Ôn luyện học sinh giỏi Toán 9 Phần số học

http://NgocHung.name.vn Phơng trình nghiệm nguyên cách giải . I, Phơng trình vô định dạng a.x+by=c+dxy và bài toán về chia hết. Cách giải: Sử dụng tính chất chia hết Ví dụ1: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình xy-2x-3y+1=0 HD: cách1: Viết y=2+ }{ 5;13 3 5 xZ x Cách 2: Viết (x-2)(y-3)=5 =1.5=-1.(-5) Ví dụ2: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thoả mãn y(x-1)=x 2 +2 HD : Viết y=x+1+ { } 3;11 1 3 xZ x Ví dụ3: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình 2x-3y+5xy=39 HD : Viết y= 61253392 53 392 xxxZ x x Ví dụ4: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình 5x-3y=2xy-11 HD : Viết y=2+ ++ + + 325 32 5 xxZ x x miền giới hạn của x. Ví dụ5: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình y= 1 1 2 2 ++ + xx xx HD: Viết thành (y-1)x 2 +(y+1)x+y-1=0 1, Với y=1 thì x=0 2, Với y { } 3;2;1;03 3 1 01 yy x Ví dụ6: Tìm các cặp số nguyên dơng (x;y) thoả mãn A= 1 1 2 ++ xy xx là số nguyên HD: yA=x+1+ ( )( ) 31111 1 1 ++ ++ yxxyyxZ xy yx Ví dụ 7: Tìm các số nguyên dơng x,y,z thoả mãn 2(y+z)=x(yz-1) HD: Làm tơng tự ví dụ6 Ví dụ8: Tìm các cặp số nguyên dơng sao cho Z ab a + 2 2 2 Một số bài luyện tập Bài1: Tìm nghiẹm nguyên dơng của phơng trình x 2 -y 2 =2003 Bài2: Có tồn tại hay không hai số nguyên x và y thoả mãn 3x 2 +7y 2 =2002 Bài3: Giả sử x,y,z thoả mãn x+y+z=(x-y)(y-z)(z-x) . CMR xyz 27 1 http://NgocHung.name.vn Bài4: Cho x,y,z là ba số thoả mãn x 2 +y 2 =z 2 1, Chứng minh có ít nhất một trong hai số x,y chia hết cho 3 2, Chứng minh tích xy 12 Bài 5: Có tồn tại các số nguyên x,y,z thoả mãn x 3 +y 3 +z 3 =x+y+z+2006 không? Bài6: Tìm các cặp số tự nhiên (x;y) thoả mãn x 2 +3 y =3026 Bài7: Chứng minh phơng trình sau không có nghiệm nguyên x 2 -2 y =2005 Bài8: Tìm tất cả các tam giác vuông có các cạnh là số nguyên và số đo diện tích = chu vi. II, Hạn chế tập hợp chứa nghệm dựa vào điều kiện của ẩn Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình 50=+ yx HD : y=50+x-10 ( ) { } 5,4,3,2,1,025425002 22 = kkkxxx Ví dụ2: Tìm nghiệm tự nhiên của phơng trình 1989=+ yx III, Hạn chế tập hợp chứa nghiệm bằng cách sắp thứ tự ẩn (áp dụng cho vai trò của các ẩn nh nhau) Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình x 2 +y 2 +z 2 +xyz=20 HD: Giả sử 1 24 2 xxVTzyx Ví dụ2: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình 1 111 =++ zyx HD : Giả sử 1 { } 3,23 3 1 xx x zyx Ví dụ3: Tìm các số nguyên dơng a,b,c đôi một khác nhau thoả mãn Y= Z bcacabcba +++++ 111111 HD : chứng minh a,b,c cùng tính chất chẵn lẻ và giả sử a<b<c Sau đó làm nh ví dụ2 Ví dụ4: Tìm ngiệm nguyên dơng của phơng trình x+y+z+9=xyz. IV, Giản ớc cho ớc số chung Ví dụ1: Tìm nghiệm nguyen dơng của phơng trình x 4 +4y 4 =2(z 4 +4t 4 ) HD: Giả sử (x 0 ,y 0 ,z 0 ,t 0 ) là nghiệm .Đặt (x 0 ,y 0 ,z 0 ,t 0 ) =d ta có x 0 =dx 1 ;y 0 =dy 1 ;z 0 =dz 1 ;t 0 =dt 1 với (x 1 ;y 1 ;z 1 ;t 1 )=1 dẫn tới x 1 =2x 2 ;y 1 =2y 2 ;z 1 =2z 2 ;t 1 =2t 2 vô lý! 2 http://NgocHung.name.vn Ví dụ 2: Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình x 2 +y 2 +z 2 =x 2 y 2 HD : Dựa vào tính chẵn lẻ để giải. Phơng trình có nghiệm duy nhất x=y=z=0 Ví dụ 3: Tìm nghịêm nguyên của phơng trình x 2 -2y 2 =5 HD: Dựa vào tính chẵn lẻ để giải Ví dụ4:Tìm nghiệm nguyên của phơng trình x 2 -5y 2 =0 HD: Giả sử (x 0 ;y 0 ) là nghiệm == kk yx yyxx 5 ; 5 5;5 00 1010 là nghiệm nguyên nên chỉ có thể x 0 =y 0 =0 thoả mãn V, Đa về dạng tổng A 2 +B 2 =m 2 +n 2 (m;n là các số tự nhiên). Ví dụ1 : Tìm nghiệm nguyên của phơng trình x 2 +y 2 -x-y=8 HD : viết 22 22 531212 +=+ yx Ví dụ2: Tìm nghiệm tự nhiên của phơng trình m 2 +n 2 =9m+13n-20 HD : 4m 2 -36m+81+4n 2 -52n+169=170 => (2m-9) 2 +(2n-13) 2 =11 2 +7 2 = VI, Xét chữ số tận cùng Ví dụ1: Tìm các số nguyên dơng thoả mãn phơng trình 1!+2!++x!=y 2 HD: Xét x=1,2,3,4 ta đợc nghiệm (1;1) và(3;3) Với x>4 thì y 2 có tận cùng bằng 3 Zy Ví dụ2: Tìm x,y nguyên dơng thoả mãn x 2 +x-1=3 2y+1 HD: Cho x =0,1,,9 => VT =1,5,9 nhng VF có số tận cùng là 3 hoặc 7 VII, Sử dụng tính chất nghiệm của phơng trình bậc hai Ví dụ 1: Giải phơng trình nghiệm nguyên 3x 2 +y 2 +4xy+4x+2y+5=0 HD: Xét ( ) 2,4 22 === xZnnx y Ví dụ2: Tìm nghiẹm nguyên của phơng trình x 2 -(y+5)x+5y+2=0 HD: Theo Vi-ét có ( )( ) ( ) 2.12.1255 25 5 21 21 21 === += +=+ xx yxx yxx VIII, Dựa vào nguyên lý kẹp n 2 <A<(n+1) thì A không chính phơng (n nguyên). Ví dụ1: Tìm tất cả các số nguyên tố p để tổng tất cả các ớc tự nhiên của p 4 là số chính phơng HD: Ta có 1+p+p 2 +p 3 +p 4 =m 2 biến đổi dẫn tới (2p 2 +p) 2 <4m 2 <(2p 2 +p+2) 2 3 http://NgocHung.name.vn Vây 4m 2 =(2p 2 +p+1) 2 => p=3 Ví dụ 2: Giải phơng trình nghiệm nguỵên x 2 +x=y 4 +y 3 +y 2 +y HD: Biến đổi ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 212121432 yyyyxyyyy +++=+=++++ Ví dụ3: Tìm tất cả các số nguyên n để A=n 4 +2n 3 +2n 2 +n+7 là số chính phơng IX,Đa về phơng trình tích Ví dụ1: Hãy tìm các số có 4 chữ số .Biết số đó là một số chính phơng và nếu số đó giảm chữ số hàng nghìn đi 3 đơn vị còn tăng lên 3 chữ số hàng đơn vị thì cũng nhận đợc số chính phơng (Thi HSG Tỉnh VP 05-06) HD: Giả sử xyzt =a 2 và (x-3)yz(t+3)=b 2 Suy ra (a+b)(a-b)=2997=3 4 .37 với 60<a+b<200 Kết quả (a+b)(a-b)=111.37=81.37 ta tìm đợc 2 số thoả mãn Ví dụ 2:Tìm một số có 4 chữ số ,biết số đó là số chính phơng và nếu tăng Mỗi chữ số của số đó thêm một đơn vị thì cũng đợc một số chính phơng Ví dụ3: Tìm tất cả các số nguyên n sao cho n 2 +n+1 là một số chính phơng. X, Đa về trờng hợp riêng Vídụ: Giải PT nghiệm nguyên yxxx =+++ (có n dấu căn) HD : Với n=1 có ( ) Nt ty tx yx = = = 2 Với n=2 có ( ) 2 22222 1+<<=+==+ tytyttxyxyxx Chỉ có nghiệm (0;0) Với n>2.Luỹ thừa liên tiếp dẫn tới xyxx n =+ 2 2 .Đa về trờng hợp trên. XI, Dùng bất đẳng thức Ví dụ1: Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình x 2 -xy+y 2 =5 HD: Viết lại trở thành (2x-y) 2 =20-3y 2 4;1;0 3 20 0 22 = yy Sử dụng tính chẵn lẻ trong giải toán số học I, Tính chất: 1, Tổng (hoặc hiệu) của một số chẵn và một số lẻ là một số lẻ 2, Tổng hoặc hiệu của hai số chẵn ,hoặc hai số lẻ ,là một số chẵn 3, Tích của các số lẻ là một số lẻ 4, Tích của các số ,trong đó có ít nhất một số chẵn là một số chẵn 5, Trong hai số nguyên liên tiếp có một số chẵn và một số lẻ II, Tính chẵn lẻ trong các bài toán về chia hết Bài1: Cho bảy số nguyên a i (i=1,2,,7).Viết các số nguyên đó theo một thứ tự khác đợc b i (i=1,2,7) .Chứng minh tích (a 1 -b 1 )(a 2 -b 2 )(a 7 -b 7 )chia hết cho2. 4 http://NgocHung.name.vn HD:Đặt c i =a i -b i có ( ) 7120 7 1 == jZkkcc ji Bài2: Số 3 n +2003, trong đó n là số nguyên dơng ,có chia hết cho184không? HD: Thấy 3 2m -1 chia hết cho 3 2 -1=8 .Nếu n=2m thì 3 2m +2003=3 2m -1+250.8+4 không chia hết cho 8 . Nếu n=2m+1 thì 3 2m+1 +2003=3(3 2m -1)+250.8+6 không chia hết cho 8 Vây với mọi số nguyên n số 3 n +2003 không chia hết cho 8.23=184 Bài tự giải 1, Cho n>3,n N .Chứng minh nếu 2 n =10a+b với 0<b<9 thì tích ab chia hết cho 6 2, Cho các số nguyên dơng x,y,z thoả mãn x 2 +y 2 =2z 2 .Chứng minh rằng x 2 -y 2 chia hết cho 48 3, Cho các số nguyên dơng thỏa mãn x 2 +y 2 =z 2 . Chứng minh rằng x.y.z chia hết cho 60 4, Biết a là số nguyên dơng a, Nếu a+1 và 2a+1 là các số chính phơng thì a có chia hết cho 24 không ? b, Nếu 2a+1 và 3a+1 là số chính phơng thì a có chia hết cho 40 không ? III, Tính chẵn lẻ với các phơng trình nghiệm nguyên Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên dơng của hệ phơng trình =+ =+ =+ 2422 1! 1! 22 yxyx yzyz xyxy HD: Từ PT cuối và phơng trình đầu suy ra x chẵn y lẻ .Từ PT thứ hai có y! lẻ nên y=1.Kết quả nghiệm của hệ (x,y,z) bằng (2,1,1) Ví dụ2: Chứng minh không có số nguyên nào thoả mãn 198319751980519 30 4 +=++ z yx Ví dụ3: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình x 3 +2y 3 =4z 3 IV, Tính chẵn lẻ trong các bài toán số học khác Ví dụ1: Chứng minh rằng một PT bậc hai với các hệ số nguyên lẻ thì không có nghiệm hữu tỷ HD: Giả sử x=p/q (p,q)=1 thay vào PT a.x 2 +bx+c=0 đợc ap 2 +bpq+cq 2 =0 (*) Nhận thấy VT (*) lẻ còn VP (*) chẵn dẫn tới (đpcm) Ví dụ2: Tìm số nguyên dơng n để 43 37 + n n là bình phơng của một số hữu tỷ HD: G/S 2 43 37 = + q p n n với (p,q)=1.Ta có n-37=kq 2 và n+43=kp 2 (k + Z ) Từ đó k(p-q)(p+q)=80=2 4 .5.1 TH1. p,q có một số chẵn một số lẻ .Từ (*) suy ra p+q=5; p-q=1;k=16=>p=3,q=2,n=101 TH2. Cả hai p,q đều lẻ .Đặt p=2a-1;q=2b-1 (a,b thuộc Z + ) suy ra k(a-b)(a+b-1)=20=2 2 .5.1;do a+b-1>a-b và a+b-1 khác tính chẵn lẻ với a-b Cho cặp (a-b,a+b-1) lần lợt bằng (1,2);(1,4);(1,20); (5,20);(2,5);(4,5) Sẽ có đợc n bằng 38;47;55;82;199;398. Ví dụ 3: Tìm tất cả các số nguyên tố a,b,c thoả mãn a b +b a =c 5 http://NgocHung.name.vn HD: c>2 và lẻ nên a,b phải khác tính chẵn lẻ .Do vai trò a,b nh nhau nên giả sử a lẻ, b chẵn thì b=2 nên có a 2 +2 a =c .Nếu a=3 thì thoả mãn c=17. Nếu a khác 3 thì a 2 =3n+1(n nguyên dơng ) ,2 a =(3-1) a =3t-1 vì a lẻ .Từ đó c=a 2 +2 a =3n+1+3t-1=3(n+t) là hợp số .Bài toán có hai nghiệm (3,2,17) và (2,3,17) Một số bài tự giải Bài 1: Biết p=a+b c ,q=b+c a ,r=c+a b đều là số nguyên tố ,và a,b,c là các số nguyên dơng .CMR trong ba số có ít nhất hai số bằng nhau Bài2: Cho các số a=2 n +3 n và b=2 n+2 +3 n+2 với n nguyên dơng . Tìm ƯCLN(a,b)=? Bài3: Chứng minh 3 n +4 không thẻ là số chính phơng với n nguyên dơng Bài4: Tìm các số nguyên dơng m,n >1 để 2 m +3 n là số chính phơng Bài5: Tìm các số nguyên dơng n để n 2 +2002 là số chính phơng ? Các bài tập luyện tập tổng hợp Bài 1: Giải các phơng trình nghiệm nguyên sau 1, 5x 2 -4xy+y 2 =169 2, 4y+1=3 x 3, x 6 +3x 3 +1=y 4 4, 5 x +12 x =13 x Bài 2: Chứng minh phơng trình 2 5 t=2t 5 +1997 không có nghiệm nguyên Bài 3: Giải các phơng trình nghiệm nguyên 1, x 3 -3y 3 -9z 3 =0 2, 2x 2 +2y 2 -2xy+x+y-10=0 3, x+y+z=xyz 4, x 2 -4xy=23 5, 3x-3y+2=0 6, 19x 2 +28y 2 =729 7, 3x 2 +8y 2 +10xy=96 Bài 4: Tìm các cặp (x;y) nguyên dơng thoả mãn một trong các phơng trình sau 1, 4xy-3(x+y)=59 2, 5(xy+yz+xz)=4xyz 3, 3=++ y xz x yz z xy 4, 1995 1111 =++ zyx Bài 5: giải phơng trình nghiệm nguyên (x+2004)(x+1980)=3 y -81 Bài6: Tìm tất cả các số nguyên n để n 4 +6n 3 +11n+6n là số chính phơng Bài7: Tìm tất cả các số nguyên n để (n+5)(n+6) chia hết cho 6n Bài8: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình 1, x 2 +(x+1) 2 =y 4 +(y+1) 4 2, x 2 +2003x+2004y 2 +y=xy+2004xy 2 +2005 Bài9: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình 1, xy=3(y-x) 2, (n+1)(2n+1)=10m 2 3, x y +y z +z x =2(x+y+z) 6 http://NgocHung.name.vn Bài10: Tìm mọi cặp số nguyen dơng sao cho phân thức 1 2 2 4 + + yx x luôn nhận Giá trị nguyên Bài11, Tìm tất cả các số nguyên tố p i (i=1,2,,8) sao cho 2 8 7 1 2 pp i = Bài12: Tìm số d trong phép chia (1995+1)(1995+2)(1995+3990) cho3 1995 Bài 13, Phân tích số 2003 2004 thành tích của hai số dơng a,b .Hỏi a+b Có chia hết cho 2004 không? Bài14: Tìm tất cả các số nguyên x thoả mãn 2004100099010103 =+++++++ xxxxx Bài 15, tìm các số nguyên x sao cho x 3 -2x 2 +7x-7 chia hết cho x 2 +3 Bài16, Tìm tất cả các số nguyên x,y,z thoả mãn 3=++=++=++ zyx z x y z x y x z z y y x Bài17: Viết số 2003 2004 thành tổng của các số nguyên dơng. Đem tổng lập phơng tất cả các số hạng đó đem chia cho 3 thì đợc số d là bao nhiêu? Bài18: Tìm mọi nghiệm nguyên của hệ =+ =+ =+ xzzz zyyy yxxx 2872 2872 2872 23 23 23 Bài19: Tìm các cặp số (x;y) nguyên dơng sao cho + + Z xy xx 1 3 Bài20: Giải PT nghiệm nguyên 3 x +4 y =7 z Bài21: Xét dãy số a 1 =1;a 2 =3 và a n+2 =2a n+1 -a n +1 với mọi n nguyên dơng Chứng minh số A=4a n .a n+2 +1 là số chính phơng Bài 22: Biểu diễn số 1/2dới dạng tổng của ba phân số dơng có tử bằng 1 Hãy tìm tất cả các cách đó Bài23: Chứng minh phơng trình sau không có nghiệm nguyên x,y 36x 2 +144y 2 -276x-120y+25=0 Bài24: Tìm các nghiệm nguyên dơng của PT x 2 +y 2 =2011 ( ) z k + 10 11995 Bài25: Tìm các số tự nhiên m và n để A=3 4 6163 2 + + nm là số nguyên tố Bài26: Tìm số có 4 chữ số abcd sao cho 1, ab,cd là số nguyên tố 2, db +c = b 2 +d Bài 26: Tìm nghiệm nguyên của hệ =+ =+ 233 zyx zyx Bài27: Tìm các bộ số nguyên dơng thoả mãn x+2y+2z=xyz Bài 28: Tìm nghiệm nguyên của PT: 3(x 2 +xy+y 2 )=x+8y Bài 29: Giải PT nghiệm nguyên x 4 -y 4 +z 4 +2x 2 z 2 +3x 2 +4z 2 +1=0 Bài30: Giải các PT nghiệm nguyên sau 7 http://NgocHung.name.vn 1, x 3 -x 2 y+3x-2y-5=0 2, x 6 +8x 3 +11x 2 +28x+12+3y 2 =0 3, 4y 2 =2+ xx 2199 2 4, x(1+x+x 2 )=4y(y+1) Bài 31: Tìm nghiệm nguyên dơng của PT 5 x +2.5 y +5 z =4500 với x<y<z. Bài 32: Tìm các số a,b,c dơng thoả mãn abbc=ab.ac.7 Bài33: Giải PT nghiệm nguyên 2(x 2 -y 2 ) 2 =x 2 +y 2 +2z 2 Bài35: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh PT x 2 +y 2 +z 2 =4p 2 +1 luôn có nghiệm dơng (x 0 ,y 0 ,z 0 ) Bài36: Tìm tất cả các cặp số dơng (a,b) sao cho a+b 2 chia hết cho a 2 b-1 Bài 37: Tìm tất cả các số nguyên dơng N có ba chữ số sao cho cộng các chữ số của N với N và với số đợc viết bởi các chữ số của N theo thứ tự ngợc lại ta đợc một số chính phơng. Bài 38: Tìm nghiệm nguyên dơng của PT 3 x +1=(y+1) 2 Bài39: Tìm mọi nghiệm nguyên dơng của PT 10(2 x -1)=x(13x-3) Bài 40: Tìm tất cả các số hữu tỷ x và y sao cho x+y và yx 11 + đều nguyên Bài 41: Giải PT nghiệm nguyên x 2002 +y 2002 =2003 2001 (x 3 +y 3 ) Bài42: Tìm các số tự nhiên n sao cho 2 8 +2 11 +2 n là số chính phơng Bài43: Tìm tất cả các số nguyên tố p và q thoả mãn p 3 -q 5 =(p+q) 2 Bài 44: Tìm số đo các cạnh của tất cả các tam giác biết chúng là các số nguyên và số đo diện tích bằng chu vi của tam giác đó Bài45: Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số nguyên khác không thoả mãn 3=++ a c c b b a thì tích abc =n 3 với n là số nguyên Bài47: Tìm tất cả các bộ số nguyên (a,b,c,d) thoả mãn đồng thời các điều kiện =+ =+ 33 33 3 3 dab cba Bài48: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x,y) sao cho x 2 +xy+y 2 +14x+14y+2018 chia hết cho 101 Bài49: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của PT 1201 344433 22 = + + yx yxyx Bài50: Tìm mọi số nguyên n thoả mãn (n+5) 2 =(4(n-2)) 3 Bài51: Tìm tất cả các GT hữu tỷ x sao cho biểu thức Z xx xx + ++ 1 32 2 2 Bài52: Giải PT nghiệm nguyên x 3 +8=7 18 +x Bài53: Tìm nghiệm nguyên của PT x 2 (y-5)-xy=x-y-1 Bài54: Tìm các số nguyên a,b,c ,d thoả mãn =+ = 3 43 bcad bdac 8 http://NgocHung.name.vn Bài 55: Chứng minh rằng nếu ( ) + +++= Zqp q p ,; 1335 1 1334 1 4 1 3 1 2 1 1 thì p 2003 Bài56: Tìm mọi nghiệm nguyên của PT (2x-y-2) 2 =7(x-2y-y 2 -1) Chú ý : Sử dụng 0 y Bài 57: Phơng trình sau có nghiệm nguyên dơng không ? x 2005 +y 2005 =2007 2005 Bài 58: Tìm tất cả các cặp số nguyên không (x,y) thoả mãn x-y=x 2 +xy+y 2 Bài59: Giải hệ phơng trình nghiệm nguyên 6 xyz xyz x z z y y x 11 2 1 3 1 = = = Chú ý : đặt các tỷ số bằng k Bài60: Tìm nghiệm nguyên dơng của PT x 3 +y 3 +4(x 2 +y 2 )+4(x+y)=16xy HD: Viết x(x-2) 2 +y(y-2) 2 +8(x-y) 2 =0 Bài61: Tìm các nghiệm không âm của PT y 2 (x+1)=1576+x 2 HD : Viết (x+1)(y 2 -x+1)=1577=19.83 Bài62: Cho P=(a+b)(b+c)(c+a)-abc với a,b,c là số nguyên Chứng minh rằng nếu a+b+c chia hết cho 4 thì P cũng chia hết cho4 Bài 63: Chứng minh rằng (2005 2 +2 2005 ;2005)=1 Bài 64: Tìm mọi nghiệm nguyên của PT x 2 +2003x+2004y 2 +y=xy+2004xy 2 +2005 HD: Viết (x-1)(x+2004-2004y 2 -y)=1 Bài 65: Tìm các cặp số nguyên (x,y) thoả mãn 2x-5y+5xy=14 Bài 66: Tìm số chính phơng có 4 chữ số biết rằng khi tăng thêm mỗi chữ số Một đơn vị thì số mới đợc tạo thành cũng là một số chính phơng. (Thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong TP.HCM năm 05-06) Bài khảo sát số 3 phần số học Câu1(2.4 điểm): Giải các phơng trình nghiệm nguyên sau 1, 4y 2 = xx 2899 2 2, ( ) 05451 22 2 22 =++ yxyx 3, x 2 -xy+7y-38=0 4, (x+2006)(x+1982)=3 y -81 Câu2: Tìm một số có 4 chữ số abcd thoả mãn các đk +=+ dbcdb Pcdab 2 ; 9 http://NgocHung.name.vn Bản quyền thuộc về http://NgocHung.name.vn 10