Sử dụng phương pháp hình học tìm GTLN và GTNN của modun số phức

CHUYÊN ĐỀ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI BÀI TỐN TÌM GTLN - GTNN MƠĐUN SỐ PHỨC A KIẾN THỨC CƠ BẢN Điểm Torricelli: Cho tam giác ABC có góc lớn khơng q 120 Điểm Torricelli tam giác ABC điểm T nằm ABC có tổng cạnh TA  TB  TC  p  q  r nhỏ Để tìm điểm này, ta dựng tam giác ACM , BCN , ABO : giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác (hoặc giao điểm AN , BM , CO ) điểm Torricelli mà cần tìm Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: Với hai dãy số thực a1 , a2 , , am b1 , b2 , , bm ta ln có bất đẳng thức sau a  a2   am  b12  b2   bm    a1b1  a2b2   ambm  Dấu xảy a a1 a2    m b2 b2 bm Định lý Ptoleme hay đẳng thức Ptoleme đẳng thức hình học Euclid miêu tả quan hệ độ dài bốn cạnh hai đường chéo tứ giác nội tiếp Định lý mang tên nhà toán học thiên văn học người Hy Lạp cổ đại Ptolemy (tức Claudius Ptolemaeus) Nếu A, B, C, D đỉnh tứ giác nội tiếp đường trịn thì: AC.BD  AB.CD  BC AD Bất đẳng thức Ptoleme trường hợp tổng quát định lý Ptoleme tứ giác Nếu ABCD tứ giác AC.BD  AB.CD  BC AD Dấu xảy tứ giác nội tiếp đường tròn Định lí Stewart: Gọi a, b, c độ dài cạnh tam giác Gọi d độ dài đoạn thẳng nối từ đỉnh tam giác với điểm nằm cạnh (ở cạnh có độ dài a) đối diện với đỉnh Đoạn thẳng chia cạnh a thành đoạn có độ dài m n, định lý Stewart nói rằng: b m  c n  a  d  mn  B BÀI TẬP Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn z   3i  Giá trị lớn z   i A 13  B C Lời giải Chọn D D 13  Gọi z  x  yi ta có z   3i  x  yi   3i   x     y  3 i 2 Theo giả thiết  x     y  3  nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm đường tròn tâm I  2;3 bán kính R  Ta có z   i  x  yi   i   x  1   y  1 i   x  1   y  1 M2 M1 Gọi M  x; y  H  1;1 HM   x  1   y  1 I H Do M chạy đường tròn, H cố định nên MH lớn M giao HI với đường tròn  x   3t Phương trình HI :  , giao HI đường tròn ứng với t thỏa mãn: 9t  4t   y   2t t     nên M   ;3  ;3  , M 2  13 13 13  13 13    Tính độ dài MH ta lấy kết HM   13 Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn z   z   10 Giá trị lớn giá trị nhỏ z A 10 B C D Lời giải Chọn C y B A F1 5 4 F2 A O x 3 B Gọi z  x  yi ,  x, y    Theo giả thiết, ta có z   z   10   x    yi   x    yi  10   x  4  y2   x  4  y  10 * Gọi M  x; y  , F1  4;  F2  4;  Khi (*)  MF1  MF2  10 nên tập hợp điểm M  z  đường elip  E  Ta có c  , 2a  10  a  b  a  c  x2 y Do đó, phương trình tắc  E   1 25 Vậy max z  OA  OA  z  OB  OB  z  OB  OB '  Câu 3: Xét tập  A  gồm số phức z thỏa mãn z  2i số ảo giá trị thực m , n thỏa z2 mãn có số phức z   A  thỏa mãn z  m  ni  Đặt M  max  m  n  N   m  n  Tính P  M  N ? A P  2 B P  4 C P  D P  Lời giải Chọn C Giả sử z  a  bi ,  a, b    z  2i  z   4i  a  b  Ta có  Vì 1 z  2i a   b   i  a   b   i   a    bi    z   a    bi  a  2  b2 a  a    b  b     a   b    ab  i  a  2  b2 z  2i 2 số ảo nên a  a    b  b      a  1   b  1  z2 2 Ta có  a  m    b  n   Vì có số phức thỏa mãn nên hai đường tròn  C1  có I1 1;1 , R1  đường trịn  C2  có I  m; n  , R2  tiếp xúc  I I  R1  R2  2 Vậy   I1 I  R1  R2  Trường hợp I1 I  (không thỏa mãn) lúc hai đường trịn trùng nên có vơ số  a; b  2 2 thỏa mãn  a  1   b  1  Vậy I1 I  2   m  1   n  1  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có : m  n    m  1   n  1  1   12   m  1   n  1  4  4  m  n    2  m  n  M  Suy   N  2 Câu 4: Xét số phức z thỏa z   i  z   7i  Gọi m , M giá trị nhỏ giá trị lớn z   i Tính P  m  M A P  13  73 B P   73 C P   73 D P   73 Lời giải Chọn B Ta có w  z   i  a  bi; a, b    z   i    2i   z   i    3  8i    w   2i  w   8i Do xét điểm M  a; b  , A  3;  , B  3;8 , ta có:  MA  MB  AB  6 Dấu "  " xảy  M   AB  , b  a  3  a  w  a  b  a   a  5  2a  10a  25 m  2a  10a  25   3;3 ; M  max 2a  10a  25  73  3;3  73 Cách 2: Cũng tương tự trên, ta có: Vậy P  w  OM  d  O; AB   Vậy P  Câu 5: , w  OM  OB  73  73 Cho số phức z thỏa mãn z   4i  z   3i  Mệnh để sau đúng? A  z  13 B  z  C  z  13 D 13  z  Lời giải Chọn D Ta có z  a  bi; a, b   Xét điểm M  a; b  , A  3; 4  , B  2; 3 , có:  MA  MB  AB  Dấu "  " xảy  M   AB  Ta có phương trình AB : x  y    a  b    a  Do w  a  b  a   a  1  2a  2a    13;5 , a   2;3 Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn z   3i  z   5i  10 Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ z   i Tính P  M m A P  41 B P  697 C P  41 D P  41 Lời giải Chọn A Ta có w  z   i  a  bi; a, b    z   i    1  4i    z   i     4i   10  w   4i  w   4i Do xét điểm M  a; b  , A 1;  , B  5; 4  , ta có:  10 10  MA  MB  AB  10 Dấu "  " xảy  M   AB  , 4a  3b   5  a  25a  64a  64  4a   w  a b  a      m   5;1 2 25a  64a  64 25a  64a  64  32   y  5   41  y     ; M  max  5;1 3  25  Vậy P  m.M  Câu 7: 41 2 Cho số phức z1 thỏa mãn z1   z1  i  số phức z2 thỏa mãn z2   i  Hỏi giá trị nhỏ z1  z2 là? A 5 B C D Lời giải Chọn D Đặt z1  a  bi; a, b   z2  m  ni; m, n   2 Ta có: z1   z1  i  2   a    b2    a   b  1    2a  b       Tương tự ta có z2   i  2   m     n  1  Khi xét điểm M  a; b  , N  m; n  , ta có: M  d : x  y   N   C  có I  4;1 , R  z1  z2  MN  IM  IN  d  I ; d   R  Câu 8:  5 5 Cho số phức z thỏa mãn z   2i  z   3i  34 Hỏi giá trị nhỏ z   i là? A 34 B C 13 D Lời giải Chọn B Ta có z  a  bi; a, b   Do xét điểm M  a; b  , A  2; 2  , B  1;3 , ta có: z   2i  z   3i  34  34  MA  MB  AB  34 Dấu "  " xảy  M thuộc tia AB M nằm đoạn AB Phương trình AB : x  y   , 5a  3b   a  1 Khi z   i   a  1   b  1   5a    a  1    1   2   5a  z   i   a  1    1  y  1  ; ;           Câu 9: Cho ba số phức z , z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  z1  z2  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  z  z  z1  z  z2 A  B  C  D  Chọn C Xét tam giác OAB với A , B điểm biểu diễn số phức z1 , z2 M điểm biểu diễn số phức z , ta có OA  OB  , AB   OAB vuông O Khi ta cần tìm giá trị nhỏ P  MO  MA  MB Dựng phía ngồi tam giác OAB tam giác ABC , đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt OC D , theo bất đẳng thức Ptoleme cho bốn đểm M , A , B , C ta có: MA.CB  MB.CA  MC AB  MA  MB  MC MA  MB  MO  MC  MO  OC  const Dấu xảy  M  D Ta tính độ dài đoạn OC , định lý hàm số côsin ta có:   OAB   BAC   45  60  105 OA  , AC  , OAC  Do OC  OA2  AC  2.OA AC.cos105  62    2.6.6 2.cos105   Vậy gá trị nhỏ Pmin   Câu 10: Cho số phức z Kí hiệu A, B, C , D điểm biểu diễn số phức z , z , z   3i  z   3i  Biết A, B, C , D bốn đỉnh hình chữ nhật Hỏi giá trị nhỏ biểu thức z  4i  là? A 34 B Hướng dẫn giải C D 13 Chọn C Với z  a  bi,  a, b    Ta có: A  a; b  , B  a; b  , C  4a  3b;3a  4b  , D  4a  3b; 3a  4b  Do A, B đối xứng qua trục hoành; C , D đối xứng qua trục hoành AB / / CD Theo giả thiết A, B, C , D bốn đỉnh hình chữ nhật có a  b    a  2b    a  2b   a  b  AB  CD    a  b         b   l   a  b   AB  AC         2b  3a  3b     a  b    AB  AD  2b  3a  5b        b   a  Với z  a  , ta có: z  4i    a  5    a  9 1   2 a     2 2  Câu 11: Gọi z số phức thỏa mãn P  z   i  z   4i  z   i đạt giá trị nhỏ Tính z A B C Lời giải Chọn A Đặt z  a  bi , xét điểm M  a; b  , A 1;1 , B 1;  , C  2; 1 D  Ta có cos BAC AB  AC  BC 2   120     BAC AB AC   AB AC Do   AB AC MB AB MC AC  AB AC           AB AC  AB AC MB AB MC AC  MA    MA  MA     AB AC AC  AB AC  AB       AB AC    AB AC   MA  MA      AB  AC  MA  MA    AB  AC  AB  AC  AB AC   AB AC  P  MA  MB  MC  MA  Dấu xảy M  A  z   i  z  Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn z  Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ tìm Q  z   z   i Tính P  M  m 2 A  B  C Lời giải D  Chọn C Vì z   z  cos x  i sin x Q  cos x  i sin x   cos x  i sin x   i 2 1  3    cos x  1  sin x   cos x     sin x   2    2   cos x   cos x  sin x   2  3; 2     Do P  2   2   Chọn đáp án C 1 3 Cách 2: Khi biết z  , xét ba điểm M  a; b  , A 1;  , B  ;   ta có Q  MA  MB 2   M , A, B thuộc đường tròn  O,1 suy  MA  MB max  M điểm cung lớn  AB  MA  MB min  M điểm cung nhỏ  AB Câu 13: Cho số phức z thoả mãn z  16  z  z  4i   z  4i Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z   i Tính P  M  m A P  26  10 B P   10 C P   26 Lời giải Chọn D z  16  z  z  4i   z  4i z  16  z  z  4i   z  4i   z  4i  z  4i   z  z  4i   z  4i D P   26  z  4i   z  4i  z  4i  z       z  4i  z   Ta có: z  4i  z  z  4i  z  , dấu "  " xảy  điểm biểu diễn 4i , , z thẳng hàng Vậy tập hợp số phức đoạn thẳng x  thỏa  y  Ta có: z   i  AX với A  1;1 , X điểm biểu diễn số phức z Ta có: z   i max  26 , z   i  Câu 14: Cho số phức z thỏa mãn z  m  2m  với m số thực Biết tập hợp điểm số phức w    4i  z  2i đường trịn Tìm bán kính R nhỏ đường trịn A R  B R  10 C R  15 Lời giải D R  20 Chọn D w  2i    4i  z  w  2i    4i  z    4i  z   m  1  4  20    w  2i  20 Vậy đường trịn có bán kính Rmin  20 với tâm I  0;  Dấu "  " xảy m  1 Câu 15: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2   6i z1  z2  Tìm giá trị lớn P  z1  z2 A P  B P  26 C P   Lời giải D P  32  Chọn B  a  c 2   b  d 2  100 a  c   b  d  i   6i  z1  a  bi Gọi:    a , b, c , d      2 2 z  c  di a  c  b  d       a  c    b  d    2 2   a  c    b  d    a  c    b  d   104  a  b  c  d  52 B C S Mặc khác: P  a  b  c  d  1  12  a  b  c  d   26 Cách 2: Gọi A, B điểm biểu diễn số phức z1 , z2 mặt phẳng phức D điểm thứ tư hình bình hành AOBD  D điểm biểu diễn số phức  z1  z2   OD  z1  z2  10 z1  z2 độ dài đoạn AB 2 AOB   AB  OA  OB  2OA.OB.cos   104   OA2  OB    OA  OB  OAB có  2 AOB  100 OD  OA  OB  2OA.OB.cos    OA  OB  max  104  26   z1  z2  max  26 Câu 16: Cho số phức z1 thỏa mãn 1  i  z   5i  2 số phức z2 thỏa mãn z   2i  z  i Tính giá trị nhỏ z1  z2 A 2 B 4 C 4 D 4 Lời giải Chọn D Gọi M , N điểm biểu diễn số phức z1 , z2 mặt phẳng Từ 1  i  z   5i  2   i z   5i 2 1 i  z   3i   M   C  có tâm I  2;3 , bán kính R  Gọi z2  x  yi ,  x, y    z   2i  z  i  x  y    N  : x  y   Ta có: z1  z2  MN  z1  z2  MN Ta có: d  I,   7 4  MN  d  I ,    R  2 2 Câu 17: Cho số phức z1 thỏa mãn 1  i  z   5i  2 số phức z2 thỏa mãn z   2i  z  i Tính giá trị nhỏ z1  z2   i A 4 B 4 C 4 D 4 Lời giải Chọn A Ta có: z1  z2   i   z1   i   z2  MN  z3  z2 max  MN max Gọi M , N điểm biểu diễn số phức z3 , z2 mặt phẳng Từ 1  i  z   5i  2   i z   5i 2 1 i  z   3i    z   i    4i    z3  M   C  có tâm I  1;  , bán kính R  Gọi z2  x  yi ,  x, y    từ z   2i  z  i Ta có: d  I ,     x, y     N   : x  y   5 4 2  MN  d  I ,    R  2 Câu 18: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z   i  z   2i  Gọi M ; m giá trị lớn giá trị nhỏ mơđun z , tính M  m A P  B P  D P  C P  2 Lời giải Chọn C Gọi M  x; y  điểm biểu diễn số phức z  x  yi , với x, y   Ta có z   x  y   tập hợp điểm M đường trịn tâm O , bán kính R  P  z   z   4i   x    yi   x  1   y   i   x  4  y2  Gọi A  4;0  , B  1;   P  AM  BM 2  x  1   y   * 1 y y M2 2 1 A H O 2 1 x O H A x M 2 2 B M1 B 4 Gọi H 1;  OH OA   OM  tam giác OHM tam giác OMA đồng dạng  HM OM    AM  HM MA OA  2   BH B , H , M Từ 1   ta có P  AM  BM   HM  BM   BH  Pmin thẳng hàng M nằm điểm B H Khi M giao điểm đường thẳng BH : y  x  đường tròn x  y    x   y  2x  x   tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình    y     x y   y   x  Vì M nằm điểm B H nên chọn   y  2 Khi P  2 Câu 23: Cho số phức z thỏa mãn z   i  Tìm giá trị lớn biểu thức P  z   i  z   3i A 18  10 Chọn C B 38  10 C 38  10 Lời giải D 10  18 Gọi M  x; y  điểm biểu diễn số phức z  x  yi ,  x, y    2 Ta có z   i    x  1   y  1 i    x  1   y  1   tập hợp điểm M đường tròn  C1  tâm I 1;  1 , bán kính R1  Xét biểu thức P  z   i  z   3i 2 2  P   x     y  1   x     y  3  x  y  y   P 0  tập hợp điểm M đường tròn  C2  tâm J  0;  , bán kính R2  P  , P  10 Khi Pmax  C1   C2  tiếp xúc  R2  IJ  R1  R22   IJ  R1   P    10    P  38  10 E y J x 1 I F Cách : Gọi M  x; y  điểm biểu diễn số phức z  x  yi , với x, y   2 Ta có z   i    x  1   y  1 i    x  1   y  1   tập hợp điểm M đường tròn  C1  tâm I 1;  1 , bán kính R1  2 Xét biểu thức P  z   i  z   3i , với A  2;1 B  2;3 P  MA2  MB  P  2MC  AB  P  MC  10 , với C  0;  trung điểm AB y B C A M1 x O I M2  M C  10  Mặt khác IC  10    M 2C  10  Khi Pmax    10   10  38  10 Câu 24: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z  i   iz , biết z1  z2  Tính P  z1  z2 A P  B P  C P  D P  Lời giải Chọn D Gọi M  x; y  điểm biểu diễn số phức z  x  yi , với x, y        Ta có z  i   iz  z  i  z  2i  2OM  j  OM  j , với j   0;1        4OM  4OM j  j  OM  4OM j  j  OM   OM   tập hợp điểm M đường tròn  C  tâm O , bán kính R  y P M O K x N Mặt khác gọi N , P điểm biểu diễn z1 , z2 ON  OP   N   C  ON  OP          MNP tam giác   NP  z2  z1   P   C   NP  OP  ON  z1  z2  2OK   Cách 2: Gọi M  x; y  điểm biểu diễn số phức z  x  yi , với x, y   Ta có z  i   iz  z  i  z  2i  x   y  1 i  x   y   i 2  x   y  1  x   y    x  y   tập hợp điểm M đường trịn  C  tâm O , bán kính R  y B O C x A Mặt khác gọi A , B , C điểm biểu diễn z1 , z2  z2 A , B , C nằm đường trịn  C  , BC đường kính    Mà z1  z2   OA  OB   BA   AB    Khi đó: z1  z2  OA  CO  CA  z1  z2  BC  AB  Câu 25: Cho số phức z thỏa mãn z   4i  Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ 2 biểu thức P  z   z  i Tính mơđun số phức w  M  mi A w  2315 B w  1258 C w  137 D w  309 Lời giải Chọn B Gọi K  x; y  điểm biểu diễn số phức z  x  yi , với x, y   2 Ta có z   4i    x  3   y   i    x  3   y     tập hợp điểm K đường tròn  C  có tâm I  3;  , bán kính R  2 2 Mặt khác P  z   z  i  P   x    y   x   y  1   x  y     tập hợp điểm K đường thẳng  : x  y   P  Khi   C  có điểm chung d  I ,    R  4x  y   P   23  P  10  13  P  33  M  33 m  13 Vậy w  33  13i  w  1258 Câu 26: Trong mặt phẳng xOy , gọi M điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z   3i  Tìm phần ảo z trường hợp góc  xOM nhỏ A 3 B C Lời giải Chọn A Gọi M  x; y  điểm biểu diễn số phức z  x  yi , với x, y   D    Ta có z   3i    x  3  y  i    x  3  y    3   tập hợp điểm M đường trịn tâm 3; , bán kính R  y M I 3 O x Gọi  : Ax  By tiếp tuyến  C  qua điểm O Ta có d  I ,    R 3 A  3B  A2  B A  3A  B  A2  B  A2  AB     A  3B  3  Với A  chọn B    : y  khơng thỏa mãn  xOM  180   30  Với A  3B chọn B  A    : x  y    xOM  120  HOM Khi M giao điểm đường thẳng d qua tâm I đường tròn đường thẳng   3x  y   d : x  y   ; tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình   x  y  6   x    3 3   M   ;  2 3   y   Vậy phần ảo z Câu 27: Gọi M, n 3 giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  z   i  z   4i , biết số phức z thỏa mãn điều kiện z  i  1   i  Tính M  n2 A 216 B 162 C 186 Lời giải D 240 Chọn A Gọi M  x; y  điểm biểu diễn số phức z  x  yi , với x, y   Ta có z  i  1   i    i  1 z  1   i  z    z    z     x  1  yi    x  1  y   tập hợp điểm M đường trịn  C  có tâm I  1;  , bán kính R  2 Mặt khác P  z   i  z   4i  P   x     y  1 i   x  1   y   i 2 2  P   x     y  1   x  1   y       P  6 x  y  12  x  y  12  P   *  tập hợp điểm thỏa phương trình * đường thẳng  Khi để  cắt  C  d  I ,    R  xI  yI  12  P 1   P   6   P  6   M  6  ; n  6  Vậy M  n  216 Câu 28: Cho số phức z thỏa mãn z   3i  z   i  Tính giá trị lớn biểu thức P  z   4i A max P  B max P  C max P  5 D max P  Lời giải Chọn A Gọi M  x ; y  điểm biểu diễn số phức z  x  yi , với x, y   Ta có z   3i  z   i   AM  BM  , với F1  2;  1 ; F2  2;  3  tập hợp điểm M elip  E  với hai tiêu điểm F1  2;  1 ; F2  2;  3 , tâm H  0;   2a   a  ; Mặt khác P  z   4i  IM , với I  4;        IF1   6;3 , IF2   2;1  IF1  3IF2  I , F1 , F2 thẳng hàng, F2 nằm I F1  I nằm  E   IM max  IF  a , F  0;   trung điểm F1 F2  IM max    Câu 29: Xét số phức z  a  bi ,  a, b    thỏa mãn z   3i  A  z   3i  z   i đạt giá trị nhỏ Tính P  a  b A P  B P  C P  Lời giải Chọn B Gọi M  a; b  điểm biểu diễn số phức z  a  bi ,  a, b    D P  2 Ta có z   3i    a     b  3 i    a     b  3   tập hợp điểm M đường trịn  C  có tâm I  4;3 , bán kính R  Xét A  z   3i  z   i ; đặt A  1;3 , B 1;  1 A  AM  BM y  A I M max x M O H B Gọi  trung trực đoạn thẳng AB   qua trung điểm H  0;1 AB   : a  2b   Khi để A  z   3i  z   i đạt giá trị nhỏ M giao điểm   C   a  2   b  3  b  Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình   b  a  2b   Với b   a   z   2i  A  17  10 Với b   a   z   4i  A  65  50 Vì Amin nên chọn z   2i Khi P  Câu 30: Cho số phức z z   3i  Tìm giá trị lớn biểu thức thỏa mãn T  z   z   2i Lời giải Gọi M  x; y  , với x, y   điểm biểu diễn số phức z  x  yi 2 1  3 1  3    x   y   Ta có z   3i    x     y   i  2  2 2  2    3  tập hợp điểm M đường tròn tâm I   ;  , bán kính R   2 Xét T  z   z   2i  T   x  1  yi   x  1   y   i T   x  1  y2   x  1   y    T  AM  3BM , với A 1;  , B  1;  Bài tốn quy tìm tọa độ điểm M  C  cho AM  3BM đạt giá trị lớn   1    3  BI    ;  , AI    ;   B , I , A thẳng hàng AI  3BI  2  2 Khi theo định lý Stewart, ta có IB.MA2  IA.MB  AB  MI  IB.IA , với AB  2 , MI  1 3 1  , IB  , IA   MA2  MB  2    MA2  3MB   2 2 2 2 Do MA  3MB  MA    1  3  MA2  3MB  3MB   MA  3MB  Vậy Tmin  y B M I K A O x Câu 31: Với hai số phức z1 z2 thỏa mãn z1  z2   6i z1  z2  Tìm giá trị lớn biểu thức P  z1  z2 A P   B P  26 C P  D P  34  Lời giải Chọn B Gọi M , N điểm biểu số phức z1 z2 Ta có z1  z2   6i  z1  z2   6i  10  OP    MN  MN  ON  OM  MN  z1  z2  Áp dụng công thức trung tuyến ta có OI  2 z  z2 z z  OI   2 2 OM  ON MN  2 z  z2 2  OP    z1  z2  52 Khi P  z1  z2  P  z1  z2  1   12  z1  z2  P2 26 Vậy Pmin  26 Câu 32: Cho số phức z thỏa mãn z   Khi tất giá trị P  z  tạo thành miền đây? A  2;13 B  0;13 C  2;13 Lời giải D  13; 2 Chọn B Gọi z  x  yi , với x, y   Ta có z     x  3  yi    x    y  64 1  xw  x   x  xw   Đặt w  z     2  yw  y  y  yw Từ 1   ta có   xw    yw2  64  tập hợp điểm M biểu diễn số phức w  z  hình trịn  C  tâm I  3;0  , bán kính R  min w  Do O   C  nên  max w  OI  R  13 Câu 13 Xét số phức z  a  bi ,  a, b    thỏa mãn z   3i  Tính P  a  b z   3i  z   i đạt giá trị lớn A P  10 B P  C P  D P  Lời giải Chọn A Gọi M  a; b  điểm biểu diễn số phức z  a  bi ,  a, b    2 Ta có z   3i    a     b  3 i    a     b  3   tập hợp điểm M đường tròn  C  tâm I  4;3 , bán kính R  Xét A  z   3i  z   i ; đặt A  1;3 , B 1;  1 A  AM  BM y F A I E K 1 O x B Gọi  trung trực đoạn thẳng AB   qua trung điểm K  0;1 AB   : a  2b   Khi để A  z   3i  z   i đạt giá trị lớn M giao điểm   C   a  2   b  3  b  Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình   b  a  2b   Với b   a   z   2i  A  17  10 Với b   a   z   4i  A  65  50 Vì Amax nên chọn z   4i Khi P  10 Câu 14 Cho số phức z thỏa mãn z  i  z   3i  z   i Tìm giá trị lớn M biểu thức P  z   3i ? A M  10 B M   13 C M  D M  Lời giải Chọn C Đặt z  w   3i z  i  z   3i  z   i  w   4i  w   6i  w   2i Gọi M  x; y  điểm biểu diễn số phức w , A  2;  , B  3;6  , C  1;  Ta có:     AB   1;  , AC  1;     AB  A , B , C nằm đường thẳng  : x  y   w   4i  w   6i  w   2i  5MA  MB  3MC Xét hai trường hợp: y D B A C M 3 4 2 1 O x  Trường hợp 1: M    M  x;  x  Ta có 5MA  MB  3MC  M  D  4;8  Khi w  4  8i  P  w   Trường hợp 2: M   Ta có: 5MA  MB  3MC  25MA2   MB  3MC   1    MB  MC  Mà A trung điểm BC nên MA   MB  MC   BC  MB  MC  MA2  AB Khi 25MA2  20  MA2  AB   25MA2  20  MA2  5  MA2  20 Lại có MA2   MD  MO   OD  OM  MA2  OD  MD 2  OM  2.20  80  OM  Vậy M  Cách 2: Gọi M  x; y  điểm biểu diễn số phức z  x  yi , với x, y   Ta có z  i  z   3i  z   i  5MI  MA  3MB , với I  0;1 , A  1;3 , B 1;  1 , C  2;  3 I trung điểm AB  MI   MA2  MB   AB  MA2  MB  MI  AI 2 25MI   MA  3MB   10  MA2  MB   25MI  20  MI  AI   MI  20  MI   M thuộc hình trịn tâm I  0;1 , bán kính R  Lại có IC   C nằm đường trịn tâm I , bán kính R  Khi P  z   3i  MC lớn M  D , với D  2;5  điểm đối xứng C qua I Hay z  2  5i  P  4  8i Vậy Pmax  y D A M I x 1 O 1 B 3 C Câu 33: Cho hai số phức z w biết chúng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện 1  i  z   1 i w  iz Tìm giá trị lớn M  z  w A M  3 B M  C M  Lời giải Chọn C Gọi M  x; y  điểm biểu diễn số phức z  x  yi , với x, y   D M  Ta có 1  i  z    iz    1 i z  2i   x   y     tập hợp điểm biểu diễn điểm M đường tròn tâm I  0;  , bán kính R  y B I A O x Khi M  z  w  z 1  i   M  z  Vậy M max  Câu 34: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  , z2  , z1  z2  37 Gọi M , m phần thực phần ảo số phức w  A P   32 B P  z1 Tính P  M  m2 z2 32 C P   Lời giải D P   64 Chọn A Gọi M  a; b  , N  c; d  điểm biểu diễn số phức z1  a  bi z2  c  di , a, b, c, d     Gọi N   d ;  c  ON  ON  ; ON ON    ON  ON  Ta có  z  a  bi  c  di   z   ac  bd    bc  ad  i z1 a  bi  z z2 c  di 16  c  di  c  di      ac  bd bc  ad OM ON OM ON  z  i z  i 16 16 16 16     z2  z1  ON  OM  MN  37   cos MON OM  ON  MN    16  37    MON   120  cos MON 2.3.4 2.OM ON   120 , ta có: Với MON     6  OM ON  OM ON cos MON N O M 150 30 N   30  MON   MON  120     150  MON M N 120 O N    6   30 , có OM ON   OM ON .cos MON  Với MON 3 i Khi z    8     6   150 , có OM ON   OM ON .cos MON  Với MON 3 i Khi z    8 Vậy z  9 3  3i P  M  m  32 Cách Chuẩn hóa cho thỏa mãn đề z1  , z2  , z1  z2  37 Ta 2 a  2 a  b  16  z1  3; z2  a  bi    2  a  3  b  37 b  z1 3 3 9    i  M  m2  z2 2  2i 8 32 Câu 35: Gọi z số phức cho P  z   i  z   4i  z   i đạt giá trị nhỏ Tính z A B C D Lời giải Chọn A Gọi M  x; y  điểm biểu diễn số phức z  x  yi , với x, y   Ta có: P  z   i  z   4i  z   i , với A 1;  , B 1;1 , C  2;  1   P  MA  MB  MC ; BA   0;3 , BC  1;     Vì BA BC khơng phương nên ba điểm A , B , C lập thành tam giác có   BA.BC   153  120 cos B   B BA.BC Khi để Pmin M  B (vì M điểm Toricenli)  z  1  i Vậy z  C BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Câu 36 Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z   i  Hỏi giá trị nhỏ biểu thức P  z   9i  1  i  z   8i là? A B 5 C D Câu 37 Cho số phức z thỏa mãn z  i  Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ z   z   2i Tính P  M  m A P   17 B P   17 C P   17 D P   17 Câu 40 Cho số phức z thỏa mãn z   z Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ z Tính P  M  m A P  17  B P  17 C P  17  D P  17  Câu 41 Cho số phức z  a  bi ,  a  0, b   thỏa mãn a  b   ; a  4b  12  Hỏi giá trị lớn z bao nhiêu? A B C D Câu 42 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2   4i z1  z2  Hỏi giá trị lớn biểu thức z1  z2 bao nhiêu? A B C 12 D Câu 43 Cho số phức z Kí hiệu A , B , C , D điểm biểu diễn số phức z , z , z   3i  z   3i  Biết A , B , C , D bốn đỉnh hình chữ nhật Hỏi giá trị nhỏ biểu thức z  4i  bao nhiêu? 34 A Câu 44 Cho số phức z  B D 13 im , m số thực Gọi S tập hợp tất giá trị thực  m  m  2i  tham số m cho z  i  A C Hỏi S có tất phần tử nguyên? B C D Câu 45 Cho số phức z khác Tính diện tích tam giác có ba đỉnh ba điểm biểu số phức z , iz z  iz A z B z C z D z Câu 46 Xét số phức z thỏa mãn z   3i  z   i  17 Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  z   2i  z   i A M  , m  B M  , m  C M  , m   D M  , m   Câu 47 Xét số phức z thỏa mãn z   2i  z   3i  34 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  z 1 i A Pmin  34 B Pmin  C Pmin  13 D Pmin  Câu 48 Cho số phức z thỏa mãn z   z   Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P  z   3i Câu 49 Cho số phức z thỏa mãn z z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  z  z  A B 11 C  1 z z D z  Câu 50 Cho z1 , z2 hai số phức liên hợp thỏa mãn đồng thời hai điều kiện   số thực  z2  z12  z22  Đặt T  z12  z22 Khẳng định sau ? A T  2 B  T  C 19  z1  D  T  _ TOANMATH.com _ ... hợp số phức đoạn thẳng x  thỏa  y  Ta có: z   i  AX với A  1;1 , X điểm biểu diễn số phức z Ta có: z   i max  26 , z   i  Câu 14: Cho số phức z thỏa mãn z  m  2m  với m số. .. Do đó, phương trình tắc  E   1 25 Vậy max z  OA  OA  z  OB  OB  z  OB  OB '  Câu 3: Xét tập  A  gồm số phức z thỏa mãn z  2i số ảo giá trị thực m , n thỏa z2 mãn có số phức z...  b  c  d   26 Cách 2: Gọi A, B điểm biểu diễn số phức z1 , z2 mặt phẳng phức D điểm thứ tư hình bình hành AOBD  D điểm biểu diễn số phức  z1  z2   OD  z1  z2  10 z1  z2 độ dài