PHƯƠNG TRÌNH bậc 2

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CHỨA THAM SỐ A) LÍ THUYẾT 1) Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai CÔNG THỨC NGHIỆM CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN   b  4ac  '  b'2  ac  > : phương trình có nghiệm phân biệt x1  b   ; 2a x2  b   2a  = 0: phương trình có nghiệm kép x1  x  ’ > 0: phương trình có nghiệm phân biệt x1   b '  ' ; a b '  ' a ’ > 0: phương trình có nghiệm kép b 2a  > 0: phương trình vơ nghiệm x2  x1  x  b ' a ’ > 0: phương trình vơ nghiệm 2) Hệ thức Vi-et a) Hệ thức Vi - ét b  x1  x     a Nếu phương trình bậc hai ax  bx  c  0, (a  0) có nghiệm x1 , x   x x  c  a b) Hệ định lí Vi – ét Cho phương trình bậc hai ax  bx  c  0, (a  0) (1)  Nếu a + b + c = phương trình (1) có nghiệm: x1  ; x  c a  Nếu a - b + c = phương trình (1) có nghiệm: x1  1 ; x   c a  Nếu x1  x  S, x1x  P ) x1 , x nghiệm phương trình x  Sx  P   Nếu phương trình (1) có hai nghiệm x1 ; x ax  bx  c  a(x  x1 )(x  x )  Nếu p.trình có dạng x  (m  n)x  m.n  phương trình có nghiệm x1  m, x  n TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 143 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG B CÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I Phương pháp: Ta xét phương trình bậc hai dạng bản:  Dạng 1.1: Phương trình ax2 + bx = x  x  ax  bx   x  ax  b      x   b ax  b   a   Dạng 1.2 Phương trình ax + c = c ax  c   ax  c  x   a c c c Nếu    x   Nếu    phương trình vơ nghiệm a a a  Dạng 1.3: Phương trình ax + bx + c = Đối với phương trình nhẩm nghiệm ta làm sau: c + Nếu a + b + c = phương trình có hai nghiệm: x1  1; x  a c + Nếu a – b + c = phương trình có hai nghiệm: x1  1; x   a  Đối với phương trình khơng nhẩm nghiệm) ta sử dụng công thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn để giải II Ví dụ Ví dụ Giải phương trình sau: a) 4x  3x  b) 0,5x  1,5x  c) 25x  16  d) 2x   Lời giải x  x  a ) 4x  3x   x  4x  3     x    4x    4  Vậy phương trình cho có tập nghiệm S  0 ;   3   0,5x  x  b) 0,5x  1,5x   0,5x  x  0,3      x  0,3   x  0,3 Vậy phương trình cho có tập nghiệm S   ; ,  c) 25x  16   25x  16  x  16 x 25  2 Vậy phương trình cho có tập nghiệm S      3 d) 2x    2x  1  x   Vơ nghiệm) x  với x Vậy phương trình cho vô nghiệm TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 144 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 145 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Ví dụ Giải phương trình sau: a) 1,5x  1,6x  0,1    b)     3x   x   d)  m  1 x   2m  3 x  m   ) m  c)  x  3x    Lời giải a) Giải phương trình 1,5x  1,6x  0,1  Ta có: a  b  c  1,5  1,6  0,1  c 0,1  Phương trình có hai nghiệm x1  1; x   a 1,5 15   3x   x   b) Giải phương trình Ta có a  b  c      c   Phương trình có hai nghiệm x1  1; x     a 3     c) Giải phương trình  x  3x        Ta có                  c  2    2 a 2 d) Giải phương trình  m  1 x   2m  3 x  m   với m  Phương trình có hai nghiệm x1  1; x    Ta có:  m  1   2m  3  m   m   2m   m   Phương trình có hai nghiệm x1  1; x  c m4  a m 1 Ví dụ Giải phương trình sau: a) 3x  x   b) 5x  10x   c) x  5x   Lời giải a) Giải phương trình 3x  x   Ta có   b  4ac  12  4. 3  61     61 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt:  b   1  61  61  b   1  61  61 x1    ; x2    2a 6 2a 6 b) Giải phương trình 5x  10x   Ta có:  '  b'2  ac   10   2.5  10  10  Vậy phương trình có nghiệm kép: x1  x   b '  10  a c) Giải phương trình x  5x   Ta có   b  4ac   5   4.1.6      Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: b    b    x1    3; x    2a 2a TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 146 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG III BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Giải phương trình sau: a) x2 - 11x + 30 = b) x2 - 10x + 21 = c) x2 - 12x + 27 = d) 5x2 - 17x + 12 = g) 6x2 - 13x - 48 = h) 3x2 + 5x + 61 = a) x2 - 24x + 70 = b) x2 - 6x - 16 = c) 2x2 + 3x + = d) x2 - 5x + = e) 3x2 + 2x + = f) 2x2 + 5x - = g) x2 - 7x - = h) -x2 - 7x - 13 = e) 3x2 - 19x - 22 = f) x2 - 14x + 33 = Bài Giải phương trình sau: Bài Giải phương trình sau: a) 3x2 - 2x - = b) x2 - 8x + 15 = c) 2x2 + 6x + = e) x2 - 9x + 18 = f) 3x2 + 5x + = g) 2x2 - 7x + = d) 5x2 + 2x - = h) -5x2 + 3x - = Bài Giải phương trình sau: a) x2 + 13x + 42 = b) x2 - 10x + = c) x2 - 7x + 10 = d) 5x2 + 2x - = e) 4x2 - 5x + = g) 5x2 + 2x -3 = h) 4x2 +28x + 49 = f) x2 - 4x + 21 = Bài Giải phương trình sau: a) x2 - 6x + 48 = b) 3x2 - 4x + = c) x2 - 16x + 84 = d) x2 + 2x - = 05 e) x2 + 8x + = f) x2 - 6x + = g) 3x2 - 4x + = h) x2 - 16x + 84 = Bài Giải phương trình sau: a) x2 + 2x - = b) 5x2 + 8x + = c) 11x2 + 13x - 24 = d) x2 - 11x + 30 = e) x2 - 13x + 42 = f) 11x2 - 13x - 24 = g) x2 - 13x + 40 = h) 3x2 + 5x - = Bài Giải phương trình sau: a) 5x2 + 7x - = b)11x2 + 13x+24 = c) x2 + 13x + 42 = d) 11x2 - 13x -24 = e) 2x2 - 3x - = f) x2 - 4x + = g) x2 - 7x + 10 = h) 4x2 + 11x - = c) x2 + 16x + 39 = d) 3x2 - 8x + = Bài Giải phương trình sau: a) 3x2 + 8x - = b) x2 + x + = e) 4x2 + 21x - 18 = f) 4x2 + 20x + 25 = g) x2 - x - = h) 5x2- 3 x - = Bài Giải phương trình sau: a) x2 - (1+ )x + b) x2 - x - - = =0 c) 3x2 - x - = Bài 10 Giải phương trình sau: a) x2 – 2(  1) x -3 = b) x2 – 2(  ) x + = c) x2 - 2 x + = Bài 11 Giải phương trình sau: a) x2 – 2(  2) x + = TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN   b) x2 -  x -2 = 147 c) x  2x   PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài 12 Giải phương trình sau: a) x2 + = b) x2 - = c) x2 - 2x = d) x4 - 13x2 + 36 = e) 9x4 + 6x2 + = f) 2x4 + 5x2 + = g) 2x4 - 7x2 - = h) x4 - 5x2 + = Bài 13 Giải phương trình sau: a) x  x   b) x  x  10  c) 3x  x   d) x  x   e) x  x   f) x  x   a) x  x   b) x  x   c)  x  x   d) 3 x  x   e) x  x   f) x  x   a) x  x  10  b) x  x  12  c) x  x   d)  x  x   e) x  x   f) x  x  15  a) x  10 x  16  b) x  x  12  c) x  x   d) x  x   e) x  11x  30  f) 2 x  x   Bài 14 Giải phương trình sau: Bài 15 Giải phương trình sau: Bài 16 Giải phương trình sau: Bài 17 Giải phương trình sau: a) 10 x  17 x  3  2(2 x  1) –15 b) x  x    3  x ( x  1)  c) x  x    3  ( x  1)( x  1)  d) x  x    3  x( x  1)   x e) ( x  1)2  4( x  x  1)  f) 9( x  2)2  4( x  1)2  Bài 18 Giải phương trình sau: a) x  13 x   b) - 3x  x   c)  x  x   Bài 19 Giải phương trình sau:  a) 3x  x  10   b) 5x   x   c) 9x    9 x  Bài 20 Giải phương trình sau: a) x       3 x    b) x   x     d)   c)  x   x    TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 148    x2    1 x  3 1  PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG DẠNG Tìm điều kiện để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có nghiệm x1 = x0 Tìm nghiệm cịn lại x2? I PHƯƠNG PHÁP Cách Phương trình khơng nhẩm nghiệm + Phương trình f (x)  nhận x  a nghiệm  f (a)  + Giải phương trình f (a)  tìm giá trị tham số + Vận dụng hệ thức Vi – ét tìm nghiệm cịn lại phương trình Cách Phương trình nhẩm nghiệm + Nhẩm xác định nghiệm phương trình x1  x n , x  f (m) + Phương trình nhận x  x nghiệm x  f (m) + Giải phương trình x  f (m) ) kêt luận giá trị cần tìm II VÍ DỤ 2 Ví dụ 2.1 Cho phương trình  a – a – 3 x   a   x – 3a  ) a tham số Tìm giá trị a để phương trình nhận x = nghiệm.Tìm nghiệm cịn lại phương trình? Lời giải Phương trình cho nhận x1  nghiệm   a – a – 3   a   – 3a   a  2  a – 2a –    a  Khi theo hệ thức Vi-et ta có: x1x  3a (a  a  3) 3a  Nghiệm lại phương trình là: x  2(a  a  3) + Nếu a  2 ) nghiệm lại phương trình x  2 + Nếu a  4, nghiệm lại phương trình x   Ví dụ 2.2 Cho phương trình x    m  x   m    với m tham số a) Chứng minh với giá trị m phương trình ln có nghiệm x  b) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm x   2 (Đề thi lớp 10 tỉnh Nam Định năm 2009-2010) a) Với x  ta có: Lời giải x    m  x   m    22    m   2(m  5)    2m  2m  10  Vậy với giá trị m phương trình ln có nghiệm x  TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 149 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG b) Cách Phương trình x    m  x   m    có nghiệm x   2   1 2       m   2   m  5        m  2m  2m  10        m  2m  2m  10      2 m  2  10 m     10 2   40   10 2  10     2 1 2 1 Vậy m   2 giá trị cần tìm Cách Vì phương trình ln có nghiệm x1  Gọi x nghiệm lại Theo hệ thức Vi-et ta có: x1  x  b  m3 a Với x1  ta có: x  m   x1  m    m  Do phương trình có nghiệm x   2  m    2  m   2 Vậy m   2 giá trị cần tìm Bài tập áp dụng: Bài Với giá trị m phương trình: a) x  2mx  3m   có nghiệm x  Tìm nghiệm cịn lại b) 4x  3x  m  3m  có nghiệm x  Tìm nghiệm cịn lại Bài Cho phương trình x  2(m  1)x  2m   Tìm m để phương trình có nghiệm -1 Xác định nghiệm lại phương trình Bài Xác định m phương trình bậc hai: x  8x  m  để x   nghiệm phương trình Tìm nghiệm cịn lại phương trình Bài Cho phương trình x  (2m  5) x  3n  Tìm m) n để phương trình có nghiệm -2 Bài Cho phương trình x  (3  m)x  m   với m tham số Khi phương trình nhận x   2018 nghiệm Hãy tìm m Bài Cho phương trình x  (3  m)x  2(m  5)  với m tham số Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm x   2 Bài Cho phương trình: x  2(m  1)x  m  Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt) có nghiệm - Bài Cho phương trình: x  2(m  1)x  m   với m tham số Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt) có nghiệm - TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 150 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG DẠNG Tìm điều kiện để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có hai nghiệm phân biệt) có nghiệm kép (hai nghiệm nhau)) có nghiệm (hai nghiệm)) vô nghiệm I PHƯƠNG PHÁP Trước hết ta nhẩm nghiệm phương trình (nếu có thể) Nếu khơng nhẩm nghiệm) ta làm sau: - Tính   b  4ac - Phương trình có hai nghiệm phân biệt    - Phương trình có có nghiệm kép (hai nghiệm nhau)    - Phương trình có nghiệm (hai nghiệm)    - Phương trình vơ nghiệm    Lưu ý: Trong trường hợp tốn u cầu chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt (hoặc có nghiệm) ta chứng tỏ phương trình ln có   (  '  0) II VÍ DỤ Ví dụ 3.1 Cho phương trình: x   m  1 x  m   (1) ( m tham số ) 1) Giải phương trình (1) với m  5 2) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m Lời giải 1) Với m = - phương trình (1) trở thành: x  8x   Có: a  b  c     Phương trình có hai nghiệm: x1  ; x  c  9 a 2) Ta có:    m  1  m    m  2m  1m   m  m  2 1 19   19  m  2.m     m     với m 4  2 Vậy phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m Ví dụ 3.2: Cho phương trình: x   m  1 x  m  với m tham số Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt) có nghiệm - Lời giải Ta có   b  ac   m  1  m2  2m  Phương trình có nghiệm phân biệt  ∆’ >   m  1  m   2m    m   (*) Phương trình có nghiệm x  2    m  1  m   m  4m   m  m4    m  m  Ta thấy m = m = thoả mãn điều kiện (*) Vậy m  0; m  giá trị cần tìm TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 151 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG III Bài tập áp dụng: Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm kép: a) 3x   m  1 x   b) 5x  2mx – 2m  15  c) mx   m  1 x   d) mx   m  1 x   Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm : b) 2x –  4m  3 x  2m –  a) x  x  2m  d )  m  1 x   m  3 x   c) 5x  3x  m   f ) mx   2m –1 x  m   e) mx  x   Bài Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm: a) x – 2mx – m –  ; b) x –  m  1 x – – m  0; c)  m  1 x –  2m –1 x –  m  0; d) x –  2m  3 x  m  3m   Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: a) x   m  3 x  m   b) x   m  1 x  2m   b)  m  1 x  4mx  4m1  d) 3x  2x  m  Bài Chứng minh phương trình sau (m tham số) ln có nghiệm phân biệt với m  R a) x -  2m - 1 x + 4m   b) x   m  1 x  m  c) x   m  1 x  m   d) x   m  3 x  m   Bài Tìm m để phương trình sau (m tham số) có nghiệm a, x  3x  m   b, x  2x  m   c, x  2mx  m  m   Bài Tìm m để phương trình sau (m tham số) có nghiệm kép.Tìm nghiệm kép a, x  mx  m   b, x  (3  m)x  m   c, x  (m  2)x  m   Bài Tìm m để phương trình sau (m tham số) có nghiệm kép.Tìm nghiệm kép a, x  (2m  1)x  m   b, (m  2)x  (m  1)x  m   c, mx  (1  2m)x  m  d, (m  1)x  (1  2m)x  m   TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 152 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài tập vận dụng Bài Cho phương trình: x  (2m  1)x   ) với m tham số a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x với m b) Tìm giá trị m cho x1  x  với x1  x Bài Cho phương trình x  4mx   (1) ) với m tham số a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt với giá trị m b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1  x thỏa mãn x1  x  Bài Cho phương trình x  2(m  2)x  m   (1) ) với m tham số a) Giải phương trình (1) với m  b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt x1  x thỏa mãn x1  x   Bài Cho phương trình x  (m  1)x  m   ) với m tham số Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1  x thỏa mãn x1  x  Bài Cho phương trình x  2(m  2)x  m   (1) ) với m tham số a) Giải phương trình (1) với m  b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt x1  x thỏa mãn x1  x   Bài Cho phương trình x  mx  m2  m   ) với m tham số a) Chứng minh phương trình có nghiệm phân biệt với giá trị m b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt x1  x thỏa mãn x1  x  Bài Cho phương trình x  3x  2m   ) với m tham số a) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm phân biệt b) Giả sử x1  x nghiệm trái dấu phương trình Tìm m cho x1  x Bài Cho phương trình x  (2m  1)x   ) m tham số 1) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m 2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1  x thoả mãn x1   x Bài x  (2m  3)x  m   ) với m tham số 1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1  x thoả mãn x1  x  11 Bài 10 Cho phương trình x  3x  m   ) với m tham số 1) Giải phương trình với m  1 2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1  x thoả mãn x1  x  9 Bài 11 Cho phương trình x  (1  2m)x   ) với m tham số Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1) x2 thoả mãn x  x1  5 TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 181 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG DẠNG BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH NHẨM NGHIỆM ĐƯỢC Phương pháp giải Bước Xác định hệ số a) b) c phương trình Bước Nhẩm nghiệm phương trinh (Áp dụng hệ thức Vi – ét có thể) Bước Xét trường hợp nghiệm phương trình giải điều kiện Bước Đối chiếu điều kiện tham số) kết luận Ví dụ Ví dụ Cho phương trình x  (2  m)x  m   ) với m tham số a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt x1  x thỏa mãn x1  x 22  Lời giải a) Phương trình cho có hệ số: a  1;b   m;c  m  a  b  c  1  m  m   Phương trình có hai nghiệm x  1, x  m  với m Suy phương trình có nghiệm với m Phương trình cho có nghiệm phân biệt   m   m  b) Theo có: x1  x 2  Trường hợp 1: x1  1; x  m  m    m  (ko t / m) 2 Ta có:   m  3    m        m   1  m  (t / m) Trường hợp 2: x  1; x1  m  m    m  (ko t / m) Ta có: m   12   m       m   1  m  (t / m) Vậy m  giá trị cần tìm Ví dụ Cho phương trình ẩn x : x   m  3 x  m   (1) ) với m tham số a) Giải phương trình (1) m  b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x thỏa mãn x12  x  Ta có phương trình: x   m  3 x  m   (1) Lời giải  x  1 a) Khi m  ta có phương trình: x  2x     x  1 x  3    x  Vậy m  phương trình có hai nghiệm phân biệt x1  1; x  b) Xét phương trình: x   m  3 x  m   (1) Ta có a  1;b    m  3 ;c  m   a  b  c   m   m   TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 182 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Suy phương trình có hai nghiệm x  1, x  m  với m Theo đề có: x12  x  Trường hợp 1: x1  1; x  m  ta có:  1  m    m  Trường hợp 2: x1  m  2; x  1 ta có: m   m  2   m     1    m       m   3  m  1 Vậy m  1, m  5, m  giá trị cần tìm Ví dụ Cho phương trình x   m  1 x  m  2m  ) với m tham số Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt x1 ; x (với x1  x ) thỏa mãn: x1  x Lời giải Phương trình (1) có hệ số: a  1, b  2(m  1), c  m  2m  '    m  1    m  2m   m  2m   m  2m   với m Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x với m ) Ta có: x  m 1 1  m x  m 11  m  Vì m  m  x1  x nên: x1  m, x  m  x1; x thỏa mãn: x1  x  m  m   m  3  thỏ a mã n điều kiệ n x1 < x m  3 m  2 3m   m      m  3  m    m  3m   m    thỏa mãn điều kiện x1 < x Vậy m  3 m     giá trị cần tìm Ví dụ Cho phương trình x –  m   x  2m   ) với m tham số a) Chứng minh phương trình có nghiệm x  với giá trị m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x thỏa mãn x1  x  10 Lời giải Phương trình cho có hệ số a  1, b  2(m  2)  2m  4, c  2m  Ta có a  b  c   2m   2m   Phương trình cho có nghiệm x  1, x  2m  với m Trường hợp 1: x1  1, x  2m  Ta có: x1  x  10   (2m  5)  10   2m   10  m  2 Trường hợp 2: x1  2m  5, x  m  Ta có: x1  x  10  2m    10  2m   11    m  3 Vậy m  2, m  3, m  giá trị cần tìm TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 183 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài tập vận dụng Bài Cho phương trình x  (m  8)x  3m   ) với m tham số 1) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt 2) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt thỏa mãn x12  x  12 Bài Cho phương trình x  (3m  5)x  2m  10  ) với m tham số 1) Tìm m để phương trình nhận x  nghiệm 2) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt thỏa mãn : x1  3x  Bài Cho phương trình x  (3m  5)x  2m  10  ) với m tham số 1) Tìm m để phương trình nhận x  2 nghiệm 2) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt thỏa mãn : x1  x  Bài Cho phương trình x  2(m  2)x  2m   ) với m tham số 1) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x thỏa mãn x1  x  2)Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x thỏa mãn x1  3x  Bài Cho phương trình: x  (m  1)x  m  m   ) với m tham số a) Giải phương trình với m  1 b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x thỏa mãn x1  x  Bài Cho phương trình: x  (m  2)x  m   (1) ) với m tham số Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1  x2  Bài Cho phương trình: x  2mx  2m   (1) ) với m tham số Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1  x Bài Cho phương trình: x  2(m  2)x   2m  (1) ) với m tham số Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1  x Bài Cho phương trình: x  (2m  3)x  4m   (1) ) với m tham số Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x2 thỏa mãn 3x1  x  Bài 10 Cho phương trình: x  (m  2)x  3m   (1)) với m tham số Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1  x2  Bài 11 Cho phương trình: x –  2m – 1 x  m – m  (1)) với m tham số Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1  2x  x2  Bài 12 Cho phương trình: x – 1 – m  x  2m – 2m  (1)) với m tham số Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1  x  x1  TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 184 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG DẠNG So sánh nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = với số I KIẾN THỨC CƠ BẢN Định lí so sánh nghiệm phương trình bậc với số) số ( kiến thức THPT) So sánh nghiệm tam thức với số cho trước  x1    x  af ( )         x1  x  af ( )  S    2      x1  x    af ()  S    2   af ( )     [x1 ; x ]   So sánh nghiệm tam thức với hai số cho trước α < β af ( )   x1      x   af ()   af ( )  x1    x     af ()  af ( )     x1    x   af ()  Phương trình có nghiệm phân biệt có nghiệm thuộc   ;   f    f          af ( )   Phương trình có hai nghiệm phân biệt   x1  x    af ()  S    2 S    2 TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 185 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Dạng Tìm điều kiện để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (1) có nghiệm x1 , x thỏa mãn x1  m  x ; với m số cho trước Cách Phương trình nhẩm nghiệm + Nhẩm nghiệm phương trình + Giải vào giá trị nghiệm) giải yêu cầu toán Cách Phương trình khơng nhẩm nghiệm Phương pháp giải chung: Cách 1: Đặt y = x – m biến đổi phương trình cho (1) (ẩn x) phương trình (2) (ẩn y) Phương trình (1) có nghiệm x1 , x thỏa mãn điều kiện x1  m  x  phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu  a.c < Giải tiếp điều kiện Cách 2: - Tính   b  4ac - Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x    b c - Khi theo hệ thức Vi-et ta có: x1  x   x1x  a a - Ta có x1  m  x   x1  m  x  m    x1x  m  x1  x   m  b c x1x  vào giải tiếp tham số a a Chú ý đối chiếu với điều kiện   (nếu có) trước kết luận Đến ta thay x1  x   Ví dụ 1: Cho phương trình x  (  m )x  2m  Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x thỏa mãn điều kiện x1   x Lời giải Cách 1: Đặt y = x – ta có phương trình cho trở thành:  y  3 –   m  y  3  2m   y  6y  – 2y – – my – 3m  2m   y   – m  y  – m  (1) Phương trình cho có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện x1   x  phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu  a.c <  – m <  m > Cách 2: Ta có:     m   8m   m    với giá trị m) nên phương trình cho 2 có hai nghiệm phân biệt x1 , x  m  Theo hệ thức Vi-et ta có: x1  x   b c  m  x1x   2m a a Ta có x1   x   x1  3 x  3   x1x   x1  x     2m – 3(m + 2) + <  - m + <  m > (tm m  ) Cách 3: Ta có x –   m  x  2m    x   x  m    x  x = m Do phương trình có hai nghiệm x1 , x thỏa mãn điều kiện x1   x  m > TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 186 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Ví dụ Cho phương trình x   m   x  m   Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x thỏa mãn x1   x Lời giải Có    m    4.1   m    m  8m  20   m     m 2 Do phương trình cho ln có hai nghiệm x1 , x phân biệt với m Trường hợp 1: Xét riêng x  ) thay vào phương trình cho ta 02   m    m    m  4 Thay m  4 vào phương trình cho ta x  2x   x  0, x   x  0, x1  (loại) Trường hợp 2: Xét x1   x  a c trái dấu   m     m  4 Vậy m  4 giá trị cần tìm Ví dụ Cho phương trình x   m   x  m   Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x thỏa mãn x1   x Lời giải Có    m    4.1  m  5  m  8m  24   m     2 m Do phương trình cho ln có hai nghiệm x1 , x phân biệt với m Trường hợp 1: Xét riêng x1  ) thay vào phương trình cho ta   m    m    m  Thay m  vào phương trình cho ta x  3x   x  0, x  3  x1  0, x  3 (loại) Trường hợp 2: xét x1   x  a c trái dấu   (m  5)   m  Vậy m  giá trị cần tìm Ví dụ Cho phương trình x  (m  3)x  m   Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thoả mãn x1    x Lời giải Do phương trình cho ln có hai nghiệm x1 , x phân biệt với m b c Theo định lý viét) ta có x1  x    m  3; x1x   m  a a 3 Có x1    x  x1    x  2  3    x1   x     x1x   x1  x     2  Thay x1  x  m  3; x1x  m  ta 23 23 (m  1)  (m  3)    m  0m 4 10 23 Vậy: m   giá trị cần tìm 10 TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 187 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 8.2 Tìm điều kiện để phương trình bậc hai ax  bx  c  (1) có nghiệm x1 , x thỏa mãn điều kiện x1  x  m ( x1  x  m ); với m số cho trước Phương pháp giải chung: Trước hết ta nhẩm nghiệm phương trình cho Nếu khơng nhẩm ta làm theo hai cách sau: Cách 1: - Tính   b  4ac - Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x    b c - Khi theo hệ thức Vi-et ta có: x1  x   x1x  a a - Phương trình (1) có nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện x1  x  m ( x1  x  m )  x1  m    x2  m    x1  m    x2  m     (hoặc  )  x1  m  x2  m    x1  m  x2  m   Giải tiếp tham số Chú ý đối chiếu với điều kiện   (nếu có) trước kết luận Cách 2: Đặt y = x – m biến đổi phương trình cho (1) (ẩn x) phương trình (2) (ẩn y) Sau ta nhẩm nghiệm phương trình (2) (nếu có thể) Nếu phương trình (2) khơng nhẩm nghiệm) ta làm sau: - Tính   b  4ac - Phương trình có hai nghiệm phân biệt y1; y    - Khi theo hệ thức Vi-et ta có: y1  y   b c y1 y  a a - Phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn điều kiện x1  x  m  phương trình (2) có hai  y  y2  nghiệm âm    y1.y  Giải tiếp tham số Chú ý đối chiếu với điều kiện   (nếu có) trước kết luận Lưu ý: Với điều kiện x1  x2  m ta làm tương tự Thay điều kiện phương trình (2) có hai nghiệm âm thành điều kiện phương trình (2) có hai nghiệm dương Ví dụ 8.2 Cho phương trình x2 – (4 + m)x + 3m + = (1) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x thỏa mãn điều kiện  x1  x Lời giải Cách 1:     m  4 3m  3  16  8m  m2 12m 12  m2  4m    m  2  với m 2 Do phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x  m    m  Theo hệ thức Vi-et ta có: x1  x   m x1x  3m  Phương trình (1) có nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện  x1  x  x1  1   x2  1   x1  x2  m   m  2    m0  x1 x2   x1  x2   1 3m    m    1 m   x1  1 x2  1    Vậy m > m  giá trị cần tìm TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 188 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Cách 2: Đặt y = x – 1) ta có phương trình cho trở thành:  y  1 –   m  y  1  3m    y  2y  – 4y – – my – m  3m    y –  m   y  2m  (2) Ta có    m    8m   m    với m 2 Nên phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt y1; y  m    m  b c  m  y1 y   2m a a Phương trình (1) có có nghiệm x1 , x thỏa mãn điều kiện  x1  x  phương trình (2) có hai Theo hệ thức Vi-et ta có: y1  y    y1  y  m    m  2    m  nghiệm dương   2m  m   y1.y  Vậy m > m ≠ giá trị cần tìm Cách 3: Ta có x –   m  x   m  1    x  3 x  m  1   x  x  m  Do phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện  x1  x m   m    m   m  Bài tập áp dụng: Bài Cho phương trình x2 – (m – 1)x – 2m – = m tham số Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện x1  x  1 Bài Cho phương trình 3x2 - 2(m - 1)x + 2m - = m tham số Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm x1) x2 thoả mãn x1 < < x2 Bài Tìm m để phương trình x2 – 4x + 2(m – 1) = có hai nghiệm phân biệt nhỏ Bài Cho phương trình x2 – (2m + 1)x + m2 + m = Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện 2  x1  x  Bài Cho phương trình x2 – (2m + 5)x + m2 +5m = Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện 1  x1  x  Bài Cho phương trình x  2m  1 x  m  m  m tham số a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x thỏa mãn: 2  x1  x  Bài Cho phương trình x  2(m  1)x  2m  (1) m tham số Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x thỏa mãn: x1   x Bài Cho phương trình (ẩn x): x - 2(m +1)x + 4m = a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn Bài Cho phương trình (ẩn x) : x2 – 2(m - 1)x + 2m - = (1) m tham số Tim m để phương trình (1) có nghiệm x1) x2 thỏa mãn: x1 > - > x2 Bài 10 Cho phương trình bậc hai: x2 + mx - m - = (*) m tham số a) Giải phương trình (*) m = b) Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm lớn -1 TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 189 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG DẠNG Cho phương trình phương trình bậc hai ax2 + bx + c = Lập hệ thức liên hệ hai nghiệm x1; x2 phương trình khơng phụ thuộc vào tham số I Phương pháp giải chung: - Ta có x1 , x hai nghiệm phương trình ax  bx  c  Theo hệ thức Vi-et ta có x1  x   b c x1x  a a - Rút tham số từ x1  x   x1  x   b c c vào x1x  (hoặc rút tham số từ x1x  vào a a a b ta hệ thức hai nghiệm x1 , x phương trình khơng phụ thuộc vào m a II Ví dụ Ví dụ Cho phương trình: x  2(m  1)x  m   a) Chứng minh phương trình ln ln có nghiệm phân biệt với m b) Tìm hệ thức x1 , x không phụ thuộc vào m Lời giải a) Ta có:  '   m 1   m  3  m2  2m   m  2 3   m2  3m    m     2  với m)  Phương trình ln ln có nghiệm phân biệt với m b) Theo hệ thức Vi-et ta có: x1  x   m  1 x1x  m  Từ x1x  m   m  x1x  thay vào x1  x   m  1 ta được: x1  x   x1x   1 hay x1  x  2x1x  Vậy hệ thức x1 x không phụ thuộc vào m x1  x  2x1x  Ví dụ Cho phương trình x   m  1 x  m   có hai nghiệm phân biệt x1 , x Chứng minh biểu thức: M  x1 1  x   x 1  x1  không phụ thuộc m Lời giải Ta có x1 , x hai nghiệm phương trình x   m  1 x  m   Theo hệ thức Vi-et ta có x1  x   m  1 x1x  m  Do đó: M  x1 1  x   x 1  x1    x1  x   2x1x   m  1   m    2m   2m   10 không phụ thuộc vào m TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 190 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG III Bài tập áp dụng: Bài Cho phương trình bậc hai (m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = Khi phương trình có nghiệm Hãy tìm hệ thức liên hệ nghiệm x1) x2 phương trình khơng phụ thuộc vào m Bài Cho phương trình x2 – 2(m + 2)x + 6m + = Tìm hệ thức liên hệ nghiệm x1) x2 phương trình khơng phụ thuộc vào m Bài Cho phương trình trình x2 - 2mx - m2 - = a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm x1) x2 với m b) Tìm hệ thức x1; x2 khơng phụ thuộc vào m Bài Cho phương trình x2 – 2mx + m – = a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt x1) x2 với m b) Chứng minh rằng: x1  x   x1x  1 có giá trị không phụ thuộc vào m Bài Cho phương trình bậc hai x2 - 2(m +1)x + m - = a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Khơng giải phương trình tìm biểu thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m Bài Cho Phương trình mx  (2m  3)x  m   ( m tham số) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x b) Tìm hệ thức liên hệ x1; x không phụ thuộc vào m Bài Gọi x1; x nghiệm phương trình (m 1)x  2mx  m   Chứng minh biểu thức A  3(x1  x )  2x1x  không phụ thuộc giá trị m Bài Cho phương trình x  (m  2)x  2m 1  có hai nghiệm x1; x Hãy lập hệ thức liên hệ x1; x cho chúng độc lập (không phụ thuộc) với m Bài Cho phương trình x  2(m  1)x  m 1  0(1) a) Giải phương trình (1) m = b) Tìm tất giá trị m để (1) có nghiệm c) Tìm hệ thức kiên hệ hai nghiệm x1; x (1) cho hệ thức khơng phụ thuộc tham số m Bài 10 Cho phương trình x  2(m  3)x  4m   Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m Bài 11 Cho phương trình x2 - 2(m + 1) x + m2 =0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm khơng phụ thuộc vào m Bài 12 Cho phương trình x  2(m  1)x  m   ) với x ẩn số) m  R a) Giải phương trình cho m  – b) Giả sử phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 x Tìm hệ thức liên hệ x1 x mà không phụ thuộc vào m TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 191 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG DẠNG 10 Lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y1 y2 phụ thuộc vào x1; x2 (trong x1; x2 hai nghiệm phương trình ax2 + bx + c = 0) I PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHUNG - Ta có x1; x hai nghiệm phương trình ax  bx  c  Theo hệ thức Vi - et ta có b c x1x  a a - Ta tính: y1  y y1.y theo x1  x x1.x trên) giả sử tính được: y1  y  S y1.y  P x1  x   - Khi đó) ta có y1 y hai nghiệm phương trình y  Sy  P    II.VÍ DỤ Cho phương trình:  x  2mx    có hai nghiệm x1 , x Lập phương trình bậc hai ẩn y có nghiệm y1   1 y  x1 x2 Lời giải  Vì x1 , x nghiệm phương trình  x  2mx    ) nên theo hệ thức Vi-et) ta có: x1  x  1 2m ) x1 x  1 1 Do đó) ta có : y1  y    2m  1 x1  x 2m       1 m x1 x x1 x 2 1  1 1 1   y1.y   x1 x x1x  2      42   2 2      Vậy phương trình bậc cần tìm là: y   my    Chú ý : Chúng ta sử dụng Định lí Vi - et để kiểm tra nhanh kết toán III Bài tập áp dụng : Bài 1: Lập phương trình có nghiệm a) x1  7, x  10 ; b) x1  3, x  5 5 1 , x2  d) x1  , x  2 2 Bài Cho phương trình x   m  1 x  m  c) x1  Với m ≠ 0) lập phương trình ẩn y thỏa mãn y1  x1  1 , y2  x  x2 x1 Bài Cho phương trình bậc hai x  4x  (m  3m)  Lập pt bậc ẩn số y có nghiệm y1 , y thoả mãn: y1  y  x1  x ; y1 y  3 1 y2 1 y1 Bài Gọi x1 , x nghiệm phương trình: x  3mx  m   Lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y1  TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 192 1 vµ y  x1  x2  PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG ax4 + bx2 + c = Cách giải phương trình trùng phương Bước Đặt x  y (*)) y  đưa phương trình trùng phương pt bậc hai ẩn y Bước Giải phương trình bậc hai vừa thu để có nghiệm y Bước Thay y vừa tìm vào (*) để có nghiệm x Bước Kết luận Điều kiện nghiệm phương trình trùng phương Xét phương trình trùng phương: ax  bx  c  ( a  0) (1) Đặt: x  y (ĐK y  ) Khi đó) phương trình (1) trở thành ay  by  c  (2) + Phương trình (1) vơ nghiệm  phương trình (2) vơ nghiệm phương trình (2) có hai nghiệm âm    ('  0)  c Tức phương trình (2) có   (  '  0)   a  b  a  + Phương trình (1) có nghiệm  phương trình (2) có nghiệm kép 0) phương trình (2) có nghiệm nghiệm lại âm      (  '  0)    (  '  0)    (  '  0)    c c Tức phương trình (2) có :   b  b'   hay    0  a a a  2a  b  b  a   a  Lưu ý: Vì x nghiệm phương trình (1)  x củng nghiệm phương trình (1) Nên để phương trình (1) có nghiệm x0   x0  x0  Từ tìm mối quan hệ a; b; c ) + Phương trình (1) có nghiệm  phương trình (2) phải có nghiệm kép dương) phương trình (2) phải có hai nghiệm trái dấu    (  '  0) c   Tức phương trình (2) có :   b  b' a  0  a  2a + Phương trình (1) có nghiệm  phương trình (2) có nghiệm nghiệm dương b c  0,  a a + Phương trình (1) có nghiệm  phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt dương Tức phương trình (2) có :   0,     ('  0)  c Tức phương trình (2) có :   a  b  a  TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 193 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Ví dụ Cho phương trình trùng phương ẩn x) tham số m: x  2mx  (2m  1)  (1) 1) Giải phương trình (1) m = 2) Tìm giá trị tham số m để phương trình (1) có: a) Hai nghiệm b) Ba nghiệm c) Bốn nghiệm Lời giải: Đặt x  y ) y  Khi phương trình (1) trở thành: y  2my  (2m  1)  (2) 1) Thay m = vào phương trình (2) ta được: y  y    ( y  1)   y    y  (thoả mãn)  x   x  1 Vậy m =1 phương trình (1) có hai nghiệm x1  1 x  2) Ta có: Phương trình hai phương trình bậc hai ẩn y có: a  ; b  2m ; c  2m  ; b'  m  '  (b' )  ac  (m)  (2m  1)  m  2m   (m  1) a) Để phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) phải có nghiệm kép dương) phương trình (2) phải có hai nghiệm trái dấu Trường hợp Phương trình (2) có nghiệm kép dương:  '  ( m  1)  m   m      b'     m  m  m   m      a Trường hợp Phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu: c   2m    2m   m  a Vâỵ với m  m  phương trình (1) có hai nghiệm  b) Để phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) phải có nghiệm nghiệm dương     (  '  0) (m  1)  (m) m    m   b   0  2 m    m m    a 2 m   m   c  a  Vâỵ với m  phương trình (1) có ba nghiệm c) Để phương trình (1) có nghiệm pT (2) phải có hai nghiệm phân biệt dương   '  m  (m  1)  m       c   m      2 m    2 m   m    2 a 2 m  m   m     b m    a TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 194 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Vâỵ với m  m  phương trình (1) có bốn nghiệm Bài tập vận dụng Bài Giải phương trình sau: a) 2x  3x  x 1 x  b) 4x x 1  x2 x2 c) 2x 5   x  x  x  5x  b) x x3  6 x  x 1 c) 2x  x3 3 x 2x  Bài Giải phương trình sau: a)   1 3x  27 x 3 Bài Giải phương trình sau: a) x  3x  x   b) x  5x  7x   c) x  6x  11x   Bài Giải phương trình sau: a) (4x  25)(2x  7x  9)  b) (2x  3)  4(x  1)  c) 2x(3x  1)  9x   Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: a) x  (2m  1)x  3(m  4)x  m  12  b) x  (2m  3)x  (m  2m  2)x  m  Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: a) x  (2m  1)x  m  b) (x  1)(x  3)(x  5)  m Bài Giải phương trình sau: 2 a) (x – 2x) – 2(x – 2x) –  2 b) (x  4x  2)  4x  16x  11  2 c) (x – x) – 8(x – x)  12  Bài Giải phương trình sau: a) (2x  1) – 8(2x  1) –  2 b) (x  4x  4) – 4(x  2) – 77   2x    2x   c)    4 3  x2   x2  TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 195 PHONE: 0983.265.289 ... x2 - 5x + = e) 3x2 + 2x + = f) 2x2 + 5x - = g) x2 - 7x - = h) -x2 - 7x - 13 = e) 3x2 - 19x - 22 = f) x2 - 14x + 33 = Bài Giải phương trình sau: Bài Giải phương trình sau: a) 3x2 - 2x - = b) x2... Bài Giải phương trình sau: a) x2 - 11x + 30 = b) x2 - 10x + 21 = c) x2 - 12x + 27 = d) 5x2 - 17x + 12 = g) 6x2 - 13x - 48 = h) 3x2 + 5x + 61 = a) x2 - 24 x + 70 = b) x2 - 6x - 16 = c) 2x2 + 3x +... c) 2x2 + 6x + = e) x2 - 9x + 18 = f) 3x2 + 5x + = g) 2x2 - 7x + = d) 5x2 + 2x - = h) -5x2 + 3x - = Bài Giải phương trình sau: a) x2 + 13x + 42 = b) x2 - 10x + = c) x2 - 7x + 10 = d) 5x2 + 2x