Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 (Có đáp án) Năm học 20162017 Phòng GD ĐT Thiệu Hóa19639

PHỎNG GD&ĐT THIỆU HÓA ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG HUYỆN MƠN TỐN (Thời gian làm bài: 150 phút) Bài (4,0 điểm) Tính giá trị biểu thức A  26  15  26  15 Tính giá trị biểu thức P = x x  x  17 x  với  x  x 1 x  x  x  11 Bài 2: (2,0 điểm) Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = Hãy tính giá trị biểu thức: A= x (1  y )(1  z ) (1  z )(1  x ) (1  x )(1  y )  y  z (1  x ) (1  y ) (1  z ) Bài 3: (4.0 điểm) 2 1   1 Giải phương trình: x     x     x   x     x   x x  x  x    Tìm tất số nguyên tố p cho 1 p  p  p  p số tự nhiên Bài 4: (8,0 điểm) Cho nửa đường trịn (O) đường kình AB = 2R Vẽ đường thẳng d tiếp tuyến (O) B » lấy điểm M tùy ý (M khác A B), tia AM cắt d N Gọi C Trên cung AB trung điểm AM, tia CO cắt d D a) Chứng minh rằng: NO  AD b) Chứng minh rằng: CA CN = CO CD c) Xác định vị trí điểm M để (2AM + AN) đạt giá trị nhỏ Cho ABC nhọn Chứng minh Cos2A + Cos2B + Cos2C < Bài (2,0 điểm): Cho x, y, z ba số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức S  x  xy  y  x  y  2z y  yz  z  y  z  2x z  zx  x z  x  2y ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Nội dung Bài (2,0 đ) Điểm 1,0đ Ta có A  26  15  26  15   3.22  3.2.( 3)  ( 3)3   3.22  3.2.( 3)  ( 3)3  (2  3)3  (2  3)3  (2  3)  (2  3) A2 x   x  x  x   x  3x  x  x 1 Khi x  x x  3x  1x  3x  x  33x  1  x  x  x  x x  8 x  3x  x  x  83 x  1  x  21x  x  x x  21x  8x  21x  x  213 x  1  x  55 x  21 Ta có 0,5đ x  x  17 x  55 x  21  48 x  3  17 x   21x  8  33x  1  x  11 x  x  x  11 6x 3 ( x  ) Vậy P =   32 x 16 16 Suy P = Từ: xy + yz + xz = (2 đ)  + x2 = xy + yz + xz + x2 = y(x + z) + x(x + z) 0,5đ 0,5đ = (x + z)(x + y) Tương tự: + y2 = xy + yz +xz +y2 = y.(x+ y) +z (x +y) = ( x+ y).(y+z) + z2 = xy + yz + xz + z2 =x ( y + z)+ z (y + z) = ( y +z) ( x +z) A  x 1  y 1  z   y 1  z 1  x   z 1  x   y  1  x  1  y  1  z  2 2 2 0.5đ 2 x  y  y  z  y  z x  z   y  y  z x  z x  z x  y  x  z x  y  x  y  y  z  x  z x  y x  y  y  z   z  y  z x  z  2  x  y  z   y  x  z   z  x  y  =  x. y  z   y.x  z   z.x  y   xy  xz  xy  yz  xz  yz   x 1) (2,0đ) 2 0.75đ 0.25đ 1   1    1)  x     x     x   x     x   (1) x x  x  x    §iỊu kiện xác định: x 2 1        (1)   x     x    x     x      x   x x   x   x     ThuVienDeThi.com 1đ 1 1 2    8 x    8 x     x  4   x  4  16 x x x (loại) x (TMĐK) Vậy phương trình đà cho có nghiÖm x  8 1đ 1 p  p  p  p số hữu tỷ   p  p  p  p  n , n  ¥ 0,5đ 2)   p  p  p  p  4n 0,5đ 2đ  p  p  p  4n   p  p  p  p  p (1)  (2 p  p )  (2n)  (2 p  p  2)  p  p  2n  p  p   2n  p  p  Thế vào (1) ta  p  p  p  p  (2 p  p  1)  p  p   0,5đ Giải pt tìm p  1 (loại) p  0,5đ Với p    p  p  p  p  11 Vậy p  a)( 2,0đ) Bài (8đ) 1đ Vì AB  (d) B( tiếp tuyến vng góc với đường kính tiếp điểm) N Vì C trung điểm AM  OC  AM M C  OC  AM d C  NAD có AB, DC hai đường cao cắt O  O trực tâm  NO  AD A B O 1đ b) (2.0đ) Xét  vng CAO  vng CDN có D · = C·DN CAO  CAO đồng dạng CDN (g.g)  CA CO   CA.CN  CO.CD CD CN c) (2.0đ) Xác định vị trí điểm M để (2AM + AN) đạt giá trị nhỏ Ta có: 2AM + AN  2 AM AN (BĐT Cauchy – Côsi) ThuVienDeThi.com 2đ Ta chứng minh: AM AN = AB2 = 4R2 1đ (1) Suy ra: 2AM + AN  2.4R = 4R Đẳng thức xẩy khi: 2AM = AN  AM = AN/2 (2) Từ (1) (2) suy ra: AM = R  1đ gócAOM vng O  M điểm cung AB 2.(2.0 đ) Kẻ đường cao AD, BE, CF AEB  AFC (g.g) A AE AB AE AF    AF AC AB AC  AEF  ABC (c.g.c)  E F S  AE   AEF     Cos A S ABC  AB  S S Tương tự BDF  Cos B ; CDE  Cos C S ABC S ABC B S  S BDF  S CDE  Cos A  Cos B  Cos C  AEF 1 S ABC Bài 2,0đ Ta có x  xy  y  Tương tự suy 2S  1đ C D 1đ 1 ( x  y)2  ( x  y)2  ( x  y)2  ( x  y) 4 x y yz zx   x  y  2z y  z  2x z  x  y 1đ Đặt: a  x  y  z , b  y  z  x, c  z  x  y bca c a b abc , yz  , zx  x y  2 bca c a b a bc  2S    2a 2b 2c b a c a c b  4S                   a b a c  b c Do S  Đẳng thức xảy x  y  z Vậy GTNN S 1đ Chú ý: - Học sinh làm theo cách khác mà cho điểm tối đa - HS khơng vẽ hình vẽ sai hình khơng chấm điểm hình ThuVienDeThi.com ... thức xảy x  y  z Vậy GTNN S 1đ Chú ý: - Học sinh làm theo cách khác mà cho điểm tối đa - HS khơng vẽ hình vẽ sai hình khơng chấm điểm hình ThuVienDeThi.com ... Xác định vị trí điểm M để (2AM + AN) đạt giá trị nhỏ Ta có: 2AM + AN  2 AM AN (BĐT Cauchy – Côsi) ThuVienDeThi.com 2đ Ta chứng minh: AM AN = AB2 = 4R2 1đ (1) Suy ra: 2AM + AN  2.4R = 4R Đẳng...   (1)   x     x    x     x      x   x x   x   x     ThuVienDeThi.com 1đ 1 1 2    8 x    8 x     x  4   x  4  16 x x x (loại) x (TMĐK)