Tổng hợp kiến thức và bài tập có đáp án chương 1 của lớp 12

Bên trong file là tổng hợp kiến thức và bài tập có đáp án chương 1 của lớp 12 mà trong các đề thi học sinh sẽ gặp phải trong quá trình làm bài. Ngoài ra bên trong tài liệu còn có phương pháp giải chi tiết vô cùng thích hợp cho tất cả những học sinh đang học lớp 12 và chuẩn bị thi lên đại học. Chúc các em học tập thật tốt và đạt được kết quả cao.

Hồ Thị Bình- gv Tốn Trường THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa CHƯƠNG - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM I KIẾN THỨC CẦN NHỚ I SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Bài tốn 1: Tìm khoảng đồng biến – nghịch biến hàm số: Cho hàm số y  f  x  +) f '  x   đâu hàm số đồng biến +) f '  x   đâu hàm số nghịch biến Quy tắc: +) Tính f '  x  , giải phương trình f '  x   tìm nghiệm +) Lập bảng xét dấu f '  x  +)Dựa vào bảng xét dấu kết luận Bài tốn 2: Tìm m để hàm số y  f  x, m  đơn điệu khoảng (a,b) +) Để hàm số đồng biến khoảng  a, b  f '  x   0x   a, b  +) Để hàm số nghịch biến khoảng  a, b  f '  x   0x   a, b  ax  b Có TXĐ tập D Điều kiện sau: cx  d +) Để hàm số đồng biến TXĐ y '  0x  D +) Để hàm số nghịch biến TXĐ y '  0x  D *) Riêng hàm số: y   y '  0x   a, b   +) Để hàm số đồng biến khoảng  a; b   d x   c   y '  0x   a, b   +) Để hàm số nghịch biến khoảng  a; b   d x   c  *) Tìm m để hàm số bậc y  ax  bx  cx  d đơn điệu R +) Tính y '  3ax  2bx  c tam thức bậc có biệt thức  a  a  +) Để hàm số đồng biến R   +) Để hàm số nghịch biến R       Chú ý: Cho hàm số y  ax  bx  cx  d +) Khi a  để hàm số nghịch biến đoạn có độ dài k  y '  có nghiệm phân biệt x1 , x cho x1  x  k +) Khi a  để hàm số đồng biến đoạn có độ dài k  y '  có nghiệm phân biệt x1 , x cho x1  x  k II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Bài tốn 1: tìm điểm cực đại – cực tiểu hàm số Dấu hiệu 1: +) f '  x   f '  x  không xác định x đổi dấu từ dương sang âm qua x x điểm cực đại hàm sơ Hồ Thị Bình- gv Tốn Trường THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa +) f '  x   f '  x  không xác định x đổi dấu từ âm sang dương qua x x điểm cực tiểu hàm sơ *) Quy tắc 1: +) tính y ' +) tìm điểm tới hạn hàm số (tại y '  y ' khơng xác định) +) lập bảng xét dấu y ' dựa vào bảng xét dấu kết luận Dấu hiệu 2: cho hàm số y  f  x  có đạo hàm đến cấp x f '  x   +) x điểm cđ   f "  x   *) Quy tắc 2: +) tính f '  x  ,f "  x  f '  x   +) x điểm ct   f "  x   +) giải phương trình f '  x   tìm nghiệm +) thay nghiệm vừa tìm vào f "  x  kiểm tra từ suy kết luận Bài tốn 2: Cực trị hàm bậc Cho hàm số: y  ax3  bx  cx  d có đạo hàm y '  3ax  2bx  c Để hàm số có cực đại, cực tiểu  y '  có nghiệm phân biệt    Để hàm số có khơng cực đại, cực tiểu  y '  vơ nghiệm có nghiệm kép    Đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu +) Cách 1: Tìm tọa độ điểm cực đại cực tiểu A, B Viết phương trình đường thẳng qua A, B +) Cách 2: Lấy y chia y’ ta được: y   mx  n  y '  Ax  B Phần dư phép chia y  Ax  B phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu +) Cách : Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị  2c 2b  y.y bc y .y  g x   g x  y  g  x   9ay  x  d  9a  9a 3y  3 Khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc    4e  16e b  3ac với e  a 9a Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x 1, x thỏa mãn: AB   x1    x x1  x     x1  x  Hai cực trị x 1, x thỏa mãn x1    x      C : x1   x     x1.x   x1  x      C : a.f    Hai cực trị x 1, x thỏa mãn x1  x   Hồ Thị Bình- gv Tốn Trường THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa     x   x    C1    x  x       x x   x  x    2  x  x       S C2     2 a.f     Hai cực trị x 1, x thỏa mãn   x1  x     x   x    x x   x  x    S 2 C2     C1    x1  x  2 x  x  2 2 a.f   b Phương trình bậc có nghiệm lập thành cấp số cộng có nghiệm x  , 3a         có nghiệm lập thành cấp số nhân có nghiệm x     f x   Hàm số f x có điểm cực trị fCD fCT   Hàm số có điểm cực trị fCD fCT    có điểm cực trị f x  f  x  có điểm cực trị f  x  d a  Hàm số f x có điểm cực trị dương  Hàm số có điểm cực trị dương + Hàm số y  ax3  bx  cx  d có điểm cực trị  yCD yCT  + Hàm số y  ax3  bx  cx  d có điểm cực trị  yCD yCT  + Hàm số y  a x  bx  c x  d có điểm cực trị   x1  x2 + Hàm số y  a x  bx  c x  d có điểm cực trị  x1   x2  Tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc lớn a0 Bài toán 3: Cực trị hàm số bậc trùng phương Cho hàm số: y  ax  bx  c có đạo hàm y '  4ax  2bx  2x  2ax  b  Hàm số có cực trị ab  a  +) Nếu  hàm số có cực tiểu khơng có cực đại b  a  +)  hàm số có cực đại khơng có cực tiểu b  hàm số có cực trị ab  (a b trái dấu) a  +)  hàm số có cực đại cực tiểu b  a  +) Nếu  hàm số có cực đại cực tiểu b  Hồ Thị Bình- gv Tốn Trường THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa   f x  f x   Hàm số f x có điểm cực trị fCD fCT   Hàm số có điểm cực trị  Hàm số có điểm cực trị Gọi A, B, C điểm cực trị đồ thị hàm số A  Oy , A  0;c  , B  x B , yB  ,C  x C , yC  , H  0; y B  +) Tam giác ABC cân A +) B, C đối xứng qua Oy x B  x C , yB  yC  yH +) Để tam giác ABC vuông A: AB.AC  +) Tam giác ABC đều: AB  BC +) Tam giác ABC có diện tích S: 1 S  AH.BC  x B  x C y A  y B 2 Trường hợp thường gặp: Cho hàm số y  x  2bx  c +) Hàm số có cực trị b  +) A, B, C điểm cực trị A  0;c  , B b,c  b2 ,C  b;c  b     +) Tam giác ABC vuông A b  +) Tam giác ABC b  3 3 +) Tam giác ABC có diện tích S0 S0  b2 b +) Tam giác ABC có A  1200 b  +) Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp R 2R  +) Tam giác ABC có bán kính đường trịn nội tiếp r0 r0  STT b3  b b2 b3   CƠNG THỨC TÍNH NHANH Ba điểm cực trị tạo thành tam giác ABC thỏa mãn kiện Công thức thỏa ab Dữ kiện Tam giác ABC vuông cân A Tam giác ABC Tam giác ABC có góc BAC Tam giác ABC có diện tích S Tam giác ABC có diện tích max (S ) ABC b 8a b3 8a S0 b3 cot2 8a 32a (S )2 b S0 b5 32a Hồ Thị Bình- gv Tốn Trường THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa Tam giác ABC có bán kính đường trịn nội tiếp r Tam giác ABC có độ dài cạnh BC 10 11 12 Tam giác ABC có độ dài AB AC Tam giác ABC có cực trị B,C Ox 13 Tam giác ABC có bán kính đường trịn ngoại tiếp R 14 15 16 17 Tam giác Tam giác Tam giác Tam giác 18 19 r0 ABC a n0 16a n 2b b 8ab b 4ac b(8a b ) b2 b ABC b3 8a 8ab b 2ac b 8a 4abc b 8a 8abc b k 8a(k 4) k.AC   Đồ thị hàm số C : y  ax  bx  c cắt trục Ox điểm phân biệt lập thành cấp số cộng Định tham số để hình phẳng giới hạn đồ thị C : y  ax  bx  c trục hồnh có diện tích phần phần   b2  100 ac b2  36 ac 20 Trục hồnh chia ABC thành hai phần có diện tích 21 Tam giác ABC có điểm cực trị cách trục hồnh 22 Phương trình đường trịn ngoại tiếp ABC là: x 6ac 8a 4ac R R0 ABC điểm O tạo hình thoi ABC có O tâm đường trịn nội tiếp ABC có O tâm đường tròn ngoại tiếp k.AB b3 a a.m02 m0 Tam giác ABC có góc nhọn Tam giác ABC có trọng tâm O Tam giác ABC có trực tâm O ABC có cạnh BC b2 r0 y2 b 4a b2 c y ac b 8ac c b 4a III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Định nghĩa: Cho hàm số y  f  x  xác định D  M  f  x  x  D +) M GTLN hàm số D nếu:  Kí hiệu: M  max f  x  D  x  D : f x  M    0   m  f  x  x  D +) m GTNN hàm số D nếu:  Kí hiệu: m  f  x  D  x  D : f x  m     +) Nhận xét: Nếu M, N GTLN GTNN hàm số D phương trình f  x   m  & f  x   M  có nghiệm D Quy tắc tìm GTLN – GTNN hàm số: *) Quy tắc chung: (Thường dung cho D khoảng) - Tính f '  x  , giải phương trình f '  x   tìm nghiệm D - Lập BBT cho hàm số D - Dựa vào BBT định nghĩa từ suy GTLN, GTNN Hồ Thị Bình- gv Tốn Trường THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa *) Quy tắc riêng: (Dùng cho  a; b  ) Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục  a; b  - Tính f '  x  , giải phương trình f '  x   tìm nghiệm  a, b  - Giả sử phương trình có nghiệm x1 , x  a, b - Tính giá trị f  a  ,f  b  ,f  x1  ,f  x  So sánh chúng kết luận Chú ý: GTLN,GTNN hàm số số hữu hạn Hàm số liên tục đoạn  a, b  ln đạt GTLN, NN đoạn Nếu hàm số f  x  đồng biến  a, b  max f  x   f  b  , f  x   f  a  Nếu hàm số f  x  nghịch biến  a, b  max f  x   f  a  , f  x   f  b  Cho phương trình f  x   m với y  f  x  hàm số liên tục D phương trình có nghiệm f  x   m  max f  x  D D IV TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Định nghĩa: +) Đường thẳng x  a TCĐ đồ thị hàm số y  f  x  có điều kiện sau: lim y   lim y   lim y   lim y   x a  x a x a x a +) Đường thẳng y  b TCN đồ thị hàm số y  f  x  có điều kiện sau: lim y  b lim y  b x  x  Dấu hiệu: +) Hàm phân thức mà nghiệm mẫu không nghiệm tử có tiệm cận đứng +) Hàm phân thức mà bậc tử  bậc mẫu có TCN +) Hàm thức dạng: y  có TCN (Dùng liên hợp)  ,y   bt, y  bt  +) Hàm y  a x ,   a  1 có TCN y  +) Hàm số y  loga x,   a  1 có TCĐ x  Cách tìm: +) TCĐ: Tìm nghiệm mẫu khơng nghiệm tử +) TCN: Tính giới hạn: lim y lim y x  x  Chú ý: +) Nếu x    x   x  x  x +) Nếu x    x   x  x  x V BẢNG BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Định hình hàm số bậc 3: y  ax3  bx  cx  d a>0 a