BÀI 2 QUY tắc TÍNH đạo hàm

BÀI QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM MỤC TIÊU: Kiến thức: - Nắm quy tắc công thức tính đạo hàm - Trình bày cách tìm đạo hàm hàm hợp - Trình bày cách viết phương trình tiếp tuyến điểm Kỹ - Tìm đạo hàm hàm số thường gặp, đạo hàm hàm số hợp - Viết phương trình tiếp tuyến giải toán liên quan - Vận dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình; chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, tính giới hạn I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Đạo hàm số hàm số thường gặp (c)  0, c số;  x ' 1  1    x x ( x )  x x   n x n  n 1 (với n số tự nhiên) Đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương Cho hàm số u  u  x  ; v  v  x  có đạo hàm điểm x thuộc khoảng xác định Ta có: (u  v)  u  v ; (u  v)  u  v ; (u.v)  uv  vu ;    u  u vvu    (v  v( x)  0) v2 v Chú ý: a) (k.v)  kv (k: số)  v 1 b)     (v  v( x)  0) v v Mở rộng: *  u1  u2  un   u1  u2  un  * (u.v w)  u  v  w  u  v  w  u  v  w Đạo hàm hàm số hợp Cho hàm số y  f u  x    f u  với u  u  x  Khi đó: yx  yu  ux Bảng công thức đạo hàm số hàm số thường gặp Đạo hàm hàm số Đạo hàm hàm hợp Trang Sơ cấp u  u  x c u 1     u2 u  '  ,c số  1    x x ( x )  x ( u )  u u u     u  u a   a 1 x    x a   1 Đạo hàm hàm số lượng giác sin x a) Giới hạn x sin x 1 Định lý: lim x 0 x Chú ý: Nếu hàm số u = u(x) thỏa mãn điều kiện: u(x)  sin u( x) 1 x  x0 u ( x) b) Đạo hàm hàm số y  sin x Định lý: Hàm số y  sin x có đạo hàm x  với x  x0 lim u ( x)  x  x0 lim (sin x)  cos x Chú ý: Nếu y  sin u u  u  x  (sin u)  u  cos u c) Đạo hàm hàm số y  cos x Định lý: Hàm số y  cos x có đạo hàm x  (cos x)   sin x Chú ý: Nếu y  cos u u  u  x  (cos u)  u  sin u d) Đạo hàm hàm số y  tan x Định lý: Hàm số y  tan x có đạo hàm x    k , k  (tan x)  Chú ý: Nếu y  tan u u = u(x) có đạo hàm K , u ( x)   cos x  k (k  ) với x  K Khi K u cos2 u e) Đạo hàm hàm số y  cot x Định lý: ta có: (tan u)  sin x Bảng đạo hàm hàm số lượng giác Hàm số y  cot x có đạo hàm x  k , k  (cot x)   (sin x)  cos x (sin u)  u  cos u (cos x)   sin x (cos u)  u  sin u (tan x)  cos x (tan u)  u cos2 u Trang (cot x)   sin x (cot u)   u sin u Ý nghĩa hình học đạo hàm: Đạo hàm hàm số y  f  x  điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số điểm M  x0 , y0  Khi đó, phương trình tiếp tuyến (C) điểm M  x0 , y0  là: y  y  x0  x  x0   y0 Chú ý: Nếu y  cot u u  u  x  có đạo hàm K , u ( x)  k (k  ) với x  K Khi K ta u sin u Nguyên tắc chung để lập phương trình tiếp tuyến ta phải tìm hồnh độ tiếp điểm x0 có: (cot u)   II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Các quy tắc cơng thức tính đạo hàm Bài tốn Tính đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương hàm số Phương pháp giải Áp dụng bảng cơng thức quy tắc tính đạo hàm • Công thức đạo hàm x   n x n  n 1 (với n số tự nhiên) • Đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương Cho hàm số u  u  x  , v  v  x  có đạo hàm điểm x thuộc khoảng xác định Ta có : a)  u1  u2  un   u1  u2  un  b) (u.v.w)  u  v  w  u  v  w  u  v  w    u  u vvu c)    (v  v( x)  0) v2 v Ví dụ Tìm đạo hàm hàm số 2x 1 y  x3  3x  x Hướng dẫn giải   2x 1  Ta có y   x    3x      x   x  (2 x  1) 1  3x  x  x2  3x  x  x Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm đạo hàm hàm số a) y   x  x  2020 x  b) y    x 2 x 1 Trang Hướng dẫn giải   3  a) y    x    x   (2020 x)  y   4 x3  3x  2020 2  ( x  2)  ( x  1)  ( x  2)( x  1) b) y  ( x  1)2  2 x   ( x  1)  ( x  2) ( x  1)2 x 1  2x  x x ( x  1) 1 x  x x ( x  1) Ví dụ Tìm đạo hàm hàm số  a) y  x  x 1 3x  2 b) y  x2  x x  Hướng dẫn giải a) Ta có y  x(2 x  1)(3x  2)   x  x  (3x  2) Khi y   x2  x  (3x  2)     x  x   (3x  2)  (3x  2)   x  x    (4 x  1)(3x  2)   x  x   18 x  x  b) Ta có y    x   ( x x )  5   2x  x  x  ( x )  x  2x  x  x x x Ví dụ Chứng minh cơng thức tổng qt sau a b  c d  ax  b  a)  ; ( a,b,c.d, số )    cx  d  (cx  d )  2x    ax  bx  c  b)     a1 x  b1 x  c1    ax  bx  c  c)     a1 x  b1  a b a c b c x 2 x a1 b1 a1 c1 b1 c1  a1 x2  b1 x  c1  a  a1 x  2a  b1 x   a1 x  b1  b c a1 b1 ;( a,b,c, a1 , b1 , c1 hắng số ) ; a,b,c, a1 , b1 ,là số ) Hướng dẫn giải Trang a) Ta có    ax  b  (ax  b) (cx  d )  (ax  b)(cx  d )    (cx  d )2  cx  d  a(cx  d )  (ax  b)c  (cx  d )2   ad  bc (cx  d )2 a b c d  ax  b  Vậy y   = (cx  d )  cx  d  b) Ta có   ax   ax2  bx  c      a1 x  b1 x  c1   bx  c   a1 x  b1 x  c1    ax  bx  c  a1 x  b1 x  c1    a x  b x  c   b x  c    ax  bx  c    2a x  b  a x  b x  c  2  (2ax  b)   a1 x 2 1 1 2  1  a  b1  a1  b  x   a  c1  a1  c  x  b  c1  b1  c  a x   ax  bx  c  Vậy     a1 x  b1 x  c1   b1 x  c1  a b a c b c x 2 x a1 b1 a1 c1 b1 c1 a x  b1 x  c1  (điều phải chứng minh)  ax  bx  c    a1 x  b1    ax  bx  c    a1 x  b1    ax  bx  c  c) Ta có     a1 x  b1   a1 x  b1     (2ax  b)  a1 x  b1    ax  bx  c  a1  a1 x  b1   '  ax  bx  c  Vậy     a1 x  b1  a.a1 x2  2a.b1 x   b.b1  a1.c   a1x  b1  a.a1 x  2a.b1 x   a1 x  b1  (điều phải chứng minh) b c a1 b1 Bài tốn Tìm đạo hàm hàm số hợp Phương pháp giải Nếu hàm số u  g  x  có đạo hàm x u x' hàm số y  f  u  có đạo hàm u yu hàm hợp y  f  g  x   có đạo hàm x yx  yu ux * Công thức đạo hàm số hàm hợp thường gặp: Trang  u  '  n.u n n 1 u '  n  *  u' u ( u)'   u' 1    u u u  u  x  Ví dụ Tìm đạo hàm hàm số y   x  x   x  Hướng dẫn giải Ta có  y '   x  x    ( x  1)   y '   x  2x . x  2x  4  2x '  1 ' 2 x2 1 4x  y '   x  x   x3    2 x2 1 2x  y '  x  x3    x3  1  x2 1 →Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm đạo hàm hàm số sau:  2x 1  a) y    ;  x 1  Hướng dẫn giải a)Ta có:  2x 1  y '     x 1  b) Ta có:  3x y'  2 b) y  3x  x   3 9(2 x  1)  2x 1   2x 1         ( x  1)4  x 1   x   ( x  1)  x  1   6x   3x  3x  x  3x  x  3x  x  Ví dụ Tìm đạo hàm hàm số sau: 2  1 x  a) y    ;  x   Hướng dẫn giải   b) y   x   x    x   x  a) Ta có: y '     x    x  '      x  2   ( x )    x  (1  x )  1 x x (1  x )3 Trang  '       b) Ta có: y '   x      x    x   x   x  x    1     x     x  x x x        x  1   x x  x      1  1    x  x   1 x Ví dụ Tìm đạo hàm hàm số y  x   x  Hướng dẫn giải x x 1 Ta có: y '  2 x 1  2x 1 x  x2   x  1 ( x   x  1) Bài tập tự luyện dạng Câu Cho hàm số f  x   ax  b, với a,b hai số thực cho Khẳng định sau đúng? B f '  x   a A f  ( x)  a C f '  x   b D f '  x   b Câu Đạo hàm hàm số f ( x)  x2  5x 1 x  A 1 B  Câu Hàm số y  A y '  C 2x 1 có đạo hàm x 1 B y '   ( x  1)2 D 3 ( x  1)2 C y '   D y '  ( x  1)2 Câu Cho hàm số u  u  v  , v  v  x  có đạo hàm khoảng v  x   với x  J Khẳng định sau sai?  A [u( x)  v( x)]  u '( x)  v '( x)   v '( x) B     v( x)  v ( x) C [u( x).v( x)]  u '( x).v( x)  v '( x).u( x)  u ( x)  u '( x).v( x)  v '( x).u ( x) D   v ( x)  v( x)   Câu Tìm đạo hàm hàm y  A y '  x3  x   x2 C y '  2x3  2x2 1 x x3    x x2 D y '  x3  x  x B y '  x3  x  x2  x Câu Cho hàm số y  Đạo hàm hàm số x  x2 A y '(1)  4 B y '(1)  5 C y '(1)  3 D y '(1)  2 Trang Câu Đạo hàm hàm số y  1  x3  A y '  1  x3  B y '  15 x 1  x3  4 ( x  2)2 có đạo hàm 1 x  x2  x x2  x A y '  B y '  (1  x)2 (1  x) C y '  3 1  x3  D y '  5 x 1  x3  C y '  2( x  2) x2  2x D y '  (1  x) 4 Câu Hàm số y  Câu Tìm đạo hàm hàm số y  x2 (2x 1)(5x  3) A y '  40x2  3x2  6x B y '  40x3  3x2  6x C y '  40x3  3x2  6x D y '  40x3  3x2  x Câu 10 Đạo hàm hàm số y  x   x x  x x C y '  3x5   x x  x x D y '  x5   x x A y '  3x5  B y '  x5  5  Câu 11 Tìm đạo hàm hàm số y   x   x   2 5  10  A y '     x   x  x   5  10  B y '     x   x  x   2   C y '   x   x   5  10  D y '     x   x  x   Câu 12 Đạo hàm hàm số f ( x)   3x A 3x B C 6 x 2  3x 2  3x2 x Câu 13 Cho hàm số y  f ( x)  trị y (0)  x2 1 A y '(0)  B y '(0)  C y '(0)  ax Câu 14 Đạo hàm hàm số y  có dạng 2 x 1  x  1  3x Khi a nhận giá trị sau đây? A a  4 B a  1 C a  B 3x  3x D y '    D a  3 Câu 15 Tìm đạo hàm hàm số y  x  x x  A y '  x  x   C y '  x x 1 x x 1 x x 1 x D y '  x  x   x 1 B y '  x  x   Câu 16 Tính đạo hàm hàm số sau y  ( x  2)3 ( x  3)2 Trang A y '   x  x    2( x  3)( x  2)3 B y '   x  x    3( x  3)( x  2)3 C y   x  x    2( x  3)( x  2) D y '   x  x    2( x  3)( x  2)3 2 Câu 17 Đạo hàm hàm số y    x  3x   A y '  7(2 x  3)   x  3x   B y '    x  3x   C y '  (2 x  3)   x  3x   D y '  7(2 x  3)   x  3x   6 6 Câu 18 Cho f ( x)   3x   2x Giá trị f   A B  C.0 D.1 Câu 19 Đạo hàm hàm số y  x2 x 5x x x C ax  bx x2  x  Câu 20 Đạo hàm hàm y  cos dạng Khi a,b ( x  1) x 1 A a.b  2 B a.b  1 C a.b  Câu 21 Đạo hàm hàm số y  ( x  1)( x  3) 1 2x  A B C  2 2 2x  ( x  3) ( x 1) x  x    A x x B D 5x x D a.b  D 4  x  x  3 Câu 22 Cho hàm số f ( x)  (2018  x)(2017  x)(2016  3x)(1  2018x) Giá trị f ' 1 A 2019.20181009 B 2018.10092019 C 1009.20192018 D 2018.20191009 x Câu 23 Tìm đạo hàm hàm số y  A y '   a2 a x  B y '  a  x2 a2 a x  C y '  2a a x  D y '  a2 a x  Câu 24 Đạo hàm hàm số y  ( x  1) x  x  A x2  5x  x2  x  B x2  5x  x2  x  C x2  5x  x2  x  D x2  5x  x2  x   a ax  b   2x  , x  Giá trị Câu 25 Cho    b  x   (4 x  1) x  A 16 B  C 1 Câu 26 Cho f ( x)  x( x  1)( x  2)( x  3) ( x  n) với n  A f  (0)  B f  (0)  n * Tính f  0 C f  (0)  n! Câu 27 Cho hai hàm số f  x  g  x  có đạo hàm D D f  (0)  n(n  1) thỏa mãn f (2  x)  f (2  3x)  x2 g( x)  36x  0, x  Giá trị A  f (2)  f  (2) A 11 B 14 C 13 D 10 Trang Câu 28 Cho hai hàm số f  x  g  x  xác định liên tục thoả mãn: f ( x)  x2 , x  g 1  3; g ' 1  Tính đạo hàm hàm số hợp f  g  x   x  A B C 15 D 30 Câu 29 Biết hàm số f  x   f  x  có đạo hàm x  đạo hàm x  Tính đạo hàm hàm số f  x   f  x  x  A B 12 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT C 16 D 19 A D C B D B B A B 10 A 11 D 12 A 13 A 14 B 15 D 16 D 17 D 18 A 19 D 20 A 21 C 22 C 23 D 24 D 25 C 26 C 27 D 28.D 29.D Câu Ta có y    (2 x  1)( x  2)  x  x ( x  2) x  4x   y (1)  5 ( x  2) Câu  Ta có y   x  1  x   15x 1  x   Câu Ta có y  2( x  2)(1  x )  ( x  2)2 (1)  x  x  (1  x )2 (1  x )2 Câu Ta có y  10x  x3  3x  y  40x3  3x  6x Câu 10 Ta có y  3x   x x Câu 11  10  5 Ta có y     x   x  x   Câu 12   3x  )  Ta có f  ( x )  (  x    2  3x 6 x 2  3x 3 x   3x Câu 13  x Ta có y  f ( x )     4 x Câu 14   4 x    x    x  x  (  x )     x      x2  ( x  1)    Ta có y   x2  x2   x2    x   x2   x2  x2  x  y (0)   4  x2  a  1 Trang 10  m  1 m  2m   m  2m    (m  1)  m  m  1     m  1   3 2   1  1    Suy tập S  1; ;  2     Khi đó, tổng giá trị phần tử thuộc S là: 1  1  1    2 2 Câu 14 y  x3  mx2  2mx  2018  y  3x2  2mx  2m Hệ số góc tiếp tuyến khơng âm a 30   y  3x  2mx  2m    '  m [6;0]  y  m  6m   Câu 15 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ m m 1 y ( x  m)   x  (m  1)2 y  m2  2m   (m 1) m 1 Do d(I, d )  2.1  (m  1)2 1  m2  2m  22  (m  1)4  | m  1|  (m  1)4  | m  1| 4(m  1) 2 Dấu xảy (m 1)4   m   Câu 16 Phương trình tiếp tuyến điểm có hoành độ x  m y   3 m ( x  m)  (m  2) m2 Để tiếp tuyến cách điểm A  1  2 , B 1;0 có khả +) Tiếp tuyến song song với AB  kTT  k AB   +) Tiếp tuyến qua trung điểm AB   (2) ( vô nghiệm)  (m  2)  (1) 2   1   3 m   m   m  1  (m  2)   m2 Vậy tiếp tuyến cần tìm y  5 x –1 Câu 17 Ta có: y'  mx2  2(m 1) x   3m Yêu cầu tốn tương đương với phương trình y  1  1 có hai nghiệm dương phân biệt hay phương trình mx2  2(m 1) x   3m   mx2  2(m 1) x   3m  có hai nghiệm dương phân biệt m      4m  4m     0m   2(1  m)  S  0 m 1  m      3m 0 P  m  Trang 47  1 1 2 Vậy  0;    ;  giá trị cần tìm  2  3 Câu 18 x 1  x  m  x  2mx   m  Theo Vi-et Phương trình hồnh độ giao điểm: 2x 1  x1  x2  m   1  m  x1 x2  1 1   1  k1k2  2 2 (2  2m  2m  1) (2 x  1)  x1 x2   x1  x2   1  x1  1  x2  1 Câu 19 5 y  ( x  2)2 y  5 2m   2m   Gọi M  m; ( x  m)  d   Phương trình tiếp tuyến M : y  (m  2) m2  m2   2m  2m   { A}  (d )  Ox  A  ;0     2m  2m   {B}  (d )  Oy  B  0;  (m  2)   1 2m  2m  2m  2m  2  m  m  1  m2  m    OA  OB       2 (m  2) (m  2)2 5 m2  SOAB  m2  m  1 m   m2 SOAB      m  m 1  m  3    m  Vậy tìm hai điểm M thoả u cầu tốn Câu 20 Ta có y    x f (4 x  3)   x f (4 x  3)  x f  (4 x  3)  VÌ 1, 2 vng góc nên f  (1)   f (1)  f  (1)   1   f  (1)   f (1) f  (1)   Để tồn f  (1)    f (1)   | f (1) | Câu 21 Đường thẳng  : x  y   có vectơ pháp tuyến là: n1  (1;1) Gọi  d  : y  kx  m tiếp tuyến cần tìm  d có vectơ pháp tuyến là: n1  (k; 1) Theo giả thiết, ta có: cos   n n 4  cos  n1 , n2     n1  n2 41 41 41 k   41 | k  1|  k   9k  82k     k   +) Với k  d : y  x  m 2   x  x  x  x  m 1 d tiếp xúc với (C) hệ :  có nghiệm, x  12 x       Trang 48  x    m   y  9x Ta có: (2)  3x  12 x     x    m  32  y  x  32 1 +) Với k  d : y  x  m 9  x  x  x  x  m  3  d tiếp xúc với (C) hệ  có nghiệm 3x  12 x    4  18  21  Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn u cầu tốn có phương trình là: y  x; y  x  32 Ta có: (4)  27 x2  108x  80   x  Câu 22 7 7 2  y   3x  x  m    x    m   m   y   m   y   m  x  3 3 3  7 10  Theo toán ta có: y (1)  1   m   (1)  1  m  3  Câu 23  f ( x)  f  x   f  ( x)  f ( x)  x  f   x    Ta có y    T ( x) 2  f  x2   f x     Từ giả thiết ta có f  (1)  10 T (1)  3, f ( x)  0, x   Do 10 f (1)  3 f (1)  f (1)  10 Câu 24 Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d:  x  1  y  x3  3x  k ( x  1)   ( x  1)  x  x   k      x  x   k  0(1) d cắt (C) ba điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1    (1)  k      g (1)   k   Khi đó, d cắt (C) M (1;2), N  xi ; y1  , P  x2 ; y2  với x1 , x2 nghiệm (1)  S  x1  x2  Theo định lý Vi-ét:   P  x1 x2  k  Tiếp tuyến N P vng góc với  y  x1   y  x2   1   3x12  3 3x22  3  1  x12 x12   x12  x22    1  P  18P  9S   1 3  3 Vậy tích phần tử S  9k  18k    k  Trang 49 Câu 25 2a    Giả sử A  a;  Ta có y  ( x  2)2  a2 Phương trình tiếp tuyến (C) A: A : 4a 2a | 8(a  2) | x y    d ( A, d )  2 (a  2) (a  2) a  (a  2)  16 Do tính đối xứng nên A, B thuộc hai nhánh khác nhau, khơng tính tổng qt giả sử xA  a  2 Đặt t  a   t  Khi d ( A, d )  Xét f (t )  8t t  16 8t t  16 (t  0) từ bảng biến thiên ta có max f (t )  f (2) t 0 Vậy khoảng cách từ I đến tiếp tuyến A lớn a  hay A  0;0 Do tính đối xứng nên B  4;4 Vậy AB  Câu 26 f ( x)  Đặt h( x)  Giả sử f  (1)  g (1)  h (1)  k g ( x)  f  ( x)[ g ( x)  3]  g  ( x)[ f ( x)  3] k[ g (1)  f (1)] [ g (1)  f (1)] k   1 [ g ( x)  3] [ g (1)  3]2 [ g (1)  3]2 11  g (1)  5g(1)  f (1)   Tồn g (1)    11  f (1)   f (1)   Câu 27 1 Phương trình tiếp tuyến điểm x0 y  y  x0  x  x0   y  x0    x  x0    x0   x0  1 Ta có: h ( x)   2x 1  Tọa độ giao điểm tiếp tuyến với trục tọa độ A  x0  1;0  , B  0;    x  12     x0  1 3      x0    ; 4  2  x0  1 4  Suy SOAB Câu 28 d : 2x  y    y  2x   kd  2, y  (2m  1) x  m   y   4(2m  1) x Hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  (2m  1) x  m  điểm có hồnh độ x  1  ktt  y (1)  4(2m 1)(1)  4(2m 1) Ta có ktt kd  1  8(2m  1)  1  m  16 Câu 29 Tập xác định: D   3 \    2 1 (2 x  3)2 Tiếp tuyến d : y  kx  m cắt Ox, Oy hai điểm A, B nên m  0, k  Ta có: y  Trang 50  m  Do A  Ox nên A   ;0  , B  Oy nên B(0; m)  k  Do tam giác OAB cân gốc tọa độ O nên OA  OB  Do k  1  x0  3  nên k  1 Suy 1  x0  3  k  1 m   | m | m2   1    k k  k   x  1  y0   1   x0  3     x0  2  y0  + Phương trình tiếp tuyến (C) M1 (1;1) là: y  ( x 1) 1  y  x (loại) + Phương trình tiếp tuyến (C) M2 (2;0) là: y  ( x  2)  y  x  Khi đó: k  m  1   3 Câu 30  f  (2)  Phương trình tiếp tuyến  C1  A y  f  (2)( x  2)  f (2)  3x     f (2)  10 Phương trình tiếp tuyến  C1  B  f  (10)  y  f (2) f ( f (2))( x  2)  f ( f (2))  f (2) f (10)(x  2)  f (10)  6x 13    f (10)  25     Phương trình tiếp tuyến  C3  C y  12 f  (10)  ( x  2)  f (10)  24  ( x  2)  25  24x  23 Câu 31   Gọi M x0 : x02  x0  tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến (C) M có dạng là: y  x02  x0    y x0  x  x0  x0  x02  x0  x  x  x0   x0 x  x0  Vì tiếp tuyến (C) M qua điểm A 1; a  nên ta có: a x0  x02  x0    x0 x02  x0    a   a x02  x0     2 x02  x0   a  x0  x0  3  a   2 a x0  2ax0  3a     Vì qua A kẻ hai tiếp tuyến đến (C) nên hệ phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt a  a  a  15        15 0a 2 15 a   3a     3a  5a    Vì a  nên a  Câu 32 Nhận xét: hàm số cho hàm số chẵn có đạo hàm Việc chứng minh hàm số Có đạo hàm , ta cần chứng minh hàm số Có đạo hàm x  Thật vậy, ta có: y( x)  y(0) | x |3 3x x2 | x | 3x lim  lim  lim  lim( x | x | 3x)  nên hàm số Có đạo hàm x  x 0 x 0 x 0 x 0 x0 x x Vì hàm số cho hàm số chẵn nên đồ thị (C) đối xứng qua Oy Do từ điểm A trục Oy Trang 51 kẻ tiếp tuyến d đến (C) ảnh d qua phép đối xứng trục Oy tiếp tuyến (C) Vậy để qua điểm A trục Oy kể đến (C) ba tiếp tuyến điều kiện cần đủ có tiếp tuyến vng góc với trục tung tiếp tuyến với nhánh phải đồ thị (C), tức phần đồ thị hàm số y  f ( x)  x3  3x2 1 với x  Gọi M  0; m thuộc Oy (∆) tiếp tuyến qua M  0; m có hệ số góc k Ta có: () : y  kx  m  x3  3x   kx  m Điều kiện tiếp xúc  3x  x  k Suy ra: x3  3x   x  3x  x   m  m  2 x3  3x  1 Yêu cầu đề tương đương phương trình (*) có nghiệm x  nghiệm x  Phương trình (*) có nghiệm x  nên m  x  Thử lại, với m  (*) trở thành: 2 x  3x    (đúng) x   Vậy m  Câu 33 Gọi A  x1; x13  3x12  1 , B  x2 ; x23  3x22  1 với  x1  x2  Do tiếp tuyến A, B song song với nên chúng có hệ số góc k Khi phương trình 3x  x  k  có hai nghiệm phân biệt     3k   k  3  2 2 AB2   x2  x1    x23  x13  3 x22  x12    x2  x1  1   x12  x1 x2  x22  3x1  3x2     2  32   x1  x2   x1 x2  1   x1  x2   x1 x2   x1  x2    1      Với x1  x2  x1 x2   k 4(k  3)  (k  6)2 nên (1)  32    (k  9) k    k  3   (thỏa mãn (*))  x  1  A(1; 3)  AB : x  y   Khi 3x  x      x   B(3;1) Do đường thẳng AB qua điểm N  4;2  Câu 34 Phương trình tiếp tuyến elip điểm  x0 ; y0  y  y  x0    x  x0   y0 (1) x y  y b2 x x2 y  0 y  Từ phương trình elip   , đạo hàm hai vế ta  a b2 a y a b  y  x0    b2 x0   a y0 Khi (*) vào (1) ta phương trình tiếp tuyến sau: y b2 x0 x  x0 y  y0 x02 y02 x x y y 2 2 2 x  x  y  a y  b x  b x x      1  0 0 0  a y  y0  2 a y0 a b a b a b Do  x0 ; y0  thuộc clip nên x02 y02  1 a b2 Câu 35 Dễ thấy đồ thị hàm số (P) có hệ số a    P  cắt Ox điểm có hồnh độ Trang 52 x1  m 1  m   x2 Do yêu cầu đề   m 1  m  Câu 36 Gọi M  x0 ; y0   (C ) Phương trình tiếp tuyến M : y  3  x0  1  x  x0   y0 Gọi A, B giao điểm tiếp tuyến với trục hoành trục tung  yB  - Từ trọng tâm G OAB có tung độ yG  Vì G  d nên Mặt khác : x02  x0   x0  1 x02  x0   x0  1 2  x02  x0   x0  1 yB 2n02  4n0   3  2n0  1  2m  x02   x0  1  x0  1 2  x02  x0  1   1 1 Do để tồn điểm M thỏa mãn tốn 2m     m  3 Vậy giá trị nhỏ m : Câu 37 Ta có M  0;1  m giao điểm  Cm  với trục tung; y  3x2  m  y (0)  m Phương trình tiếp tuyến với  Cm  điểm M y  2 x   m Gọi A, B giao điểm tiếp tuyến với trục hoành trục tung, ta có tọa độ  1 m  A ;0  B(0 ;1- m)  m  Nếu m = tiếp tuyến song song với Ox nên loại khả Nếu m  ta có: m   (1  m)2 1 1 m  16   SOAB   OA  OB   1 m   |m| 2 m  m  7  Vậy có giá trị cần tìm Câu 38 Giả sử tiếp tuyến (d) (C) M  x0 ; y0   (C ) cắt Ox A, Oy B cho OA  4OB Do OAB vuông O nên tan A  Hệ số góc (d) y   x0    OB 1   Hệ số góc  d   OA 4  x0  1 0  x0  1  3   x0  1 y0        5   x0   y0   2   Trang 53    y   ( x  1)  y   x   Khi có tiếp tuyến thoả mãn là:   y   ( x  3)   y   x  13   4 Câu 39 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm có hồnh độ x  là: y  f 1 x 1  f 1 Từ giải thiết ta có: f (1  3x)  9x  f (1  x) 1  f (1)  Với x  thay vào (1) ta được: f (1)   f (1)    f (1)  1 Lấy đạo hàm theo x hai vế (1) ta f (1  3x) f  (1  3x)   f (1  x) f  (1  x)  2 Với x  thay vào (2) ta được: f (1) f  (1)   f (1) f  (1) (3) Trường hợp 1: Với f 1  thay vào (3) ta được:  (vô lý) Trường hợp 2: Với f 1  1 thay vào (3) ta được: 6 f  (1)   f  (1)  f  (1)  1 Suy phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm có hồnh độ x  y  f  (1)( x 1)  f (1)  ( x 1) 1  x Vậy y   x Câu 40 2a  1 1 Ta có M (a, b)  (C )  b  Lại có y  , nên tiếp tuyến d M có hệ số góc k  a 1 (a  1)2 ( x  1)   Đường thẳng IM có vectơ phương IM   a  1;  nên có vectơ pháp tuyến a 1   n   1;(a  1)2  Do đường thẳng M có hệ số góc k   Để d  M k  k   1  (1)  (a  1) (a  1)2 a   a  1  ( a  1)         (a  1)2 (a  1)2  a   1  a  Mà a  , nên a  b  Do a  b  Câu 41 Ta có y  x2  2mx  2m  1 Đường thẳng (d ) : x  y    (d ) : y   x  có hệ số góc k   2 Gọi M  x0 ; y0   (C ) Tiếp tuyến (C) M vng góc với d nên y x0   k  1  y x0    x02  2mx0  2m    x02  2mx0  2m    Yêu cầu tốn  * có hai nghiệm trái dấu  2m    m  Vì m nguyên dương nên m1;2 Câu 42 Trang 54 Theo đề ta có k1  k2  f  (2)  g  (2)  k3  f  (2) g (2)  g  (2) f (2) g (2) Theo đề ta có k1  k2  2k3  nên ta có phương trình f  (2)[ g (2)  f (2)]   f (2)  g (2)  g (2)  f (2)  g (2) Do g   giá trị thuộc tập giá trị hàm số nên phương trình g (2)  2g (2)  f (2)  có nghiệm      f (2)   f (2)  Câu 43 Hàm số xác định với x  Ta có: y  4 ( x  1)2 Gọi M  x0 ; y0  tiếp điểm, suy phương trình tiếp tuyến (C): y  y  x0  x  x0   y0 Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông cân nên tiếp tuyến phải vng góc với hai đường phân giác y   x , hệ số góc tiếp tuyến 1 hay y  x0   1 Mà y  0, x  nên ta có y   x0   1  4  x0  1  1  x0  1, x0   x0  1  y0    : y  x 1  x0   y0    : y  x  Câu 44 Ta có h ( x)   f  (2  x) h ( x)   f  (2  x)   x  12  (12  x)(1  x) g (2  x)    ( Vì g ( x)  0, x )  x  1 Từ ta có bảng xét dấu h '  x  Chú ý đạo hàm hàm số h  x  điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị tan 0 Câu 45 Vì M  d : x  y   nên M (m; 2m  1) Tiếp tuyến (C) qua M có phương trình dạng y  k  x  m  2m  x3  x   k ( x  m)  2m  Từ điểm M kẻ tiếp tuyến tới (C) hệ :   4  k  ( x  1) có nghiệm Trang 55 1  2 Thay (2) vào (1), ta được: x3 4  ( x  m)  2m   ( x  3)( x 1)  4( x  m)  (2m 1)( x 1)2 ,( x  1) x  ( x  1) Lần lượt thử phương án: Với m  1 phương trình trở thành x  x   có nghiệm x  1 Vậy m  1  M  1; 1 Câu 46 3  Gọi M  x0 ; y0  tiếp điểm ( x  1)2 2x 1 3 Phương trình tiếp tuyến ∆ có dạng: y  x  x0    x0   x0  1 Ta có y  y   2x 1    Ox  A :  3 x  x0   0    x  1 x    x02  x0   ;0  Suy A    x   3x0 2x 1    Oy  B :  y    x0  1 x0    x2  x 1  Suy : B  0;    x      1  x2  x0   Diện tích tam giác OAB: S  OA  OB    6 x0   2 Suy SOAB  2x  2x      1 x      x0  0, x0      x  x0   x0  2x  x     02   x0  3x0    x  , x  2  x  x0    x0    2 Từ ta tìm tiếp tuyến là: y  3x  1, y  3x  11, y  12 x  2, y   x  3 Câu 47 Ta có: g ( x)  f (2x 1)  2x f  (2x 1)  g (1)  f (1)  f  (1) d1 có hệ số góc f ' 1 d có hệ số góc g (1)  f (1)  f  (1) Mà d1  d2  f  (1)  g  (1)  1  f  (1)   f (1)  f  (1)   1  f (1)  f (1) f  (1)   Để tồn f  (1)    f (1)   | f (1) | 2 Trang 56 Câu 48 f  (2)  g (2)  f (2) g  (2) k1  g (2)  k2 f (2) Ta có: k1  f (2), k2  g (2); k3   g (2) g (2)   Mà k1  k2  2k3  nên ta có: 2k3  g (2)  2k3 f (2) 1 1  f (2)    g (2)  g (2)    [ g (2)  1]2   g (2) 2 2 Câu 49 Ta có: y  3x2  2(m 1) x k3  Xét phương trình hồnh độ giao điểm (C) d x3  (m 1) x2  2m 1  x  m 1  x3  (m 1) x2  x  m  (*)  A(a; a  m  1)  Gọi  B(b; b  m  1) tọa độ giao điểm (C), d a, b, c đơi khác C (c; c  m  1)  Theo đề ta có f  (a)  f  (b)  f  (c)  19   a  b2  c   2(m  1)(a  b  c)  19  (a  b  c)2  2(ab  bc  ca)   2(m  1)(a  b  c)  19 a  b  c  m  Mặt khác từ (*)   ab  bc  ca  1 Do ta có (m  1)2  2  2(m  1)2  19  (m  1)2  13  m   13  Vậy tổng giá trị m1  m2  2 Câu 50 Ta có: y  3x2  2mx  m Gọi M  x0 ; y0   (C ) suy hệ số góc tiếp tuyến (C) M có hệ số góc   m  3m  m   m2   m   k  y  x0   3x  2mx0  m   x0      3  3     Để đường thẳng tiếp xúc với (C) có hệ số góc dương thì:   m2  3m   m2  3m          3  m  3      Tập giá trị nguyên m là: T=\{-2 ;-1\} Vậy tổng phần tử T là: –3 Câu 51 Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số ( C ) : y  x2  2mx  m 0 xm Đồ thị hàm số y  x2  2mx  m trục hoành xm  x  2mx  m  0(*)   x  m x2  2mx  m cắt trục Ox hai điểm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân xm Trang 57 m     m  m   m 1   biệt khác m   3m  m  m     Gọi M  x0 ; y0  giao điểm đồ thị (C) với trục hồnh y0  x02  2mx0  m  hệ số góc tiếp tuyến với (C) M là:  x0  2m  x0  1   x02  2mx0  m  x0  2m k  y  x0    x0  m  x0  m   Vậy hệ số góc hai tiếp tuyến với (C) hai giao điểm với trục hoành k1  x1  2m x  2m , k2  x1  m x2  m  x  2m  x2  2m  Hai tiếp tuyến vng góc  k1.k2  1      1  x1  m  x2  m    x1 x2  m  x1  x2   m2     x1 x2  m  x1  x2   m2  (*x)  x1 x2  m m  Ta lại có  (**)  m2  5m    Nhận m =  x1  x2  2m m  Câu 52 Do y  f  x  có đồ thị cắt trục hồnh bốn điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 , x3 , x4 nên f ( x)  a  x  x1  x  x2  x  x3  x  x4  , a   f  ( x)  a  x  x2  x  x3  x  x4   a  x  x1  x  x3  x  x4  a  x  x1  x  x2  x  x4   a  x  x1  x  x2  x  x3  Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị (C) A k1  f   x1   a  x1  x2  x1  x3  x1  x4   (1) Ta có y  f  ( x)  4ax3  3bx2  2cx  d  f   x1   4ax13  3bx12  2cx1  d (2) Từ (1) (2) ta suy k1  f   x1   4ax13  3bx12  2cx1  d Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị (C) B k2  f   x2   a  x2  x1  x2  x3  x2  x4   2ad Do hai tiếp tuyến (C) A, B vng góc với nên k1k2  1  12  ad   1  a d  12 Ta có: f   x3   a  x3  x1  x3  x2  x3  x4   2ad   f   x3    4a d  f   x4   a  x4  x1  x4  x2  x4  x3   6ad   f   x4    36a 2d  Vậy S   f   x3     f   x4    Câu 53 Ta có: [ f (1 2x)]2  x  [ f (1 x)]3 (1) 2  [ f (1 2x)] f  (1  2x)   3[ f (1  x)]2 f  (1  x)  (2) Cho x =  f (1)  (1)  [ f (1)]2  [ f (1)]3     f (1)  1 Trang 58 (2)  f (1) f  (1)   3[ f (1)]2 f  (1) Ta thấy f 1  không thỏa mãn, với f (1)  1  f  (1)   Phương trình tiếp tuyến là: y   x  7 Câu 54 Từ giả thiết f (2x)  f (1 2x)  12x2 , x  Chọn x  0, x  ta (*) 2 f (0)  f (1)   f (0)  1    f (1)  2 f (1)  f (0)  Lấy đạo hàm hai vế (*) ta f  (2x)  f  (1  2x)  24x, x  Chọn x  0, x  ta     f  (0)  4 f (0)  f (1)       4 f (1)  f (0)  12  f (1)   Phương trình tiếp tuyến cần tìm y   x 1   4x  Câu 55 Từ giả thiết [ f (1 2x)]2  x  [ f (1  3x)]3 , x  (*)  f (1)  Chọn x = ta f (1)   f (1)    f (1)  1 Lấy đạo hàm hai vế (*) ta f (1 2x)  f  (1 2x)    f (1  3x) 3  f  (1  3x), x  Chọn x =0 ta f (1) f  (1)   f (1) f  (1) f 1   vô lý Suy f (1)  1 f  (1)   13 Phương trình tiếp tuyến cần tìm y  1  x 12 ( x  1)    13 13 13 Câu 56  f (2)  Từ [ f (x  2)]2  [ f ( x  2)]3  10x (*), cho x = ta có [ f (2)]2  [ f (2)]3     f (2)  1 Đạo hàm hai vế (*) ta 2 f (x  2) f  (x  2)  3[ f ( x  2)]2 f  ( x  2)  10 Cho x = ta 2 f (2)  f  (2)  3[ f (2)]2  f  (2)  10  f (2) f  (2)  [3 f (2)  2]  10  **  Nếu f  2  (**) vô lý f  2  1 Nếu f  2  1, (**) trở thành  f  (2) [3  2]  10  f  (2)  Phương trình tiếp tuyến y  2( x  2)   y  x  Câu 57 Đường tròn (  ): x2  ( y 1)2  có tâm I(0 ; 1) bán kính R = Ta có A(1;1- m); y  4x3  4mx  y (1)   4m Suy phương trình  : y  (4  4m)( x  1)   m Trang 59 3  Dễ thấy  qua điểm cố định F  ;0  điểm F nằm đường tròn (  ) 4  Giả sử  cắt (  ) M, N Thế ta có: MN  R2  d ( I ; )   d (l; ) Do MN nhỏ  d (l ; ) lớn  d (l; )  IF    IF 3  Khi đường  có vectơ phương u  IF   ; 1 ; u  (1;  4m) nên ta có: 4  13 u  n   1  (4  4m)   m  16 Câu 58 Từ giả thiết f (2x)  f (1  2x)  4x3  x2 , x  (*)   f (0)  f (1)  f (0)       12 Chọn x  0, x  ta   2 f (1)  f (0)   f (1)      Lấy đạo hàm hai vế (*) ta f  (2x)  f  (1  2x)  12x2  2x, x     f (0)      f (0)  f (1)    Chọn x  0, x  ta     4 f (1)  f (0)   f  (1)    Suy phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm có hoành độ 1 x  y  x  3 12 1 1 Do a  ; b  ; a1  ; b1  3 12 2a  5b 46 Vậy  3b1  2a1 y  Trang 60 Trang 61 ... x) (20 16  3x).(1  20 18x) ? ?2( 2018  x ) (20 16  3x )(1  20 18x )  20 18 (20 18   x ) (20 17  x ) (1  20 17 x ) Suy f  (1)  20 1 920 17  2. 201 920 17  3 .20 1 920 17  20 18 .20 1 920 17  20 1 920 17...  2( 1  2) Câu 25 Do hàm số y  f  x  có đạo hàm điểm x0  suy lim x ? ?2 f ( x)  f (2)  f  (2) x? ?2 Ta có f ( x)  xf (2) x ? ?2 x? ?2 f ( x)  f (2)  f (2)  xf (2) 2( f ( x)  f (2) ) f (2) (...  20 18)  20 1 920 17  20 18 .20 19  1009 .20 1 920 18 Câu 23 a2  x  Ta có y   a2  x x2 a2  x   a2 a x  Câu 24 Ta có y  x  x   ( x  1) 2x  x2  x   x  5x  x2  x  Câu 25 