Sáng kiến kinh nghiệm Mở rộng các bài toán về dãy số để bồi dưỡng học sinh giỏi10665

S¸ng kiÕn kinh nghiƯm MỞ RỘNG CÁC BÀI TỐN VỀ DÃY SỐ ĐỂ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI A- PHẦN MỞ ĐẦU Trong hệ thống giáo dục quốc dân Tiểu học bậc học móng Các mơn học tiểu học nói chung mơn Tốn nói riêng góp phần khơng nhỏ vào việc hình thành phát triển sở ban đầu quan trọng nhân cách người Việt Nam Những kiến thức, kỹ mơn tốn có nhiều ứng dụng sống, làm sở cho việc học tập môn học khác học tiếp lớp Mơn tốn giúp học sinh nhận biết mối quan hệ số lượng hình dạng khơng gian giưói thực; nhờ mà học sinh có phương pháp nhận thức số mặt giưói biết cách hoạt động có hiệu đời sống Mơn Tốn có tiềm giáo dục to lớn, góp phần quan trọng việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp giải vấn đề Nó góp phần phát triển trí thơng minh, cách suy nghĩ độc lập linh hoạt, sáng tạo; góp phần vào việc hình thành phẩm chất cần thiết quan trọng người lao động cần cù, cẩn thận, có ý thức vượt khó khăn, làm việc có kế hoạch, có nếp có tác phong khoa học Phát bồi dưỡng nhân tài vấn đề mà đảng nhà nước ta quan tâm; Xuất phát từ mục tiêu Đảng "Phát tài bồi dưỡng nhân tài cho đất nước" cần phải chăm sóc hệ trẻ từ lúc ấu thơ đến lúc trưởng thành Vì việc phát triển bồi dưỡng từ bậc tiểu học công việc quan trọng đồi hỏi người giáo viên phải không ngừng cải tiến nội dung, đổi phương pháp để khuyến khích học sinh say mê học tập, nghiên cứu tìm tịi chiếm lĩnh tri thức Việc dạy giải tốn nâng cao mơn giải tốn Tiểu học có vị trí đặc biệt quan trọng Thơng qua dạy giải tốn nâng cao giúp cho đội ngũ giáo viên nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ, rèn kỹ giải tốn từ nâng cao chất lượng dạy tốn Tiểu học Cũng thơng qua giải tốn nâng cao có tác dụng thúc phát triển tư logic, rèn luyện khả sáng tạo Tốn học học sinh DeThiMau.vn Trang S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Muốn nâng cao chất lượng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi tốn trước hết phải xây dựng nội dung hợp lý, khoa học phương pháp giảng dạy phù hợp, phát triển khả tư linh hoạt, sáng tạo học sinh Qua thực tế tham gia dạy bồi dưỡng học sinh giỏi thấy thực trạng việc dạy học giải toán nâng cao giáo viên học sinh cịn nhiều vấn đề phải quan tâm Đó là: Nội dung dạy bồi dưỡng học sinh giỏi chưa đảm bảo logic, giáo viên nghiên cứu tài liệu tham khảo thấy hay chọn để dạy cho học sinh chưa phân dạng, loại mạch kiến thức Về phương pháp dạy giải toán nâng cao chưa hợp lí, có phương pháp giải chưa phù hợp với đặc điểm tâm lý khả tiếp thu học sinh; phía chun mơn chưa có tài liệu đạo cụ thể nội dung phương pháp dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn để giáo viên lấy làm sở Học sinh chưa có phương pháp tư logic để giải dạng tập tập dãy số Chính vậy, chất lượng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi chưa cao Để bước nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi, tơi chọn nội dung: “Mở rộng Tốn dãy số để bồi dưỡng học sinh giỏi.” để áp dụng năm học 2009 - 2010 Chuyên đề nghiên cứu đối tượng học sinh giỏi lớp 4, với hình thức tổ chức dạy học theo hướng cá biệt hố; phương án dạy học dựa lực học, nhịp độ nhận thức học sinh thông qua mối quan hệ dạy học kỹ thuật thao tác dạy học theo nhóm, đội tuyển học sinh giỏi, với hình thức dạy học tạo điều kiện cho học sinh bộc lộ phát triển tài toán học Trong nội dung chương trình tốn tiểu học nói chung, chương trình Tốn lớp 4, nói riêng nội dung kiến thức số học trọng tâm, hạt nhân chương trình Các kiến thức phép toán số học hỗ trợ cho việc học tập nội dung khác đại lượng, phép đo đại lượng, yếu tố hình học, đồng thời phát triển lực tư duy, lực thực hành học sinh phẩm chất thiếu người lao động giỏi Thông qua giải tốn nâng cao có tác dụng thúc phát triển tư logic, rèn luyện khả sáng tạo Toán học học sinh Những học sinh có khiếu toán học bồi dưỡng cách đắn em phát triển tốt khả Tốn học trở thành nhà tốn học, khoa học xuất sắc DeThiMau.vn Trang S¸ng kiÕn kinh nghiÖm B- PHẦN NỘI DUNG Trong chuyên đề này, không tham vọng giải tất vấn đề dãy số lớp 4, mà tập trung sâu nghiên cứu hệ thống toán dãy số hướng dân học sinh nhận dạng phương pháp giải toán 10 dạng sau: + Điền thêm số hạng vào sau, trước dãy số + Xác định số a có thuộc dãy cho hay khơng? + Tìm số số hạng dãy + Tìm số hạng thứ n dãy số + Tìm số chữ số dãy biết số số hạng + Tìm số số hạng dãy biết số chữ số + Tìm chữ số thứ n dãy + Tìm số hạng thứ n biết tổng dãy số + Tìm tổng số hạng dãy số + Dãy chữ Như nói trên, tơi chọn chun đề nghiên cứu mảng số học( có phần dãy số) phần số học Tiểu học xét tập hợp số: số tự nhiên, phân số, số thập phân Nội dung kiến thức trọng tâm tập hợp số gồm có: - Khái niệm ban đầu số - Các phép tính - Quan hệ thứ tự Các Toán bồi dưỡng học sinh giỏi phải thể nội dung trọng tâm Đối với học sinh giỏi phải đặt mức yêu cầu cao hơn: cần nắm kiến thức cách tổng hợp Vì vậy, toán bồi dưỡng học sinh giỏi thường tổng hợp tất nội dung kiến thức kể Các tốn “Dãy số” cịn liên quan đến tốn tính chất phép tính I-/ NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG VỀ DẠY CÁC SỐ TỰ NHIÊN Dạy học số tự nhiên bậc Tiểu học nhằm giới thiệu cho học sinh khái niệm số tự nhiên 10 ký hiệu (tức chữ số) để viết số, đơn vị đếm hệ thập phân, thứ tự so sánh số tự nhiên Dạy học số tự nhiên giúp học sinh Tiểu học nhận biết quy tắc thực phép tính cộng, trừ, nhân, chia quan hệ phép tính đó, biết vận dụng bảng tính tính chất phép tính để tính nhẩm, tính nhanh tính đúng, biết thử lại phép tính cần thiết, biết giải tốn có lời văn DeThiMau.vn Trang S¸ng kiÕn kinh nghiƯm trình bày giải Đồng thời dạy học số tự nhiệm nhằm củng cố kiến thức có liên quan mơn tốn đại lượng phép đo đại lượng, yếu tố hình học đồng thời phát triển lực tư duy, lực thực hành học sinh phẩm chất thiếu người lao động II-/ DẠY HỌC HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM SỐ TỰ NHIÊN - Số tự nhiên: Là khái niệm trừu tượng, thuộc tính chung tập hợp tương đương nghĩa tập hợp thiết lập tương ứng đối Do để nhận thức khái niệm số tự nhiên địi hỏi học sinh phảI có khả trìu tượng hố, khái qt hố cao, học sinh Tiểu học có hạn chế nhận thức Tri giác gắn liền với hành động đồ vật; khó nhận biết tính chất chung tập hợp thay đổi vài đặc điểm bên ngồi phần tử hình dạng, màu sắc; ý học sinh Tiểu học chủ yếu ý không chủ định, hay ý đến lạ, hấp dẫn, đập vào trước mắt cần quan sát, học sinh Tiểu học trí nhớ trực quan hình tượng phát triển mạnh trí nhớ câu chữ, trừu tượng, trí tưởng tượng phụ thuộc vào hình mẫu có thực, tư cụ thể chủ yếu, tư trừu tượng hình thành Vì thế, để học sinh Tiểu học hiểu chất số tự nhiên cần phải qua trình với mức độ khác nhiều cách khác kết hợp với chế logic hình thành khái niệm kinh nghiệm sống học sinh Giai đoạn 1: Hình thành khái niệm tập hợp lực lượng Giai đoạn 2: Giới thiệu ký hiệu số, cách viết đọc số Giai đoạn 3: Hình thành khái niệm dãy số Sau học sinh nắm chữ số, cách đọc cách viết số, xếp tập hợp thành dãy theo quan hệ “nhiều hơn”, “ít hơn” giáo viên giúp học sinh viết “chữ số” tương ứng với “số phần tử” tập hợp thành hàng, học sinh nhận dãy số Giáo viên cần nhấn mạnh tính chất quan trọng dãy số quan hệ “liền trước”; “liền sau” để củng cố khái niệm dãy số, giáo viên yêu cầu học sinh tập đếm xuôi, đếm ngược, đếm liên tục, đếm nhảy định vị số dãy DeThiMau.vn Trang S¸ng kiÕn kinh nghiƯm III-/ CÁC DẠNG TỐN VỀ DÃY SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Các kiến thức cần nhớ: Trong dãy số tự nhiên liên tiếp số chẵn lại đến số lẻ lại đến số chẵn… Vì vậy, nếu: - Dãy số số lẻ kết thúc số chẵn số lượng số lẻ số lượng số chẵn - Dãy số số chẵn kết thúc số lẻ số lượng số chẵn số lượng số lẻ - Nếu dãy số số lẻ kết thúc số lẻ số lượng số lẻ nhiều số chẵn số - Nếu dãy số số chẵn kết thúc số chẵn số lượng số chẵn nhiều số lẻ số a Trong dãy số tự nhiên liên tiếp số số lượng số dãy số giá trị số cuối số b Trong dãy số tự nhiên liên tiếp số khác số số lượng số dãy số hiệu số cuối dãy số với số liền trước số Các loại dãy số: + Dãy số cách đều: - Dãy số tự nhiên - Dãy số chẵn, lẻ - Dãy số chia hết không chia hết cho số tự nhiên + Dãy số khơng cách - Dãy Fibonacci hay tribonacci - Dãy có tổng (hiệu) hai số liên tiếp dãy số + Dãy số thập phân, phân số: Cách giải dạng toán dãy số: Dạng 1: Điền thêm số hạng vào sau, trước dãy số Trước hết ta cần xác định lại quy luật dãy số: + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) số hạng đứng trước cộng (hoặc trừ) với số tự nhiên a + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) số hạng đứng trước nhân (hoặc chia) với số tự nhiên q khác DeThiMau.vn Trang S¸ng kiÕn kinh nghiƯm + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) tổng số hạng đứng liền trước + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) tổng số hạng đứng trước cộng với số tự nhiên d cộng với số thứ tự số hạng + Số hạng đứng sau số hạng đứng trước nhân với số thứ tự + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở a lần số liền trước + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở đi, số liền sau a lần số liền trước cộng (trừ ) n (n khác 0) Các ví dụ: Bài 1: Điền thêm số hạng vào dãy số sau: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…… Muốn giải toán trước hết phải xác định quy luật dãy số sau: Ta thấy: + = 3+5=8 2+3=5 + = 13 Dãy số lập theo quy luật sau: Kể từ số hạng thứ trở số hạng tổng hai số hạng đứng liền trước Ba số hạng là: 21 + 34 = 55; 34 + 55 = 89; 55 + 89 = 144 Vậy dãy số viết đầy đủ là: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 34, 55, 89, 144 Bài 2: Viết tiếp số hạng vào dãy số sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27 Ta nhận thấy: 8=1+3+4 27 = 4+ + 15 15 = + + Từ ta rút quy luật dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) tổng ba số hạng đứng liền trước Viết tiếp ba số hạng, ta dãy số sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27, 50, 92, 169 Bài 3: Tìm số hạng dãy số sau biết dãy số có 10 số hạng a)…, …, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 b) , , 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110 Giải: a) Ta nhận xét : Số hạng thứ 10 : 1024 = 512 x Số hạng thứ : 512 = 256 x Số hạng thứ : 256 = 128 x DeThiMau.vn Trang S¸ng kiÕn kinh nghiƯm Số hạng thứ : 128 = 64 x …………………………… Từ ta suy luận quy luật dãy số là: số hạng dãy số gấp đôi số hạng đứng liền trước Vậy số hạng dãy là: x = b) Ta nhận xét : Số hạng thứ 10 : 110 = 11 x 10 Số hạng thứ : 99 = 11 x Số hạng thứ : 88 = 11 x Số hạng thứ : 77 = 11 x ………………………… Từ ta suy luận quy luật dãy số là: Mỗi số hạng số thứ tự số hạng nhân với 11 Vậy số hạng dãy : x 11 = 11 Bài 4: Tìm số cịn thiếu dãy số sau : a 3, 9, 27, , , 729 b 3, 8, 23, , , 608 Giải : Muốn tìm số thiếu dãy số, cần tim quy luật dãy số a Ta nhận xét : 3x3=9 x = 27 Quy luật dãy số là: Kể từ số hạng thứ trở đi, số hạng gấp lần số liền trước Vậy số cịn thiếu dãy số là: 27 x = 81 ; 81 x = 243 ; 243 x = 729 (đúng) Vậy dãy số thiếu hai số : 81 243 b Ta nhận xét: 3x3–1=8; x – = 23 Quy luật dãy số là: Kể từ số hạng thứ trở đi, số hạng lần số liền trước trừ Vì vậy, số thiếu dãy số là: 23 x - = 68 ; 68 x – = 203 ; 203 x – = 608 (đúng) Dãy số thiếu hai số là: 68 203 DeThiMau.vn Trang S¸ng kiÕn kinh nghiƯm Bài 5: Lúc 7h sáng, người từ A đến B người từ B đến A ; hai đến đích lúc 2h chiều Vì đường khó dần từ A đến B ; nên người từ A, đầu 15km, sau lại giảm 1km Người từ B cuối 15km, trước lại giảm 1km Tính qng đường AB Giải: chiều 14h ngày người đến đích số là: 14 – = Vận tốc người từ A đến B lập thành dãy số: 15, 14, 13, 12, 11, 10, Vận tốc người từ B đến A lập thành dãy số: 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 Nhìn vào dãy số ta nhận thấy có số hạng giống quãng đường AB là: + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 84 Đáp số: 84km Bài 6: Điền số thích hợp vào ô trống cho tổng số ô liên tiếp 2010 783 998 Giải: Ta đánh số thứ tự sau: 783 Ơ1 Ơ2 Ô3 Ô4 Ô5 Ô6 998 Ô7 Ô8 Ô9 Ô10 229 783 998 Theo điều kiện đề ta có: 783 + Ô7 + Ô8 = 2010 Ô7 + Ô8 + Ơ9 = 2010 Vậy Ơ9 = 783; từ ta tính được: Ơ8 = Ơ5 = Ơ2 = 2010 - (783 + 998) = 229 Ô7 = Ô4 = Ô1 = 998 Ô3 = Ô6 = 783 Điền số vào ta dãy số: 998 229 783 998 229 783 998 Một số lưu ý giảng dạy Toán dạng là: Trước hết phải xác định quy luật dãy dãy tiến, dãy lùi hay dãy số theo chu kỳ Từ mà học sinh có DeThiMau.vn Trang S¸ng kiÕn kinh nghiƯm thể điền số vào dãy cho * Bài tập tự luyện: Bài 1: 13, 19, 25, 31,……, Dãy số vừa viết Ba số viết tiếp ba số nào? Số suy nghĩ thấp cao? Đố em, đố bạn kể liền? Bài 2: Tìm viết số hạng thiếu dãy số sau: a 7, 10, 13,…, …, 22, 25 b 103, 95, 87,…, …, , 55, 47 Bài 3: Điền số thích hợp vào trống, cho tổng số ô liền bằng: a n = 14,5 2,7 8,5 b n = 23,4 8,7 7,6 Bài 4: Cho dãy phân số sau: 2001 2002 2003 2004 ; ; ; 2002 2003 2004 2005 a) Hãy viết tiếp số hạng thứ năm dãy theo quy luật? b) Chứng tỏ dãy dãy xếp theo thứ tự tăng dần? Bài 5: Viết tiếp ba số hạng vào dãy số sau : a) 1; 3; 4; 7; 11; 18; b) 0; 2; 4; 6; 12; 22; c) ; 3; 7; 12; d) 1; 2; 6; 24; Dạng 2: Xác định số A có thuộc dãy cho hay khơng? Cách giải dạng toán này: - Xác định quy luật dãy; - Kiểm tra số A có thoả mãn quy luật hay khơng? Các ví dụ: Bài 1: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8,…… a Dãy số viết theo quy luật nào? DeThiMau.vn Trang S¸ng kiÕn kinh nghiƯm b Số 2009 có phải số hạng dãy khơng? Vì sao? Giải: a Ta nhận thấy: Số hạng thứ 1: 2=2x1 Số hạng thứ 2: 4=2x2 Số hạng thứ 3: 6=2x3 … Số hạng thứ n: ?=2xn Quy luật dãy số là: Mỗi số hạng nhân với số thứ tự số hạng b Ta nhận thấy số hạng dãy số chẵn, mà số 2009 số lẻ, nên số 2009 số hạng dãy Bài 2: Cho dãy số: 2, 5, 8, 11, 14, 17,…… - Viết tiếp số hạng vào dãy số trên? - Số 2009 có thuộc dãy số khơng? Tại sao? Giải: - Ta thấy: – = 3; 11 – = 3; ……… Dãy số viết theo quy luật sau: Kể từ số thứ trở đi, số hạng số hạng đứng liền trước cộng với Vậy số hạng dãy số là: 17 + = 20 ; 20 + = 23 ; 23 + = 26 Dãy số viết đầy đủ là: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26 - Ta thấy: : = dư ; : = dư ; : = dư ; Vậy dãy số mà số hạng chia cho dư Mà: 2009 : = 669 dư Vậy số 2009 có thuộc dãy số chia cho dư Bài 3: Em cho biết: a Các số 60, 483 có thuộc dãy 80, 85, 90,…… hay khơng? b Số 2002 có thuộc dãy 2, 5, 8, 11,…… hay không? c Số số 798, 1000, 9999 có thuộc dãy 3, 6, 12, 24,…… giải thích sao? Giải: a Cả số 60, 483 không thuộc dãy cho vì: - Các số hạng dãy cho lớn 60 DeThiMau.vn Trang 10 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - Các số hạng dãy cho chia hết cho 5, mà 483 không chia hết cho b Số 2002 khơng thuộc dãy cho số hạng dãy chia cho dư 2, mà 2002 chia dư c Cả số 798, 1000, 9999 không thuộc dãy 3, 6, 12, 24,… vì: - Mỗi số hạng dãy (kể từ số hạng thứ 2) gấp đôi số hạng liền trước nhận nó; số hạng (kể từ số hạng thứ 3) có số hạng đứng liền trước số chẵn, mà 798 chia cho = 399 số lẻ - Các số hạng dãy chia hết cho 3, mà 1000 lại không chia hết cho - Các số hạng dãy (kể từ số hạng thứ 2) chẵn, mà 9999 số lẻ Bài 4: Cho dãy số: 1; 2,2; 3,4; ……; 13; 14,2 Nếu viết tiếp số 34,6 có thuộc dãy số khơng? Giải: - Ta nhận xét: 2,2 - = 1,2; 3,4 - 2,2 = 1,2; 14,2 - 13 = 1,2;…… Quy luật dãy số là: Từ số hạng thứ trở đi, số hạng số hạng liền trước 1,2 đơn vị: - Mặt khác, số hạng dãy số trừ chia hết cho 1,2 Ví dụ: (13 - 1) chia hết cho 1,2 (3,4 - 1) chia hết cho 1,2 Mà: (34,6 - 1) : 1,2 = 28 dư Vậy viết tiếp số 34,6 thuộc dãy số Bài 5: Cho dãy số: 1996, 1993, 1990, 1987,……, 55, 52, 49 Các số sau có phải số hạng dãy không? 100, 123, 456, 789, 1900, 1436, 2009? Giải: Nhận xét: Đây dãy số cách đơn vị Trong dãy số này, số lớn 1996 số bé 49 Do đó, số 2009 số hạng dẫy số cho lớn 1996 Các số hạng dãy số cho số chia cho dư Do đó, số 100 số 1900 số hạng dãy số Các số 123, 456, 789 chia hết số khơng phải số hạng dãy số cho Số 1436 chia cho dư nên số hạng dãy số cho DeThiMau.vn Trang 11 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm * Bài tập lự luyện: Bài 1: Cho dãy số: 1, 4, 7, 10,… a Nêu quy luật dãy b Số 31 có phải số hạng dãy khơng? c Số 2009 có thuộc dãy khơng? Vì sao? Bài 2: Cho dãy số: 1004, 1010, 1016,…, 2012 Hỏi số 1004 1760 có thuộc dãy số hay khơng? Bài 3: Cho dãy số: 1, 7, 13, 19,…, a Nêu quy luật dãy số viết tiếp số hạng b Trong số 1999 2009 số thuộc dãy số? Vì sao? Bài 4: Cho dãy số: 3, 8, 13, 18,…… Có số tự nhiên có chữ số tận mà thuộc dãy số không? Bài 5: Cho dãy số: 1, 3, 6, 10, 15,……, 45, 55,…… a Số 1997 có phải số hạng dãy số hay khơng? b Số 561 có phải số hạng dãy số hay khơng? Dạng 3: Tìm số số hạng dãy * Cách giải dạng là: Đối với dạng toán này, ta thường sử dụng phương pháp giải toán khoảng cách (toán trồng cây) Ta có cơng thức sau : Số số hạng dãy = số khoảng cách+ Đặc biệt, quy luật dãy : Mỗi số hạng đứng sau số hạng liền trước cộng với số không đổi d thì: Số số hạng dãy = ( Số hạng lớn – Số hạng nhỏ ) : d + Các ví dụ: Bài 1: Cho dãy số 11; 14; 17; ;65; 68 Hãy xác định dãy số có số hạng? Lời giải : Ta có : 14 - 11= 3; 17 - 14 = 3; Vậy quy luật dãy số số hạng đứng liền sau số hạng đứmg liền trước cộng với Số số hạng dãy số là: ( 68 - 11 ) : + = 20 ( số hạng ) DeThiMau.vn Trang 12 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm Bài 2: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, 10,……, 1992 Hãy xác định dãy số có số hạng? Giải: Ta thấy: 4–2=2 ; 8–6 =2 6–4=2 ; ……… Vậy, quy luật dãy số là: Mỗi số hạng đứng sau số hạng đứng trước cộng với Nói khác: Đây dãy số chẵn dãy số cách đơn vị Dựa vào công thức trên: (Số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + Ta có: Số số hạng dãy là: (1992 - 2) : + = 996 (số hạng) Bài 3: Cho 1, 3, 5, 7, ……… dãy số lẻ liên tiếp đầu tiên; hỏi 1981 số hạng thứ dãy số này? Giải thích cách tìm? (Đề thi học sinh giỏi bậc tiểu học 1980 – 1981) Giải: Ta thấy: Số hạng thứ bằng: = + x Số hạng thứ hai bằng: 3=1+2x1 Số hạng thứ ba bằng: 5=1+2x2 ……… Còn số hạng cuối cùng: 1981 = + x 990 Vì vậy, số 1981 số hạng thứ 991 dãy số Bài 4: Cho dãy số: 3, 18, 48, 93, 153,… a Tìm số hạng thứ 100 dãy b Số 11703 số hạng thứ dãy? Giải: a Số hạng thứ nhất: = + 15 x Số hạng thứ hai: 18 = + 15 x Số hạng thứ ba: 48 = + 15 x + 15 x Số hạng thứ tư: 93 = + 15 x + 15 X + 15 x Số hạng thứ năm: 153 = + 15 x + 15 x + 15 x + 15 x ……… Số hạng thứ n: + 15 x1 + 15 x +15 x + …… + 15 x (n - 1) DeThiMau.vn Trang 13 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Vậy số hạng thứ 100 dãy là: + 15 x + 15 x + …… + 15 x (100 - 1) = + 15 x (1 + + + …… + 99) (Đưa số nhân với tổng = + 15 x (1 + 99) x 99 : = 74253 b Gọi số 11703 số hạng thứ n dãy: Theo quy luật phần a ta có: + 15 x + 15 x + 15 x + …… x (n – 1) = 11703 + 15 x (1 + + + ……+ ( n – 1)) = 11703 + 15 x (1 + n – 1) x (n – 1) : = 11703 15 x n x (n – 1) = (11703 – 3) x = 23400 n x (n – 1) = 23400 : 15 = 1560 Nhận xét: Số 1560 tích hai số tự nhiên liên tiếp 39 40 (39 x 40 = 1560) Vậy, n = 40, số 11703 số hạng thứ 40 dãy Bài 5: Trong số có ba chữ số, có số chia hết cho 4? Lời giải: Ta nhận xét : Số nhỏ có ba chữ số chia hết cho 100 số lớn có ba chữ số chia hết cho 996 Như số có ba chữ số chia hết cho lập thành dãy số có số hạng nhỏ 100, số hạng lớn 996 số hạng dãy ( kể từ số hạng thứ hai ) số hạng đứng liền trước cộng với Vậy số số có ba chữ số chia hết cho : ( 996 – 100 ) : = 225 ( số ) * Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho dãy số: 3, 8, 13, 23, ……,2008 Tìm xem dãy số có số hạng ? Bài 2: Tìm số số hạng dãy số sau: a 1, 4, 7, 10, ……,1999 b 1,1 ; 2,2 ; 3,3 ; ; 108,9 ; 110,0 Bài 3: Xét dãy số: 100, 101, ………, 789 Dãy có số hạng? Bài 4: Có số chia cho dư mà nhỏ 2010 ? Bài 5: Người ta trồng hai bên đường đoạn đường quốc lộ dài 21km Hỏi phải dùng để đủ trồng đoạn đường ? Biết trồng cách 5m DeThiMau.vn Trang 14 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm Dạng 4: Tìm số hạng thứ n dãy số Bài toán 1: Cho dãy số: 1, 3, 5, 7, Hỏi số hạng thứ 100 dãy số số Giải: Số khoảng cách từ số đầu đến số hạng thứ 100 là: 98 - = 99 Mỗi khoảng cách - = -3 =2 Số hạng thứ 100 + 99  = 199 Công thức tổng quát: Số hạng thứ n = số đầu + khoảng cách  (Số số hạng - 1) Bài tốn 2: Tìm số hạng thứ 100 dãy số viết theo quy luật: a) 3, 8, 15, 24, 35,… (1) b) 3, 24, 63, 120, 195,… (2) c) 1, 3, 6, 10, 15,… (3) Giải: a) Dãy (1) viết dạng: 1x3, 2x4, 3x5, 4x6, 5x7,… Mỗi số hạng dãy (1) tích hai thừa số, thừa số thứ hai lớn thừa số thứ đơn vị Các thừa số thứ làm thành dãy: 1, 2, 3, 4, 5, …; Dãy có số hạng thứ 100 100 Số hạng thứ 100 dãy (1) bằng: 100x102 = 10200 b) Dãy (2) viết dạng: 1x3, 4x6, 7x9, 10x12, 13x15,… Mỗi số hạng dãy (2) tích hai thừa số, thừa số thứ hai lớn thừa số thứ đơn vị Các thừa số thứ làm thành dãy: 1, 4, 7, 10, 13, …; Số hạng thứ 100 dãy 1, 4, 7, 10, 13,… là: + (100 – ) x = 298 Số hạng thứ 100 dãy (2) bằng: 298 x 300 = 89400 c) Dãy (3) viết dạng: 1 2  3  4  ; ; ; ; 2 2 Số hạng thứ 100 dãy (3) bằng: 100  101  5050 DeThiMau.vn Trang 15 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm * Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho dãy số : 101, 104, 107, 110, Tìm số hạng thứ 1998 dãy số Bài 2: Cho dãy số : 5, 8, 11, 14, a) Tìm số hạng thứ 200 dãy số b) Nếu viết tiếp số : 1000 ; 2009 ; 5000 có số hạng dãy khơng ? Tại Bài 3: Một bạn học sinh viết liên tiếp số tự nhiên mà chia cho dư bát đầu từ số thành dãy số Viết đến số hạng thứ 100 phát viết sai Hỏi bạn viết sai số ? Dạng 5: Tìm số chữ số dãy biết số số hạng Bài toán 1: Cho dãy số: 1, 2, 3, .150 Hỏi để viết dãy số người ta phải dùng chữ số Giải: Dãy số cho có : ( - 1) : + = số có chữ số Có ( 99 - 10 ) : + = 90 số có chữ số Có ( 150 - 100) : + = 51 số có chữ số Vậy số chữ số cần dùng :  + 90  + 51  = 342 chữ số Bài toán 2: Một sách có 234 trang Hỏi để đánh số trang sách người ta phải dùng chữ số Giải: Để đánh số trang sách người ta phải viết liên tiếp số tự nhiên từ đến 234 thành dãy số Dãy số có ( - 1) : + = số có chữ số Có: ( 99 - 10) : + = 90 số có chữ số Có: ( 234 - 100) : + = 135 số có chữ số Vậy người ta phải dùng số chữ số là:  + 90  + 135  = 594 chữ số DeThiMau.vn Trang 16 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm * Bài tập tự luyện: Bài 1: Một bạn học sinh viết liên tiếp số tự nhiên từ 101 đến 2009 thành số lớn Hỏi số có chữ số Bài 2: Trường Tiểu học Thành Công có 987 học sinh Hỏi để ghi số thứ tự học sinh trường người ta phải dùng chữ số Bài 3: Cần chữ số để đánh số trang sách có tất là: a) 752 trang b) 1251 trang Dạng 6: Tìm số số hạng biết số chữ số Bài toán 1: Để đánh số trang sách người ta dùng hết 435 chữ số Hỏi sách có trang? Giải: Để đánh số trang sách đó, người ta phải viết liên tiếp số tự nhiên thành dãy số Dãy số có số có chữ số có 90 số có chữ số Để viết số cần số chữ số  + 90  = 189 chữ số Số chữ số lại là: 435 - 189 = 246 chữ số Số chữ số lại dùng để viết tiếp số có chữ số 100 Ta viết 246 : = 82 số Số trang sách 99 + 82 = 181 ( trang) Bài toán 2: Để đánh số trang sách người ta phải dùng tất 600 chữ số Hỏi sách có trang? DeThiMau.vn Trang 17 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm Giải: 99 trang đầu cần dùng 9x1 + 90x2 = 189 chữ số 999 trang đầu cần dùng: 9x1 + 90x2 + 900x3 = 2889 chữ số Vì: 189 < 600 < 2889 nên trang cuối phải có chữ số Số chữ số để đánh số trang có chữ số la: 600 - 189 = 411 (chữ số) Số trang có chữ số 411: = 137 trang Vậy sách có tất là: 99 + 137 = 236 trang Bài toán 3: Để ghi thứ tự nhà đường phố, người ta dùng số chẵn 2, 4, 6, để ghi nhà dãy phải số lẻ 1, 3, 5, để ghi nhà dãy trái đường phố Hỏi số nhà cuối dãy chẵn đường phố bao nhiêu, biết đánh thứ tự nhà dãy này, người ta dùng 367 lượt chữ số thảy Giải: Số nhà có số thứ tự ghi chữ số chẵn là: (8 - 2) : + = (nhà) Số nhà có số thứ tự ghi chữ số chẵn là: (98 - 10) : + = 45 (nhà) Số lượt chữ số để đánh số thự tự nhà có chữ số là: + 45  = 94 (lượt) Số lượt chữ số để đánh số thứ tự nhà có chữ số là: 367 - 94 = 273 (lượt) Số nhà có số thứ tự chữ số là: 273 : = 91 (nhà) Tổng số nhà dãy chẵn là: + 45 + 91 = 140 (nhà) Số nhà cuối dãy chẵn là: (140 - 1)  + = 280 Bài toán 4: Cho dãy số: 1, 3, 5, 7, , n Hãy tìm số n để số chữ số dãy gấp lần số số hạng dãy Giải: Để tìm số n cho số chữ số dãy gấp ba lần số số hạng dãy đó, ta giả sử trung bình số lẻ liên tiếp dãy có chữ số Do đó: - Từ đến gồm số lẻ có chữ số là: (9 - 1): + = (số) Môi số cần phải viết thêm chữ số nên số chữ số cần phải viết thêm là: x = 10 (chữ số) Các số lẻ gồm hai chữ số (99 - 11): + = 45 (số) Mỗi số cần phải viết thêm chữ số nên số chữ số cần phải viết thêm là: x 45 = 45 (chữ số) DeThiMau.vn Trang 18 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm Các số lẻ gồm chữ số là: ( 999 - 101) : + = 450 (số) Các số có chữ số đảm bảo số chữ số dãy gấp ba lần số số hạng dãy Từ 1001 trở đi, số cần bớt chữ số Số chữ số cần thêm phải số chữ số cần bớt bằng: 10 + 45 = 55 (chữ số) Vì số phải bớt chữ số nên số số lẻ có chữ số là: 55 : = 55 (số) Ta có: (n - 1001) : + = 55 (n - 1001) : = 55 - = 54 (n - 1001) = 54 x = 108 n = 108 + 1001 = 1109 * Bài tập tự luyện: Bài 1: Để viết dãy số tự nhiên liên tiếp người ta dùng hết 756 chữ số Hỏi số hạng cuối dãy số Bài 2: Để ghi số thứ tự học sinh trường Tiểu học, người ta phải dùng 1137 chữ số Hỏi trường có học sinh ? Bài 3: Tính số trang sách Biết để đánh số trang sách người ta phải dùng 3897 chữ số? Bài 4: Để đánh số trang sách, người ta phải dùng trung bình trang chữ số Hỏi sách có trang? Dạng 7: Tìm chữ số thứ n dãy Bài toán 1: Cho dãy số 1, 2, 3, Hỏi chữ số thứ 200 chữ số ? Giải: Dãy số cho có số có chữ số Có 90 số có chữ số Để viết số cần  + 90  = 189 chữ số Số chữ số cịn lại DeThiMau.vn Trang 19 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm 200 - 189 = 11 chữ số Số chữ số lại dùng để viết số có chữ số 100 Ta viết 11 : = số (dư chữ số) Nên có số có chữ số viết liên tiếp đến 99 + = 102 Còn dư chữ số dùng để viết tiếp số 103 viết 10 Vậy chữ số thứ 200 dãy chữ số số 103 Bài toán 2: Cho dãy số 2, 4, 6, 8, Hỏi chữ số thứ 2010 dãy chữ số nào? Giải: Dãy số cho có số có chữ số Có (98 - 10) : + = 45 số có chữ số Có (998 - 100) : + = 450 số có chữ số Để viết số cần:  + 45  + 450 x = 1444 chữ số Số chữ số lại là: 2010 - 1444 = 566 chữ số Số chữ số cịn lại dùng để viết số có chữ số 1000 Ta viết được: 566 : = 141 số (dư chữ số) Nên có 141 số có chữ số viết , số có chữ số thứ 141 là: (141 - 1) x + 1000 = 1280 Còn dư chữ số dùng để viết tiếp số 1282 viết 12 Vậy chữ số thứ 2010 dãy chữ số hàng trăm số 1282 Bài tốn 3: Tìm chữ số thứ 2010 phần thập phân số thập phân phân số DeThiMau.vn Trang 20 ... số dãy số giá trị số cuối số b Trong dãy số tự nhiên liên tiếp số khác số số lượng số dãy số hiệu số cuối dãy số với số liền trước số Các loại dãy số: + Dãy số cách đều: - Dãy số tự nhiên - Dãy. .. lượng số lẻ - Nếu dãy số số lẻ kết thúc số lẻ số lượng số lẻ nhiều số chẵn số - Nếu dãy số số chẵn kết thúc số chẵn số lượng số chẵn nhiều số lẻ số a Trong dãy số tự nhiên liên tiếp số số lượng số. .. a có thuộc dãy cho hay khơng? + Tìm số số hạng dãy + Tìm số hạng thứ n dãy số + Tìm số chữ số dãy biết số số hạng + Tìm số số hạng dãy biết số chữ số + Tìm chữ số thứ n dãy + Tìm số hạng thứ