Tài liệu ơn thi Học sinh giỏi Tốn Chuyên đề Rút gọn phân thức x2 10 − x Bài (Mỹ Đức 2012) Cho biểu thức P = + + : x − + x+2 x − x − 3x x + a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x = Hướng dẫn giải a) Rút gọn P x ( x2 − 4) x3 − x − x 3 ( − x ) Điều kiện xác định x + x −2 2 ( x − )( x + ) + 10 − x x − + 10 − x 0 x+2 x+2 x ( x − )( x + ) x 0; x 2; x −2 2 − x x 2; x (*) x − + 10 − x x + 0 x+2 x2 : Khi ta có P = + + x ( x − ) ( − x ) x + x + x x = + + : − + = : x − − x x + x + ( x + )( x − ) x − x + x + x − ( x + ) + ( x − ) x + x − x − + x − x + = = ( x − )( x + ) ( x − )( x + ) = −6 ( x + ) −1 −6 x+2 = = ( x − )( x + ) ( x + )( x − ) x − , với x 0; x 2 x−2 b) Tính giá trị P x = x= Ta có x = x = − 1 1 =− = Th1: Nếu x = (tmđk), thay vào P = − ta P = − 3 x−2 −2 − 2 1 1 =− = Th2: Nếu x = − (tmđk), thay vào P = − ta P = − 5 x−2 − −2 − 2 Vậy P = − Trang Tài liệu ơn thi Học sinh giỏi Tốn Chuyên đề Rút gọn phân thức x − − ( x − )( x − 3) x2 − x + Bài (Mỹ Đức 2013) Cho biểu thức F = a) Rút gọn biểu thức F b) Tìm giá trị nguyên x cho F số nguyên Hướng dẫn giải a) Điều kiện xác định: x − x + ( x − 3) x Khi ta có F = ( x − 3)( x + 3) − ( x − )( x − 3) ( x − 3) = ( x − 3) x + − ( x − ) ( x − 3) x + − x + −3x + = x −3 x −3 −3x + Vậy F = , với x x −3 4 −3x + −3 ( x − 3) − = b) Ta có F = = −3 − mà −3 nên F x −3 x −3 x −3 x −3 x − Ư(4) = 1; 2; 4 Mặt khác x x − nên x −3 TH1: Nếu x − = x = (tmđk) Th2: Nếu x − = −1 x = (tmđk) Th3: Nếu x − = x = (tmđk) Th4: Nếu x − = −2 x = (tmđk) Th5: Nếu x − = x = (tmđk) TH6: Nếu x − = −4 x = −1 (tmđk) Vậy giá trị nguyên x để biểu thức F nhận giá trị nguyên x 4; 2;5;1;7; −1 = 2− x x x −3 x −2 − + Bài (Mỹ Đức 2015) Cho biểu thức P = : 1 − x + x + x + 5x + x −1 a) Tìm điều kiện xác định P rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên c) Tìm x để P Hướng dẫn giải a) Tìm đkxđ rút gọn P x −2 x + x −2 x −3 x + x −3 ĐKXĐ: x + x + x + x + 3x + x ( x + ) + ( x + ) x −1 x x x x −1 − x −1 0 1 − x − x − x −1 x −2 x −3 x −2; x −3; x (*) x ( x + )( x + 3) Trang Tài liệu ôn thi Học sinh giỏi Toán Chuyên đề Rút gọn phân thức ( x − 3)( x + 3) ( x − )( x + ) −1 2− x Khi ta có P = − + : x + x + x + x + x + x + ( )( ) ( )( ) ( )( ) x −1 = = x2 − − ( x2 − 4) + − x : −x − x −1 −1 x2 − − x2 + + − x x − = = x −1 −1 ( x + )( x + 3) −1 ( x + )( x + 3) ( x + )( x + 3) − ( x + 3) ( x − 1) x −1 = ( x + ) ( x + 3) ( −1) x + x −1 , với x −2; x −3; x x+2 b) Tìm x nguyên để P nhận giá trị nguyên x −1 x + − 3 = = 1− Ta có P = mà 1 nên P x+2 x+2 x+2 x+2 x + Ư(3) = 1; 3 Do x nên x + Do x+2 Th1: Nếu x + = x = −1 (tmđk) Th2: Nếu x + = −1 x = −3 (loại, k tmđk) Th3: Nếu x + = x = (loại, ktmđk) Th4: Nếu x + = −3 x = −5 (tmđk) Vậy giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên x −1; −5 Vậy P = c) Tìm x để P x −1 x −1 1 Ta có P = , với x −2; x −3; x nên P x+2 x+2 x −1 − ( x + 2) x −1− x − −3 x −1 0 (1) −1 0 x+2 x+2 x+2 x+2 Lại có −3 nên (1) dẫn đến x + x −2 x −3 Kết hợp với điều kiện x −2; x −3; x ta có P x −2 − x 1− 2x + − : Bài (Mỹ Đức 2017) Cho biểu thức A = , với x 1; x − x x +1 − x x −1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên c) Tìm x để A = A Hướng dẫn giải a) Rút gọn A x2 −1 5− x + − Ta có A = − x + x − x + x ( )( ) 1− 2x (1 + x ) x2 −1 (1 − x ) 5− x = + − (1 − x )(1 + x ) (1 − x )(1 + x ) (1 − x )(1 + x ) − x −2 ( x − 1)( x + 1) + x + − x − + x ( x − 1)( x + 1) = = = − ( x − 1)( x + 1) (1 − x ) − x (1 − x )(1 + x ) (1 − x ) Trang Tài liệu ôn thi Học sinh giỏi Toán Vậy A = Chuyên đề Rút gọn phân thức 1− 2x b) Tìm x nguyên để A nguyên Do x nên − 2x A = nguyên − 2x Ư(2) = 1− 2x 1; 2 Mà − 2x số lẻ với x nên xảy trường hợp TH1: Nếu − x = x = (tmđk) TH2: Nếu − x = −1 x = (loại) Vậy giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên x = c) Tìm x để A = A Ta có A = A A mà A = 1− 2x 2x x 2 mà nên nên 1− 2x − 2x x Kết hợp với điều kiện x 1; x ta có A = A x −1 x2 − 2x 2x2 Bài (Mỹ Đức 2019) Cho biểu thức A = − 1− − 2x + 8 − 4x + 2x − x x x a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên c) Tìm x để A Hướng dẫn giải 2 x + 0(ld ) x x 8 − x + x − x a) ĐKXĐ: 2 4 ( − x ) + x ( − x ) ( − x ) ( + x ) x x2 x x (*) 2 − x x 4 + x 0(ld ) Rút gọn A x2 − 2x x2 − x − 2x2 Ta có: A = − 2 x2 ( x + ) ( − x ) ( + x ) (x = − x ) ( − x ) − x2 x2 − x + x − 2 x − x3 − x + x − x x ( x − ) + ( x − ) = x2 x2 ( − x ) ( x2 + 4) ( − x ) ( x2 + 4) Trang Tài liệu ơn thi Học sinh giỏi Tốn Chuyên đề Rút gọn phân thức ( x + 1)( x − ) = − x ( x + ) ( x + 1)( x − ) = x + − x3 − x 2x x2 ( − x ) ( x2 + 4) −2 ( x − ) ( x + ) x 2 = b) Tìm x nguyên để A nguyên x +1 Ta có A = , với x 0; x 2x 1 2A = 1+ Do A = + 2x x Do A nguyên nên 2A x nên + x mà nên Mặt khác x x nên x Ư(1) = 1 x +1 1+1 = = (tmđk) 2x x +1 TH2: Nếu x = −1 ta có A = = (tmđk) 2x c) Tìm x để A x +1 x +1 x +1 − 0 Ta có A = , với x 0; x nên A 2x 2x 2x 3 ( x + 1) − x x+3 0 6x 6x Xảy trường hợp sau: x + x −3 −3 x TH1: 6 x x TH1: Nếu x = ta có A = Kết hợp với điều kiện x 0; x ta −3 x x + x −3 Th2: Nếu (vô nghiệm) 6 x x Vậy để A −3 x Bài (Mỹ Đức 2018) 2x +1 x + 2x +1 − − 1) Cho P = x − x + 12 x − − x a) Rút gọn P b) Biết P Tìm x để P nguyên dương Hướng dẫn giải a) Rút gọn P x ( x − 3) − ( x − 3) x − x + 12 x − 3x − x + 12 x ĐKXđ: x − x − x 3 − x 3 − x ( x − 3)( x − ) x − x − x 3; x x x 3; x x Trang Tài liệu ơn thi Học sinh giỏi Tốn Khi ta có P = = Chuyên đề Rút gọn phân thức 2x +1 x+3 2x +1 2x +1 x + 2x +1 − − − − = x − x + 12 x − − x ( x − 3)( x − ) x − − ( x − 3) 2x +1 x + x + x + − ( x + 3)( x − 3) + ( x + 1)( x − ) − + = ( x − 3)( x − ) x − x − ( x − 3)( x − ) x + − x2 + + x2 − 8x + x − x2 − 5x + x − x − 3x + = = = ( x − 3)( x − ) ( x − 3)( x − ) ( x − 3)( x − ) = x ( x − ) − ( x − ) ( x − )( x − 3) x − = = ( x − 3)( x − ) ( x − 3)( x − ) x − Vậy P = x−2 , với x 3; x x−4 b) Biết P Tìm x để P nguyên dương x−2 x−4+2 = = 1+ Ta có P = , với x 3; x x−4 x−4 x−4 2 P = + 1 0 Do số nguyên nên để P nguyên dương x−4 x−4 x−4 2 0, x 3; x nên để P nguyên dương * (1) mà x−4 x−4 2 4 (2) Lại có P nên + x−4 x−4 1; 2;3 Từ (1) (2) có x−4 = = x − x = (tmđk) Th1: Nếu x−4 = = x − x = 10 x = (tmđk) Th2: Nếu x−4 = = ( x − ) = 3x − x = x = (tmđk) TH3: Nếu x−2 8 Vậy P giá trị x để P nguyên dương x 5;6; 3 4ab 2) Cho 4a + b2 = 5ab (*) 2a b Tính giá trị A = 4a − b Hướng dẫn giải 2 Ta có (*) 4a − 5ab + b = 4a2 − 4ab − ab + b2 = 4a ( a − b ) − b ( a − b ) = 4a − b = b = a ( 4a − b )( a − b ) = a − b = b = a Th1: Nếu b = 4a b = 4a 2a (do a > 0) nên b = 4a bị loại 4ab 4a Th2: Nếu b = a thay vào A = 2 = = 4a − b 3a Vậy A = Trang Tài liệu ơn thi Học sinh giỏi Tốn Chuyên đề Rút gọn phân thức Bài (Mỹ Đức 2021 + Mỹ Đức 2016) Cho biểu thức P = x +1 x2 + x − x2 : + + x2 − 2x + x x −1 x2 − x a) Tìm điều kiện xác định P rút gọn P b) Tìm x để P = − c) Cho x Tìm giá trị nhỏ P Hướng dẫn giải a) Tìm điều kiện xác định P rút gọn P x2 − x + ( x − 1) x x x ĐKXĐ: x − x x −1 x2 − x ) ( x +1 x +1 − x2 − x2 + + 0 + + 0 x −1 x − x x x − x ( x − 1) x x x x x x x x + x − + 1.x + − x x +1 x2 −1 + x + − x2 )( ) ( 0 0 0 x ( x − 1) x ( x − 1) x ( x − 1) x x x 1 x x x x +1 x −1 x ( x + 1) x ( x − 1) x ( x + 1) x ( x − 1) x +1 x2 Khi ta có P = = = : = 2 ( x − 1) x ( x − 1) ( x − 1) x + ( x − 1) ( x + 1) x − x2 + x b) Tìm x để P = − x2 = − x = − ( x − 1) x2 + x −1 = x2 − x + x − = x −1 x = (tm) 2 x − = x ( x − 1) + ( x − 1) = ( x − 1)( x + 1) = x +1 = x = −1(l ) Ta có P = − Vậy để P = − 1 x = 2 c) Cho x Tìm giá trị nhỏ P Ta có P = 1 x2 x2 −1 + x2 −1 + (1) = + = = x +1+ = ( x − 1) + x −1 x −1 x −1 x −1 x −1 x − Trang Tài liệu ôn thi Học sinh giỏi Toán Chuyên đề Rút gọn phân thức Do x nên x − 0; Áp dụng bất đẳng thức Cơ si cho hai số khơng âm ta có x −1 ( x − 1) + x − 1 ( x − 1) 1 = (2) Dấu xảy x − = x −1 x −1 ( x − 1) = x − = (do x − ) nên x = (tmđk) Từ (1) (2) ta có P 4, x Dấu xảy x = Vậy giá trị nhỏ P đạt x = Cách 2: ( x − ) + x − = ( x − ) + mà x2 Ta có P = = x x −1 , lại có x −1 x −1 x −1 ( x − 2) ( x − 2) 0, x Do ( x − 2) P= x −1 + 4, x Dấu xảy = x = (tmđk) x −1 Vậy giá trị nhỏ P đạt x = Trang ... Trang Tài liệu ? ?n thi Học sinh giỏi To? ?n V? ??y A = Chuy? ?n đề Rút g? ?n ph? ?n thức 1− 2x b) Tìm x nguy? ?n để A nguy? ?n Do x n? ?n − 2x A = nguy? ?n − 2x Ư(2) = 1− 2x 1; 2 Mà − 2x số lẻ v? ??i... Tìm x để P nguy? ?n dương x−2 x−4+2 = = 1+ Ta có P = , v? ??i x 3; x x−4 x−4 x−4 2 P = + 1 0 Do số nguy? ?n n? ?n để P nguy? ?n dương x−4 x−4 x−4 2 0, x 3; x n? ?n để P nguy? ?n dương * (1)... ngun để A ngun x +1 Ta có A = , v? ??i x 0; x 2x 1 2A = 1+ Do A = + 2x x Do A nguy? ?n n? ?n 2A x n? ?n + x mà n? ?n Mặt khác x x n? ?n x Ư(1) = 1 x +1 1+1 = = (tmđk) 2x x +1 TH2: N? ??u