Giáo trình phương pháp phần tử hữu hạn ĐHGTVT

Giáo trình Phương pháp phần tử hữu hạn trình bày về thông tin chung về phương pháp phần tử hữu hạn như: Đại số ma trận và phương pháp khứ Gaussian, thuật toán xây dựng ma trận độ cứng và Véctơ lực nút chung, phần tử hữu hạn trong bài toán một chiều, phần tử hữu hạn trong tính toán hệ thanh phẳng,... Tài liệu phục vụ cho các bạn chuyên ngành Toán và những ngành có liên quan

NGUYỄN XUÂN LỰU

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

HÀ XUẤT BẢ GIAO THÔG VẬ TẢI

HÀ ỘI - 2007

LỜI NÓI ĐẦU

Trong những phương pháp tính toán kết cấu hiện nay, các phương pháp số, đặc biệt là phương pháp phần tử hữu hạn ngày càng được ứng dụng rộng rãi Ở các trường đại học kỹ thuật, môn học Phương pháp phần tử hữu hạn đã được đưa vào chương trình giảng dạy

Để đáp ứng yêu cầu học tập và nghiên cứu của sinh viên, chúng tôi biên soạn cuốn sách này nhằm cung cấp cho người đọc những kiến thức cơ bản nhất của môn học, biết sử dụng phương pháp này để giải những dạng bài toán điển hình đơn giản, từ đó có cơ sở để vận dụng vào công tác tính toán, thiết kế công trình trong thực tế Sách cũng có thể làm tài liệu tham khảo cho các học viên cao học, các kỹ sư thiết kế cơ khí và công trình

Để nắm vững môn học này người đọc cần ôn lại hoặc bổ túc thêm các kiến thức về Cơ học vật rắn, Lý thuyết đàn hồi, Lý thuyết ma trận, Phương trình đạo hàm riêng Vì vậy ở cuối cuốn sách chúng tôi giới thiệu thêm về Đại cương Lý thuyết đàn hồi như là Phần phụ lục của cuốn sách

Trong quá trình biên soạn cuốn sách, tác giả đã nhận được nhiều ý kién đóng góp quí báu của các bạn đồng nghiệp, nhân đây chúng tôi xin tỏ lòng cám ơn chân thành

Tác giả

Chương 1

KHÁI NIỆM CHUNG

VỀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

1.1 Mô hình rời rạc hóa kết cấu

Trong mấy chục năm gần đây, kỹ thuật tính toán kết cấu đã có những bước phát

triển mới do việc ứng dụng rộng rãi máy tính điện tử Một trong những phương pháp

tính toán đang được sử dụng ngày càng nhiều và có hiệu quả là phương pháp phần tử

hữu hạn (sau đây viết tắt là PTHH)

Phương pháp PTHH trong tính toán kết cấu là tổng hợp của nhiều bộ môn, vì nó

liên quan đến kiến thức trong ba lĩnh vực sau đây:

- Cơ học kết cấu: sức bền vật liệu, lý thuyết đàn hồi, lý thuyết dẻo, động lực học

- Giải tích số: các phương pháp gần đúng, giải hệ phương trình tuyến tính, bài

toán trị riêng

- Tin học ứng dụng

Ý tưởng cơ bản của phương pháp PTHH trong tính toán kết cấu là coi vật thể liên

tục như là tổ hợp của nhiều phần nhỏ liên kết với nhau bởi một số hữu hạn các điểm, gọi

là nút Các phần nhỏ được hình thành gọi là các phần tử hữu hạn (gọi tắt là phần tử)

Hình dạng và kích thước các phần tử có thể khác nhau, tạo thành các mạng lưới khác

nhau Trên hình 1.1 giới thiệu một số sơ đồ rời rạc hóa kết cấu liên tục thành mạng lưới

PTHH

Dĩ nhiên, quan niệm rời rạc hóa như vậy chỉ là gần đúng Khi thay thế kết cấu

thực (hệ liên tục) bằng tổ hợp các phần tử như trên, người ta thừa nhận rằng, năng lượng

bên trong mô hình thay thế phải bằng năng lượng trong kết cấu thực Trong mỗi phần

tử, các đại lượng cần tìm (thí dụ chuyển vị, ứng suất) được lấy xấp xỉ theo một dạng

hàm đơn giản gọi là hàm xấp xỉ Các hàm xấp xỉ, thí dụ hàm xấp xỉ chuyển vị, phải thỏa

mãn điều kiện liên tục trên biên các phần tử tiếp xúc với nhau Trong một số trường

hợp, các điều kiện tương thích này chỉ thỏa mãn một cách gần đúng

Người ta căn cứ vào hình dạng và tình hình chịu lực của kết cấu để chọn loại phần

tử thích hợp Đối với hệ thanh, lấy đoạn dầm và thanh làm PTHH Với kết cấu tấm

phẳng thường sử dụng các phần tử hình tam giác, phần tử hình chữ nhật, phần tử hình tứ

giác có cạnh thẳng hoặc cong Đối với kết cấu vỏ, ngoài các loại phần tử tấm phẳng còn

sử dụng phần tử vỏ Đối với vật thể khối, thường dùng các loại phần tử hình tứ diện,

hình lập phương, hình lục diện Còn đối với vật thể đối xứng trục, thường dùng phần tử

hình vành khăn Hình 1.2a giới thiệu một số loại phần tử thường dùng

Hình 1.1 Tùy theo số lượng nút và cách bố trí nút trong mỗi PTHH, người ta phân biệt các loại phần tử tuyến tính và phần tử bậc cao, tương ứng với các dạng hàm chuyển vị tuyến tính và dạng hàm chuyển vị bậc cao Hình 1.2b giới thiệu 3 loại phần tử bậc cao

a)

b)

Hình 1.2 Khi phân tích các kết cấu có thể sử dụng các mô hình tính như sau:

1 Mô hình chuyển vị chọn chuyển vị ở các nút làm Nn Các Nn này được xác định

từ hệ phương trình cân bằng thành lập trên cơ sở nguyên lý thế năng toàn phần dừng

Trong tất cả các trường chuyển vị thỏa mãn các điều kiện tương thích và điều kiện biên động học, thì trường chuyển vị tương ứng với sự cân bằng của vật thể sẽ làm cho thế năng toàn phần π đạt giá trị dừng (đạt giá trị cực tiểu)

0

U – thế năng biến dạng đàn hồi của vật thể, biểu diễn bằng phần diện tích vẽ trên hình 1.3

V – công của ngoại lực sinh ra trên dịch chuyển của ngoại lực do vật thể bị biến dạng

N ếu hệ ở trạng thái ổn định, thế năng toàn phần có giá trị cực tiểu

N hư vậy sau khi giả thiết một dạng hàm chuyển vị trong phần tử, từ điều kiện dừng của phiếm hàm π ta sẽ nhận được một hệ phương trình cân bằng trong khi các điều kiện liên tục đã được thỏa mãn

Hình 1.3

2 Mô hình cân bằng chọn các ứng suất hay nội lực ở các nút làm Nn Các Nn này

được xác định từ hệ phương trình tương thích thành lập trên cơ sở nguyên lý cực tiểu của thế năng bù toàn phần N guyên lý này phát biểu như sau:

Trong tất cả các trường ứng suất thỏa mãn điều kiện cân bằng và điều kiện biên tĩnh học, thì trường ứng suất thỏa mãn điều kiện tương thích sẽ làm cho thế năng bù toàn phần π∗

đạt giá trị dừng

0

δπ∗ =δ ∗+δ ∗ = (1.2) trong đó: π∗ =U∗+V∗ là hàm của các ứng suất

U∗ - thế năng bù của biến dạng, biểu diễn bằng phần diện tích phía trên

vẽ trên hình 1.3

V∗ - công bù của ngoại lực

Thông thường người ta hay sử dụng mô hình chuyển vị vì nó thuận lợi hơn cho việc tự động hóa tính toán trên máy tính Do đó trong tài liệu này chỉ đề cập đến mô hình chuyển vị của phương pháp PTHH

1.2 Hàm chuyển vị Hàm dạng

1.2.1 Đa thức xấp xỉ Hàm chuyển vị

N ếu sử dụng mô hình chuyển vị trong phương pháp PTHH thì hàm xấp xỉ của đại lượng cần tìm là hàm chuyển vị Hàm này mô tả gần đúng chuyển vị của các điểm trong phần tử Thông thường người ta chọn hàm chuyển vị dưới dạng đa thức, bởi vì ở dạng

đa thức dễ đạo hàm, tích phân, dễ thiết lập công thức khi xây dựng các phương trình cơ bản của phương pháp PTHH Bậc của đa thức và số lượng số hạng trong đa thức phụ thuộc vào bậc tự do của phần tử, tức là số chuyển vị ở tất cả các nút của phần tử Điều này sẽ nói kỹ hơn khi phân tích những kết cấu cụ thể trong những phần sau

Các đa thức xấp xỉ phải thỏa mãn điều kiện hội tụ, tức là khi kích thước phần tử nhỏ dần thì kết quả sẽ hội tụ đến lời giải chính xác Muốn vậy trong đa thức được chọn phải tồn tại số hạng tự do (hằng số) và tồn tại đạo hàm riêng đến bậc cao nhất trong phiếm hàm năng lượng

Thí dụ, đối với bài toán một chiều có thể chọn:

( )

n i i

Ta xem xét một PTHH hình tam giác trong bài toán phẳng của Lý thuyết đàn hồi Phần tử có 3 nút là 3 đỉnh của tam giác, nối khớp với các phần tử khác (hình 1.4) Mỗi nút có 2 bậc tự do, tức là có thể chuyển dịch theo 2 phương x và y N hư vậy phần tử có

6 bậc tự do, chúng được biểu diễn bằng 6 chuyển vị ở các nút là u v u v u v Ta i, ,i j, j, m, m

gọi đó là các chuyển vị nút Chúng hợp thành vectơ chuyển vị nút của phần tử:

{ }

i i j j m m

u v u v u v

N hư đã thấy, hàm chuyển vị (đa thức xấp xỉ) là hàm của các tọa độ, cho phép xác định chuyển vị tại một điểm bất kỳ trong phần tử Bây giờ ta tìm cách biểu diễn hàm chuyển vị theo các chuyển vị nút

Thí dụ hàm chuyển vị của phần tử tam giác có dạng:

( , )( , )

Ma trận [ ] gọi là ma trận các hàm dạng, còn gọi là ma trận các hàm nội suy, vì

có thể từ chuyển vị các nút nội suy ra chuyển vị của điểm bất kỳ Các hàm dạng có một

ý nghĩa rất quan trọng khi phân tích kết cấu theo phương pháp PTHH

1.2.3 Lực nút

Khi vật thể chịu lực, trong các phần tử sinh ra các nội lực Phương pháp PTHH giả thiết rằng các nội lực này đều truyền qua nút Các lực tác dụng lên nút gọi là lực nút,

đó là lực tương tác giữa các phần tử liên kết với nhau tại nút do các chuyển vị nút sinh

ra Đương nhiên tại các nút còn có thể có các ngoại lực (tải trọng) N ếu tải trọng không đặt tại nút thì phải dời về nút theo phép biến đổi tương đương

Trong mỗi phần tử các lực nút hợp thành vectơ lực nút { }e

F Vectơ này có số thành phần bằng số thành phần của vectơ chuyển vị nút, được sắp xếp tương ứng với vectơ chuyển vị nút Thí dụ đối với phần tử tam giác phẳng ở hình 1.4, ta có vectơ lực nút (hình 1.5a) là:

F = U V U V U V  Hay thí dụ đối với phần tử thanh chịu uốn (hình 1.5b), tương ứng với vectơ chuyển vị nút (gồm chuyển vị thẳng và góc quay)

a) b)

1.3 Phương trình cơ bản của phương pháp PTHH

1.3.1 Các quan hệ chuyển vị, biến dạng, ứng suất trong phần tử

Theo mô hình chuyển vị của phương pháp PTHH, đại lượng cần tìm đầu tiên là chuyển vị ở các nút Sau khi chọn hàm xấp xỉ của chuyển vị, ta xác định được trường chuyển vị theo chuyển vị nút:

Từ đó theo (1.15) ta có vectơ ứng suất:

{ } σ =[ ][ ]D B { } δ (1.18)

Giả sử một PTHH có thể tích V e chịu tác dụng của lực thể tích p và lực bề mặt q

trên diện tích S e Thế năng toàn phần của phần tử là U ecó thể viết dưới dạng:

12

P còn gọi là lực nút tương đương

Trong trường hợp ở nút có tồn tại lực tập trung

{ }

1 2

e

n

R R R

thì phải cộng thêm các lực tập trung này vào vectơ tải { }e

P

Theo nguyên lý cực tiểu thế năng toàn phần, điều kiện cân bằng tại các nút của phần tử là:

1.3.3 Ma trận độ cứng tổng thể Vectơ tải tổng thể Phương trình cơ bản của hệ

Sau khi thiết lập được các ma trận độ cứng phần tử và vectơ tải phần tử của tất cả các phần tử trong mạng lưới kết cấu, ta cần phải tổ hợp tất cả chúng lại thành ma trận độ cứng tổng thể [ ]K và vectơ tải tổng thể [ ]P của kết cấu, từ đó xây dựng phương trình

cơ bản đối với toàn bộ kết cấu

Việc tổ hợp này có nghĩa là phải sắp xếp các thành phần trong các ma trận [ ]k của các phần tử vào các vị trí thích hợp trong ma trận [ ]K , và các thành phần trong các ma trận { }e

P của các phần tử vào các vị trí thích hợp trong { }P Sự sắp xếp này được mô tả bằng ma trận định vị của các phần tử

Gọi vectơ chuyển vị nút của phần tử là { } δ và vectơ chuyển vị nút tổng thể của toàn bộ kết cấu là { }∆ , thì quan hệ giữa chúng có thể biểu diễn dưới dạng:

trong đó: [ ]L e là ma trận định vị của phần tử, nd là số chuyển vị nút trong mỗi

phần tử, n là số chuyển vị nút trong toàn bộ kết cấu Thí dụ có thanh

chịu kéo như hình 1.6

Hình 1.6 Chia thanh thành 4 phần tử, 5 nút đánh số như hình vẽ Vectơ chuyển vị nút tổng thể:

5 4 3 2

2 3

4 5

1.4 Trình tự tính kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn

Quá trình giải bài toán tính kết cấu theo phương pháp PTHH bao gồm các bước sau đây:

(1) Rời rạc hóa kết cấu, tức là chia kết cấu thành mạng lưới các PTHH Việc chọn loại phần tử và số lượng phần tử tùy thuộc vào tính chất và độ chính xác yêu cầu của bài toán

(2) Chọn hàm xấp xỉ chuyển vị mô tả chuyển vị của các điểm trong PTHH

(3) Thiết lập ma trận độ cứng của từng PTHH N ếu hệ tọa độ phần tử và hệ tọa độ kết cấu không trùng nhau thì phải thực hiện phép biến đổi tọa độ

(4) Thiết lập ma trận độ cứng tổng thể và vectơ tải tổng thể của toàn bộ kết cấu

(5) Thành lập hệ phương trình cơ bản của kết cấu có dạng:

Cần chú ý là ma trận độ cứng [ ]K là ma trận suy biến vì ta đã coi phần tử có chuyển động tự do (chuyển động cố thể) Do đó cần sử dụng các điều kiện biên động học để thành lập vectơ chuyển vị nút { }∆ chỉ chứa các chuyển vị nút là Nn, và tương ∗

Chương 2

TÍNH HỆ THANH

2.1 Phần tử hữu hạn trong hệ thanh

Trong các hệ thanh như kết cấu giàn, kết cấu khung, các đoạn thanh hình lăng trụ được coi là các PTHH

Trong kết cấu thanh, các thành phần chuyển vị của phần tử là hàm của một biến, tức là chỉ thay đổi dọc theo trục thanh, do đó bài toán hệ thanh là bài toán một chiều Ở kết cấu giàn, các phần tử chịu biến dạng kéo hoặc nén, còn ở kết cấu khung phẳng các phần tử còn chịu thêm biến dạng uốn N ếu là khung không gian còn có thể có thêm biến dạng xoắn Vì vậy để dễ dàng nghiên cứu và tổng hợp, ta lần lượt phân tích ba loại phần

tử nói trên

2.1.1 Phần tử thanh chịu kéo (nén) dọc trục

Có một phần tử thanh hình lăng trụ có tiết diện không đổi A, chiều dài a, chịu kéo hoặc nén dọc trục dưới tác dụng của tải trọng phân bố dọc trục q(x) (hình 2.1)

Hình 2.1 Chọn hệ tọa độ như hình vẽ Phần tử thanh có 2 nút là hai đầu thanh, nút đầu là i, nút cuối là j, với các chuyển vị nút là δivà δj Vì các chuyển vị nút đều có phương trùng với trục x nên ta có thể viết vectơ chuyển vị nút:

u u

δ δ δ

Chuyển vị tại nút i (x = 0) là u i , tại nút j (x = a) là u j, thay vào (2.2) được

1 2

i j

1 01

i j

u

α α

Trên hình 2.2 là biểu đồ của các hàm dạng  x1( ) ,  x và biểu đồ của chuyển 2( )

vị ( )u x

Hình 2.2 Bây giờ ta xét biến dạng và ứng suất trong phần tử

Phương trình biến dạng Cauchy biểu diễn quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị trong bài toán một chiều có dạng

x

u x

Ứng suất pháp tại một điểm trong phần tử theo phương dọc trục đối với vật liệu đàn hồi tuyến tính được xác định dựa vào định luật Hooke:

Ta có thể biểu diễn ứng suất qua chuyển vị nút

hay { } σ =[ ]S { } δ (2.19)

gọi là ma trận tính ứng suất

Ta nhận thấy, do biến dạng là hằng số nên ứng suất trong phần tử cũng là hằng số

Ma trận độ cứng phần tử được thiết lập dựa vào công thức (1.24):

x a

q x dx x

e

q a P

11

2.1.2 Phần tử thanh chịu uốn

Phần tử thanh có tiết diện không đổi A , chiều dài a Chọn trục x là trục thanh,

trục y là một trục quán tính chính trung tâm của tiết diện thanh (hình 2.4)

Tại 2 nút i và j có các thành phần chuyển vị thẳng theo phương y là ,v v và các i j

thành phần chuyển vị góc (góc quay quanh trục z) là θzi,θzj Trên hình vẽ các chuyển vị

có dấu dương Ta có vectơ chuyển vị nút

{ }

i zi j zj

v

v

θ δ θ

{ }

i

j zj

V M F

V M

2 3

3 4

1

α α α α

trong đó: [ ] 2 3

1

Q =  x x x  (2.30) Các thành phần chuyển vị tại nút i (x =0) và nút j (x=a) tính được

1

2 0

zj

x a

v

v x

3 2 4

Các hàm dạng này còn gọi là hàm nội suy Hermite

Theo lý thuyết uốn của dầm, nếu trên phần tử thanh không có lực phân bố tác dụng (điều này phù hợp với giả thiết của phương pháp PTHH là đưa tải trong trên phần

tử về các nút) thì độ võng của thanh phải thỏa mãn phương trình vi phân

4

4 0

d v EJ

Theo lý thuyết dầm ta có công thức tính biến dạng (ở đây là độ cong):

v x

ε = −∂

Để ý tới (2.27) và (2.42) được

3 4

α α

α α

Sau đây ta thiết lập ma trận độ cứng phần tử

Vẫn sử dụng công thức (1.24), trong đó [ ]B lấy theo (2.44) và [ ]D lấy theo (2.45)

Khi tích phân cần chú ý rằng, tích phân

2

z A

Vectơ lực nút tương đương theo (1.25) ta có:

Trường hợp tải trọng q(x) phân bố trên toàn bộ chiều dài phần tử:

T a e

Trường hợp tải trọng phân bố trên một đoạn từ x= đến a1 x=a2 thì

{ } 2[ ]

1

( )

a e a

2.1.3 Phần tử thanh chịu xoắn thuần túy

Phần tử chịu ngẫu lực xoắn phân bố m x dọc trục thanh Chuyển vị của thanh ( )được đặc trưng bởi góc xoắn ( )θ x (hình 2.7)

Hình 2.7 Vectơ chuyển vị nút có dạng

xj

θ δ θ

 

=  

Hình 2.6

Vectơ lực nút là

xj

M F

trong đó: G - mô đun đàn hồi trượt của vật liệu

J - mô men quán tính cực của tiết diện x

e

m a P

Cách làm theo các bước như sau:

- Cố định hai đầu phần tử, tức là gắn cứng các nút, sau đó tính các phản lực ở ngàm theo phương pháp của Cơ học kết cấu

- Xác định lực nút tương đương bằng cách bỏ ngàm (trở lại dạng ban đầu của phần tử) và đổi chiều các phản lực vừa tính được

Thí dụ phần tử thanh chịu lực tập trung đặt giữa thanh (hình 2.8) ta có

2

a)

b)

Hình 2.11 Đối với hệ thanh không gian (giàn không gian, khung không gian) hoặc hệ thanh phẳng chịu lực không gian thì các phần tử thanh sẽ chuyển vị theo cả 3 phương x, y, z

Đối với phần tử giàn không gian (hình 2.11a) vectơ chuyển vị nút có dạng:

(2.67) Đây là phần tử thanh đồng thời chịu kéo (nén) dọc trục x, chịu uốn trong mặt

phẳng xy và xz, chịu xoắn quanh trục x

N hư vậy tổng hợp các công thức ma trận độ cứng phần tử ở (2.22), (2.47), (2.56)

ta được ma trận độ cứng phần tử khung không gian có cấp 12 12× biểu thị ở công thức

(2.68)

Qua phân tích các công thức ma trận độ cứng nêu trên, ta thấy ma trận độ cứng

phần tử có những tính chất sau đây:

- Đó là một ma trận vuông đối xứng, tức là các thành phần đối xứng với nhau qua

đường chéo chính thì bằng nhau

Tính chất này xuất phát từ định lý tương hỗ của chuyển vị N ó được dùng một

cách có hiệu quả để kiểm tra việc tính ma trận độ cứng Trong quá trình tính ma trận

[ ]k chỉ cần xác định các phần tử phía trên bên phải đường chéo chính (k với ij j ≥ ), còn 1

các phần tử phía dưới bên trái đường chéo chính (k với ij j < ) thì xác định theo 1quan hệ:

ij ji

k =k

Cấp của ma trận độ cứng phần tử cùng cấp với vectơ chuyển vị nút phần tử

- Ma trận độ cứng là ma trận suy biến, tức là định thức của ma trận bằng không Tính chất này xuất phát từ đặc tính là PTHH cho phép có chuyển vị cố thể

Các tính chất nêu trên không chỉ đúng đối với phần tử thanh mà cũng đúng với các loại phần tử khác

2.2 Biến đổi tọa độ

Trên đây, khi xác lập các vectơ chuyển vị nút và vectơ tải phần tử cũng như thiết lập ma trận độ cứng của PTHH, ta đều chọn hệ tọa độ như sau: coi trục x là trục thanh, các trục y và z là các trục quán tính chính của mặt cắt ngang của thanh, và chiều dương của trục x, y, z xác định theo qui tắc tam diện thuận

Trong kết cấu thanh (giàn, khung
) thường các phần tử (thanh) có phương khác nhau, nên nói chung hệ tọa độ của từng phần tử không giống nhau Hệ tọa độ riêng đối

với từng phần tử, ta gọi là hệ tọa độ phần tử hoặc hệ tọa độ địa phương Khi tính kết

cấu gồm nhiều phần tử, để thuận tiện khi thành lập các phương trình cân bằng, người ta

cần sử dụng một hệ tọa độ chung cho toàn bộ kết cấu, gọi là hệ tọa độ kết cấu hoặc hệ

tọa độ tổng quát

Vì vậy, trước khi bắt tay vào việc lập phương trình cân bằng ở tất cả các nút, cần phải biến đổi quan hệ giữa chuyển vị nút và tải trọng nút trong hệ tọa độ phần tử thành quan hệ giữa chuyển vị nút và tải trọng nút trong hệ tọa độ kết cấu Phép biến đổi đó gọi

là phép biến đổi tọa độ

trong đó: ϕ là góc giữa trục x′ với trục x

Tương tự, quan hệ giữa các lực trong hai hệ tọa độ là:

u v

u v

zj j j zi i i

v u

v u

θθ

là ma trận độ cứng của phần tử trong hệ tọa độ tổng quát

Bây giờ ta thành lập công thức tổng quát để xác định ma trận biến đổi, dựa vào các quan hệ của hình học giải tích

Đối với phần tử khung không gian, ta có:

λ là côsin của góc từ trục m của hệ tọa độ địa phương đến trục

n′ của hệ tọa độ tổng quát (m=x y z n, , , ′=x y z′ ′ ′, , )

Từ đó ta có

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

2.3.1 Phương pháp thiết lập ma trận độ cứng tổng thể và vectơ tải tổng thể

Trên đây ta đã có công thức (1.37) thiết lập ma trận độ cứng của kết cấu

[ ] [ ] [ ][ ]

1

e

n T

trong đó: ma trận [ ]K và [ ]k được thiết lập trong hệ tọa độ tổng quát, [ ]L elà ma

trận định vị của phần tử, cho ta biết các thành phần trong ma trận

[ ]k chiếm vị trí nào trong ma trận [ ]K

a) b)

Hình 2.13

Ta xem một thí dụ về giàn phẳng ở hình 2.13a

Chia hệ thành 5 phần tử, 4 nút, đánh số như hình vẽ Các chuyển vị nút được vẽ trên hình 2.13b

Vectơ chuyển vị nút của các phần tử trong hệ tọa độ tổng quát là

3 2

3 2

,

u u

v v

u u

v v

{ } [ 1 1 2 2 3 3 4 4]

T

∆ =Cần chú ý là các thành phần chuyển vị trong { }∆ được sắp xếp theo số hiệu nút từ nhỏ đến lớn, đối với mỗi nút thì chuyển vị theo phương x xếp trước, theo phương y xếp sau

Ta có quan hệ giữa { } δ và { }∆ qua ma trận định vị [ ]L như sau:

{ } { } { } { } { }

1 2 3 4 5

u v u v u v u v

{ }

4

2 2

(1)(2)(3)(4)

u v u v

Chỉ số tổng thể dùng để chỉ thứ tự sắp xếp các chuyển vị nút trong vectơ chuyển

vị nút tổng thể { }∆ Thí dụ với kết cấu giàn ở hình 2.13 ta có hệ thống chỉ số tổng thể:

T

∆ = (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

Căn cứ vào các chỉ số cục bộ ta đánh số được các thành phần trong vectơ tải phần

vị trí (cùng chỉ số hàng và chỉ số cột như vậy) trong ma trận [ ]K

Đối với giàn phẳng trên đây ta thành lập được bảng các chỉ số tổng thể tương ứng với các chỉ số cục bộ như sau:

N hư vậy ta thấy thành phần k trong 11 [ ]2

k của phần tử 2sẽ chiếm vị trí của K 33

Vectơ tải tổng thể của giàn có dạng:

Dưới đây nêu mấy tính chất quan trọng của ma trận độ cứng tổng thể

(1) Đó là một ma trận đối xứng Tính chất này giúp cho việc tính toán được thuận tiện hơn rất nhiều Khi tính toán chỉ cần lưu trữ phần trên bên phải đường chéo chính của [ ]K , phần còn lại không cần lưu trữ do quan hệ K ij =K ji N goài ra tính chất này còn dùng để kiểm tra chương trình tính ma trận độ cứng

(2) Đó là một ma trận suy biến Thí dụ xét ma trận ở (2.89) N ếu lấy tổng của tất

lượng lưu trữ trong bộ nhớ của

máy và thời gian giải, do đó ảnh

hưởng trực tiếp tới kích thước của

bài toán Ta so sánh 2 trường hợp

đánh số sau đây đối với một tấm

phẳng chịu uốn

Trường hợp a): q = 3, d = 4 , B = 2(4+1)3-1 = 29 Trường hợp b): q = 3, d = 6 , B = 2(6+1)3-1 = 41

2.4 Thành lập phương trình cơ bản Tính chuyển vị nút

2.4.1 Sắp xếp lại các phương trình cân bằng áp đặt điều kiện biên

chuyển vị nút đã biết u1, v1, v3

Tuy nhiên như đã nói ở trên, ma trận [ ]K là ma trận suy biến nên hệ phương trình không thể giải được Bây giờ căn cứ vào điều kiện biên của bài toán (u1=v2 =v3 = ) ta 0sắp xếp lại thứ tự các phương trình như sau

Trong vectơ tải tổng thể, đưa các phản lực chưa biết R Q Q xuống phía dưới, 1, 1, 3còn các thành phần khác đôn lên phía trên như trong (2.91) Các thành phần trong vectơ chuyển vị nút tổng thể cũng sắp xếp theo nguyên tắc tương ứng giữa chuyển vị nút và lực nút Kết quả là 5 thành phần đầu là các chuyển vị chưa biết, 3 thành phần sau là các chuyển vị đã biết Ma trận độ cứng [ ]K cũng được sắp xếp lại như trong (2.91)