Đang tải... (xem toàn văn)
Chứng minh rằng : Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì a là số vô tỉ.. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ..[r]
(1)Bài tập ôn thi học sinh giỏi môn Toán lớp (Chuẩn kiến thức, kỹ năng) PHẦN I: ĐỀ BÀI Chứng minh là số vô tỉ a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : S = x2 + y2 a b ab a) Cho a ≥ 0, b ≥ Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : bc ca ab a b c b) Cho a, b, c > Chứng minh : a b c c) Cho a, b > và 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a3 + b3 Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức : N = a + b Cho a, b, c là các số dương Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) Tìm liên hệ các số a và b biết : a b a b a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a b) Cho a, b, c > và abc = Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 10 Chứng minh các bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 11 Tìm các giá trị x cho : a) | 2x – | = | – x | b) x2 – 4x ≤ c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 12 Tìm các số a, b, c, d biết : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) 13 Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001 Với giá trị nào a và b thì M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ đó 14 Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + CMR giá trị nhỏ P 15 Chứng minh không có giá trị nào x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 16 Tìm giá trị lớn biểu thức : A x 4x 17 So sánh các số thực sau (không dùng máy tính) : (2) a) 15 và 23 19 và c) 27 b) 17 và d) và 18 Hãy viết số hữu tỉ và số vô tỉ lớn 19 Giải phương trình : 45 nhỏ 3x 6x 5x 10x 21 5 2x x 20 Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với các điều kiện x, y > và 2x + xy = S 21 Cho 1 1 1.1998 2.1997 k(1998 k 1) 1998 Hãy so sánh S và 1998 1999 22 Chứng minh : Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì a là số vô tỉ 23 Cho các số x và y cùng dấu Chứng minh : x y 2 a) y x x y2 x y 0 b) y x y x x y4 x y2 x y 2 c) y x y x y x 24 Chứng minh các số sau là số vô tỉ : a) b) 1 m n với m, n là các số hữu tỉ, n ≠ 25 Có hai số vô tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ không ? x y x y2 3 y x 26 Cho các số x và y khác Chứng minh : y x x y2 z2 x y z 2 2 y z x y z x 27 Cho các số x, y, z dương Chứng minh : 28 Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ là số vô tỉ 29 Chứng minh các bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) (3) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) c) (a1 + a2 + … + an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2) 30 Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b ≤ 31 Chứng minh : x y x y 32 Tìm giá trị lớn biểu thức : A x 6x 17 x y z A y z x với x, y, z > 33 Tìm giá trị nhỏ : 34 Tìm giá trị nhỏ : A = x2 + y2 biết x + y = 35 Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ ; x + y + z = 36 Xét xem các số a và b có thể là số vô tỉ không : a a) ab và b là số vô tỉ a b) a + b và b là số hữu tỉ (a + b ≠ 0) c) a + b, a2 và b2 là số hữu tỉ (a + b ≠ 0) 37 Cho a, b, c > Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) a b c d 2 38 Cho a, b, c, d > Chứng minh : b c c d d a a b 39 Chứng minh 2x x x 40 Cho số nguyên dương a Xét các số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n Chứng minh các số đó, tồn hai số mà hai chữ số đầu tiên là 96 41 Tìm các giá trị x để các biểu thức sau có nghĩa : A= x G 3x B x 4x C x 2x D 1 x2 E x 2x x 5x x x 42 a) Chứng minh : | A + B | ≤ | A | + | B | Dấu “ = ” xảy nào ? 2 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : M x 4x x 6x c) Giải phương trình : 4x 20x 25 x 8x 16 x 18x 81 2 43 Giải phương trình : 2x 8x x 4x 12 (4) 44 Tìm các giá trị x để các biểu thức sau có nghĩa : A x2 x E 2x x B G 1 3x x x x 4 C 2 9x D x 5x H x 2x x x 3x 0 45 Giải phương trình : x 46 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A x x 47 Tìm giá trị lớn biểu thức : B x x PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI Giả sử là số hữu tỉ m m2 hay 7n m 7 n n (tối giản) Suy (1) Đẳng thức này chứng tỏ m 7 mà là số nguyên tố nên m Đặt m = 7k (k Z), ta có m2 = 49k2 (2) Từ (1) và (2) suy 7n2 = 49k2 nên n2 = 7k2 (3) Từ (3) ta lại có n2 và vì là số nguyên tố nên m n m và n cùng chia hết cho nên phân số n không tối giản, trái giả thiết Vậy không phải là số hữu tỉ; đó là số vô tỉ Khai triển vế trái và đặt nhân tử chung, ta vế phải Từ a) b) vì (ad – bc)2 ≥ Cách : Từ x + y = ta có y = – x Do đó : S = x2 + (2 – x)2 = 2(x – 1)2 + ≥ Vậy S = x = y = Cách : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với a = x, c = 1, b = y, d = 1, ta có : (x + y)2 ≤ (x2 + y2)(1 + 1) ≤ 2(x2 + y2) = 2S S ≥ mim S = x = y = bc ca bc ab ca ab và ; và ; và b a c b c , ta b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số dương a bc ca bc ca bc ab bc ab ca ab ca ab 2 2c; 2 2b 2 2a a b a c a c b c có: a b ;b c cộng vế ta bất đẳng thức cần chứng minh Dấu xảy a = b = c 3a 5b 3a.5b c) Với các số dương 3a và 5b , theo bất đẳng thức Cauchy ta có : (5) 12 12 (3a + 5b)2 ≥ 4.15P (vì P = a.b) 122 ≥ 60P P ≤ max P = Dấu xảy 3a = 5b = 12 : a = ; b = 6/5 Ta có b = – a, đó M = a3 + (1 – a)3 = 3(a – ½)2 + ¼ ≥ ¼ Dấu “=” xảy a = ½ Vậy M = ¼ a = b = ½ Đặt a = + x b3 = – a3 = – (1 + x)3 = – 3x – 3x2 – x3 ≤ – 3x + 3x2 – x3 = (1 – x)3 Suy : b ≤ – x Ta lại có a = + x, nên : a + b ≤ + x + – x = Với a = 1, b = thì a3 + b3 = và a + b = Vậy max N = a = b = Hiệu vế trái và vế phải (a – b)2(a + b) Vì | a + b | ≥ , | a – b | ≥ , nên : | a + b | > | a – b | a2 + 2ab + b2 ≥ a2 – 2ab + b2 4ab > ab > Vậy a và b là hai số cùng dấu a) Xét hiệu : (a + 1)2 – 4a = a2 + 2a + – 4a = a2 – 2a + = (a – 1)2 ≥ b) Ta có : (a + 1) ≥ 4a ; (b + 1)2 ≥ 4b ; (c + 1)2 ≥ 4c và các bất đẳng thức này có hai vế dương, nên : [(a + 1)(b + 1)(c + 1)]2 ≥ 64abc = 64.1 = 82 Vậy (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 10 a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) Do (a – b)2 ≥ 0, nên (a + b) ≤ 2(a2 + b2) b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 Khai triển và rút gọn, ta : 3(a2 + b2 + c2) Vậy : (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) x 2x 1 x 3x 4 2x x 2x x x x 2 11 a) b) x2 – 4x ≤ (x – 2)2 ≤ 33 | x – | ≤ -3 ≤ x – ≤ -1 ≤ x ≤ c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – (2x – 1)2 ≤ Nhưng (2x – 1)2 ≥ 0, nên có thể : 2x – = Vậy : x = ½ 12 Viết đẳng thức đã cho dạng : a2 + b2 + c2 + d2 – ab – ac – ad = (1) Nhân hai vế (1) với đưa dạng : a2 + (a – 2b)2 + (a – 2c)2 + (a – 2d)2 = (2) Do đó ta có : a = a – 2b = a – 2c = a – 2d = Suy : a = b = c = d = 13 2M = (a + b – 2)2 + (a – 1)2 + (b – 1)2 + 2.1998 ≥ 2.1998 M ≥ 1998 Dấu “ = “ xảy có đồng thời : a b 0 a 0 b 0 Vậy M = 1998 a = b = 14 Giải tương tự bài 13 15 Đưa đẳng thức đã cho dạng : (x – 1)2 + 4(y – 1)2 + (x – 3)2 + = (6) 16 1 1 max A= x 2 x 4x x 5 17 a) 15 16 3 7 Vậy A b) 15 < 17 16 4 7 49 45 23 19 23 16 23 2.4 5 25 27 3 c) d) Giả sử 2 18 12 18 12 Bất đẳng thức cuối cùng đúng, nên : 18 Các số đó có thể là 1,42 và 2 3(x 1) 5(x 1) 16 6 (x 1) 19 Viết lại phương trình dạng : Vế trái phương trình không nhỏ 6, còn vế phải không lớn Vậy đẳng thức xảy hai vế 6, suy x = -1 20 Bất đẳng thức Cauchy a b a b ab ab viết lại dạng (*) (a, b ≥ 0) Áp dụng bất dẳng thức Cauchy dạng (*) với hai số dương 2x và xy ta : 2x xy 2x.xy 4 Dấu “ = “ xảy : 2x = xy = : tức là x = 1, y = max A = x = 2, y = 2 1998 ab a b Áp dụng ta có S > 1999 21 Bất đẳng thức Cauchy viết lại dạng : 22 Chứng minh bài x y x y x y 2xy (x y) 2 0 2 xy xy 23 a) y x Vậy y x x y2 x y x y2 A x y x y x y b) Ta có : x y2 A x y 2 x y x y 2 y x y x Theo câu a : x y x y 1 1 0 y x y x (7) x y4 x y x y 2 0 y x y x y x c) Từ câu b suy : Vì (câu a) Do đó : x y4 x y2 x y 2 x y x y x y 24 a) Giả sử = m (m : số hữu tỉ) b) Giả sử m + n = a (a : số hữu tỉ) = m2 – n =a–m là số hữu tỉ (vô lí) = n(a – m) là số hữu tỉ, vô lí 25 Có, chẳng hạn (5 2) 5 x y x y2 x y2 a a 2 y x y x y x 26 Đặt Dễ dàng chứng minh nên a2 ≥ 4, đó | a | ≥ (1) Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với : a2 – + ≥ 3a a2 – 3a + ≥ (a – 1)(a – 2) ≥0 (2) Từ (1) suy a ≥ a ≤ -2 Nếu a ≥ thì (2) đúng Nếu a ≤ -2 thì (2) đúng Bài toán chứng minh 27 Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với : x z y x z x x z y2 x z y xyz x y2z2 0 Cần chứng minh tử không âm, tức là : x3z2(x – y) + y3x2(y – z) + z3y2(z – x) ≥ (1) Biểu thức không đổi hoán vị vòng x y z x nên có thể giả sử x là số lớn Xét hai trường hợp : a) x ≥ y ≥ z > Tách z – x (1) thành – (x – y + y – z), (1) tương đương với : x3z2(x – y) + y3x2(y – z) – z3y2(x – y) – z3y2(y – z) ≥ z2(x – y)(x3 – y2z) + y2(y – z)(yx2 – z3) ≥ Dễ thấy x – y ≥ , x3 – y2z ≥ , y – z ≥ , yx2 – z3 ≥ nên bất đẳng thức trên đúng b) x ≥ z ≥ y > Tách x – y (1) thành x – z + z – y , (1) tương đương với : x3z2(x – z) + x3z2(z – y) – y3x2(z – y) – z3y2(x – z) ≥ z2(x – z)(x3 – zy2) + x2(xz2 – y3)(z – y) ≥ Dễ thấy bất đẳng thức trên dúng Cách khác : Biến đổi bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với : (8) 2 x y z x y z 1 1 1 3 y z x y z x 28 Chứng minh phản chứng Giả sử tổng số hữu tỉ a với số vô tỉ b là số hữu tỉ c Ta có : b = c – a Ta thấy, hiệu hai số hữu tỉ c và a là số hữu tỉ, nên b là số hữu tỉ, trái với giả thiết Vậy c phải là số vô tỉ 29 a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 Khai triển và rút gọn ta : 3(a2 + b2 + c2) Vậy : (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) c) Tương tự câu b 30 Giả sử a + b > (a + b)3 > a3 + b3 + 3ab(a + b) > + 3ab(a + b) > ab(a + b) > ab(a + b) > a3 + b3 Chia hai vế cho số dương a + b : ab > a2 – ab + b2 (a – b)2 < 0, vô lí Vậy a + b ≤ 31 Cách 1: Ta có : x ≤ x ; y ≤ y nên x + y ≤ x + y Suy x + y là số nguyên không vượt quá x + y (1) Theo định nghĩa phần nguyên, x y là số nguyên lớn không vượt quá x + y (2) Từ (1) và (2) suy : x + y ≤ x y Cách : Theo định nghĩa phần nguyên : ≤ x - x < ; ≤ y - y < Suy : ≤ (x + y) – ( x + y ) < Xét hai trường hợp : - Nếu ≤ (x + y) – ( x + y ) < thì x y = x + y (1) - Nếu ≤ (x + y) – ( x + y ) < thì ≤ (x + y) – ( x + y + 1) < nên x y = x + y + (2) Trong hai trường hợp ta có : x + y ≤ x y 32 Ta có x2 – 6x + 17 = (x – 3)2 + ≥ nên tử và mẫu A là các số dương , suy A > đó : A lớn A nhỏ x2 – 6x + 17 nhỏ Vậy max A = x = 33 Không dùng phép hoán vị vòng quanh x y z x và giả sử x ≥ y ≥ z Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương x, y, z : (9) x y z x y z A 33 y z x y z x x y z x y z 3 x y z y z x y z x Do đó x y z x y y z y x y 2 y z x y x z x x y x Cách : Ta có : Ta đã có (do x, y > 0) nên để x y z y z y 3 1 y z x z x x chứng minh ta cần chứng minh : (1) (1) xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz) xy + z2 – yz – xz ≥ y(x – z) – z(x – z) ≥ (x – z)(y – z) ≥ (2) (2) đúng với giả thiết z là số nhỏ số x, y, z, đó (1) đúng Từ đó tìm x y z giá trị nhỏ y z x 34 Ta có x + y = x2 + 2xy + y2 = 16 Ta lại có (x – y)2 ≥ x2 – 2xy + y2 ≥ Từ đó suy 2(x2 + y2) ≥ 16 x2 + y2 ≥ A = và x = y = 35 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm : = x + y + z ≥ xyz (1) = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ (x y)(y z)(z x) (2) 2 Nhân vế (1) với (2) (do hai vế không âm) : ≥ A A ≤ 2 max A = và x = y = z = 36 a) Có thể b, c) Không thể 37 Hiệu vế trái và vế phải (a – b)2(a + b) 38 Áp dụng bất đẳng thức xy (x y) với x, y > : a c a ad bc c 4(a ad bc c ) bc d a (b c)(a d) (a b c d) (1) (10) b d 4(b ab cd d ) (a b c d) Tương tự c d a b (2) a b c d 4(a b c d ad bc ab cd) (a b c d) Cộng (1) với (2) b c c d d a a b = 4B Cần chứng minh B ≥ , bất đẳng thức này tương đương với : 2B ≥ 2(a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + ab + cd) ≥ (a + b + c + d)2 a2 + b2 + c2 + d2 – 2ac – 2bd ≥ (a – c)2 + (b – d)2 ≥ : đúng 39 - Nếu ≤ x - x < ½ thì ≤ 2x - x < nên 2x = x - Nếu ½ ≤ x - x < thì ≤ 2x - x < ≤ 2x – (2 x + 1) < 2x = x + 40 Ta chứng minh tồn các số tự nhiên m, p cho : 96 000 00 m chữ số a 15p m m Tức là 96 ≤ 10 10 < 97 ≤ a + 15p < 97000 00 m chữ số (1) Gọi a + 15 là số có k chữ số : 10k – ≤ a + 15 < 10k a 15 a 15p 15 k k 1 xn k k 10 10 Theo (2) ta có x1 < và 10 k < 10 10 10 (2) Đặt Cho n nhận các giá trị 2, 3, 4, …, các giá trị xn tăng dần, lần tăng không quá x đơn vị, đó x n trải qua các giá trị 1, 2, 3, … Đến lúc nào đó ta có p = 96 Khi a 15p k k 10 10 < 97 Bất đẳng thức (1) chứng minh đó 96 ≤ xp < 97 tức là 96 ≤ 42 a) Do hai vế bất đẳng thức không âm nên ta có : | A + B | ≤ | A | + | B | | A + B |2 ≤ ( | A | + | B | )2 A2 + B2 + 2AB ≤ A2 + B2 + 2| AB | AB ≤ | AB | (bất đẳng thức đúng) Dấu “ = “ xảy AB ≥ b) Ta có : M = | x + | + | x – | = | x + | + | – x | ≥ | x + + – x | = Dấu “ = “ xảy và (x + 2)(3 – x) ≥ -2 ≤ x ≤ (lập bảng xét dấu) Vậy M = -2 ≤ x ≤ c) Phương trình đã cho | 2x + | + | x – | = | x + | = | 2x + + – x | (2x + 5)(4 – x) ≥ -5/2 ≤ x ≤ (11) x x 5 43 Điều kiện tồn phương trình : x2 – 4x – ≥ Đặt ẩn phụ x 4x y 0 , ta : 2y2 – 3y – = (y – 2)(2y + 1) = 45 Vô nghiệm 46 Điều kiện tồn x là x ≥ Do đó : A = x + x ≥ A = x = 47 Điều kiện : x ≤ Đặt x = y ≥ 0, ta có : y2 = – x x = – y2 13 13 13 11 B = – y2 + y = - (y – ½ )2 + ≤ max B = y = ½ x = - The end - (12)