Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu

Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu

CHƯƠNG BÀI TOÁN QUY HOẠCH 1.CÁCHTUYẾN THÀNHTÍNH LẬP ĐỐI BÀI TOÁN QUY HOẠCH NGẪU TUYẾN TÍNH ĐỐI hs Nguyễn Công T NGẪU (Xem) Copyright 2001 2.CÁC ĐỊNH LÝ ĐỐI NGẪU (Xem) 3.THUẬT GIẢI ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU (Xem) 4.MỘT SỐ ỨNG DỤNGThs CỦA LÝ Nguyễn Công BÀI Trí THUYẾT ĐỐI NGẪU TRONG THÀNH LẬP BÀI TOÁN Mục đích vàĐỐI ý nghóa NGẪU  Với toán QHTT, toán gốc, ký hiệu P (Primal), thiết lập toán QHTT khác, toán đối ngẫu, ký hiệu D (Dual), cho từ lời giải toán ta thu thập thông tin lời giải toán  Để có thông tin cần thiết toán gốc, nghiên cứu toán đối ngẫu THÀNH LẬP BÀI TOÁN Xét toán (P) dạng ĐỐIQHTT NGẪU t tắc �f P ( x)  c x � �  P � Ax  b � x �0 �  I Với x = (x1, x2, …, xn) n, b = (b1, b2, …, bm) m Giả sử toán (P) có P.A.T.U xopt gọi x0 P.A toán (P), ta có ctxopt ≤ cttx0 t �L( x, y )  c x  y  b n Ax  � Goïi x = (x1,� x2, …, xn) , với x ≥ P � II    x �0 cho � m y � R � Ax – b  THÀNH LẬP BÀI TOÁN Gọi g(y) làĐỐI hàm NGẪU mục tiêu toán (II), ta có g(y) = min{ctx + yt(b – Ax)}, với x ≥ ≤ ctx + yt(b – Ax), với x ≥  Nếu x P.A toán (I) b – Ax = g(y) bất ≤ ctx Vậy g(y) cận kỳ hàm mục tiêu  Ta tìm cận lớn Max{g(y)}, g(y) = min{ctx + yt(b – Ax)}, với x ≥ THÀNH LẬP BÀI TOÁN t t � c  y A �0 Xét t tĐỐI NGẪU c  y A x  x �0    Vaäy ta � t t  � c  y A0 � g(y) = ytb Suy toán đối ngẫu có dạng �g ( y )  y t b � max �g ( y )  y t b � max � � t t t t D �   � c  y A �0 y A � c � � � m m y � R y � R � � Hay toán tương đương �g ( y )  y t b � max � D   � At y �c � m y � R � THAØNH LẬP BÀI TOÁN Ví dụ 2.1 ĐỐI NGẪU Bài toán đối ngẫu toán QHTT�fsau ( x)  x1 8 x4 6 x5 � � � � � � � � �x j �0  x3 x1 x2 x2 2 x3  x5   x5   13 3 x4 j  1,5 �f D ( y )  y1 � toán y1 � � � � y1 � � � y1 � 4 y2 13 y3 y2  y3 2 y3 y3  y2 � max � � � � � 0 THÀNH LẬP BÀI TOÁN Bài toán gốc (P) NGẪU Bài toán đối ĐỐI Hàm mục tiêu f P ( x)  � cjxj � ngaãu (D) m Hàm f ( y )mục  b tiêu y � max Ràng buộc thứ i � �� n �� a x � bi i  1, m � ij j �� j 1  �� �� Ràng buộc thứ j � �� m �� a y � c j , j  1, n � ij i �� i 1  �� �� n j 1 D � i 1 i i Ẩn thứ j Ẩn thứ I � � � � � � � � � 0, i  1, m xj � � 0, j  1, n yi � � � � � khô ng rà ng buộ c� � khô ng rà ng buộ c� � � � � � VD2.2 VD2.3 VD2.4 VD2.5 VD2.6 VD2.7 THÀNH LẬP BÀI TOÁN dụ 2.2 Viết toán đối ngẫu ĐỐIbài NGẪU Ví cặp ràng buộc đối Bài toán đối ngẫu toán QHTT �f ( x)  x1  x2  x3  x4 � �f D ( y )  ngaãu y1  y2  y3 � max � � 1� y1 3 y2 2 y3 � � �3 x  x2  x3 � 3� y1  y2 3 y3 � � x1 3 x2  x3  x4  4� y1  y2  y3 � � � 2 y1  y3 x � j  1,2 � j � � y1 �0, y2 �0 � x1 � 0, ối 3 yngẫu 2 y3 �  1 Các cặp x1  x2 x2 �0, x1 x1 2 x3 y1  x2  x2 2 x4  y2 2 x3  x3 3 y3 2 x4 � � 1, � 3, y1 �0 y2 �0  2  3  4 � �  1  2 THÀNH LẬP BÀI TOÁN dụ 2.3 Viết toán đối ngẫu ĐỐIbài NGẪU Ví cặp ràng buộc đối ngẫu toán QHTT Bài toán đối �f ( x)  x1  x2  x3 � max ngaãu � 7x 4 x 2 x � 28 �f D ( y )  28 y1  10 y2  15 y3 � � �3 x � � x1 � � �  x2 3 x3  10 3 x2  x3 � 15 x j �0 j  1,2 � y1 � � y1 � � y1 � � 3 y2  y2 3 y2 y1 �0, 2 y3 � 3 y3 �  y3  8 y3 �0 x1 � 0, y1 ngẫu y2 2 y3 � Các cặp đối x2 �0, y1  y2 3 y3 � x1 4 x2 2 x3 � 28, y1 �0 x1 3 x2  x3 � 15, y3 �0  1  2  3  4 THÀNH LẬP BÀI TOÁN dụ 2.4 Viết toán đối ngẫu ĐỐIbài NGẪU Ví cặp ràng buộc đối f ( xbài )  xtoán x3 � ngẫu  x2  QHTT � � � x j �0 �x1 � 1� 2� � � � x2 �� � � � �� 2� 5� � � x3 � � j  1,3 Các ràng buộc đối nga x1 �0, y1 f DBài ( y )  2toán y1  y2 �đối max ngẫu �x2 �0, �1 � � �y1 � � �x �0, � � y1 � �� 3 � � � �y2 � � �1 � � � x1 � � �� x2 y j �0; j  1, y2 � � 2 y2  x3 � � 2, y1 �0 2 x3 � 5, y2 �0  1  2  3  4  5 THUAÄT GIẢI ĐƠN HÌNH Ví dụ 2.11 ĐỐI NGẪU Dùng thuật giải đơn hình đối ngẫu để giải toán quy hoạch tuyến tính sau �f ( x)  x1  x2  x3  x4  x5 � Min � x1 2 x2 2 x5  2 � � x2  x3  x4  x5  4 � � x3  x5  x6  � � x2  x3 4 x5  x7  � x j �0, j  1, � Xuất phát từ phương án giả X = (0, 0, Hệ số THUẬT GIẢI ĐƠN HÌNH Ẩ P ĐỐI –4 NGẪU – 0 n C B x1 –1 x1 x4 –1 x5 x6 0 x6 x7 A x x2 x3 x4 x5 x x –2 –2 0 – – – – –4 1 – 10 2 –4 – – 0 – 1 –4 – 1 0 0 0 0 1 0 Do a4j 0, j 1, , nên toán  = MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ĐỐI NGẪU TRONG BÀI TÌM PHƯƠNG ÁN TỐI ƯU MỚI TOÁN QHTT KHI CÓ THÊM RÀNG BUỘC VÀO BÀI TOÁN (XEM) TÌM NGHIỆM KHÔNG ÂM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH BẰNG THUẬT GIẢI ĐƠN HÌNH MỞ RỘNG (XEM) Ý NGHĨA KINH TẾ CỦA BÀI MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT Ví dụĐỐI 2.12 NGẪU TRONG BÀI a) Dùng thuật giải đơn hình đối TOÁN QHTT ngẫu để giải toán quy hoạch tuyến tính sau �f ( x)  15 x1  12 x2  10 x3 � Min � � � � � � x1 4 x2 2 x3 � 160 x1 2 x2 3x3 � 140 x j �0, j  1,3 b) Nếu thêm ràng buộc x1 + x2 + x3  60 vào toán trên, MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT Đưa toán dạng chínhBÀI tắc, ĐỐI NGẪU TRONG sau nhân (–1) cho ràng buộc TOÁN QHTT đẳng thức, ta có toán dạng tắc nhö sau �f ( x)  15 x1  12 x2  10 x3 � Min � 3x1 4 x2 2 x3  x4  160 � �  x1 2 x2 3x3  x5  140 � � x j �0, j  1,5 � a) Xuất phát từ phương án giả X = (0, 0, 0, –160, –140 Ta có bảng đơn hình MỘT SỐ ỨNG DỤNG LÝ NGẪU He THUYẾT Ẩ P.A 15ĐỐI 12 10 0 ä n So C B x1 x4 x5 x4 12 x2 ắ ẵ ẳ 0 ẵ 7/ –¼ –4 –12 –03 – 40 x5 –60 f(x 480 12 x)25 25 – 10 x3 30 P.A.T.Ư làf(x xopt = 600 f(x x2 x3 –2 –½ –3 ẳ 3/8 ẳ ẵ (0, 25, 30) vaø –2 f(x –2 opt) = – – – 0 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT b) Do xopt = (0, 25, 30) không thỏa ĐỐI NGẪU TRONG BÀI ràng buộc x1 TOÁN + x2 + xQHTT  60 nên xopt phương án toán Để xử lý ràng buộc này, ta đưa ràng buộc bất đẳng thức ràng buộc đẳng thức cách thêm ẩn phụ x6  0, ta –x1 – x2 – x3 + x6 = –60 Sử dụng bảng cuối câu a) đưa ràng buộc –x1 – x2 – x3 + x6 = –60 vào bảng Lưu ý ẩn x6 ẩn toán mới, MỘT SỐ ỨNG DỤNG LÝ NGẪU He Ẩ THUYẾT P.A 15 ĐỐI 12 10 0 ä n so C B x1 x2 x3 12 x2 25 7/8 12 x2 25 7/8 30 30 –60 –5 600 –¼ –¼ –1 – –7 3/8 0 –1 0 10 10 0 x3 x3 x6 x6 f(x ) x4 – 3/ –8 3/8 ¼ ¼ –1 0 – 1/8 x5 x6 ẳ ẳ ẵ ẵ –¼ –2 0 1 MỘT SỐ ỨNG DỤNG LÝ He Ẩ THUYẾT 15 ĐỐI 12 10NGẪU 0 ä n so C B P.A 12 x2 20 x1 x2 x3 x4 x5 x6 ½ –½ 10 x3 40 ½ / P.A.T.Ư x (0, x5 20opt = 3/2 640 f(x 640 –4 ) ½ –2 / 20, 40) f(x 0 ½ opt)–4= 0 –1 –8 TÌM NGHIỆM KHÔNG ÂM CỦA Tìm nghiệm không TRÌNH âm hệ HỆ PHƯƠNG phương trình TUYẾN tuyến tính AX = b, X  TÍNH m (1), A ma trận m  n, b  m g quy fvề giải toán quy x  M x   � j � j 1 hoạch tuyến tính g AX  X  b  2 X �0, X g �0, M   Bài toán (2) luôn có P.A.T.Ư (0,b) P.A hàm mục tiêu bị chặn [f(x)  0]  Giả sử P.A.T.Ư toán (xopt, xgopt), xgopt = 0,  j xopt TÌM NGHIỆM KHÔNG ÂM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾNkhông TÍNH Ví dụ 2.1.Tìm nghiệm âm hệ phương trình x1 tuyến 3x2 tính x3  � � � x1 2 x2 4 x3  �3x �  x2 2 x3  Ta quy toán toán �f QHTT ( x)  M  x4  x5  x6  � Min � � � � � � � � x1 x1 x1 3 x2 2 x2  x2 x j �0, j  1,  x3 4 x3 2 x3  x4  x5  x6    Giải toán trên, ta P.A.T.Ư (x , xg ) = (3, 1, 2, 0, 0, 0) Vậy Ý NGHĨA KINH TẾ CỦA BÀI Xét bàiTOÁN toán ĐỐI gốc NGẪU toán phần thức ăn Thức ăn Chất dinh dưỡng (%) j a11 a12 a1j a21 a22 a2j Mức dinh dưỡng tối thiểu n a1n b1 a2n b2 Ý NGHĨA KINH TẾ CỦA BÀI Gọi xj (j =TOÁN 1, 2, ,ĐỐI n) làNGẪU số đơn vị thức ăn bửa, ta có mô hình � f  x  toán c1 x1 QHTT c2 x2 nhö  Lsau cn xn � � ai1 x1  x2  L  ain xn � bi , i  1, m � � x j �0, j  1, n � Baøi � f D  y  toán  b1 y1 đối b2 yngaãu  L bm ym � a1 j y1  a2 j y2  L  amj ym � � yi �0, i  1, m � � max � cj , j  1, n Chaát dinh dưỡng thay thế: nhà sản Ý NGHĨA KINH TẾ CỦA BÀI ĐỐI NGẪU Gọi yi làTOÁN giá bán viên thuốc bổ có chứa chất dinh dưỡng i (i = 1, 2, , m) Người chăn nuôi phải lựa chọn:  Mua thuốc bổ, a1jy1 + a2jy2 + + anjyn < cj Vì giá thuốc bổ rẻ lúc xj = (định lý độ lệch bù yếu)  Mua thức ăn, theo định lý độ lệch bù yếu, yi > ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn = bi, Nghóa là, giá viên thuốc BÀI TẬP CHƯƠNG LẬP BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU [1a] [1b] [2] h.s Nguyễn Công T SỬ DỤNG NGẪU ĐỊNH LÝ ĐỐI Copyright 2001 [3][4][5][6] PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU