( 1 ) NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHỦĐỀ 26 TOÁN 9 PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Ta gọi phương trình vô tỉ là phương trình chứa ẩn trong dấu căn Sau đây là các phương pháp thường dùng để giải phương trình vô tỉ.NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUYCHỦĐỀ 26 TOÁN 9PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈTa gọi phương trình vô tỉ là phương trình chứa ẩn trong dấu căn. Sau đây là các phương pháp thường dùng để giải phương trình vô tỉ.A.PHƯƠNG PHÁP NÂNG LÊN LUỸ THỪAVí dụ 1. Giải phương trình (1)GiảiĐiều kiện xác định của phương trình là (2)Tách riêng căn thức ở một vếđược .(3)Ta phải có (4)Với điều kiện (4) thì
1 NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHỦĐỀ 26 TỐN 9-PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ Ta gọi phương trình vơ tỉ phương trình chứa ẩn dấu Sau phương pháp thường dùng để giải phương trình vơ tỉ A.PHƯƠNG PHÁP NÂNG LÊN LUỸ THỪA Ví dụ Giải phương trình + 2x - = x (1) Giải Điều kiện xác định phương trình 2x - ³ (2) Tách riêng thức vếđược 2x - = x - (3) x - 3³ Ta phải có (4) Với điều kiện (4) Û 2x - = (x - 3)2 (3) (5) Û 2x - = x2 - 6x + Û x2 - 8x + 12 = Û (x - 2)(x - 6) = Û x1 = 2; x2 = Giá trị x2 = x1 = không thoả mãn (4), loại thoả mãn (2) (4), nghiệm phương trình Vậy phương trình có nghiệm x = Nhận xét a) Nếu không đặt điều kiện x - ³ 0ở (3), ta sai lầm nhận x = nghiệm (1) Chú ý từ (3) suy (5) từ (5) suy (3) với điều kiện x - ³ b) Có thể bình phương hai vế (1) với điều kiện x ³ (điều kiện cóở 2x - ³ 0), lời giải không ngắn gọn cách tách riêng thức vế Ví dụ Giải phương trình x - 1- 5x - = 3x - Giải Điều kiện xác định phương trình x ³ (1) x - = 5x - + 3x - Chuyển vế, ta có (2) Bình phương hai vếđược x - = 5x - 1+ 3x - + 15x2 - 13x + Rút gọn thánh - 7x = 15x2 - 13x + Đến có hai cách giải (3) (4) Cách Với điều kiện - 7x ³ (5) Û - 28x + 49x2 = 4(15x2 - 13x + 2) Thì (4) (6) Û 11x2 - 24x + = Û (11x - 2)(x - 2) = Û x1 = Giá trị x1 = ;x = 11 11 không thoả mãn (1), loại Giá trị x2 = không thoả mãn (5), loại Vậy phương trình cho vơ nghiệm Cách Ta phải có - 7x ³ (5) tức x£ , điều trái với (1) Vậy phương trình cho vơ nghiệm Cách giải khác Xem Ví dụ 57 Ví dụ Giải phương trình 2x + + x = (1) Giải: Lập phương hai vế, áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) 2x + + x + 33 x(2x + 1).( 2x + + x) = ta thay 2x + + x = vào (2) ta có 3x + + 33 x(2x + 1) = (3) Û (4) (2) x(2x + 1) = - x Û x(2x + 1) = - x3 Û x(2x + 1+ x2) = Û x(x + 1)2 = Û x1 = 0;x2 = - Thử lại: x2 = - x1 = thoả mãn (1) khơng thoả mãn (1), loại Phương trình (1) có nghiệm x = Nhận xét a) Các phương trình (1) (2) tương đương, phương trình (2) (3) khơng tương đương Từ (2) suy (3), từ (3) không suy (2) Do sau tìm nghiệm (3) - , phải thử giá trịđó vào (1) để chọn nghiệm (1) b) Cách giải khác: Xem Ví dụ 56 59 B.PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Ví dụ Giải phương trình x +2 x - + x - x - = (1) Giải: Điều kiện x ³ Biến đổi x - + x - + + x - 1- x - + = Û x - + 1+ | x - - 1|= Û x - 1+ | x - - 1|= Nếu x > (2) Û khoảng xét (2) x - 1+ x - 1- 1= Û Nếu £ x £ (2) Û x - + 1- x = Û x - = Û x = , không thuộc x - + = , vô số nghiệm £ x £ Kết luận: £ x £ Chú ý: Sau biến đổi đến (2), viết (2) dạng |1- x - |= 1- x- Và ý đến bất đẳng thức | A |³ A với điều kiện xảy dấu “=” A ³ 1- x- 1³ 0Û x - ³ 1Û x ³ Kết hợp với điều kiện ban đầu ta có £ x £ C.PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Ví dụ Giải phương trình 3x2 + 21x + 18 + x2 + 7x + = (1) Giải:Điều kiện x + 7x + ³ Đặt (1) x2 + 7x + = y ³ x2 + 7x + = y2 Û 3y2 - + 2y = Û 3y2 + 2y - = Û (y - 1)(3y + 5) = Û y =- (loại), y = x2 + 7x + = Û x2 + 7x + = Û (x + 1)(x + 6) = Các giá trị x = - 1, x = - thoả mãn x + 7x + ³ , nghiệm (1) Nhận xét:Cách đặt ẩn phụ x + 7x + = y làm cho phương trình chuyển dạng hữu tỉ Ví dụ Giải phương trình 2x + + x = Bằng cách đặt Giải: Đặt 3 2x + = a, x = b tìm a b 2x + = a, x = b 2x + = a3, x = b3 nên a3 - 2b3 = 2x + 1- 2x = 3 Cần tìm a b thoả mãn a + b = a - 2b = Ta có a3 - 2(1- a)3 = Û a3 - 1- 2(1- a)3 = Û (a - 1)(a2 + a + 1) + 2(a - 1)3 = Û (a - 1)[(a2 + a + 1) + 2(a - 1)2 ] = 2 Dễ thấy a + a + + 2(a - 1) > nên a = Suy b = Vậy x = nghiệm phương trình cho D.PHƯƠNG PHÁP BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp bất đẳng thức để giải phương trình vơ tỉđược thể nhiều dạng: I.Chứng tỏ phương trình vơ nghiệm có vế ln nhỏ vế Ví dụ Giải phương trình x - 1- 5x - = 3x - (1) Bằng cách chứng tỏ với điều kiện xác định phương trình, có vế phương trình nhỏ vế Giải Điều kiện để xác định (1) x ³ Với điều kiện x < 5x , x - < 5x - suy vế trái (1) số âm, cịn vế phải khơng âm Phương trình vơ nghiệm II.Sử dụng tính đối nghịch hai vế Ví dụ Giải phương trình 3x2 + 6x + + 5x2 + 10x + 14 = - 2x - x2 (1) Giải 3(x + 1)2 + + 5(x + 1)2 + ³ Vế trái 4+ 9= - 2x - x2 = - (x + 1)2 £ Vế phải Vậy hai vế (1) 5, x = - Kết luận: x = - III.Sử dụng tính đơn điệu hàm số Ví dụ Giải phương trình 2x + + x = (1) Bằng cách chứng tỏ x = nghiệm phương trình Giải: Ta thấy x = nghiệm phương trình (1) Với x > x + > 1, x > nên vế trái (1) lớn Với x < x + < 1, x, nên vế trái (1) nhỏ Vậy x = nghiệm phương trình (1) IV.Sử dụng điều kiện xảy dấu “=” bất đẳng thức không chặt Ví dụ Giải phương trình x 3x - + 3x - =2 x (1) Giải: Điều kiện: x> (2) a b + ³ Ta có bất đẳng thức b a với a > 0,b > , xảy đẳng thức a = b Với x> 2 (1) Û x = 3x - Û x - 3x + = Û (x - 1)(x - 2) = Û x1 = 1; x2 = thoả mãn (2) Phương trình có hai nghiệm x = 1;x = BÀI TẬP LUYỆN Giải phương trình x +3- a) x - = 1; c) 10 - x + x + = 5; e) x - 1- x - = 1; b) x +2 x - + x - x - = 2; c) x + 6x - + x - x - = x2 - 4x + + x2 - 6x + = 1; 3.a) b) x + - x + x + - x = 1; c) x + 6- x + + x + 11- x + = 1; d) x + - x - + x + - x - = 1; a) x + x + 1- x = 1; x2 - x = x - 1; b) 1- c) x2 + = x - x2 - ; d) 2x2 + 8x + + x2 - = 2x + ; e*) x - + - x = x2 - 16x + 66 a) b) c) d) 4x + - d) x + = x- x- 1- a) 15 - x + - x = ; b) 2x - + x - = x + ; 3x + 15 - 4x + 17 = x + ; x - + x + + (x - 1)(x2 - 3x + 5) = - 2x ; x + + x + 10 = x + + x + a) 2x + + x + + 2x + - x + = 1+ x + ; 3x + = ; 2x2 - 9x + + 2x - = 2x2 + 21x - 11 b) * a) b) x- =3 x- ; 1- x + x2 - 3x + + (x - 2) x +2 =- x- (x - 2)(x + 2) + 4(x - 2) 2+ x 2- + + 2+ x * a) 2- x 2- x x ; =8 x 2+ = x 2+ 2+ 2+ b) a) x 1+ 1+ x (vế trái có 100 dấu phân thức) x + + - x = 2; b) 3 c) + x - 16 = x + ; 10 c) a) c) a) 3 x + + x + + x + = 12 * x +3- b) 3 6- x = - x + x - = 1; x + + x - = 5x ; (x + 1)2 + (x - 1)2 + x2 - = b) 24 + x + 12 - x = ; 13 25 + x + 3 - x = ; x - + x + = 11 b) d) 3 7- x - x- 7- x + x - * a) ; = 6- x 1- x2 + + x + 1- x = 3; 1- x + - x = - 2x HƯỚNG DẪN 1.a) Chuyển vế x + = 1+ x - Bình phương hai vế Nghiệm x = 13 15 - x = 6- b) Chuyển vế 3- x Bình phương hai vế Nghiệm x = - c) Bình phương hai vế Nghiệm d) Nghiệm x = 20 (chú ý x = không nghiệm) e) x - = + x + Vế phải lớn vế trái, phương trình vơ nghiệm a) Chuyển vế x - x - = 1+ x + Bình phương hai vế Nghiệm x = £ x£ b) Bình phương hai vế Nghiệm £ x£ c) Bình phương hai vế Nghiệm a) Đưa dạng | x - 2| + | - x |= (1) Áp dụng bất đẳng thức | A |³ A , ta có | x - 2|³ x - 2,| - x |³ - x nên | x - 2| + | - x |³ (2) Do (1) nên phải xảy dấu " = " (2), tức x - ³ - x ³ Nghiệm £ x £ b) Đặt x = y Đưa dạng | y - 2| + | - y |= Nghiệm £ x £ c) Đặt x + = y Đưa dạng | y - 2| + | - y |= Nghiệm £ x £ d) Đặt x - = y Đưa dạng | y - 2| + | - y |= Nghiệm £ x £ 11 a) Chuyển vế x + 1- x = 1- Nghiệm x = (chú ý loại x= x , bình phương hai vế 16 25 ) 25 b) Nghiệm 16 c) Vế trái lớn x , vế phải không lớn x Phương trình vơ nghiệm d) Điều kiện x ³ x = - Bình phương hai vế rút gọn 2(x + 1)2(x + 3)(x - 1) = x2 - ta có 8(x + 1)2(x + 3)(x - 1) = (x + 1)2(x - 1)2 Û (x + 1)2(x - 1)(7x + 25) = x =- 25 loại Nghiệm x = ±1 e) Vế trái A = x - + 9- x Þ A2 = + (x - 7)(9 - x) £ + (x + 7) + (9 - x) = , A £ 2 Vế phải B = (x - 8) + ³ Theo đề bài, A = B nên A = B = Do x - = - x x = Vậy x = , thoả mãn phương trình cho a) Điều kiện: x ³ (1) Bình phương hai vế 2x - 1+ x - + 2x2 - 5x + = x + Û 2x2 - 5x + = - x Phải có x £ (2) Từ (1) (2) ta có x = Giá trị nghiệm phương trình cho Nghiệm x = b) Điều kiện x ³ - 3x + 15 = x + + 4x + 17 Chuyển vế Bình phương hai vế, xuất điều kiện x £ - Do x = - Giá trị nghiệm phương trình cho c) Do x ³ nên vế trái lớn , vế phải nhỏ Suy hai vế , x = , thoả mãn phương trình d) Điều kiện x ³ - Bình phương hai vế, xuất điều kiện x £ - Nghiệm x = - a) Đặt Ta có 2x + + x + = y, 2x + - x +2 = z (1) y2 - z2 = 1+ x + 2, y + z = + x + Suy y - z = Từ z = x + (2) Từ (1) (2) tính x Nghiệm x = (chú ý loại giá trị x = - 1) b) Đặt 2x - 9x + = a ³ 0,2 - x ³ nên x £ Ta có 1- x + (x - 1)(x - 2)- | x - 2| Û 1- x + (x - 1)(x - 2) - Û 1- x = Nghiệm x = - x- =3 x- (x - 1)(x - 2) = x +2 ³ 0Û x £ - b) Điều kiện x - x > Đặt (x - 2) x +2 =y x- (1) Thì y = (x - 2)(x + 2) (2) Ta có y + 4y + = nên y1 = - 1, y2 = - Do y < nên từ (1) suy x - , phương trình vơ nghiệm, xem bảng x x 0 x +1 x +2 x +3 Vế trái - x = a, x - = b Ta có a3 + b3 = 2,a3 - b3 = 12 - 2x , vế phải a - b a3 - b3 a3 - b3 = Phương trình cho trở thành a + b phương trình cho 11 Đặt 3 Vì a + b = nên 11 a - b a3 - b3 = Þ (a - b)(a3 + b3) = (a + b)(a3 - b3) a + b a3 + b3 Do a + b ¹ nên (a - b)(a2 - ab + b2) = (a - b)(a2 + ab + b2) Từ a = b ta x = Từ ab = ta x = 7; x = 12 a) Đặt + x = a ³ 0,1- x = b ³ Ta có a +b = (1) ab + a + b = Theo bất đẳng thức Cô-si 3= a b + a + b £ = a + b + 1£ (2) mn £ m+n , ta có a + b 1+ a 1+ b + + 2 1+ a + b a +b + +1= +2= 2 Phải xảy đẳng thức, tức a = b = Do x = b) Đặt 1- x = a ³ 0, - x = b ³ Điều kiện x £ (1) Ta có a + b = a4 + b4 Û (a + b)4 = a4 + b4 Û 2ab(2a2 + 3ab + 2b2) = 2 Nếu a > 0,b > 2a + 3ab + 2b > Do a = b = Suy x = x = Loại x = trái với điều kiện (1) Nghiệm x = /// -