của đại số Lie toàn phương
2.1 Đối đồng điều của đại số Lie
2.1.1. Định nghĩa (xem [8]) Cho G là đại số Lie, V là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên trường số phứcC vàρ :G −→ End(V)là một biểu diễn củaG trong
V, tức là
ρ([X, Y]) = [ρ(X), ρ(Y)], ∀X, Y ∈ G.
Nói một cách khác,ρlà một đồng cấu đại số Lie từGvào đại sốEnd(V)chứa các đồng cấu trênV.Trong trường hợp này,V được gọi làG−module. Với mỗi số nguyên
k ≥ 0, ta ký hiệu Ck(G, V) là không gian các ánh xạ k− tuyến tính phản xứng từ
G ì G ì ã ã ã ì G vàoV nếuk ≥ 1và C0(G, V) = V.ĐặtC(G, V) = ∞ P k=0 Ck(G, V) 30
và định nghĩa toán tử đối bờ δk : Ck(G, V) −→ Ck+1(G, V) như sau: δkf(X0, X1, . . . , Xk) = k X i=0 (−1)i ρ(Xi)(f(X0, . . .Xi, . . . , Xk))b + k X i<j (−1)i+jf([Xi, Xj], X0, . . .Xbi, . . . ,Xbj, . . . , Xk)
vói mọi f ∈ Ck(G, V);X0, . . . , Xk ∈ G và ở đây ký hiệu Xib để chỉ Xi khơng có trong cơng thức.
Ta có thể kiểm tra đượcδk◦δk−1 = 0.Thông thường ta ký hiệuδ = δknếu không quan tâm đến chỉ số. Khi đóδ thỏa mãn tính chấtδ2 = 0.Ta nói rằngf ∈ Ck(G, V) là mộtk−đối chu trình nếuδf = 0vàf là mộtk−đối bờ nếu cóg ∈ Ck+1(G, V) sao cho f = δg.
Ký hiệu Zk(G, V) là tập hợp các k−đối chu trình và Bk(G, V) là tập hợp các
k− đối bờ, tức là Zk(G, V) = Kerδk và Bk(G, V) = Imδk−1. Từ tính chất ở trên δ2 = 0 chứng tỏ Bk(G, V) ⊂ Zk(G, V) và do đó ta có khơng gian thương
Zk(G, V)/Bk(G, V).Khơng gian thương này thường được ký hiệu là Hk(G, V) và được gọi là nhóm đối đồng điều thứ k của G với hệ số trong V. Mỗi phần tử thuộc
Hk(G, V) cũng được gọi là một k−chu trình (xem [3]).
Hiện nay sự hiểu biết về nhóm đối đồng điều của các đại số Lie vẫn khá hạn chế. Bài toán được đặt ra ở đây là tìm cách mơ tả tường minh các nhóm đối đồng điều của một đại số Lie cho trước hoặc ít nhất là tính được chiều của Hk(G, V). Một cơng thức thường được sự dụng để tính số chiều củaHk(G, V) (xem [3]) là:
dim Hk(G, V)= dim(Kerδk−1) +dim(Kerδk)−m n k −1
!
ở đâyn = dim(G), m = dim(V) và n k−1
= n(n−1)ã ã ã(n−k+ 2) (k−1)(k−2)ã ã ã2.1
Ví dụ 1. Trường hợp đơn giản nhất X ∈ C0(G, V) = V thì δX(Y) = ρ(Y)(X). Nếu f ∈ C1(G, V) ={f :G −→ V} thì
Ví dụ 2. Giả sử θ ∈ C2(G, V) là một 2− chu trình. Khi đó θ : G ì G −→ V là một ánh xạ song tuyến tính phản xứng, đồng thời vớiX0, X1, X2 ∈ G, ta có
δθ(X0, X1, X2) = ρ(X0)(θ(X1, X2)) +ρ(X1)(θ(X2, X0)) +ρ(X2)(θ(X0, X1)) − θ([X0, X1], X2)−θ([X1, X2], X0)−θ([X2, X0], X1) = 0 Một cách tương tự, ta có δθ(X0, X1, X2, X3) = ρ(X0)(θ(X1, X2, X3)) −ρ(X1)(θ(X0, X2, X3)) + ρ(X2)(θ(X0, X1, X3))−ρ(X3)(θ(X0, X1, X2)) −θ([X0, X1], X2, X3) + θ([X0, X2], X1, X3)−θ([X0, X3], X1, X2)−θ([X1, X2], X0, X3) + θ([X1, X3], X0, X2)−θ([X2, X3], X0, X1) 2.1.2. Trường hợpV = G và ρ = ad.
Trong thực tế, người ta thường xét cho từng trường hợp cụ thể của V và ρ.
Chẳng hạn, nếu V = G và ρ = ad là biểu diễn phụ hợp của G ở trong G, tức là:
ρ(X)(Y) = [X, Y].Theo [7], nếu D : G −→ G là một ánh xạ tuyến tính thì
δD(X0, X1) = [D(X0), X1] + [X0, D(X1)]−D([X0, X1]).
Do đóD là 1− đối chu trình khi và chỉ khi
[D(X0), X1] + [X0, D(X1)]−D([X0, X1]) = 0,
tức D là một đạo hàm của G. Bây giờ ta sẽ xét xem trong trường hợp nào thì D là một1−đối bờ. Giả sử tồn tạiX ∈ C0(G,G) =G sao choD = δ(X) = −ad(X). Điều này có nghĩa D là một 1−đối bờ nếu và chỉ nếu D là một đạo hàm trong. Do đó nhóm đối đồng điềuH1(G,G) = Der(G)/ad(G) chính là dùng để mơ tả khơng gian các đạo hàm ngồi củaG.
Ví dụ 3. Ta sẽ xét một trường hợp cụ thể tính tốn các1−đối chu trình và1−đối bờ của đại số Lie giải được2chiều G = span{X, Y}, với tích Lie[X, Y] = Y,ở đây ta vẫn dữ điều kiệnV = G vàρ = ad.Như đã trình bày ở trên, việc tính các1−đối chu trình và1−đối bờ tương đương với việc tính các đạo hàm và đạo hàm trong của
G.GọiDlà một đạo hàm củaG,giả sửD(X) = aX+bY vàD(Y) =cX+dY với
a, b, c, d ∈ C.Nói cách khác, ma trận củaD đối với cơ sở{X, Y}là D =
a c b d
.
Khi đó ma trận của các đạo hàm trong là:ad(X) =
0 0 0 1 và ad(Y) = 0 0 −1 0 .
Ta có D(Y) = D([X, Y]) = [D(X), Y] + [X, D(Y)]. Do đó ta thu được kết quảa = c = 0 và D =
0 0
b d
= ad(dX +bY). Điều này chứng tỏ mọi đạo hàm củaG đều là đạo hàm trong. Vậy H1(G,G) ={0}.
Ví dụ 4. NếuG là đại số Lie sl2(C) thì H1(G,G) = {0}.
Chứng minh. GọiE = {e1, e2.e3} là một cơ sở của sl2(C) để sao cho: [e1, e2] = e3,[e1, e3] = −2e1 và [e2, e3] = 2e2.
Giả sử D : G −→ G là một tự đồng cấu của G có ma trận đối với cơ sở đã cho là
D = "α1 α4 α7 "α1 α4 α7 α2 α5 α8 α3 α6 α9 # .
Ta có D(e3) =D([e1, e2]) = [D(e1), e2] + [e1, D(e2)]. Điều này dẫn tới:
α7+ 2α6 = 0, α8+ 2α3 = 0 và α9−α5 −α1 = 0.
Tính một cách tương tự choD([e1, e3])vàD([e2, e3])ta thu đượcα9 = α2 = α4 = 0 và do đó D = "α1 0 α7 0 α5 α8 α3 α6 0 # = α6ad(e1)−α3ad(e2) + 1 2α1ad(e3). Vậy H1(G,G) = {0}.
Ví dụ 5. NếuG = N4(C) là đại số Lie filifrom 4chiều thì dimH1(G,G) = 4.
Chứng minh. Giả sử E = {e1, e2.e3, e4} là một cơ sở của G = N4(C) sao cho [e1, e2] = e3,[e1, e3] = e4. Trước hết ta mô tả chi tiết đạo hàm D của G như sau. Giả sửD có ma trận làD = "α1 L α3 M O M α4 L α6 # . Bằng cách tính tốn tương tự ví dụ trên ta có D = α1 0 0 0 α1 α5 0 0 α3 α6 α1+α5 0 α4 α7 α6 2α1 +α5
hàm củaG có số chiều bằng 7và sinh bởi cơ sở{D1, D2, . . . , D7}vàD = 7
P
i=1
αiDi.
Mặt khác, theo [7] ta cóD6 = ad(e1), D3 = −ad(e2) và D4 = −ad(e3). Vậy H1(G,G) = span{[D1],[D2],[D5],[D7]}và dim H1(G,G)
= 4.
2.1.3. Trường hợpV = G∗ và ρ = ad∗.
Bây giờ ta xét trường hợp khi V = G∗ là không gian đối ngẫu của G và ρ = ad∗
là biểu diễn đối phụ hợp của G trong G∗, tức là ρ(X)(f) = −f ◦ad(X). Giả sử
θ ∈ C2(G,G∗) là một 2−đối chu trình. Khi đó ta có
θ(X0, X1)◦ad(X2) + θ(X1, X2)◦ad(X0) +θ(X2, X0)◦ad(X1) + θ([X0, X1], X2) +θ([X1, X2], X0)
+ θ([X2, X0], X1) = 0
Một ứng dụng trực tiếp của trường hợp này chính là phương pháp mở rộng T∗
được M. Bordemann đưa ra trong lý thuyết các đại số Lie toàn phương vào năm 1997 (xem [6]) như sau. ChoG là một đại số Lie và không gian đối ngẫu G∗ củaG là một
G −module tương ứng với phép biểu diễn đối phụ hợp ad∗.Xét ánh xạ song tuyến tính θ : G ì G −→ G∗ và định nghĩa trên khơng gian vectơ T0∗(G) = G ⊕ G∗ phép tốn như sau:∀X, Y ∈ G và ∀f, g ∈ G∗, thì
[X +f, Y +g] = [X, Y] +ad∗(X)(g)−ad∗(Y)(f) + θ(X, Y).
Khi đó theo [6] ta có mệnh đề sau.
2.1.3.1. Mệnh đề.T0∗(G)là một đại số Lie nếu và chỉ nếu θlà một2−đối chu trình. Chứng minh. Thật vậy∀X, Y ∈ G và ∀f, g ∈ G∗ ta có:
[X +f, Y + g] = [X, Y] +ad∗(X)(g)−ad∗(Y)(f) +θ(X, Y)
[Y +g, X + f] = [Y, X] +ad∗(Y)(Y)−ad∗(X)(g) +θ(X, Y). Do đóθ(X, Y) = −θ(Y, X).
Mặt khác áp dụng cơng thứcad∗(X)(f) = −f ◦adG(X),ta có [[X + f, Y +g], Z + h] = [[X, Y] +f ◦adG(Y) − g ◦adG(X) + θ(X, Y), Z +h] = [[X, Y], Z] +f ◦adG(Y)◦adG(Z) − g ◦adG(X)◦adG(Z) +θ(X, Y)◦adG(Z) − h◦adG([X, Y]) +θ([X, Y], Z) Tương tự [[Y +g, Z +h], X + f] = [[Y, Z], X] +g◦adG(Z)◦adG(X) − h◦adG(Y)◦adG(X) +θ(Y, Z)◦adG(X) − f ◦adG([Y, Z]) +θ([Y, Z], x) và [[Z +h, X +f], Y + g] = [[Z, X], y] +h◦adG(X)◦adG(Y) − f ◦adG(Z)◦adG(Y) +θ(Z, X)◦adG(Y) − g ◦adG([Z, X]) +θ([Z, X], y) Mà [[X, Y], Z] = [[Y, Z], X] = [[Z, X], Y] = 0 và adG([X, Y]) = adG(X)◦adG(Y)−adG(Y)◦adG(X) nên [[X+f, Y +g], Z+h] + [[Y +g, Z+h], X+f] + [[Z+h, X+f], Y +g] = 0. Suy ra θ(X, Y)◦adG(Z) + θ([X, Y], Z) +θ([Y, Z]◦adG(Z) + θ([Y, Z], X) + θ(Z, X)◦adG(Y) +θ([Z, X], Y) = 0
Trong trường hợp này T0∗(G) được gọi là mở rộng T∗ củaG bởi θ.
2.1.3.2. Mệnh đề. Nếu ánh xạ song tuyến tínhθ : G ì G −→ G∗ thỏa mãn điều kiên cyclic, có nghĩa làθ(X, Y)Z = θ(Y, Z)X,∀X, Y, Z ∈ G thìT0∗(G) trở thành một đại số Lie tồn phương với dạng song tuyến tính B được xác định như sau:
B(X +f, Y + g) = f(Z) +g(Y),∀X, Y ∈ G và ∀f, g ∈ G∗.
Chứng minh. +) Việc kiểm tra tính đối xứng và khơng suy biến của B hoàn toàn tương tự phép chứng minh Định lý 1.3.3.3. Do đó ta chỉ cần kiểm tra tính bất biến củaB, Thật vậy, ∀X, Y, Z ∈ G và ∀f, g, h ∈ G∗,ta có B([X +f, Y +g], Z +h) = B([X, Y] +ad∗(X)(g)−ad∗(Y)(f) +θ(X, Y), Z +h) = (ad∗(X)(g)−ad∗(Y)(f)) +θ(X, Y)(Z) +h([X, Y]) = (ad∗(X)(g)−ad∗(Y)(f))(Z) +θ(Z, Y)(Z) +h([X, Y]) Tương tự B(X +f,[Y +g, Z +h]) = B([Y +g, Z +h], X +f)
= (ad∗(Y)(h)−ad∗(Z)(g))(X) +θ(Y, Z)(X) +f([Y, Z]) Theo Định lý 1.3.3.3 và vìθ(X, Y)Z = θ(Y, Z)X. Nên
B([X +f, Y +g], Z +h) = B(X +f,[Y +g, Z +h])
Vậy B bất biến.
Ví dụ 6. Xét G = span{X, Y} là đại số Lie giải được 2− chiều với tích Lie [X, Y] = Y. Giả sử θ là một 2− đối chu trình cyclic. Vì θ phản xứng nên
θ(X, Y) = θ(Y, X) = 0. Mặt khác θ : G ì G −→ G∗ là ánh xạ song tuyến tính nên ta có thể giả sử θ(X, Y) =aX∗ +bY∗, với a, b ∈ C.
Mặt khác, theo [8], ta có θ(X, Y)X = θ(X, X)Y = 0nên a = 0. Tương tự ta cũng tính được b = 0. Do đó θ(X, Y) = 0. Điều này chứng tỏ mọi 2− chu trình cyclic của G đều tầm thường.
Ví dụ 7. Xét đại số Lie Heisenberg3− chiều G3,1 với tích Lie [X, Y] = Z. Nếu θ
là một 2− đối chu trình cyclic khơng tầm thường, ta giả sử
θ(X, Y) = aX∗+ bY∗+cZ∗, với a, b, c ∈ C.
Từ θ(X, Y)X = θ(X, X)Y = 0 nên a = 0. Ta cũng có b = 0. Do đó
θ(X, Y) =cZ∗.
Tương tự ta có θ(Y, Z) = aX∗ và θ(Z, X) =bY∗ với a, b ∈ C.Mặt khác theo tính chất cyclic của θ ta có: θ(X, Y)Z = θ(Y, Z)X = θ(Z, X)Y. Vậy từ đây ta thu được a = b = c = λ 6= 0 và do đó
θ(X, Y) = λZ∗, θ(Y, Z) =λX∗, θ(Z, X) =λY∗.
Vấn đề còn lại, ta dễ dàng kiểm tra được rằng θ được xác định như trên là 2− đối chu trình.
2.1.4. Trường hợpV = C.
Một trong những trường hợp đáng chú ý nhất của đối đồng điều đại số Lie là khiV
một chiều, tức làV = C.Khi đóC0(G,C) = Cvà Ck(G,C)là khơng gian các ánh xạk−tuyến tính phản xứng từG ì G ì ã ã ã ì G vàoC,tức làCk(G,C) = Λk(G∗). Ta cũng cóρ(X) = 0,∀x ∈ G và do đó δkf(X1, X2, . . . , Xk) = k X i<j (−1)i+j f([Xi, Xj], X0. . . . ,Xi, . . . ,b Xj, . . . , Xkb )
Trong trường hợp này việc mô tả đối đồng điều Hk(G,C) cũng như tính tốn số chiều dim Hk(G,C) là một bài toán đang được nhiều người quan trâm. Trong khuôn khổ của luận văn này chúng tôi sử dụng các kết quả đã có trong [8] để tính tốn cho một vài đại số Lie cụ thể thơng qua một số ví dụ để minh họa.
Ví dụ 8. Xét đại số LieG = sl2(C). Khi đó H2(G,C) ={0}
Chứng minh. Ta lấyω ∈ C2(G,C). Nếu ω ∈ Z2(G,C) thì
ở đây i, j, k nhận các các giá rị 1,2,3 giống như ở trong Ví dụ 4. Khơng mất tính tổng qt ta xét(i, j, k) = (1,2,3). Khi đó ta có
ω([e1, e2], e3)−ω([e1, e3], e2) +ω([e2, e3], e1) = 0.
Điều này dẫn đến
ω(e3, e3) + 2ω(e1, e2) + 2ω(e2, e1) = 0,
do đó ∀ω ∈ C2(G,C) thì ω ∈ Z2(G,C). Mặt khác, vì {[e1, e2],[e1, e3],[e2, e3]} tạo thành một cơ sở của đại số Lie G nên ∀ω ∈ C2(G,C) ta ln tìm được f ∈ G
đểω(ei, ej) = f([ei, ej]). Điều này chứng tỏB2(G,C) = Z2(G,C). Do đóH2(G,C) = {0}.
Ví dụ 9. Xét G = N4(C) là đại số Lie filiform 4− chiều sinh bởi cơ sở
E = {e1, e2, e3, e4} sao cho [e1, e2] = e3,[e1, e3] = e4. Khi đó đối đồng điều
H2(G,C) có số chiều bằng2. Chứng minh. Thật vậy, từ đẳng thức
ω([e1, e2], e3)−ω([e1, e3], e2) +ω([e2, e3], e1) = 0
suy ra ω(e2, e4) = 0. Tương tự ta lấy (i, j, k) = (1,2,4) ta được ω(e3, e4) = 0.
Do đó Z2(G,C) = {ω12, ω13, ω14, ω23}, ở đây ωij(ei, ej) = −ωij(ej, ei) = 1, các trường hợp còn lại bằng0. Mặt khác, nếu ta lấy f ∈ G∗ = span{e∗
1, e∗2, e∗3, e∗4} thì ta nhận được 1 = ω12(e1, e2) = ω3∗([e1, e2]) và 1 = ω13(e1, e3) =ω4∗([e1, e3]) và do đóB2(G,C) = {ω12, ω13}. Điều này chứng tỏH2(G,C) = {[ω14],[ω23]}. Vậy dim H2(G,C) = 2.