Đề thi chọn học sinh giỏi toán 9 (đề số 3) năm học: 2008 2009 môn: Toán41251

Phòng GD-ĐT nga Sơn kỳ thi chọn học sinh giỏi toán (đề số 3) năm học : 2008 - 2009 Môn : Toán (Thời gian làm bài: 150 phút: Vòng 2) Bài ( 3,0 điểm) 2ab Xét biÓu thøc P = b2 1 Chøng minh P xác định Rút gọn P Khi a b thay đổi, hÃy tìm giá trị nhỏ P Bài (3,0 điểm) Tìm x; y; z thoả mÃn hÖ sau:  x  3x    y  y  3y    2z  z  3z  3x Cho số dương: a; b vµ x = ax ax  a  x  a  x 3b Bµi ( 3,0 ®iĨm) 3 3 ;b= 2 Chøng minh r»ng víi n ≥ 1, ta cã Sn + = (a + b)( an + + bn + 1) – ab(an + bn) Chøng minh với n thoả mÃn điều kiện đề bài, Sn số nguyên Với số nguyên dương n 2008, đặt Sn = an +bn , với a =    n    n      Tìm tất số n để Sn lµ Chøng minh Sn – =       sè chÝnh ph­¬ng Bài (5,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB điểm E nằm điểm A điểm B cho AE < BE Vẽ đường tròn (O1) đường kính AE đường tròn (O2) đường kính BE Vẽ tiếp tuyến chung MN hai đường tròn trên, với M tiếp điểm thuộc (O1) N tiếp điểm thuộc (O2) Gọi F giao điểm đường thẳng AM BN Chứng minh đường thẳng EF vuông góc với đường thẳng AB Với AB = 18 cm AE = cm, vẽ đường tròn (O) đường kính AB Đường thẳng MN cắt đường tròn (O) C D, cho điểm C thuộc cung nhỏ AD Tính độ dài đoạn thẳng CD Bài 5: (4đ): Cho ABC đường thẳng d cắt AB vµ AC vµ trung tuyÕn AM theo thø tù Lµ E , F , N AB AC AM a) Chøng minh :   AE AF AN b) Giả sử đường thẳng d // BC Trên tia ®èi cđa tia FB lÊy ®iĨm K, ®­êng th¼ng KN cắt AB P đường thẳng KM cắt AC Q Chứng minh PQ//BC Bài 6: (2 điểm) Cho < a, b,c  a + x > §iĨm 0,25 (1) a (b  1) 0 b2 1 Ta cã a + x > a – x ≥  a  x  a  x  Tõ (1); (2); (3) P xác định 0,25 Xét a x = (2) (3) Rót gän: a (b  1) 2ab a  Ta cã: a + x = a   a  x  (b  1) b 1 b 1 b 1 a (b  1) 2ab a  a - x =a   a  x  b 1 b 1 b 1 b 1 a a (b  1)  b 1 b 1 b 1   b 1 b 1   P= 3b b   b  3b a a (b  1)  b 1 1 b 1 b  NÕu < b <  P =   2b 3b 3b 3b   NÕu b   P= b  3b 3b 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (1.0 ®iĨm) XÐt tr­êng hỵp: 4  P 3b  b  2b     NÕu b , a dương tuỳ ý P = b  3b  3b  b Ta cã:   , dÊu b»ng x¶y vµ chØ b = 3b 2b Mặt khác: , dấu xảy vµ chØ b = 3 2 VËy P    , dÊu b»ng xảy b = 3 KL: Giá trị nhỏ P =  NÕu < b < 1, a dương tuỳ ý P = 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu (3,0 điểm) Tóm tắt lời giải Điểm Biến ®ỉi t­¬ng ®­¬ng hƯ ta cã  (x  2)(x  1)   y  (y  2)(y  1)  2(2  z ) (z  2)(z  1)  3(2  x)  1,00 Nhân vế phương trình với ta được: (x - 2)(y - 2) (z - 2)(x+1)2(y+1)2(z+1)2= - 6(x - 2)(y - 2) (z - 2) 0,50 ThuVienDeThi.com   0,25 0,25 0,25 0,50 0,25  (x - 2)(y - 2) (z - 2) (x  1) (y  1) (z  1)  =  (x - 2)(y - 2) (z - 2) =  x = hc y = hc z = Víi x = hc y = hc z = thay vào hệ ta có x = y = z = VËy víi x = y = z = thoả mÃn hệ đà cho Câu (3,0 điểm) Tóm tắt lời giải (1,0 điểm) Với n th× Sn + = an+2 + bn+2 (1) n + n + n n n+2 n+2 Mặt khác: (a + b)( a +b ) ab(a +b ) = a + b (2) Tõ (1); (2) ta có điều phải chứng minh (1.0 điểm) Ta cã: S1 = 3; S2 = Do a + b =3; ab =1 nªn theo ta cã: víi n ≥ th× Sn+2 = 3Sn+1 - Sn Do S1, S2  Z nªn S3  Z; S2, S3 Z nên S4 Z Tiếp tục trình ta S5; S6; ; S2008 Z (1.0 điểm) n Điểm 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 n               2 Ta cã Sn – =   2    2   0,25 n    n     n                 =                 n    n      ®pcm =   5 Đặt a1 = ; b1 =  a1 + b1 = ; a1b1 = 2 0,25 XÐt Un= a1n  b1n Víi n ≥ th× Un+2 = (a1 + b1)(a1n+1 - b1n + 1) – a1b1(a1n - b1n)  Un+2 = Ta cã U1 =  Z; U2 =  Z; U3 =  Z; U4 =  Z; TiÕp tôc trình ta Un nguyên n lẻ Vậy Sn số phương n = 2k+1 víi k  Z vµ  k  1003 Un+1 – Un 0,25 0,25 C©u (5,0 điểm) Tóm tắt lời giải Điểm F D N I C S A M O1 E O O2 ThuVienDeThi.com B (2,5 ®iĨm) O1M; O2N  MN  O1M/ / O2N Do O1; E; O2 thẳng hàng nên  MO1E =  NO2B C¸c tam gi¸c O1ME; O2NB cân O1 O2 nên ta có: MEO1= NBO2 Mặt khác ta có: AME = 900   MAE +  MEO1= 900   MAE +  NBO2 = 900   AFB = 900 Tứ giác FMEN có góc vuông Tứ giác FMEN hình chữ nhật NME =  FEM Do MN  MO1   MNE +  EMO1 = 900 Do tam gi¸c O1ME cân O1 MEO1 = EMO1 Từ (3); (4); (5) ta cã:  FEM +  MEO1= 900 hay  FEO1 = 900 (®pcm) (2,5 ®iĨm) Ta cã EB = 12 cm  O1M = cm < O2N = cm  MN c¾t AB S với A nằm S B O M SO1 Gọi I trung điểm CD CD  OI  OI// O1M //O2N   O N SO  SO2 = 2SO1  SO1+O1O2 = 2SO1  SO1= O1O2 Do O1O2 = + = cm  SO1= O1O2 = cm  SO =SO1 + O1O = 15cm OI SO MỈt kh¸c:   OI = cm O1M SO1 XÐt tam giác COI vuông I ta có: CI2 + OI2= CO2  CI2 + 25 = CO2 Ta cã: CO = cm  CI2 + 25 = 81  CI = 56  CD = 14 cm 0,25 0.25 0,25 0,25 0,50 (1) (2) 0,25 0,25 0,25 0,25 (3) (4) (5) 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 Câu (2,0 điểm) Điểm A E E N I B M C S a) KỴ BI , CS // EF ( I , S  AM ) AB AI AC AS  ,  AE AN AF AN AB AC AI AS     () AE AF AN AN Ta cã: 1,0 BIM  CSM (cgc)  IM  MS VËy: AI  AS  AI  AI  IM  MS  AM Ta có: Thay vào (*) ta (đpcm) ThuVienDeThi.com 0,5 Khi d // BC  EF // BC  N trung điểm EF +Từ F kẻ đường thẳng song song với AB cắt KP L Ta cã: NFP  NFL(cgc)  EP  LF Do ®ã : A 0,5 0,5 K EP LF KF (1)   PB PB KB 0,5 L E +Tõ B kỴ đường thẳng song song với AC cắt KM H Ta cã BMH  CMQ (cgc)  BH  QC N F Q P B FQ FQ KF   (2) QC BH KB FP FQ Tõ (1) va (2)    PQ // BC PB QC M 0,5 C Do đó: 0,5 (đpcm) Bài 6: điểm) Do a