D. QUAN HỆ GIỮA PACB VÀ PA CỦA BT CHÍNH TẮC Xét PACBx0, cơ sởJ 0.
G. CÁCH TÌM PACB Lập bài tốn phụ P
Lập bài tốn phụ P
Xét bài tốn dạng chính tắc: f(x) = Pnj=1cjxj ⇒min
n
X
j=1
aijxj =bi(bi≥0∀i= 1, m)
xj ≥0(j = 1, n) Bài tốn phụ P có dạng:P(x, xg) = Pmi=1xgi ⇒min
n
X
j=1
aijxj+xgi =bi(i= 1, m)
xj ≥0(j = 1, n), xgi ≥0(i= 1, m) Trong đó: xg = (xg1, x2g, ..., xgm)∈Rm là vectơ biến giả. Nhận xét
• x là PA của bài tốn xuất phát ⇔(x, xg = 0) là PA của bài toán phụ P. • x là PACB của bài tốn xuất phát ⇔(x, xg = 0) là PACB của bài toán phụ P. • Việc tìm PACB của bài tốn ban đầu (nếu có) sẽ dẫn tới tìm PA của bài tốn P có dạng (x, xg = 0). Hơn nữa vì P(x, xg) ≥ 0 nên (x, xg = 0) chính là PATƯ của bài tốn P.
Dùng thuật tốn đơn hình giải bài tốn P tìm được PATƯ(x, xg)vàP(x, xg) = Pmin.
1. Trường hợp 1: Pmin >0
2. Trường hợp 2: Pmin = 0
Khi đó xg= 0, PATƯ có dạng (x, xg = 0), J là cơ sở. Do đó x là PACB của bài tốn xuất phát.
• Nếu J khơng chứaAgj thì J cũng là cơ sở PACB x của bài tốn xuất phát. Do đó từ x , áp dụng thuật tốn đơn hình và chú ý tính lại ∆k theo hàm
f và kiểm tra điều kiện tối ưu theo hàm f.
• Nếu J chứa ít nhất một vectơ biến giả Agj thì ta loại bỏ các cột xk phi cơ sở mà ∆k(P)<0 . Sau đó tính lại ∆k theo hàm f và tiếp tục thuật tốn. Chú ý:
• Chỉ cần cộng thêm biến giả vào những phương trình cần thiết.
• Một biến giả bị loại khỏi cơ sở thì cột tương ứng khơng cần tính tiếp.
• Chỉ áp dụng công thức đổi cơ sở cho hàng ước lượng khi 2 bảng kế tiếp cùng hàm mục tiêu.
• Nếu như tất cả các biến giả bị loại khỏi cơ sở thì kết thúc giải bài tốn P, tính lại dịng ∆k theo hàm f và tiếp tục thuật tốn.
Ví dụ 8: giải bài tốn sau bằng thuật tốn đơn hình
f(x) = 6x1+ 4x2+x3 ⇒min 2x1 +2x2 +3x3 +x4 = 10 4x1 +8x2 +2x3 = 16 4x1 +4x2 +x3 = 8 xj ≥0(j = 1,4)
Ví dụ 9: giải bài tốn sau bằng thuật tốn đơn hình
f(x) = 2x1+ 4x2+1 2x3−3x4 ⇒min 2x1 +2x2 +3x3 +3x4 ≤50 4x1 +8x2 +2x3 +3x4 = 80 4x1 +4x2 +x3 +2x4 = 40 xj ≥0(j = 1,4)
2.2 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU
2.2.1 CÁCH THÀNH LẬP BT ĐỐI NGẪU