Phòng GD-ĐT nga Sơn kỳ thi chọn học sinh giỏi toán (đề số 3) năm học : 2008 - 2009 Môn : Toán (Thời gian làm bài: 150 phút: Vòng 2) Bài ( 3,0 điểm) 2ab Xét biÓu thøc P = b2 1 Chøng minh P xác định Rút gọn P Khi a b thay đổi, hÃy tìm giá trị nhỏ P Bài (3,0 điểm) Tìm x; y; z thoả mÃn hÖ sau: x 3x y y 3y 2z z 3z 3x Cho số dương: a; b vµ x = ax ax a x a x 3b Bµi ( 3,0 ®iĨm) 3 3 ;b= 2 Chøng minh r»ng víi n ≥ 1, ta cã Sn + = (a + b)( an + + bn + 1) – ab(an + bn) Chøng minh với n thoả mÃn điều kiện đề bài, Sn số nguyên Với số nguyên dương n 2008, đặt Sn = an +bn , với a = n n Tìm tất số n để Sn lµ Chøng minh Sn – = sè chÝnh ph¬ng Bài (5,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB điểm E nằm điểm A điểm B cho AE < BE Vẽ đường tròn (O1) đường kính AE đường tròn (O2) đường kính BE Vẽ tiếp tuyến chung MN hai đường tròn trên, với M tiếp điểm thuộc (O1) N tiếp điểm thuộc (O2) Gọi F giao điểm đường thẳng AM BN Chứng minh đường thẳng EF vuông góc với đường thẳng AB Với AB = 18 cm AE = cm, vẽ đường tròn (O) đường kính AB Đường thẳng MN cắt đường tròn (O) C D, cho điểm C thuộc cung nhỏ AD Tính độ dài đoạn thẳng CD Bài 5: (4đ): Cho ABC đường thẳng d cắt AB vµ AC vµ trung tuyÕn AM theo thø tù Lµ E , F , N AB AC AM a) Chøng minh : AE AF AN b) Giả sử đường thẳng d // BC Trên tia ®èi cđa tia FB lÊy ®iĨm K, ®êng th¼ng KN cắt AB P đường thẳng KM cắt AC Q Chứng minh PQ//BC Bài 6: (2 điểm) Cho < a, b,c a + x > §iĨm 0,25 (1) a (b 1) 0 b2 1 Ta cã a + x > a – x ≥ a x a x Tõ (1); (2); (3) P xác định 0,25 Xét a x = (2) (3) Rót gän: a (b 1) 2ab a Ta cã: a + x = a a x (b 1) b 1 b 1 b 1 a (b 1) 2ab a a - x =a a x b 1 b 1 b 1 b 1 a a (b 1) b 1 b 1 b 1 b 1 b 1 P= 3b b b 3b a a (b 1) b 1 1 b 1 b NÕu < b < P = 2b 3b 3b 3b NÕu b P= b 3b 3b 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (1.0 ®iĨm) XÐt trêng hỵp: 4 P 3b b 2b NÕu b , a dương tuỳ ý P = b 3b 3b b Ta cã: , dÊu b»ng x¶y vµ chØ b = 3b 2b Mặt khác: , dấu xảy vµ chØ b = 3 2 VËy P , dÊu b»ng xảy b = 3 KL: Giá trị nhỏ P = NÕu < b < 1, a dương tuỳ ý P = 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu (3,0 điểm) Tóm tắt lời giải Điểm Biến ®ỉi t¬ng ®¬ng hƯ ta cã (x 2)(x 1) y (y 2)(y 1) 2(2 z ) (z 2)(z 1) 3(2 x) 1,00 Nhân vế phương trình với ta được: (x - 2)(y - 2) (z - 2)(x+1)2(y+1)2(z+1)2= - 6(x - 2)(y - 2) (z - 2) 0,50 ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 (x - 2)(y - 2) (z - 2) (x 1) (y 1) (z 1) = (x - 2)(y - 2) (z - 2) = x = hc y = hc z = Víi x = hc y = hc z = thay vào hệ ta có x = y = z = VËy víi x = y = z = thoả mÃn hệ đà cho Câu (3,0 điểm) Tóm tắt lời giải (1,0 điểm) Với n th× Sn + = an+2 + bn+2 (1) n + n + n n n+2 n+2 Mặt khác: (a + b)( a +b ) ab(a +b ) = a + b (2) Tõ (1); (2) ta có điều phải chứng minh (1.0 điểm) Ta cã: S1 = 3; S2 = Do a + b =3; ab =1 nªn theo ta cã: víi n ≥ th× Sn+2 = 3Sn+1 - Sn Do S1, S2 Z nªn S3 Z; S2, S3 Z nên S4 Z Tiếp tục trình ta S5; S6; ; S2008 Z (1.0 điểm) n Điểm 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 n 2 Ta cã Sn – = 2 2 0,25 n n n = n n ®pcm = 5 Đặt a1 = ; b1 = a1 + b1 = ; a1b1 = 2 0,25 XÐt Un= a1n b1n Víi n ≥ th× Un+2 = (a1 + b1)(a1n+1 - b1n + 1) – a1b1(a1n - b1n) Un+2 = Ta cã U1 = Z; U2 = Z; U3 = Z; U4 = Z; TiÕp tôc trình ta Un nguyên n lẻ Vậy Sn số phương n = 2k+1 víi k Z vµ k 1003 Un+1 – Un 0,25 0,25 C©u (5,0 điểm) Tóm tắt lời giải Điểm F D N I C S A M O1 E O O2 ThuVienDeThi.com B (2,5 ®iĨm) O1M; O2N MN O1M/ / O2N Do O1; E; O2 thẳng hàng nên MO1E = NO2B C¸c tam gi¸c O1ME; O2NB cân O1 O2 nên ta có: MEO1= NBO2 Mặt khác ta có: AME = 900 MAE + MEO1= 900 MAE + NBO2 = 900 AFB = 900 Tứ giác FMEN có góc vuông Tứ giác FMEN hình chữ nhật NME = FEM Do MN MO1 MNE + EMO1 = 900 Do tam gi¸c O1ME cân O1 MEO1 = EMO1 Từ (3); (4); (5) ta cã: FEM + MEO1= 900 hay FEO1 = 900 (®pcm) (2,5 ®iĨm) Ta cã EB = 12 cm O1M = cm < O2N = cm MN c¾t AB S với A nằm S B O M SO1 Gọi I trung điểm CD CD OI OI// O1M //O2N O N SO SO2 = 2SO1 SO1+O1O2 = 2SO1 SO1= O1O2 Do O1O2 = + = cm SO1= O1O2 = cm SO =SO1 + O1O = 15cm OI SO MỈt kh¸c: OI = cm O1M SO1 XÐt tam giác COI vuông I ta có: CI2 + OI2= CO2 CI2 + 25 = CO2 Ta cã: CO = cm CI2 + 25 = 81 CI = 56 CD = 14 cm 0,25 0.25 0,25 0,25 0,50 (1) (2) 0,25 0,25 0,25 0,25 (3) (4) (5) 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 Câu (2,0 điểm) Điểm A E E N I B M C S a) KỴ BI , CS // EF ( I , S AM ) AB AI AC AS , AE AN AF AN AB AC AI AS () AE AF AN AN Ta cã: 1,0 BIM CSM (cgc) IM MS VËy: AI AS AI AI IM MS AM Ta có: Thay vào (*) ta (đpcm) ThuVienDeThi.com 0,5 Khi d // BC EF // BC N trung điểm EF +Từ F kẻ đường thẳng song song với AB cắt KP L Ta cã: NFP NFL(cgc) EP LF Do ®ã : A 0,5 0,5 K EP LF KF (1) PB PB KB 0,5 L E +Tõ B kỴ đường thẳng song song với AC cắt KM H Ta cã BMH CMQ (cgc) BH QC N F Q P B FQ FQ KF (2) QC BH KB FP FQ Tõ (1) va (2) PQ // BC PB QC M 0,5 C Do đó: 0,5 (đpcm) Bài 6: điểm) Do a