh đềR: 46=
1
−1 suy
¡
γ1¢
cắt¡
γ2¢
(153)Ví dụ 13.
Có mệnh đề mệnh đề đây?
Mệnh đềP:“(α1) :x+2y−z+4=0 song song với(α2) :2x+4y−2z+8=0” Mệnh đềQ:“¡
β1¢
:3x−y+z−2=0 trùng với¡
β2¢
: −9x+3y−3z−6=0” Mệnh đềR:“¡
γ1¢
:2x+y−1=0 cắt¡
γ2¢
:4x−y+z−3=0”
Lời giải Xét mệnh đềP:
2= 4=
−1
−2=
suy ra(α1)≡ (α2), nên mệnh đềPsai Xét mệnh đềQ:
−9=
−1 =
1
−36=
−2
−6 suy
¡
β1¢
∥ ¡β2¢, nên mệnh đềQsai
Xét mệnh đềR: 46=
1
−1 suy
¡
γ1¢
cắt¡
γ2¢
(154)Ví dụ 13.
Có mệnh đề mệnh đề đây?
Mệnh đềP:“(α1) :x+2y−z+4=0 song song với(α2) :2x+4y−2z+8=0” Mệnh đềQ:“¡
β1¢
:3x−y+z−2=0 trùng với¡
β2¢
: −9x+3y−3z−6=0” Mệnh đềR:“¡
γ1¢
:2x+y−1=0 cắt¡
γ2¢
:4x−y+z−3=0”
Lời giải Xét mệnh đềP:
2= 4=
−1
−2=
8 suy ra(α1)≡ (α2), nên mệnh đềPsai
Xét mệnh đềQ:
−9=
−1 =
1
−36=
−2
−6 suy
¡
β1¢
∥ ¡β2¢, nên mệnh đềQsai
Xét mệnh đềR: 46=
1
−1 suy
¡
γ1¢
cắt¡
γ2¢
(155)Ví dụ 13.
Có mệnh đề mệnh đề đây?
Mệnh đềP:“(α1) :x+2y−z+4=0 song song với(α2) :2x+4y−2z+8=0” Mệnh đềQ:“¡
β1¢
:3x−y+z−2=0 trùng với¡
β2¢
: −9x+3y−3z−6=0” Mệnh đềR:“¡
γ1¢
:2x+y−1=0 cắt¡
γ2¢
:4x−y+z−3=0”
Lời giải Xét mệnh đềP:
2= 4=
−1
−2=
8 suy ra(α1)≡ (α2), nên mệnh đềPsai Xét mệnh đềQ:
−9=
−1
=
−36=
−2
−6 suy
¡
β1¢
∥ ¡β2¢, nên mệnh đềQsai
Xét mệnh đềR: 46=
1
−1 suy
¡
γ1¢
cắt¡
γ2¢
(156)Ví dụ 13.
Có mệnh đề mệnh đề đây?
Mệnh đềP:“(α1) :x+2y−z+4=0 song song với(α2) :2x+4y−2z+8=0” Mệnh đềQ:“¡
β1¢
:3x−y+z−2=0 trùng với¡
β2¢
: −9x+3y−3z−6=0” Mệnh đềR:“¡
γ1¢
:2x+y−1=0 cắt¡
γ2¢
:4x−y+z−3=0”
Lời giải Xét mệnh đềP:
2= 4=
−1
−2=
8 suy ra(α1)≡ (α2), nên mệnh đềPsai Xét mệnh đềQ:
−9=
−1 =
1
−3
6=−2
−6 suy
¡
β1¢
∥ ¡β2¢, nên mệnh đềQsai
Xét mệnh đềR: 46=
1
−1 suy
¡
γ1¢
cắt¡
γ2¢
(157)Ví dụ 13.
Có mệnh đề mệnh đề đây?
Mệnh đềP:“(α1) :x+2y−z+4=0 song song với(α2) :2x+4y−2z+8=0” Mệnh đềQ:“¡
β1¢
:3x−y+z−2=0 trùng với¡
β2¢
: −9x+3y−3z−6=0” Mệnh đềR:“¡
γ1¢
:2x+y−1=0 cắt¡
γ2¢
:4x−y+z−3=0”
Lời giải Xét mệnh đềP:
2= 4=
−1
−2=
8 suy ra(α1)≡ (α2), nên mệnh đềPsai Xét mệnh đềQ:
−9=
−1 =
1
−36=
−2
−6
suy ra¡
β1¢
∥ ¡β2¢, nên mệnh đềQsai
Xét mệnh đềR: 46=
1
−1 suy
¡
γ1¢
cắt¡
γ2¢
(158)Ví dụ 13.
Có mệnh đề mệnh đề đây?
Mệnh đềP:“(α1) :x+2y−z+4=0 song song với(α2) :2x+4y−2z+8=0” Mệnh đềQ:“¡
β1¢
:3x−y+z−2=0 trùng với¡
β2¢
: −9x+3y−3z−6=0” Mệnh đềR:“¡
γ1¢
:2x+y−1=0 cắt¡
γ2¢
:4x−y+z−3=0”
Lời giải Xét mệnh đềP:
2= 4=
−1
−2=
8 suy ra(α1)≡ (α2), nên mệnh đềPsai Xét mệnh đềQ:
−9=
−1 =
1
−36=
−2
−6 suy
¡
β1¢
∥ ¡β2¢, nên mệnh đềQsai
Xét mệnh đềR: 46=
1
−1 suy
¡
γ1¢
cắt¡
γ2¢
(159)Ví dụ 13.
Có mệnh đề mệnh đề đây?
Mệnh đềP:“(α1) :x+2y−z+4=0 song song với(α2) :2x+4y−2z+8=0” Mệnh đềQ:“¡
β1¢
:3x−y+z−2=0 trùng với¡
β2¢
: −9x+3y−3z−6=0” Mệnh đềR:“¡
γ1¢
:2x+y−1=0 cắt¡
γ2¢
:4x−y+z−3=0”
Lời giải Xét mệnh đềP:
2= 4=
−1
−2=
8 suy ra(α1)≡ (α2), nên mệnh đềPsai Xét mệnh đềQ:
−9=
−1 =
1
−36=
−2
−6 suy
¡
β1¢
∥ ¡β2¢, nên mệnh đềQsai
Xét mệnh đềR:
6=
−1 suy
¡
γ1¢
cắt¡
γ2¢
(160)Ví dụ 13.
Có mệnh đề mệnh đề đây?
Mệnh đềP:“(α1) :x+2y−z+4=0 song song với(α2) :2x+4y−2z+8=0” Mệnh đềQ:“¡
β1¢
:3x−y+z−2=0 trùng với¡
β2¢
: −9x+3y−3z−6=0” Mệnh đềR:“¡
γ1¢
:2x+y−1=0 cắt¡
γ2¢
:4x−y+z−3=0”
Lời giải Xét mệnh đềP:
2= 4=
−1
−2=
8 suy ra(α1)≡ (α2), nên mệnh đềPsai Xét mệnh đềQ:
−9=
−1 =
1
−36=
−2
−6 suy
¡
β1¢
∥ ¡β2¢, nên mệnh đềQsai
Xét mệnh đềR: 46=
1
−1
suy ra¡
γ1¢
cắt¡
γ2¢
(161)Ví dụ 13.
Có mệnh đề mệnh đề đây?
Mệnh đềP:“(α1) :x+2y−z+4=0 song song với(α2) :2x+4y−2z+8=0” Mệnh đềQ:“¡
β1¢
:3x−y+z−2=0 trùng với¡
β2¢
: −9x+3y−3z−6=0” Mệnh đềR:“¡
γ1¢
:2x+y−1=0 cắt¡
γ2¢
:4x−y+z−3=0”
Lời giải Xét mệnh đềP:
2= 4=
−1
−2=
8 suy ra(α1)≡ (α2), nên mệnh đềPsai Xét mệnh đềQ:
−9=
−1 =
1
−36=
−2
−6 suy
¡
β1¢
∥ ¡β2¢, nên mệnh đềQsai
Xét mệnh đềR: 46=
1
−1 suy
¡
γ1¢
cắt¡
γ2¢
, nên mệnh đềR
(162)Ví dụ 13.
Có mệnh đề mệnh đề đây?
Mệnh đềP:“(α1) :x+2y−z+4=0 song song với(α2) :2x+4y−2z+8=0” Mệnh đềQ:“¡
β1¢
:3x−y+z−2=0 trùng với¡
β2¢
: −9x+3y−3z−6=0” Mệnh đềR:“¡
γ1¢
:2x+y−1=0 cắt¡
γ2¢
:4x−y+z−3=0”
Lời giải Xét mệnh đềP:
2= 4=
−1
−2=
8 suy ra(α1)≡ (α2), nên mệnh đềPsai Xét mệnh đềQ:
−9=
−1 =
1
−36=
−2
−6 suy
¡
β1¢
∥ ¡β2¢, nên mệnh đềQsai
Xét mệnh đềR: 46=
1
−1 suy
¡
γ1¢
cắt¡
γ2¢
(163)Hai mặt phẳng vng góc (α1)⊥(α2)
⇔n# »1⊥n# »2⇔n# »1·n# »2=0
# » n1
# »
(164)Hai mặt phẳng vng góc (α1)⊥(α2)⇔n# »1⊥n# »2
⇔n# »1·n# »2=0
# » n1
# »
(165)Hai mặt phẳng vng góc (α1)⊥(α2)⇔n# »1⊥n# »2⇔n# »1·n# »2=0
# » n1
# »
(166)Ví dụ 14.
Trong khơng gianOxyz, cho mặt phẳng (P) :x+(m+1)y−2z+m=0 (Q) : 2x−y+3=0, vớimlà tham số thực Tìmmđể(P)và (Q)vng góc với
A.m= −5 B.m=1 C.m=3 D.m= −1
Lời giải Mặt phẳng(P)có vtpt #»n1=(1;m+1;−2)
Mặt phẳng(Q)có vtpt #»n2=(2;−1;0)
(P)⊥(Q)⇔#»n1⊥#»n2⇔ #»n1·#»n2=0⇔1·2+(m+1)·(−1)+(−2)·0=0⇔1−m=0⇔m=1
(167)Ví dụ 14.
Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng (P) :x+(m+1)y−2z+m=0 (Q) : 2x−y+3=0, vớimlà tham số thực Tìmmđể(P)và (Q)vng góc với
A.m= −5 B.m=1 C.m=3 D.m= −1
Lời giải
Mặt phẳng(P)có vtpt #»n1=(1;m+1;−2)
Mặt phẳng(Q)có vtpt #»n2=(2;−1;0)
(P)⊥(Q)⇔#»n1⊥#»n2⇔ #»n1·#»n2=0⇔1·2+(m+1)·(−1)+(−2)·0=0⇔1−m=0⇔m=1
(168)Ví dụ 14.
Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng (P) :x+(m+1)y−2z+m=0 (Q) : 2x−y+3=0, vớimlà tham số thực Tìmmđể(P)và (Q)vng góc với
A.m= −5 B.m=1 C.m=3 D.m= −1
Lời giải Mặt phẳng(P)có vtpt #»n1=(1;m+1;−2)
Mặt phẳng(Q)có vtpt #»n2=(2;−1;0)
(P)⊥(Q)⇔#»n1⊥#»n2⇔ #»n1·#»n2=0⇔1·2+(m+1)·(−1)+(−2)·0=0⇔1−m=0⇔m=1
(169)Ví dụ 14.
Trong khơng gianOxyz, cho mặt phẳng (P) :x+(m+1)y−2z+m=0 (Q) : 2x−y+3=0, vớimlà tham số thực Tìmmđể(P)và (Q)vng góc với
A.m= −5 B.m=1 C.m=3 D.m= −1
Lời giải Mặt phẳng(P)có vtpt #»n1=(1;m+1;−2)
Mặt phẳng(Q)có vtpt #»n2=(2;−1;0)
(P)⊥(Q)⇔#»n1⊥#»n2⇔ #»n1·#»n2=0⇔1·2+(m+1)·(−1)+(−2)·0=0⇔1−m=0⇔m=1
(170)Ví dụ 14.
Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng (P) :x+(m+1)y−2z+m=0 (Q) : 2x−y+3=0, vớimlà tham số thực Tìmmđể(P)và (Q)vng góc với
A.m= −5 B.m=1 C.m=3 D.m= −1
Lời giải Mặt phẳng(P)có vtpt #»n1=(1;m+1;−2)
Mặt phẳng(Q)có vtpt #»n2=(2;−1;0)
(P)⊥(Q)⇔#»n1⊥#»n2
⇔ #»n1·#»n2=0⇔1·2+(m+1)·(−1)+(−2)·0=0⇔1−m=0⇔m=1
(171)Ví dụ 14.
Trong khơng gianOxyz, cho mặt phẳng (P) :x+(m+1)y−2z+m=0 (Q) : 2x−y+3=0, vớimlà tham số thực Tìmmđể(P)và (Q)vng góc với
A.m= −5 B.m=1 C.m=3 D.m= −1
Lời giải Mặt phẳng(P)có vtpt #»n1=(1;m+1;−2)
Mặt phẳng(Q)có vtpt #»n2=(2;−1;0)
(P)⊥(Q)⇔#»n1⊥#»n2⇔ #»n1·#»n2=0
(172)Ví dụ 14.
Trong khơng gianOxyz, cho mặt phẳng (P) :x+(m+1)y−2z+m=0 (Q) : 2x−y+3=0, vớimlà tham số thực Tìmmđể(P)và (Q)vng góc với
A.m= −5 B.m=1 C.m=3 D.m= −1
Lời giải Mặt phẳng(P)có vtpt #»n1=(1;m+1;−2)
Mặt phẳng(Q)có vtpt #»n2=(2;−1;0)
(P)⊥(Q)⇔#»n1⊥#»n2⇔ #»n1·#»n2=0⇔1·2+(m+1)·(−1)+(−2)·0=0
⇔1−m=0⇔m=1
(173)Ví dụ 14.
Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng (P) :x+(m+1)y−2z+m=0 (Q) : 2x−y+3=0, vớimlà tham số thực Tìmmđể(P)và (Q)vng góc với
A.m= −5 B.m=1 C.m=3 D.m= −1
Lời giải Mặt phẳng(P)có vtpt #»n1=(1;m+1;−2)
Mặt phẳng(Q)có vtpt #»n2=(2;−1;0)
(P)⊥(Q)⇔#»n1⊥#»n2⇔ #»n1·#»n2=0⇔1·2+(m+1)·(−1)+(−2)·0=0⇔1−m=0
⇔m=1
(174)Ví dụ 14.
Trong khơng gianOxyz, cho mặt phẳng (P) :x+(m+1)y−2z+m=0 (Q) : 2x−y+3=0, vớimlà tham số thực Tìmmđể(P)và (Q)vng góc với
A.m= −5 B.m=1 C.m=3 D.m= −1
Lời giải Mặt phẳng(P)có vtpt #»n1=(1;m+1;−2)
Mặt phẳng(Q)có vtpt #»n2=(2;−1;0)
(P)⊥(Q)⇔#»n1⊥#»n2⇔ #»n1·#»n2=0⇔1·2+(m+1)·(−1)+(−2)·0=0⇔1−m=0⇔m=1
(175)(176)Định lí
Trong khơng gianOxyz, cho(α) :Ax+By+Cz+D=0 điểmM0
¡
x0;y0;z0
¢
Khoảng cách từM0 đến(α), kí hiệu d(M0,α)được tính theo cơng thức
d(M0,α)=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯
p
A2+B2+C2 Chứng minh
GọiM1
¡
x1;y1;z1
¢
là hình chiếu củaM0 lên(α) Ta thấy # »
M1M0=
¡
x0−x1;y0−y1;z0−z1
¢
, #»n=(A;B;C)cùng phương nên
¯ ¯ ¯
# » M1M0
¯ ¯ ¯·
¯ ¯#»n
¯ ¯= ¯ ¯ ¯ # » M1M0.#»n
¯ ¯ ¯=
¯
¯A(x0−x1)+B ¡
y0−y1
¢
+C(z0−z1)
¯ ¯
=¯¯Ax0+By0+Cz0+ ¡
−Ax1−By1−Cz1
¢¯ ¯
VìM1∈(α)nênAx1+By1+Cz1+D=0⇒D= −Ax1−By1−Cz1
Từ ta được¯¯ ¯
# » M1M0
¯ ¯ ¯·
¯ ¯#»n
¯ ¯=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ⇒ ¯ ¯ ¯ # » M1M0
¯ ¯ ¯=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ¯
¯#»n ¯ ¯
⇒d(M0, (α))=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯
p
A2+B2+C2 α
#» n
M0
(177)Định lí
Trong khơng gianOxyz, cho(α) :Ax+By+Cz+D=0 điểmM0
¡
x0;y0;z0
¢
Khoảng cách từM0 đến(α), kí hiệu d(M0,α)được tính theo công thức
d(M0,α)=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯
p
A2+B2+C2
Chứng minh
GọiM1
¡
x1;y1;z1
¢
là hình chiếu củaM0 lên(α) Ta thấy # »
M1M0=
¡
x0−x1;y0−y1;z0−z1
¢
, #»n=(A;B;C)cùng phương nên
¯ ¯ ¯
# » M1M0
¯ ¯ ¯·
¯ ¯#»n
¯ ¯= ¯ ¯ ¯ # » M1M0.#»n
¯ ¯ ¯=
¯
¯A(x0−x1)+B ¡
y0−y1
¢
+C(z0−z1)
¯ ¯
=¯¯Ax0+By0+Cz0+ ¡
−Ax1−By1−Cz1
¢¯ ¯
VìM1∈(α)nênAx1+By1+Cz1+D=0⇒D= −Ax1−By1−Cz1
Từ ta được¯¯ ¯
# » M1M0
¯ ¯ ¯·
¯ ¯#»n
¯ ¯=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ⇒ ¯ ¯ ¯ # » M1M0
¯ ¯ ¯=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ¯
¯#»n ¯ ¯
⇒d(M0, (α))=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯
p
A2+B2+C2 α
#» n
M0
(178)Định lí
Trong khơng gianOxyz, cho(α) :Ax+By+Cz+D=0 điểmM0
¡
x0;y0;z0
¢
Khoảng cách từM0 đến(α), kí hiệu d(M0,α)được tính theo cơng thức
d(M0,α)=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯
p
A2+B2+C2 Chứng minh
GọiM1
¡
x1;y1;z1
¢
là hình chiếu củaM0 lên(α) Ta thấy # »
M1M0=
¡
x0−x1;y0−y1;z0−z1
¢
, #»n=(A;B;C)cùng phương nên
¯ ¯ ¯
# » M1M0
¯ ¯ ¯·
¯ ¯#»n
¯ ¯= ¯ ¯ ¯ # » M1M0.#»n
¯ ¯ ¯=
¯
¯A(x0−x1)+B ¡
y0−y1
¢
+C(z0−z1)
¯ ¯
=¯¯Ax0+By0+Cz0+ ¡
−Ax1−By1−Cz1
¢¯ ¯
VìM1∈(α)nênAx1+By1+Cz1+D=0⇒D= −Ax1−By1−Cz1
Từ ta được¯¯ ¯
# » M1M0
¯ ¯ ¯·
¯ ¯#»n
¯ ¯=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ⇒ ¯ ¯ ¯ # » M1M0
¯ ¯ ¯=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ¯
¯#»n ¯ ¯
⇒d(M0, (α))=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯
p
A2+B2+C2 α
#» n
M0
(179)Định lí
Trong khơng gianOxyz, cho(α) :Ax+By+Cz+D=0 điểmM0
¡
x0;y0;z0
¢
Khoảng cách từM0 đến(α), kí hiệu d(M0,α)được tính theo cơng thức
d(M0,α)=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯
p
A2+B2+C2 Chứng minh
GọiM1
¡
x1;y1;z1
¢
là hình chiếu củaM0 lên(α)
Ta thấy # »
M1M0=
¡
x0−x1;y0−y1;z0−z1
¢
, #»n=(A;B;C)cùng phương nên
¯ ¯ ¯
# » M1M0
¯ ¯ ¯·
¯ ¯#»n
¯ ¯= ¯ ¯ ¯ # » M1M0.#»n
¯ ¯ ¯=
¯
¯A(x0−x1)+B ¡
y0−y1
¢
+C(z0−z1)
¯ ¯
=¯¯Ax0+By0+Cz0+ ¡
−Ax1−By1−Cz1
¢¯ ¯
VìM1∈(α)nênAx1+By1+Cz1+D=0⇒D= −Ax1−By1−Cz1
Từ ta được¯¯ ¯
# » M1M0
¯ ¯ ¯·
¯ ¯#»n
¯ ¯=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ⇒ ¯ ¯ ¯ # » M1M0
¯ ¯ ¯=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ¯
¯#»n ¯ ¯
⇒d(M0, (α))=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯
p
A2+B2+C2
α #» n
M0
(180)Định lí
Trong khơng gianOxyz, cho(α) :Ax+By+Cz+D=0 điểmM0
¡
x0;y0;z0
¢
Khoảng cách từM0 đến(α), kí hiệu d(M0,α)được tính theo cơng thức
d(M0,α)=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯
p
A2+B2+C2 Chứng minh
GọiM1
¡
x1;y1;z1
¢
là hình chiếu củaM0 lên(α) Ta thấy # »
M1M0=
¡
x0−x1;y0−y1;z0−z1
¢
, #»n=(A;B;C)cùng phương
nên
¯ ¯ ¯
# » M1M0
¯ ¯ ¯·
¯ ¯#»n
¯ ¯= ¯ ¯ ¯ # » M1M0.#»n
¯ ¯ ¯=
¯
¯A(x0−x1)+B ¡
y0−y1
¢
+C(z0−z1)
¯ ¯
=¯¯Ax0+By0+Cz0+ ¡
−Ax1−By1−Cz1
¢¯ ¯
VìM1∈(α)nênAx1+By1+Cz1+D=0⇒D= −Ax1−By1−Cz1
Từ ta được¯¯ ¯
# » M1M0
¯ ¯ ¯·
¯ ¯#»n
¯ ¯=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ⇒ ¯ ¯ ¯ # » M1M0
¯ ¯ ¯=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ¯
¯#»n ¯ ¯
⇒d(M0, (α))=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯
p
A2+B2+C2
α #» n
M0
(181)Định lí
Trong không gianOxyz, cho(α) :Ax+By+Cz+D=0 điểmM0
¡
x0;y0;z0
¢
Khoảng cách từM0 đến(α), kí hiệu d(M0,α)được tính theo cơng thức
d(M0,α)=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯
p
A2+B2+C2 Chứng minh
GọiM1
¡
x1;y1;z1
¢
là hình chiếu củaM0 lên(α) Ta thấy # »
M1M0=
¡
x0−x1;y0−y1;z0−z1
¢
, #»n=(A;B;C)cùng phương nên
¯ ¯ ¯
# » M1M0
¯ ¯ ¯·
¯ ¯#»n
¯ ¯= ¯ ¯ ¯ # » M1M0.#»n
¯ ¯ ¯
=¯¯A(x0−x1)+B ¡
y0−y1
¢
+C(z0−z1)
¯ ¯
=¯¯Ax0+By0+Cz0+ ¡
−Ax1−By1−Cz1
¢¯ ¯
VìM1∈(α)nênAx1+By1+Cz1+D=0⇒D= −Ax1−By1−Cz1
Từ ta được¯¯ ¯
# » M1M0
¯ ¯ ¯·
¯ ¯#»n
¯ ¯=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ⇒ ¯ ¯ ¯ # » M1M0
¯ ¯ ¯=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ¯
¯#»n ¯ ¯
⇒d(M0, (α))=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯
p
A2+B2+C2
α #» n
M0
(182)Định lí
Trong khơng gianOxyz, cho(α) :Ax+By+Cz+D=0 điểmM0
¡
x0;y0;z0
¢
Khoảng cách từM0 đến(α), kí hiệu d(M0,α)được tính theo cơng thức
d(M0,α)=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯
p
A2+B2+C2 Chứng minh
GọiM1
¡
x1;y1;z1
¢
là hình chiếu củaM0 lên(α) Ta thấy # »
M1M0=
¡
x0−x1;y0−y1;z0−z1
¢
, #»n=(A;B;C)cùng phương nên
¯ ¯ ¯
# » M1M0
¯ ¯ ¯·
¯ ¯#»n
¯ ¯= ¯ ¯ ¯ # » M1M0.#»n
¯ ¯ ¯=
¯
¯A(x0−x1)+B ¡
y0−y1
¢
+C(z0−z1)
¯ ¯
=¯¯Ax0+By0+Cz0+ ¡
−Ax1−By1−Cz1
¢¯ ¯
VìM1∈(α)nênAx1+By1+Cz1+D=0⇒D= −Ax1−By1−Cz1
Từ ta được¯¯ ¯
# » M1M0
¯ ¯ ¯·
¯ ¯#»n
¯ ¯=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ⇒ ¯ ¯ ¯ # » M1M0
¯ ¯ ¯=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ¯
¯#»n ¯ ¯
⇒d(M0, (α))=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯
p
A2+B2+C2
α #» n
M0
(183)Định lí
Trong khơng gianOxyz, cho(α) :Ax+By+Cz+D=0 điểmM0
¡
x0;y0;z0
¢
Khoảng cách từM0 đến(α), kí hiệu d(M0,α)được tính theo cơng thức
d(M0,α)=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯
p
A2+B2+C2 Chứng minh
GọiM1
¡
x1;y1;z1
¢
là hình chiếu củaM0 lên(α) Ta thấy # »
M1M0=
¡
x0−x1;y0−y1;z0−z1
¢
, #»n=(A;B;C)cùng phương nên
¯ ¯ ¯
# » M1M0
¯ ¯ ¯·
¯ ¯#»n
¯ ¯= ¯ ¯ ¯ # » M1M0.#»n
¯ ¯ ¯=
¯
¯A(x0−x1)+B ¡
y0−y1
¢
+C(z0−z1)
¯ ¯
=¯¯Ax0+By0+Cz0+ ¡
−Ax1−By1−Cz1
¢¯ ¯
VìM1∈(α)nênAx1+By1+Cz1+D=0⇒D= −Ax1−By1−Cz1
Từ ta được¯¯ ¯
# » M1M0
¯ ¯ ¯·
¯ ¯#»n
¯ ¯=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ⇒ ¯ ¯ ¯ # » M1M0
¯ ¯ ¯=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ¯
¯#»n ¯ ¯
⇒d(M0, (α))=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯
p
A2+B2+C2
α #» n
M0
(184)Định lí
Trong khơng gianOxyz, cho(α) :Ax+By+Cz+D=0 điểmM0
¡
x0;y0;z0
¢
Khoảng cách từM0 đến(α), kí hiệu d(M0,α)được tính theo cơng thức
d(M0,α)=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯
p
A2+B2+C2 Chứng minh
GọiM1
¡
x1;y1;z1
¢
là hình chiếu củaM0 lên(α) Ta thấy # »
M1M0=
¡
x0−x1;y0−y1;z0−z1
¢
, #»n=(A;B;C)cùng phương nên
¯ ¯ ¯
# » M1M0
¯ ¯ ¯·
¯ ¯#»n
¯ ¯= ¯ ¯ ¯ # » M1M0.#»n
¯ ¯ ¯=
¯
¯A(x0−x1)+B ¡
y0−y1
¢
+C(z0−z1)
¯ ¯
=¯¯Ax0+By0+Cz0+ ¡
−Ax1−By1−Cz1
¢¯ ¯
VìM1∈(α)nênAx1+By1+Cz1+D=0
⇒D= −Ax1−By1−Cz1
Từ ta được¯¯ ¯
# » M1M0
¯ ¯ ¯·
¯ ¯#»n
¯ ¯=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ⇒ ¯ ¯ ¯ # » M1M0
¯ ¯ ¯=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ¯
¯#»n ¯ ¯
⇒d(M0, (α))=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯
p
A2+B2+C2
α #» n
M0
(185)Định lí
Trong không gianOxyz, cho(α) :Ax+By+Cz+D=0 điểmM0
¡
x0;y0;z0
¢
Khoảng cách từM0 đến(α), kí hiệu d(M0,α)được tính theo cơng thức
d(M0,α)=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯
p
A2+B2+C2 Chứng minh
GọiM1
¡
x1;y1;z1
¢
là hình chiếu củaM0 lên(α) Ta thấy # »
M1M0=
¡
x0−x1;y0−y1;z0−z1
¢
, #»n=(A;B;C)cùng phương nên
¯ ¯ ¯
# » M1M0
¯ ¯ ¯·
¯ ¯#»n
¯ ¯= ¯ ¯ ¯ # » M1M0.#»n
¯ ¯ ¯=
¯
¯A(x0−x1)+B ¡
y0−y1
¢
+C(z0−z1)
¯ ¯
=¯¯Ax0+By0+Cz0+ ¡
−Ax1−By1−Cz1
¢¯ ¯
VìM1∈(α)nênAx1+By1+Cz1+D=0⇒D= −Ax1−By1−Cz1
Từ ta được¯¯ ¯
# » M1M0
¯ ¯ ¯·
¯ ¯#»n
¯ ¯=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ⇒ ¯ ¯ ¯ # » M1M0
¯ ¯ ¯=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ¯
¯#»n ¯ ¯
⇒d(M0, (α))=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯
p
A2+B2+C2
α #» n
M0
(186)Định lí
Trong khơng gianOxyz, cho(α) :Ax+By+Cz+D=0 điểmM0
¡
x0;y0;z0
¢
Khoảng cách từM0 đến(α), kí hiệu d(M0,α)được tính theo cơng thức
d(M0,α)=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯
p
A2+B2+C2 Chứng minh
GọiM1
¡
x1;y1;z1
¢
là hình chiếu củaM0 lên(α) Ta thấy # »
M1M0=
¡
x0−x1;y0−y1;z0−z1
¢
, #»n=(A;B;C)cùng phương nên
¯ ¯ ¯
# » M1M0
¯ ¯ ¯·
¯ ¯#»n
¯ ¯= ¯ ¯ ¯ # » M1M0.#»n
¯ ¯ ¯=
¯
¯A(x0−x1)+B ¡
y0−y1
¢
+C(z0−z1)
¯ ¯
=¯¯Ax0+By0+Cz0+ ¡
−Ax1−By1−Cz1
¢¯ ¯
VìM1∈(α)nênAx1+By1+Cz1+D=0⇒D= −Ax1−By1−Cz1
Từ ta được¯¯ ¯
# » M1M0
¯ ¯ ¯·
¯ ¯#»n
¯ ¯=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ⇒ ¯ ¯ ¯ # » M1M0
¯ ¯ ¯=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ¯
¯#»n ¯ ¯
⇒d(M0, (α))=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯
p
A2+B2+C2
α #» n
M0
(187)Định lí
Trong không gianOxyz, cho(α) :Ax+By+Cz+D=0 điểmM0
¡
x0;y0;z0
¢
Khoảng cách từM0 đến(α), kí hiệu d(M0,α)được tính theo cơng thức
d(M0,α)=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯
p
A2+B2+C2 Chứng minh
GọiM1
¡
x1;y1;z1
¢
là hình chiếu củaM0 lên(α) Ta thấy # »
M1M0=
¡
x0−x1;y0−y1;z0−z1
¢
, #»n=(A;B;C)cùng phương nên
¯ ¯ ¯
# » M1M0
¯ ¯ ¯·
¯ ¯#»n
¯ ¯= ¯ ¯ ¯ # » M1M0.#»n
¯ ¯ ¯=
¯
¯A(x0−x1)+B ¡
y0−y1
¢
+C(z0−z1)
¯ ¯
=¯¯Ax0+By0+Cz0+ ¡
−Ax1−By1−Cz1
¢¯ ¯
VìM1∈(α)nênAx1+By1+Cz1+D=0⇒D= −Ax1−By1−Cz1
Từ ta được¯¯ ¯
# » M1M0
¯ ¯ ¯·
¯ ¯#»n
¯ ¯=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ⇒ ¯ ¯ ¯ # » M1M0
¯ ¯ ¯=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ¯
¯#»n ¯ ¯
⇒d(M0, (α))=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯
p
A2+B2+C2
α #» n
M0
(188)Định lí
Trong khơng gianOxyz, cho(α) :Ax+By+Cz+D=0 điểmM0
¡
x0;y0;z0
¢
Khoảng cách từM0 đến(α), kí hiệu d(M0,α)được tính theo cơng thức
d(M0,α)=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯
p
A2+B2+C2 Chứng minh
GọiM1
¡
x1;y1;z1
¢
là hình chiếu củaM0 lên(α) Ta thấy # »
M1M0=
¡
x0−x1;y0−y1;z0−z1
¢
, #»n=(A;B;C)cùng phương nên
¯ ¯ ¯
# » M1M0
¯ ¯ ¯·
¯ ¯#»n
¯ ¯= ¯ ¯ ¯ # » M1M0.#»n
¯ ¯ ¯=
¯
¯A(x0−x1)+B ¡
y0−y1
¢
+C(z0−z1)
¯ ¯
=¯¯Ax0+By0+Cz0+ ¡
−Ax1−By1−Cz1
¢¯ ¯
VìM1∈(α)nênAx1+By1+Cz1+D=0⇒D= −Ax1−By1−Cz1
Từ ta được¯¯ ¯
# » M1M0
¯ ¯ ¯·
¯ ¯#»n
¯ ¯=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ⇒ ¯ ¯ ¯ # » M1M0
¯ ¯ ¯=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯ ¯
¯#»n ¯ ¯
⇒d(M0, (α))=
¯
¯Ax0+By0+Cz0+D ¯ ¯
p
A2+B2+C2 α
#» n
M0
(189)Ví dụ 15.
(Đề minh họa - THPT.QG 2017) Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng (P) :3x+4y+2z+4=0 điểmA(1;−2;3) Tính khoảng cách d từAđến (P)
A.d=5
9 B.d=
5
29 C.d=
p
29 D.d=
p
5
Lời giải Ta có d(A; (P))=|3.1p+4.(−2)+2.3+4|
32+42+22 =
5
p
(190)Ví dụ 15.
(Đề minh họa - THPT.QG 2017) Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng (P) :3x+4y+2z+4=0 điểmA(1;−2;3) Tính khoảng cách d từAđến (P)
A.d=5
9 B.d=
5
29 C.d=
p
29 D.d=
p
5 Lời giải
Ta có d(A; (P))=|3.1p+4.(−2)+2.3+4|
32+42+22 =
5
p
(191)Ví dụ 15.
(Đề minh họa - THPT.QG 2017) Trong khơng gianOxyz, cho mặt phẳng (P) :3x+4y+2z+4=0 điểmA(1;−2;3) Tính khoảng cách d từAđến (P)
A.d=5
9 B.d=
5
29 C.d=
p
29 D.d=
p
5 Lời giải
Ta có d(A; (P))
=|3.1p+4.(−2)+2.3+4|
32+42+22 =
5
p
(192)Ví dụ 15.
(Đề minh họa - THPT.QG 2017) Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng (P) :3x+4y+2z+4=0 điểmA(1;−2;3) Tính khoảng cách d từAđến (P)
A.d=5
9 B.d=
5
29 C.d=
p
29 D.d=
p
5 Lời giải
Ta có d(A; (P))=|3.1p+4.(−2)+2.3+4|
32+42+22
=p5
(193)Ví dụ 15.
(Đề minh họa - THPT.QG 2017) Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng (P) :3x+4y+2z+4=0 điểmA(1;−2;3) Tính khoảng cách d từAđến (P)
A.d=5
9 B.d=
5
29 C.d=
p
29 D.d=
p
5 Lời giải
Ta có d(A; (P))=|3.1p+4.(−2)+2.3+4|
32+42+22 =
5
p
(194)Ví dụ 16.
(Đề minh họa THPTQG 2018) Trong không gianOxyzkhoảng cách hai mặt phẳng(P) :x+2y+2z−10=0 và(Q) :x+2y+2z−3=0
A.
3 B.
7
3 C.3 D.
4
Lời giải
Ta thấy (P)∥(Q) Trên (P) lấy M(0;0;5) Khi đó, khoảng cách hai mặt phẳng(P)và(Q)là:
d¡
(P), (Q)¢
=d¡
M, (Q)¢
=|0p+2·0+2·5−3|
12+22+22 =
7
P M
(195)Ví dụ 16.
(Đề minh họa THPTQG 2018) Trong không gianOxyzkhoảng cách hai mặt phẳng(P) :x+2y+2z−10=0 và(Q) :x+2y+2z−3=0
A.
3 B.
7
3 C.3 D.
4 Lời giải
Ta thấy (P)∥(Q)
Trên (P) lấy M(0;0;5) Khi đó, khoảng cách hai mặt phẳng(P)và(Q)là:
d¡
(P), (Q)¢
=d¡
M, (Q)¢
=|0p+2·0+2·5−3|
12+22+22 =
7
P M
Q
(196)Ví dụ 16.
(Đề minh họa THPTQG 2018) Trong không gianOxyzkhoảng cách hai mặt phẳng(P) :x+2y+2z−10=0 và(Q) :x+2y+2z−3=0
A.
3 B.
7
3 C.3 D.
4 Lời giải
Ta thấy (P)∥(Q) Trên (P) lấy M(0;0;5) Khi đó, khoảng cách hai mặt phẳng(P)và(Q)là:
d¡
(P), (Q)¢
=d¡
M, (Q)¢
=|0p+2·0+2·5−3|
12+22+22 =
7
P M
Q
(197)Ví dụ 16.
(Đề minh họa THPTQG 2018) Trong không gianOxyzkhoảng cách hai mặt phẳng(P) :x+2y+2z−10=0 và(Q) :x+2y+2z−3=0
A.
3 B.
7
3 C.3 D.
4 Lời giải
Ta thấy (P)∥(Q) Trên (P) lấy M(0;0;5) Khi đó, khoảng cách hai mặt phẳng(P)và(Q)là:
d¡
(P), (Q)¢
=d¡
M, (Q)¢
=|0p+2·0+2·5−3|
12+22+22 =
7
P M
Q
(198)Ví dụ 16.
(Đề minh họa THPTQG 2018) Trong không gianOxyzkhoảng cách hai mặt phẳng(P) :x+2y+2z−10=0 và(Q) :x+2y+2z−3=0
A.
3 B.
7
3 C.3 D.
4 Lời giải
Ta thấy (P)∥(Q) Trên (P) lấy M(0;0;5) Khi đó, khoảng cách hai mặt phẳng(P)và(Q)là:
d¡
(P), (Q)¢
=d¡
M, (Q)¢
=|0p+2·0+2·5−3|
12+22+22 =
7
P M
Q
(199)Ví dụ 16.
(Đề minh họa THPTQG 2018) Trong không gianOxyzkhoảng cách hai mặt phẳng(P) :x+2y+2z−10=0 và(Q) :x+2y+2z−3=0
A.
3 B.
7
3 C.3 D.
4 Lời giải
Ta thấy (P)∥(Q) Trên (P) lấy M(0;0;5) Khi đó, khoảng cách hai mặt phẳng(P)và(Q)là:
d¡
(P), (Q)¢
=d¡
M, (Q)¢
=|0p+2·0+2·5−3|
12+22+22
=7
3
P M
Q
(200)Ví dụ 16.
(Đề minh họa THPTQG 2018) Trong không gianOxyzkhoảng cách hai mặt phẳng(P) :x+2y+2z−10=0 và(Q) :x+2y+2z−3=0
A.
3 B.
7
3 C.3 D.
4 Lời giải
Ta thấy (P)∥(Q) Trên (P) lấy M(0;0;5) Khi đó, khoảng cách hai mặt phẳng(P)và(Q)là:
d¡
(P), (Q)¢
=d¡
M, (Q)¢
=|0p+2·0+2·5−3|
12+22+22 =
7
P M
Q