TIỂU LUẬN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP.HCM KHOA QUẢN TRỊ KINH DOANH  TIỂU LUẬN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Minh Tùng Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Thùy Duyên MSSV: 030336200041 Lớp: D14 TP Hồ Chí Minh, tháng 06 năm 2021 MỤC LỤC I MỞ ĐẦU: Lý thuyết xác suất thống kê ngành khoa học quan trọng ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực phong phú đời sống người Trong bối cảnh khoa học công nghệ phát triển mạnh mẽ, nhu cầu hiểu biết sử dụng công cụ ngẫu nhiên phân tích xử lý thơng tin ngày trọng Song, kiến thức phương pháp môn lý thuyết xác suất thống kê hộ trợ nhà nghiên cứu nhiều lĩnh vực đa dạng vật lý, hóa học, kinh tế học, xã hội học, hiệu Do phát triển khoa học vũ bão đầu kỷ 20 nên lĩnh vực kể cần phải dựa vào lý thuyết xác suất thống kê nên thời điểm đó, mơn học phát triển Kolmogrov nhà bác học người Nga hàng đầu đưa tiên đề lý thuyết xác suất thống kê, từ làm sở vững cho môn Những năm gần đây, môn lý thuyết xác suất thống kê trở thành môn học bắt buộc cho nhiều ngành nghề đa dạng khác trường đại học cao đẳng Bộ môn chia làm phần: gồm phần xác suất (3 chương) thống kê (2 chương) II NỘI DUNG CHƯƠNG : XÁC SUẤT Lý thuyết xác suất 1.1 Các công thức xác suất 1.1.1 Cơng thức bù Ta có cơng thức bù sau: P( A) = − P ( A) 1.1.2 Cơng thức cộng • Nếu A1, A2, An xung khắc đôi ( Ai.Aj = , ∀i ≠ j ) thì: P( A1 + A2 + + An ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + + P( An ) • Nếu A,B biến cố ( A ∩ B ≠ ∅ ) hay ( A.B ≠ ∅ ) thì: Nguyễn Thị Thùy Duyên MSSV:030336200041 P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ) − P(A.B) Mở rộng cho n biến cố ta có:  n  n n −1 P  ∑ Ai ÷ = ∑ P ( Ai ) − ∑ P ( Ai A j ) + + ( −1) P ( A1 A2 An ) i< j  i =1  i =1 1.1.3 Công thức nhân • Nếu A B hai biến cố độc lập với (nghĩa việc xảy biến cố không ảnh hưởng đến biến cố kia) Ta có cơng thức nhân sau: P ( A.B) = P ( A).P ( B ) Chú ý: A ⊂ B, P( A.B ) = P ( A) • Trong trường hợp biến cố B xảy ra, xác suất biến cố A (được gọi xác suất biến cố A với điều kiện B, ký hiệu P(A|B): P( A | B) = P( A.B) P( B) Suy công thức nhân A, B phụ thuộc: P( A.B) = P( A | B).P( B) Mở rộng: Nếu n biến cố Ai (i=1,2, ,n) phụ thuộc thì: P ( A1 A2 An ) = P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( An A1 An −1 ) 1.1.4 Công thức xác suất đầy đủ Nếu B1, B2, , Bn nhóm biến cố đầy đủ A biến cố thì: n P( A) = ∑ P( A | Bi ).P( Bi ) i =1 1.1.5 Công thức Bayes Nếu B1, B2, , Bn nhóm biến cố đầy đủ A biến cố thì: Nguyễn Thị Thùy Duyên MSSV:030336200041 P( B j | A) = P ( A | B j ).P( B j ) P ( A) = P ( A | B j ).P( B j ) n ∑ P( A | B ).P(B ) i =1 i , ∀j ∈1, N i 1.2 Phân phối rời rạc 1.2.1 Biễn ngẫu nhiên: Biến ngẫu nhiên rời rạc biến ngẫu nhiên mà tập giá trị tập đếm (hữu hạn vô hạn) 1.2.2 Bảng phân phối xác suất Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc X p i = P( X = xi ) với xi X() Khi bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X trình bày sau: X P x1 p1 x2 p2 xn pn 0 ≤ pi ≤  n   ∑ pi =1 Trong đó:  i =1 (Khi X nhận vơ hạn đếm giá trị Ngồi ra, phân phối ngẫu nhiên rời rạc cịn có tính chất sau: ∞ ∑p i =1 i =1 ) P { a ≤ f ( X ) ≤ b} = ∑ a ≤ f ( xi ) ≤b pi 1.2.3 Hàm phân phối xác suất Phân phối rời rạc có hàm phân phối: Fx ( x ) = P( X < x) = ∑ pi xi < x Tính chất: • ≤ F ( x ) ≤ 1, ∀x ∈ ¡ • F ( x) • ∀x ∈ ¡ F ( −∞ ) = 0; F ( +∞ ) = • không giảm liên tục trái x ∈ ¡ Đặc biệt, với F(x) liên tục P ( a ≤ X < b ) = F ( b ) − F ( a ) , ∀a, b ∈ ¡ Nguyễn Thị Thùy Duyên MSSV:030336200041 1.2.4 Đặc trưng phân phối rời rạc: a Mode (Mod): Mode giá trị biến ngẫu nhiên mà có xác suất lớn nhất: { } ModX = x0 ⇔ p0 = max pi : i = 1, n Chú ý: Mod(X) nhận nhiều giá trị khác b Kỳ vọng (Expectation): Kỳ vọng biến ngẫu nhiên X, ký hiệu E(X) hay M(X), số thực xác định sau: E ( X ) = x1 p1 + x2 p2 + + xn pn Tính chất:  EC = C , C ∈ ¡ E ( CX ) = C E ( X ), C ∈ ¡  E X ±Y ) = E ( X ) + E ( Y )  ( E ( X Y ) = E ( X ) E ( Y )  Ý nghĩa: Kỳ bọng biến ngẫu nhiên X giá trị trung bình (tính theo xác suất) mà X nhận được, phản ánh giá trị trung tâm phân phối xác suất X Trong thực tế sản xuất hay kinh doanh, cần chọn phương án cho suất hay lợi nhuận cao, người ta thường chọn phương án cho kỳ vọng suất hay kỳ vọng lợi nhuận cao c Phương sai (Variance): Phương sai biến ngẫu nhiên X, ký hiệu Var(X) hay D(X) số thực không âm xác định Var ( X ) = E ( X − EX ) = E ( X ) − ( E ( X ) ) 2 n Với E ( X ) = ∑ ( xi pi ) = x12 p1 + x22 p2 + + xn2 pn i =1 Nguyễn Thị Thùy Duyên MSSV:030336200041 Tính chất: • VarC = 0, C ∈ ¡ Var ( CX ) = C VarX • Var ( X ± Y ) = VarX + VarY • X Y độc lập Ý nghĩa: ( X −E( X ) ) bình phương sai biệt giá trị X so với trung bình Và phương sai trung bình sai biệt này, nên phương sai cho ta hình ảnh phân tán số liệu: phương sai nhỏ số liệu tập trung xung quanh trung bình chúng Ứng dụng: Trong công nghiệp, phương sai biểu thị độ xác sản xuất Trong chăn ni biểu thị độ đồng gia súc Trong trồng trọt biểu thị mức độ ổn định suất hay kinh doanh phương sai đặc trưng cho độ rủi ro đầu tư d Độ lệch chuẩn (Standart error): Độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên X, ký hiệu σ( X) xác định công thức sau: σ ( X ) = Var ( X ) 1.3 Phân phối chuẩn 1.3.1 Phân phối chuẩn Biến ngẫu nhiên liên tục X có phân phối chuẩn với tham số , ký hiệu X~N(,) Phân phối chuẩn có hàm mật độ xác suất sau: − f ( x) = e σ 2π ( x−µ ) 2σ ( x∈¡ ) Trong đó: X( = , EX = ModX = VarX = Xác suất X ~ N (μ; σ2): Nguyễn Thị Thùy Duyên MSSV:030336200041 b P ( a ≤ X ≤ b) = ∫ a f ( x ) dx = σ 2π b ∫e − ( x−µ ) 2σ dx a 1.3.2 Phân phối chuẩn tắc: BNN Z có phân phối chuẩn với hai tham số gọi có phân phối chuẩn tắc, ký hiệu Z ∈ N ( 0;1) hay Z : N ( 0;1) Với =0 =1, hàm mật độ xác suất Z là: f ( z) = z − e ;z∈¡ 2π Đồ thị f(x) có dạng hình chương, trục đối xứng x=, điểm uốn(), nhận trục hoành làm tiệm cận ngang  Hàm Gauss: trường hợp Lúc này, X gọi phân phối chuẩn tắc có hàm f(x) = − 2x e 2π x  Hàm Laplace: ϕ ( x ) = ∫ f ( x )dx Cơng thức tính xác suất: β P ( α ≤ Z ≤ β ) = ∫ f ( z ) dz = ϕ ( β ) − ϕ ( α ) α Tính chất: ϕ ( x) • Hàm đồng biến ¡ ϕ ( − x ) = −ϕ ( x ) • (hàm ϕ ( x ) lẻ) ϕ ( −∞ ) = −0, ϕ ( +∞ ) = 0, • ; Nguyễn Thị Thùy Duyên MSSV:030336200041 Bài tập ứng dụng 2.1 Bài tập 1: Một doanh nghiệp có nhân viên sale A, B, C ghi đơn hàng Xác suất ghi đơn hàng nhân viên A 0.8, nhân viên B 0.7 nhân viên C 0.6 Tính xác suất ba nhân viên không ghi đơn hàng Bài giải: Ta có, xác suất ghi đơn hàng nhân viên là: P(A)=0,8; P(B)=0,7; P(C)=0,6 Xác suất ba nhân viên không ghi đơn hàng là: P( ABC ) = − P( ABC ) ⇔ P ( ABC ) = − ( P ( A).P ( B ).P (C ) ) − 0,8.0,7.0, = 0, 664 = 2.2 Bài tập 2: Một doanh nghiệp bán hàng có 70% khách hàng thân thiết, lại khách hàng Được biết doanh nghiệp có ưu đãi nợ gối đầu, 10 khách hàng thân thiết có người mua hàng gối đầu khách hàng có người sử dụng ưu đãi Chọn khách hàng bất kỳ, tính xác suất người nợ doanh nghiệp Bài giải: Gọi khách hàng thân thiết A , khách hàng A Ta có: P(A) = 0,7; P( A )=0,3 Gọi B nợ khách hàng doanh nghiệp Ta có: P(B|A)= 10 =0,1; P(B| A )= =0,4 Xác suất khách hàng ngẫu nhiên nợ doanh nghiệp là: P(B) = P ( A).P( B | A) + P ( A).P( B | A) ⇔ P (B) = 0, 7.0,1 + 0,3.0, = 0,19 Nguyễn Thị Thùy Duyên MSSV:030336200041 2.3 Bài tập 3: Số kg gạo bán ngày cửa hàng nhỏ biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất bảng sau: X P 0,05 0,1 0,2 0,2 0,2 0,1 0, a Tính xác suất ngày cửa hàng bán 3kg gạo b Tính số kg gạo trung bình mà cửa hàng bán ngày Bài giải: a Xác suất ngày cửa hàng bán 3kg là: P (X ≤ 3) = P ( X = 4) + P( X = 5) + P( X + 6) ⇔ P (X ≤ 3) = 0, + 0,15 + 0,1 = 0, 45 b Số kg gạo trung bình người bán ngày là: E ( X ) = ∑ X i Pi = 3, 25 i =1 2.4 Bài tập 4: Một cơng ty sử dụng hình thức marketing phát tờ rơi PR Giả sử có 60% khách hàng biết tới cơng ty qua hình thức phát tờ rơi, 30% khách hàng biết thông qua PR có 10% khách hàng thơng qua hình thức marketing để biết tới cơng ty Tính xác suất để ngẫu nhiên chọn khách hàng họ biết tới công ty Bài giải: Gọi A B khách hàng biết tới công ty qua hai hình thức phát tờ rơi PR Ta có: P(A) = 0,6; P(B) = 0,3; P(AB) = 0,1 Xác suất để ngẫu nhiên chọn vị khách hàng họ biết tới công ty là: P( X ) = P(A) + P(B) − P(AB) ⇔ P( X ) = 0, + 0,3 − 0,1 = 0,8 10 Nguyễn Thị Thùy Duyên MSSV:030336200041 P( B) = P( B | A).P( A) + P( B | A).P( A) b Xác suất hộ gia đình hộ kinh doanh bn bán (phải đóng thuế) là: P( A1 | B ) = P( B | A1 ).P(A1 ) P( B ) ⇔ P( A1 | B) = 0, 6.0,3 = 0, 295 − 0,39 c Xác suất hộ gia đình khơng đóng thuế kinh doanh bn bán là: P( A1 | B) = ⇔ P( A1 | B ) = P ( A1 | B ).P ( A1 ) P( B) (1 − 0, 6).0,3 = 0,307 0,39 2.7 Bài tập 7: Trong công ty sản xuất thủy hải sản, biết số công nhân nghỉ ngày đại lượng ngẫu nhiên có phân phối xác suất sau: X p 0 a 2a 2a 3a a2 2a2 7a2+a a Xác định biến a b Tính xác suất ngày có cơng nhân nghỉ c Tính Var(X), độ lệch chuẩn Bài giải: a Ta có: ∞ ∑p i =1 i =1 ⇔ + a + 2a + 2a + 3a + a + 2a + a + a = 12 Nguyễn Thị Thùy Duyên MSSV:030336200041 a = 0,1( N ) ⇔ a = 0( L) Vậy a = 0,1 b Xác suất ngày có người nghỉ là: P (X ≥ 5) = 0,12 + 2.0,12 + 7.0,12 + 0,1 = 0, 2 2 c E ( X ) = 0,1 + 2.0,1.2 + 2.0,1.3 + 3.0,1.4 + 0,1 + 2.0,1 + (7.0,1 + 0,1).7 = 3, 66 E ( X ) = 0,1 + 2.0,1.22 + 2.0,1.32 + 3.0,1.42 + 0,12.52 + 2.0,12.6 + (7.0,12 + 0,1).7 = 20, Phương sai: Var ( X ) = E ( X ) − (EX) = 20, − 3, 662 = 6,8044 Độ lệch chuẩn: σ = Var ( X ) = 6,8044 = 2, 6085 2.8 Bài tập 8: Một bệnh viện kiểm tra nhanh Covid-19 cho biết, xác suất để người đến kiểm tra mà có bệnh 0,8 Xác suất người khám có bệnh kiểm tra cho kết dương tính 0,9 xác suất để người khám khơng có bệnh kiểm tra âm tính 0,5 a Tính xác suất kiểm tra cho kết dương tính b tính xác suất kiểm tra cho kết Bải giải: a X= “người tới kiểm tra có bệnh” ⇒ P(X)=0,8 A= “Kết dương tính” ⇒ P(X|A) = 0,9 A = “Kết âm tính ⇒ P( X | A ) = 0,5 Ta có tổng số người bị bệnh là: 13 Nguyễn Thị Thùy Duyên MSSV:030336200041 P (X) = P ( X | A).P (A) + P(X | A).P( A) ( = P( X | A).P(A) + P(X | A) − P( A) ) = P ( X | A) +  P ( X | A) − P(X | A)  P ( A) ⇒ P(A) = = P ( X ) − P ( X | A) P ( X | A) − P( X | A) P( X ) − 1 − P ( X | A)  0,8 − 0,5 P( X | A) − 1 − P ( X | A)  = 0,9 − 0,5 = 0, 75 Vậy xác suất kiểm tra cho kết dương tính 0,75 b Xác suất kiểm tra cho kết là: P( XA + X A) = P ( XA) + P ( X A) = P(X | A), P(A) + P( X | A).P( A) = 0, 7125 2.9 Bài tập 9: Để có dự báo kinh tế, người ta sử dụng phương pháp chọn lọc lượng lớn dự báo cá nhân chuyên gia phân tích Giả định dự báo cá nhân lãi suất tháng Giêng chuyên gia phân tích kinh tế phân phối xấp xỉ chuẩn với trung bình 7,75% độ lệch chuẩn 1,6% Một chuyên gia phân tích chọn ngẫu nhiên từ nhóm: a Tính xác suất để dự báo chuyên gia lãi suất vượt 9% b Xác suất để dự báo nhà phân tích lãi suất thấp 6% bao nhiêu? Bài giải: a Xác suất để dự báo chuyên gia lãi suất vượt 9% là: P ( 0, 09 ≤ x ) = σ 2π ∞ ∫ e − ( x−µ ) 2σ dx 0,09 ⇔ P ( 0, 09 ≤ x ) = 0, 016 2π ∞ ∫e − ( x − 0,0775 ) 2.0,0162 dx 0,09 14 Nguyễn Thị Thùy Duyên MSSV:030336200041 b Xác suất để dự báo chuyên gia lãi suất thấp 6% là: P ( x ≤ 0, 06 ) = σ 2π 0,06 ∫ e − ( x−µ ) 2σ dx ⇔ P ( x ≤ 0, 06 ) = 0, 016 2π 0,06 ∫e − ( x −0,0775) 2.0,0162 dx = 0,137 2.10 Bài tập 10: Một cửa hàng tổ chức bốc thăm may mắn để tri ân khách hàng Biết có 100 có cấu giải thưởng sau: giải đặc biệt, 10 giải nhì, 20 giải ba 30 giải khuyến khích Ngẫu nhiên khách hàng lên rút thưởng a Tính xác xuất để vị khách hàng định rút thăm trúng thưởng b Tính xác suất khách hàng rút giải nhì, biết thăm khách hàng rút trúng thưởng Bài giải: a A= “Giải đặc biệt” ⇒ P(A)=0,01 B= “Giải nhì” ⇒ P(B)=0,1 C= “Giải ba” ⇒ P(C)=0,2 D= “Giải khuyến khích”=0,3 Xác suất khách hàng định rút thăm trúng thưởng là: P(ABCD)= 0,01+0,1+0,2+0,3=0,61 b Biết khách hàng rút thăm trúng thưởng, xác suất để khách hàng rút giải nhì là: P( B | ABCD) = P( B) 0,1 = = 0,1639 P( ABCD) 0, 61 15 Nguyễn Thị Thùy Duyên MSSV:030336200041 CHƯƠNG : THỐNG KÊ Lý thuyết thống kê 2.11 Ước lượng điểm Ước lượng điểm đoán giá trị chưa biết tổng thể dựa vào việc quán sát mẫu lấy từ tổng thể Thơng thường, cần ước lượng trung bình, tỉ lệ, phương sai, hệ số tương quan tổng thể Trong ước lượng điểm kết cần ước lượng cho trị số Ưu điểm ước lượng điểm cho giá trị cụ thể mà dùng để tính kết khác Tuy nhiên nhược điểm khơng cho biết sai số ước lượng 2.12 Ước lượng khoảng cho tỉ lệ Giải sử tỉ lệ p phần tử có tính chất A tổng thể chưa biết Với độ tin cậy 1- cho trước, khoảng ước lượng p (p1;p2) thỏa mãn P(p1 30 phương sai tổng thể chưa biết: s n ε = zα ε = t αn −1  Nếu cỡ mẫu n 30, chưa biết X có phân phối chuẩn: s n Bài tập ứng dụng 3.1 Bài tập 1: Doanh số cửa hàng biến số ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn triệu/ tháng Điều tra ngẫu nhiên doanh số 600 cửa hàng có quy mơ tìm doanh số trung bình 8,5 triệu Với độ tin cậy 95% Hãy ước lượng doanh số trung bình cửa hàng thuộc quy mơ Bài giải: Ta có sai số là: ε = z1+α σ = 1,96 = 0,16 n 600 Vậy ước lượng khoảng trung bình cửa hàng thuộc quy mô là: ( X − ε ; X + ε ) = (8,34;8, 66) 3.2 Bài tập 2: Khảo sát tiêu X loạt sản phẩm, người ta quan sát mẫu cho kết sau: X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 Số sản 20 16 16 13 18 phẩm Giả sử X có phân phối chuẩn Hãy ước lượng trung bình X với độ tin cậy 95% Bài giải: a Ta có X = 26,36; s = 7,4827; n = 100 17 Nguyễn Thị Thùy Duyên MSSV:030336200041 ε = z1+α Sai số: s 7, 4827 = z1+ 0.95 = 1, 4666 n 100 Ước lượng khoảng trung bình: ( 24,8934; 27,8266 ) 3.3 Bài tập 3: Tìm hiểu tỷ lệ phế phẩm công ty sản xuất may mặc, người ta thấy ngẫu nhiên 400 có 40 bị lỗi Tìm khoảng ước lượng tỷ lệ phế phẩm công ty với độ tin cậy 95% Bài giải: Ta có tỷ lệ phế phẩm ε = z1+α f = 40 = 0,1 400 f (1 − f ) 0,1.(1 − 0,1) = 1,96 = 0,0294 n 400 Vậy khoảng ước lượng tỷ lệ phế phẩm cơng ty nói là: (0,0706;0,1294) 3.4 Bài tập 4: Trái sau chín thu hoạch đóng theo thùng, biết thùng có 100 trái Kiểm tra ngẫu nhiên 50 thùng, người ta nhận thấy có 450 trái khơng đạt chuẩn để xuất Biết độ tin cậy 95%, ước lượng khoảng tỷ lệ mà trái không đạt chuẩn? Bài giải: Ta có Vậy f = 450 = 0, 09 50.100 ε = z1+α f (1 − f ) 0, 09.(1 − 0, 09) = 1, 96 = 7,9326.10−3 n 50.100 Khoảng tỷ lệ trái không đạt chuẩn ước lượng là: (0,08207;0,097933) 18 Nguyễn Thị Thùy Duyên MSSV:030336200041 3.5 Bài tập 5: Một công ty điều hòa đánh giá mức độ sử dụng khách hàng khu vực X gồm 150 hộ gia đình Kết khảo sát cho thấy có 48 gia đình sử dụng máy điều hòa Với độ tin cậy 99%, ước lượng khoảng tỷ lệ sử dụng máy lạnh gia đình X Bài giải: Với f = Ta có: 48 = 0,32 150 α = 0.99 ε = z1+α f (1 − f ) 0,32.(1 − 0,32) = 2,58 = 0, 09827 n 150 Vậy tỷ lệ gia đình khu vực X sử dụng máy điều hòa ước lượng là: (0,89173;1,09927) 3.6 Bài tập 6: Nghiên cứu hàm lượng dinh dưỡng loại thực phẩm doanh nghiệp cho mắt, ta kết sau: Hàm lượng (%) 6-7 7-8 8-9 9-10 10-11 11-12 Số lượng 10 20 35 25 a Hãy ước lượng hàm lượng dinh dưỡng trung bình thực phẩm với độ tin cậy 95% b Những thực phẩm có hàm lượng dinh dưỡng 10% gọi hàng đặc biệt Hãy ước lượng tỷ lệ thực phẩm đặc biệt loại thực phẩm với độ tin cậy 99% c Muốn độ xác ước lượng dinh dưỡng loại thực phẩm 0,2 với độ tin cậy 95% cần kiểm tra sản phẩm nữa? d Muốn độ xác ước lượng dinh dưỡng thực phẩm đặc biệt 5% với độ tin cậy 95% cần kiểm tra sản phẩm? Bài giải: a Ta có: X = 9,3 ; n = 100 s = 1,2144 19 Nguyễn Thị Thùy Duyên MSSV:030336200041 ε = z1+α Độ xác là: s 1, 2144 = z1+0.95 = 0, 238 n 100 Vậy khoảng ước lượng trung bình hàm lượng dinh dưỡng là: (9,06198;9,53802) b Ta có Vậy f = ε = z1+α 30 = 0,3 100 với = 0,99 f (1 − f ) 0,3.(1 − 0,3) = 2, 58 = 0,11823 n 100 Ước lượng tỷ lệ thực phẩm đặc biệt nằm khoảng: (0,18177;0,41823) ε = z1+α c Ta có: s ≥ 0, n 1, 2144 ≥ 0, n ⇒ n ≥ 141, 64 ⇔ 1,96 Vậy cần thêm 142-100 = 42 sản phẩm d Ta có: ε = z1+α ⇔ 1,96 f (1 − f ) ≥ 0, 05 n 0,3.(1 − 0,3) ≥ 0, 05 n 0, 21 0, 05 ⇔ ≥ ⇒ n ≥ 322, n 1,96 Vậy cần kiểm tra 323 sản phẩm 3.7 Bài tập 7: Giả sử hạn sử dụng thiết bị nhà máy Z có độ lệch chuẩn 500, trung bình mẫu 8900 (ngày) tính 35 mẫu a Tính khoảng ước lượng trung bình hạn sử dụng thiết bị nói với độ tin cậy 95% 20 Nguyễn Thị Thùy Duyên MSSV:030336200041 b Hãy tính trung bình tổng thể với độ tin cậy 90% c Nếu muốn độ xác 200 ngày với độ tin cậy 99% phải khảo sát thiết bị? Bài giải: ε = z1+α a Ta có độ xác: σ 500 500 = z1+0,95 = 1,96 = 165, 65 n 35 35 Vậy khoảng trung bình hạn sử dụng thiết bị ước lương: (8735;9066) b Ta có độ xác: ε = z1+α σ 500 500 = z1+0,9 = 1, 65 = 139, 45 n 35 35 Vậy khoảng trung bình hạn sử dụng thiết bị là: (8761;9040) c Nếu muốn độ xác 200, ta có: σ ≥ 200 n 500 ⇔ z1+ 0,99 ≥ 200 n ⇒ n ≥ 41, ε = z1+α Vậy phải xét 42 sản phẩm 3.8 Bài tập 8: Giám đốc công ty cho hay, lương trung bình nhân viên công ty ông triệu/tháng dựa khảo sát 36 nhân viên Với độ lệch chuẩn 2,3 triệu độ tin cậy 95% a Ước lượng trung bình mức lương nhân viên cơng ty bao nhiêu? b Giả sử có 25% nhân viên số người khảo sát hưởng mức lương họ khơng hài lịng Hãy giúp giám đốc ước lượng khoảng tỷ lệ nhân viên không thỏa mãn với mức lương c Nếu khảo sát thêm 100 người độ xác mức lương bao nhiêu? 21 Nguyễn Thị Thùy Duyên MSSV:030336200041 Bài giải: ε = z1+α a Độ xác là: σ 2,3 2,3 = z1+0,95 = 1,96 = 0, 7513 n 36 36 Vậy mức lương trung bình nhân viên ước lượng khoảng: (7,2487;8,7513) b Ta có f = 25% = 0,25 Độ xác là: ε = z1+α f (1 − f ) 0, 25.(1 − 0, 25) = 1,96 = 0,14145 n 36 Vậy tỷ lệ nhân viên khơng hài lịng với mức lương khoảng: (0,10855; 0,39145) c Khảo sát 100 người độ xác là: ε = z1+α σ 2, 2,3 = z1+ 0,95 = 1,96 = 0,388 n 36 35 + 100 Vậy khảo sát thêm 100 người mức lương giám đốc nói xác 3.9 Bài tập 9: Khảo sát 500 khách hàng, cơng ty nhận có vị khách khơng hài lịng với sản phẩm cơng ty Với độ tin cậy 99%, xác định: a Khoảng tỷ lệ mà khách hàng khơng hài lịng b Nếu khảo sát có độ tin cậy thấp 4% dự tính khoảng tỷ lệ khách khơng hài lịng bao nhiêu? Bài giải: a Ta có f = = 0, 018 500 Vậy độ xác là: ε = z1+α f (1 − f ) 0, 018.(1 − 0, 018) = 2,58 = 0, 01534 n 500 Khoảng tỷ lệ mà khách khơng hài lịng ước lượng: (0,00266;0,03334) 22 Nguyễn Thị Thùy Duyên MSSV:030336200041 b Nếu khảo sát có độ tin cậy thấp 4% so với thực tế Vậy độ xác là: f (1 − f ) 0,018.(1 − 0, 018) = 1,96 = 0, 01165 n 500 ε = z1+α Lúc đó, tỷ lệ khách hàng khơng hài lịng ước lượng khoảng: (0,00635;0,02965) 3.10 Bài tập 10: Để nghiên cứu đường kính ống nước nhà máy chế tạo, người ta đo ngẫu nhiên 100 sản phẩm có kết sau: Đường kính (mm) 9,85 9,90 9,95 10,00 10,05 10,10 10,15 Số lượng 12 20 30 14 10 a Với độ tin cậy 95%, cho biết trung bình tổng thể đường kính nằm khoảng b Biết ống nước đạt chuẩn có đường kính từ 9,9mm đến 10,1mm Cùng độ tin cậy 95%, ước lượng khoảng tỷ lệ mà ống nước đạt chuẩn Bài giải a Ta có: X = 9,992 ; n =100 s = 0,0787 Vậy độ xác nghiên cứu là: ε = z1+α s 0, 0787 0, 0787 = z1+0,95 = 1, 96 = 0, 01543 n 100 100 Trung bình tổng thể đường kính ống nước ước lượng khoảng: (9,9766;10,0074) b Tỷ lệ ống nước có đường kính đạt chuẩn là: Vậy độ xác là: ε = z1+α f = 12 + 20 + 30 + 10 = 0, 72 100 f (1 − f ) 0, 72.(1 − 0, 72) = 1,96 = 0, 088 n 100 Vậy tỷ lệ ống nước đạt chuẩn ước lượng khoảng: (0,632;0,808) 23 Nguyễn Thị Thùy Duyên MSSV:030336200041 III KẾT LUẬN IV TÀI LIỆU THAM KHẢO 24 Nguyễn Thị Thùy Duyên MSSV:030336200041 TÀI LIỆU THAM KHẢO: Học247.net Bài 4: Phân phối chuẩn từ Đồn Vương Ngun Bài giảng xác suất thơng kê đại học từ Wikipedia Phân phối chuẩn từ Mathisfun Normal Distribution từ Tài Phân phối chuẩn – Normal Distribution, 06/02/2016, từ Huỳnh Minh Thuận Tiểu sử Carl Friedrich Gauss (Gau-xơ), 01/09/2009 từ Wikipedia Carl Friedrich Gauß từ TS Nguyen Ngoc Rang Phân phối chuẩn từ Lê Thảo Phân phối chuẩn (Normal Distribution) gì? Phân phối chuẩn tài chính, 06/11/2019 từ 10 Maths.uel.edu.vn Phân phối chuẩn 25 Nguyễn Thị Thùy Duyên MSSV:030336200041 từ 26 Nguyễn Thị Thùy Duyên MSSV:030336200041 ... 2: Một doanh nghiệp bán hàng có 70% khách hàng thân thi? ??t, lại khách hàng Được biết doanh nghiệp có ưu đãi nợ gối đầu, 10 khách hàng thân thi? ??t có người mua hàng gối đầu khách hàng có người sử... 3.7 Bài tập 7: Giả sử hạn sử dụng thi? ??t bị nhà máy Z có độ lệch chuẩn 500, trung bình mẫu 8900 (ngày) tính 35 mẫu a Tính khoảng ước lượng trung bình hạn sử dụng thi? ??t bị nói với độ tin cậy 95%... với độ tin cậy 99% phải khảo sát thi? ??t bị? Bài giải: ε = z1+α a Ta có độ xác: σ 500 500 = z1+0,95 = 1,96 = 165, 65 n 35 35 Vậy khoảng trung bình hạn sử dụng thi? ??t bị ước lương: (8735;9066) b