Giáo trình Phương pháp Phần tử hữu hạn docx

i PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Lý thuyết Bài tập Chương trình MATLAB THÁI NGUYÊN 2011 NGÔ NHƯ KHOA Ngô Như Khoa PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN THÁI NGUYÊN 2011 MỞ ĐẦU Giáo trình Phương pháp Phần tử hữu hạn (PP PTHH) được biên soạn dựa trên cuốn: Giáo trình Phương pháp Phần tử hữa hạn – Lý thuyết, bài tập và chương trình Matlab. GS.TS. Trần Ích Thịnh, TS. Ngô Như Khoa. NXB Khoa học Kỹ thuật 2007. Và kinh nghiệm giảng dạy môn học cùng tên trong những năm gần đây cho sinh viên khoa Cơ khí, trường Đại học Bách khoa Hà Nội và học viên cao học ngành Cơ học Kỹ thuật, trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - Đại học Thái Nguyên. Nội dung giáo trình có mục đích trang bị cho sinh viên các ngành kỹ thuật: Công nghệ chế tạo máy, Kỹ thuật cơ khí, v.v. Với các nội dung: - Những kiến thức cơ bản nhất của PP PTHH ứng dụng, - Áp dụng phương pháp để giải quyết một số bài toán kỹ thuật khác nhau, - Nâng cao kỹ năng lập trình Matlab trên cơ sở thuật toán PTHH. Giáo trình biên soạn gồm 11 chương. Sau phần giới thiệu phương pháp PTHH, một số loại phần tử thực và phần tử qui chiếu hay gặp (Chương 1), giáo trình đề cập đến một số phép tính ma trận, phương pháp khử Gauss (Chương 2) và thuật toán xây dựng ma trận độ cứng và véctơ lực nút chung cho kết cấu (Chương 3). Phương pháp Phần tử hữu hạn trong bài toán một chiều chịu kéo (nén) được giới thiệu trong Chương 4 và ứng dụng vào tính toán hệ thanh phẳng (Chương 5). Tiếp theo, giáo trình tập trung vào mô tả phần tử hữu hạn tam giác biến dạng hằng số trong bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi (Chương 6) và ứng dụng vào tính toán kết cấu đối xứng trục (Chương 7). Chương 8 giới thiệu phần tử tứ giác kèm theo khái niệm tích phân số. Chương 9 mô tả phần tử Hermite trong bài toán tính dầm và khung. Chương 10 trình bày phần tử hữu hạn trong bài toán dẫn nhiệt một và hai chiều. Chương 11 xây dựng thuật toán PTHH tính tấm-vỏ chịu uốn. Cuối mỗi chương (từ chương 4 đến chương 11) đều có chương trình Matlab kèm theo và một lượng bài tập thích đáng để người đọc tự kiểm tra kiến thức của mình. Rất mong nhận được những góp ý xây dựng của bạn đọc. Tác giả i MỤC LỤC Chương 1 1 GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 1 5.1. GIỚI THIỆU CHUNG 1 5.2. XẤP XỈ BẰNG PHẦN TỬ HỮU HẠN 1 5.3. ĐỊNH NGHĨA HÌNH HỌC CÁC PHẦN TỬ HỮU HẠN 1 3.1. Nút hình học 1 3.2. Qui tắc chia miền thành các phần tử 2 5.4. CÁC DẠNG PHẦN TỬ HỮU HẠN 2 5.5. PHẦN TỬ QUY CHIẾU, PHẦN TỬ THỰC 3 5.6. MỘT SỐ DẠNG PHẦN TỬ QUI CHIẾU 4 5.7. LỰC, CHUYỂN VỊ, BIẾN DẠNG VÀ ỨNG SUẤT 6 5.8. NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU HOÁ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN 6 5.9. SƠ ĐỒ TÍNH TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 7 Chương 2 9 ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSSIAN 9 1. ĐẠI SỐ MA TRẬN 9 1.1. Véctơ 9 1.2. Ma trận đơn vị 9 1.3. Phép cộng và phép trừ ma trận 10 1.4. Nhân ma trận với hằng số 10 1.5. Nhân hai ma trận 10 1.6. Chuyển vị ma trận 11 1.7. Đạo hàm và tích phân ma trận 11 1.8. Định thức của ma trận 11 1.9. Nghịch đảo ma trận 12 1.10. Ma trận đường chéo 12 1.11. Ma trận đối xứng 12 1.12. Ma trận tam giác 13 2. PHÉP KHỬ GAUSS 13 2.1. Mô tả 13 2.2. Giải thuật khử Gauss tổng quát 14 Chương 3 17 THUẬT TOÁN XÂY DỰNG MA TRẬN ĐỘ CỨNG CHUNG 17 VÀ VÉCTƠ LỰC NÚT CHUNG 17 1. CÁC VÍ DỤ 17 1.1. Ví dụ 1 17 1.2. Ví dụ 2 19 2. THUẬT TOÁN GHÉP K VÀ F 21 2.1. Nguyên tắc chung 21 2.2. Thuật toán ghép nối phần tử: 23 Chương 4 24 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN MỘT CHIỀU 24 1. MỞ ĐẦU 24 2. MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN 24 3. CÁC HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ VÀ HÀM DẠNG 25 4. THẾ NĂNG TOÀN PHẦN 27 5. MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ 28 6. QUI ĐỔI LỰC VỀ NÚT 28 7. ĐIỀU KIỆN BIÊN, HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN 30 8. VÍ DỤ 32 36 ii BÀI TẬP CHƯƠNG 4 37 Chương 5 39 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN HỆ THANH PHẲNG 39 1. MỞ ĐẦU 39 2. HỆ TOẠ ĐỘ ĐỊA PHƯƠNG, HỆ TOẠ ĐỘ CHUNG 39 3. MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ 41 4. ỨNG SUẤT 41 5. VÍ DỤ 42 BÀI TẬP CHƯƠNG 5 43 Chương 6 47 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN HAI CHIỀU 47 1. MỞ ĐẦU 47 1.1. Trường hợp ứng suất phẳng 47 1.2. Trường hợp biến dạng phẳng 48 2. RỜI RẠC KẾT CẤU HOÁ BẰNG PHẦN TỬ TAM GIÁC 48 3. BIỂU DIỄN ĐẲNG THAM SỐ 50 4. THẾ NĂNG 53 5. MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ TAM GIÁC 53 6. QUI ĐỔI LỰC VỀ NÚT 54 7. VÍ DỤ 56 BÀI TẬP CHƯƠNG 6 61 Chương 7 63 BÀI TOÁN ĐỐI XỨNG TRỤC CHỊU TẢI TRỌNG ĐỐI XỨNG 63 1. MỞ ĐẦU 63 2. MÔ TẢ ĐỐI XỨNG TRỤC 63 3. PHẦN TỬ TAM GIÁC 64 BÀI TẬP CHƯƠNG 7 72 Chương 8 74 PHẦN TỬ TỨ GIÁC 74 1. MỞ ĐẦU 74 5.1. PHẦN TỬ TỨ GIÁC 74 5.2. HÀM DẠNG 74 5.3. MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ 76 5.4. QUI ĐỔI LỰC VỀ NÚT 78 5.7. TÍCH PHÂN SỐ 78 5.8. TÍNH ỨNG SUẤT 81 5.9. VÍ DỤ 82 BÀI TẬP CHƯƠNG 8 83 Chương 9 84 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU DẦM VÀ KHUNG 84 1. GIỚI THIỆU 84 5.10. THẾ NĂNG 84 5.11. HÀM DẠNG HERMITE 85 5.12. MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ DẦM 86 5.13. QUY ĐỔI LỰC NÚT 88 5.14. TÍNH MÔMEN UỐN VÀ LỰC CẮT 89 5.15. KHUNG PHẲNG 89 5.16. VÍ DỤ 91 BÀI TẬP CHƯƠNG 9 95 Chương 10 97 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN DẪN NHIỆT 97 1. GIỚI THIỆU 97 2. BÀI TOÁN DẪN NHIỆT MỘT CHIỀU 97 iii 2.1. Mô tả bài toán 97 2.2. Phần tử một chiều 97 2.3. Ví dụ 98 3. BÀI TOÁN DẪN NHIỆT HAI CHIỀU 100 3.1. Phương trình vi phân quá trình dẫn nhiệt hai chiều 100 3.2. Điều kiện biên 101 3.3. Phần tử tam giác 101 3.4. Xây dựng phiếm hàm 103 3.5. Ví dụ 106 BÀI TẬP CHƯƠNG 10 109 Chương 11 110 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU TẤM - VỎ CHỊU UỐN 110 1. GIỚI THIỆU 110 2. LÝ THUYẾT TẤM KIRCHOFF 110 3. PHẦN TỬ TẤM KIRCHOFF CHỊU UỐN 112 1. PHẦN TỬ TẤM MINDLIN CHỊU UỐN 117 2. PHẦN TỬ VỎ 120 BÀI TẬP CHƯƠNG 11 123 TÀI LIỆU THAM KHẢO 124 iv Chương 1 GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 5.1.GIỚI THIỆU CHUNG Sự tiến bộ của khoa học, kỹ thuật đòi hỏi người kỹ sư thực hiện những đề án ngày càng phức tạp, đắt tiền và đòi hỏi độ chính xác, an toàn cao. Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là một phương pháp rất tổng quát và hữu hiệu cho lời giải số nhiều lớp bài toán kỹ thuật khác nhau. Từ việc phân tích trạng thái ứng suất, biến dạng trong các kết cấu cơ khí, các chi tiết trong ô tô, máy bay, tàu thuỷ, khung nhà cao tầng, dầm cầu, v.v, đến những bài toán của lý thuyết trường như: lý thuyết truyền nhiệt, cơ học chất lỏng, thuỷ đàn hồi, khí đàn hồi, điện-từ trường v.v. Với sự trợ giúp của ngành Công nghệ thông tin và hệ thống CAD, nhiều kết cấu phức tạp cũng đã được tính toán và thiết kế chi tiết một cách dễ dàng. Hiện có nhiều phần mềm PTHH nổi tiếng như: ANSYS, ABAQAUS, SAP, v.v. Để có thể khai thác hiệu quả những phần mềm PTHH hiện có hoặc tự xây dựng lấy một chương trình tính toán bằng PTHH, ta cần phải nắm được cơ sở lý thuyết, kỹ thuật mô hình hoá cũng như các bước tính cơ bản của phương pháp. 5.2.XẤP XỈ BẰNG PHẦN TỬ HỮU HẠN Giả sử V là miền xác định của một đại lượng cần khảo sát nào đó (chuyển vị, ứng suất, biến dạng, nhiệt độ, v.v.). Ta chia V ra nhiều miền con v e có kích thước và bậc tự do hữu hạn. Đại lượng xấp xỉ của đại lượng trên sẽ được tính trong tập hợp các miền v e . Phương pháp xấp xỉ nhờ các miền con v e được gọi là phương pháp xấp xỉ bằng các phần tử hữu hạn, nó có một số đặc điểm sau: - Xấp xỉ nút trên mỗi miền con v e chỉ liên quan đến những biến nút gắn vào nút của v e và biên của nó, - Các hàm xấp xỉ trong mỗi miền con v e được xây dựng sao cho chúng liên tục trên v e và phải thoả mãn các điều kiện liên tục giữa các miền con khác nhau. - Các miền con v e được gọi là các phần tử. 5.3.ĐỊNH NGHĨA HÌNH HỌC CÁC PHẦN TỬ HỮU HẠN 3.1. Nút hình học Nút hình học là tập hợp n điểm trên miền V để xác định hình học các PTHH. Chia miền V theo các nút trên, rồi thay miền V bằng một tập hợp các phần tử v e có dạng đơn giản hơn. Mỗi phần tử v e cần chọn sao cho nó được xác định giải tích duy nhất theo các toạ độ nút hình học của phần tử đó, có nghĩa là các toạ độ nằm trong v e hoặc trên biên của nó. 1 3.2. Qui tắc chia miền thành các phần tử Việc chia miền V thành các phần tử v e phải thoả mãn hai qui tắc sau: - Hai phần tử khác nhau chỉ có thể có những điểm chung nằm trên biên của chúng. Điều này loại trừ khả năng giao nhau giữa hai phần tử. Biên giới giữa các phần tử có thể là các điểm, đường hay mặt (Hình 1.1). - Tập hợp tất cả các phần tử v e phải tạo thành một miền càng gần với miền V cho trước càng tốt. Tránh không được tạo lỗ hổng giữa các phần tử. 5.4.CÁC DẠNG PHẦN TỬ HỮU HẠN Có nhiều dạng phần tử hữu hạn: phần tử một chiều, hai chiều và ba chiều. Trong mỗi dạng đó, đại lượng khảo sát có thể biến thiên bậc nhất (gọi là phần tử bậc nhất), bậc hai hoặc bậc ba v.v. Dưới đây, chúng ta làm quen với một số dạng phần tử hữu hạn hay gặp. Phần tử một chiều Phần tử hai chiều Phần tử ba chiều Phần tử tứ diện 2 biên giới biên giới v 2 v 1 biên giới v 2 v 1 v 1 v 2 Hình 1.1. Các dạng biên chung giữa các phần tử Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba 5.5. PHẦN TỬ QUY CHIẾU, PHẦN TỬ THỰC Với mục đích đơn giản hoá việc xác định giải tích các phần tử có dạng phức tạp, chúng ta đưa vào khái niệm phần tử qui chiếu, hay phần tử chuẩn hoá, ký hiệu là v r . Phần tử qui chiếu thường là phần tử đơn giản, được xác định trong không gian qui chiếu mà từ đó, ta có thể biến đổi nó thành từng phần tử thực v e nhờ một phép biến đổi hình học r e . Ví dụ trong trường hợp phần tử tam giác (Hình 1.2). Các phép biến đổi hình học phải sinh ra các phần tử thực và phải thoả mãn các qui tắc chia phần tử đã trình bày ở trên. Muốn vậy, mỗi phép biến đổi hình học phải được chọn sao cho có các tính chất sau: a. Phép biến đổi phải có tính hai chiều (song ánh) đối với mọi điểm ξ trong phần tử qui chiếu hoặc trên biên; mỗi điểm của v r ứng với một và chỉ một điểm của v e và ngược lại. b. Mỗi phần biên của phần tử qui chiếu được xác định bởi các nút hình học của biên đó ứng với phần biên của phần tử thực được xác định bởi các nút tương ứng. Chú ý: 3 Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba v r v 3 v 2 v 1 1,00,0 y ξ x (1) (2) (3) (4) (5) η r 3 r 2 r 1 0,1 Hình 1.2. Phần tử quy chiếu và các phần tử thực tam giác - Một phần tử qui chiếu v r được biến đổi thành tất cả các phần tử thực v e cùng loại nhờ các phép biến đổi khác nhau. Vì vậy, phần tử qui chiếu còn được gọi là phần tử bố-mẹ. - Có thể coi phép biến đổi hình học nói trên như một phép đổi biến đơn giản. - ζ (ξ, η) được xem như hệ toạ độ địa phương gắn với mỗi phần tử. 5.6. MỘT SỐ DẠNG PHẦN TỬ QUI CHIẾU Phần tử qui chiếu một chiều Phần tử qui chiếu hai chiều Phần tử qui chiếu ba chiều Phần tử tứ diện 4 0 1-1 ξ 0 1-1 ξ -1 / 2 1 -1 ξ 1 / 2 0 Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba ξ Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba v r 10,0 1 ξ v r 10,0 1 ξ v r 10,0 1 η η η 1 / 2 ,1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 3 , 2 / 3 2 / 3 , 1 / 3 2 / 3 1 / 3 1 / 3 2 / 3 [...]... phần tử một chiều và mỗi nút có một bậc tự do, ta vẫn sử dụng bảng ghép nối phần tử ở trên để thiết lập ma trận độ cứng K và véctơ lực F 29 7 ĐIỀU KIỆN BIÊN, HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN Sau khi rời rạc hóa vật thể nhờ phương pháp phần tử hữu hạn, ta xác định được biểu thức thế năng toàn phần (4.23) Bây giờ phải xây dựng phương trình cân bằng để từ đó xác định các chuyển vị nút, sau đó tính ứng suất,... 2 MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN Có thể chia thanh ra nhiều phần tử, mỗi phần tử có tiết diện ngang không đổi (hoặc thay đổi) Chẳng hạn, ta chia thanh ra 5 phần tử với các nút được đánh số từ 1 đến 6, các chỉ số nút này là chỉ số nút toàn cục (Hình 4.1a); mỗi phần tử có hai nút 1 và 2, các chỉ số nút này là chỉ số nút cục bộ (Hình 4.1b) Trong bài toán một chiều, mỗi nút chỉ có một chuyển vị theo phương x ...ζ 0,0,1 ζ 0,0,1 ζ 0,0,1 η vr 0,0,0 η vr 0,1,0 0,1,0 1,0,0 η vr 1,0,0 ξ Phần tử bậc nhất 0,1,0 1,0,0 ξ Phần tử bậc hai ξ Phần tử bậc ba Phần tử sáu mặt ζ ζ 0,1,1 vr vr η η 1,1,0 Phần tử bậc nhất 0,1,1 vr η ξ ζ 0,1,1 ξ 1,1,0 Phần tử bậc hai ξ 1,1,0 Phần tử bậc ba 5 5.7 LỰC, CHUYỂN VỊ, BIẾN DẠNG VÀ ỨNG SUẤT Có thể chia lực tác dụng ra ba loại và ta biểu diễn chúng... BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Một chương trình tính bằng PTHH thường gồm các khối chính sau: Khối 1: Đọc các dữ liệu đầu vào: Các dữ liệu này bao gồm các thông tin mô tả nút và phần tử (lưới phần tử) , các thông số cơ học của vật liệu (môđun đàn hồi, hệ số dẫn nhiệt ), các thông tin về tải trọng tác dụng và thông tin về liên kết của kết cấu (điều kiện biên); Khối 2: Tính toán ma trận độ cứng phần tử. .. index(e, i) ) + f e ( i ) i = i+1; i ≤ edof F e = e +1; e ≤ noe T T F Hình 3.3 Sơ đồ thuật toán ghép nối phần tử 23 Chương 4 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN MỘT CHIỀU 1 MỞ ĐẦU Để giải bài toán một chiều (1D) bằng phương pháp phần tử hữu hạn, chúng ta sẽ sử dụng nguyên lý cực tiểu hoá thế năng toàn phần và các quan hệ: quan hệ ứng suấtbiến dạng, quan hệ biến dạng-chuyển vị Với bài toán hai chiều (2D)... cho tổng số phần tử Mỗi nút có một bậc tự do Trở lại ví dụ 3.1, bảng index chính là bảng ghép nối phần tử ở trên T Khi ấy: Q = { Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 } - Với phần tử 1 (e =1) : = { Q1 Q2 q Q4 } T (1 2 4) = { Q4 Q2 Q5 } T 2 5) Q3 Q5 } T index(1, :) = - Với phần tử 2 (e =2) q index(2, :) = ( 4 - Với phần tử 3 (e =3) = { Q2 q index(3, :) = ( 2 5) 3 Chú ý: ký hiệu (:) trong index(e,:) chỉ các phần tử thuộc hàng... của các phần tử để tạo ra ma trận độ cứng K và véctơ lực nút F chung cho cả hệ, từ đó thiết lập hệ phương trình PTHH là một vấn đề quan trọng Ta sẽ cộng các số hạng của ma trận độ cứng của mỗi phần tử vào các vị trí tương ứng của ma trận độ cứng chung và cộng các số hạng của véctơ lực vào véctơ lực chung Cách dễ nhất để ghép các phần tử là gán số cho mỗi dòng và cột của ma trận độ cứng phần tử đúng... phương trình còn lại Bước này sẽ tác động đến các phần tử nằm trong vùng đã đánh dấu và làm cho các phần tử từ hàng 2 đến hàng thứ n của cột 1 bằng không nhờ phép biến đổi (2.18) sau: 14 ai1  ( 1) aij = aij − a a1 j  11  b ( 1) = b − ai1 b ; i, j = 2, , n i 1  i a11  (2.18) Bước 2 Sử dụng phương trình thứ hai (hàng 2) để loại x2 ra khỏi các phương trình còn lại Bước này sẽ tác động đến các phần. ..   4  5    Việc cộng các véctơ lực phần tử vào véctơ lực chung được tiến hành hoàn toàn tương tự 1.2 Ví dụ 2 Giả sử có hai phần tử 1 và 4 trong bài toán hai chiều; mỗi phần tử có 3 nút, mỗi nút có 2 bậc tự do (Hình 3.2) Hãy mô tả quá trình ghép nối ma trận độ cứng chung K và véctơ lực nút chung, theo các ma trận độ cứng phần tử và véctơ lực nút phần tử k1, k4, f1 và f4 cho trước như sau:  22... cột của ma trận độ cứng phần tử đúng với bậc tự do của phần tử ấy, sau đó chúng ta sẽ làm việc qua các số hạng của ma trận phần tử; tức là cộng các số hạng này vào ma trận chung mà mỗi dòng, mỗi cột cũng được gán đúng những số trên Dưới đây ta sẽ xét hai ví dụ 1 CÁC VÍ DỤ 1.1 Ví dụ 1 Một kết cấu được chia ra 8 phần tử tam giác như Hình 3.1 Mỗi phần tử có 3 nút; mỗi nút có 1 bậc tự do (ví dụ nhiệt độ) . i PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Lý thuyết Bài tập Chương trình MATLAB THÁI NGUYÊN 2011 NGÔ NHƯ KHOA Ngô Như Khoa PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN THÁI NGUYÊN 2011 MỞ ĐẦU Giáo trình Phương pháp Phần. tử Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba 5.5. PHẦN TỬ QUY CHIẾU, PHẦN TỬ THỰC Với mục đích đơn giản hoá việc xác định giải tích các phần. THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 1 5.1. GIỚI THIỆU CHUNG 1 5.2. XẤP XỈ BẰNG PHẦN TỬ HỮU HẠN 1 5.3. ĐỊNH NGHĨA HÌNH HỌC CÁC PHẦN TỬ HỮU HẠN 1 3.1. Nút hình học 1 3.2. Qui tắc chia miền thành các phần