Chuyên đề luyện thi Tích phân Dùng cho học sinh lớp 12Ôn thi Đại học và Cao đẳng24006

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯNG CAO SĐT: 0978421673-01234332133 TP HUẾ LUY N THI CHUN TÍCH PHÂN Dùng cho h c sinh l p 12-Ôn thi i h c Cao ng Don't try to fix the students, fix ourselves first The good teacher makes the poor student good and the good student superior When our students fail, we, as teachers, too, have failed HUEÁ, 01/2013 ThuVienDeThi.com LUY N THI I H C CH T L NG CAO CHUYÊN : TÍCH PHÂN M CL C Trang A NGUYÊN HÀM B TÍCH PHÂN C PHÂN LO I VÀ PH NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN: V N 1: PHÉP THAY BI N t n V N Ê 2: TÍCH PHÂN B NG PH f ( x ) NG PHÁP L NG GIÁC HÓA 11 D NG 1: a x 11 D NG 2: x a 14 D NG 3: x a2 14 D NG 4: a x hoaëc a x a x 18 a x 3: TÍCH PHÂN L NG GI ÁC 19 V N D ng 1: Bi n i l ng giác v tích phân c b n 19 D ng 2: Tích phân d ng dx 23 a sin x b cos x c D ng 3: Tích phân d ng dx 24 a sin x b sin x cos x c cos2 x D ng 4: Tích phân d ng I1 f (sin x )cos xdx; I f (cos x )sin xdx 25 1.Tích phân có d ng sin m x.cosn xdx 26 2.Tích phân d ng I1 D ng 5: Tích phân ch a sin m x dx; cosn x I1 tan x;cos x dx; cosm x dx; sin n x m, n 27 cot x;sin x dx 28 D ng 6: i bi n b t kì 29 4: TÍCH PHÂN CĨ CH A GIÁ TR TUY T I 39 V N 5: TÍCH PHÂN HÀM H U T 42 V N V N V N V N V N 6: TÍCH PHÂN M T S HÀM C BI T 50 7: TÍCH PHÂN T NG PH N 58 8: NG D NG TÍCH PHÂN TÍNH DI N TÍCH HÌNH PH NG 69 9: TÍNH TH TÍCH V T TH TRỊN XOAY 77 M TS BÀI T P C N LÀM TR C KHI THI 83 D PH L C 95 Gv: Ths.Tr n ình C S T: 01234332133, 0978421673 TP HU ThuVienDeThi.com LUY N THI I H C CH T L T NG PHÁP SAI L M TH NG G THI IH CT TÀI LI U THAM KH PH NG CAO N PH KHƠNG LÀM THAY CHUN : TÍCH PHÂN I C N TÍCH PHÂN 95 P TRONG TÍNH TÍCH PHÂN 100 2009-2012 107 O 109 Gv: Ths.Tr n ình C S T: 01234332133, 0978421673 TP HU ThuVienDeThi.com LUY N THI I H C CH T L NG CAO CHUYÊN : TÍCH PHÂN A NGUYÊN HÀM Khái ni m nguyên hàm Cho hàm s f xác nh K Hàm s F gl nguyên hàm c a f K n u: F '( x ) f (x) , x K N u F(x) m t nguyên hàm c a f(x) K h nguyên hàm c a f(x) K là: f ( x )dx F( x) C , C R M i hàm s f(x) liên t c K u có ngun hàm K Tính ch t f '( x )dx f (x) C f ( x ) g( x ) dx kf ( x )dx f ( x )dx k f ( x )dx g( x )dx (k 0) Nguyên hàm c a m t s hàm s th 0dx dx ng g p ax C (0 ln a cos xdx sin x C C a x dx x C x dx x 1 C, ( 1) sin xdx dx ln x C x e x dx e x C cos(ax b)dx sin(ax b)dx dx cos2 x dx sin x sin(ax b) C (a a 0) cos(ax b) C (a a Ph ng pháp tính nguyên hàm a) Ph ng pháp 0) a 1) cos x C tan x C cot x C ax b e C , (a 0) a 1 dx ln ax b C ax b a eax b dx i bi n s Gv: Ths.Tr n ình C S T: 01234332133, 0978421673 TP HU ThuVienDeThi.com LUY N THI I H C CH T L f (u)du Nu F (u) C u NG CAO u( x ) có CHUYÊN o hàm liên t c thì: f u( x ) u '( x )dx b) Ph : TÍCH PHÂN F u( x ) C ng pháp tính nguyên hàm t ng ph n N u u, v hai hàm s có o hàm liên t c K thì: udv uv vdu B TÍCH PHÂN Khái ni m tích phân Cho hàm s f liên t c K a, b K N u F m t nguyên hàm c a f K thì: b F(b) F(a) gl tích phân c a f t a n b kí hi u f ( x )dx a b f ( x )dx F (b) F (a) a i v i bi n s l y tích ph ân, ta có th ch n b t kì m t ch khác thay cho x, t c là: b f ( x )dx a b f (t )dt a b f (u)du F (b) F (a) a Ý ngh a hình h c: N u hàm s y = f(x) liên t c không âm o n [a; b] di n tích S c a th c a y = f(x), tr c Ox hai n g th ng x = a, x = b là: hình thang cong gi i h n b i b S f ( x )dx a Tính ch t c a tích phân f ( x )dx b 0 b a b a f ( x )dx a kf ( x )dx a f ( x )dx b b k f ( x )dx (k: const) a f ( x ) g( x ) dx b a f ( x )dx b a g( x )dx b a f ( x )dx c a f ( x )dx b f ( x )dx c Gv: Ths.Tr n ình C S T: 01234332133, 0978421673 TP HU ThuVienDeThi.com LUY N THI I H C CH T L NG CAO b N u f(x) f ( x )dx [a; b] CHUYÊN : TÍCH PHÂN a b N u f(x) g(x) [a; b] f ( x )dx a Ph ng pháp tính tích phân a) Ph ng pháp b g( x )dx a i bi n s b u( b ) f u( x ) u '( x )dx ó: u = u(x) có K, a, b f (u)du u( a ) a o hàm liên t c K, y = f(u) liên t c hàm h p f[u(x)] xác nh K ng pháp tích phân t ng ph n b) Ph N u u, v hai hàm s có o hàm liên t c K, a, b b udv a b K thì: b uv a vdu a Chú ý: C n xem l i ph ng pháp tìm nguyên hàm b Trong ph ng pháp tích phân t ng ph n, ta c n ch n cho b vdu d tính h n a udv a Trong ph n sau s trình bày k thu t l a ch n u dv Gv: Ths.Tr n ình C S T: 01234332133, 0978421673 TP HU ThuVienDeThi.com LUY N THI I H C CH T L Ph 1: PHÉP THAY BI N t n nhi u tr ng h p ( ch không ph i m i tr B c 1: t t - B c 2: Ghi nh n : TÍCH PHÂN f (x) i d u tích phân có ch a bi u th c có d ng ng pháp: Khi hàm d - CHUYÊN NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂ N: C PHÂN LO I VÀ PH V N NG CAO f (x) ng h p), ta có th f (x) tn i bi n ph i nt n 1dt n f ( x ) Lúc ó i bi n b ng cách f '( x )dx i cân BÀI T P M U: Tính tích phân sau Bài 1: Tính I x x dx Gi i: tt= x2 t2 = x2 xdx = -tdt i c n: x t 1 Khi ó: I x x dx = 1 t t.tdt = Bài 2: Tính I t t dt = t3 t5 = 15 x 3 x dx Gi i: t t = x4 t3 x4 x 3dx t dt i c n: x t Gv: Ths.Tr n ình C S T: 01234332133, 0978421673 TP HU ThuVienDeThi.com LUY N THI I H C CH T L Khi ó: I x 33 x dx e Bài 3: Tính I NG CAO 3 t dt 40 CHUYÊN 41 t 16 : TÍCH PHÂN 16 ln x dx x Gi i: ln x t2 x e t tt ln x dx x 2tdt i c n: ln x dx x e Khi ó: I Bài 4: Tính I 2 t.2tdt t dt 1 t3 31 2 dx x x3 Gi i: Ta có: tt dx x x3 x3 t2 x dx x3 x3 x3 2tdt x dx x dx 2tdt i c n: x t 2 Khi ó: Gv: Ths.Tr n ình C S T: 01234332133, 0978421673 TP HU ThuVienDeThi.com LUY N THI I I H C CH T L dx x x3 x3 x3 ln t ln t 2 ln 2 1 ln 3 x dx NG CAO dt t 1 t ln t CHUYÊN 1 t t : TÍCH PHÂN dt 1 ln ln 2 1 2 dx Bài 5: Tính I x x2 9 t2 Gi i: x2 t t t x2 tdt xdx; dx x tdt x2 tdt t i c n: x t Khi ó: dt t t ln t ln BÀI T P ÁP D NG: Tính tích phân sau 1) 2) x2 ln 3) x3 ln ln ex e x ÑS : dx 10 e x ÑS : dx ex ex 141 20 dx ÑS : 20 Gv: Ths.Tr n ình C S T: 01234332133, 0978421673 TP HU ThuVienDeThi.com LUY N THI 4) x3 x x x ÑS : ln 1 ln ÑS : 8) e x2 x x x 10) e3 11) 12) 1 ln x x ln x dx ln x dx HD : I x x dx x 10 13) x sin x dx x t ÑS : ln 4 ln x Đặt t ĐS : e I1 I ÑS : 76 15 2 62 30 ln DS : x dx x x sin x 3dx x2 ng d n : I Ta tính I1 = 3 3 23 ĐS : e2 e dx.(Dự bị khối D-2005) x ln x ĐS : (Khối A-2003) Đặt t ln x e 1 dx : TÍCH PHÂN ln x x CHUYÊN 11 ln ln x ln x dx (Khoái B 2004) x H 3 ln e HD : Đặt t 9) dx ( A 2004) NG CAO ÑS : dx dx x 7) x4 6) 5) I H C CH T L x sin x 3dx x dx x t t = x3 ta tính c I = -1/3(cos1 - sin1) x dx Ta tính I2 = x tt= x ta tính c I = (1 1 t2 )dt 2(1 ) 2 Gv: Ths.Tr n ình C S T: 01234332133, 0978421673 TP HU ThuVienDeThi.com LUY N THI I H C CH T L S :-1/3(cos1 - 1)+ 14) ln( x 1) x ng d n : H 15) CHUYÊN : TÍCH PHÂN dx tt x 1 áp s : ln ln 2 dx 2x H x NG CAO 4x ng d n : I tt dx 2x 4x BÀI T P B SUNG 4x t2 4x tdt 23t 1 t 2tdt tdt t 4dx dt t dt t ln 12 10 Gv: Ths.Tr n ình C S T: 01234332133, 0978421673 TP HU ThuVienDeThi.com LUY N THI I H C CH T L NG CAO NG PHÁP L V N Ê 2: TÍCH PHÂN B NG PH a x x2 a sin t với x a cos t với t a2 a2 a x hoaëc a x a x a x x a b x a2 D NG 1: T x x x2 NG GIÁC HÓA CÁCH D U HI U : TÍCH PHÂN CHUYÊN a sin t a /2 t với t với t ; \ {0} 2 0; x cos t x a tan t với x a cos t với 0< t Đặt x a cos2t x b a sin t, t a /2 \ /2 t 0; /2 x2 BÀI T P M U: Tính tích phân sau a Bài 1: Tính I x a2 x dx Gi i: t x = asint, t ; 2 dx = acostdt i c n: x a 11 Gv: Ths.Tr n ình C S T: 01234332133, 0978421673 TP HU ThuVienDeThi.com LUY N THI I H C CH T L t a Khi ó: I x a NG CAO 2 x dx = a sin t a sin t acostdt a4 a4 2 = a sin tcos tdt = sin 2tdt = 0 2 : TÍCH PHÂN CHUYÊN 2 a4 t cos4t dt = a4 sin 4t = 16 x2 dx x2 Bài 2: Tính I 2 Gi i: t x = cost, t ; 2 dx = - sint dt i c n: 2 x t 1 Khi ó: 0 x2 dx = x2 I 2 4 cos2t sint dt = cos2t sin t sin t cos2t sin t dt = dt = cos t 4 (vì t dt = tan t t = cos2t Bài 3: Tính I 0; nên sint sin t sin t ) x x dx Gi i: 12 Gv: Ths.Tr n ình C S T: 01234332133, 0978421673 TP HU ThuVienDeThi.com LUY N THI I H C CH T L NG CAO ; 2 t x = sint, t CHUYÊN : TÍCH PHÂN dx = costdt i c n: x t Khi ó: I 2 x x dx = sin t sin t costdt = = 12 t cos4t dt = 80 12 12 sin tcos2 tdt = sin 2tdt = 40 40 sin 4t = 16 Tính tích phân sau: 1) x dx ; HD : Đặt x 2sin t ĐS : HD : Ñaët x 3cos t ÑS : 3 27 HD : Đặt x sin t ĐS : 2) 3) 2 4) x2 2 x2 x2 dx ; dx ; 16 x dx; HD : Đặt x 4sin t x dx HD : Đặt x sin t 5) 6) 1 x dx ; HD : Đặt x 3sin t 13 Gv: Ths.Tr n ình C S T: 01234332133, 0978421673 TP HU ThuVienDeThi.com LUY N THI 7) I H C CH T L x x dx ÑS : HD : 1 x x dx CHUYÊN : TÍCH PHÂN 16 1 21 NG CAO 2 x dx Đặt : x sin t x2 D NG 2: a2 Tính tích phân sau: 1) dx ; HD : Đặt x sin t ĐS : dx ; HD : Đặt x sin t ĐS : dx ; HD : Đặt x cos t dx ; HD : Đặt x cos t x x2 36 2) 3) x x 2 x2 x 4) 1 2 x x x2 D NG 3: a2 BÀI T P M U: Bài 1: Tính I x dx 2x Gi i: Ta có: x dx 2x t x 1 x tan t v i t ; 2 dx dx tan t dt i c n: x -1 14 Gv: Ths.Tr n ình C S T: 01234332133, 0978421673 TP HU ThuVienDeThi.com LUY N THI I H C CH T L t NG CAO : TÍCH PHÂN CHUYÊN Khi ó: I x dx 2x 36 dt 3 t 3 18 Bài 2: Tính I x3 dx x8 01 Gi i: 1 x3 Ta có: dx x8 01 t x4 x3 x tan t v i t dx ; 2 x 3dx 1 tan t dt i c n: x t 0 x3 dx x8 01 Khi ó: I x3 x4 dx tan t dt tan t 14 dt 40 t 4 16 Bài 3: Tính I cosx dx sin x Gi i: t sin x tan t v i t ; 2 cosxdx tan t dt i c n: 15 Gv: Ths.Tr n ình C S T: 01234332133, 0978421673 TP HU ThuVienDeThi.com LUY N THI I H C CH T L x t NG CAO : TÍCH PHÂN tan t dt tan t cosx dx sin x Khi ó: I CHUYÊN dt BÀI T P ÁP D NG: 1) 2) x2 dx ; HD : Đặt x tan t dx ; HD : Ñaët x 3tan t x 3) x x dx ; ÑS : HD : Đặt x tan t 4) 3 x2 dx ; HD : Đặt x tan t ÑS : 3 5) 6) 1 9) x3 x2 7) 8) 2x2 dx ; x2 3 dx ; x2 x2 dx ; HD : Đặt x 3tan t HD : Đặt x tan t HD : Đặt x dx ÑS : x2 dx x2 Ñaët x x2 u ĐS : x2 tan t tan t ÑS : ln 3 2 3 16 Gv: Ths.Tr n ình C S T: 01234332133, 0978421673 TP HU ThuVienDeThi.com LUY N THI 10) x I H C CH T L x dx x2 ĐS : NG CAO CHUN : TÍCH PHÂN du HD :Biến đổi tích phân cho dạng: 20u u 17 Gv: Ths.Tr n ình C S T: 01234332133, 0978421673 TP HU ThuVienDeThi.com LUY N THI D NG 4: I H C CH T L a x hoaëc a x NG CAO CHUN : TÍCH PHÂN a x a x Tính tích phân sau: 1) 1 x x D NG 5: HD : x cos2t 2) 5 x x HD : x x a b x Tính tích phân sau: x x Đặt x sin t BÀI T P B 5cos2t ÑS : 12 SUNG 18 Gv: Ths.Tr n ình C S T: 01234332133, 0978421673 TP HU ThuVienDeThi.com LUY N THI V N I H C CH T L il Ví d 1: Tính I CHUN : TÍCH PHÂN NG GIÁC 3: TÍCH PHÂN L D ng 1: Bi n NG CAO ng giác v tích phân c b n dx cos x Gi i: t t = tanx ; dx cos2 x dt i c n: x t 1 dx cos x Khi ó: I Ví d 2: Tính I 12 1 tan x dx cos2 x 1 t dt t t3 tan xdx Gi i: 12 Ta có: tan xdx 12 0 t t = cos4x ; sin x dx cos4 x 4s in xdx dt sin xdx dt i c n: x t 12 19 Gv: Ths.Tr n ình C S T: 01234332133, 0978421673 TP HU ThuVienDeThi.com ...LUY N THI I H C CH T L NG CAO CHUYÊN : TÍCH PHÂN M CL C Trang A NGUYÊN HÀM B TÍCH PHÂN C PHÂN LO I VÀ PH NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN: V N 1: PHÉP... ThuVienDeThi.com LUY N THI I H C CH T L T NG PHÁP SAI L M TH NG G THI IH CT TÀI LI U THAM KH PH NG CAO N PH KHÔNG LÀM THAY CHUYÊN : TÍCH PHÂN I C N TÍCH PHÂN 95 P TRONG TÍNH TÍCH PHÂN ... ThuVienDeThi.com LUY N THI 10) x I H C CH T L x dx x2 ÑS : NG CAO CHUYÊN : TÍCH PHÂN du HD :Biến đổi tích phân cho dạng: 20u u 17 Gv: Ths.Tr n ình C S T: 01234332133, 0978421673 TP HU ThuVienDeThi.com