Bài giảng mô hình toán ths trần thị xuyến (2016)

HỌC VIỆN NGÂN HÀNG BỘ MƠN TỐN ———————o0o——————– BÀI GIẢNG MƠ HÌNH TỐN Giảng viên: Trần Thị Xuyến Địa chỉ: Bộ mơn Tốn, phịng 302, tịa nhà tầng, HVNH Email: xuyen.tran.hvnh @ gmail.com Website: xuyentranhvnh.wordpress.com Cellphone: 0915 170 752 Office: 0438 522 969 HÀ NỘI - 2016 GIỚI THIỆU MƠN HỌC Phân bố thời gian • Lý thuyết: 60 % • Bài tập, thảo luận, kiểm tra: 40 % Giáo trình, tài liệu tham khảo • Giáo trình Mơ hình tốn kinh tế, Bộ mơn Tốn, Học viện Ngân hàng • Giáo trình Bài tập mơ hình tốn kinh tế, Bộ mơn Tốn, Học viện Ngân hàng • Toán cao cấp cho nhà kinh tế, Phần I: Đại số tuyến tính, Lê Đình Thúy, NXB kinh tế quốc dân • Giáo trình mơ hình tốn kinh tế, PGS TS Phạm Quang Dong, NXB kinh tế quốc dân • Giáo trình lý thuyết mơ hình tốn kinh tế, PGS TS Hồng Đình Tuấn, NXB Kinh tế quốc dân Đánh giá học phần • Điểm chuyên cần: 10 % • Kiểm tra kì lần 1: 15 % (Tuần thứ 12) • Kiểm tra kì lần 2: 15 % Yêu cầu nhóm làm tập file Word theo yêu cầu, đề BÀI TẬP MƠ HÌNH TỐN, HỌC VIỆN NGÂN HÀNG thuyết trình Hình thức trình bày: File Word 2007 trở lên, đặt tên file: tên nhóm+lớp ca thứ mấy, đánh công thức công cụ Equation Word, Trang bìa ghi rõ họ tên thành viên nhóm, nhóm trưởng, email số điện thoại nhóm trưởng, lớp thứ ca Chú ý: đánh máy đề lời giải đề Hạn nộp tuần thứ kể từ sau buổi học cuối chương nhóm phụ trách Bài thuyết trình nhóm với đề tài tùy chọn theo yêu cầu giáo viên Trình bày trước lớp vào tuần thứ 15 Yêu cầu: trình bày sáng tạo, rõ ràng Điểm kiểm tra kỳ lần trung bình cộng điểm: điểm tập nộp điểm thuyết trình • Thi hết học phần : 60 % PHẦN KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Tài liệu tham khảo: Toán cao cấp cho nhà kinh tế, Phần I: Đại số tuyến tính, Lê Đình Thúy, NXB kinh tế quốc dân 1.1 MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 1.1.1 Ma trận phép toán ma trận A Các khái niệm ma trận Ma trận bảng số xếp theo dòng theo cột Ma trận có m dịng n cột gọi ma trận cấp m x n Ma trận cấp m x n viết dạng:   a11 a12 a1n a  21 A=  a22 a2n     am1 am2 amn Hoặc A = [aij ]mxn , aij phần tử dòng i, cột j Hai ma trận cấp A = [aij ]mxn , B = [bij ]mxn gọi nhau, kí hiệu A = B aij = bij , ∀i = 1, , m; j = 1, , n Ma trận khơng ma trận có tất phần tử Ma trận đối ma trận A = [aij ]mxn −A = [−aij ]mxn B Các dạng ma trận Ma trận vuông: Ma trận vuông ma trận có số dịng số cột Ma trận vng có n dịng, n cột gọi ma trận vuông cấp n   a11 a12 a1n a  21 a22 a2n A=      an1 an2 ann Đường chéo nối góc bên trái với góc bên phải đường chéo chính, cịn lại đường chéo phụ Ma trận tam giác Ma trận tam giác ma trận vng có phần tử nằm phía đường chéo   a11 a12 a1n 0    a22 a2n   , (aij = 0, ∀i > j)   ann        , (aij = 0, ∀i < j)  a11 a  21 a22 an1 an2 ann Ma trận đơn vị: Ma trận đơn vị cấp n kí hiệu In E ma trận có aii = 1, i = 1, n, phần tử lại       0     C Các phép tốn tuyến tính ma trận Cho ma trận A = [aij ]mxn , B = [bij ]mxn , k ∈ R A + B = [aij + bij ]mxn kA = [kaij ]mxn A − B = A + (−B) = [aij − bij ]mxn Các tính chất phép tốn tuyến tính ma trận : Định lí: Cho A, B, C ma trận cấp m x n; k, l ∈ R (A + B) + C = A + (B + C), A+B =B+A A + = A, 1A = A, A + (−A) = k(A + B) = kA + kB (k + l)A = kA + lA, k(lA) = (kl)A D Phép nhân ma trận Cho ma trận A = [aij ]mxn , B = [bij ]nxp Tích ma trận A B ma trận, kí hiệu AB có cấp m x p xác định AB = [cij ]mxp với cij = ai1 b1j + ai2 b2j + + ain bnj , i = 1, , m; j = 1, , p (Phần tử cij dòng i, cột j ma trận AB có cách lấy vectơ dịng i ma trận A nhân vô hướng với vectơ cột j ma trận B ) Chú ý: Phép nhân ma trận khơng có tính chất giao hốn Ví dụ:  Cho  ma trận:   −1  A=  ,B = 1 −4 −5 −6 −1  ,C =  −2 −2  −1  Hãy tính: A(BC); (AB)C A(B + C); AB + AC E Phép chuyển vị ma trận Cho ma trận A = [aij ]mxn , ma trận chuyển vị A kí hiệu A (hoặc AT ) có cấp n x m xác định A = [aji ]nxm ∀i = 1, , m; j = 1, , n Chú ý: (AB) = B A 1.1.2 Định thức A Khái niệm định thức Cho ma trận A vuông cấp n Định thức ma trận A gọi định thức cấp n, kí hiệu |A| hay detA số thực tính sau: Định thức cấp 1: detA = a11 Định thức cấp 2: detA = a11 a12 a21 a22 = a11 a22 − a21 a12 Định thức cấp 3: detA = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a32 a21 a13 ) − (a31 a22 a13 + a32 a23 a11 + a21 a12 a33 ) Ví dụ: Tính định thức sau −3 a −2 −3 5 −5 ; −7 −5 ; −3 −2 −7 −2 −7 −5 b 0 −5 −6 10 ; −8 −6 −2 ; −2 8 −5 −7 −5 −2 −1 −13 c −3 −2 −7 ; −5 Phần bù đại số Phần bù phần tử aij kí hiệu Mij định thức nhận từ định thức ma trận A cách bỏ dòng i cột j Phần bù đại số phần tử aij Aij = (−1)i+j Mij Định thức cấp n: Cho ma trận vuông A cấp n, Khai triển theo dòng i: detA = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + + ain Ain Khai triển theo cột j : detA = a1j A1j + a2j A2j + + anj Anj 1.1.3 Ma trận nghịch đảo Định nghĩa: Cho A ma trận vuông cấp n Nếu tồn ma trận vuông B cấp n cho AB = BA = In B gọi ma trận nghịch đảo A Kí hiệu: A−1 Khi ta nói ma trận A khả nghịch Điều kiện tồn ma trận nghịch đảo Ma trận phụ hợp Ma trận phụ hợp ma trận vuông A cấp   A11 A12 A13 ∗   A =  A21 A22 A23  A31 A32 A33 với Aij phần bù đại số aij Định lí Điều kiện cần đủ để ma trận vuông A khả nghịch |A| = Khi A−1 tính theo cơng thức: A−1 = ∗ A |A| Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau    −3 1.2  −4  ; b.B =  −1  ; −1 a.A =      Hệ phương trình tuyến tính A Các khái niệm hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa 1: Hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn số có dạng tổng qt:   a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1    a x + a x + a x =b 21     22 2n n (1.1) am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = bm với aij bi (i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n) hệ số; xj (j = 1, 2, , n) ẩn số Định nghĩa 2:Hệ phương trình tương đương Hai hệ phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm Các phép biến đổi hệ phương trình mà khơng làm thay đổi tập nghiệm hệ gọi phép biến đổi tương đương phép biến đổi sơ cấp Khi bi = 0, i = 1, 2, , m, hệ (1.1) gọi hệ phương trình tuyến tính   a11 a  21 a12 a22 a1n  a2n   A=  gọi ma trận hệ số hệ (1.1)  am1 am2 amn   a11 a  21 a12 a22 a1n a2n b1  b2    A=  gọi ma trận mở rộng hệ (1.1) am1 am2 amn bm Các phép biến đổi tương đương Các phép biến đổi tương đương đưa hệ phương trình tuyến tính hệ tương đương với gồm có: Đổi chỗ hai phương trình hệ Nhân hai vế phương trình với số α = Biến đổi phương trình hệ cách lấy hai vế phương trình khác (trong hệ) nhân với số k cộng vào hai vế phương trình Phương pháp GAUSS (Phương pháp khử ẩn liên tiếp) A Xét hệ tam giác   a11 x1 + a12 x2 + + a1m xm    a22 x2 +     a2m xm = b1 = b2 (1.2) amm xm = bm aii = 0, i = 1, , m Cách giải: m Từ phương trình cuối suy xm = abmm Thay vào phương trình phía ta tìm được: xm−1 , xm−2 , , x1 Hệ có nghiệm Ví dụ:  3x1 − x2 + 2x3 + x4 = −1     x + 3x − 2x = 15     −x3 + 3x4 = −6 −2x4 = Hệ có nghiệm (4, 11, 0, −2) B Xét hệ hình thang  a11 x1 + a12 x2 + + a1m xm +     a22 x2 +     a2m xm + .+ a1n xn + a2n xn = b1 = b2 (1.3) amm xm + + amn xn = bm m < n, aii = 0, i = 1, , m Cách giải: Gọi x1 , x2 , , xm ẩn chính, ẩn lại ẩn tự Đặt xm+1 = αm+1 , , xn = αn Ta tìm x1 , , xm theo αm+1 , , αn Hệ phương trình dạng hình thang có vơ số nghiệm Ví dụ: Giải hệ sau    x1 + x2 − x3 − 3x4 − 2x5 = −15 − x2 + 2x3 +   x4 + 3x5 = 10 −x3 − 2x4 − 4x5 = −6 C Hệ tổng quát (1.1): Cách giải: Biến đổi hệ cho dạng tam giác hình thang Khử dần ẩn xi , i = 1, Nếu hệ khử ẩn có xuất phương trình dạng: • 0x1 + 0x2 + + 0xn = b, b = 0(∗) hệ phương trình vơ nghiệm • 0x1 + 0x2 + + 0xn = loại phương trình khỏi hệ • Quá trình khử ẩn kết thúc • Hệ nhận chứa phương trình dạng (*) hệ vơ nghiệm • Hệ nhận có dạng tam giác hệ có nghiệm • Hệ nhận có dạng hình thang hệ có vơ số nghiệm Ví dụ: Giải hệ sau a  x1 −     x1 − 3x2 + x3 + 5x4 = 2x2 − 2x3 − 3x4 =  3x1 − x2 +    2x3 + = −1 2x1 + 3x2 + 2x3 − 8x4 = −7 PATƯ Định lí đối ngẫu: Nếu hai tốn đối ngẫu giải tốn giải với cặp PATƯ x∗ , y ∗ ta ln có:f (x) = f (y ∗ ) Hệ : Điều kiện cần đủ để toán đối ngẫu giải tốn có phương án Hệ : Điều kiện cần đủ để tốn có phương án cịn tốn khơng có phương án trị số hàm mục tiêu tốn có phương án khơng bị chặn tập phương án Định lí 2: Đối ngẫu Điều kiện cần đủ để hai phương án x y cặp toán đối ngẫu tối ưu là: cặp ràng buộc đối ngẫu, ràng buộc thỏa mãn lỏng ràng buộc thỏa mãn chặt Hệ Nếu ràng buộc lỏng PATƯ tốn ràng buộc đối ngẫu phải chặt PATƯ toán Tức là: Khi xét cặp tốn đối ngẫu đối xứng ta có Nếu xj > m i=1 aij yi = Cj m Hoặc i=1 aij yi > Cj xj = Nếu nj=1 aij xj < bi yi = Hoặc yi > nj=1 aij xj = bi Ứng dụng: Phân tích tính chất tối ưu PA Giả sử x PATƯ Mọi PATƯ y BTĐN phải thỏa mãn chặt ràng buộc đối ngẫu với ràng buộc mà x thỏa mãn lỏng Tập hợp ràng buộc tạo thành hệ phương trình y • Nếu hệ vơ nghiệm x khơng PATƯ • Nếu hệ có nghiệm thử nghiệm vào ràng buộc lại BTĐN: Nếu nghiệm khơng thỏa mãn x khơng PATƯ Nếu có nghiệm y thỏa mãn x PATƯ y PATƯ BTĐN Ứng dụng: Xác định tập PATƯ 42 TH1 Nếu x PATƯ tốn gốc theo cách phân tích ta xác định tập PATƯ BTĐN TH2 Từ PATƯ BTĐN làm tương tự trên, ta xác định tập PATƯ tốn gốc VÍ DỤ Cho tốn: f (x) = 3x1 + 9x2 − 2x3 + x4 − 4x5 ⇒ −x1 + 5x2 − 3x3 + x4 − 2x5 = −6 3x1 − 4x2 + 2x3 − x4 + x5 = 4x1 − x3 + 2x4 − 3x5 ≥ xj ≥ 0, j = 1, a Viết tốn đối ngẫu b Phân tích tính chất vectơ x0 = (2, 0, 0, 8, 6) toán Xác định tập phương án tối ưu phương án cực biên tối ưu toán Ý nghĩa đối ngẫu Xét toán (II) sau: n cj xj ⇒ max f (x) = j=1 n aij xj ≤ bi (i = 1, m) j=1 xj ≥ 0(j = 1, n) Và tốn II có dạng: m bi yi ⇒ f (y) = i=1 m aij yi ≥ cj (j = 1, n) i=1 43 yi ≥ 0(i = 1, , m) Với nội dung kinh tế toán (II) là: Sử dụng m loại tài nguyên khác (lao động, nguyên vật liệu, thiết bị, ) mà khối lượng chúng bị hạn chế lượng b1 , b2 , , bm để sản xuất n loại sản phẩm Biết định mức chi phí loại tài nguyên i, i = 1, , m cho đơn vị sản phẩm j aij , j = 1, , n Cho biết ước lượng giá trị đơn vị sản phẩm j Cj Hãy xác định khối lượng sản phẩm loại sản xuất (đặc trưng xj ) cho chi phí tài nguyên không vượt số lượng cho tổng giá trị sản phẩm đạt cực đại Như biết có nhiều loại tài nguyên tham gia vào trình sản xuất, kết trình sản xuất loại tài nguyên phải đánh giá để biết loại tài ngun có ích, loại khơng cần thiết Việc đánh giá không đắn dẫn tới lãng phí hậu tai hại cho kinh tế trình sản xuất Giải vấn đề đánh giá tài nguyên để từ chủ trương mua bán, dự trữ nguồn tài nguyên hợp lí nội dung toán đối ngẫu II Trong toán II , yi trị giá ước lượng đơn vị tài nguyên loại i, f (y) tổng giá trị nguồn tài nguyên sử dụng cho việc sản xuất loại sản phẩm, ràng buộc j trị giá chung loại tài nguyên tiêu phí cho đơn vị sản phẩm loại j không giá trị đơn vị sản phẩm loại j Hãy tìm phương án đánh giá giá trị ước lượng tài nguyên cho tổng giá trị nguồn tài nguyên sử dụng nhỏ với điều kiện chi phí tài nguyên dùng cho sản phẩm không giá trị Dựa vào định lý đối ngẫu cặp tốn này, ta phân tích ý nghĩa kinh tế mối quan hệ chúng Giả sử x phương án sản xuất tối ưu toán II; y phương án đánh giá trị giá ước lượng tài nguyên tối ưu toán II ; x, y thỏa mãn định lý đối ngẫu II Nếu xj > m i=1 aij yi = Cj Nội dung kinh tế: xj > nghĩa PA sản xuất tối ưu, sản phẩm j đưa vào sản xuất ước lượng giá trị tài nguyên sử dụng sản xuất sản phẩm loại j giá trị Điều chứng tỏ việc chuyển dịch giá trị tài nguyên vào sản phẩm sử dụng hết, không lãng phí việc sản xuất hợp lý Nếu nj=1 aij xj < bi yi = Nội dung kinh tế: nj=1 aij xj < bi có nghĩa PA sản xuất tối ưu, chi phí chung tài nguyên loại i nhỏ khối lượng tài nguyên có, giá trị ước lượng tài nguyên ( yi = 0) Điều hợp lí 44 PA sản xuất tối ưu, tài nguyên i không sử dụng hết khơng nên mua thêm tích lũy loại tài ngun mua thêm khơng ảnh hưởng tới PATƯ tổng giá trị sản phẩm, PA đánh giá tài nguyên i xem giá trị Nếu yi > nj=1 aij xj = bi Nội dung kinh tế:yi > chứng tỏ loại tài nguyên i có giá trị sử dụng hết vào sản xuất sản phẩm PATƯ Do cần mua thêm dự trữ loại tài nguyên cho trình Nếu m i=1 aij yi > Cj xj = Nội dung kinh tế: m i=1 aij yi > Cj chứng tỏ giá trị tài nguyên sử dụng để sản xuất loại sản phẩm j không chuyển dịch hết vào sản phẩm Như trình sản xuất gây lãng phí sản phẩm loại j khơng nên đưa vào PA làm giảm tổng số tiền lãi Quan hệ giữ hàm mục tiêu toán II II ứng với hai PA x, y chứa đựng nội dung kinh tế rõ rệt Trong trình sản xuất suy cho khơng thể tạo sản phẩm có giá trị cao mà tổng giá trị nguồn tài nguyên sử dụng Vì có PA đánh giá y PA sản xuất x cho tổng giá trị sản phẩm sản xuất tổng giá trị nguồn tài nguyên sử dụng PATƯ chấp nhận VÍ DỤ 2: Một nhà máy có phương pháp sản xuất I, II, III để sản xuất mặt hàng 1, 2,3 Nếu áp dụng cách sản xuất thứ j đơn vị thời gian chi phí cj thu aij đơn vị hàng hóa loại i Các số liệu cho bảng Yêu cầu nhà máy cần phải sử dụng phương pháp sản xuất cho đảm bảo nhu cầu sản phẩm đồng thời tổng chi phí cj I 10 II III 1 bi 16 20 Lập mơ hinh tốn toán trên? Viết toán đối ngẫu Chứng tỏ vectơ x = (4, 0, 0) PATƯ toán gốc 45 CHƯƠNG BẢNG CÂN ĐỐI LIÊN NGÀNH Tài liệu tham khảo: Giáo trình mơ hình tốn kinh tế - chương 2, PGS TS Phạm Quang Dong, NXB kinh tế quốc dân 3.1 3.1.1 MƠ HÌNH BẢNG CÂN ĐỐI LIÊN NGÀNH - BẢNG I/O Các khái niệm bảng cân đối liên ngành- Bảng I/O Ngành Trong bảng cân đối liên ngành, khái niệm ngành dùng để đơn vị kinh tế sản xuất loại hàng hóa số hàng hóa thay hồn tồn cho Ngày phân loại ngành bảng I/O dựa vào phân loại hoạt động sản xuất hay phân ngành kinh tế hệ thống tài khoản quốc gia SNA Giá trị sản xuất GO: tiêu phản ánh kết sản xuất (giá trị sản phẩm vật chất dịch vụ) toàn kinh tế thời gian định (thường năm) Chi phí (Nhu cầu) trung gian bao gồm tồn chi phí sản phẩm vật chất dịch vụ cho trình sản xuất Trong chi phí trung gian khơng bao gồm khấu hao tài sản cố định Nhu cầu cuối giá trị sản phẩm cịn lại sau q trình sản xuất phân phối sản phẩm cho ngành khác Phần sử dụng cho tiêu dùng dân cư, tích lũy tài sản xuất Giá trị gia tăng (VA) phần lại giá trị sản xuất sau trừ chi phí trung gian Nó phần giá trị lao động tạo phần khấu hao VA = tiền công lao động + Thuế sản xuất thuế hàng hóa - trợ cấp + Khấu hao + Thặng dư sản xuất Phân loại bảng cân đối liên ngành 46 Căn vào hình thái biểu tiêu bảng cân đối liên ngành, ta có bảng cân đối dạng vật dạng giá trị Căn vào yếu tố thời gian có hay khơng có mơ hình ta có bảng cân đối tĩnh động Căn vào phạm vi địa lý, xây dựng bảng cân đối theo lãnh thổ, theo ngành theo xí nghiệp 3.1.2 Bảng I/O dạng vật Ngành sx Tổng SL Đơn vị Q1 KW/h Q2 1000T n Qn 1000m3 Phân phối sử q11 q12 q21 q22 qn1 qn2 q01 q02 dụng SP cc n q1n q1 q2n q2 qnn qn Lđ Q0 ngày q0n q0 Trong đó: Qi : Sản lượng sản phẩm ngành thứ i.; qi : Sản phẩm cuối ngành i; qij : Số sản phẩm ngành j mua từ ngành i hay ngành i cung cấp cho ngành j ; Q0 : Tổng số lao động; q0j : lượng lao động sử dụng ngành j ; q0 : lượng lao động sử dụng ngành khác Các tính chất: Phương trình phân phối sản phẩm dạng vật: n Qi = qij + qi (i = 1, n) (1) j=1 Phương trình phân phối lao động dạng vật: n Q0 = q0j + q0 (2) j=1 Hệ số chi phí trực tiếp dạng vật (hệ số kỹ thuật): αij = qij ∀i, j Qj 47 Ý nghĩa: Để có đơn vị sản phẩm ngành j , ngành i phải cung cấp trực tiếp cho ngành lượng sản phẩm αij đơn vị Ma trận   α11 α12 α1n α  21 α22 α2n α=      αn1 αn2 αnn gọi ma trận hệ số kỹ thuật Ma trận hệ số chi phí tồn dạng vật Phương trình (1) viết dạng ma trận: (I − α)Q = q ⇔ Q = (I − α)−1 q Ma trận θ = [θij ] = (I − α)−1 gọi Ma trận hệ số chi phí tồn dạng vật Ý nghĩa: Để tạo đơn vị sản phẩm cuối ngành j ngành i phải sản xuất lượng sản phẩm θij vectơ hệ số sử dụng lao động β0j = q0j ∀j Qj β = (β01 , β02 , , β0n ) gọi vectơ hệ số sử dụng lao động Ý nghĩa: β0j cho biết để hoàn thành đơn vị sản phẩm ngành j phải sử dụng hết β0j đơn vị lao động Ví dụ 1: Cho bảng CĐLN dạng vật sau Ngành sx Tổng SL Phân phối sửdụng SP cc 100 30 25 25 20 80 30 22 15 23 50 18 15 12 20 15 12 Năm t Lđ Xác định ma trận hệ số kỹ thuật, nêu ý nghĩa kinh tế α23 Xác định vectơ hệ số sử dụng lao động, nêu ý nghĩa kinh tế β02 Xác định Ma trận hệ số chi phí tồn dạng vật, nêu ý nghĩa kinh tế θ31 48 3.1.3 Bảng I/O dạng giá trị Tổng giá trị Giá trị nhu cầu trung gian Giá trị nhu cầu cuối C G I E Tổng X1 X11 X12 X1n z11 z12 z13 z14 x1 X2 X21 X22 X2n z21 z22 z23 z24 x2 Xn Xn1 Xn2 Xnn zn1 zn2 zn3 zn4 xn Nhập Y11 Y12 Y1n z1 z2 z3 z4 Tiền lương Y21 Y22 Y2n Khấu hao Y31 Y32 Y3n Thuế Y41 Y42 Y4n Lợi nhuận Y51 Y52 Y5n Tổng X1 X2 Xn V1 V2 V3 V4 Trong đó: Xi : Tổng giá trị sản phẩm ngành thứ i.; xi : Giá trị nhu cầu cuối ngành i; Xij : Giá trị sản phẩm ngành j mua từ ngành i hay ngành i cung cấp cho ngành j ; Y1j : Gía trị yếu tố nhập sử dụng ngành j ; Y2j : Gía trị yếu tố tiền lương sử dụng ngành j ; Y3j : Gía trị yếu tố khấu hao sử dụng ngành j ; Y4j : Gía trị yếu tố thuế sử dụng ngành j ; Y5j : Gía trị yếu tố lợi nhuận ngành j ; zi1 : giá trị dành cho tiêu dùng ngành i zi2 : giá trị dành cho chi tiêu phủ ngành i zi3 : giá trị dành cho tích lũy tài sản ngành i zi1 : giá trị dành cho xuất ngành i z1 , z2 , z3 , z4 : giá trị lượng nhập dùng cho tiêu dùng, chi tiêu phủ, tích lũy tài sản xuất V1 , V2 , V3 , V4 : toàn giá trị tiêu dùng, chi tiêu phủ, tích lũy tài sản xuất Các tính chất: Phương trình phân phối sản phẩm dạng giá trị: n Xi = Xij + xi (i = 1, n) j=1 49 (3) Phương trình cấu giá trị sản phẩm ngành: n Xij + Xj = i=1 Yhj (4) h=1 Hệ số chi phí trực tiếp tồn n Xij + xi (i = 1, n) Xi = j=1 n ⇒ Xi = j=1 Xij Xj + xi (i = 1, n) Xj Đặt aij = Xij (j = 1, n) ⇒ ≤ aij < Xj aij : gọi hệ số chi phí trực tiếp (hệ số kinh tế, kỹ thuật, hệ số công nghệ) dạng giá trị Ý nghĩa: aij : Cho biết để có đơn vị giá trị sản phẩm ngành j ngành i phải cung cấp trực tiếp cho ngành khối lượng sản phẩm có giá trị aij A = [aij ]nxn : Ma trận hệ số chi phí trực tiếp (hệ số kinh tế, kỹ thuật, hệ số cơng nghệ) Khi đó: n xi = X i − aij Xj (i = 1, n) j=1 x = (E − A)X ⇒ X = (E − A)−1 x Đặt C = (E − A)−1 C = [cij ]nxn : Ma trận hệ số chi phí tồn cij : Cho biết để sản xuất đơn vị giá trị sản phẩm cuối ngành j ngành i phải sản xuất lượng sản phẩm có giá trị cij Hệ số đầu vào yếu tố sơ cấp: bhj = Yhj (j = 1, n, h = 1, 5) Xj Ma trận B = [bhj ]5xn gọi ma trận hệ số đầu vào yếu tố sơ cấp Ý nghĩa: Phần tử bhj cho biết để có đơn vị giá trị sản phẩm ngành j ngành phải sử dụng trực tiếp bhj đơn vị giá trị yếu tố sơ cấp đầu vào thứ 50 h Hệ số nhu cầu cuối cùng: Đặt V T (t) = (V1 , V2 , V3 , V4 ) Ta có: zik , Vk dik = Ma trận D = (dik )nx4 gọi ma trận cấu nhu cầu cuối Ý nghĩa: Phần tử dik cho biết để có đơn vị nhu cầu cuối thứ k ngành i phải đóng góp dik đơn vị giá trị sản phẩm Nhân tử sản lượng: Ký hiệu Oj nhân tử sản lượng ngành j n cij Oj = i=1 Ý nghĩa: Phần tử Oj cho biết ngành j tăng thêm đơn vị giá trị tiêu dùng cuối ngành khác khơng đổi kích thích kinh tế sản xuất tăng thêm Oj giá trị sản phẩm Ví dụ 2: Cho bảng CĐLN dạng giá trị năm t sau: Tổng giá trị Giá trị nhu cầu trung gian Giá trị nhu cầu cuối C I E Tổng 300 60 40 20 30 45 105 180 200 100 40 35 20 20 10 10 20 20 20 10 90 130 35 Nhập Tiền lương Khấu hao Thuế Lợi nhuận Tổng 30 20 10 20 20 15 20 15 10 25 15 10 70 50 15 300 200 100 70 75 200 Tìm ma trận hệ số kỹ thuật, giải thích ý nghĩa kinh tế a23 Tìm ma trận hệ số đầu vào yếu tố sơ cấp, giải thích ý nghĩa kinh tế b42 Tìm ma trận cấu nhu cầu cuối cùng, giải thích ý nghĩa kinh tế d32 Tìm ma trận hệ số chi phí tồn bộ, giải thích ý nghĩa kinh tế c31 Phân tích tác động tìm nhân tử sản lượng ngành 51 3.2 3.2.1 ỨNG DỤNG LẬP KẾ HOẠCH NĂM SAU DẠNG A Bảng cân đối liên ngành dạng vật Bài toán Giả sử năm kế hoạch t ta biết α(t), β(t) ngắn hạn α(t) ≈ α(t + 1), β(t) ≈ β(t + 1) Yêu cầu sản phẩm cuối năm t + q(t + 1) Lập kế hoạch sản xuất cho năm t + Chú ý: Quan hệ cân đối năm t + đảm bảo: Q(t + 1) = [E − α(t + 1)]−1 q(t + 1) Các bước lập kế hoạch cho năm t + Bước 1: Tìm α(t + 1), β(t + 1) Tính αij (t + 1) ≈ αij (t) = Qij (t) Qj (t) β0j (t + 1) ≈ β0j (t) = q0j (t) Qj (t) Bước 2: Tìm θ(t + 1) Tính E − α(t + 1) ⇒ θ(t + 1) = [E − α(t + 1)]−1 Bước 3: Tìm Q(t + 1) = θ(t + 1).q(t + 1) Bước 4: Tìm Qij (t + 1) = αij (t + 1).Qj (t + 1) Bước 5: Tìm q0j (t + 1) = β0j (t + 1).Qj (t + 1) Ví dụ 3: Với bảng CĐLN ví dụ 1, giả thiết α(t) ≈ α(t + 1), β(t) ≈ β(t + 1) Hãy lập kế hoạch sản xuất cho năm t + biết q T (t + 1) = (25; 30; 25) 3.2.2 Bảng cân đối liên ngành dạng giá trị Giả sử năm kế hoạch t ta biết A(t), B(t) ngắn hạn A(t) ≈ A(t + 1), B(t) ≈ B(t + 1) 52 Cho biết V T (t + 1) = (V1 , V2 , V3 , V4 ) Lập kế hoạch sản xuất cho năm t + Chú ý: Quan hệ cân đối năm t + đảm bảo: X(t + 1) = [E − A(t + 1)]−1 x(t + 1) Các bước lập kế hoạch cho năm t + Bước 1: Tìm A(t + 1), B(t + 1), D(t + 1) Tính aij (t + 1) ≈ aij (t) = Xij (t) Xj (t) bhj (t + 1) ≈ bhj (t) = yhj (t) , h = 1, , Xj (t) dik (t + 1) ≈ djk (t) = zik (t) , k = 1, 2, Vk (t) Bước 2: Tìm C(t + 1) Tính E − A(t + 1) ⇒ C(t + 1) = [E − A(t + 1)]−1 Bước 3: Tìm giá trị nhu cầu cuối zik (t + 1) = dik (t + 1).Vk (t + 1) T x (t + 1) = ( z1j , j=1 z2j , j=1 z3j ) j=1 Bước 4: Tìm X(t + 1) = C(t + 1).x(t + 1) Bước 5: Tìm Xij (t + 1) = aij (t + 1).Xj (t + 1) Bước 6: Tìm yhj (t + 1) = bhj (t + 1).Xj (t + 1) 3.3 3.3.1 Xác định giá sản phẩm số giá Xác định giá sản phẩm Giả sử có bảng cân đối liên ngành dạng vật với ma trận hệ số kỹ thuật α Ta biết, giá đơn vị sản phẩm ngành j gồm phận cấu thành 53 Bộ phận thứ chi phí mua nguyên nghiên liệu ngành i để tạo nên đơn vị sản phẩm Bộ phận thứ phần chi phí cho yếu tố sơ cấp như: khấu hao, lao động sản xuất sản phẩm, thuế giá trị gia tăng, Gọi Pj giá đơn vị sản phẩm ngành j n Pi αij + wj (j = 1, n) Pj = i=1 ni=1 Pi αij chi phí nguyên vật liệu để sản xuất, wj giá trị gia tăng đơn vị sản phẩm Gọi P = (Pj ), w = (wj ), đó: n Pj − Pi αij = wj (j = 1, n) i=1 ⇒ (I − α ).P = w ⇔ P (I − α) = w ⇔ P = w (I − α)−1 = w θ(5) với θ ma trận hệ số chi phí tồn dạng vật Ý nghĩa (5): năm t + 1, ta biết thay đổi giá chi phí yếu tố sơ cấp đầu vào đơn vị sản phẩm xác định thay đổi giá đơn vị sản phẩm ngành điều kiện θ không đổi ∆P = ∆w θ Ví dụ 5: Cho ma trận số chi phí tồn dạng vật khơng đổi năm t năm t + 1là   1, 628 0, 866 0, 866  θ =  0, 314 1, 45 0, 433  0, 381 0, 381 2, 251  Giả sử năm t + dự kiến giá chi phí cho yếu tố đầu vào sơ cấp cho vectơ w = (30; 50; 60) i Tính giá thành đơn vị sản phẩm ngành ii Nếu mức biến động giá chi phí yếu tố sơ cấp đầu vào đơn vị sản phẩm ngành ∆w = (3; 5; 4) thay đổi giá đơn vị sản phẩm ngành nào? 54 3.3.2 Xác định số giá theo bảng cân đối liên ngành dạng giá trị Với bảng cân đối liên ngành dạng giá trị, gọi Pj (t) giá đơn vị sản phẩm ngành j năm t, Pj (t + 1) giá đơn vị sản phẩm ngành j năm t + Khi đó, số giá tính theo công thức kj (t + 1) = Pj (t + 1) = kj (j = 1, n) Pj (t) Gọi PN K giá đơn vị sản lượng nhập PLD giá đơn vị nhân công lao động PKH giá khấu hao tính cho đơn vị sản phẩm PT thuế giá trị gia tăng đơn vị sản phẩm PLN giá trị lợi nhuận đơn vị sản phẩm mang lại Chỉ số giá yếu tố sơ cấp xác định công thức: w1 (t + 1) = PN K (t + 1) = w1 PN K (t) PLD (t + 1) = w2 PLD (t) PKH (t + 1) w3 (t + 1) = = w3 PKH (t) PT (t + 1) w4 (t + 1) = = w4 PT (t) PLN (t + 1) w5 (t + 1) = = w5 PLN (t) w2 (t + 1) =  k1  k    Gọi K =   vectơ số giá ngành   kn  w1  w    w=  vectơ số giá yếu tố sơ cấp đầu vào   w5 Ta có: n aij + i=1 bhj = 1(j = 1, n) h=1 55 Nên: n wh bhj = kj (j = 1, n) ki aij + i=1 h=1 ⇔ K = A K + B w ⇔ (E − A ).K = B w ⇔ K (E − A) = w B ⇔ K = w B.(E − A)−1 = w B.C(6) Ý nghĩa công thức (6): Nếu cho biết trước vectơ số giá yếu tố sơ cấp số giá cho ngành năm t + tính cơng thức (6) Nếu biết mức thay đổi số giá yếu tố đầu vào ∆w thay đổi vectơ số giá là: ∆K = ∆w B.C Ví dụ 6: trở lại ví dụ 2, giả sử năm t + số giá yếu tố sơ cấp dự kiến w = (1, 2; 1, 15; 1, 1; 1, 1; 1, 16) i Tính vectơ số giá cho ngành ii Nếu số giá yếu tố sơ cấp năm t + tăng trưởng dạng ∆w = (0, 05; 0, 045; 0, 02; 0, 025; 0, 04) số giá ngành thay đổi nào? 56 ... mơ hình kinh tế lượng Mơ hình tĩnh, mơ hình động Phân loại theo quy mô, phạm vi, thời hạn Mơ hình vĩ mơ, mơ hình vi mơ Mơ hình ngắn hạn, mơ hình dài hạn 17 1.2 1.2.1 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH MƠ HÌNH... c Mơ hình tốn kinh tế Mơ hình tốn kinh tế mơ hình kinh tế trình bày ngơn ngữ tốn học d Mơ hình hóa Mơ hình hóa phương pháp nghiên cứu đối tượng gián tiếp thơng qua mơ hình Ví dụ 1.1 : Mơ hình. .. mơ hình đề cập Ví dụ 1.7: S=D 1.1.3 Phân loại mơ hình tốn kinh tế Phân loại theo đặc điểm cấu trúc cơng cụ tốn học sử dụng Mơ hình tối ưu Mơ hình cân Mơ hình tất định, mơ hình ngẫu nhiên Mơ hình