Với mục đích thứ nhất là rèn luyện khả năng làm các bài tập cơ bản của dạng toán, trước mỗi bài tập tôi đã cho học sinh nhắc lại các kiến thức cơ bản, đồng thời người thầy giáo, cô giáo
Trang 1A ĐẶT VẤN ĐỀ.
Dạng toán về hàm số bậc nhất là một trong những dạng toán cơ bản của chương trình toán 9 Trong những năm gần đây dạng toán này chiếm tỉ lệ đáng
kể trong các đề thi tuyển sinh vào THPT
Với mục đích thứ nhất là rèn luyện khả năng làm các bài tập cơ bản của dạng toán, trước mỗi bài tập tôi đã cho học sinh nhắc lại các kiến thức cơ bản, đồng thời người thầy giáo, cô giáo cũng phải gợi ý và cung cấp cho học sinh cách giải Trên cơ sở đó học sinh tìm ra cách giải hợp lý nhất Phát hiện ra được cách giải tương tự và khái quát phương pháp đường lối chung Từ đó với mỗi bài toán cụ thể các em biết nên áp dụng bài toán tổng quát nào và áp dụng vào các bài toán tương tự
Điều mong muốn thứ hai đó là mong muốn đưa thêm các dạng toán bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi Cung cấp thêm cho các em các cách làm các dạng toán mới, phức tạp hơn giúp các em có kiến thức tổng quát hơn về dạng toán này, bổ trợ cho việc thi vào các trường THPT chuyên
B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I CƠ SỞ LÝ LUẬN:
Toán học là bộ môn khoa học được coi là chủ lực, bởi trước hết Toán học hình thành cho các em tính chính xác, tính hệ thống, tính khoa học và tính logic,
… vì thế nếu chất lượng dạy và học toán được nâng cao thì có nghĩa là chúng ta tiếp cận với nền kinh tế tri thức khoa học hiện đại, giàu tính nhân văn của nhân loại
Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết bị, đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy
và học toán nói riêng trong trường THCS hiện nay là tích cực hoá hoạt động học tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện
và hình thành kĩ năng vận dụng kiến thức một cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn
Trong quá trình giảng dạy toán cần thường xuyên rèn luyện cho học sinh các phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa lớn lao đối với việc học tập, rèn luyện và tu dưỡng trong cuộc sống của học sinh
II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ:
Trong chương trình Đại số lớp 9, dạng toán về hàm số bậc nhất là một trong những nội dung quan trọng, việc áp dụng của dạng toán này rất phong phú, đa dạng Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, cũng như qua việc theo dõi kết quả bài kiểm tra, bài thi của học sinh lớp 9, kết quả thi học giỏi cấp huyện, kết
Trang 2quả thi vào các trường THPT chuyên, việc làm các bài toán về hàm số bậc nhất
là không khó, nhưng vẫn còn nhiều học sinh làm sai hoặc chưa thực hiện được, chưa nắm vững chắc các phương pháp giải, chưa vận dụng kĩ năng biến đổi một cách linh hoạt, sáng tạo vào từng bài toán cụ thể
Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời
nâng cao chất lượng bộ môn nên bản thân đã chọn đề tài:“ RÈN LUYỆN CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT CHO HỌC SINH LỚP 9 TRƯỜNG THCS YÊN CÁT ”
1) Thuận lợi: Năm học 2011 - 2012, 2012 – 2013, 2013 - 2014 được sự
chỉ đạo của Ban giám hiệu nhà trường trong các hoạt động đặc biệt trong họat động chuyên môn, luôn tạo mọi điều kiện cho giáo viên phấn đấu, học tập và nghiên cứu, phát huy các phương pháp dạy học đổi mới sáng tạo nhất Bên cạnh
đó các môn học khác đã có học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh nên nhà trường luôn khuyến khích các giáo viên dạy toán và học sinh phải năng động tìm tòi, tư duy sáng tạo trong việc dạy và học toán Mặt khác các cấp uỷ Đảng chính quyền, các bậc phụ huynh, Hội khuyến học đã có phần quan tâm động viên hơn đối với sự nghiệp giáo dục của nhà trường
2) Khó khăn: Bên cạnh những mặt thuận lợi cũng có nhiều những khó
khăn như: Do điều kiện khách quan của nhà trường chưa thực hiện việc dạy học buổi 2 thường xuyên, các lớp bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi theo một trình tự
có hệ thống từ các lớp nhỏ đến lớp lớn chưa được liên tục Phòng thư việc của nhà trường còn nghèo nàn, do đó việc tìm tòi sách đọc là vấn đề hạn chế Chính
vì vậy để các em học tốt môn toán, làm tốt các dạng toán khác nhau thì giáo viên cần phải phân chia các dạng bài tập và hướng dẫn cụ thể cho các em, điều đó càng khiến tôi tâm huyết tìm tòi nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm này
III GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN.
1) Điều tra cơ bản.
Qua thời gian giảng dạy trực tiếp trên lớp, dạy học buổi 2 tại trường, bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi các khóa học sinh đã ra trường (khi chưa áp dụng
đề tài tôi đưa ra), tôi thấy chỉ có 10% các em làm được đa số các dạng toán về hàm số bậc nhất (có các bài tập khó), 40% học sinh làm được các dạng toán cơ bản về hàm số bậc nhất và 50% còn lại không làm hết được các dạng toán cơ bản về hàm số (chỉ làm được một vài dạng)
2) Quá trình thực hiện: Xuất phát từ điều mong muốn học sinh nắm
vững cách làm các dạng toán về hàm số bậc nhất tôi đưa ra các dạng toán về hàm số bậc nhất sau:
Trang 3Cho hai hàm s ố y = a x + b c ó đ ồ t h ị là ( d 1 ) và y = a'x + b ' c ó đ ồ t h ị là ( d 2)
(a, a'0 )
2.1 CÁC DẠN G T O Á N T HƯỜ N G G Ặ P :
1 V ẽ đồ t hị của h à m s ố y = a x + b :
Bước 1: Xá c đ ịnh g i a o đ i ể m v ớ i t r ụ c t ung : A ( 0;b)
(ch o x = 0 r ồ i t h a y v à o h à m s ố để t ì m g i á t r ị c ủ a y )
a
) ( c h o y = 0 r ồi t h a y v à o h à m s ố t ì m đ ư ợ c x )
Bước 3: V ẽ đ i ể m A , B t r ê n h ệ t r ụ c tọa độ Oxy Đ ư ờ ng t h ẳ ng q u a A và B
là đồ thị cần vẽ
Lưu ý: Để vẽ đồ thị hàm sốyaxb Ta vẽ hai đồ thị y1 axb với
b x
a
a
2 Đồ thị ( d 1) đi q u a đ i ể m A ( x 0; y 0 ) ( h a y đ i ể m A ( x 0; y 0 ) thuộc đồ t hị )
3 Hàm số y = ax + b có:
+ Đường t hẳ ng t ạo vớ i t ia Ox gó c nhọn
+ Đường t hẳ ng t ạo vớ i t ia Ox gó c tù
4 Các vị tr í giữa ha i đườ ng t hẳ ng (d1) và (d2 )
(d1) cắt (d2) a a '
,
( ) / /(d d ) a a
,
,
(d1) ( d2 ) a a ' = -1
5 Muốn t ìm tọa độ g i a o đ i ể m c ủ a h a i đ ư ờ ng t h ẳ ng ( d 1) v à (d 2) ta g i ả i hệ phương trình sau:
, ,
Nghiệm ( x 0; y 0) tì m đ ư ợ c l à tọa độ g i a o đ i ể m c ủ a h a i
đ ư ờ ng t h ẳ ng d1 và d2
6 Lập p hươ ng tr ình đ ườ ng t hẳ ng đ i q ua ha i điể m A( xa ; ya ) và B( xb; b):
B ướ c 1: T ha y t ọa độ ha i đ iể m A, B và o đư ờ ng t hẳ ng y = a x + b ta được
Trang 4hệ phương trình : , a , a
B
ư ớ c 2: G i ả i h ệ p h ư ơ ng tr ình ( ẩ n a v à b ) t a c ó: a = a 0 v à b = b0
Vậ y p hươ ng tr ình đ i q ua ha i đ iể m A( xa ; ya ) và B( xb; yb) là : y = a0 x + b0
7 Muốn t ìm đ i ề u k i ệ n để (d 1) cắ t ( d 2) t ạ i m ột đ i ể m t r ê n t r ụ c t ung ta g i ả i
hệ phương trình:
,
,
8 Muốn t ìm đ i ề u k i ệ n để (d 1) cắ t ( d 2) t ạ i m ột đ i ể m n ằ m t r ê n t r ụ c h o à nh
a
Bước 2: Tìm giao điểm của (d2) với trục hoành: B
,
, ;0
b a
B
ư ớ c 3: T ì m đ i ề u k i ệ n để a a ' v à gi ả i p h ư ơ ng tr ình: b b,,
9 Tìm đ i ề u k i ệ n để (d 1) cắ t ( d 2) t ạ i m ột đ i ể m c ó h o à nh độ l à m
B
ư ớ c 1: T ì m đ i ề u k i ệ n để a a ' ( * )
B ướ c 2: T ha y x = m và o (d1) hoặ c (d2) để tìm y = y0
B ướ c 3: T ha y x = m và y = y0 và o phương trình đườ ng t hẳ ng c ò n
lạ i Kế t hợp với (*) ta có đ i ề u k i ệ n c ầ n t ì m
10 Tìm đ i ề u k i ệ n để (d 1) cắ t ( d 2) t ạ i đ i ể m c ó t ung độ
y0 : B ư ớ c 1: T ì m đ i ề u k i ệ n để a a ' ( * )
B ướ c 2: T ha y y0 và o (d1) hoặ c (d2) ta tì m đ ượ c x0 tươ ng ứ ng
B ướ c 3: T ha y x = x0 và y = y0 và o đ ườ ng t hẳ ng c ò n lạ i Kế t hợp
với (*) ta có đ i ề u k i ệ n c ầ n t ì m
11 Tìm đ i ề u k i ệ n để (d 1) cắ t ( d 2) t ạ i đ i ể m t h u ộ c g óc p h ầ n tư t hứ n h ấ t :
B ư ớ c 1: G i ả i h ệ p h ư ơ ng tr ình: a x, b, y
(x0;y0)
Bước 2: Tìm điều kiện thỏa mãn
0
0 ,
0 0
x y
12 Tìm đ i ề u k i ệ n để (d 1) cắ t ( d 2) t ạ i đ i ể m t h u ộ c góc phần tư …
Tươ ng tự bài toán 11 , c hỉ t h a y đ ổ i b ư ớ c 2
Trang 5+ Góc phần tư thứ hai
0
0 ,
0 0
x y
+ Góc phần tư thứ ba
0
0 ,
0 0
x y
+ Góc phần tư thứ tư
0
0 ,
0 0
x y
13 Tìm đ i ề u k i ệ n để (d 1) cắ t ( d 2) t ạ i 1 đ i ể m c ó tọa độ ngu y ê n: B
ư ớ c 1: G i ả i h ệ p h ư ơ ng tr ình: a x, b, y
B
ư ớ c 2: T ì m đ i ề u k i ệ n để x 0 Z , y 0 Z v à a a '
14 Chứ ng minh đồ t hị y = a x + b l u ô n đ i q u a m ột đ i ể m c ố đ ịnh v ớ i mọi tham số m:
B ướ c 1: G iả s ử đồ t hị hàm số y = a x+b luô n đ i q ua điể m A ( x0; y0) với mọi m
x0 và y0)
( m Xe m là ẩ n ; A , B là c ác h ệ s ố t h ì p h ư ơ n g t r ì n h A m + B = 0 luôn luôn đ ú n g kh i A = 0 và B = 0 )
B
ư ớ c 4: G i ả i h ệ p h ư ơ ng tr ình: 0
0
A B
ta tìm đ ượ c x0 và y0
15 Tìm m để 3 đ ư ờ ng t h ẳ ng ( d 1 ): y = a x + b (d 2): y = a ' x + b '
(d3): y = a " x + b" đ ồ ng q uy ( c ùng đ i q ua một điểm )
B ư ớ c 1: T ì m đ i ề u k i ệ n để a a ' a "
B
ư ớ c 2: + Nế u b = b ' thì ta tì m đ i ề u k i ệ n m để b" = b h oặ c b" = b'
( t rư ờ n g h ợp h o ặc b ' = b " h o ặc b = b " t a t ìm t ư ơ n g t ự )
Nế+ u b b ' b" Ta giả i hệ p hươ ng tr ình k hô ng c hứa tham số m
Trang 6VD: Giải hệ phương trình , ,
16 Tìm m để đồ t hị h à m s ố y = a x + b t ạ o v ớ i h a i t r ụ c tọa độ t a m giác cân:
B ướ c 1: T ì m gia o đ iể m vớ i tr ục t ung A (0 :b ), gia o đ iể m vớ i trục
a
a
17 Tìm đ i ề u k i ệ n c ủ a m để k h o ả ng các h t ừ g ốc tọa độ O đ ế n đ ư ờ ng
thẳng yaxb (d) có giá t r ị l ớ n n h ấ t :
ư ớ c 1:B T ì m đ i ể m c ố đ ịnh A ( x 0; y 0 ) m à đồ t hị l u ô n đ i q u a
( t heo bài toán 14)
B ư ớ c 2: T ì m g i a o đ i ể m của (d) v ớ i t r ụ c t ung B ( 0 : b )
a
ư ớ c 3:B V ì k h o ả ng cá c h t ừ O đ ế n đ ư ờ ng t h ẳ ng l ớ n n h ấ t k hi OABC Nên áp dụng h ệ t h ứ c l ư ợ ng t r o ng t a m g i á c v u ô ng O B C v ớ i đ ư ờng cao
T ính O A , O B , O C v à t h a y v à o h ệ th ứ c ( * ) t a tìm đ ư ợ c m
Lưu ý: + Ở b ư ớc 3 ta c ó t h ể lập ph ư ơ n g t r ì n h đ ư ờ n g t h ẳ n g O A T ừ đó tìm điều kịên của m để đường t h ẳ n g O A vuông góc với đ ư ờ n g t h ẳ n g y = ax + b
+ Ta c ó t h ể tí n h O A , O B , O C b ằ n g đị n h lý P i - t a - go h o ặc v ận d ụ ng công thức tính khoảng cách gi ữ a h ai đi ể m t r o n g m ặt p h ẳ n g tọa dộ O xy
VD : A ( xa ; ya ) và B( xb; yb ) t hì A B = 2 2
A (x a; y a)
B (x b; y b)
O
Trang 718 Tìm điều kiện của tham số m để 3 điểm A(xa;ya), B(xb;yb), C(xc;yc)
thẳng hàng:
Bước 1: Lập phương trình đường thẳng AB ( hoặc AC, BC ) theo bài toán 6
Bước 2: Thay tọa độ điểm còn lại vào đường thẳng vừa lập ta tìm được giá trị của tham số m
2.2 CÁCH TIẾN HÀNH
Khi dạy về chuyên đề này với mỗi tiết dạy tôi đưa ra từ một đến hai dạng bài tập theo thứ tự:
- Nêu phương pháp làm bài tập tổng quát
- Đưa ra các ví dụ minh họa để làm rõ phương pháp, cách làm dạng bài tập này: có thể giáo viên cùng học sinh làm bài tập (giáo viên định hướng, làm các bước cơ bản rồi yêu cầu học sinh làm tiếp), hoặc giáo viên hướng dẫn học sinh trong một số bước biến đổi cơ bản rồi yêu cầu học sinh làm bài, sau đó giáo viên kiểm tra lại
- Ra thêm bài tập yêu cầu học sinh tự làm
Sau từ ba đến bốn tiết dạy tiến hành luyện tập để ôn tập các dạng toán vừa học nhằm nắm bắt mức độ tiếp thu, ghi nhớ, áp dụng của học sinh, từ đó có hướng điều chỉnh mức độ bài tập, cách truyền đạt, thời gian luyện tập từng dạng cho phù hợp
Trong quá trình làm các bài tập giáo viên có thể đưa ra thêm các cách giải khác nhau phù hợp với bài tập để bài toán được giải quyết một cách ngắn gọn, khoa học, có thể khuyến khích học sinh tìm tòi thêm cách làm khác trước khi giáo viên đưa cách giải khác
2.3 MỘT SỐ VÍ DỤ:
1 Cho h à m s ố y = 2 m x + m - 1 c ó đồ thị l à ( d 1)
Tìm m đ ể :
a Hàm s ố đ ồ ng b i ế n ; hàm số ng h ị c h b i ế n ?
Trang 8i (d1) song song với đường thẳng 1 1
3
j (d1) t r ùng v ớ i đ ư ờ ng t h ẳ ng - 2 x - y = 5 ?
k (d1) vuô ng góc vớ i đườ ng t hẳ ng x - y = 2 ?
2 Tìm tọa độ g i a o đ i ể m c ủ a h a i đ ư ờ ng t h ẳ ng (d1): y = 3x - 2 (d 2): 2 y - x = 1
3 Cho h a i đ ư ờ ng t h ẳ ng ( d 1 ) : y = ( m - 1 ) x + 2m (d 2) : y = m x + 2
4 Tìm m để k hoả ng cá c h từ gốc tọa độ O đế n đườ ng t hẳ ng (d): y = mx - m + 1
lớn nhất ?
5 Tìm m để 3 đ ư ờ ng t h ẳ ng s a u đ ồ ng q uy:
(d1) : y = 2x – 3 (d2): y = x – 1 (d3): y = ( m - 1)x + 2
Hướng d ẫ n giải :
1 a Ta có : a = 2m
m – 1 = -2 m = -1
a
1
1
2
m
m
(m 0 ) m 1 2m m1
(d1): y = 2 m x + m - 1 ( m 0) (d2): y = x + 1
(d1) cắ t (d2) t ạ i đ i ể m t r ê n t r ụ c t ung
1
1 1
2 2
2
m m
2
Đ ườ ng t hẳ ng y = x + 1 cắt tr ục hoành tại điểm B(-1; 0)
2
Trang 9Gọi đ iể m c ó hoà nh độ bằ ng 2 là A (2; y0 )
V ì A( 2;4) t hu ộc (d1) n ê n 4 = 2 m 2 + m - 1 5 m = 5 m = 1 (thỏa mãn điều kiện(*) )
2
V ì B(x0; -3) t huộc y = x - 5 nê n -3 = x0 - 5 x 0 = 2 Do đó B(2; -3)
V ì B(2; -3) t hu ộc d1 n ê n -3 = 2 m 2 + m - 1 5 m = -2 m = 2
5
(thỏa mãn điều kiện(*) )
3
6
m
j (d1): y = 2mx + m - 1 t r ùng v ớ i đ ư ờ ng t h ẳ ng - 2 x - y = 5 y = -2x - 5
v nghiÖm
Vậy (d1) không thể trùng với với đường thẳng -2x - y = 5
(d1): y = 2 mx + m – 1 (d2) : x - y = 2 y = x - 2
(d1) ( d2) 2 m 1 = -1 m = 1
2
Vậy tọa độ độ g i a o đ i ể m c ủ a ( d 1): y = 3x – 2 ; (d 2): 2 y - x = 1 là A(1 ; 1)
3 Cho h a i đ ư ờ ng t h ẳ ng ( d 1 ): y = ( m - 1 ) x + 2m (d 2): y = m x + 2
Trang 10
2
2
1
1 3
4 4 1
1 0
m
4 Tìm m để k hoả ng cá c h từ gốc tọa độ O đế n đườ ng t hẳ ng (d): y = mx - m + 1 lớn nhất
Tìm đ i ể m c ố đ ịnh t h u ộc ( d) : y = m x - m + 1
G iả s ử A( x0; y0 ) t huộc (d) : y = mx - m + 1 nê n:
y0 = mx0 - m + 1 m( x0 -1 ) - y0 + 1 = 0 (*)
Vậy đườ ng t hẳ ng y = mx - m + 1 luô n đ i q ua điể m c ố đ ịnh A(1; 1)
Gọi giao đ i ể m c ủ a d v ớ i t r ụ c t ung l à C ( 0; b ) = C ( 0; 1 - m )
1 1 2 OB2 = (m 21)2
m
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông OBC, đường cao OA có:
2
m
m2 + 2 m + 1 = 0 ( m + 1 ) 2 = 0 m = - 1 Vậy với m = - 1 thì k h o ả ng các h t ừ O đ ế n đ ư ờ ng t h ẳ ng ( d ): y = m x - m +
1 lớn nhất
4
4 thì d 1, d2 v à d 3 đồng q u y
2.4 Bài tập tương tự: