M R(Q) = C(Q) ⇒ Q∗
QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Tài liệu tham khảo:
2.1.3 Phương pháp đơn hình giải bài tốn QHTT A NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP
A. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP
Xuất phát từ một PACB, tìm cách đánh giá PACB đó. Nếu như PA đó chưa tối ưu thì tìm cách chuyển sang một PACB mới tốt hơn. Qúa trình được lặp đi lặp lại và sau hữu hạn bước ta sẽ kết luận được hoặc bài tốn khơng giải được hoặc sẽ tìm được PACB tối ưu.
Khi nghiên cứu PP Đơn hình ta sẽ xét bài tốn dạng chính tắc. B. ĐẶC ĐIỂM PACB CỦA BÀI TỐN CHÍNH TẮC Định lí
PAx của bài tốn dạng chính tắc là cực biên khi và chỉ khi hệ thống các vectơ Aj
tương ứng với các thành phần dương của PA là độc lập tuyến tính. Nhận xét
Ta ln xét hệ phương trình ràng buộc của bài tốn dạng chính tắc gồm m pt độc lập tuyến tính với m < n, hạng A =m.
Một PACB sẽ có khơng qm thành phần dương. PACB khơng suy biến có đúng m thành phần dương. PACB suy biến có ít hơn m thành phần dương. Ví dụ 5: Cho bài tốn QHTT
f(x) = −2x1−3x2+ 6x3+ 2x4⇒M in −x1+x2−3x3+ 3x4 =−5
2x1−x2−3x3−2x4 = 1 xj ≥0, j = 1,4
Ta có (2,0,1,0) là một phương án cực biên không suy biến. C.CƠ SỞ CỦA PACB CỦA BÀI TỐN CHÍNH TẮC Định nghĩa
Một hệ m(m < n) vectơ Aj độc lập tuyến tính bao hàm hệ thống các vectơ tương ứng với các thành phần dương của PACB x là cơ sở của PACB ấy.
Kí hiệu một cách quy ước là J, trong đó
J ={j :Ajnằm trong cơ sở}
Chú ý: PACB x có cơ sở là J. Ta hiểu:
• {Aj, j ∈J} độc lập tuyến tính. • {Aj, j ∈J} ⊃ {Aj, xj >0}
Xét PACB x= (x1, x2, ..., xn) cơ sở J.
Ta gọi xj(j ∈J) là thành phần cơ sở; xk(k không thuộcJ) là thành phần phi cơ sở và xk = 0(∀k khơng thuộcJ).
PACB x cơ sở J thì nó thỏa mãn
b = n X j=1 xjAj =X j∈J xjAj+ X kkhông thuộcJ xkAk =X j∈J xjAj
Các vectơ Ak biểu diễn được duy nhất qua cơ sở J với các hệ số phân tích là xjk, tức là:
Ak =X
j∈J
xjkAj
Đại lượng∆k(k khơng thuộcJ) gọi là ước lượng của biến xk theo cơ sở J được tính bằng cơng thức: ∆k =X j∈J cjxjk−ck; ∆j = 0(j ∈J) Ví dụ 6: Cho bài tốn QHTT f(x) = 3x1−x2+ 3x4+ 2x5⇒max 2x1 +x3 +x4 = 4 −x1 +x2 +3x3 = 3 3x1 −5x3 +x5 = 4 xj ≥0∀j = 1, ..,5
Xác định PACB, cơ sở J tương ứng, xác định hệ số phân tích của Ak và tính ước lượng của biếnxk(k khơng thuộcJ) theo cơ sở J.
D. QUAN HỆ GIỮA PACB VÀ PA CỦA BT CHÍNH TẮCXét PACB x0, cơ sở J0.