CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG I Vectơ phương đường thẳng-Phương trình tham số đường thẳng 1/ Véctơ phương đường thẳng r r r r ĐN: Vectơ u gọi vectô phương (vtcp) đường thẳng d u giá u song song trùng với d r NX: + Vectơ k u vtcp đường thẳng d (k 0) Do d có vơ số vtvp + Một đường thẳng xđ biết vtcp điểm đường thẳng r u d 2/ Phương trình tham số đường thẳng r Phương trình tham số đường thẳng d qua M0(x0;y0) có véctơ phương u =(u1;u2) là: x x0 u1t y y0 u2 t ( t: tham số) Ví dụ: Lập phương trình tham số đường thẳng d trường hợp sau: r d qua M(2;1) có vtcp u =(3;4) 3/ Hệ số góc đường thẳng r + Đường thẳng d có véctơ phương u =(u1;u2), u10 Khi hệ số góc k là: k = u2 u1 + Phương trình đường thẳng d qua M0(x0;y0) có hệ số góc k là: yy0 = k(xx0) Ví dụ: Viết phương trình tham số đường thẳng d qua A(3;5) B(6;2) Tìm hệ số góc đường thẳng? Giải uuur Ta có vtcp AB (3; 3) x 3t y 3t uuur Vậy phương trình tham số d qua A, B có vtcp AB (3; 3) là: Hệ số góc k=3/3 k= 1 r * Chú ý: Nếu d có hệ số góc k d có véctơ phương u =(1;k) 4/ Phương trình tắc đường thẳng (10NC) + Nếu u10, u20 phương trình tắc đường thẳng d là: x - x0 y - y = u1 u2 +Nếu u1=0 u2=0 đường thẳng khơng có phương trình chí tắc ( Nhưng x x0 y y0 , với quy ước xx0=0 pt gọi pt tắc d) u2 II/Véctơ pháp tuyến đường thẳng, Phương trình tổng quát đường thẳng 1/ Véctơ pháp tuyến đường thẳng (pháp véctơ) ThuVienDeThi.com r r r r ĐN: Vectơ n gọi vectô pháp tuyến (vtpt) đường thẳng d n giá n r nằm đường vng góc với d ( n d) r + Vectơ k n vtpt đường thẳng d (k 0) Do d có vơ số vtpt + Một đường thẳng xđ biết vtpt moät điểm đường thẳng 2/ Phương trình tổng qt đường thẳng Phương trình tổng qt dường thẳng d có dạng: ax+by+c=0 (a2+b20) NX: r d có véctơ pháp tuyến n =(a;b) r * Phương trình tổng quát đường thẳng qua M0(x0,y0) có vtpt n =(a;b) là: a(xx0)+b(yy0)= * Phương trình tổng quát đường thẳng qua hai điểm A(xA;yA), B(xB;yB) là: r uuur r Ta tìm VTCP AB VT pháp tuyến n pttq đia qua A có vtpt n * Nhận xét: Tọa độ hai véctơ phương véctơ pháp tuyến đường thẳng đổi chỗ cho đổi dấu vị trí (hồnh độ tung độ) r r r Nếu đường thẳng d có vtpt n =(a ; b) d có vtcp u =(b ; a) u =(b ; a) r r r r r r u =(4;6) n =(6;4) n =(6;4) r r r r (Vì u vtcp k u vtcp, n vtpt k n vtpt) Ví dụ: n =(5;1) u =(1; 5) u =(1; 5) Ví dụ: Lập phương trình tổng quát đường thẳng d biết r a) d qua M(2;3) có vtpt n =(5;1) Đáp số: 5x+y+7= b) d qua M(2;4) có hệ số góc k=2 Đáp số: 2xy=0 c) d qua hai điểm A(3;5), B(6;2) Đáp số: x+y8=0 * Cách chuyển từ pt tổng quát sang pt tham số: Đặt x= t, từ pt tổng quát y theo t * Cách chuyển từ pt tham số sang pt tổng quát Từ pt x t= , t vào y pt tổng quát x 3t , tìm pt tổng quát d? y 4t Ví dụ 1: Cho d có pt tham số Đáp số: 4x3y5= Ví dụ 2: Cho d có pt tổng quát : x+y8=0 Tìm pt tham số đường thẳng? x t y t Đáp số: * Các dạng đặc biệt: + Đường thẳng by+c=0 song song trùng trục Ox + Đường thẳng ax+c=0 song song trùng trục Oy + Đường thẳng ax+by=0 di qua góc tọa độ + Đường thẳng qua A(a;0), B(0;b) có phương trình thẳng theo đoạn chắn x y (a0, b0) gọi phương trình đường a b 3/ Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1 , 2 có pt tổng quát 1 : a1 x b1 y c1 0; : a x b2 y c2 ThuVienDeThi.com a1 x b1 y c1 a x b2 y c2 Số điểm chung hai đường thẳng số nghiệm hệ: Nếu a20,b20, c20 1 cắt 2 a1 b1 a b c ; 1 // 2 ; a b2 a b2 c2 1 2 a1 b1 c1 a b2 c2 Ví dụ: Xét vị trí tương đối cạp đường thẳng sau: a) d1: 4x10y+1=0 d2: x+y+2= 0 cắt b) d3: 12x6y+10=0 d4: 2xy+5= song song c) d5: 8x+10y12=0 d6: 4x+5y6= trùng 4/ Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho đường thẳng có pt tổng quát ax+by+c= điểm M0(x0;y0) Khi khoảng cách từ M0 đến xác định: d ( M , ) ax0 by0 c a b2 * Nếu M0 thuộc d(M0,)=0 Ví dụ: Tính khoảng từ điểm đến đường thẳng sau a) A(3;5), 1: 4x+3y+1= Kết : 28/5 b) B(1;-2), 2: 3x-4y-26= Kết :3 c) I(3;-2), 3:3x+4y-11=0 Kết : 5/ Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1 , 2 có pt tổng quát uur 1 : a1 x b1 y c1 vtpt n1 (a1 ; b1 ) uur : a x b2 y c2 vtpt n2 (a ; b2 ) Khi đó, góc hai đường thẳng (00 ≤ ≤ 900) tính: uur uur | n1 n2 | cos uur uur cos | n1 | | n2 | a1 a b1 b2 a12 b12 a 22 b22 * Chú ý: +Khi hai đường thẳng song song trùng ta quy ước góc chúng 00 ur uur + 1 2k1.k2= -1 ( n1 n2 a1.a2+b1.b2= 0) Ví dụ: Cho hai đường thẳng d1: 4x2y+6= 0; d2: x3y+1=0 Tìm số đo góc tạo hai đường thẳng d1, d2 Giải cos(d1,d2)= | 4.1 (2).(3) | 42 (2) 12 (3) 2 Vậy góc hai đường thẳng 450 6/ Phương trình đường phân giác góc hợp hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1 , 2 có pt tổng quát uur 1 : a1 x b1 y c1 vtpt n1 (a1 ; b1 ) Khi pt đường phân giác có dạng: uur : a x b2 y c2 vtpt n2 (a ; b2 ) ThuVienDeThi.com a1 x b1 y c1 a b 2 a x b2 y c2 a 22 b22 Phương trình đường phân giác góc nhọn, góc tù Đặt t1 uur uur n1 n2 =a1.a2+b1.b2 + a1 x b1 y c1 a b 2 ; t2 = a x b2 y c2 Pt đường phân giác nhọn t1=t2 t1= t2 a 22 b22 Pt đường phân giác góc tù t1= t2 t1=t2 góc uur uur (phương trình đường phân giác góc tù lấy theo dấu n1 n2 ) Ví dụ: Lập phương trình đường phân giác góc nhọn tạo hai đường thẳng: a) d1: 3x4y+12= d2: 12x+5y7= b) d1: xy+4= d2: x+7y12= Giải uur uur a) Ta có n1 n2 =16>0 t1= t2 99x27y+121= uur uur b) Ta có n1 n2 = 6R A nằm ngồi đường trịn Viết phương trình qua A có hệ số góc k có dạng: y+11= k(x3) : kxy3k11= Để tiếp xúc d d(I, )= R | k (2) (4) 3k 11| k 12 5 2 |k7|= k |k+7|= k k2+14k+49= 25k2+25 k 24k214k24= 12k27k12=0 k Vậy có hai tiếp tuyến là: k=4/3 1: 4x3y45= k=3/4 2: 3x+4y+35= Ví dụ 3: Cho đường trịn (C): (x1)2+(y1)2=1 Viết phương trình tiếp tuyến đường trịn qua điểm M(2;3) Giải Ta có tâm I(1;1), bán kính R=1 2 Xét IM= (2 1) (3 1) >R=1 M nằm ngồi đường trịn Viết phương trình qua M có hệ số góc k có dạng: y3= k(x2) : kxy2k+3= Để tiếp xúc d d(I, )= R | k 2k | k 12 1 |2k|= k 44k+k2 = k2+1 k= ¾ Vậy : phương trình tiếp tuyến thứ 1: Pt Tiếp tuyến thứ hai: 2: xxM =0 x2= BÀI TẬP Vấn đề 1: Nhận diện phương trình bậc hai phương trình đường trịn Cách 1: Đưa phương trình dạng x2+y22ax2by+c= (1) + Xác định a, b, c sau: 2a= A, 2b=B, c= C + Xét dấu m = a2+b2c + Nếu m>0 (1) phương trình đường trịn tâm I(a;b) bán kính R= m Nếu m< (C) khơng đường trịn 2 Cách 2: Đưa phương trình dạng ( x a ) ( y b) m (2) ThuVienDeThi.com Nếu m>0 (2) phương trình đường trịn tâm I(a;b) bán kính R= m VD1: Trong phương trình sau, phương trình biểu diễn đường trịn? Tìm tâm bán kính có: a) x2+y26x+8y+100= b) x2+y2+6x6y12= c) 2x2+2y24x+8y2= Đáp số: a) Không phài b) Tâm I(2;3), R= c) Tâm I(1;2), R= ( 6) 2 VD2: Cho phương trình x +y 2mx+4my+6m1= (1) a) Với giá trị m (1) phương trình đường trịn? b) Nếu (1) phương trình đường trịn tìm tọa độ tâm tính bán kính đường trịn theo m HD: a2+b2c>0 5m26m+1>0 m1; tâm I(m;2m), R= Vấn đề 2: Lập phương trình đường trịn (C) 2 Cách 1: Tìm tọa độ tâm I(a;b) bán kính R (C) ( x a ) ( y b) R Chú ý: + (C) qua A, B IA2=IB2=R2 + (C) qua A tiếp xúc đường thẳng A IA= d(I,) + (C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1 2 d(I,1)= d(I,2)= R Cách 2: Gọi phương trình đường trịn (C): x2+y22ax2by+c= + Từ điều kiện đề đưa đến hệ phương trình theo ẩn a, b, c + Giải hệ phương trình tìm a, b, c VD1: Lập phương trình đường trịn (C) trường hợp sau: a) (C) có tâm I(1;2) tiếp xúc với đường thẳng : x2y+7=0; b) (C) có đường kính AB với A(1;1), B(7;5); c) (C ) có tâm I(2;3) qua M(2;3) Đáp số: a) (x+1)2+(y2)2=4/5 b) (x4)2+(y3)2= 13 VD2: Viết phương trình đường tròn qua ba điểm A(1;2), B(5;2), C(1;3) Đáp số: x2+y26x+y1= c) tìm c= 39 Vấn đề 3: Lập phương trình tiếp tuyến đường trịn + Nếu biết tiếp điểm M(x0;y0) thuộc (C), pt tiếp tuyến có dạng: (x0a)(xx0)+(y0b)(yy0)= + Nếu chưa biết tiếp điểm dùng điều kiện tiếp xúc : d(I,) = R VD1: Viết phương trình tiếp tuyến đường trịn (C): (x1)2+(y+2)2=25 M(4;2) thuộc (C) Đáp số: 3x+4y20= VD2: Lập phương trình tiếp tuyến đường trịn (C): x2+y24x2y= Biết tiếp tuyến qua điểm A(3;2) Đáp số: 2xy8=0 x+2y+1= VD3: Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn (C): x2+y24x+6y+3= biết song song với d: 3xy+2006=0 Đáp số: 3xy+1= 3xy19= BÀI TẬP 2.15 Trong mpOxy, lập phương trình đường trịn (C) có tâm (2;3) thỏa điều kiện sau: a) (C) có bán kính 5; b) (C) qua góc tọa độ; c) (C) tiếp xúc trục Ox; d) (C) tiếp xúc trục Oy; e) (C) tiếp xúc với đường thẳng : 4x+3y12=0 2.16 Cho ba điểm A(1;4), B(7;4), C(2;5) ThuVienDeThi.com a) Lập phương trình đường trịn (C) ngoại tiếp tam giác ABC; b) TÌm tâm bán kính (C) 2.17 Cho đường trịn (C) qua hai điểm A(1;2), B(2;3) có tâm đường thẳng : 3xy+10=0 a) Tìm tọa độ tâm (C); b) Tính bán kính R (C); c) Viết phương trình (C) 2.18 Cho ba đường thẳng 1: 3x+4y1=0; 2: 4x+3y8=0; d: 2x+y1=0 a) Lập phương trình đường phân giác góc hợp 1 2 b) Xác định tọa độ tâm I đường tròn (C) biết tâm I nằm d (C) tiếp xúc với 1 2 c) Viết phương trình (C) 2.19 Lập phương trình đường trịn (C) qua hai điểm A(1;2), B(3;4) tiếp xúc với đường thẳng : 3x+y3=0 2.20 Lập phương trình đường trịn đường kính AB trường hợp sau: a) A(1;1), B(5;3); b) A(1;2), B(2;1) 2.21 Lập phương trình đường trịn (C) tiếp xúc với trục tọa độ qua điểm M(4;2) 2.22 Cho đường tròn (C): x2+y2x7y=0 đường thẳng d: 3x+4y3=0 a) Tìm tọa độ giao điểm (C) (d) b) Lập phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm c) Tìm tọa độ giao điểm hai tiếp tuyến 2.23 Cho đường tròn (C): x2+y26x+2y+6=0 điểm A(1;3) a) Chứng tỏ A nằm ngồi đường trịn (C) b) Lập phương trình tiếp tuyến với (C) xuất phát từ điểm A 2.24 Lập phương trình tiếp tuyến đường trịn (C): x2+y26x+2y=0 Biết vng góc với đường thẳng d: 3xy+4=0 2.25 Cho đường tròn (C): (x+1)2+(y2)2=9 điểm M(2;1) a) Chứng tỏ qua M ta vẽ hai tiếp tuyến Hãy viết phương trình b) Gọi M1 M2 hai tiếp điểm với (C), viết phương trình đường thẳng d qua M1 M2 2.26 Viết phương trình tiếp tuyến đường trịn (C) có phương trình x2+y28x6y=0 biết tiếp tuyến qua gốc tọa độ 2.27 Cho hai đường tròn (C1): x2+y26x+5=0 (C2): x2+y212x6y+44=0 a) Tìm tâm bán kính (C1) (C2) b) Lập phương trình tiếp tuyến chung (C1) (C2) ThuVienDeThi.com ... Ngược lại, phương trình x2 +y22ax2by+c=0 gọi phương trình đtrịn (C) 2 a2+b2c>0 Khi (C) có tâm I(a;b) bán kính R= a b c Ví dụ: Trong phương trình sau, phương trình phương trình đường trịn,... diện phương trình bậc hai phương trình đường trịn Cách 1: Đưa phương trình dạng x2+y22ax2by+c= (1) + Xác định a, b, c sau: 2a= A, 2b=B, c= C + Xét dấu m = a2+b2c + Nếu m>0 (1) phương trình đường. .. khơng đường trịn 2 Cách 2: Đưa phương trình dạng ( x a ) ( y b) m (2) ThuVienDeThi.com Nếu m>0 (2) phương trình đường trịn tâm I(a;b) bán kính R= m VD1: Trong phương trình sau, phương trình