Chương II PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Chuyên đề 10 RÚT GỌN PHÂN THỨC A Kiến thức cần nhớ Muốn rút gọn phân thức ta có thể: Phân tích tử mẫu thành nhân tử ( cần) để tìm nhân tử chung; Chia tử mẫu cho nhân tử chung Chú ý: Có cần đổi dấu tử mẫu để nhận nhân tử chung tử mẫu (lưu ý tới tính chất A A ) B Một số ví dụ Ví dụ Rút gọn phân thức sau: x2 2x a) A ; x x 12 x3 x x c) C x x 17 x 10 a 5a b) B ; a a 4a Giải a) Ta có: x 1 x 3 x 1 3 x2 x 1 A x x 3x 12 x x x x x 3 A x 2 x 4 x x x 3 x 2 a a 4a a a 1 a 1 b) Ta có: B a (a 4a 4) a4 a 2 B B a a 2 1 a a 2 a2 a 2 a 1 a 1 a a a a a 1 a a 1 a a2 a x 1 x x x 1 x 1 c) Ta có: C x x x x 10 x 10 x 1 x x 10 C x 1 x x x 1 x x 5 x x 5 Ví dụ Cho a, b, c đôi khác thỏa mãn ab bc ca 1 Rút gọn biểu thức sau: 2 a b b c c a A 1 a 1 b 1 c 2 Giải Tìm cách giải Nhận thấy mẫu thức phân tích thành nhân tử cách sử dụng giả thiết Do nên thay ab bc ca vào mẫu phân tích đa thức thành nhân tử Những tốn rút gọn có điều kiện, nên vận dụng biến đổi khéo léo điều kiện Trình bày lời giải Thay ab bc ca , ta a a ab bc ca a a b a c Tương tự: b b c c a c c a c b 2 a b b c c a 1 Vậy A a b a c b a b c c a c b Ví dụ Cho biểu thức P a 4a a a a 14a a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên Giải Tìm cách giải Khi rút gọn biểu thức, cần phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử Để tìm giá trị nguyên a, cần tách phần nguyên cho phân thức có giá trị nguyên Chẳng hạn P a 1 3 ta viết P 1 , số nguyên nên để P số nguyên có giá trị ngun Do a a a a phải ước số Trình bày lời giải a) Ta có: a2 a 4 a 4 a 4a a P a 7a 14a a 2a 5a 10a 4a a 1 a a 1 a 1 a a a a 5a a a a 1 a a a b) Ta có: P 1 Vậy P Z ( a 2) a Z a 1; 3 a 1;1;3;5 a Ví dụ Cho phân thức F ( x) x4 x3 x x x x3 x x Xác định x để phân thức F ( x) có giá trị nhỏ Giải Tìm cách giải Trong phân thức F ( x) bậc tử thức mẫu thức 4, lớn Do việc tìm giá trị nhỏ gặp nhiều khó khăn, cần rút gọn biểu thức F ( x) Khi F ( x) viết dạng phân thức mà tử thức mẫu thức bậc hai, ta tìm cực trị cách lấy biểu thức F ( x) m , cho kết qủa tử thức viết dạng đẳng thức (a b) Trình bày lời giải F ( x) x x3 x x x x3 x x x x x3 x x x x3 x x x x x x 1 x x 1 2 x x 1 x x x 1 x 2x 1 x x 1 x x2 2 2 x2 x 1 x2 x 1 x x x x 3x x x 1 0 Xét F ( x) 2 x x 1 4 x2 8x 4 x 1 Suy F ( x) Dấu xảy x 1 Vậy giá trị nhỏ F ( x) Ví dụ Cho biểu thức B x 1 x x3 x 1 Chứng minh biểu thức B không âm với giá trị x x3 x x 1 x Giải Tìm cách giải Chứng minh biểu thức không âm với giá trị x, ta cần phải rút gọn biểu thức Sau chứng tỏ tử thức khơng âm mẫu thức dương Trình bày lời giải B x2 x x x 1 x x 1 x x x x 1 x 1 x 1 B x 1 2 x 1 x 1 x 1 x2 2 x2 0 Vây B không âm với giá trị x Ví dụ Tính P 1986 1992 19862 3972 3 1987 1983.1985.1988.1989 (Thi Học sinh giỏi NewYork (Mỹ) – năm học 1986-1987 ) Giải Tìm cách giải Bài toán chứa số lớn Nhiều số gần với 1986, tự nhiên đặt 1986 x , biểu diễn số gần với 1986 theo x, ta biểu thức P biến x Sau rút gọn biểu thức P Trình bày lời giải Đặt 1986 x Ta có: x P x x x 3 x 1 x 3 x 1 x x 3 x x x x x 3x 3 x 1 x 3 x 1 x x 3 x 3 x x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x x 3 P x hay P 1996 1997 Nhận xét Phương pháp giải đại số hóa cách đặt x 1986 , sau rút gọn phân thức đại số Nhiều biểu thức số ta giải đại số C.Bài tập vận dụng 10.1 Rút gọn biểu thức: a) x x 12 x 45 x 19 x 33 x Hướng dẫn giải – đáp số a) x x 12 x 45 x3 x x x 15 x 45 x 19 x 33 x x x 10 x 30 x x x 3 x x 15 x 5 x 3 x x 3 3x 10 x 3 3x 1 x 3 3x 2 a 1 5 a 1 a 1 11 a 1 30 b) N 4 2 a 1 18 a 2a 3 a 1 18 a 1 15 a N 2a a 2a 2 a 1 5 a 1 1 a 2a 3a 6a 10.2 Rút gọn biểu thức: A n 2n ; n n 2n M N x x x x 3x ; x2 2x xy y y x x2 y4 y x2 Hướng dẫn giải – đáp số A a 1 11 a 1 30 b) N a 1 18 a 2a n 2n n3 n n n n n n3 n n n n n n 1 n 1 n 1 n2 n n n 1 n n 1 n n n x5 x x3 x 3x x M x2 2x x N x 2 x x 2 x 2 x 2 x 4 1 x 3 x4 xy y y x x2 y y4 x2 y 1 2 x y 1 x 10.3 Rút gọn biểu thức: P abc a b c ab bc ca 1 a 2b a b Hướng dẫn giải – đáp số P abc bc a ab b ac c a 1 bc b c a 2b a b b 1 a 1 a 1 b 1 c 1 b 1 a 1 a 1 c a 1 2003 2013 21.2004 1 2003.2008 10.4 Tính giá trị biểu thức sau: P 2004.2005.2006.2007.2008 ( Tuyển sinh 10, Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, năm 2003 – 2004 ) Hướng dẫn giải – đáp số Đặt x 2003 Ta có: x x 10 31 x 1 1 x x P x 1 x x 3 x x x 10 x 31x 30 x x x 1 x x 3 x x 5 Phân tích tử thức thành nhân tử, ta được: P x x 3 x x 1 x x 1 x x 3 x x 5 1 10.5 Cho a, b, c đôi khác thỏa mãn ab bc ca 1 Rút gọn biểu thức sau: a B 2bc 1 b 2ca 1 c 2ab 1 2 a b b c c a Hướng dẫn giải – đáp số Thay ab bc ca, ta được: a 2bc a bc ab ca a a b c a b a c a b 2 Tương tự: b 2ca b c b a ; c 2ab c a c b Vậy a b a c b a b c c a c b B 2 a b b c c a 10.6 Cho A a b b c c a 2 a b b c c a 2 x4 x3 x 1 x x3 x x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh rằng, A không âm với giá trị x Hướng dẫn giải – đáp số x x 1 x x x3 x 1 a) A x x x x x x x 1 x x x x 1 x x 1 b) A x 1 x 1 x 1 x2 1 x 1 0 Vậy biểu thức A không âm x x2 1 10.7 Cho phân thức M 3x x x3 x x a) Rút gọn biểu thức M b) Tính giá trị lớn biểu thức M Hướng dẫn giải – đáp số a) M 3x 3x x x3 x x x x x3 x x 3x 3 x 1 x2 x x x b) x x 5 3 Dấu xảy x x 2x Vậy giá trị lớn phân thức M x 10.8 Rút gọn phân thức: A x5 x x3 x 3x x2 x x x8 x 2020 Q x x x 2022 Hướng dẫn giải – đáp số x x x x x x x x 3 Ta có: A x 1 x x 1 x x Ta có: Q 3 x 1 x 1 x 1 x 3 x 1 x x8 x 2020 x x8 x 2020 x x6 x10 x 2022 10.9 Cho x x8 x 2020 x x x8 x 2020 x x y z x2 y2 z Rút gọn biểu thức: P a b c (ax+by+cz)2 Hướng dẫn giải – đáp số Đặt x y z k suy ra: x ak ; y bk ; z ck a b c Từ ta có P Suy P a 2k b2k c 2k a k 2 b2 k c2 k k a2 b2 c2 k a b2 c2 a b2 c 2 10.10 Cho a b c abc Chứng minh rằng: a b2 c2 b a c c a b2 ab bc ca abc Hướng dẫn giải – đáp số Xét tử thức ta có: ab ac a 2b bc a 2c b 2c ab a 2b abc ac a c abc bc bc abc 3abc ab a b c ac a b c bc a b c 3abc a b c ab ac bc 3abc abc ab ac bc 3 Vậy suy ra: a b2 c2 b a c2 c a b2 ab bc ca abc Điều phải chứng minh x 10.11 Chứng minh giá trị biểu thức P x a a a x2 1 a a a x2 1 Hướng dẫn giải – đáp số không phụ thuộc vào giá trị x x Ta có: P x 2 a a a2 x2 1 a a a2 x2 1 x ax a a a x x ax a a a x 2 1 x 1 x a 1 x a 1 x 1 x a 1 x a 2 2 2 2 2 x a a 1 a a 1 x 1 a a 1 a a Vậy giá trị biểu thức P không phụ thuộc vào giá trị x 10.12 Tính giá trị biểu thức P x3 x xy x y , với x 499; y 999 Hướng dẫn giải – đáp số Ta có P P x x 1 xy x y xy x y x x 1 x 1 x x 1 y 1 x 1 y 1 y 1 y 1 Điều kiện x 1; y 1 Với x 499, y 999 thay vào ta P 499 499 1 999 1 999 1 1000.998 2000 10.13 Tính giá trị biểu thức: A x x y y xy 3 với x y 2020 x x y y xy Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: A x x y y xy 3 x x y y xy x x y y xy x x y y xy x y x y x y x y 1 x y x y x y 6 x y x y 6 x y x y x y x y x y 1 x y x y x y 6 x y x y 6 x y Điều kiện x y; x y Với x y 2020 giá trị biểu thức A 2019 2020 10.14 Cho ax by cz 0 Chứng minh rằng: ax by cz 2 bc y z ca z x ab x y a b c Hướng dẫn giải – đáp số 2 Xét bc y z ca z x ab x y bcy 2bcyz bcz caz 2cazx cax abx 2abxy aby a x aby acz abx b y bcz acx bcy c z a x a b c ax by cz ax by cz b y c z 2abxy 2bcyz 2cazx a b c ax by cz (vì ax by cz 0 ) Từ suy ra, vế trái ax by cz 2 bc y z ca z x ab x y ax by cz 2 a b c ax by cz a b c