Gi¸o viªn : NguyÔn M¹nh Hïng Trường THCS Thanh Thuỷ- Phú Thọ ĐỀ CƯƠNG ÔN THI HSG TOÁN 9 PHẦN SỐ HỌC A.. Gọi m là tổng các hệ số ứng với lũy thừa bậc chẵn của x và n là tổng các hệ số ứng[r]
(1)Gi¸o viªn : NguyÔn M¹nh Hïng Trường THCS Thanh Thuỷ- Phú Thọ ĐỀ CƯƠNG ÔN THI HSG TOÁN PHẦN SỐ HỌC A PHÉP CHIA HẾT TRÊN Z Bài 1: Cho số chính phương a, b, c Chứng tỏ P = (a – b)(b – c)(c – a) 12 Bài 2: Cho P = (a + b)(b + c)(c + a) + abc với a,b,c Z Chứng minh (a + b + c) thì P Bài 3: Chứng minh không tồn các số nguyên x,y,z thỏa mãn: x y3 z3 x y z 2005 Bài 4: Tồn hay không số nguyên n thỏa mãn: n 2003n 20052005 (1) Bài 5: Tìm tất các số tự nhiên k để: k 2k 15 k 3 Bài 6: Tìm số nguyên dương n cho n + 600 và n – là lũy thừa bậc bốn số nguyên dương 2006 Bài 7: Cho đa thức f(x) = 1 x x Gọi m là tổng các hệ số ứng với lũy thừa bậc chẵn x và n là tổng các hệ số ứng với lũy thừa bậc lẻ x Hỏi m, n là các số lẻ hay chẵn? Bài 8: Tồn hay không đa thức f(x) với hệ số nguyên thỏa mãn các điều kiện: f(2) = 1945, f(9) = 2009 Bài 9: Cho n Z CMR: n 14n 71n 154n 120 24 Bài 10: CMR: S = n 3n 38 không chia hết cho 49 với n N Bài 11: CMR: A = 5n 5n 1 6n 3n 2n 91 với n N Bài 12: Cho n N, n 1.CMR : Tn 15 25 n chia hết cho Sn n Bài 13: Cho a1 , a , , a n 1; 1 , n N* và thỏa mãn a1a a 2a a 3a a n a1 CMR: n Bài 14: CMR với n Z, n ta có: (n n 5n 11n 5) n 1 Bài 15: Cho x,y,z là các số nguyên khác CMR : x yz a, y xz b, z xy c thì tổng ax by cz a b c Bài 16: Tìm cặp số nguyên dương (m,n) cho 2m + n và 2n + m Bài 17: CMR: 321 224 68 11930 Bài 18: Tìm số dư phép chia A = 38 36 32004 cho 91 B SỐ NGUYÊN TỐ, SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Cho A = 11…1(2n chữ số 1) và B = 44…4(n chữ số 4); n N* CMR: A + B + là số chính phương Bài 2: Cho p là số nguyên tố lớn CMR: p4 – 80 Bài 3: CMR với n N* thì 3m không thể là lập phương số nguyên biết: m = 1.3 +2.4 + 3.5 +…+ n(n + 2) Bài 4: Tìm n N để n 4n 4n là số nguyên tố Lop6.net (2) Bài 5: Tìm n N để n 6n 11n 6n là số chính phương Bài 6: Giả sử a,b,c là các số nguyên dương và a là số nguyên tố cho a b c CMR: b = c + và a < c Bài 7: Cho a, b N thỏa mãn : 2a a 3b b CMR : a b và 2a 2b là các số chính phương Bài 8: Tìm n Z để n 2n 2n n là số chính phương Bài 9: Tìm số nguyên tố p để: p p p3 p là số chính phương Bài 10: Cho n N* , 2n + và 3n + là các số chính phương CMR: n 40 Bài 11: Tìm n N để A n n 2n 2n là số chính phương Bài 12: Cho n N* , n + và 2n + là các số chính phương CMR: n 24 Bài 13: Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là số chính phương: x 2x 2x x Bài 14: Tìm số nguyên tố p để 4p2 + và 6p2 + là các số nguyên tố Bài 15: Tìm n N* cho x = 2003 + 2n và y = 2005 + 3n là số chính phương C PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM MGUYÊN Bài 1: Tìm các số nguyên dương x,y,z thoả mãn: 2x y 2z Bài 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: y 2 x x y 32 Bài 3: Xác định giá trị a để phương trình a có nghiệm nguyên x xy y dương Bài 4: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x 2y 2xy x y 10 Bài 5: Cho p là số nguyên tố lớn CMR phương trình x y z 4p Luôn có nghiệm nguyên dương x , y0 , z Bài 6: Tìm tất các nghiệm nguyên (x,y) phương trình: x y x y2 x y 3 Bài 7: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x y3 z y3 z xy 1 2z Bài 8: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y3 xy Bài 9: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x x y Bài 10: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x x y y3 2xy z y3 z Bài 11: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x 5y 1 x y x x 105 Bài 12: Tìm nghiệm nguyên phương trình: p(x + y) = xy, với p là số nguyên tố Bài 13: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x + y + z = xyz Bài 14: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x x 1 y y 1 Lop6.net (3) Bài 15: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x 3y3 9z3 Bài 16: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2xy x y x 2y xy Bài 17: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x xy y x y Bài 18: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 8x y x y 10xy Bài 19: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x x x y3 Bài 20: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 2(y + z) = x( yz – 1) Bài 21: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x x x 1 4y y 1 Bài 22: Giải phương trình nghiệm nguyên: x x x x y y Bài 23: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x 2y Bài 24: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y x xy y D PHẦN NGUYÊN CỦA MỘT SỐ Bài 1: Cho a,b,c,d là các số thực dương Tìm phần nguyên : 2a b c 2b c d 2c d a 2d a b abc bcd cda dab Bài 2: Tính phần nguyên biểu thức A n n 1 n n 3 vói n N A Bài 3: CMR x 2x x x R 2 x 21000 x 1 x Áp dụng tính tổng: S 1001 với x = 2008 Bài 4: CMR phần nguyên số 44 1975 100 là số lẻ Bài 5: Cho n N , CMR: a) 4n 4n b) 72n 9n 9n 72n 2003 Bài 6: Tìm hai chữ số tận cùng số: A = 3 Lop6.net (4) HƯỚNG DẪN A PHÉP CHIA HẾT TRÊN Z Bài 1: Một số chính phương chia cho 3, cho có số dư là Theo nguyên lý Đi-rich-le thì ba số a,b,c phải tồn ít số có cùng số dư chia cho 3, đó các số a-b, b-c, c-a phải có ít số chia hết cho P Tương tự ta có P Mà (3;4) = và 3.4 = 12 nên P 12 Bài 2: Ta có 3P = a b c a b3 c3 3abc a b c a b c a b c ab bc ca Vì a,b,c Z và a b c nên 3P P (vì (3;4) = 1) Bài 3: Ta có x y3 z3 x y z 2005 x x y3 y z z 2005 x x 1 x 1 y y 1 y 1 z z 1 z 1 2005 Mà x x 1 x 1 y y 1 y 1 z z 1 z 1 3, 2005 không chia hết cho đpcm Bài 4: Giả sử tồn số nguyên n thỏa mãn (1), ta có: n 2003n n n 2004n n 1 n n 1 2004n n 2003n Mặt khác 20052005 2004 1 chia cho dư (3) Từ (2) và (3) dẫn đến mâu thuẫn Vậy không tồn số nguyên n thỏa mãn (1) Bài 5: k 0;3 Bài 6: Giả sử n + 600 = a4 và n – = b4 (a,b nguyên dương) 2005 a b a b 1.609 3.203 7.87 21.29 Dễ thấy a>b nên ta có trường hợp xẩy Từ đó tìm n = 25 Bài 7: Ta có f(x) = a 4012 x 4012 a 4011x 4011 a1x a ;a i Z,i 0,1, 2, , 4012 Khi đó f(1) = m + n = 32006; 32006 32006 ,n m lẻ, n f(-1) = m – n = m 2 chẵn Bài 8: Giả sử f(x) = a n x n a n 1x n 1 a1x a Suy f(9) – f(2) Nhưng 2006 – 1945 = 61 không chia hết cho không tồn đa thức f(x) thỏa mãn điều kiện đề bài Bài 9: Ta có A = n n 3 n n 24 Bài 10: Giả sử n N / S 49 S Lại có S = n 4n n n n n 2 n 7t Thay vào S ta có: S = 49 t t 28 không chia hết cho 49 mâu thuẫn đpcm Bài 11: Chứng minh A và A 13 Bài 12: Ta có 2Sn = n(n + 1) Lop6.net (5) Mặt khác a n b n a b n N* và n lẻ, ta có: 1 (n 1) n (n 1) 2Tn 15 n 25 n 1 n n 1 2Tn 5 5 2n n Mà (n, n+1) = 2Tn n n 1 2Tn 2Sn Tn Sn Bài 13: Đặt x1 a1a , x a 2a , , x n a n a1 x1, x , , x n 1; 1 Hơn x1 x x n nên các số x1, x , , x n thì số các số bằng số các số -1 Giả sử có m số có m số -1 m N* n 2m và x1x x n 1 a1a a n m chẵn m m 2k k N* n 2m 4k đpcm Bài 14: Ta có n n 5n 11n n n n n 1 Mà n n n n n 1 n n n n 3 n n n 1 n n n n 3 n 1 n n 1 n n 5n 11n 5 n 1 ax by cz x y3 z3 3xyz x y z x y2 z xy yz zx Bài 15: Ta có x y z a b c a b c Bài 16: Ta có (2m + 1)(2n + 1) mn 2m 2n 1 mn 2m 2n k.mn k N* k, m, n lẻ (1) Lại có: m 1; n m 1 n 1 m n mn 2m 2n 2mn 5mn Từ (1) và (2) k k 1;3;5 21 24 8 8 Bài 17: Đặt A = 3 = 37 28 1 3.37 28 1 37 28 1 314 216 37.28 28 37 3 A 37 28 1930 Bài 18: Ta có 36 729 728 91 A 38 36 32004 38 32 36 32004 32 3 (3 ) 6 334 11 A chia cho 91 dư 11 B SỐ NGUYÊN TỐ, SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Tự làm Bài 2: Tự làm Bài 3: Ta có m 22 1 32 1 42 1 n 1 12 22 32 n 1 n 1 (1) Lop6.net (6) Mà 12 22 32 n n n 1 2n 1 (2) Thay (2) vào (1) ta m n n 1 2n 2n 9n 7n n 3m n n n n 2 Vậy 3m là lập phương số nguyên thì : n n n n 1 2 Phương trình này không có nghiệm nguyên dương nên ta có đpcm Bài 4: Ta có A = n 1 n 3n 1 , từ đó tìm n = Bài 5: Ta có A = n 6n 11n 6n = n 3n n 3n Dễ thấy n = thì A = là số chính phương 2 Nếu n > ta có : n 3n A n 3n 1 A không thể là số chính phương Vậy n = là giá trị cần tìm Bài 6: Ta có a b c b c b c b c Do a là số nguyên tố nên a 1.a b c 1và b c a + Từ b – c = b c a 2c a lẻ a 2k 1 k N* a 2k a 1 4k hay a 2a a 2a Vậy 2a 2a a 2c a c đpcm Bài 7: Theo bài 2a a 3b b a b 2a 2b 1 b Hơn a b; 2a 2b 1 a b và 2a 2b là số chính phương Bài 8: Giả sử A = y n n n n Ta có n n y n n 3 y n n 1 y n n 2 2 Từ đó tìm n = và n = -3 Bài 9: Giả sử p p p3 p a a N* Khi đó 4a 2a 4p 4p 4p3 4p 4p 4p3 p 2p p Mặt khác: 4a 2a 4p p 4p3 8p 4p 2p p 2p p 2a 2p 2 p 2a 2p p 2 2 4p 4p 4p3 4p 2p 5p 4p3 4p p 2p p 1; p vì p là số nguyên tố nên p = Bài 10: Đặt 2n k k Z Vì 2n + lẻ nên k lẻ k 2t 1 t Z 2n 2t 1 n 2t t 11 n chẵn 3n lẻ 3n 2x 1 x Z 3n 4x x 1 Từ (2) n 8 (3) Ta lại có 5n 3n 2n 4x x 1 4t t 1 x x 1 t t 1 Lop6.net (7) x x 1 t t 1 x x 1 và t t 1 n Từ (3) và (4) n 40 2 Bài 11: A n n 2n 2n n n 1 n 1 Với n = A là số chính phương Với n = A là số chính phương Với n > A là số chính phương n 1 là số chính phương Nhưng n 1 n 1 1 n (vì n > 1) n 1 1 không là số chính phương Vậy n = 0; n = là các giá trị cần tìm Bài 12: Đặt a n ; 2a m m, n N 2a m suy m lẻ và 2a m 1 m 1 a chẵn n lẻ a n 1 n 1 là tích hai số chẵn liên tiếp nên a 8 1 Mặt khác 3a n m n và m chia cho dư 1, đó n 1 hay a Từ (1) và (2) suy đpcm Bài 13: Đặt x 2x 2x x y y N 1 Ta thấy y x 2x x x x 3 x x x x 3 Ta chứng minh a y a a x x 11 Thật y a x x x 2 2 1 a y2 x x x 2x 2x x 3x 3x x 2 Vậy a y a nên y a 1 x 2x 2x x 2 x x x x x 1; x 2 Bài 14: Ta thấy p = và p = không thỏa mãn bài toán Giả sử p 5k r, k Z và r 0;1; 2;3; 4 Ta có 4p 100k 40kr 4r ; 6p 150k 60kr 6r + Nếu r p 5; 4p và 6p không chia hết cho + Nếu r 4p 1 và 6p không chia hết cho + Nếu r 6p 1 và 4p không chia hết cho + Nếu r 6p 1 và 4p không chia hết cho + Nếu r 4p 1 và 6p không chia hết cho Như ba số p, 4p 1, 6p có đúng số chia hết cho Do p > nên 4p 5, 6p Vậy để 4p và 6p nguyên tố thì p , mà p là số nguyên tố nên p = Khi đó 4p 101 và 6p 151 là số nguyên tố Vậy p = thỏa mãn bài toán Bài 15: Giả sử 2n 2003 a và 3n 2005 b a, b N* Khi đó 3a 2b 19911 a lẻ Lop6.net (8) Đặt a 2k 1 k N vào (1) ta có : 2b 3.4k k 1 1996 3.4k k 1 2.1000 b mod Điều này không xảy dù b chẵn hay lẻ Vậy không tồn n N* t/m đề bài C PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM MGUYÊN Bài 1: Tìm các số nguyên dương x,y,z thoả mãn: 2x y 2z (1) Từ 2x y 2z 2x 2x y 2z x z Tương tự ta có y z 1 1 1 Đặt a 2z x ; b 2z y thì (2) trở thành: a, b N* a b a 1 b 1 a 2; b Từ (1) ta lại có 2x z y z zx zy 2z x z x 2z y z y Lấy x m m N* thì y = m và z = m + Thay x = m, y = m, z = m + vào (1) ta thấy thỏa mãn Vậy ba số cần tìm là (x, y, z) = (m, m, m + 1) Bài 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: y 2 x x y 32 Ta có y 2 x x y 32 x x 2x y y 64 x x y 64 Vì x N và 64 phân tích thành: 64 = 43 02 03 82 nên ta có : x và x y x 2, y x 2, y 8 Hoặc x và x y 82 x và y 8 Vậy phương trình có nghiệm Bài 3: Xác định giá trị a để phương trình a 11 có nghiệm x xy y nguyên dương Giả sử (x,y) là nghiệm nguyên dương PT (1) Đặt d = ƯCLN(x,y) x dx1 ; y dy1 với x1 , y1 Ta có (1) y axy x x y y y ax x y 1 y1 y1 ax1 x12 d y12 Vì x1 , y1 nên d y 1 y1 y1 là ước Mà y nguyên dương nên y1 = 1 x1 x1 x y Thay x = y vào (1) ta a x (1) có nghiệm nguyên dương a + là số chính phương Bài 4: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x 2y 2xy x y 10 1 2 Đặt s x y, p xy thì (1) trở thành: 2s 6p s 10 p Lop6.net 2s s 10 (9) Mặt khác x y x y 4xy s 4p hay p 2 s2 1 2s s 10 s s 2s 20 6 s * Mà p Z s Từ (*) suy s 4; 2;0; 2 Xét trường hợp ta tìm nghiệm nguyên là: 1; 3 , 3; 1 , 0; , 2;0 Bài 5: Cho p là số nguyên tố lớn CMR phương trình x y z 4p luôn có nghiệm nguyên dương x , y0 , z Vì p là số nguyên tố lớn nên p không chia hết cho Nếu p chia cho dư p 3k 1 k N* Ta có 4p 3k 1 2k 4k 1 4k Do đó x , y0 , z là hoán vị 2k, 4k+1, 4k+2 2 2 Nếu p chia cho dư p 3k k N* Ta có 4p 3k 2k 4k 4k 3 Do đó x , y0 , z là hoán vị 2k+2, 4k+2, 4k+3 Vậy trường hợp PT đã cho luôn có nghiệm nguyên dương x , y0 , z Bài 6: Tìm tất các nghiệm nguyên (x,y) phương trình: x y x y2 x y 3 1 2 2 Ta có 1 x x y xy y3 x y3 3x y 3xy x y xy 2y3 3x y 3xy y 2y y x 3x x 3x * Nếu y = thì 1 x x x luôn đúng x Z Nếu y , đó: * 2y x 3x y x 3x Xem (2) là PT bậc hai ẩn y Để (2) có nghiệm nguyên thì : x 3x x 3x phải là số chính phương Ta có x 3x x 3x x x x 1 2 là số chính phương x x a a N x a x a 16 Vì x a x a nên ta có trường hợp xảy Từ đó tìm các nghiệm nguyên (x,y) PT đã cho là: 9; 6 , 9; 21 , 8; 10 , 1; 1 , m;0 với m Z Bài 7: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x y3 z y3 z xy 1 2z Ta có x y3z y3z xy 1 2z x y 1 2z x zy3 z 1 1 (1) có nghiệm x 0; x y 1 4z 1 z 1 y Nếu y và y, z N* thì x 1 vô nghiệm Lop6.net (10) Nếu y = thì x và 1 x 1 2z x z z 1 PT này có nghiệm là x1 z; x z Vậy nghiệm nguyên dương PT (1) là (x,y,z) = (z;1;z), (z+1;1;z) với z N* Bài 8: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y3 xy 1 Ta có (1) x y x xy y xy Dễ thấy x y vì x = y thì (1) trở thành x , vô nghiệm Do x, y Z nên x y x xy y xy x xy y xy Xét trường hợp: * xy đó x xy y xy x y 8 , vô nghiệm * xy đó x xy y xy x y x , y 0;1; 4 - Nếu x = thì từ (1) có y3 8 y 2 - Nếu y = thì từ (1) có x x - Nếu x,y khác thì x , y 1; 4 Do x y nên có x 1, y x 4, y số x,y có số chẵn và số lẻ Khi đó VT (1) lẻ, còn VP (1) chẵn nên PT vô nghiệm Vậy nghiệm PT đã cho là x, y 0; 2 , 2;0 Bài 9: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x x y ĐK : x Với x = thì y = suy (0;0) là nghiệm PT Với x > thì y > Bình phương vế PT ta được: x x y2 x y2 x Đặt x k k N* k k 1 y Nhưng k k k 1 k 1 k y k 1 2 k y k 1 y Z Vậy PT đã cho có nghiệm nguyên (0;0) Bài 10: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x x y y3 2xy z y3 z Ta có x x y y3 2xy z y3z yz x y yz x y3z y3z y z y z 2 y y2 yz x z 11 y y z 1 2 y y z z 1 y 1 y Để (x,y,z) là nghiệm (1) thì 1 z x z x z x 1 z x z x 2 Vậy PT có nghiệm nguyên dương là: (x = n, y = 1, z = n) với n N* và (x = k, y = 1, z = k – 1) với k N* , k Bài 11: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x 5y 1 x y x x 105 Lop6.net (11) Vì 105 là số lẻ nên 2x + 5y + lẻ nên y chẵn Mà x x x x 1 chẵn nên x lẻ x0 Với x = ta có PT: 5y 1 y 1 5.21 5y 1,5 1nên 5y 21và y 5y 21và y 5.Suy y Thử lại ta thấy x = 0, y = là nghiệm PT Bài 12: Tìm nghiệm nguyên phương trình: p(x + y) = xy, với p là số nguyên tố HD: Giả sử x y ta có: p(x + y) = xy xy px py p p x p y p p p.p p p 1.p p 1 Bài 13: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x + y + z = xyz (1) 1 x2 x xy yz zx x Với x = ta có: y z yz y 1 z 1 y 1và z y 2, z Giả sử x y z Từ (1) suy ra: Vậy nghiệm PT là (1,2,3) và các hoán vị nó Bài 14: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x x 1 y y 1 1 Ta có: 1 x x y 2y3 3y 2y x x y y 1 2y y 1 x x y y 1 Nếu x > thì từ x x x x 1 x x không thể là số chính phương nên (2) không có nghiệm nguyên Nếu x < -1 thì từ x 1 x x x suy (2) không có nghiệm nguyên Nếu x = x = -1 thì từ (2) suy y y 1 y y 1 Vậy PT có nghiệm nguyên 0;0 , 0; 1 , 1;0 , 1; 1 Bài 15: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x 3y3 9z3 1 Giả sử x , y0 , z là nghiệm PT, đó ta có: x 03 3y03 9z 03 x Đặt x 3x1 x1 Z thay vào (2) ta được: 3x13 y03 3z 03 3 y0 Đặt y0 3y1 y1 Z thay vào (3) ta được: 3x13 9y13 z 03 z Đặt z 3z1 z1 Z thay vào (4) ta được: x13 3y13 9z13 x y0 z , , là 3 3 x y z nghiệm PT (1) Một cách tổng quát ta suy n0 , n0 , n0 là nghiệm 3 3 n PT (1) với n N , hay x , y0 , z n N đó x y0 z Vậy (0;0;0) là nghiệm PT đã cho Bài 16: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2xy x y x 2y xy Ta có 2xy x y x 2y xy 2y x 1 x x 1 y x 1 1 2y x y x 1 1 Lop6.net (12) x=2 x 1 2y x y 1 y = (loại) x 1 x=0 2y x y y = (loại) Vậy nghiệm PT là (2;1), (0;1) Bài 17: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x xy y x y 1 Ta có 1 x y xy xy 1 xy xy 1 là số chính phương Mà xy và xy + là số nguyên liên tiếp nên từ (2) suy ra: xy = -1 xy = xy + = xy + = Từ đó tìm các nghiệm PT là 1; 1 , 1;1 , 0;0 Bài 18: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 8x y x y 10xy Ta có 8x y x y 10xy 8xy xy 1 x y 1 Do đó x,y là nghiệm PT thì xy xy 1 xy xy xy Nếu xy x y Nếu xy x y 1 Vậy PT có ba nghiệm nguyên là: 0;0 , 1;1 , 1; 1 Bài 19: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x x x y3 1 11 19 Ta có: x x và 5x 11x x 10 20 2 Nên (1 x x x ) x x 1 x x x 1 x x x 5x 11x x Do đó x y3 x y3 x 1 Kết hợp với (1) ta có : x 1 3 x x x x x 1 x x 1 Vậy nghiệm nguyên PT (1) là: 0;1 , 1;0 Bài 20: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 2(y + z) = x( yz – 1) (1) Với x = PT có dạng y z yz y z Ta tìm các nghiệm (x,y,z) là: (1;3;7) và (1;7;3) Với x , giả sử y z ta có :2 y z yz 1 yz y z y 1 z 1 + Nếu y = thì PT (1) có dạng: 1 z x z 1 x z 1 Ta các nghiệm là: 3;1;5 , 4;1;3 , 6;1; + Nếu y z từ (2) suy y = 2, PT (1) có dạng : Lop6.net (13) z x 2z 1 2z 1 x 1 PT này có nghiệm (x,y,z) = (2;2;3) Tương tự xét y > z thì PT đã cho có tất 10 nghiệm là: 1;3;7 , 1;7;3 , 3;1;5 , 4;1;3 , 6;1; , 2; 2;3 , 3;5;1 , 4;3;1 , 6; 2;1 , 2;3; Bài 21: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x x x 1 4y y 1 Ta có x x x 1 4y y 1 x x x 4y 4y x 1 x 1 2y 1 Vì 2y 1 lẻ nên x và x cùng lẻ Lại có x 1, x 1 x 1và x là số chính phương Do x và x là số nguyên liên tiếp và cùng là số chính phương nên số nhỏ 0, đó x = y = y = -1 Bài 22: Giải phương trình nghiệm nguyên: x x x x y y Ta có x x x x y y 4x 4x 4x 4x 4y 4y 2x x 3x 4x 2y 1 Lại có 2x x 2y 1 2x x 1 2y 1 2x 2 2x x 2 0 x 2y 1 2 x 1 3x 1 x < -1 x>2 x 2x Như với x < -1 x > thì 2y 1 nằm số chính phương liên tiếp Suy PT vô nghiệm Bài 23: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x 2y 11 Giả sử x, y Từ 1 x lẻ x chia cho dư y chẵn y chẵn Đặt x 2a 1, y 2b; a, b N thay vào (1) ta được: 4a 4a 8b 4a 4a 4a 4a 8b 2a 2a a a b Đặt a a n ta có n 2n 1 b 2 Với a = thì x = thay vao (1) ta y = Với a thì n và 2n + là số nguyên dương, nguyên tố cùng nhau, có tích b2 nên số là số chính phương Đặt n k k N ta có a a k Điều này vô lí vì: a a a a 2a a 1 Vậy PT đã cho có nghiệm (1;0) và (-1;0) Bài 24: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y x xy y HD: Đặt u x y, v x y ta có : 28u u 3v u và u u = x, y 4;5 , 5; Lop6.net (14)