Chuyên đề bất đẳng thức môn toán THCS (full, chất lượng)

CHUN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC MƠN TỐN THCS MỤC LỤC CÁC CHỦ ĐỀ DẲNG THỨC CHỦ ĐỀ 1: CÁC BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BỔ ĐỀ THƯỜNG GẶP A- Tính chất bất đẳng thức 1.1 Tính chất bắc cầu Với số thực a,b,c: Nếu a > b b > c a > c Nếu a < b b < c a < c 1.2 Tính chất liên hệ phép cộng phép trừ Với số thực a,b,c : Nếu a > b a ± c > b ± c Nếu a < b a ± c < b ± c 1.3 Tính chất liên hệ phép nhân phép chia: Với số thực a, b, c thỏa mãn a > b : a c Nếu c > ac > bc Nếu c = ac =bc a c Nếu c < ac < bc Nếu a > b ab > a a < > b c b c < b b Nếu a > b ab < > Với số thực a, b,c ,d thỏa mãn a > b c > d Nếu Nếu Nếu 2.1 a > b > ⇒ ac > bd  c > d > b < a < ⇒ ac < bd  d < c < a > b > ⇒ ad < bc  d < c < Phương pháp biến đổi tương đương bổ đề thường gặp Phương pháp biến đổi tương đương Phương pháp biến đổi tương đương phương pháp thường dùng để chứng minh bất đẳng thức Muốn sử dụng thành thạo phương pháp biên đổi tương đương để chứng minh bất đẳng thức cần ghi nhớ khái niệm, định lý tính chất bất đẳng thức để sử dụng vào phép biến đổi tương đương ≥ Để chứng minh bất đẳng thức A B thường dùng phương pháp xét hiệu, cụ thể xét bổ đề đây: 2.2 Các bổ đề thường gặp làm bất đẳng thức Bổ đề 1.1 Cho a,b hai số thực Chứng minh : 4ab ≤ ( a + b) ≤ a b2 2( + ) Chứng minh Thực xét hiệu , ta được: ( a + b) − 4ab = a2 b2 − + 2ab + a2 − 4ab = b2 2ab + = ( a − b) ≥ ∀ ( a,b) ⇒ ( a + b) ≥ 4ab Thực xét hiệu, ta : 2( ⇒ a b − ( a + b) + 2( ) =2 a b ≥ ( a + b) + a2 +2 b2 − a − 2ab −b = ( a − b) ≥ ∀ ( a,b) ) ≤ ( a + b) ≤ a b2 Vậy 4ab 2( + ) Đẳng thức xảy : a = b a + b2  a + b  ≥ ÷   Lời bình : Ta viết dạng : Bồ đề 1.2 Cho a,b,c số thực Chứng minh : (ab + bc+ ca) ≤ ( a + b + c) ab ≤ 3( Chứng minh ( a + b) ≤ a + b2 + c ) Thực xét hiệu ta được: ( a + b + c) − (ab + bc+ ca)= ( a − b ) + (b − c ) + (c − a) ≥    ⇒ ( a + b + c) ≥ (ab + bc+ ca) Thực xét hiệu ta được: 3( ⇒ a + b + c − ( a + b + c) ) a +b +c 3( 2 ) = ≥ ( a + b + c) Vậy : 3(ab+bc+ca) ( a − b) (b − c) (c − a )2 ≥ + + ≤ a + b2 + c2 2 ≤ ( a + b + c) 3( ) 0, ∀ a,b,c Đẳng thức xảy : a = b = c Lời bình: Ta viết dạng : ab + bc + ca ≤ (a + b + c) a b ≥ a +b Bồ đề 1.3: Cho a, b > Chứng minh : + Chứng minh Thực xét hiệu , ta được: a + b − a+b = a+b ab − a + b = ( a + b) − 4ab a+b = ( a − b) ≥0 a+b ∀ Chứng minh Thực xét hiệu ta được: Thực xét hiệu ta được: Vậy: Đẳng thức xảy a=b=c; Lời bình: Ta viết dạng: Bổ đề 1.3: Cho a, b >0 chứng minh rằng: Chứng minh Thực xét hiệu ta được: Đẳng thức xảy Lời bình: Ta viết dạng: Bổ đề 1.4: Cho a,b,c > chứng minh rằng: Chứng minh Xét Xét hiệu Tương tự: Vậy: Đẳng thức xảy Lời bình: Ta viết dạng Mở rộng: Bổ đề 1.5 Cho Chứng minh rằng: Chứng minh Đẳng thức xảy ; Xét hiệu: , a,b,>0 Đẳng thức xảy a = b; Vậy: Lời bình: Hồn tồn tương tự ta có: Bổ đề 1.6 Cho Chứng minh rằng: Chứng minh Thực xét hiệu ta được: Đẳng thức xảy a=b; Vậy: Lời bình: Tương tự ta có Bổ đề 1.7 Cho Chứng minh rằng: Chứng minh Xét hiệu, ta được: Đẳng thức xảy a = b; Bổ đề 1.8 Cho Chứng minh rằng: Chứng minh Ta đặt Ta cần chứng minh: Thật vậy, ta có:    Đẳng thức xảy Ngoài ra, độc giả tham khảo cách chứng minh khách sau: Sử dụng bổ đề 1.7 ta có:  Đẳng thức xảy Bổ đề 1.9 Cho số thực dương, chứng minh rằng: Chứng minh Sử dụng bổ đề 1.8 ta có:  Vậy: Đẳng thức xảy Bổ đề 1.10 Cho a.b,c số thực dương Chứng minh rằng: Chứng minh: ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = (a 2b + a 2c) + (b2 a + b 2c) + (c a + c 2b) + 2abc Ta có: Ta có: ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) = (a 2b + a 2c) + (b a + b 2c) + (c a + c2b) + 3abc ⇒ (a + b)(b + c)(c + a ) = ( a + b + c)(ab + bc + ca) − abc Mặt khác, theo bổ đề 1.9 ta có: ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) ≥ 9abc  ⇒  − abc ≥ − ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) 9 ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) Vậy: Đẳng thức xảy khi: a=b=c Bổ đề 1.11 Cho a,b số thực không âm Chứng minh rằng: a3 + b3 a+b ≥( ) 2 Chứng minh: Thực xét hiệu, ta 3 a + b3 a + b 4(a + b3 ) − (a + b)3  a + b − ab(a + b)  −( ) = = ≥0 2 8 Vì theo bổ đề 1.6 ta có: a3+b3 ≥ ab(a+b) a + b3 a+b ≥( ) 2 Vậy: Đẳng thức khi: a=b a + b3 ≥ ( a + b) Lời bình: Ta viết dạng : Bổ đề 1.12 Cho a,b hai số thực dương Chứng minh rằng: 1 + 2≥ a b ( a + b) Chứng minh: Ta có: 1 + 2≥ ≥ a b ab (a + b) <  ab ≤ (a + b) ⇒ ≥ ⇔ ≥ ab (a + b) ab (a + b) vì: Đẳng thức xảy khi: a=b Bổ đề 1.13 Cho ab ≥ Chứng minh rằng: 1 + ≥ 2 + a + b + ab Chứng minh: Thực xét hiệu, ta được: 1 + − 2 + a + b + ab 1 1 a(b − a ) b(a − b ) =( − )+( − )= + 2 + a + ab + b + ab (1 + a )(1 + ab) (1 + b )(1 + ab)  b(1 + a ) − a (1 + b )  (ab − 1) = ( a − b)  = ( a − b)  2 (1 + a )(1 + b )(1 + ab)  (1 + a )(1 + b )(1 + ab)  Vậy với ab ≥1 1 + ≥ 2 + a + b + ab 1 + ≤ 2 + a + b + ab Lời bình: Với -1< ab ≤1 thì: Bổ đề 1.14 Cho a,b hai sô thực dương minh rằng: 1 + ≥ 2 (1 + a) (1 + b) + ab Chứng Chứng minh: Thực phép biến đổi tương đương, ta có: ( a + 1) + (b + 1) ≥ (ab + a + b + 1) ab + ⇔  (a + 1) + (b + 1)  ( ab + 1) ≥ (ab + a + b + 1) ⇔ ( a + b + 2a + 2b + 2)(ab + 1) ≥ (ab + a + b) + 2(ab + a + b) + Mặt khác, ta lại có: (a + b + 2a + 2b + 2)(ab + 1) = (a 3b + ab + 2a 2b + 2ab + 2ab) + (a + b + 2a + 2b + 2) Ta có được: (ab+a+b)2+2(ab+a+b)+1= a2b2 + a2 + b2 +2a2b + 2ab2+ 4ab +2a +2b +1 Thực xét hiệu, ta được: (a2 + b2 +2a+ 2b +2)(ab + 1) - [(ab+a+b)2+2(ab+a+b)+1] = a3b+ab3+1-2ab-a2b2 = ab(a2-2ab+b2)+(a2b2-2ab+1) = ab(a-b)2+(ab-1)2≥0, với a,b>0 Đẳng thức xảy khi: a=b=1 Lời bình: Ta sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh (độc giả tham khảo chủ đề số 5) Bất đẳng thức thường gặp 3.1.Bất đẳng thức AM-GM (thường gọi bất đẳng thức Cauchy) 3.1.1 Dạng tổng quát (n số không âm) Cho a1a2 , an , ≥ 0, ta có a1 + a2 + + an n ≥ a1 , a2 , an n a1 = a2 = = an , Đẳng thức xảy khi: 3.1.2.Dạng cụ thể (2 số, số không âm) a+b ≥ ab Cho a,b≥0 ta có: Đẳng xảy khi: a=b a+b+c ≥ abc Cho a,b,c ≥0 ta có: Đẳng thức xảy khi: a= b = c (Cách chứng minh bất đẳng thức trên, độc giả xem lại bổ đề 1.7 1.8) 3.1.3 Các ví dụ minh họa Ví dụ 1.1 Cho a,b,c số thực Chứng minh rằng: (a2+b2)(b2+c2)(c2+a2)≥8a2b2c2 Chứng minh: Sai lầm hay gặp: a + b ≥ 2ab  2 2 2 2 2 b + c ≥ 2bc ⇒ (a + b ) (b + c )(c + a ) ≥ 8a b ac c + a ≥ 2ca  (sai) Bổ đề 1.10 Cho a.b,c số thực dương Chứng minh rằng: Chứng minh: ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = (a 2b + a 2c) + (b2 a + b 2c) + (c a + c 2b) + 2abc Ta có: Ta có: ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) = (a 2b + a 2c) + (b a + b 2c) + (c a + c2b) + 3abc ⇒ (a + b)(b + c)(c + a ) = ( a + b + c)(ab + bc + ca) − abc Mặt khác, theo bổ đề 1.9 ta có: ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) ≥ 9abc  ⇒  − abc ≥ − ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) 9 ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) Vậy: Đẳng thức xảy khi: a=b=c Bổ đề 1.11 Cho a,b số thực không âm Chứng minh rằng: a3 + b3 a+b ≥( ) 2 Chứng minh: Thực xét hiệu, ta 3 a + b3 a + b 4(a + b3 ) − (a + b)3  a + b − ab(a + b)  −( ) = = ≥0 2 8 Vì theo bổ đề 1.6 ta có: a3+b3 ≥ ab(a+b) a + b3 a+b ≥( ) 2 Vậy: Đẳng thức khi: a=b a + b3 ≥ ( a + b) Lời bình: Ta viết dạng : Bổ đề 1.12 Cho a,b hai số thực dương Chứng minh rằng: 1 + 2≥ a b ( a + b) Chứng minh: Ta có: 1 + 2≥ ≥ a b ab (a + b) (a + b) <  ab ≤ ⇒ ≥ ⇔ ≥ ab (a + b) ab (a + b) vì: Đẳng thức xảy khi: a=b Bổ đề 1.13 Cho ab ≥ Chứng minh rằng: 1 + ≥ 2 + a + b + ab Chứng minh: Thực xét hiệu, ta được: 1 + − 2 + a + b + ab 1 1 a(b − a ) b(a − b ) =( − )+( − )= + 2 + a + ab + b + ab (1 + a )(1 + ab) (1 + b )(1 + ab)  b(1 + a ) − a (1 + b )  (ab − 1) = ( a − b)  = ( a − b)  2 (1 + a )(1 + b )(1 + ab)  (1 + a )(1 + b )(1 + ab)  Vậy với ab ≥1 1 + ≥ 2 + a + b + ab 1 + ≤ 2 + a + b + ab Lời bình: Với -10 Đẳng thức xảy khi: a=b=1 Lời bình: Ta sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh (độc giả tham khảo chủ đề số 5) Ví dụ 1.2 Cho a,b,c số thực dương ( a + b + c )  Chứng minh rằng: 1 1 + + ÷≥ a b c Chứng minh: Sử dụng bất đẳng thức AM- GM cho số thực dương ta có:  a + b + c ≥ 3 abc >  1 1 ⇒ ( a + b + c )  + + ÷≥ 1 1 1 a b c >0  + + ≥ 33 = a b c abc a b c Đẳng thức xảy khi: a=b=c 10 ( 1) ⇔ ( c) c + ab + ( a) ( b) a + bc + b+2 ( ≥ ca ( ) c) a+ b+ c a+ b+ 2 = Bài 2.11 x + y ( x − y ) + xy M= = = x − y+ ≥ 2 x− y x− y x− y Ta có: Đẳng thức xảy ra:  6+ 6− 2  ⇒ y= x = x − y = x > y  ( ) x − y =    2 x− y ⇔ ⇔    xy =  xy = x = − + ⇒ y = − −    2 Bài 2.12 Cách Ta có: x ( 2x + y ) + y ( y + x) ≤ P= Vậy: Cách x+ y x ( 2x + y ) + y ( y + x ) Ta dễ thấy điểm rơi đạt tại: x ( 2x + y ) = Ta có: ( x + y ) ( 3x + y ) ≥ 1 ⇒ MinP = ⇔ x = y 3 x = y 1 3x ( x + y ) ≤ ( 3x + x + y ) = ( 5x + y ) 3 y ( y + x) = Tương tự: Cộng vế: 1 3y ( y + x) ≤ ( 3y + y + x) = ( 5y + x) 3 x ( 2x + y) + y ( y + x) ≤ ( x + y) ⇒ MinP = Vậy: Bài 2.13 Từ đó: x+ y x ( 2x + y ) + y ( y + x) ≥ ⇔ x = y Ta chứng minh được: P≥ = ( x + y) a + b + c + 2abc + ≥ ( ab + bc + ca ) 18 + ( ab + bc + ca ) − ≥ 18.2 − = 11 ab + bc + ca MinP = 11 ⇔ a = b = c = Vậy: Bài 2.14 129 Ta có: 4a + 12 = ( 2a + ) = ( 2a + 2ab + ca + cb ) = 4b + 12 = Tương tự: Từ đó: ( 2a + 2b ) ( c + 2b ) ; 4a + 12 + 4b + 12 + c + 12 ≤ 4a + 12 + 4b + 12 + c + 12 ( c + 2a ) ( c + 2b ) 6a + 6b + 2c 2a + 2b + 2c + = ( 2a + 2b + 2c ) 2 2a + 2b + 2c P= c + 12 = ( 2a + 2b ) ( c + 2a ) 2 ≥ a = b = 1 ⇒ MinP = ⇔  2 c = Vậy: Bài 3.1 Cách a a+b−c a−b+c  x = ⇒ x + = , x − =  b−c b−c b−c  b b+c−a b−c+a  ⇒ y +1 = , y −1 = y = c − a c − a c − a  c c+a −b c−a+b  z = a − b ⇒ z + = a − b , z −1 = a − b  Ta đặt ⇒ ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) = ( x − 1) ( y − 1) ( z − 1) ⇔ xy + yz + zx = −1 x + y + z ≥ Ta cần chứng minh: ( x + y + z ) ≥ ⇔ x + y + z ≥ −2 ( xy + yz + zx ) = Thật vậy: Cách ab ( b − a ) + bc ( c − b ) + ca ( a − c ) = ( a − b ) ( b − c ) ( c − a ) Ta có: ab bc ca ⇔ + + = −1 ( b − c) ( c − a) ( c − a) ( a − b) ( a − b) ( b − c ) Vậy ⇒ b c  a2 b2 c2  a + + = + + −  ÷ 2 b−c c −a a −b b − c c − a a − b ( ) ( ) ( ) a2 ( b − c) + b2 ( c − a) + c2 ( a − b) Dấu đẳng thức xảy : Bài 3.2 b c   a = + + ÷ + ≥ b−c c −a a −b a b c + + = b−c c−a a−b 130 P= Ta có:  1  x + ÷ z  y + 1   y + ÷ x  z +  1  z + ÷ y  x ( ) 1 a = ;b = ; a = < a, b, c < ⇒ a + b + c = x y z Đổi biến đặt: a b c a b c P= + + = + + 2 2 b +c c +a a +b 3−a 3−b − c2 Khi đó: x x2 a b c a + b2 + c ≥ 0< x< ⇒ P= + + ≥ = − x2 − a − b2 − c2 2 ( ) Bài 3.3 ( a − b) = a + b + ⇔ ( a + a ) + ( b + b ) = ( a + 1) ( b + 1) ⇔ x= a ≥ 0; b +1 y= a b + = b +1 a +1 b ≥ ⇒ x + y = a +1 Đổi biến đặt:   a 3    b 3  3 P = 1 +  ÷  1 +  ÷  = ( + x ) ( + y ) ≤   b +     a +   Từ đó: ⇔ + x3 + y + x y ≤ ⇔ x y + ( x + y ) ( x + y ) − 3xy  ≤     ( x + y) ⇔ x y + ( − xy ) ≤ ⇔ xy ( x y − ) ≤  ≤ xy ≤ = 1÷  ÷   3 2 Bài 3.4 x ( y + z ) ≥ x 2 yz = x x ; y ( z + x ) ≥ y 2 zx = y y ; z ( x + y ) ≥ z z ( xyz = 1) a = x x + y y ; b = y y + 2z z ; c = z z + 2x x ổi biến đặt: 4c + a − 2b 4a + b − 2c 4b + c − 2a x x= ;y y= ;z z= 9 Khi đó: P ≥ ( 4.3 + − ) = ⇒ MinP = ⇔ x = y = z = Ta chứng minh được: Bài 3.5 bc = x; ca = y; ab = z ( x, y , z > ) ⇒ xyz = ( abc ) = Đặt: 131 Đ ( bc ) bc bc bc x2 = = = = a b + a c a ( b + c ) a a ( b + c ) ac + ab y + z Khi đó: ( x + y + z ) x + y + z 3 xyz x2 y2 z2 P= + + ≥ = ≥ = y + z z + x x + y 2( x + y + z) 2 2 Từ đó: Bài 3.6 Ta đặt: x = a + b − c > 0; y = b + c − a > 0; z = c + a − b > a= Khi đó: x+z x+ y y+z ;b= ;c= 2 xyz ≤ ( x + y ) ( y + z ) ( z + x) Vậy ta cần chứng minh: x + y ≥ xy > 0; y + z ≥ yz > 0; z + x ≥ zx > Theo AM-GM có: ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) ≥ xyz Nhân vế với vế ta được: Bài 3.7 x= Ta đặt: a b c ,y = ,z = ( a , b, c > ) b+c c+a a+b Khi ta cần chứng minh: Bài 3.8 b c  32abc  a 2 + + ÷+ ≥ ( a + b) ( b + c) ( c + a) b+c c+ a a+b  Hướng giải Ta dễ dàng thấy điểm rơi đạt tại: ab + bc + ca ≤ a = b = c = 1 ( a + b + c ) = ⇒ − ( ab + bc + ca ) ≥ −3 Ta biết: a + b + c + ab + bc + ca = ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) ≥ 32 − = Vậy: Hướng giải a = + x, b = + y ⇒ c = − ( a + b ) = − x − y Ta đặt: y  a + b + c + ab + bc + ca = x + xy + y + =  x + ÷ + y + ≥ 2  2 2 132 y  x + = ⇒ x = y = ⇔ a = b = c =   y = Đẳng thức xảy khi: Bài 3.9 a = x; b = y; c = z ( a, b, c ≥ ) ⇒ a + b + c = Đặt: Khi đó: Ta biết:  3 x + y + z = a + b3 + c3 ) (   ⇒ 64 P = ( a + b3 + c3 ) + ( abc )   x y z = ( abc )  64  a + b3 + c = p − pq + 3r = 27 − q + 3r ( : p = ) Q = 64 P = ( a + b3 + c3 ) + ( abc ) = ( 27 − 9q + 3r ) + r Từ đó: r≥ p ( 4q − p ) 4q −  4q −  = ⇒ Q ≥ ( 27 − 9q + 4q − ) +  ÷   Ta có: MinP = Từ tìm được: Lời bình: Ta ý Q≥ 25 ⇔ p = q = ⇔ a = b = c =1⇔ x = y = z = 64 q2 p≤ = ⇔ ≤ q ≤ 3 16 16 q − 48q + 153 = ( − q ) ( 24 − q ) + 25 ≥ 25 ( ∀q ≤ 3) 9 Hoặc: Bài 3.10 x + y = a; y + z = b; z + x = c ( a, b, c ≥ ) ⇒ a + b + c = Đặt: Khi đó:  x + y + z = ( x + y ) + ( y + z ) = a + b ⇒ a + b ≥ abc  2 − x = y + z = b;2 − y = c;2 − z = a ( a + b) abc ≤ Ta thấy: Hoặc: 4= a+b+c≥ Lời bình: Đặt: ( a + b + c ) = a + b 1 c = ( a + b) ( a + b) c ≤ ( a + b) 4 ( a + b) c ⇔ ( a + b) c ≤ ⇔ 4( a + b) ≥ ( a + b ) c ≥ 4abc x + y = 2a; y + z = 2b; z + x = 2c ⇒ a + b + c =  x + y + z = ( x + y ) + ( y + z ) = ( a + b ) ⇒ ( a + b ) ≥ 8abc ⇔ a + b ≥ 4abc  2 − x = y + z = 2b;2 − y = 2c;2 − z = 2a 133 4abc ≤ (a + b) ( a + b + c) c = (a + b)(a + b)c ≤ (a + b) = a+b = a + b + c ≥ (a + b)c ⇔ (a + b)c ≤ ⇔ a + b ≥ (a + b) c ≥ 4abc Hoặc Bài 4.1 Ta tìm k ( < k < 2) A= để + kx + (2 − k )( x − y ) + (2 − k ) y xy ( x − y) = kx = (2 − k )( x − y) = (2 − k ) y ⇒ k = xy ( x − y ) Đẳng thức xảy ra, ta có Phần cịn lại tự chứng minh Bài 4.2 Ta thêm hệ số m n ( m, n > ) : 13 mx + x + nx − x m n 13 13 2 mx + x + nx − x ≤ m2 x + + x ) + ( ( n x + − x2 ) m n 2m 2n x + x + 13 x − x = Dựa đẳng thức xảy ra, ta tìm Phần cịn lại tự chứng minh Bài 4.3 2a + ab + 2b ≥ Ta đánh giá P≥ Từ ⇔ a=b=c= Ta dễ dàng đánh giá Từ 3 ( MinP = ⇔ a = b = c = Vậy Bài 4.5 Ta đánh giá ( a+ b+ c ) = 3a + 2ab + 3b ≥ P ≥ 2 ( a + b + c) ≥ +1+ ( a + b) = ( a + b) 2 5 ( a + b + b + c + c + a) = ( a + b + c) ≥ MinP = Vậy Bài 4.4 m = ,n = 2 a+ b+ c ) 3+ 2+3 ( a + b) = ( a + b) =6 134 ( 1 ≥ a2 + , < a < 2−a 2 ) Phần lại tự chứng minh Bài 4.6 1  1  1  − ÷+  − ÷+  − ÷<   4−a a   4−b b   4−c c  Ta đánh giá − ≤ 2a ( < a < ) 4−a a a, b, c Ta để ý độ dài cạnh tam giác nên: Phần lại bạn đọc tự chứng minh Bài 4.7 + x4 ≥ x+ , ∀x 3 Ta đánh giá Phần lại bạn đọc tự chứng minh Bài 4.8 Ta cần tìm k cho a < b + c ⇔ 2a < ⇔ < a < x − x ≤ kx , ∀x ⇔ x ( x − x + k ) ≥ 0, ∀x ⇒ k = 4 x − x ≤ x , ∀x Từ đánh giá được: Phần lại bạn đọc tự chứng minh Bài 4.9 k 1 ( k + + 1) + + ≥ 2x y z 2x + y + z Ta cần tìm k cho 1  k = =   2x y z ⇒ k = x = y = z =3  Đẳng thức xảy Phần lại bạn đọc tự chứng minh MaxP = Từ đọc giả tìm Bài 5.1 2ab + 6bc + 2ca = abc ⇔ Ta có Ta có ⇒ x= y= z=3 2+ 2 + + =7 a b c ( + + 3) = 49 = 4ab 9ca 4bc 22 32 22 Q= + + = + + ≥ 2 a + 2b a + 4c b + c + + + + + b a c a c b a b c 135  a = 2b = 2c  a=2  MinQ = ⇔  2 ⇔ b = c =  a + b + c = Vậy Bài 5.2 ( 2a + b ) = (1 + 12 + 12 ) ( a + a + b ) ≥ ( a + a + b ) = 2a + b Từ P≤ 1 1  2 1 11 1 + + ≤  + + + + + ÷=  + + ÷ 2a + b 2b + c 2c + a ( + 1)  a b b c c a   a b c  Mà 1 1 1  1 1  + + ÷ ≤  + + ÷ ≤ 3.2015 ⇔ + + ≤ 3.2015 a b c a b c a b c  P≤ Vậy Bài 5.3 Ta có 2015 3.2015 ⇒ MaxP = ⇔ a=b=c= 3 2015 1 + + ≥ ≥1 2 a + b + c ab + bc + ca ab + bc + ca ( a + b + c ) Từ a+b+c ≤3 2007 2007   M = + ≥ 1+ = 670 ÷+ 2 ab + bc + ca  ab + bc + ca  a +b +c ab + bc + ca ≤ Vì 2007 2007 ≥ = 699 ( a + b + c) ≤ ⇒ ab + bc + ca Đẳng thức xảy Bài 5.4 Ta có: (do a = b = c =1    1 P =  x + ÷ y + ÷ = ( xy ) + + 4y  4x  16 ( xy )  Bằng đổi biến tìm được: Bài 5.5 Ta đưa về: 25 1 P = ⇔t= ⇔ x= y= 16 16 a3 b3 c3 a +b+c + + ≥ 2 2 2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a a3 a + b + c a − b ( a + b) ( a − b) − = + 2 a + ab + b 3 ( a + ab + b ) 136 ) Bài 5.6  M = ( 2a ) + b   ( ⇒M ≥ ) 2 2            + + ( 2c ) + ÷ ÷ ÷ +  ÷ +  ÷ ÷          ( a + b + c + 1) ( a + b + c) Vậy     ≥ 4( a + b + c) ⇒ Mặt khác: T= ( 2) a+b+c ≤ 2 ( 4a + 2b + 1) ( 4c + 3) 16 16 ( a + b + c + 1) ≥ ( a + b + c ) 3 ĐỀ CƯƠNG CÂU HỎI ÔN TẬP –TRẮC NGHIỆM –GIỮA KÌ II MƠN TỐN – LỚP Câu 1: Trong phương trình sau phương trình phương trình bậc ẩn A/ x-1=x+2 B/(x-1)(x-2)=0 C/ax+b=0 D/ 2x+1=3x+5 Câu 2: x=-2 nghiệm phương trình ? 137 A/3x-1=x-5 B/ 2x-1=x+3 C/x-3=x-2 Câu 3: x=4 nghiệm phương trình A/3x-1=x-5 B/ 2x-1=x+3 C/x-3=x-2 Câu 4: Phương trình x+9=9+x có tập nghiệm : D/ 3x+5 =-x-2 D/ 3x+5 =-x-2 φ A/ S=R B/S={9} C/ S= D/ S= {R} Câu 5: Cho hai phương trình : x(x-1) (I) 3x-3=0(II) A/ (I)tương đương (II) B/ (I) hệ phương trình (II) C/ (II) hệ phương trình (I) D/ Cả ba sai Câu 6: Phương trình : x = - có nghiệm : A/ Một nghiệm x=2 B/ Một nghiệm x=-2 C/ Có hai nghiệm : x=-2; x=2 D/ Vô nghiệm Câu 7: Chọn kết : A/ x2=3x ⇔ B/ x2 =9 x (x-3)=0 ⇔ ⇔ x=3 ⇔ C/ (x-1)2 - 25 =0 x=6 D/ x2= - 36 x= - Câu 8: Cho biết 2x-4=0.Tính 3x-4 bằng: A/ B/ C/ 17 D/ 11 Câu 9: Phương trình (2x-3)(3x+2)=6x(x-50) +44 có nghiệm : A/ S={2} B/ S={2;-3) C/ S={2; } Câu 10: Phương trình : 3x-5x+5 =-8 ó nghiệm : −2 3 D/ S={2;-0,3} A/ x= B/ x= C/ x=4 D/ Kết khác Câu 11: Giá trị b để phương trình 3x+b =0 có nghiệm x= - ; A/ B/ C/6 D/ KQ khác Câu 12: Phương trình 2x+k= x-1 nhận x=2 nghiệm A/ k=3 B/ k=-3 C/ k=0 D/ k=1 Câu 13: Phương trình m(x-1) =5-(m-1)x vô nghiệm : A/ m= B/ m= C/ m= D/ m=1 Câu 14: Phương trình x - 4x+3 =0 có nghiệm : A/ {1;2} B/ {2;3} C/ {1;3} D/ {2;4} 2 Câu 15: Phương trình x - 4x+4=9(x-2) có nghiệm : A/ {2} B/{-2;2} C/ {-2} D/ kq khác Câu 16: Phương trình : A/ B/2 Câu 17: Phương trình A/{-1} B/ {-1;3} 3− x +3= x+2 x−2 có nghiệm : C/ D/ Vô nghiệm x+2 − = x − x( x − 2) x có nghiệm : C/ {-1;4} D/ S=R 138 x x 2x + = 2( x − 3) 2( x + 1) ( x + 1)( x + 3) Câu 18: Phương trình : A/ -1 B/ C/ có nghiệm : D/Kết khác x + 2x − 2x = x2 + Câu 19: Phương trình; A/ -2 B/ có nghiệm C/ -2 Câu 20: Điều kiện xác định phương trình: −2 D/ Kết khác 3x + 2 x − 11 + = x+2 x −4 2− x : 11 A/ x≠ ;x≠ B/ x≠2 C/ x>0 D/ x≠2 x≠-2 Câu 21: Trong phương trình sau, phương trình phương trình bậc ẩn? A/ -3 = x B/ - x+2=0 C/ x+ y =0 D/ 0.x + = Câu 22: Tập nghiệm phương trình 2x – = x + A/ { 8} B/ { -8} C/ Câu 23: Tập nghiệm phương trình A/   -    B/ 1   x + ÷( x - ) =   { 2} Câu 24: Câu sau sai? 8    3 C/ D/  -8    3 1   ;-2  3  D/   - ;2    x = -1 nghiệm phương trình: a x -1 = b x + = c 3x + = 2x + d 4x – = 3x -2 Câu 25: Câu sau ? x = nghiệm phương trình: a x2 + x – = b x2 + x – = c x2 + 2x – = d x2 + 2x – = Câu 26: Chọn câu nhất: a b c d Phương trình ( y-2)(y-3) = -6 Có giá trị y = nghiệm phương trình Có giá trị y = -1 nghiệm phương trình Cả a , b Cả a , b sai 139 Câu 27: Chọn câu trả lời Phương trình x + = + x có tập nghiệm phương trình là: b S = {9 } a.S=R d { R } c S = Þ Câu 28: Chọn câu trả lời đúng: a x2 = 3x ⇔ x(x – 3) = b x2 = ⇔ x = b (x – 1)2 - 25 ⇔ x = d x2 = 36 ⇔ x=- Câu 29: Phương trình bậc có nghiệm ? a Một nghiệm b Vô nghiệm c Vô số nghiệm d Cả câu Câu 30: Điều kiện xác định phương trình chứa ẩn mẫu ? a Những giá trị biến mà tử thức khác b Những giá trị biến mà tử thức c Những giá trị biến mà mẫu thức khác d Những giá trị biến mà tử mẫu thức Câu 31: Điều kiện xác định phương trình a x ≠ b x ≠ -4 c x ≠ x ≠ -4 Câu 32: Giải phương trình a − a 5+ b x− 96 x − 3x − = − x − 16 x + 4 − x : d Xác định với x thuộc R 96 x − 3x − = − x − 16 x + 4 − x ta nghiệm : b Câu 33: Giải phương trình x= 5+ d c − x = − ta nghiệm : x= c x= d x= Câu 34: Bác An xe đạp từ A đến B với vận tốc 12km/h Lúc bác với vận tốc 15km/h thời gian thời gian 30 phút Tính quãng đường AB? Gọi độ dài quãng đường AB x (km) thời gian từ A đến B là: a x km / h 12 b x 12 (giờ) c x 15 (giờ) d x 30 (giờ) Câu 35: Câu 6: Hai xe ô tô từ A đến B Biết xe thứ chậm xe thứ hai 3km Vận tốc xe thứ xe thứ hai là: 140 A x; x − B x ;3 x C x; x + D 3x ; x Câu 36: Bác An xe đạp từ A đến B với vận tốc 12km/h Lúc bác với vận tốc 15km/h thời gian thời gian 30 phút Tính quãng đường AB? Gọi độ dài quãng đường AB x (km) thời gian từ B A là: a x km / h 12 b x 12 (giờ) c x 15 (giờ) d x 30 (giờ) Câu 37: Phương trình 2x + = 2x – có nghiệm ? a nghiệm b Vô nghiệm c Vô số nghiệm Câu 38: Biết AB=4cm ; A’B’=5cm ; CD=6cm hai đoạn thẳng AB;CD tỉ lệ với hai đoạn thẳng A’B’:C’D’ độ dài C’D’ : A/ 4,8 B/ 7,5 C/ 16/3 D/ Cả ba sai Câu 39: Cho đoạn thẳng AB=8cm ;CD=6cm ; MN=12mm; PQ=x.Tìm x để AB CD tỉ lệ với MN;PQ A/ x= 18cm B/ x=9cm C/ x=0,9cm D/ Cả ba sai Câu 40: Cho hình vẽ: NQ//PK; Biết MN=1cm;MQ=3cm; MK=12cm Độ dài NP: A/ 3cm B/ 2cm C/ 4cm D/ 0,25 cm Câu 41: Cho ∆ABC ; đường thẳng song song với cạnh BC cắt AB AC lượt D E.Khẳng định sau DC EA = DB EC A/ C/ DC.EC=DB.EA B/ DC.DB=EC.EA D/ DC.EA = DB.EC 141 Câu 42: Cho hình Tìm số đo độ dài x hình Đơn vị cm A 10 3,5 B x D C Hình A 2,1 cm B 4,2cm C 2,6cm D 4, 4cm Câu 43: Cho ∆ABC ;MN//BC với M nằm A B ; N nằm A vàC Biết AN=2cm ; AB=3 AM Kết sau : A/ AC=6cm B/CN=3cm C/ AC=9cm D/ CN=1,5 cm Câu 44: Cho ∆ABC ;AB=14cm ; AC=21 cm AD phân giác góc A Biết BD=8cm Độ dài cạnh BC : A/ 15cm B/ 18cm C/ 20 cm D/22 cm Câu 44: Cho ∆MNK có NS phân giác góc MNK Biết MN=3cm ; NK=5cm; MS=1,5 cm Ta có SK : A/ 2,5 cm B/0,1 cm C/ 0,4cm D/ 10cm Câu 45: Tỉ số cạnh bé hai tam giác đồng dạng 2/5 Tính chu vi P P’ hai tam giác biết P’ – P = 18 cm 162 A/ P’=48cm ; P=30 cm C/ P’=30cm P= 12cm 36 B/ P’= cm ; P= D/ P21cm ; P= 3cm cm AB = A' B ' Câu 46: Cho ∆ABC đồng dạng với ∆A’B’C’ Biết hiệu số chu vi ∆A’B’C’và chu vi ∆ABC 30cm Phát biểu A/ C∆ABC =20cm ;C∆A’B’C’= 50cm B/ C∆ABC =50cm ;C∆A’B’C’= 20cm C/ C∆ABC = 45cm ;C∆A’B’C’=75cm D/ Cả ba sai AB = CD Câu 47: Biết CD = 21 cm Độ dài AB A/ cm B/ 7cm C/ cm D/ 10 cm ΔABC ∈ Câu 48: Cho , có AD đường phân giác (D BC) AB = 4cm; AC = cm; BD = 2cm Độ dài DC A/ cm B/ cm C/ cm D/ cm Câu 49: Cho hai đoạn thẳng AB = 10 cm, CD = dm Câu sau ? AB =2 a CD AB = b CD AB = c CD 142 AB = d CD MN = PQ 12 PQ = 24 cm Độ dài MN ? Câu 50: Cho biết a 12 cm b 14 cm c 16 cm 143 d 18 cm ... a,b>0 Đẳng thức xảy khi: a=b=1 Lời bình: Ta sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh (độc giả tham khảo chủ đề số 5) Bất đẳng thức thường gặp 3.1 .Bất đẳng thức AM-GM (thường gọi bất đẳng thức. .. CHỦ ĐỀ DẲNG THỨC CHỦ ĐỀ 1: CÁC BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BỔ ĐỀ THƯỜNG GẶP A- Tính chất bất đẳng thức 1.1 Tính chất bắc cầu Với số thực a,b,c: Nếu a > b b > c a > c Nếu a < b b < c a < c 1.2 Tính chất. .. đổi tương đương để chứng minh bất đẳng thức cần ghi nhớ khái niệm, định lý tính chất bất đẳng thức để sử dụng vào phép biến đổi tương đương ≥ Để chứng minh bất đẳng thức A B thường dùng phương