Chuyên đề 18 phương trình quy về phương trình bậc 2, chuyên đề luyện thi tuyển sinh lớp 10 và ôn thi học sinh giỏi toán 9 có lời giải chi tiết

Chuyên đề 18 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A Kiến thức cần nhớ 1 Phương trình trùng phương • Phương trình i học sinh giỏi trùng phương là phương trình có dạng • Để giải phương trình trùng phương, ta đặt ẩn.

Chuyên đề 18 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A Kiến thức cần nhớ Phương trình trùng phương • Phương trình trùng phương phương trình có dạng: ax  bx  c   a    1 • Để giải phương trình trùng phương, ta đặt ẩn phụ Đặt x  t  0, đưa phương trình at  bt  c    Phương trình chứa ẩn mẫu thức Khi giải phương trình chứa ẩn mẫu thức, ta làm sau: Bước Tìm điều kiện xác định phương trình; Bước Quy đồng mẫu thức hai vế khử mẫu thức; Bước Giải phương trình vừa nhận được; Bước Trong giá trị tìm ẩn, loại giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định, giá trị thỏa mãn điều kiện xác định nghiệm phương trình cho Phương trình tích • Phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải • Giải phương trình tích Một số dạng khác phương trình thường gặp - Phương trình bậc bốn dạng  x  a   x  b   x  c   x  d   m với a  b  c  d - Phương trình đối xứng bậc bốn có dạng: ax  bx  cx  bx  a   a   e d - Phương trình hồi quy có dạng ax  bx  cx  dx  e   a      a b - Phương trình bậc bốn dạng  x  a    x  b   c 4 - Phương trình phân thức hữu tỉ Trong phần xét số dạng sau: • mx nx  p ax  bx  d ax  cx  d ax  mx  c ax  px  c  d • ax  nx  c ax  qx  c • ax  mx  c px  d ax  nx  c ax  qx  c B Một số ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình x  x  x  x   (Thi học sinh giỏi Toán 9, TP Hà Nội, năm học 2009 - 2010) Giải Tìm cách giải Đây phương trình bậc Suy luận tự nhiên phân tích vế trái phương trình thành nhân tử Tuy nhiên quan sát hệ số vế trái: 1;3; 2; 6; , ta phát : ax  bx  cx  dx  e   a    6      tốn có dạng e d     Cách giải phương trình dạng a b là: • Bước Xét x  , hai vế không nên x  khơng phải nghiệm phương trình • Bước Xét x  chia hai vế phương trình cho x Sau đặt ẩn phụ Bài tốn có hai cách giải sau: Trình bày lời giải Cách • x  khơng phải nghiệm phương trình • Với x  chia hai vế cho x2 ta được: 4   2  x  3x       x   x    x x x   x  Đặt y  x  4  y2  x2    x2   y2  x x x Phương trình có dạng y   y    y  y   Giải ta y1  1; y2  2 - Với y  1 ta có x   1  x  x   x Giải ta x  1; x  2 - Với y  2 ta x   2  x  x   x Giải ta x  1  3; x  1   Vậy tập nghiệm phương trình s  1; 2; 1  3; 1  Cách 2:  x  x   x3  x  x    x    3x  x    x    x2  2  x  x  2  2x  x  2  2x    x2  2  x2   x   2x  x2   x     x2  x  2  x  2x  2   x  x    1   x  x     • Giải phương trình (1): x  x   ta x1  1; x2  2 • Giải phương trình (2): x  x   ta x3  1  3; x4  1   Vậy tập nghiệm phương trình s  1; 2; 1  3; 1   2 Ví dụ 2: Giải phương trình  x  x    x  15 x  56    (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Thanh Hóa, năm học 2008 - 2009) Giải Tìm cách giải Khi khai triển, tốn có dạng phương trình bậc 4, nên cách giải chung phân tích đa thức thành nhân tử Tuy nhiên vế trái có hai ngoặc chứa ẩn, phân tích trực tiếp thành nhân tử Sau phân tích xong ta thấy phương trình có dạng phương trình bậc bốn dạng:  x  a  x  b  x  c  x  d   m với a  b  c  d Vì ta có lời giải thứ hai cho dạng tốn sau: 2 • Bước Viết phương trình dạng:  x   a  b  x  ab   x   c  d  x  cd   m • Bước Đặt x   a  b  x  ab  y Giải phương trình ẩn y Trình bày lời giải Cách 1: x  x    x  15 x  56     x  12 x  13x  138 x  120    x  x  15 x    x  36 x  90 x    x  48 x  120    x  x  x  15   x  x  x  15    x  x  15     x  x  15  x  x    • Giải phương trình x  x  15  ta x1  3  6; x2  3  • Giải phương trình x  x   ta x3  3  17; x4  3  17  Vậy tập nghiệm phương trình là: s  3  6; 3  6; 3  17; 3  17  Cách 2: Ta viết:  x  1  x    x    x       x  1  x    x    x       x  x    x  x  16    Đặt x  x   y phương trình có dạng y  y      y  y   Giải ta y1  1; y2  • Với y  ta x  x    x  x   Giải ta x3  3  17; x4  3  17 • Với y  ta x  x    x  x  15  Giải ta x1  3  6; x2  3   Vậy tập nghiệm phương trình là: s  3  6; 3  6; 3  17; 3  17 Ví dụ 3: Giải phương trình  2x 13 x  6  5x  3x  x  2 Giải Tìm cách giải Cũng ví dụ trên, quy đồng ta phương trình bậc 4, nên phân tích đa thức thành nhân tử giải Song ví dụ này, tốn có dạng mx nx   p Nên tốn có hai cách ax  bx  d ax  cx  d giải khác: - Cách Đặt ax  d  t Ta phương trình chứa x t , phân tích đa thức thành nhân tử Cách gọi đổi biến khơng hồn tồn - Cách Vì x  khơng phải nghiệm phương trình nên ta chia tử mẫu m phân thức vế trái cho x , ta được: d ax  b  x  n d ax  c  x p Sau đặt ẩn phụ giải Trình bày lời giải Cách Đặt t  3x  phương trình có dạng 2x 13 x  6 t  5x t  x 2 Quy đồng khử mẫu, thu gọn ta được: 2t  13t  11x    t  x   2t  11x   Trường hợp Xét t  x   x   x  vô nghiệm Trường hợp 2 Xét 2t  11x    x    11x   x  11x   Giải ta x1  ; x2  1  Vậy tập nghiệm phương trinh là: s   ;  2 3 Cách Xét x  khơng phải nghiệm phương trình, nên ta chia tử mẫu phân thức cho x ta Đặt x   3x   x  13 3x   x 6 2 13  t phương trình có dạng  6 x t 3 t  Quy đồng, khử mẫu thu gọn ta được: 6t  15t  21  Giải ta t1  1; t2  * Trường hợp Xét t  1 suy x   * Trường hợp Xét t   1  3x  x   vô nghiệm x 7 suy x     x  11x   x Giải ta ta x1  ; x2  1  Vậy tập nghiệm phương trình là: s   ;  2 3 x  x  x  x  53 Ví dụ 4: Giải phương trình   x  x  x  x  12 (Thi học sinh giỏi, Tinh Trà Vinh, năm học 2009 - 2010) Giải Tìm cách giải Cũng ví dụ trên, quy đồng ta phương trình bậc 4, nên phân tích đa thức thành nhân tử giải Song ví dụ này, Bài tốn có dạng ax  mx  c ax  px  c   d Cách giải thông thường cho ax  nx  c ax  qx  c dạng toán là: - Bước Xét x  hai vế không nên x  nghiệm phương trình - Bước Xét x  chia tử mẫu phân thức cho x Sau đặt ẩn phụ, giải phương trình chứa ẩn mẫu thức vừa tìm Trình bày lời giải • Vì x  khơng phải nghiệm phương trình • Điều kiện x  phân thức vế trái ta chia tử mẫu cho x , ta được: 3 x6 x x  53   3 12 x4 x 5 x x x  3 Đặt y  x  y y  53    , phương trình (2) trở thành y  y  12 x Suy 12 y  y    12  y  3  y    53  y    y    29 y  241y  490  Giải ta y1  10; y2   y  10 • Với x1   37  37 ; x2  2 • Với y   x   x2  x   x Giải ta 49 136  29 x  87  136 x  ta x    29 x 29 Giải ta x1  Vậy ta 49 29 tập 68  2101 68  2101 ; x2  29 29 nghiệm phương trình là:   37  37 68  2101 68  2101  s ; ; ;  29 29   Ví dụ 5: Giải phương trình  x    x  1  x    x    x Giải Tìm cách giải Cũng ví dụ trên, khai triển vế trái, ta phương trình bậc 4, nên phân tích đa thức thành nhân tử giải Song ví dụ này, phương trình bậc dạng  x  a   x  b   x  c   x  d   mx với ab  cd Chúng ta có hai cách giải: 2 • Cách Viết đa thức dạng:  x   a  b  x  ab   x   c  d  x  cd   mx 2 Bước Viết phương trình dạng:  x   a  b  x  ab   x   c  d  x  cd   mx Bước Xét x  , hai vế không nên x  nghiệm phương trình nên ta chia hai vế phương trình cho x Sau đặt ẩn phụ, giải phương trình chứa ẩn mẫu thức vừa tìm 2 • Cách Đặt x   a  b  x  ab  y , ta phương trình hai ẩn Phân tích đa thức thành nhân tử phương trình vừa tìm Trình bày lời giải Cách  x    x  1  x  8  x    x   x    x    x  1  x    x   x  x  8  x  x  8  x Nhận xét x  nghiệm phương trình nên ta chia hai vế  8  phương trình cho x ta được:  x   x    x  x  Đặt x    y phương trình có dạng y  y  3   y  y   x Giải ta y  1; y  Trường hợp Xét y  1 ta có x    1  x  x   x Phương trình vơ nghiệm Trường hợp Xét y  ta có x     x  10 x   x Giải ta x1   17; x2   17  Vậy tập nghiệm phương trình s   17;5  17  Cách  x    x  1  x  8  x    x   x    x    x  1  x    x   x  x  8  x  x  8  x 2 Đặt x  x   y phương trình có dạng y  y  3x   x  x  xy  y    x  y   x  y   - Trường hợp x  y   x  x  x    x  x   Phương trình vơ nghiệm - Trường hợp x  y   x  x  x    x  10 x   Giải ta x1   17; x2   17  Vậy tập nghiệm phương trình s   17;5  17  3  x 3  Ví dụ Giải phương trình     x  3  16  x2 (Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2011 - 2012) Giải Áp dụng đẳng thức a  b   a  b   3ab  a  b  Ta có x 3 x3  x 3    x  3   x   16  x  3   x2  x2   x2    x  3    x  3     3   16  x    x   Đặt  x  3 x2  y phương trình có dạng  y  y  16  y  y  16    y    y  y    • Trường hợp Xét y     x  3    x2  x    x  x2 • Trường hợp Xét y  y   vô nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình s   1 x  x  x  x  x  3x  x  x  Ví dụ Giải phương trình:    x 1 x2 x2 x4 Giải Điều kiện : x   1; 2; 3; 4 Phương trình viết dạng:  x  1  x 1  x  1 x 1 x2 x3 x4            x 1 x    x  x   3 x x   0  x  1  x    x    x  3 x 1   x     x  1  x    x    x  3     • Trường hợp Xét x  nghiệm phương trình • Trường hợp Xét   x  1  x    x    x  3 0 Quy đồng khử mẫu, thu gọn ta x  20 x  22  Giải ta x1  5  5  thỏa mãn ; x2  2  5  5   ; Vậv tập nghiệm phương trình S  0;  2   C Bài tập vận dụng x 48  x 4   10    18.1 Giải phương trình sau cách đặt ẩn phụ x 3 x (Thỉ học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Vĩnh Long, năm học 2009 - 2010) Hướng dẫn giải – đáp số x x 16 Đặt t    t    x x x 48 x 48 3t       3t  x x Khi phương trình trở thành 3t   10t  3t  10t   Giải ta t1  2; t2  • Với t  ta x    x  x  12  x Giải ta x1   21; x2   21 • Với t  x 4 ta    x  x  12  3 x Giải ta x3  2; x4    Vậy tập nghiệm phương trình là: S   21;3  21; 2;6 18.2 Giải phương trình  x    x  3  x  1  Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, TP Hồ Chí Minh, năm học 2008 - 2009 Hướng dẫn giải – đáp số Ta có:  x    x  3  x  1    64 x  112 x  49   x  x  3  Đặt y  x  x  64 x  112 x  49  16 y  Phương trình cho có dạng  16 y  1 y   32 y  y   Giải ta y1  • Với y  1 ; y2  16 7 ta x  x    64 x  112 x  41  16 16 Giải ta x1  • Với y   7  2 7  2 ; x2  8 1 ta x  x     x  14 x   vô nghiệm 2  7  2 7  2  ; Vậy phương trình cho có tập nghiệm S    8   18.3 Giải phương trình x  x2  x  1 3 (Thi học sinh giỏi Tốn lớp 9, tỉnh Bình Phước, năm học 2008 - 2009) Hướng dẫn giải – đáp số Phương trình tương đương với x2 x2 x2 x 2  2 3 x   x  1 x 1 2 x  x2  x  3  x 1 x 1   x2  x2  3  2 x 1  x 1  x2 Đặt  y phương trình có dạng y  y   x 1 Giải ta y1  1; y2  3 x2 1 1 • Với y  ta   x  x   Giải ta x1  ; x2  x 1 2 • Với y  3 ta x2  3  x  3x   vô nghiệm x 1 1    ; Vậy tập nghiệm phương trình : S      18.4 Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm: x   3m  1 x3   3m   x   3m  1 x   (m tham số) (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2007 - 2008) Hướng dẫn giải – đáp số Nhận xét x  khơng phải nghiệm phương trình, nên ta chia hai vế phương trình cho x ta x   3m  1 x   3m     3m  1 1  0 x x2  1     x    3m  1 x    3m     1 x  x   Đặt x  Khi  y điều kiện y  y  tức y  x phương trình y    3m  1 y   3m     y   3m  1 y  3m    có dạng Giải ta y1  1; y2  3m Phương trình (1) có nghiệm  phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn y   3m   m  Vậy với m  2 m  3 phương trình cho vơ nghiệm 18.5 Giải phương trình x  16    2 x 6 x 1 x  x  (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Quảng Ngãi, năm học 2007 - 2008) Hướng dẫn giải – đáp số x  16    2 x 6 x 1 x  x   x  16           1   1   1   x  x  x  x          x2  x2  x2  x2     0 x2  x2  x2  x2  1     x2  2       x  x 1 x  x    Vì 1 1     nên x    x   x  x 1 x  x   Vậy tập nghiệm phương trình là: S   2;  2 18.6 Giải phương trình  x  x    x  x    x Hướng dẫn giải – đáp số Nhận xét x  khơng phải nghiệm phương trình nên ta chia hai vế cho x2 ta được:     x   1x     x x    Đặt x    y phương trình có dạng y.( y  1)  x y  y   giải ta y  1; y  2 Trường hợp Với y  ta có x     x   , phương trình vơ nghiệm x Trường hợp Với y  2 ta có x    2  x  3x   Giải ta x x  1; x  2 Vậy tập nghiệm phương trình là: S   1; 2 18.7 Giải phương trình 3( x  x  1)2  2( x  x  1)2  x  Hướng dẫn giải – đáp số Nhận xét x  khơng phải nghiệm phương trình nên ta chia hai vế 2 1 1   hai phương trình cho x ta được:  x     x      x x   Đặt x    y phương trình có dạng y   y  1    y  y   x Giải ta y  1; y  Trường hợp Với y  ta có x   Giải ta x1  1  1  ; x2  2 Trường hợp Với y  ta có x   Giải ta x3    x2  x   x   x2  x 1  x 1 1 ; x4  2  1  1     ; ; ; Vậy tập nghiệm phương trình là: S    2   18.8 Giải phương trình: a ) x  24 x  32 b) x  x  c) x  x  12 x  Hướng dẫn giải – đáp số a ) x  x   x  24 x  36   x  2   2x  6 2  x2   2x    x   2 x  • Giải phương trình x   x   x  x   Giải ta x1   5; x2   Giải phương trình x   2 x   x  x   vơ nghiệm  Vậy phương trình có nghiệm là: S   5;1  b) x  x   x  x    x  1  2 2  2.x     x   2.x    x    x  • Giải phương trình x   2.x   x  x    Giải ta x1    ; x2    2 • Giải phương trình x    x   x  x    vô nghiệm    2    S  ; Vậy tập nghiệm phương trình là:   2    x2   2x  2 c)  x  x   x  12 x    x  1   x  3    x   2 x  • Giải phương trình x   x   x  x   Vơ nghiệm • Giải phương trình x   2 x   x  x   Giải ta x1   3; x2    Vậy tập nghiệm phương trình là: S   3;1  18.9 Giải phương trình  x 3x  2 x  x  x  5x  2 (Thi học sinh giỏi tốn lớp 9, tỉnh Thanh Hóa, năm học 2014 – 2015) Hướng dẫn giải – đáp số   x  1  x  x     x  ĐKXĐ:   x  x     x   33  Nhận thấy x  không nghiệm phương trình Khi x  phương trình cho Đặt t  x   x 1 x  x 5 x 20  2 ta phương trình biểu thị theo t x t 1 t   t  5t    t  2; t  Với t   x    x  x    x   (thỏa mãn) x Với t   x   17 (thỏa mãn)   x2  3x    x  x   17  Vậy phương trình cho có tập nghiệm S  1  3;   