PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ĐỊNH LÝ VI-ET I ĐỊNH LÍ VIÉT DẠNG CÁC NGHIỆM THỎA MÃN MỘT BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG ax + bx + c = ( a ≠ ) x1 , x Bài tốn thường gặp Tìm m để phương trình có hai nghiệm (phân biệt) x1 , x thỏa mãn biểu thức đối xứng x1 , x Bước Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt) x1 , x ⇔ ∆ ≥ ∆ ' ≥ ax + bx + c = ( a ≠ ) • có hai nghiệm x1 , x ⇔ ∆ > ∆ ' > ax + bx + c = ( a ≠ ) • có hai nghiệm phân biệt x1 , x x1 + x x1.x Bước Biến đổi biểu thức đối xứng tổng tích b c x1 + x = − x1x = x1 + x a a Bước Sử dụng định lý Viet, ta có , thay vào biểu thức chứa tổng tích x1 x m Giải , đối chiếu điều kiện bước Một số phép biến đổi thường gặp • x12 + x 2 = x12 + x 2 + 2x1x – 2x1x = ( x1 + x ) – 2x1x ( ) ( • x13 + x 23 = Hoặc x13 + x 23 = • x14 + x = • x15 + x (x ) (x ) x16 + x 26 = Hoặc • x17 + x • x1 – x ( x1 + tính • x + x2 = x ) ( x 12 + x 2 – x x ) = ( x1 + tính 2 ( ) + x 22 ( ) + x2 (x ) 2 • x1 + x 2 = (x ( ) 2 = + x2 (x xét (x ( x1 – (x xét tích )(x ) – 2x12 x 2 ) + x ) ( x14 + x ) xét tích = ( x1 + x ) – 4x1x 2 – 2x13 x 23 ) + x 2 ) ( x13 + x 23 ) + x – x12 x 2 + x 23 + x 22 + | x | ) = x1 + x + x1 x 2 x2 ) (x x13 + x 23 x14 + x x1 – x = (x + 2x12 x 2 – 2x12 x 2 = + x 23 xét x ) ( x1 + x ) – 3x1x x ) – 3x1x ( x1 + x ) x12 + x 2 x13 + x 23 ( x1 + ) = x12 + x12 + x1x = ( x1 + 2 A = A2 , A ± B = Chú ý : x ) – 2x1x + x1x (A ± B ) , A B = A.B x − ( m + 3) x + m + = Ví dụ Cho phương trình ( x1 − 1) ( x2 − 1) = x1 , x2 thỏa mãn Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Lời giải ∆′ = − ( m + 3) − ( m + 3) = ( m + ) − m − = 6m + Có 2 x1 , x2 ∆′ > ⇔ 6m + > ⇔ m > −1 ∆′ > ⇔ 6m + > ⇔ m > −1 Phương trình có hai nghiệm phân biệt ( x1 − 1) ( x2 −1) = ⇔ x1 x2 − ( x1 + x2 ) + = Có (*) b c x1 + x2 = − = m + x1 x2 = ( ) a a = m2 + Theo định lý Viét, ta có , 2 ( m + 3) − ( m + 3) + = ⇔ ( 2m − 1) = Thay vào (*) ta ⇔ 2m − = ±3 ⇔ m = −1 m=2 (loại), (thỏa mãn) m=2 Vậy giá trị cần tìm x − ( m − 3) x + ( m − 1) = m Ví dụ Cho phương trình Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt 2 T = x1 + x2 x1 , x2 cho biểu thức đạt giá trị nhỏ Lời giải 2 ∆′ = − ( m − 3) − −2 ( m − 1) = ( m − 3) + 2m − = m − 4m + = ( m − ) + > ∀m Có x1 , x2 Do phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt T = x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 Có b c x1 + x2 = − = m − x1 x2 = = −2 m − ( ) ( ) a a Theo định lý Viét, ta có , T Thay vào ta T = −2 ( m − 3) − −2 ( m − 1) = 4m − 20m + 32 = ( 2m − ) + ≥ ⇒ MinT = m= m= Vậy giá trị cần tìm x − ( m + 1) x + 4m − m = m Ví dụ Cho phương trình Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt A = x1 − x2 x1 , x2 cho biểu thức đạt giá trị nhỏ Lời giải 2 ∆′ = − ( m + 1) − ( 4m − m ) = ( m + 1) − 4m + m2 = 2m − 2m + > ∀m Có x1 , x2 Do phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt 2 A2 = x1 − x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 Có b c x1 + x2 = − = m + x1 x2 = ( ) a a = 4m − m Theo định lý Viét, ta có , 2 A = x1 − x2 Thay vào ta 2 A = x1 − x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 A = ( m + 1) − ( 4m − m 2 ⇒ A ≥ ⇒ Min A = Vậy ) 1 = 8m − 8m + = m − ÷ + ≥ 2 m= m= giá trị cần tìm x1 , x2 x + mx − = m Ví dụ Cho phương trình Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x1 + x2 = Lời giải x1 , x2 ac = −3 < ∀m Có phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt b c x1 + x2 = − x1 x2 = a = −m a = −3 Theo định lý Viét, ta có , (x + x2 ) = x12 + x22 + x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 + x1 x2 Xét = m − ( −3) + −3 = m2 + 12 Do x1 + x2 = ⇔ m + 12 = 16 ⇒ m = ±2 Vậy m = ±2 giá trị cần tìm Ví dụ Cho phương trình x1 + x2 = mãn x + mx + 2m − = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa Lời giải ∆ = ( −m ) − ( 2m − ) = m − 8m + 16 = ( m − ) Có 2 x1 , x2 ∆′ > ⇔ m ≠ Phương trình có hai nghiệm phân biệt b c x1 + x2 = − x1 x2 = a =m a = 2m − Theo định lý Viét, ta có , (x + x2 ) = x12 + x22 + x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 + x1 x2 Xét = m − ( 2m − ) + 2m − = m − 4m + + m − = ( m − ) + m − + x1 + x2 = ⇒ ( m − ) + m − + = Nên ( m − ) + m − − = ⇒ m − = ⇒ m = 1, m = Vậy m = 1, m = (thảo mãn) giá trị cần tìm DẠNG 2: KẾT HỢP ĐỊNH LÝ VIÉT ĐỂ GIẢI CÁC NGHIỆM x1 , x2 Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt) ax + bx + c = ( a ≠ ) x1 , x2 ⇔ ∆ ≥ ( ∆′ ≥ ) có hai nghiệm ax + bx + c = ( a ≠ ) x1 , x2 ⇔ ∆ > ( ∆′ > ) có hai nghiệm phân biệt b c x1 + x2 = − x1 x2 = a a Bước 2: Sử dụng định lý Vi ét, ta có , (*) b x1 + x2 = − x1 , x2 m a Bước 3: Giải hệ biểu thức cho để tìm theo c x1 x2 = x1 , x2 m a Bước 4:Thay vừa tìm vào để giải x1 , x2 x2 − x − m2 − = m Ví dụ Cho phương trình Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt phân x2 = −5 x1 biệt thỏa mãn Lời giải ∆′ = ( −2 ) − ( − m − 1) = m + > ∀m Có x1 , x2 Do phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt b c x1 + x2 = − x1 x2 = a =4 a = −m − Theo định lý Viét, ta có , x2 = −5 x1 ⇒ −5 x1 + x1 = ⇒ x1 = −1 ⇒ x2 = x1 + x2 = Giải hệ c x1 x2 = x1 = −1 x2 = m = ⇔ m = ±2 a = −m2 − Thay , vào , ta m = ±2 Vậy giá trị cần tìm x − ( k − 1) x − 4k = x1 , x2 k Ví dụ Cho phương trình Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt 3x1 − x2 = phân biệt thỏa mãn Lời giải 2 ∆′ = − ( k − 1) − ( −4k ) = ( k − 1) + 4k = ( k + 1) Có x1 , x2 k ≠ −1 Do phương trình cho có hai nghiệm phân biệt b c x1 + x2 = − x1 x2 = = −4k a = 2k − a Theo định lý Viét, ta có , 3x1 − x2 = k 3k − ⇒ x1 = 2k ⇒ x1 = ⇒ x2 = 2 x1 + x2 = 2k − Giải hệ k 3k − c x1 = ⇒ x2 = x1 x2 = 2 a = −4k Thay vào , ta k 3k − × = −4k ⇔ 3k + 12k = ⇔ k = 0, k = −4 2 (thỏa mãn) k = 0, k = −4 Vậy giá trị cần tìm x1 , x2 x2 − 6x + m + = m Ví dụ Cho phương trình Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt phân x2 = x1 biệt thỏa mãn Lời giải ∆′ = ( −3) − ( m + 3) = − m Có x1 , x2 ∆′ > ⇔ − m > ⇔ m < Do phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 + x2 = − b a =6 x1 x2 = c a = m+3 Theo định lý Viét, ta có , x2 = x1 ⇒ x12 + x1 − = ⇒ x1 = −3 ⇒ x1 = x1 + x2 = Giải hệ x1 = −3 ⇒ x2 = x1 x2 = m + ⇒ m = −30 • Với thay vào (thỏa mãn) x1 = ⇒ x2 = x1 x2 = m + ⇒ m = • Với thay vào (thỏa mãn) m = −30; m = Vậy giá trị cần tìm x1 , x2 x − 3x − m + = m Ví dụ Cho phương trình Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa x1 + x2 = mãn Lời giải 2 ∆ = ( −3) − ( − m + 1) = 4m + > ∀m Có Do phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1 + x2 = 3, x1 x2 = − m2 + Theo định lý Viét, ta có: x1 + x2 = ⇔ x1 + x2 = x1 ≥ 0, x2 ≥ Trường hợp 1: Xét x1 + x2 = x2 = 0, x1 = x1 ≥ 0, x2 ≥ Kết hợp (thỏa mãn ) x1 x2 = −m + = −m + ⇔ m = ±1 Thay vào x1 + x2 = ⇔ − x1 − x2 = −3 x1 ≤ 0, x2 ≤ Trường hợp 2: Xét x1 + x2 = x2 = −6, x1 = x1 ≤ 0, x2 ≤ Kết hợp (không thỏa mãn ) x + x = ⇔ x − x = x1 > 0, x2 < 2 Trường hợp 3: Xét x1 + x2 = x2 = 0, x1 = x1 > 0, x2 < Kết hợp (không thỏa mãn ) x1 + x2 = ⇔ − x1 + x2 = x1 < 0, x2 > Trường hợp 4: Xét x1 + x2 = x2 = 2, x1 = x1 < 0, x2 > Kết hợp (không thỏa mãn ) m = ±1 Vậy giá trị cần tìm x − ( m − 3) x − = x1 , x2 m Ví dụ Cho phương trình Tìm để phương trình có hai nghiệm số ngun Lời giải ∆ = − ( m − 3) − ( −5 ) = ( m − ) + 20 > 2 ∀m Có Do phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt Cách 1: (Theo định lý Viét) b c x1 + x2 = − = m − 3, x1 x2 = = −5 a a Theo định lý Viét, ta có: x = −1 x1 = −5 x1 = x = x1 x2 = −5, x1 , x2 ∈ ¢ ⇒ ; ; ; x2 = x2 = x2 = −5 x2 = −1 Từ x1 x2 = m − ⇒ m = 7; m = −1 Thay vào m = 7; m = −1 Vậy giá trị cần tìm ∆ Cách 2: (Sử dụng phải số phương) x1 + x2 = m − ∈ ¢ Từ ∆ = ( m − 3) + 20 x1 , x2 ∈ ¢ Do để trước hết phải số phương 2 * ⇒ ( m − 3) + 20 = n , n ∈ ¥ ⇒ ( m − − n ) ( m − + n ) = −20 ( m − − n ) + ( m − + n ) = 2m − m −3−n < m −3+ n Mà tổng chẵn tích ( m − − n ) ( m − + n ) = −20 m − − n; m − + n chẵn nên phải chẵn, đó: m − − n = −2 m = ⇔ m − − n = 10 n = * thử lại thỏa mãn m − − n = − 10 m = − ⇔ m − − n = n = * thử lại thỏa mãn m = 7, m = −1 Vậy giá trị cần tìm x1 , x2 x − 20 x + m + = m Ví dụ Cho phương trình Tìm để phương trình có hai nghiệm số nguyên tố Lời giải ∆ ' = ( −10 ) − 1( m + ) = 95 − m Có x1 , x2 ∆ ' > ⇔ 95 − m > ⇔ m < 95 Phương trình có hai nghiệm phân biệt b c x1 + x2 = − = 20, x1 x2 = = m + a a Theo định lý Viét, ta có: x1 + x2 = 20 x1 , x2 Từ số nguyên tố, suy ra: x1 = x1 = 17 x1 = x1 = 13 ; ; ; x2 = 17 x2 = x2 = 13 x2 = x1 x2 = m + ⇒ m = 46, m = 86 Thay vào (thỏa mãn) m = 46, m = 86 Vậy giá trị cần tìm DẠNG 3: GIẢI CÁC NGHIỆM DỰA VÀO ∆, ∆ ' LÀ BÌNH PHƯƠNG x1 , x2 ∆ ∆' Khi tính mà bình phương biểu thức ta giải theo cách tìm hai nghiệm Giải theo cách cần ý phải xét hai trường hợp −b + ∆ −b − ∆ x1 = ; x2 = 2a 2a Trường hợp 1: Xét −b − ∆ −b + ∆ x1 = ; x2 = 2a 2a Trường hợp 2: Xét x − ( m + 1) x + 4m = x1 , x2 m Ví dụ Cho phương trình Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa x1 = −3 x2 mãn Lời giải ∆ ' = − ( m + 1) − 1.4m = ( m + 1) − 4m = m − 2m + = ( m − 1) Có x1 , x2 ∆ ' > ⇔ ( m − 1) > ⇔ m ≠ Phương trình có hai nghiệm phân biệt ∆ ' = ( m − 1) Vì nên hai nghiệm phương trình x = ( m + 1) ± ( m − 1) ⇔ x = 2, x = 2m Trường hợp 1: Xét x1 = 2, x2 = 2m thay vào x1 = −3x2 ta = −3.2m ⇔ m = − (thỏa mãn) x1 = 2m, x2 = Trường hợp 2: Xét 2m = −3.2 ⇔ m = −3 Vậy m = −3, m = − thay vào x1 = −3x2 ta (thỏa mãn) giá trị cần tìm Chú ý: Bài ta giải theo cách kết hợp định lý Viét để giải x1 , x2 dạng x + x + 4a − a = Ví dụ Cho phương trình x1 = x22 − mãn ∆ ' = − ( 4a − a Có ) =a Tìm a để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt thỏa Lời giải − 4a + = ( a − ) x1 , x2 ∆ ' > ⇔ ( a − 1) > ⇔ a ≠ 2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt ∆ ' = ( a − 2) Vì nên hai nghiệm phương trình x = −2 ± ( a − ) ⇔ x = a − 4, x = − a x1 = x22 − x1 = a − 4, x2 = −a Trường hợp 1: Xét thay vào 2 a − = ( − a ) − ⇔ = a − a − ⇔ a + a − 2a − = ta ⇔ ( a − ) ( a + 1) = ⇔ a = a = −1 (loại), (thỏa mãn) x1 = x22 − x1 = −a, x2 = a − Trường hợp 2: Xét thay vào ta 2 − a = ( a − ) − ⇔ = a − a + 10 ⇔ a − 2a − 5a + 10 = ⇔ ( a − ) ( a − 5) = ⇔ a = Vậy a = −1, a = (loại), a=5 (thỏa mãn) giá trị cần tìm x1 , x2 Chú ý: Bài ta giải theo cách kết hợp định lý Viét để giải dạng 2 x1 , x2 x − (2m + 5) x − 2m − = m Ví dụ Cho phương trình Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 + x2 = thỏa mãn Lời giải ∆ = − ( 2m + ) − 4.1.(−2m − 6) = ( 2m + ) + 8m + 24 = ( 2m + ) Có 2 ∆ > ⇔ ( 2m + ) > ⇔ m ≠ − x1 , x2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt 2m + ± ( 2m + ) x= ⇔ x = 2m + 6, x = −1 Phương trình có hai nghiệm x1 + x2 = x1 = 2m + 6, x2 = −1 Trường hợp 1: Xét thay vào ta 2m + + −1 = ⇔ 2m + = ⇔ 2m + = ±6 ⇔ m = 0, m = −6 (thỏa mãn) x1 + x2 = x1 = −1, x2 = 2m + Trường hợp 2: Xét thay vào ta −1 + 2m + = ⇔ m = 0, m = −6 (thỏa mãn) Chú ý • • Ta lập luận: “ Từ x1 = −1, x2 = 2m + sử ” x1 + x2 = ta thấy (x Ta giải theo cách xét Ví dụ Cho phương trình + =1 x1 x2 thỏa mãn + x2 x1 , x2 ) x − 2mx + m − = có vai trị nên khơng tính tổng quát, ta giả = ( x1 + x2 ) − x1 x2 + x1 x2 Tìm m phương trình có hai nghiệm phân biệt Lời giải ∆ ' = (− m) − (m − 4) = m − m + = > ∀m Có 2 x = m±2 Do phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1 ≠ 0, x2 = ⇔ m ± ≠ ⇔ m ≠ ±2 Điều kiện: + =1 x1 = m + 2, x2 = m − x1 x2 Trường hợp 1: Xét thay vào ta m − + 3(m + 2) 4m + + =1⇔ =1 ⇔ =1 m+2 m−2 ( m + 2)(m − 2) m −4 ⇔ 4m + = m2 − ⇔ m − 4m − = ⇔ m2 − 4m + − 12 = ⇔ (m − 2) = 12 ⇔ m − = ± 12 ⇔ m = ± (thỏa mãn) + =1 x1 = m − 2, x2 = m + x1 x2 Trường hợp 2: Xét thay vào ta m + + 3(m − 2) 4m − + =1⇔ =1 ⇔ =1 m−2 m+2 m −4 ( m + 2) ( m − 2) ⇔ 4m − = m − ⇔ m − 4m = ⇔ m = 0, m = { m ∈ 0; 4; ± Vậy } (thỏa mãn) giá trị cần tìm 10 sử dụng định lý Viét x1, x2 −2 − m = ( −2 + m ) + ( −2 + m ) ⇔ ( m − ) − ( m − ) + m + = ⇔ ( m − 2) 2 ( m − + ) + ( m + ) = ⇔ ( m + ) ( m − ) + 1 = ⇔ m = −2 ( thỏa mãn) m = ±2 Vậy giá trị cần tìm Ví dụ 4: Cho parabol (P): y=x2 đường thẳng d: y = (2m-1)x -m2 +m Tìm m để d cắt (P) hai điểm phân x1 = x2 biệt có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn Lời giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm d (P): x = ( 2m − 1) x − m + m ⇔ x − ( 2m − 1) x + m − m = (*) ∆ = − ( 2m − 1) − 4.1( m − m ) = ( 2m − 1) − 4m + 4m = > ∀m 2 Có Do (*) ln có hai nghiệm phân biệt nên d ln cắt (P) hai điểm phân biệt Có ∆ =1 Để tồn x= nên hai nghiệm (*) x1 , x2 ta cần có 2m − ± ⇔ x = m, x = m − m ≥ x1 ≥ 0, x2 ≥ ⇔ ⇔ m ≥1 m − ≥ x1 = x2 ⇔ x1 = x2 Khi Trường hợp 1: Xét x1 = m, x2 =m -1 thay vào x1 =2x2 ta m= 2(m-1) ⇔ m =2 (thỏa mãn) Trường hợp 2: Xét x1 = m-1, x2 =m thay vào x1 =2x2 ta m -1 = 2m ⇔ m = -1 (loại ) Vậy m = giá trị cần tìm Chú ý: Bài ta cần lưu ý điều kiện m ≥ trình giải y = x2 d: y = ( m− 3) x − m+ VD5 Cho parabol (P): đường thẳng Tìm m để d cắt (P) hai điểm phân x1, x2 biệt có hồnh độ độ dài hai cạnh tam giác vuông cân Lời giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm d (P): x = (m− 3)x − m+ ⇔ x2 − (m− 3)x + m− = (*) Cã ∆= [ −(m− 3)] − 4.1.(m− 4) = (m− 3)2 − 4m+ 16 = (m 5)2 d cắt (P) hai điểm phâ n biệt Ph ơng trì nh (*) cã hai nghiƯm ph© n biƯt 34 ⇔ ∆ >0 ⇔ (m - 5)2 > ⇔ m ≠ Theo định lý Viét, ta có x1 + x2 = − Do x1, x2 b c = m− 3, x1x2 = = m− a a độ dài hai cạnh tam giác nên x +x > m− > ⇔ ⇔ ⇔ m > x x > m − > Vì x1>0, x2 > ∆ =(m− 5)2 nên hai nghiệm phương trình (*) m− 3± (m− 5) x= ⇔ x = 1,x = m− Do x1 ≠ x2 nªn x1,x2 khơng thể độ dài hai cạnh góc vuông x1 x2 tam giác vuông cân Giả sử độ dài cạnh huyền, độ dài cạnh góc vng theo định lí Pytago ta có 2 x 1=x +x ⇔ x1 = x2 Trường hợp 1: XÐt x1=1,x2 = m − 4, Thay vào x1= x2 ta đợ c 1= 2(m − 4) ⇔ m = + (tháa m· n) XÐt x1=m - 4, x2 = 1, thay vào x1= 2x2 ta đợ c Trng hp 2: m - = 2.1 ⇔ m = 2(m− 4) (tháa m· n) VËy m = + ,m = 2(m 4) giá trịcần tì m Chỳ ý: Ta nhận xét a+ b+ c = để hai nghiệm phương trình (*) 35 x = 1, x = m− DẠNG 4: TÌM THAM SỐ ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG CẮT PARAPOL TẠI HAI ĐIỂM PHÂN BIỆT A, B LIÊN QUAN ĐẾN TUNG ĐỘ A, B yA xA yB xB Dạng ta cần tính theo tính theo theo hai cách: 2 (P): VìA,B (P): y =ax nên yA =axA ,yB =axB2 Cách 1: Tính theo d: V×A,B ∈ d: y = mx + n nªn yA = mxA + n, yB = mxB + n Cách 2: Tính theo (P) : y =x2 d: y=2mx - m2 + m + (P) m d Ví dụ 1: Cho paraboara đường thẳng Tìm để cắt hai A(x1:y1), B(x2 ;y2 ) y1+y2 +2x1+2x2 =22 điểm phân biệt thỏa mãn Lời giải: d (P): Xét phương trình hồnh độ giao điểm x =2mx - m2 +m +1 ⇔ x2 - 2mx +m2 - m - 1=0 (*) Cã ∆ ' =(-m)2 − 1.(m2 - m - 1) = m + (P) nh (*) cã hai nghiệm phâ n biệt Ph ơng trì ct ti hai điểm phân biệt ⇔ ∆ ' > ⇔ m + > ⇔ m > −1 d Theo đ ịnh lý Viét, ta có x1+x2 = - b c = 2m, x1x2 = = m2 -m-1 a a VìA, B (P): y=x2 nên y1=x12,y2 =x22 Do ® ã y1 +y2 +2x1 +2x2 = 22 ⇔ x21+x22 + 2x1 +2x2 = 22 ⇔ ( x1 +x2 ) − 2x1x2 + 2( x1+x2 ) = 22 Thay x1+x2 = 2m, x1x2 = m2 -m-1 Ta đợ c ( 2m) − 2( m2 -m-1) + 2.2m = 22 ⇔ m2 +3m-10=0 ⇔ (m-5)(m-2)=0 ⇔ m=-5 (lo¹i), m=2 (thỏa mà n) Vậy m=2 giá trịcần tì m d : y = ( 2m + 1) x − 2m Ví dụ Cho parabol (P): đường thẳng Tìm m để d cắt (P) hai điểm phân A ( x1 , y1 ) ; b ( x2 , y2 ) T = y1 + y2 − x1 x2 biệt Sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ Lời giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm d (P): x = (2m + 1) x − 2m ⇔ x − (2m + 1) x + 2m = (*) y=x2 ∆ = [ −(2m + 1) ] − 4.1.2 m = (2m + 1) − 8m = (2 m − 1) 2 Có 36 d cắt (P) hai điểm phân biệt ⇔ Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ >0 ⇔ (2m− 1)2 > ⇔ m ≠ x1+x2 =- b c = 2m + 1, x1x2 = = 2m a a Theo định lớ Vi-et ta cú VìA,B (P): y =x2 nên y1=x12 ,y2 =x22 Do ® ã T =x21+x22 − x1x2 = ( x1 +x2 ) − 3x1x2 Thay x1+x2 = 2m + 1, x1x2 = 2m vµo T ta ®ỵ c 3 T=(2m+ 1)2 − 3.2m = 4m2 − 2m+ = (2m− )2 + ≥ 4 VËy MinT = 1 2m - = ⇔ m = (tháa m· n) 4 (P) : y =x2 Ví dụ 3: Cho parabol đường thẳng A(x1:y1 ), B(x2 ;y2 ) y1- y2 >4 biệt thỏa mãn d: y=2mx - m2 + (P) m d Tìm để cắt hai điểm phân Lời giải: Xét phương trình hồnh độ giao điểm d (P): x2 =2mx - m2 +1 ⇔ x2 - 2mx +m2 - =0 (*) ∆ ' = ( -m) − 1.(m2 − 1) = > ∀m Có ,do Phương trình (*) ln có hai nghiệm cắt (P) hai điểm phân biệt x =m ± ⇔ x =m - 1, x =m +1 ∆' = Do nên hai nghiệm (*) 2 XÐt x1=m - 1, x2 =m +1 ⇒ y1=( m - 1) , y2 =( m+1) Trường hợp 1: 2 nª n y1- y2 >4 ⇔ ( m+1) − ( m-1) > ⇒ m > Vậy m >1 hoặ c m ⇔ − m > ⇔ m < x1+x2 = − b c = −2, x1x2 = = m − a a Theo định lí vi-et ta có: V×A,B ∈ (P): y =- x2 nªn y1=-x12 ,y2 =-x22 Do : x1y1- x2y2 - x1x2 =-4 ⇔ -x13+x23 -x1x2 = −4 ⇔ x13-x32 +x1x2 = ⇔ (x1 − x2 )(x12 +x22 +x1x2 ) + x1x2 = ⇔ (x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) − x1x2 + x1x2 = Thay x1 + x2 = −2, x1x2 = m − 1, ta ®ỵ c : (x1 − x2 ) ( −2) − m+ 1 + m− = ⇔ (x1 − x2 )(5− m) + m− = ⇔ (x1 − x2 − 1)(5− m) = ⇔ m = (lo¹i), x1 − x2 = x1 − x2 = 1 ⇒ x1 = − x = − 2 x1 x2 = m − x1 + x2 = −2 Giải hệ , , thay vào ta = m −1 ⇔ m = 4 (thỏa mãn) m= Vậy giá trị cần tìm 38 DẠNG 5: BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỘ DÀI, DIỆN TÍCH Ghi nhớ số cơng thức khoảng cách - Khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm A ( a ; ) ∈ Ox OA = x A = a +) Nếu B ( 0; b ) ∈ Oy OB = yB = b +) Nếu M ( a ; b) OM = a + b +) Nếu - Khoảng cách hai điểm trục Ox Oy AB = xA − xB A, B ∈ Ox AB //Ox +) Nếu (hoặc ) MN = yM − yN M , N ∈ Oy MN //Oy +) Nếu (hoặc ) A ( x A ; y A ) , B ( xB ; y B ) - Khoảng cách hai điểm (Công thức cần chứng minh sử dụng) AH = xA − xB BH = y A − yB AB = AH + BH = ( x A − xB ) + ( y A − yB ) 39 ( P ) : y = x2 d : y = mx + Ví dụ 1: Cho Parabol đường thẳng a) Chứng minh d cắt (P) hai điểm phân biệt A, B thuộc hai phía Oy b) Gọi M, N hình chiếu vng góc A, B trục hồnh Tính độ dài MN theo S∆OAM = S∆OBN m c) Gọi H, K hình chiếu vng góc A, B trục tung Tính độ dài đoạn HK theo AB ≥ m + ∀m m d) Tính độ dài đoạn AB theo chứng minh S∆OAB = 2m + ∆OAB m m e) Tính diện tích theo tìm để (đvdt) m ∆OAB f) Chứng minh với , vuông O Lời giải ( P) d a) Xét phương trình hồnh độ giao điểm : 2 x = mx + ⇔ x − mx − = (*) ∆ = ( − m ) − 4.1 ( −2 ) = m + > ∀m Có nên (*) ln có hai nghiệm phân biệt ( P) d A B Do ln cắt hai điểm phân biệt , b c x A + xB = − = m xA xB = = −2 < a a Theo định lý Viét, ta có , x A xB = −2 < ⇒ xA , xB Oy A B Vì trái dấu nên , thuộc hai phía ( P) Oy d A B Vậy cắt hai điểm , thuộc hai phía b) Có 2 MN = xA − xB ⇒ MN = xA − xB = ( x A − xB ) − x A xB = m + ⇒ MN = m + Vậy MN = m + 40 tìm m m để Do ∆OAM Do Vậy ∆OBN M N vng , nên 1 1 S∆OAM = AM OM = x 3A S ∆OBN = BN ON = xB3 2 2 ; 3 S ∆OAM = S ∆OBN ⇔ xA = xB ⇔ x3A = xB3 ⇔ x A = xB 2 , ⇔ x A = xB (loại), S∆OAM = S∆OBN m=0 c) Có x A = − xB ⇔ x A + xB = ⇔ m = (thỏa mãn) HK = y A − yB = x A − xB2 = ( x A + xB ) ( x A − xB ) = m ( x A − xB ) HK = m ( x A + xB ) − x A xB = m ( m + ) HK = m m + Vậy d) Có AB = = ( xA − xB ) ( x A − xB ) I 2 (m + ( y A − yB ) = + 1) = (m d ( x A − xB ) + ) ( m + 1) ≥ + ( mxA + − mxB − ) (m + 8) Oy ⇒ I ( 0; ) ⇒ OI = yI = e) Gọi giao điểm H K A B Gọi , hình chiếu vng góc , trục tung nên AH = x A BK = xB , S∆OAB = S∆OAI + S∆OBI = ( OI AH + OI BK ) = x A + xB 41 = m − ( −2 ) + 2 = m + ⇒ x A + xb = m + Vậy S ∆OAB = m + 2m + > ⇔ m > − S ∆OAB = 2m + ⇔ m + = 2m + Có (điều kiện ) ⇔ m + = 4m + 4m + ⇔ 3m + 4m − = ⇔ 3m − 3m + m − = 2 ⇔ 3m ( m − 1) + ( m − 1) ⇔ ( m − 1) ( 3m + ) = ⇔m=− m =1 (loại), (thỏa mãn) S = m + m =1 ∆OAB Vậy (đvdt) m>− Chú ý Câu ta cần lưu ý đến điều kiện trình giải 2 2 2 OA = x A + y A OB = xB + yB f) Ta có , 2 AB = ( x A − xB ) + ( y A − y B ) = x A2 + xB2 − x A xB + y A2 + yB2 − y A y B OA + OB − AB = x A xB + y A yB = ( xA xB + x x Xét 2 2 A B ) = x A xB ( xA xB + 1) = ( −2 ) ( −2 + 1) = ≠ OA2 + OB ≠ AB ∆OAB O nên vuông (đpcm) ( P) : y = x d : y = −2 x + Bài 2: Cho Parabol đường thẳng xA > a) Tìm tọa độ giao điểm A, B d (P) với vẽ d, (P) ∆ABC b) Tìm tọa độ điểm C thuộc cung AB (P) cho diện tích lớn S MAB = M ∈ Oy c) Tìm tọa độ điểm để (đvdt) E ( 3;0 ) F ∈ ( P) EF d) Cho điểm Tìm tọa độ điểm cho độ dài ngắn Lời giải ( P) d a) Xét phương trình hồnh độ giao điểm : 2 x = −2 x + ⇔ x + x − = ⇔ x + x + − = Do x = ⇒ y = 12 ⇔ ( x + 1) = ⇔ x + = ±2 ⇔ x = −3 ⇒ y = ( −3) = 42 A ( 1;1) B ( −3;9 ) Vậy , d : y = −2 x + * x y ( P ) : y = x2 * x −2 −1 y 1 b) Có A(1; 1) , B(-3; 9) cố định nên độ dài đoạn AB khơng đổi, SABC lớn khồng cách từ C đến đường thẳng d lớn nhất, C tiếp điểm đường thẳng d1//d2 d1 tiếp xúc với (P) Gọi phương trình d1: y = ax + b ad1 = ad ⇒ d1 : y = −2 x + b (b ≠ 3) bd1 = bd Do d1//d2 nên ta có: Xét phương trình hồnh độ giao điểm d1 (P): x2 = – 2x + b ⇔ x2 + 2x – b = (*) d1 tiếp xúc với (P) ⇔ (*) có nghiệm kép ⇔ ∆’ = + b = ⇔ b = – (thỏa mãn) Khi xc nghiệm kép (*): xc = – ⇒ yc = (– 1)2 = Vậy C(1; –1) điểm cần tìm c) Gọi N giao điểm d Oy ⇒ N(0; 3) Do M ∈ Oy ⇒ xM = ⇒ M(0; yM), yM ≠ (do M ≠ N) ⇒ MN = yM – yN = yM – Kẻ AH ⊥ Oy H, BK ⊥ Oy K thì: AH = xA = 1 = 1, BK = xB = –3 = 43 Vì A B thuộc hai phía Oy nên: 1 S MAB = S MAN + S MBN = MN AH + MN BK = yM − 2 (đvdt) Do SAMB = ⇒ yM – = ⇒ yM – = ± ⇒ yM = 5, yM = (thỏa mãn) Vậy M(0; 1) M(0; 5) Do F ∈ ( P ) ⇒ yF = xF2 ⇒ F ( xF ; xF2 ) d) Có : ( EF = ( xE − xF ) + ( y E − y F ) = ( − xF ) + − xF2 2 ) = xF4 + xF2 − xF + = xF4 − xF2 + + xF2 − xF + = ( xF2 − 1) + ( xF − 1) + ≥ ⇒ EF ≥ Vậy MinEF = ⇔ xF = hay F (1;1) HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ I ĐỊNH LÍ VIÉT Bài Cho phương trình x2 – 2(m + 3)x + m2 +3 = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 thỏa mãn: (2x1 - 1)( 2x2 - 1) = Bài Cho phương trình x2 – 2(m – 3)x – (m – 1) = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa T = x12 + x22 mãn cho biểu thức đạt giá trị nhỏ Bài Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + 4m – m2 = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 cho biểu thức A = x1 – x2 đạt giá trị nhỏ Bài Cho phương trình x2 + mx – = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 thỏa mãn: x1 + x2 = Bài Cho phương trình x2 – mx + 2m – = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = Bài Cho phương trình: x2 – 4x – m2 – = Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1, x2 phân biệt thỏa mãn x2 = 5x1 Bài Cho phương trình: x – 2(k – 1)x – 4k = Tìm k để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 thỏa mãn 3x1 – x2 = Bài Cho phương trình: x2 – 6x + m + = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 thỏa mãn x2 = x12 Bài Cho phương trình x2 – 3x – m2 + = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = Bài 10 Cho phương trình: x2 – (m – 3)x – = Tìm k để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 số nguyên Bài 11 Cho phương trình: x2 – 20x + m + = Tìm k để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 số nguyên tố Bài 12 Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + 4m = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 thỏa mãn x1 = – 3x2 Bài 13 Cho phương trình: x + 4x + 4a – a2 = Tìm a để phương trình có hai nghiệm x 1, x2 phân biệt thỏa x1 = x22 − mãn 44 Bài 14 Cho phương trình x2 – (2m + 5)x – 2m – = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = Bài 15 Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 thỏa + =1 x1 x2 mãn Bài 16 Cho phương trình x2 – mx – = Chứng minh với m, phương trình ln có hai nghiệm phân x + x1 − 16 x22 + x2 − 16 H= − x1 x2 biệt x1, x2 giá trị biểu thức không phụ thuộc vào m Bài 17 Cho phương trình x2 – 2x + m – = Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 x1 x + 2 = x2 + x1 + x1 + x2 + thỏa mãn Bài 18 Cho phương trình x2 + 2mx – 2m – = Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 x1 x2 + P= x1 − 2mx2 + − 2m cho đạt giá trị nhỏ II HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ VIET Bài Cho phương trình x2 – 2mx + m – = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = Bài Cho phương trình x2 – (2m + 5)x + 2m + = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 M= x1 − x2 mà biểu thức đạt giá trị nhỏ Bài Cho phương trình x – 5x + m – = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 cho 2x1 = x2 Bài Cho phương trình x2 – (m + 5)x + 3m + = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 : + Là độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có độ dài cạnh huyền + Là độ dài hai cạnh góc vng tam giác vuông cân Bài Cho phương trình x2 + (m + 2)x – m – = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 thỏa mãn x1 < ≤ x2 Bài Cho phương trình x2 + (m – 2)x + m – = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 thỏa mãn x1 ≤ < x2 Bài Cho phương trình x + 2mx + 4m – = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 thỏa mãn x1 x2 x1 < x2 d) Giả sử Tìm m để ( P ) : y = x2 y = mx − m + Bài Cho parabol d: Tìm m để (d) (P) cắt hai điểm phân biệt có x1 + x2 = x1 , x hoành độ thỏa mãn P ( ) : y = x2 y = 2(m − 1) x + − 2m Bài Cho (d): Tim m để d cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x 10 độ dài hai cạnh hình chữ nhật có độ dài đường chéo ( P ) : y = x2 y = mx + m + Bài Cho parabol đường thẳng (d): Tìm m để d cắt (P) hai điểm phân biệt x1 , x 2 x1 − 3x2 = có hồnh độ thỏa mãn ( P ) : y = x2 y = 2( m + 1) x + Bài Cho parabol đường thẳng (d): Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân x1 + x2 = x1 , x biệt có hồnh độ thỏa mãn: ( P ) : y = x2 y = −4 x + m − Bài Cho parabol đường thẳng (d): Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân x1 , x x2 = x1 + x1 biệt có hồnh độ thỏa mãn: 46 Bài 10 Cho parabol ( P ) : y = x2 phân biệt có hồnh độ đường thẳng (d): x1 , x y = (2m − 1) x − m + m Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm x1 = 2.x2 thỏa mãn: ( P ) : y = x2 y = (m − 3) x − m + Bài 11 Cho parabol đường thẳng (d): Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm x1 , x phân biệt có hoành độ độ dài hai cạnh tam giác vuông cân ( P ) : y = x2 y = 2mx − m + m + Bài 12 Cho parabol đường thẳng (d): Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ) y1 + y2 + x1 + x2 = 22 phân biệt thỏa mãn: P : y = x2 ( ) y = (2m + 1) x − 2m Bài 13 Cho parabol đường thẳng (d): Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ) T = y1 + y2 − x1 x2 biệt cho biểu thức : đạt giá trị nhỏ P : y = − x ( ) y = 2mx − m2 + Bài 14 Cho parabol đường thẳng (d): Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ) y1 − y2 > biệt thỏa mãn: ( P ) : y = − x2 y = 2x + m −1 Bài 15 Cho parabol đường thẳng (d): Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ) x1 y1 + x2 y2 − x1.x2 = −4 biệt mà ( P ) : y = x2 y = mx + Bài 16 Cho parabol đường thẳng (d): a) Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B thuộc hai phía Oy b) Gọi M, N hình chiếu vng góc A, B trục hồnh Tính độ dài đoạn MN theo m tìm m để c) S∆OAM = S ∆OBM Gọi H, K hình chiếu vng góc A, B trục tung Tính độ dài đoạn HK theo d) Tính độ dài đoạn thẳng AB theo AB ≥ m + m chứng minh S∆OAB = 2m + ∆OAB m m e) Tính diện tích theo tìm để (đvdt) m ∆OAB f) Chứng minh với , vuông O ( P) : y = x y = −2 x + Bài 17 Cho parabol đường thẳng (d): a) b) c) Tìm tọa độ giao điểm A, B (d) (P) với xA > ∀m m , vẽ (d) (P) hệ trục tọa độ ∆ABC Tìm tọa độ điểm C thuộc cung AB (P) cho diện tích lớn M ∈ Oy S ∆MAB = Tìm tọa độ điểm để (đvdt) 47 d) Cho điểm E (3;0) Tìm tọa độ điểm F ∈( P) cho độ dài 48 EF ngắn ... x1+x2 = - b c = 2m, x1x2 = = m2 -m-1 a a V×A, B (P): y=x2 nên y1=x 12, y2 =x 22 Do đ ó y1 +y2 +2x1 +2x2 = 22 ⇔ x21+x 22 + 2x1 +2x2 = 22 ⇔ ( x1 +x2 ) − 2x1x2 + 2( x1+x2 ) = 22 Thay x1+x2 = 2m, x1x2... (P): y =x2 nên y1=x 12 ,y2 =x 22 Do ® ã T =x21+x 22 − x1x2 = ( x1 +x2 ) − 3x1x2 Thay x1+x2 = 2m + 1, x1x2 = 2m vào T ta đợ c 3 T=(2m+ 1 )2 − 3.2m = 4m2 − 2m+ = (2m− )2 + ≥ 4 VËy MinT = 1 2m - = ⇔... x1 x2 • • • • Gặp Gặp Gặp Gặp x1 − x2 x1 − x2 = ( x1 − x2 ) = x 12 − x1 x2 + x 22 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 2 xét x1 + x2 x1 , x2 (x xét + x2 ) 2 = x1 + x2 + x1 x2 = x 12 + x 22 + x1 x2 = ( x1 + x2 )