Thông tin tài liệu
lOMoARcPSD|10162138 TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP HỒ CHÍ MINH BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Mơn thi: TỐN CAO CẤP Họ tên sinh viên: HOÀNG HIẾU VY Lớp học phần: AMA301_211_D07 MSSV: 030337210285 THÔNG TIN BÀI THI Bài thi có: (bằng số): 15 trang (bằng chữ): Mười lăm trang YÊU CẦU Câu (4 điểm) Hãy trình bày theo hiểu biết em nội dung sau a) Thuật toán Gauss-Jordan để giải hệ phương trình tuyến tính AX=B b) Định lý số nghiệm hệ phương trình Mỗi trường hợp cho ví dụ minh họa, ma trận A có dịng c) Xét hệ phương trình sau ax1 x2 x3 a x1 bx2 x3 b x x cx c Trong a ngày sinh, b tháng sinh c năm sinh bạn Hãy giải phương trình cách Câu (3 điểm) a Trình bày cách tính định thức ma trận vng cấp Mỗi cách cho ví dụ minh họa? b Định nghĩa ma trận khả nghịch? Nêu phương pháp để xác định tính khả nghịch ma trận? Cho ví dụ minh họa cụ thể (ma trận cấp 3, cấp 4)? c Hãy cho ví dụ để vận dụng tính khả nghịch ma trận việc giải phương trình ma trận sau Câu (3 điểm) Hãy trình bày theo hiểu biết em nội dung sau Sự phụ thuộc tuyến tính độc lập tuyến tính họ vector Cho ví dụ minh a họa? b Khơng gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính nhất? Hãy cho ví dụ minh họa xác định số chiều sở c Xét khơng gian , cho ví dụ khơng gian nằm khơng gian có số chiều Xác định sở cơng thức biểu diễn tọa độ vector nằm khơng gian với sở trên? lOMoARcPSD|10162138 BÀI LÀM CÂU Câu a: Hệ phương trình tuyến tính? AX= B? Cho hệ gồm m phương trình, n ẩn số có dạng: 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑎 𝑥 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2 { 21 ……………………………………… 𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚 Trong 𝑎𝑖𝑗 hệ số ẩn; 𝑏𝑗 hệ số tự do; 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ẩn số Ta ký hiệu: 𝑎11 𝑎21 Ma trận hệ số A=( … 𝑎𝑚1 𝑎12 𝑎22 … 𝑎𝑚2 𝑏1 𝑏 Ma trận hệ số tự B=( ); … 𝑏𝑛 … … … … 𝑎1𝑛 𝑥1 𝑎2𝑛 𝑥2 Ma trận cột ẩn số X=( ); … … ); 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 Khi dạng ma trận hệ phương trình tuyến tính (1) A.X=B (2) Khi hệ số tự đều=0, ta có hệ phương trình tuyến tính có dạng: A.X=0 Điều kiện để sử dụng phương pháp Gauss Gauss- Jordan: hệ m dịng n cột Phương pháp Gauss ( phương pháp khử ẩn liên tiếp) Để giải hệ phương trình tuyến tính với m phương trình n ẩn , dạng AX=B, theo bước sau phương pháp Gauss: ̅ = [A|B] BƯỚC 1: Lập ma trận hệ số mở rộng A BƯỚC 2: Sử dụng phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận dạng bậc thang dịng Chú ý, q trình biến đổi: ̅ có dịng giống tỉ lệ xóa bỏ dịng Nếu A ̅ có dịng tồn số xóa bỏ dịng Nếu A ̅ có dịng có dạng (𝟎 Nếu A 𝟎 𝟎 𝟎|𝒃); b ≠ Hệ vô nghiệm lOMoARcPSD|10162138 BƯỚC 3: Khi hệ có dạng tương tự bậc thang, kiểm tra nghiệm cách sử dụng định lý Krocnecker- Capelli điều kiện có nghiệm BƯỚC 4: Nếu hệ có nghiệm ( vô số nghiệm nghiệm nhất), tiến hành giải ngược từ lên Phương pháp Gauss- Jordan: Nếu thay BƯỚC bên thành BƯỚC 4’) mạnh sau đây, ta có phương pháp Gauss- Jordan sau: BƯỚC 4’: Biến đổi ma trận bậc thang thành ma trận bậc thang rút gọn Ma trận bậc thang rút gọn ma trận: - Hàng toàn đặt - Hệ số số khác hàng Hệ số hàng ln phía bên phải hệ số hàng Hệ số hàng - Ở cột, hệ số khác hệ số =0 Lưu ý: Đối với ma trận vng, biến đổi thành ma trận đơn vị Ví dụ ma trận bậc thang rút gọn: i (0 0 0 0) ii Ma trận đơn vị (0 0 0 0) 1 iii (0 0 0 0 0 0) Câu b: Định lý số nghiệm hệ phương trình trên: Định lý Krocnecker-Capelli điều kiện có nghiệm : Trường hợp 1: Nếu r(A) < r(𝐴̅) hệ vơ nghiệm Trường hợp 2: Nếu r(A) = r(𝐴̅)=n ( số ẩn) hệ có nghiệm Trường hợp 3: Nếu r(A) = r(𝐴̅)= k < n hệ (1) có vơ số nghiệm phụ thuộc n-k tham số Ví Dụ 1: Biện luận m cho hệ phương trình sau vơ nghiệm: 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 = 𝟏 𝟐𝒙𝟏 + (𝒎 + 𝟐)𝒙𝟐 + 𝟓𝒙𝟑 = 𝟏 { 𝒙𝟏 + (𝒎 + 𝟏)𝒙𝟐 + (𝒎 + 𝟐)𝒙𝟑 = 𝒎𝟐 − 𝒎 + 𝟏 Ma trận hệ số : 𝐴 = (2 1 𝑚+2 𝑚+1 ); ); Ma trận cột hệ số tự do: 𝐵 = ( 𝑚+2 m −m+1 lOMoARcPSD|10162138 𝐴̅ = (𝐴|𝐵) = (2 −𝑑1 +𝑑3 →𝑑3 −2𝑑1 +𝑑2 →𝑑2 → Biện luận: (0 𝑚 𝑚 𝑚+2 𝑚+1 ) | 𝑚+2 m −m+1 𝑑2 −𝑑3 →3 (0 | −1 ) → 𝑚 m −m 𝑚 ) −1 | − 𝑚 −1 − m + m 1 1 ̅ Nếu m=0 𝐴 → (0 1|−1) → ( | ) 0 −1 0 −1 Vậy r(A)=r(𝐴̅) =2 𝑃3 = 20 ⇒ 𝑄𝐷3 = 𝑄𝑆3 = 145 > Vậy điểm cân thị trường (10, 15, 20) Ví Dụ 3: Một bệnh nhân định phải uống ba loại vitamin A, B, C với hàm lượng 7, 4, 18 Có ba loại thuốc bổ nhãn hiệu X, Y, Z mà loại thuốc chứa loại vitamin Biết viên thuốc X chứa hàm lượng vitamin A, B, C 1, 1, 3; viên thuốc Y chứa hàm lượng vitamin A, B, C 1, 2, 4; viên thuốc Z chứa hàm lượng vitamin A, B, C 1, 0, Tìm tất cách kết hợp số viên thuốc X, Y, Z cần mua thỏa định Gọi x, y, z số viên thuốc loại X, Y, Z (x, y, z ∈ 𝑁) Ta có hệ phương trình 𝑥+𝑦+𝑧 =7 𝑥 + 2𝑦 = { 3𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 18 −𝑑1 +𝑑2 →𝑑2 1 −3𝑑 1 +𝑑3 →𝑑3 ̅ ( ) | (0 −1|−3) 𝐴 = 𝐴 𝐵 = ( 0| ) → 18 −2 −3 1 −𝑑2 +𝑑3 →𝑑3 1 | ) (0 −1|−3) → ( → −1 −3 0 0 Vì r(A)= r(𝐴̅)= A khả nghịch A11=(-1)1+1.|3|=3 A12=(-1)1+2.|2|= -2 A21=(-1)2+1.|7|= -7 A22=(-1)2+2.|5|= −7 −7 ) )= ( −2 −2 −7 −5 (*)= ( )=( )( −2 −5 −11 Vậy X=( ) A-1= ( −11 ) 11 lOMoARcPSD|10162138 CÂU 3: Câu a: cách để xác định độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính họ vecto: Bằng định nghĩa Bằng định lý ( liên quan đến định thức) Bằng định lý (liên quan đến hạng họ vecto) i) Xác định phụ thuộc tuyến tính độc lập tuyến tính họ vecto định nghĩa: Trong không gian vecto V, cho hệ vecto S= {u1,u2,…,un} - Hệ vecto S gọi độc lập tuyến tính hệ phương trình x1u1+ x2u2+ … + xnun=0 (vecto 0) có nghiệm x1=x2=…=xn=0 (nghiệm tầm thường) - Hệ vecto S gọi phụ thuộc tuyến tính hệ phương trình x1u1+ x2u2+ … + xnun=0 (vecto 0) có nghiệm khơng tầm thường (x1;x2;…;xn)≠(0,0,0,…,0) Chú ý: Trong R2, vecto phương vecto phụ thuộc tuyến tính; vector khơng phương vector độc lập tuyển tính; Trong R3, vector đồng phẳng vector phụ thuộc tuyến tính, ba vector khơng đồng phẳng độc lập tuyến tính - Xác định phụ thuộc tuyến tính độc lập tuyến tính họ vecto định lý ( liên quan định thức) 𝑢1 = (𝑎11 , 𝑎12 , … , 𝑎1𝑛 ) 𝑢 = (𝑎21 , 𝑎22 , … , 𝑎2𝑛 ) Trong khơng gian vector Rn cho hệ vector có n vector { …………………………… 𝑢𝑛 = (𝑎𝑛1 , 𝑎𝑛2 , … , 𝑎𝑛𝑛 ) 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛 Thì A= ( … … … … ) gọi ma trận dòng tọa độ hệ S 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑛 Khi đó: Hệ vector S độc lập tuyến tính |A| ≠ Hệ vector S phụ thuộc tuyến tính |A|=0 Hệ quả: Nếu hệ S có vecto- khơng hệ S phụ thuộc tuyến tính Nếu hệ S chứa vecto tổ hợp tuyến tính vecto khác S hệ S phụ thuộc tuyến tính Nếu hệ S có phận hệ phụ thuộc tuyến tính hệ S phụ thuộc tuyến tính ii) Xác định phụ thuộc tuyến tính độc lập tuyến tính họ vecto định lý ( liên quan đến hạng hệ vector) iii.1) Hạng hệ vecto a) Định nghĩa: Cho S họ vectơ không gian vectơ V Khi đó, hạng S số tối đa vectơ độc lập tuyến tính lấy từ họ S Ký hiệu: rank(S) r(S) b) Nhận xét: Nếu rank(S) = r S có họ gồm r vector độc lập tuyến tính iii) 12 lOMoARcPSD|10162138 họ vector có nhiều r vector S phụ thuộc tuyến tính iii.2) Định lý S họ vecto không gian vecto V Kí hiệu |S| để số phần tử hệ S Khi đó: a) S độc lập tuyến tính rank (S) = |S| b) S phụ thuộc tuyến tính rank (S) < |S| 𝑢1 = (𝑎11 , 𝑎12 , … , 𝑎1𝑛 ) 𝑢 = (𝑎21 , 𝑎22 , … , 𝑎2𝑛 ) c) Nếu S hệ có m vecto cho tọa độ { …………………………… 𝑢𝑛 = (𝑎𝑛1 , 𝑎𝑛2 , … , 𝑎𝑛𝑛 ) 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛 Thì rank (S) = rank ( … … … …) 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑛 n Nhận xét: R hệ chứa nhiều n vecto phụ thuộc tuyến tính Ví dụ 1: Trong R3, tìm điều kiện m để hệ sau phụ thuộc tuyến tính S= { (m-2;3;2m+1),(4;m-6;2m-2)} Đây không gian R3 nên ta sử dụng định lý liên quan đến hạng hệ vecto để xác định độc lập/ phụ thuộc tuyến tính 𝑚−2 2𝑚 + Ma trận dòng hệ tọa độ S: A= ( ) 𝑚 − 2𝑚 − 𝑑2 ↔𝑑1 𝑚 − 2𝑚 − ( ) → 𝑚−2 2𝑚 + 1 𝑚−6 2𝑚 − − (𝑚−2)𝑑1 +𝑑2 →𝑑2 4 −1 −1 ) ( → 𝑚2 + 2𝑚 𝑚2 + 𝑚 2 −1 Có: 𝑚 + 2𝑚 = m=8 m=0 4 14 Khi m=8, A → ( ) 0 −4 r(A)=2= số vecto hệ S hệ S độc lập tuyến tính Loại m=8 −6 −2 Khi m=0, A → ( ) → (4 −6 −2) 0 r(A)=1
Ngày đăng: 13/01/2022, 20:47
Xem thêm:
