❇é ●✐➳♦ ❉ô❝ ✈➭ ➜➭♦ t➵♦ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❍ä❝ ❱✐♥❤ ❚r➢➡♥❣ ➜×♥❤ ❍➯✐ ◆❤ã♠ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ H 2(G, C) ❝ñ❛ ➤➵✐ sè ▲✐❡ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣ ▲✉❐♥ ✈➝♥ t❤➵❝ sÜ t♦➳♥ ❤ä❝ ◆❣❤Ư ❆♥ ✲ ✷✵✶✼ ❇é ●✐➳♦ ❉ơ❝ ✈➭ ➜➭♦ t➵♦ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❍ä❝ ❱✐♥❤ ❚r➢➡♥❣ ➜×♥❤ ❍➯✐ ◆❤ã♠ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ H 2(G, C) ❝đ❛ ➤➵✐ sè ▲✐❡ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣ ▲✉❐♥ ✈➝♥ t❤➵❝ sÜ t♦➳♥ ❤ä❝ ❈❤✉②➟♥ ♥❣➭♥❤✿ ➜➵✐ sè ✈➭ ▲ý t❤✉②Õt sè ▼➲ sè✿ ✻✷ ✹✻ ✵✶ ✵✹ ◆❣➢ê✐ ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❦❤♦❛ ❤ä❝ ❚❙✳ ◆❣✉②Ơ♥ ◗✉è❝ ❚❤➡ ◆❣❤Ư ❆♥ ✲ ✷✵✶✼ ▼ơ❝ ❧ơ❝ ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ✸ ✶ ✼ ➜➵✐ sè ▲✐❡ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣ ✶✳✶ ➜➵✐ sè ▲✐❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷ ✼ ✶✳✷ ➜➵✐ sè ▲✐❡ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻ ✶✳✸ ❚Ý❝❤ ♥ö❛ trù❝ t✐Õ♣ ❝đ❛ ♠ét ➤➵✐ sè ▲✐❡ ❜ë✐ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ➤è✐ ♣❤ơ ❤ỵ♣ ✷✸ ◆❤ã♠ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ✳ ✳ ✳ H (G, C) ❝ñ❛ ➤➵✐ sè ▲✐❡ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣ ✷✳✶ ➜è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ❝đ❛ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ✸✵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✵ ✷✳✷ ➜è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ❝đ❛ ➤➵✐ sè ▲✐❡ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✾ ❑Õt ❧✉❐♥ ✹✹ ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✹✺ ✷ ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ✶✳ ▲ý ❞♦ ❝❤ä♥ ➤Ò t➭✐ ◆❤➢ t❛ ➤➲ ❜✐Õt ❞➵♥❣ ❑✐❧❧✐♥❣ ❧➭ ♠ét ❝➠♥❣ ❝ơ ❤÷✉ Ý❝❤ tr♦♥❣ ✈✐Ư❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ♥ö❛ ➤➡♥ ♥❤ê tÝ♥❤ ❝❤✃t ➤è✐ ①ø♥❣✱ ❜✃t ❜✐Õ♥ ✈➭ ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ ❝ñ❛ ♥ã✳ ❈❤➻♥❣ ❤➵♥ t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❈❛rt❛♥ tr♦♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ♣❤➞♥ ❧♦➵✐ ❝➳❝ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ♥ã✐ r➺♥❣✿ ▲✐❡ ♥ö❛ ➤➡♥ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ❞➵♥❣ ❑✐❧❧✐♥❣ ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥✳ G ❧➭ ➤➵✐ sè ❱✐Ư❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧ý ❑♦st❛♥t ✲ ▼♦r♦s♦ tr♦♥❣ ❧ý t❤✉②Õt ▲✐❡ ❝ị♥❣ sù ❞ơ♥❣ tÝ♥❤ ❜✃t ❜✐Õ♥ ✈➭ ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ ❝ñ❛ ❞➵♥❣ ❑✐❧❧✐♥❣✳ ▼ét ❝➞✉ ❤ë✐ ➤➷t r❛ ë ➤➞② ❧✐Ư✉ ❝ã tå♥ t➵✐ ♥❤÷♥❣ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ♠➭ tr➟♥ ➤ã ❝ã ♠ét ❞➵♥❣ s♦♥❣ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ➤è✐ ①ø♥❣✱ ❜✃t ❜✐Õ♥ ✈➭ ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ ❤❛② ❦❤➠♥❣❄ ❚❛ ❣ä✐ ❝➳❝ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ➤ã ❧➭ ❝➳❝ ➤➵✐ sè ▲✐❡ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣✳ ➜➵✐ sè ▲✐❡ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣ ❧➭ ♠ét ➤è✐ t➢ỵ♥❣ ➤➵✐ sè ♠í✐ ①✉✃t ❤✐Ư♥ tr♦♥❣ t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❣➬♥ ➤➞② ✈➭ ➤➲ ➤➢ỵ❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tr➟♥ ♥❤✐Ò✉ ❦❤Ý❛ ❝➵♥❤ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✳ ➜➬✉ t✐➟♥ ❧➭ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈Ị ♠➷t ❝✃✉ tró❝✿ ▼ét ➤➵✐ sè ▲✐❡ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣ ❧➭ tỉ♥❣ trù❝ t✐Õ♣ trù❝ ❣✐❛♦ ❝đ❛ ❝➳❝ ✐➤➟❛♥ ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ ❤♦➷❝ ❧➭ tỉ♥❣ trù❝ t✐Õ♣ trù❝ ❣✐❛♦ ❝đ❛ ♠ét ✐➤➟❛♥ t➞♠ ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ ✈➭ ♠ét ✐➤➟❛♥ ❝ã t➞♠ ➤➻♥❣ ❝ù t♦➭♥ ❜é ✭①❡♠ ❬✺❪✱ ❬✼❪✮✳ ◆Õ✉ s➞✉ ❤➡♥ ♥÷❛✱ ♠ét ➤➵✐ sè ▲✐❡ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣ ❦❤➠♥❣ t➬♠ t❤➢ê♥❣ ❝ã t❤Ó ❝♦✐ ♥❤➢ ❧➭ ♠ét ♠ë ré♥❣ ❦Ð♣ ❝đ❛ ♠ét ➤➵✐ sè ▲✐❡ ❝ã sè ❝❤✐Ị✉ ♥❤á ❤➡♥ ❤♦➷❝ ❜➺♥❣ ♥❤÷♥❣ ➤➵♦ ❤➭♠ ♣❤➯♥ ①ø♥❣ ✭①❡♠ ❬✽❪✮ ❤♦➷❝ ♠ét ➤➵✐ sè ▲✐❡ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣ ❣✐➯✐ ➤➢ỵ❝ ❝ã sè ❝❤✐Ị✉ ❝❤➼♥ ❧➭ ♠ë ré♥❣ T∗ ❝đ❛ ♠ét ➤➵✐ sè ▲✐❡ ❜ë✐ ♠ét ➤è✐ ❝❤✉ tr×♥❤ ❝②❝❧✐❝ ✭①❡♠ ❬✺❪✮✳ ❚✐Õ♣ t❤❡♦ ➤ã ❧➭ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ø♥❣ ❞ô♥❣ tr♦♥❣ ❱❐t ❧ý ❝đ❛ ➤➵✐ sè ▲✐❡ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣✳ ●➬♥ ➤➞② ❧➭ ♥❤÷♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ✈Ị ♣❤➞♥ ❧♦➵✐ ❝❤ó♥❣ ✈➭ ❞ï♥❣ ❝✃✉ tró❝ ➤➵✐ sè ▲✐❡ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣ ➤Ĩ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♥❤÷♥❣ ❝✃✉ tró❝ ❦❤➳❝ ❧✐➟♥ ❦Õt ✈í✐ ♥ã✱ ✈Ý ❞ơ ❝✃✉ tró❝ s②♠♣❧❡❝t✐❝ ❧✐➟♥ ❦Õt ✈í✐ ❝✃✉ tró❝ ➤➵✐ sè ▲✐❡ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣ ❧ị② ❧✐♥❤ ❝ã sè ❝❤✐Ị✉ ❝❤➼♥ ✭①❡♠ ❬✹❪✮✱ ❝✃✉ tró❝ ➤➵✐ sè ▲✐❡ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣ ❧ị② ❧✐♥❤ ❜❐❝ ✷ ✭①❡♠ ❬✻❪✮✳ ✸ ✹ ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ❇➭✐ t♦➳♥ ♠➠ t➯ ❝➳❝ ♥❤ã♠ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ❝đ❛ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ❧➭ ♠ét tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝✃✉ tró❝ ❝ñ❛ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ♥ã✐ ❝❤✉♥❣✳ ❚r♦♥❣ ❧ý t❤✉②Õt ▲✐❡✱ sù ❤✐Ĩ✉ ❜✐Õt ✈Ị ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ❝đ❛ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ✈➱♥ ❝ß♥ ❦❤➳ ❤➵♥ ❝❤Õ✳ ❇➯♥ t❤➞♥ ❜➭✐ t♦➳♥ ♠➠ t➯ ❝➳❝ ♥❤ã♠ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ❝đ❛ ♠ét ➤➵✐ sè ▲✐❡ ❝❤♦ tr➢í❝ ❝ị♥❣ ❝❤Ø ❣✐➯✐ q✉②Õt ➤➢ỵ❝ tr➟♥ ♠ét Ýt ❝➳❝ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ❤♦➷❝ ❝❤Ø ❞õ♥❣ ❧➵✐ ë ✈✐Ư❝ ♠➠ t➯ sè ❝❤✐Ị✉ ❝đ❛ ❝➳❝ ♥❤ã♠ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉✳ ◆❣❛② tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ➤➡♥ ❣✐➯♥ ♥❤✃t ❧➭ ❝➳❝ ♥❤ã♠ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ H k (G, C) ✈➭ sè ❝❤✐Ị✉ ❝đ❛ ❝❤ó♥❣ ✭tø❝ ❧➭ ❝➳❝ sè ❇❡tt✐✮ ✈➱♥ tå♥ t➵✐ ♥❤✐Ò✉ ❝➞✉ ❤á✐ ♠ë✳ ▼ét sè ❦Õt q✉➯ tr♦♥❣ trờ ợ ị ý ố Pré ó r➺♥❣✿ ◆Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐ X∈G G ❧➭ ✉♥✐♠♦❞✉❧❛r✱ tø❝ ❧➭ tr(ad(X)) = 0, ✭✈Ý ❞ơ ♥❤➢ ❝➳❝ ➤➵✐ sè ❧ị② ❧✐♥❤✮ t❤× H k (G, C) = Hn−k (G, C) ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ G ❧➭ ➤➵✐ sè ▲✐❡ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣✱ tứ ột số ợ tr ị ột ❞➵♥❣ s♦♥❣ t✉②Õ♥ tÝ♥❤✱ ❜✃t ❜✐Õ♥ ✈➭ ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥✱ t❤× ✈✐Ư❝ ♠➠ t➯ ♥❤ã♠ ➤è✐ ➤å♥❣ ❞✐Ị✉ H (G, C) ✈➭ tÝ♥❤ sè ❝❤✐Ị✉ ❝đ❛ ♥ã trë ♥➟♥ t❤✉❐♥ ❧ỵ✐ ❤➡♥ ♥❤ê ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ➤➢ỵ❝ ➤➢❛ r❛ tr♦♥❣ ❬✽❪✳ ❈ơ t❤Ĩ ❤➡♥✱ t❛ sÏ t❤✉ ➤➢ỵ❝ ♥❤ã♠ H (G, C) ✈➭ sè ❝❤✐Ị✉ ❝đ❛ ♥ã t❤➠♥❣ q✉❛ ❤❛✐ ❝➳❝❤✿ ❤♦➷❝ ❧➭ ♠➠ t➯ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝➳❝ ➤➭♦ ❤➭♠ ♣❤➯♥ ①ø♥❣ ❝đ❛ trù❝ t✐Õ♣ ♥❤ã♠ ✈í✐ I ❧➭ H (G, C) ♥❤ê t♦➳♥ tö ❜ê δ 3− ❞➵♥❣ ❧✐➟♥ ❦Õt ✈í✐ G ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈➭ ❜➞② ❣✐ê ❝❤Ø ➤➡♥ ❣✐➯♥ ❧➭ G ❤♦➷❝ ❧➭ tÝ♥❤ δ = −{I, (., )} (., ) ❧➭ tÝ❝❤ s✉♣❡r ✲ Pss ợ ị ĩ tr (G ) ứ ❞➵♥❣ ➤❛ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ♣❤➯♥ ①ø♥❣ tr➟♥ G ✭①❡♠ ❬✸❪✮✳ ❱✐Ö❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ➤➵✐ sè ▲✐❡ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣ ♥ã✐ ❝❤✉♥❣ ✈➭ ♥❤ã♠ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ❝đ❛ ➤➵✐ sè ▲✐❡ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣ ♥ã✐ r✐➟♥❣ ➤❛♥❣ ➤➢ỵ❝ ♥❤✐Ị✉ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ q✉❛♥ t➞♠✳ ❱í✐ ♠♦♥❣ ♠✉è♥ t×♠ ❤✐Ĩ✉ ✈Ị ➤➵✐ sè ▲✐❡ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❝❤ä♥ ➤Ị t➭✐✿ ➤✐Ị✉ ◆❤ã♠ ➤è✐ ➤å♥❣ H (G, C) ❝ñ❛ ➤➵✐ sè ▲✐❡ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣ ❧➭♠ ➤Ị t➭✐ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ▼ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❧➭ ❞ù❛ ✈➭♦ t➭✐ ❧✐Ö✉ ❬✼❪ ✈➭ ❬✸❪✱ ➤ã ❧➭ ♥é✐ ❞✉♥❣ ❝ñ❛ ❤❛✐ ❜➭✐ ❜➳♦ ❜➭✐ ❜➳♦ ✧◆❡✇ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♦❢ ●r❛❞❡❞ ▲✐❡ ❆❧❣❡❜r❛s t♦ ▲✐❡ ❆❧❣❡❜r❛s✱ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ✧✱ ❏✳ ▲✐❡ ❚❤❡♦r② ▲✐❡ ❆❧❣❡❜r❛s ❛♥❞ ❈♦❤♦♠♦❧♦❣② P✐♥❝③♦♥ ✈➭ ❘✳ ❯s❤✐r♦❜✐r❛ ✭✷✵✵✼✮ ✈➭ ✧◆❤ã♠ ▲✐❡ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣ ❝➡ ❜➯♥ ✶✼ ✱ ♣♣ ✻✸✸ ✲ ✻✻✼ ❝ñ❛ t➳❝ ❣✐➯ ●✳ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ H (g, £) ❝đ❛ ❝➳❝ ➤➵✐ sè ✧✱ ❚➵♣ ❝❤Ý ❦❤♦❛ ❤ä❝ ➜❍❙P ❚P❍❈▼✱ ❙è ✹✼ ✱ tr✷✺ ✲ tr✸✻ ❝ñ❛ t➳❝ ❣✐➯ ❉➢➡♥❣ ▼✐♥❤ ❚❤➭♥❤ ✭✷✵✶✸✮ ➤Ĩ ➤ä❝ ❤✐Ĩ✉✱ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝❤ ♠➠ t➯ ♥❤ã♠ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ H (G, C) ✈➭ tÝ♥❤ sè ❝❤✐Ò✉ ❝ñ❛ ♥ã ❝❤♦ ♠ét sè ➤➵✐ sè ▲✐❡ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣ G ❝ơ t❤Ĩ✳ ✺ ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ✷✳ ◆é✐ ❞✉♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ✷✳✶✳ ❚r×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈Ị ➤➵✐ sè ▲✐❡✱ ❞➵♥❣ ❑✐❧❧✐♥❣ ❝đ❛ ♠ét ➤➵✐ sè ▲✐❡✱ ➤➵✐ sè ▲✐❡ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣✱ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ♣❤ơ ❤ỵ♣✱ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ➤è✐ ♣❤ơ ❤ỵ♣✱ tÝ❝❤ ♥ư❛ trù❝ t✐Õ♣ ❝đ❛ ♠ét ➤➵✐ sè ▲✐❡ ❜ë✐ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ➤è✐ ♣❤ơ ợ rì t ó ố ➤✐Ò✉ H (G, C) ✈➭ tÝ♥❤ dim(H (G, C)) sè ❝❤✐Ị✉ ❝đ❛ ♥ã✱ tr♦♥❣ ❤❛✐ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ❦❤✐ G ❧➭ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ✈➭ ➤➵✐ sè ▲✐❡ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣✳ ❱✐Ư❝ tÝ♥❤ t♦➳♥ tr➟♥ ❝❤ó♥❣ t➠✐ t✐Õ♥ ❤➭♥❤ tr➟♥ ♠ét sè ➤➵✐ sè ▲✐❡ ✈➭ ➤➵✐ s➠ ▲✐❡ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣ ❝ơ t❤Ĩ✳ ✸✳ ❚ỉ♥❣ q✉❛♥ ✈➭ ❝✃✉ tró❝ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ◆❣♦➭✐ ♣❤➬♥ ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉✱ ❑Õt ❧✉❐♥ ✈➭ ❚➭✐ ❧✐Ư✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ t❤× ♥é✐ ❞✉♥❣ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ợ trì tr ộ í tr♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ ❈❤➢➡♥❣ ✶✿ ➜➵✐ sè ▲✐❡ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈Ị ➤➵✐ sè ▲✐❡✱ ❞➵♥❣ ❑✐❧❧✐♥❣ ❝ñ❛ ♠ét ➤➵✐ sè ▲✐❡✱ ➤➵✐ sè ▲✐❡ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣✱ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ➤è✐ ♣❤ơ ❤ỵ♣ ❝đ❛ ♥❤ã♠ ▲✐❡ G tr♦♥❣ ➤➵✐ sè ▲✐❡ G, tÝ❝❤ ♥ö❛ trù❝ t✐Õ♣ ❝đ❛ ♠ét ➤➵✐ sè ▲✐❡ ❜ë✐ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ➤è✐ ♣❤ơ ❤ỵ♣✱✳✳✳✳ ❈ơ t❤Ĩ ♥é✐ ❞✉♥❣ ❝đ❛ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ➤➢ỵ❝ ❝❤✐❛ t❤➭♥❤ ❝➳❝ t✐Õt s❛✉✿ ✶✳✶✳ ➜➵✐ sè ▲✐❡✳ ✶✳✷✳ ➜➵✐ sè ▲✐❡ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣ ✶✳✸✳ ❚Ý❝❤ ♥ư❛ trù❝ t✐Õ♣ ❝đ❛ ♠ét ➤➵✐ sè ▲✐❡ ❜ë✐ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ➤è✐ ♣❤ơ ❤ỵ♣✳ ❈❤➢➡♥❣ ✷✿ ◆❤ã♠ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ H (G, C) ❝ñ❛ ➤➵✐ sè ▲✐❡ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣✳ ◆é✐ ❞✉♥❣ ❝❤Ý♥❤ ❝ñ❛ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❧➭ ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝❤ ♠➠ t➯ ♥❤ã♠ ➤è✐ ➤➠♥❣ ➤✐Ị✉ H (G, C) ❝đ❛ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ✈➭ ➤➵✐ sè ▲✐❡ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣ ❝ơ t❤Ĩ✳ ◆é✐ ❞✉♥❣ tr➟♥ ➤➢ỵ❝ ❝❤✐❛ t❤➭♥❤ ❝➳❝ t✐Õt s❛✉✿ ✷✳✶✳ ➜å♥❣ ➤✐Ị✉ ❝đ❛ ➤➵✐ sè ▲✐❡✳ ✷✳✷✳ ◆❤ã♠ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ❝đ❛ ➤➵✐ sè ▲✐❡ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ t➵✐ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❱✐♥❤ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❝đ❛ ❚❤➬② ❣✐➳♦ ❚❙✳ ◆❣✉②Ơ♥ ◗✉è❝ ❚❤➡✳ ◆❤➞♥ ❞Þ♣ t ợ tỏ ò í trọ ✈➭ ❜✐Õt ➡♥ ❚❤➬②✱ ➤➲ t❐♥ t×♥❤ ❣✐ó♣ ➤ì t➠✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ✻ ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ❚➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ➤➢ỵ❝ ❝➯♠ ➡♥ ❝➳❝ ❚❤➬② ✭❈➠✮ tr♦♥❣ ❈❤✉②➟♥ ♥❣➭♥❤ ➜➵✐ sè ✈➭ ▲ý t❤✉②Õt sè t❤✉é❝ ♥❣➭♥❤ ❚♦➳♥ ❝đ❛ ❱✐Ư♥ ❙➢ ♣❤➵♠ tù ♥❤✐➟♥✱ ❝➳❝ ❚❤➬② ✭❈➠✮ ➤➲ ❣✐➯♥❣ ❞➵② ❝➳❝ ❝❤✉②➟♥ ➤Ò✱ ❇❛♥ ●✐➳♠ ❤✐Ư✉ ✈➭ ❝➳❝ P❤ß♥❣ ❜❛♥ ❝❤ø❝ ♥➝♥❣ ❝đ❛ ❚r➢ê♥❣ ➜❍ ❱✐♥❤ ➤➲ t➵♦ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ t❤✉❐♥ ❧ỵ✐ ➤Ĩ t➳❝ ❣✐➯ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ♥❤✐Ư♠ ✈ơ ❝đ❛ ♠ét ❤ä❝ ✈✐➟♥ ❝❛♦ ❤ä❝✳ ❈➯♠ ➡♥ ❚r➢ê♥❣ ➜❍ ❙➭✐ ●ß♥ ➤➲ tỉ ❝❤ø❝ ✈➭ t➵♦ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❤ä❝ t❐♣ tèt ❝❤♦ t➳❝ ❣✐➯✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ➤➢ỵ❝ ❝➯♠ ➡♥ ❝➳❝ ❚❤➬② ✭❈➠✮✱ ❝➳❝ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ö♣ ♥➡✐ t➳❝ ❣✐➯ ➤❛♥❣ ❣✐➯♥❣ ❞➵② ✈➭ ❝➠♥❣ t➳❝ ➤➲ t➵♦ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ t❤✉❐♥ ❧ỵ✐✱ ❝ỉ ✈ị✱ ➤é♥❣ ✈✐➟♥ ✈➭ ❣✐ó♣ ➤ì t➳❝ ❣✐➯ tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ❧➭♠ ❧✉❐♥ ✈➝♥ tèt ♥❣❤✐Ö♣✳ ❈➯♠ ➡♥ sù s ủ ì ề t ỗ ự t t ữ ể t ợt q ó ❦❤➝♥✱ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ♥❤✐Ư♠ ✈ơ ❤ä❝ t❐♣ ❝đ❛ ♠×♥❤✳ ❳✐♥ tr➞♥ trä♥❣ ❦Ý♥❤ t➷♥❣ ●✐❛ ➤×♥❤ t❤➞♥ ②➟✉ ♠ã♥ q✉➭ t✐♥❤ t❤➬♥ ♥➭② ✈í✐ t✃♠ ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ♥❤✃t✳ ▼➷❝ ❞ï ➤➲ ❝ã ♥❤✐Ò✉ ❝è ❣➽♥❣ ♥❤➢♥❣ ❞♦ ♥➝♥❣ ❧ù❝ ❝ß♥ ♥❤✐Ị✉ ❤➵♥ ❝❤Õ✱ ♥➟♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❦❤➠♥❣ tr➳♥❤ ❦❤á✐ ♥❤÷♥❣ t❤✐Õ✉ sãt✳ ❚➳❝ ❣✐➯ r✃t ♠♦♥❣ ♥❤❐♥ ợ ữ ó ý ủ ọ ✈➭ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ư♣ ➤Ĩ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❝ã t❤Ĩ ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤✐Ö♥ tèt ❤➡♥✳ ◆❣❤Ö ❆♥✱ ♥❣➭② ✶✼ t❤➳♥❣ ✼ ♥➝♠ ✷✵✶✼ ❚➳❝ ❣✐➯ ❚r➢➡♥❣ ➜×♥❤ ❍➯✐ ❈❤➢➡♥❣ ✶ ➜➵✐ sè ▲✐❡ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣ ◆é✐ ❞✉♥❣ tr♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ❧➵✐ ♠ét ❝➳❝❤ ❝ã ❤Ư t❤è♥❣ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❝➡ ❜➯♥ ✈➭ ♥❤÷♥❣ ❦Õt q✉➯ ❝➬♥ t❤✐Õt ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ➤➵✐ sè ▲✐❡ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣ ♥❤➢✿ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ➤➵✐ sè ▲✐❡✱ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ❝♦♥✱ ✐➤➟❛♥✱ ➤➵✐ sè ▲✐❡ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣✱✳✳✳✱ ➤å♥❣ t❤ê✐ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ✈Ị tÝ❝❤ ♥ư❛ trù❝ t✐Õ♣ ❝đ❛ ♠ét ➤➵✐ sè ▲✐❡ ❜ë✐ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ➤è✐ ♣❤ơ ❤ỵ♣✳ ✶✳✶ ➜➵✐ sè ị ĩ ợ G = ợ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ♥❤ã♠ ▲✐❡ ♥Õ✉ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ s❛✉ t❤á❛ ♠➲♥✿ ✐✮ ✐✐✮ G ❧➭ ♠ét ♥❤ã♠✱ G ❧➭ ♠ét ➤❛ t➵♣ ❦❤➯ ✈✐✱ ✐✐✐✮ ❈➳❝ ➳♥❤ ①➵ tÝ❝❤ G × G −→ G; (x, y) −→ xy ✈➭ ➳♥❤ ①➵ ❧✃② ♣❤➬♥ tư ♥❣❤Þ❝❤ ➤➯♦ G −→ G; x −→ x−1 ❧➭ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ tr➡♥✳ ◆❤ã♠ ▲✐❡ ♥❤ã♠ ▲✐❡ G G ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ♥Õ✉ ♣❤Ð♣ t♦➳♥ ♥❤ã♠ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥✳ ❙è ❝❤✐Ị✉ ❝đ❛ ❝❤Ý♥❤ ❧➭ sè ❝❤✐Ị✉ ❝đ❛ ➤❛ t➵♣ ❦❤➯ ✈✐ ✼ G ❱× ♥❤ã♠ ▲✐❡ ✈õ❛ ❝ã ❝✃✉ tró❝ ❈❤➢➡♥❣ ✶✳ ✽ ➜➵✐ sè ▲✐❡ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣ ♥❤ã♠✱ ✈õ❛ ❧➭ ➤❛ t➵♣ ❦❤➯ ✈✐ ♥➟♥ t❛ ❝ã t❤Ĩ ➤➢❛ r❛ ♥❤✐Ị✉ ❝➠♥❣ ❝ơ ➤➵✐ sè✱ ❣✐➯✐ tÝ❝❤✱ t➠♣➠✱ ❤×♥❤ ❤ä❝ ✈✐ ♣❤➞♥✱✳✳✳ ➤Ĩ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝✃✉ tró❝ ❝đ❛ ♥❤ã♠ ▲✐❡✳ ❱Ý ❞ơ ✶✳ ❈❤♦ K = C ❧➭ tr➢ê♥❣ sè ♣❤ø❝✳ ❑❤✐ ➤ã ♥❤ã♠ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ tæ♥❣ q✉➳t GLn (C) = {A ∈ M atn (C)|det(A) = 0} ❧➭ ♠ét ♥❤ã♠ ▲✐❡✳ ◆❤ã♠ ❝♦♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ➤➷❝ ❜✐Öt SLn (C) = {A ∈ GLn (C)|det(A) = 1} ❝đ❛ GLn (C) ❝ị♥❣ ❧➭ ♠ét ♥❤ã♠ ▲✐❡✳ ❱Ý ❞ô ✷✳ ❈❤♦ K = C ❧➭ tr➢ê♥❣ sè ♣❤ø❝✳ ❳Ðt ♥❤ã♠ ❜✐Õ♥ ➤æ✐ ❆❢❢✐♥❡ G = Af f (C) = {ϕ : C −→ K|ϕ(x) = ax + b} a, b ∈ C; a = ❑❤✐ ➤ã Af f (C) ❧➭ ♠ét ♥❤ã♠ ▲✐❡✱ ➤➻♥❣ ❝✃✉ ✈í✐ ♥❤ã♠ ♥❤➞♥ ♠❛ a b tr❐♥ t❛♠ ❣✐➳❝ ❞➵♥❣ |a, b ∈ C, a = ✶✳✶✳✷✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❈❤♦ K ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣ ✈➭ G ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝t➡ tr➟♥ K ❑❤➠♥❣ ✈í✐ ❣✐❛♥ ✈❡❝t➡ G ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ➤➵✐ sè ▲✐❡ tr➟♥ K ❤❛② K− ➤➵✐ sè ▲✐❡ ♥Õ✉ tr➟♥ G ➤➢ỵ❝ tr❛♥❣ ♠ét ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ ❣ä✐ ❧➭ tÝ❝❤ ▲✐❡ [., ] : G × G −→ G (X, Y ) −→ [X, Y ] s❛♦ ❝❤♦ ❝➳❝ t✐➟♥ ➤Ò s❛✉ ➤➞② t❤á❛ ♠➲♥✿ L1 ❚Ý❝❤ ▲✐❡ ❧➭ t♦➳♥ tö s♦♥❣ t✉②Õ♥ tÝ♥❤✱ tø❝ ❧➭✿ [λX + µY, Z] = λ[X, Z] + µ[Y, Z], [X, λY + µZ] = λ[X, Y ] + µ[X, Z], ∀X, Y, Z ∈ G, ∀λ, µ ∈ K L2 ❚Ý❝❤ ▲✐❡ ♣❤➯♥ ①ø♥❣✱ tø❝ ❧➭✿ [X, Y ] = −[Y, X], [X, X] = 0, ∀X, Y ∈ G L3 ❚Ý❝❤ ▲✐❡ t❤á❛ ♠➲♥ ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❏❛❝➠❜✐✱ tø❝ ❧➭✿ [[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = 0, X, Y, Z ∈ G ❙è ❝❤✐Ị✉ ❝đ❛ ➤➵✐ sè ▲✐❡ G ❝❤Ý♥❤ ❧➭ sè ❝❤✐Ị✉ ❝đ❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝t➡ G ❈❤♦ G ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ị✉ tr➟♥ tr➢ê♥❣ K ●✐➯ sư sè ❝❤✐Ị✉ ❝đ❛ G ❧➭ n ❈✃✉ tró❝ ➤➵✐ sè ❈❤➢➡♥❣ ✶✳ ▲✐❡ tr➟♥ ✾ ➜➵✐ sè ▲✐❡ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣ G ❝ã t❤Ó ❝❤♦ ❜ë✐ tÝ❝❤ ▲✐❡ ❝ñ❛ tõ♥❣ ❝➷♣ ✈❡❝t➡ t❤✉é❝ ❝➡ së ➤➲ ❝❤ä♥ tr➢í❝ tr➟♥ G {e1 , e2 , · · · , en } ♥❤➢ s❛✉✿ n ckij ek , ≤ i < j ≤ n, cij ∈ K, [ei , ej ] := k=1 ❝➳❝ ❤Ö sè cij ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤➺♥❣ sè ❝✃✉ tró❝ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ➜➵✐ sè ▲✐❡ G ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ♥Õ✉ ✶✳✶✳✸✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❈❤♦ G ❧➭ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ✈➭ G tr♦♥❣ ❝➡ së ➤➢ỵ❝ ❝❤ä♥✳ [X, Y ] = 0, ∀X, Y ∈ G H ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝t➡ ❝♦♥ ❝đ❛ G ❑❤➠♥❣ H ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ❝♦♥ ❝ñ❛ G, ♥Õ✉ H ➤ã♥❣ ✈í✐ tÝ❝❤ ▲✐❡✱ tø❝ ❧➭✿ ∀X, Y ∈ H t❤× [X, Y ] ∈ H ❱Ý ❞ơ ✸✳ ❈❤♦ (A, ) ❧➭ ➤➵✐ sè ❦Õt ❤ỵ♣ tr➟♥ tr➢ê♥❣ C ị ĩ é t [, ] : A ì A −→ A, (X, Y ) −→ [X, Y ] = X.Y − Y.X, ∀(X, Y ) ∈ A × A ❑❤✐ ➤ã (A, [−, −]) M at(n, C) trë t❤➭♥❤ ♠ét ➤➵✐ sè ▲✐❡ tr➟♥ tr➢ê♥❣ ❝➳❝ ♠❛ tr➞♥ ✈✉➠♥❣ ❝✃♣ n ♣❤➬♥ tö tr➟♥ C ◆ã✐ r✐➟♥❣ t❛ ❝ã ➤➵✐ sè C ❧➭ ♠➠t ➤➵✐ sè ▲✐❡ ✈í✐ tÝ❝❤ ▲✐❡ ➤➢ỵ❝ ①➳❝ ➤✐♥❤✿ [A, B] = A.B − B.A, ∀A, B ∈ M at(n, C), tr♦♥❣ ➤ã ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ ✬✬✳✬✬ ❧➭ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥✳ ➜➵✐ sè M at(n, C) ➤➢ỵ❝ ❦ý ❤✐Ư✉ ❧➭ gl(n, C) ❤❛② ➤➡♥ ❣✐➯♥ ❧➭ gl(n) ❱Ý ❞ô ✹✳ ❈❤♦ V ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝t➡ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ị✉ tr➟♥ ❝➳❝ t♦➳♥ tư t✉②Õ♥ tÝ♥❤ tr➟♥ C ❳Ðt A = End(V ) ➤➵✐ sè C− ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝t➡ V ❑❤✐ ➤ã End(V ) trë t❤➭♥❤ ♠ét ➤➵✐ sè ▲✐❡✱ ✈í✐ t✐❝❤ ▲✐❡ ➤➢ỵ❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤✿ [f, g] = g.f − f.g, ∀f, g ∈ End(V ), tr♦♥❣ ➤ã ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ ✬✬✳✬✬ ❧➭ ♣❤Ð♣ ❤ỵ♣ t❤➭♥❤ ❤❛✐ t♦➳♥ tư t✉②Õ♥ tÝ♥❤ tr➟♥ ♥➭② ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➵✐ sè ▲✐❡ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ tæ♥❣ q✉➳t✳ ❚❛ ✈✐Õt ❦❤✐ ❤✐Ó✉ A ➤å♥❣ ♥❤✃t gl(V ) ❧➭ ♠ét ➤➵✐ sè ▲✐❡✳ ◆Õ✉ t❛ ❝è ➤Þ♥❤ ♠ét ❝➡ së ❝đ❛ gl(V ) ✈í✐ gl(n, C) ➤➵✐ sè ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ ✈✉➠♥❣ ❝✃♣ n V t❤❛② ❝❤♦ V, ➜➵✐ sè End(V ) ❦❤✐ ➤ã t❛ ❝ã t❤Ĩ ♣❤➬♥ tư tr➟♥ C, ✈í✐ ❈❤➢➡♥❣ ✷✳ ✸✶ ◆❤ã♠ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ H (G, C) ❝ñ❛ ➤➵✐ sè ▲✐❡ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣ ✈➭ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ t♦➳♥ tư ➤è✐ ❜ê δk : C k (G, V ) −→ C k+1 (G, V ) ♥❤➢ s❛✉✿ k (−1)i ρ(Xi )(f (X0 , Xi , , Xk )) δk f (X0 , X1 , , Xk ) = i=0 k (−1)i+j f ([Xi , Xj ], X0 , Xi , , Xj , , Xk ) + i