Bài giảng mô hình toán kinh tế chương 2 nội dung của phương pháp mô hình trong nghiên cứu kinh tế

b Tác động của các yếu tố sản xuất tới sản lượng• Ngắn hạn: Doanh nghiệp chỉ có thể thay đổi một vài yếu tố có tính lưu động... b Nếu giảm vốn đầu tư 10% thì lực lượng lao động sẽ thay

2.2 Tính hệ số tăng trưởng

a) Giả sử y = f(x1, x2, …, xn, t), với t là biến thời gian

Hệ số tăng trưởng

Ý nghĩa hệ số tăng trưởng :

Hệ số tăng trưởng đo tỉ lệ biến động của biến nội sinh y theo một đơn vị thời gian t

y

y y

y t

Ví dụ

1 Nếu u = u(t), v = v(t) Tìm hệ số tăng trưởng

trong các trường hợp sau:

a) Y = uv b) Y = u/v c) Y = u + v d) Y = u – v

2.3 Tính hệ số thay thế (bổ sung, chuyển đổi)

Giả sử tại x = x 0 có y = f(x 0 ) = y0

Cho các biến xi, xj thay đổi và xk (k ≠ i, j) không đổi thì hệ số thay thế của hai biến này là tỉ lệ thay đổi của hai biến sao cho y = y 0 (tức y không đổi)

0

j i

0 j

f (x ) x dx

f (x ) dx

0

dx   Không thể thay thế hoặc bổ sung      

Ví dụ

Xét hàm thỏa dụng của một gia đình khi tiêu dùng hàng hóa A và B có dạng U = 50.(xA)0,5.(xB)0,4

trong đó xA và xB là mức tiêu dùng hàng hóa A và B

a) Tại mức tiêu dùng hàng hóa xA = 8, xB = 10, hai hàng

hóa này có thể thay thế cho nhau được không ?

b) Tại các mức tiêu dùng nào hàng hóa A và B có thể

thay thế nhau với tỉ lệ 1 : 1?

Bài tập

Thu nhập quốc dân của một quốc gia (Y) phụ thuộc vào vốn (K), lao động được sử dụng (L) và ngân sách đào tạo 5 năm trước đó (G) như sau:

Y = 0,24K0,3.L0,8.G0,05

Trong đó các yếu tố thay đổi theo thời gian như sau: hằng năm vốn tăng 15%; công ăn việc làm tăng 9%; chi phí đào tạo tăng 20%

a) Tính hệ số tăng trưởng của thu nhập quốc dân

b) Trong điều kiện Y, K không đổi còn công ăn việc làm phụ thuộc vào ngân sách đào tạo trước đó 5 năm Hãy viết biểu thức chỉ ra sự thay đổi của công ăn việc làm theo ngân sách đào tạo 5 năm trước

8

1 Mô hình tối ưu

1.1 Mô hình hàm sản xuất

a) Hàm sản xuất

Một doanh nghiệp sử dụng n yếu tố đầu vào để tạo

ra sản phẩm Các yếu tố đầu vào sử dụng ở mức x1,

x2, …, xn thì doanh nghiệp thu được Q đơn vị sản phẩm Hàm biểu diễn mối quan hệ này :

Q = F(x1, x2,…, xn )

b) Tác động của các yếu tố sản xuất tới sản lượng

• Ngắn hạn: Doanh nghiệp chỉ có thể thay đổi một vài

yếu tố có tính lưu động

 Năng suất biên của yếu tố i

 Năng suất trung bình của yếu tố i

 Độ co giãn của Q theo xi

 Hệ số thay thế của yếu tố xi cho xj



j i

MP dx

dx   MP

Nếu chỉ có khả năng thay đổi yếu tố i thì việc sử dụng yếu tố i có lợi nhất là khi năng suất trung bình đạt cực đại

(Tình huống tối ưu về mặt kĩ thuật)

i

i

max x

Ví dụ

Ước lượng hàm sản xuất của Việt Nam giai đoạn 1975 – 1986 là : Q = 75114 K0,175 L0,904 e0,0124 t

a) Hãy tìm hệ số tăng trưởng của sản lượng Q

b) Nếu giảm vốn đầu tư 10% thì lực lượng lao động sẽ

thay đổi như thế nào để sản lượng không thay đổi ? c) Nếu chỉ thay đổi được lực lượng lao động thì việc

sử dụng lao động như thế nào sẽ có lợi nhất ?

12

1 Mô hình tối ưu

1.2 Tối đa hóa lợi nhuận của doanh nghiệp

Lợi nhuận = Tổng doanh thu – tổng chi phí (không kể thuế)

• Kí hiệu Q*,  * là mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận và mức lợi nhuận tối đa Đối với doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo

14

*

*

Q P







Ví dụ

• Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo có hàm chi phí biên là: MC = 2Q2 - 12Q + 25, chi phí cố định FC và giá sản phẩm là p

a Hãy xác định hàm tổng chi phí với FC = 20 Với p = 39 hãy xác định mức sản lượng và lợi nhuận tối ưu

b Nếu giá tăng lên 10% thì mức sản lượng, lợi nhuận tối

ưu sẽ biến động như thế nào?

 Khi Q = F(K, L), giá vốn là pK, giá lao động

là pL và giá bán sản phẩm là p

Tìm điều kiện cần để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa trong các trường hợp

a) Doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo

b) Doanh nghiệp độc quyền

Chú ý

• Giả sử K*, L* là các mức vốn và lao động để lợi nhuận

∏* tối đa Chứng minh rằng :

• Đối với cả hai loại doanh nghiệp cạnh tranh độc quyền

và cạnh tranh hoàn hảo

• Đối với doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo







1 Mô hình tối ưu

1.3 Các bài toán tối ưu có điều kiện ràng buộc

Hàm sản xuất của doanh nghiệp : Q = f(x1, x2, …, xn )

Trong đó Q là sản lượng dự kiến sản xuất; (x1, x2, …xn )

là các yếu tố sản xuất; (w1, w2, …wn ) là giá của các yếu

tố sản xuất

a) Hãy giải bài toán 1 (Mô hình MHIC)

b) Chứng minh rằng MC(Q0) = λ0

(với MC(Q) là chi phí biên, λ0 là nhân tử Largrange trong trường hợp tối ưu)

c) Chứng minh rằng : ∂TC/ ∂wi = xi 0 (với xi 0 là nghiệm

Bài toán 1: Chi phí tối thiểu

Ví dụ

Hàm sản xuất Q = 25.K0,5.L0,5 với giá PK =12, PL = 3

a) Tính mức sử dụng K, L để sản xuất sản lượng Q0 = 1250

với chi phí nhỏ nhất

b) Tính hệ số co giãn của tổng chi phí theo Q tại Q0

c) Nếu giá vốn và lao động đều tăng 10% với mức sản lượng

như trước, mức sử dụng vốn và lao động tối ưu sẽ thay đổi như thế nào?

d) Phân tích tác động của giá vốn, lao động tới tổng chi phí

tại mức tối ưu

22

2 Mô hình cân bằng

2.1 Mô hình cân bằng thị trường riêng

Ví dụ : các mô hình MH 1, MH 2

Bài tập : Mức cầu một loại hàng hóa: D = 1,5 M0,3.p-0,2

và mức cung loại hàng này: S = 1,4.p0,3

a) Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá, theo thu nhập

b) Xem xét mức tác động của thu nhập tới mức giá cân bằng

23

2 Mô hình cân bằng

2.2 Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô

Giả sử :

Y : thu nhập quốc dân

C : Nhu cầu tiêu dùng của dân cư

I : Nhu cầu đầu tư của dân cư

G : Nhu cầu chi tiêu của chính phủ

EX , IM : Nhu cầu xuất, nhập khẩu

24

Phương trình cân bằng:

Y = C + I + G + EX – IM

2.2 Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô

1

  



   

Từ nghiệm của mô hình, hãy phân tích chính sách tài khóa của chính phủ

1 Cho hàm tổng chi phí: TC = 4000 + 10Q + 0,1Q2 Giá p được xác định: Q = 800 -2,5p

a Tìm hệ số co giãn của TC tại p = 80 Nêu ý nghĩa?

b Xác định sản lượng để lợi nhuận tối đa?

28

2 Một doanh nghiệp có công nghệ sản xuất được biểu hiện bởi hàm Q = A(t) K 0,4 L0,6

3 Cho hàm tổng chi phí TC = Q3 - 5Q2 + 14Q + 144

a Khảo sát sự thay đổi tuyệt đối của TC theo Q từ đó cho nhận xét về mở rộng sản xuất

b Tính hệ số co giãn của TC theo Q tại Q = 2

c Cho giá sản phẩm là p = 70, với mức thuế doanh thu 20%, tính lợi nhuận khi Q = 3 Tìm các điểm hòa vốn

và phân tích sự thay đổi của hàm tổng lợi nhuận

30

4 Một công ty cung cấp cho thị trường (cạnh tranh hoàn hảo) hai loại sản phẩm với sản lượng là Q1, Q2

có giá bán là P1, P2 Tổng chi phí sản xuất là

TC = 2Q1 2 + Q1Q2 +3Q2 2 P1 = 17, P=10

a) Tìm sản lượng Q1, Q2 để lợi nhuận đạt tối đa

b) Tìm hệ số co giãn của tổng chi phí theo từng mặt

hàng và hệ số co giãn chung của tổng chi phí theo cả hai mặt hàng tại điểm cực đại lợi nhuận

5 Một nhà máy có hàm sản xuất: Q = 2K.(L – 2), biết nhà máy chi khoản tiền là 15000 (đvt) để mua hai yếu

tố K, L với giá pK = 600 (đvt), pL = 300 (đvt)

a) Tìm phương án sản xuất để thu được sản lượng tối đa b) Tìm hệ số co giãn của hàm tổng chi phí tại sản lượng tối đa Nêu ý nghĩa của hệ số này?

c) Phân tích tác động của giá vốn, giá lao động tới tổng chi phí tại sản lượng tối đa

32

6 Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo có hàm sản xuất: Q = K0,5 + L0,5, biết hai yếu tố K, L có giá pK =