N v HIEP HSG TOAN 8 RUT GON PHAN THUC

 Tài liệu ơn thi Học sinh giỏi Tốn Chuyên đề Rút gọn phân thức   x2   10 − x  Bài (Mỹ Đức 2012) Cho biểu thức P =  + + : x − +    x+2   x − x − 3x x +   a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x = Hướng dẫn giải a) Rút gọn P  x ( x2 − 4)   x3 − x    − x  3 ( − x )     Điều kiện xác định  x +   x  −2   2  ( x − )( x + ) + 10 − x  x − + 10 − x  0  x+2  x+2   x ( x − )( x + )   x  0; x  2; x  −2     2 − x   x  2; x  (*)  x − + 10 − x  x +   0 x+2   x2  : Khi ta có P =  + +  x ( x − ) ( − x ) x +  x +   x   x = + + : − + =  :  x − − x x +  x +  ( x + )( x − ) x − x +  x + x − ( x + ) + ( x − ) x + x − x − + x − x + = = ( x − )( x + ) ( x − )( x + ) = −6 ( x + ) −1 −6 x+2 = = ( x − )( x + ) ( x + )( x − ) x − , với x  0; x  2 x−2 b) Tính giá trị P x =  x=  Ta có x =   x = −  1 1 =− = Th1: Nếu x = (tmđk), thay vào P = − ta P = − 3 x−2 −2 − 2 1 1 =− = Th2: Nếu x = − (tmđk), thay vào P = − ta P = − 5 x−2 − −2 − 2 Vậy P = − Trang  Tài liệu ơn thi Học sinh giỏi Tốn Chuyên đề Rút gọn phân thức  x − − ( x − )( x − 3) x2 − x + Bài (Mỹ Đức 2013) Cho biểu thức F = a) Rút gọn biểu thức F b) Tìm giá trị nguyên x cho F số nguyên Hướng dẫn giải a) Điều kiện xác định: x − x +   ( x − 3)   x  Khi ta có F = ( x − 3)( x + 3) − ( x − )( x − 3) ( x − 3) = ( x − 3)  x + − ( x − ) ( x − 3) x + − x + −3x + = x −3 x −3 −3x + Vậy F = , với x  x −3 4 −3x + −3 ( x − 3) −  = b) Ta có F = = −3 − mà −3  nên F   x −3 x −3 x −3 x −3   x −  Ư(4) = 1; 2; 4 Mặt khác x   x −  nên x −3 TH1: Nếu x − =  x = (tmđk) Th2: Nếu x − = −1  x = (tmđk) Th3: Nếu x − =  x = (tmđk) Th4: Nếu x − = −2  x = (tmđk) Th5: Nếu x − =  x = (tmđk) TH6: Nếu x − = −4  x = −1 (tmđk) Vậy giá trị nguyên x để biểu thức F nhận giá trị nguyên x  4; 2;5;1;7; −1 = 2− x   x   x −3 x −2 − + Bài (Mỹ Đức 2015) Cho biểu thức P =   : 1 −   x + x + x + 5x +   x −1  a) Tìm điều kiện xác định P rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên c) Tìm x để P  Hướng dẫn giải a) Tìm đkxđ rút gọn P     x  −2 x +   x  −2     x  −3 x +   x  −3    ĐKXĐ:  x + x +    x + x + 3x +    x ( x + ) + ( x + )  x −1  x  x     x   x −1 − x  −1 0 1 − x −   x −    x −1  x  −2  x  −3    x  −2; x  −3; x  (*) x  ( x + )( x + 3)   Trang  Tài liệu ôn thi Học sinh giỏi Toán Chuyên đề Rút gọn phân thức   ( x − 3)( x + 3) ( x − )( x + )  −1 2− x Khi ta có P =  − + : x + x + x + x + x + x + ( )( ) ( )( ) ( )( )   x −1 = = x2 − − ( x2 − 4) + − x : −x − x −1 −1 x2 − − x2 + + − x x − = = x −1 −1 ( x + )( x + 3) −1 ( x + )( x + 3) ( x + )( x + 3) − ( x + 3) ( x − 1) x −1 = ( x + ) ( x + 3) ( −1) x + x −1 , với x  −2; x  −3; x  x+2 b) Tìm x nguyên để P nhận giá trị nguyên x −1 x + − 3 = = 1−  Ta có P = mà 1 nên P   x+2 x+2 x+2 x+2   x +  Ư(3) = 1; 3 Do x  nên x +  Do x+2 Th1: Nếu x + =  x = −1 (tmđk) Th2: Nếu x + = −1  x = −3 (loại, k tmđk) Th3: Nếu x + =  x = (loại, ktmđk) Th4: Nếu x + = −3  x = −5 (tmđk) Vậy giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên x  −1; −5 Vậy P = c) Tìm x để P  x −1 x −1 1 Ta có P = , với x  −2; x  −3; x  nên P   x+2 x+2 x −1 − ( x + 2) x −1− x − −3 x −1 0   (1)  −1   0  x+2 x+2 x+2 x+2 Lại có −3  nên (1) dẫn đến x +   x  −2  x  −3 Kết hợp với điều kiện x  −2; x  −3; x  ta có P    x  −2 − x  1− 2x  + − : Bài (Mỹ Đức 2017) Cho biểu thức A =  , với x  1; x    − x x +1 − x  x −1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên c) Tìm x để A = A Hướng dẫn giải a) Rút gọn A   x2 −1 5− x + − Ta có A =   − x + x − x + x ( )( )   1− 2x  (1 + x )  x2 −1 (1 − x ) 5− x = + −   (1 − x )(1 + x ) (1 − x )(1 + x ) (1 − x )(1 + x )  − x −2 ( x − 1)( x + 1) + x + − x − + x ( x − 1)( x + 1) = = = − ( x − 1)( x + 1) (1 − x ) − x (1 − x )(1 + x ) (1 − x ) Trang  Tài liệu ôn thi Học sinh giỏi Toán Vậy A = Chuyên đề Rút gọn phân thức  1− 2x b) Tìm x nguyên để A nguyên Do x  nên − 2x  A = nguyên − 2x Ư(2) = 1− 2x 1; 2 Mà − 2x số lẻ với x nên xảy trường hợp TH1: Nếu − x =  x = (tmđk) TH2: Nếu − x = −1  x = (loại) Vậy giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên x = c) Tìm x để A = A Ta có A = A  A  mà A = 1− 2x    2x  x  2  mà  nên nên 1− 2x − 2x  x  Kết hợp với điều kiện x  1; x  ta có A = A   x  −1  x2 − 2x   2x2 Bài (Mỹ Đức 2019) Cho biểu thức A =  − 1− −    2x + 8 − 4x + 2x − x   x x  a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên c) Tìm x để A  Hướng dẫn giải 2 x +  0(ld )   x   x  8 − x + x − x   a) ĐKXĐ:    2 4 ( − x ) + x ( − x )  ( − x ) ( + x )  x   x2   x  x   (*)  2 − x   x   4 + x  0(ld )  Rút gọn A  x2 − 2x  x2 − x − 2x2  Ta có: A =  − 2 x2  ( x + ) ( − x ) ( + x )  (x = − x ) ( − x ) − x2 x2 − x + x − 2 x − x3 − x + x − x x ( x − ) + ( x − ) = x2 x2 ( − x ) ( x2 + 4) ( − x ) ( x2 + 4) Trang  Tài liệu ơn thi Học sinh giỏi Tốn Chuyên đề Rút gọn phân thức  ( x + 1)( x − ) = − x ( x + ) ( x + 1)( x − ) = x + − x3 − x 2x x2 ( − x ) ( x2 + 4) −2 ( x − ) ( x + ) x 2 = b) Tìm x nguyên để A nguyên x +1 Ta có A = , với x  0; x  2x 1  2A = 1+ Do A = + 2x x Do A nguyên nên 2A  x nên +  x mà  nên  Mặt khác x  x nên x  Ư(1) = 1 x +1 1+1 = = (tmđk) 2x x +1 TH2: Nếu x = −1 ta có A = = (tmđk) 2x c) Tìm x để A  x +1 x +1 x +1   − 0 Ta có A = , với x  0; x  nên A   2x 2x 2x 3 ( x + 1) − x x+3   0  6x 6x Xảy trường hợp sau: x +   x  −3   −3  x  TH1:  6 x  x  TH1: Nếu x = ta có A = Kết hợp với điều kiện x  0; x  ta −3  x  x +   x  −3  Th2: Nếu  (vô nghiệm) 6 x  x  Vậy để A  −3  x  Bài (Mỹ Đức 2018) 2x +1 x + 2x +1 − − 1) Cho P = x − x + 12 x − − x a) Rút gọn P b) Biết P  Tìm x để P nguyên dương Hướng dẫn giải a) Rút gọn P  x ( x − 3) − ( x − 3)   x − x + 12   x − 3x − x + 12      x  ĐKXđ:  x −   x −  x  3 − x  3 − x     ( x − 3)( x − )  x −      x −   x  3; x   x   x  3; x  x    Trang  Tài liệu ơn thi Học sinh giỏi Tốn Khi ta có P = = Chuyên đề Rút gọn phân thức  2x +1 x+3 2x +1 2x +1 x + 2x +1 − − − − = x − x + 12 x − − x ( x − 3)( x − ) x − − ( x − 3) 2x +1 x + x + x + − ( x + 3)( x − 3) + ( x + 1)( x − ) − + = ( x − 3)( x − ) x − x − ( x − 3)( x − ) x + − x2 + + x2 − 8x + x − x2 − 5x + x − x − 3x + = = = ( x − 3)( x − ) ( x − 3)( x − ) ( x − 3)( x − ) = x ( x − ) − ( x − ) ( x − )( x − 3) x − = = ( x − 3)( x − ) ( x − 3)( x − ) x − Vậy P = x−2 , với x  3; x  x−4 b) Biết P  Tìm x để P nguyên dương x−2 x−4+2 = = 1+ Ta có P = , với x  3; x  x−4 x−4 x−4 2  P = + 1 0 Do số nguyên nên để P nguyên dương x−4 x−4 x−4 2  0, x  3; x  nên để P nguyên dương  * (1) mà x−4 x−4 2 4  (2) Lại có P  nên + x−4 x−4  1; 2;3 Từ (1) (2) có x−4 =  = x −  x = (tmđk) Th1: Nếu x−4 =  = x −  x = 10  x = (tmđk) Th2: Nếu x−4 =  = ( x − )  = 3x −  x =  x = (tmđk) TH3: Nếu x−2 8  Vậy P  giá trị x để P nguyên dương x  5;6;  3  4ab 2) Cho 4a + b2 = 5ab (*) 2a  b  Tính giá trị A = 4a − b Hướng dẫn giải 2 Ta có (*)  4a − 5ab + b =  4a2 − 4ab − ab + b2 =  4a ( a − b ) − b ( a − b ) =  4a − b = b = a  ( 4a − b )( a − b ) =    a − b = b = a Th1: Nếu b = 4a   b = 4a  2a (do a > 0) nên b = 4a bị loại 4ab 4a Th2: Nếu b = a thay vào A = 2 = = 4a − b 3a Vậy A = Trang  Tài liệu ơn thi Học sinh giỏi Tốn Chuyên đề Rút gọn phân thức  Bài (Mỹ Đức 2021 + Mỹ Đức 2016) Cho biểu thức P =  x +1 x2 + x − x2  : + +   x2 − 2x +  x x −1 x2 − x  a) Tìm điều kiện xác định P rút gọn P b) Tìm x để P = − c) Cho x  Tìm giá trị nhỏ P Hướng dẫn giải a) Tìm điều kiện xác định P rút gọn P     x2 − x +  ( x − 1)    x  x     x  ĐKXĐ:  x −  x x −1   x2 − x  )  (   x +1  x +1 − x2 − x2 + + 0 + + 0   x −1 x − x  x x − x ( x − 1)  x      x  x  x      x   x   x   x + x − + 1.x + − x  x +1  x2 −1 + x + − x2 )( ) (   0 0 0  x ( x − 1)  x ( x − 1)  x ( x − 1) x  x   x  1    x   x    x  x +1   x  −1   x ( x + 1) x ( x − 1) x ( x + 1) x ( x − 1) x +1 x2 Khi ta có P = = = : = 2 ( x − 1) x ( x − 1) ( x − 1) x + ( x − 1) ( x + 1) x − x2 + x b) Tìm x để P = − x2  = −  x = − ( x − 1)  x2 + x −1 =  x2 − x + x − = x −1  x = (tm) 2 x − =   x ( x − 1) + ( x − 1) =  ( x − 1)( x + 1) =     x +1 =  x = −1(l ) Ta có P = − Vậy để P = − 1 x = 2 c) Cho x  Tìm giá trị nhỏ P Ta có P = 1  x2 x2 −1 + x2 −1  + (1) = + = = x +1+ = ( x − 1) + x −1  x −1 x −1 x −1 x −1 x −  Trang  Tài liệu ôn thi Học sinh giỏi Toán Chuyên đề Rút gọn phân thức  Do x  nên x −  0;  Áp dụng bất đẳng thức Cơ si cho hai số khơng âm ta có x −1   ( x − 1) + x − 1  ( x − 1) 1 = (2) Dấu xảy x − = x −1 x −1  ( x − 1) =  x − = (do x −  ) nên x = (tmđk) Từ (1) (2) ta có P  4, x  Dấu xảy x = Vậy giá trị nhỏ P đạt x = Cách 2: ( x − ) + x − = ( x − ) + mà x2 Ta có P = = x   x −1  , lại có x −1 x −1 x −1 ( x − 2) ( x − 2)  0, x  Do ( x − 2) P= x −1 +  4, x  Dấu xảy =  x = (tmđk) x −1 Vậy giá trị nhỏ P đạt x = Trang ... Trang  Tài liệu ? ?n thi Học sinh giỏi To? ?n V? ??y A = Chuy? ?n đề Rút g? ?n ph? ?n thức  1− 2x b) Tìm x nguy? ?n để A nguy? ?n Do x  n? ?n − 2x  A = nguy? ?n − 2x Ư(2) = 1− 2x 1; 2 Mà − 2x số lẻ v? ??i... Tìm x để P nguy? ?n dương x−2 x−4+2 = = 1+ Ta có P = , v? ??i x  3; x  x−4 x−4 x−4 2  P = + 1 0 Do số nguy? ?n n? ?n để P nguy? ?n dương x−4 x−4 x−4 2  0, x  3; x  n? ?n để P nguy? ?n dương  * (1)... ngun để A ngun x +1 Ta có A = , v? ??i x  0; x  2x 1  2A = 1+ Do A = + 2x x Do A nguy? ?n n? ?n 2A  x n? ?n +  x mà  n? ?n  Mặt khác x  x n? ?n x  Ư(1) = 1 x +1 1+1 = = (tmđk) 2x x +1 TH2: N? ??u