Bài 2 rút gọn PHÂN THỨC

CHƯƠNG 2: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ BÀI 2: RÚT GỌN PHÂN THỨC Mục tiêu  Kiến thức + Vận dụng quy tắc rút gọn phân thức  Kĩ + Biết cách rút gọn phân thức + Tính giá trị biểu thức hay phân thức + Biết cách tìm giá trị biến để giá trị biểu thức nguyên, tìm giá trị lớn (hoặc nhỏ nhất) biểu thức, tìm điều kiện để phép chia hết Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương pháp rút gọn phân thức Ví dụ: - Để rút gọn phân thức ta thực theo hai bước sau: Rút gọn phân thức  Bước Phân tích tử mẫu phân thức thành nhân tử để tìm nhân tử chung x2  2x 2x  Phân tích tử mẫu thành nhân tử, ta x2  2x  x  x  2 ; 2x    x  2  Bước Chia tử mẫu cho nhân tử chung Nhân tử chung x  Khi đó, ta có x2  2x x  x  2 x   2x   x  2 II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Rút gọn phân thức Phương pháp giải Bước Sử dụng phương pháp phân tích đa Ví dụ: Rút gọn phân thức thức thành nhân tử để biến đổi tử mẫu x  phân thức Hướng dẫn giải x2  x  với x2 x  x   x  x  x    x   x   ; x   x  (mẫu số nhị thức bậc nên Bước Sử dụng tính chất phân thức học để rút gọn phân thức cho không cần phân tích thêm) x  x   x   x   Khi   x  x2 x2 x2  6x  Vậy kết rút gọn  x  x2 Ví dụ mẫu Ví dụ Rút gọn phân thức a) x4  x2 với x  2, x  x2  b) x3  3x  3x  với x  x2  x  c) x3  x  23x  15 với x  1, x  x2  5x  Hướng dẫn giải 2 x4  x2 x  x  4   x2 a) 2 x 4 x 4 x3  3x  3x   x  1   x  x2  x   x  1 b) Trang c) x3  x  23x  15  x  1 x  3 x  5  x  3 x  5   x2  5x   x  1 x  4  x  4 Bài tập tự luyện dạng Bài tập x2  x  Câu Rút gọn phân thức (với x  1, x  2) ta biểu thức sau đây? x  3x  A x 1 x2 B x2 x3 Câu Phân thức phân thức A x 1 x  x 1 B C x3 x2 D x 1 x3 C x 1 x  x 1 D x 1 x  x 1 b) x  x3 y  x y  xy  y với x2  y  2 x y x2 1 x3  x 1 x  x 1 2 Bài tập nâng cao Câu Rút gọn phân thức a) c) x4  4x   x  1 với x  x  x  x8  với x  1   x 1 x2 1 x4 1 Dạng Chứng minh đẳng thức Phương pháp giải Thực tương tự bước chứng minh đẳng thức học cũ Kết ta cần thu “vế trái = vế phải” Ví dụ mẫu Ví dụ Chứng minh đẳng thức x3  x  x    x  1 x   với x   2x 1 Hướng dẫn giải Ta có x  x  x   x  x     x     x  1  x     x  1 x  1 x   x3  x  x   x  1 x  1 x   Suy  2x 1 2x 1   x  1 x   (điều phải chứng minh) Ví dụ Chứng minh đẳng thức x5  x  x3  x với x  0, x  x  x3  x Hướng dẫn giải Ta có x5  x4  x3  x3  x2  x  1  x3  x  1 ; Trang x4  x3  x2  x  x  x  1  x  x  1 x5  x  x3 x  x  1 Suy   x (điều phải chứng minh) x  x3  x x  x  12 Ví dụ Chứng minh đẳng thức x  3x y  3x y  y  x  x y  y với x   y x2  y Hướng dẫn giải Ta có x6  3x4 y  3x2 y  y   x    x  y  3x  y    y    x  y  2 2 x  3x y  3x y  y  x  y     x2  y  Suy 2 x y x y  x4  x2 y  y (điều phải chứng minh) Ví dụ Chứng minh đẳng thức x  x3 y  x y  x  2y  x  x3 y  x y  x  2y với x  2 y Hướng dẫn giải Ta có x  x3 y  x y  x  x  y  ; x  x3 y  x y  x  x  y  Suy x  x3 y  x y  x  2y x  x3 y  x y  x  2y Vậy x  x3 y  x y  x  2y    x2  x  y   x  2y  x2 ; x2  x  y   x  2y 2  x2 x  x3 y  x y  x  2y   x  (điều phải chứng minh) Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Chứng minh đẳng thức a)  x  y   x  y 2  y  z   y  z b)  x  y    xy  1  x  1 y  1 2  x với y, z  z  1  x  y  1 với x  1, y  Câu Chứng minh đẳng thức: Trang 16  x  y    x  y  25  x  y    x  y  a) với x  3 y, y  3x, x  4 y, y  4x   x  y  3x  y   x  y  x  y  2  x  y    xy  1 b) x x c) 2  1 y  1 x  2  1 y  1  x  y    xy  1  x  3 x  x   x  x    x  1   x  3 x   x  5 với x  1 Bài tập nâng cao Câu Chứng minh đẳng thức a  b  c  a  b  c a b  c  a)  với a  0, b  c  bc  ca  2ab   ca  ab  2bc   ab  bc  2ca  b)  a  b  c    b  c  a  c  a  b           12,  ab  b  c  c  a    bc  c  a  a  b   ca a  b b  c          với a, b, c  0, a  b, b  c, c  a Dạng Chứng minh phân thức không phụ thuộc vào biến Phương pháp giải - Chứng minh phân thức không phụ thuộc vào biến dạng đặc biệt chứng minh đẳng thức: vế trái đẳng thức phân thức chứa biến, vế phải yêu cầu toán số (hoặc biểu thức) không chứa biến theo yêu cầu toán (bài toán yêu cầu chứng minh biểu thức không phụ thuộc biến x chẳng hạn) - Nhưng tốn khơng cho biết vế phải đó, phải tự biến đổi phân thức phép tính kỹ thuật có tay (rút gọn phân thức, phân tích đa thức thành nhân tử,…) để đến kết gọn với u cầu tốn Ví dụ mẫu Ví dụ Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x M x  2x 2  2  x  1  x  x  1 với x  1 Hướng dẫn giải Ta có  x     x  1 x  1    x  1  x  1 ; x 2 2  x  1  x2  x  1   x  1  x  1 Suy M  x  2x 2  2  x  1  x  x  1  x  1  x  1   x  1  x  1 2  Vậy M  4, x  1 không phụ thuộc vào biến Trang Ví dụ Chứng minh biểu thức sau khơng phụ thuộc vào biến y  y  1  y  y   N  y  3  y  y   với y  1, y  2, y  3 Hướng dẫn giải Ta có  y  1  y  y     y  1 y   y  3 ;  y  3  y  y     y  3 y  1 y   ;  y  1  y  y    y  1 y   y  3 N  1  y  3  y  y    y  3 y  1 y   Vậy N  1, y  1, y  2, y  3 khơng phụ thuộc vào biến Ví dụ Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x P xy  x  y  với x  2 x2 Hướng dẫn giải Ta có xy  x  y   x  y     y     x   y   Suy P  xy  x  y   x   y     y  x2 x2 Vậy P  y  2, x  2 không phụ thuộc vào biến x Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Với giá trị x A x  x3  27 y x3  y với giá trị y  0?  x  3xy  y x  xy  y B x  C x  D x  Bài tập nâng cao Câu Chứng minh biểu thức sau nhận giá trị số với giá trị a, b, c thỏa mãn a  b, b  c, c  a a  b3  c   a  b  c  M  a  b  b  c  c  a  Dạng Tính giá trị biểu thức Phương pháp giải Bước 1: Yêu cầu toán đặt tính giá trị biểu thức có tham gia phân thức Bước 2: Để giải nhanh chóng hạn chế sai số tốn tính giá trị biểu thức, ta cần biết đổi toán trở nên gọn nhẹ Một số hướng làm rút gọn phân thức với hai bước biết Trang Bước 3: Là bước cuối tốn tính giá trị biểu thức, bước giá trị x theo yêu cầu toán vào biểu thức rút gọn Ví dụ mẫu Ví dụ Tính giá trị biểu thức P  x3  x  12 x   x   x  x2 Hướng dẫn giải Ta có x3  x  12 x    x   x3  x  12 x   x      x  2 Suy P  x2 x2 Thay x  vào biểu thức P, ta P      Vậy giá trị biểu thức P x  x5  x  x3  x  x Ví dụ Tính giá trị biểu thức: Q  x  1000 x  x3  x  x  Hướng dẫn giải Ta có x5  x  x3  x  x  x  x  x  x  x  1 x5  x  x3  x  x x  x  x  x  x  1   x Suy Q  x  x3  x  x  x  x3  x  x  Thế x  1000 vào biểu thức Q ta Q  1000 Vậy giá trị biểu thức Q 1000 x  1000 Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Chọn khẳng định sai Biểu thức P  x8  x  16 x  2 A Có biểu thức rút gọn x4  x2  B Nhận giá trị x  C Nhận giá trị x  D Có biểu thức rút gọn x2  x  Câu Biểu thức x3  3x  3xy  y ,  x   y  nhận giá trị x  1, y  1? x y A B C D Bài tập nâng cao Câu Tính giá trị biểu thức A  x99  x98   x51  x50  x 49   x  x  x  2 x98  x96   x  Dạng Tìm x Đưa đẳng thức dạng ax  b  x  b  a  0 a Phương pháp giải Trang Bước u cầu tốn đặt tìm giá trị x thỏa mãn đẳng thức có tham gia phân thức Bước Để giải nhanh chóng, ta cần biến đổi đẳng thức trở nên gọn nhẹ Một số hướng làm rút gọn phân thức với hai bước biết Bước Là giải tốn tìm x thơng thường Ví dụ mẫu x3  27 x3  64   x  3x  x  x  16 Ví dụ Tìm x thỏa mãn đẳng thức Hướng dẫn giải Ta có x3  64   x  x  16   x   ; x3  27   x  3x    x  3 x  x    x  3  x3  27   x  3; Suy x  3x  x  3x  x  x  16   x    x3  64   x  x  x  16 x  x  16 Do x3  27 x3  64   x  3x  x  x  16 x 3 x   2x   x Vậy x   x  1 x  1  (với x  1)  x  1  x  x  x  x  1 Ví dụ Tìm x thỏa mãn đẳng thức 3 Hướng dẫn giải Ta có  x  1 x3  1   x  1 x  1  x  1  x  x  1   x  1 x  x  1 x  1  x  1   x2  1 x2  x  1  x  1  x  1 ;  x  1 x  x3  x  x  1   x  1  x  1 x  x  1 ;  x  1 x  1 Suy  x  1  x  x  x  x  1 4 3 Trang  x  1  x  1  x2  1 x2  x  1   x  1  x2  1 x2  x  1  x   x  1 x  1   x    x  1 Do  x  1  x  x  x  x  1 4 3 Vậy x  1 Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Tìm x thỏa mãn đẳng thức A  B với B x A  x  x  1  x  1 x3  ; x3  x  x  ,  x  1 x2  Bài tập nâng cao Câu Tìm x thỏa mãn đẳng thức x5  x  x3  x  x   x với x  1  x  1  x  1 Trang ĐÁP ÁN BÀI RÚT GỌN PHÂN THỨC Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Chọn C Ta có x  x   x  1 x  3 x    x  3x   x  1 x   x  Câu Chọn D Ta có  x  1 x  1  x  x2 1  x   x  1  x  x  1 x  x  Bài tập nâng cao Câu a) x4  x   x  1 x   x  x  3  x  1  x  1 x   x  3  x  1  x  1 2  x  x  2 2 x  x3 y  x y  xy  y  x  y   xy  x  y  b)  x2  y  x2  y   x  y  xy  x  y  x2  y  x2  y  xy 2 4 x  x  x8   x  1 x  1  x  1 x  1  x  1 x  1      c) x 1 x2 1 x4 1 x 1 x2 1 x4 1   x  1   x  1   x  1  x4  x2  x  Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu a)  x  y    x  y    x  y  x  y  x  y  x  y   x.2 y  x 2  y  z    y  z   y  z  y  z  y  z  y  z  y.2z z b)  x  y    xy  1  x  1 y  1 2 2   x  y  xy  1 x  y  xy  1  x  1 y  1  x  y  1   y  1   x 1  y   1  y     x  1 y  1 Trang 10   x  1 y  1 x  11  y   x  1 y  1   x  1 y  11  x  y  1  x  1 y  1  1  x  y  1 Câu a) Ta có 16  x  y    x  y   x  y    x  y    x  y  x  y  x  y  x  y    x  y  3x  y   x  y  3x  y   x  y  3x  y  2 2   x  y  3x  y   4;  x  y  3x  y  25  x  y    x  y   5x  y    3x  y    5x  y  3x  y  5x  y  3x  y    x  y  x  y   x  y  x  y   x  y  x  y  2 2  8x  y  x  y   x  y  x  y    x  y  x  y    x  x  x  y  16  x  y    x  y  25  x  y    x  y  Vậy   x  y  3x  y   x  y  x  y  2 2   4 b) Ta có  x  y    xy  1 x 2   1 y  1 2 x  xy  y  x y  xy  x  y  x y   x  1  y  x  1    x2  1 y  1  x2  1 y  1  x2  1 y  1 x  x x  1 y  1  x  y    xy  1 2  2  1 y  1   1 y  1 x  xy  y  x y  xy   x  y    xy  1 x  1 y  1 x x  x Vậy  1 y  1 2  1 y  1  1 y  1  x 2  1 y  1 x2  y  x2 y   x x 2  1 y  1  1  y  x  1   1 y  1  x  y    xy  1  x   1 Trang 11 c) x  x  3 x  x   x  x    x  1   x  1 x  3 x  1 x   x  1 x  5  x  x  x       x  1 Bài tập nâng cao Câu a  b  c  a  b  c a b  c  a)   a  b  c  a  b  c  a  b  c  a  b  c  a b  c   2a  2b  2c  4a  b  c    a b  c  a b  c  2  bc  ca  2ab   b c  a  a c  b  b)  a  b  c     a  b  c    ab  b  c  c  a    ab  b  c  c  a   1    a  b  c     a b  c  b c  a   Các hạng tử cịn lại tương tự, ta có vế trái sau biến đổi a  b  c  bc  ca  2ab   ca  ab  2bc   ab  bc  2ca     b  c  a     c  a  b    ab  b  c  c  a    bc  c  a  a  b    ca  a  b  b  c   1  1  1      a  b  c       b  c  a     c  a  b    a b  c  b c  a    b c  a  c a  b   c  a  b  a b  c    a  b  c  c  a  b  a b  c  2 b  c  a    a  b  c   b c  a 2  c  a  b   b  c  a   c a  b 2 Nhận thấy nhóm hạng tử có dạng giống câu a) nên chứng minh hạng tử có giá trị 4, tổng 12 Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Chọn A  x  y   x  3xy  y   x  y   x  xy  y  x3  27 y x3  y    Ta có x  3xy  y x  xy  y x  3xy  y x  xy  y  x  y  3x  y  x   x  Bài tập nâng cao Câu  a3   a  b  c 3   b3  c3  a  b3  c   a  b  c   M   a  b  b  c  c  a   a  b b  c  c  a  Trang 12  b  c  a  a  a  b  c    a  b  c     b  c  b2  c  bc    a  b  b  c  c  a   b  c  b2  c  bc   3a  3ab  3ac  2bc  b2  c    a  b  b  c  c  a   a  a  b  c  a  b 3a  3ab  3ac  3bc  3  a  b  c  a   a  b  c  a   3  a  b  c  a   3  a  b  c  a  Vậy M  3 số với a  b, b  c, c  a Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Chọn D Ta có P  x   x  2  x x8  x  16 2  4  2 2 x   2  x2  2 x  2 2   x    x  x  Với x  P  4; với x  P  Vậy đáp án sai D Câu Chọn C x3  3x y  3xy  y  x  y  Ta có    x  y x y x y Thay x  1, y  vào biểu thức sau rút gọn, ta 1  1  Vậy giá trị biểu thức x  1, y  Bài tập nâng cao Câu Ta có A    x99  x98   x51  x50  x 49   x  x  x98  x96   x  x98  x  1  x96  x  1    x  1 x98  x96   x   x  1  x98  x96   x  1 x98  x96   x   x  Thế x  2 vào biểu thức A ta A  2   1 Vậy biểu thức A  1 x  2 Bài tập tự luyện dạng Bài tập Trang 13 Câu x A  x  x  1  x  1 x    x  x  1   x  1   x  x  1  x  x  1  x  1  x    x  x  1  4x  x  x  4   x  4  x  2  x  4    x  x3   x  1  x2  x  1  x  1  x  x  1  x  x  1 2 x3  x B x2  2 x2  x2  Ta có A  B   x  1  x   x  (thỏa mãn) Vậy x  giá trị thỏa mãn toán Bài tập nâng cao Câu Ta có 4 x5  x  x3  x  x  x5  x3  x  x  x  x  x  x  1   x  x  1    x  1  x2  1  x  1  x  1  x  1  x  1  x  1  x  1   x  1  x  1  x  x5  x  x3  x  x   x  x   x  x  x     x  1   x  (thỏa mãn)  x  1  x  1 Vậy x  giá trị thỏa mãn toán Trang 14 ... Phương pháp rút gọn phân thức Ví dụ: - Để rút gọn phân thức ta thực theo hai bước sau: Rút gọn phân thức  Bước Phân tích tử mẫu phân thức thành nhân tử để tìm nhân tử chung x2  2x 2x  Phân tích... 2 II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Rút gọn phân thức Phương pháp giải Bước Sử dụng phương pháp phân tích đa Ví dụ: Rút gọn phân thức thức thành nhân tử để biến đổi tử mẫu x  phân thức Hướng dẫn... 1 x  4  x  4 Bài tập tự luyện dạng Bài tập x2  x  Câu Rút gọn phân thức (với x  1, x  2) ta biểu thức sau đây? x  3x  A x 1 x2 B x2 x3 Câu Phân thức phân thức A x 1 x  x