Giáo trình Phương pháp phần tử hữu hạn trình bày về thông tin chung về phương pháp phần tử hữu hạn như: Đại số ma trận và phương pháp khứ Gaussian, thuật toán xây dựng ma trận độ cứng và Véctơ lực nút chung, phần tử hữu hạn trong bài toán một chiều, phần tử hữu hạn trong tính toán hệ thanh phẳng,... Tài liệu phục vụ cho các bạn chuyên ngành Toán và những ngành có liên quan
NGUYỄN XUÂN LỰU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN HÀ XUẤT BẢ GIAO THÔ G VẬ TẢI HÀ ỘI - 2007 LỜI NĨI ĐẦU Trong phương pháp tính toán kết cấu nay, phương pháp số, đặc biệt phương pháp phần tử hữu hạn ngày ứng dụng rộng rãi Ở trường đại học kỹ thuật, môn học Phương pháp phần tử hữu hạn đưa vào chương trình giảng dạy Để đáp ứng yêu cầu học tập nghiên cứu sinh viên, biên soạn sách nhằm cung cấp cho người đọc kiến thức môn học, biết sử dụng phương pháp để giải dạng tốn điển hình đơn giản, từ có sở để vận dụng vào cơng tác tính tốn, thiết kế cơng trình thực tế Sách làm tài liệu tham khảo cho học viên cao học, kỹ sư thiết kế khí cơng trình Để nắm vững mơn học người đọc cần ôn lại bổ túc thêm kiến thức Cơ học vật rắn, Lý thuyết đàn hồi, Lý thuyết ma trận, Phương trình đạo hàm riêng Vì cuối sách chúng tơi giới thiệu thêm Đại cương Lý thuyết đàn hồi Phần phụ lục sách Trong trình biên soạn sách, tác giả nhận nhiều ý kién đóng góp q báu bạn đồng nghiệp, nhân chúng tơi xin tỏ lòng cám ơn chân thành Tác giả PPPTHH Chương KHÁI NIỆM CHUNG VỀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 1.1 Mơ hình rời rạc hóa kết cấu Trong chục năm gần đây, kỹ thuật tính tốn kết cấu có bước phát triển việc ứng dụng rộng rãi máy tính điện tử Một phương pháp tính tốn sử dụng ngày nhiều có hiệu phương pháp phần tử hữu hạn (sau viết tắt PTHH) Phương pháp PTHH tính tốn kết cấu tổng hợp nhiều mơn, liên quan đến kiến thức ba lĩnh vực sau đây: - Cơ học kết cấu: sức bền vật liệu, lý thuyết đàn hồi, lý thuyết dẻo, động lực học - Giải tích số: phương pháp gần đúng, giải hệ phương trình tuyến tính, tốn trị riêng - Tin học ứng dụng Ý tưởng phương pháp PTHH tính tốn kết cấu coi vật thể liên tục tổ hợp nhiều phần nhỏ liên kết với số hữu hạn điểm, gọi nút Các phần nhỏ hình thành gọi phần tử hữu hạn (gọi tắt phần tử) Hình dạng kích thước phần tử khác nhau, tạo thành mạng lưới khác Trên hình 1.1 giới thiệu số sơ đồ rời rạc hóa kết cấu liên tục thành mạng lưới PTHH Dĩ nhiên, quan niệm rời rạc hóa gần Khi thay kết cấu thực (hệ liên tục) tổ hợp phần tử trên, người ta thừa nhận rằng, lượng bên mơ hình thay phải lượng kết cấu thực Trong phần tử, đại lượng cần tìm (thí dụ chuyển vị, ứng suất) lấy xấp xỉ theo dạng hàm đơn giản gọi hàm xấp xỉ Các hàm xấp xỉ, thí dụ hàm xấp xỉ chuyển vị, phải thỏa mãn điều kiện liên tục biên phần tử tiếp xúc với Trong số trường hợp, điều kiện tương thích thỏa mãn cách gần Người ta vào hình dạng tình hình chịu lực kết cấu để chọn loại phần tử thích hợp Đối với hệ thanh, lấy đoạn dầm làm PTHH Với kết cấu phẳng thường sử dụng phần tử hình tam giác, phần tử hình chữ nhật, phần tử hình tứ giác có cạnh thẳng cong Đối với kết cấu vỏ, loại phần tử phẳng sử dụng phần tử vỏ Đối với vật thể khối, thường dùng loại phần tử hình tứ diện, hình lập phương, hình lục diện Còn vật thể đối xứng trục, thường dùng phần tử hình vành khăn Hình 1.2a giới thiệu số loại phần tử thường dùng Hình 1.1 Tùy theo số lượng nút cách bố trí nút PTHH, người ta phân biệt loại phần tử tuyến tính phần tử bậc cao, tương ứng với dạng hàm chuyển vị tuyến tính dạng hàm chuyển vị bậc cao Hình 1.2b giới thiệu loại phần tử bậc cao a) b) Hình 1.2 Khi phân tích kết cấu sử dụng mơ hình tính sau: Mơ hình chuyển vị chọn chuyển vị nút làm Nn Các Nn xác định từ hệ phương trình cân thành lập sở nguyên lý toàn phần dừng N guyên lý phát biểu sau: PPPTHH Trong tất trường chuyển vị thỏa mãn điều kiện tương thích điều kiện biên động học, trường chuyển vị tương ứng với cân vật thể làm cho toàn phần π đạt giá trị dừng (đạt giá trị cực tiểu) δπ = δ U + δ V = đó: (1.1) π = U + V hàm chuyển vị U – biến dạng đàn hồi vật thể, biểu diễn phần diện tích vẽ hình 1.3 V – cơng ngoại lực sinh dịch chuyển ngoại lực vật thể bị biến dạng N ếu hệ trạng thái ổn định, tồn phần có giá trị cực tiểu N hư sau giả thiết dạng hàm chuyển vị phần tử, từ điều kiện dừng phiếm hàm π ta nhận hệ phương trình cân điều kiện liên tục thỏa mãn Hình 1.3 Mơ hình cân chọn ứng suất hay nội lực nút làm Nn Các Nn xác định từ hệ phương trình tương thích thành lập sở nguyên lý cực tiểu bù toàn phần N guyên lý phát biểu sau: Trong tất trường ứng suất thỏa mãn điều kiện cân điều kiện biên tĩnh học, trường ứng suất thỏa mãn điều kiện tương thích làm cho bù toàn phần π ∗ đạt giá trị dừng δπ ∗ = δ U ∗ + δ V ∗ = đó: (1.2) π ∗ = U ∗ + V ∗ hàm ứng suất U ∗ - bù biến dạng, biểu diễn phần diện tích phía vẽ hình 1.3 V ∗ - cơng bù ngoại lực Thông thường người ta hay sử dụng mô hình chuyển vị thuận lợi cho việc tự động hóa tính tốn máy tính Do tài liệu đề cập đến mơ hình chuyển vị phương pháp PTHH 1.2 Hàm chuyển vị Hàm dạng 1.2.1 Đa thức xấp xỉ Hàm chuyển vị N ếu sử dụng mơ hình chuyển vị phương pháp PTHH hàm xấp xỉ đại lượng cần tìm hàm chuyển vị Hàm mơ tả gần chuyển vị điểm phần tử Thông thường người ta chọn hàm chuyển vị dạng đa thức, dạng đa thức dễ đạo hàm, tích phân, dễ thiết lập cơng thức xây dựng phương trình phương pháp PTHH Bậc đa thức số lượng số hạng đa thức phụ thuộc vào bậc tự phần tử, tức số chuyển nút phần tử Điều nói kỹ phân tích kết cấu cụ thể phần sau Các đa thức xấp xỉ phải thỏa mãn điều kiện hội tụ, tức kích thước phần tử nhỏ dần kết hội tụ đến lời giải xác Muốn đa thức chọn phải tồn số hạng tự (hằng số) tồn đạo hàm riêng đến bậc cao phiếm hàm lượng Thí dụ, tốn chiều chọn: f ( x ) = α1 + α x (xấp xỉ tuyến tính) f ( x ) = α1 + α x + α x (xấp xỉ bậc hai) n +1 f ( x) = ∑ α i xi −1 (xấp xỉ bậc n) Đối với toán hai chiều chọn: f ( x , y ) = α1 + α x + α y (xấp xỉ tuyến tính) f ( x, y ) = α1 + α x + α y + α x + α xy + α y (xấp xỉ bậc hai) 1.2.2 Biểu diễn hàm chuyển vị qua chuyển vị nút Hàm dạng Hình 1.4 PPPTHH Ta xem xét PTHH hình tam giác toán phẳng Lý thuyết đàn hồi Phần tử có nút đỉnh tam giác, nối khớp với phần tử khác (hình 1.4) Mỗi nút có bậc tự do, tức chuyển dịch theo phương x y N hư phần tử có bậc tự do, chúng biểu diễn chuyển vị nút ui , vi , u j , v j , um , vm Ta gọi chuyển vị nút Chúng hợp thành vectơ chuyển vị nút phần tử: ui v i u {δ } = j vj um vm (1.3) Các chuyển vị nút Nn tốn tính kết cấu theo mơ hình chuyển vị phương pháp PTHH Trong nhiều trường hợp, thành phần vectơ chuyển vị nút không bao gồm giá trị hàm chuyển vị nút, mà có giá trị đạo hàm hàm chuyển vị (thí dụ toán uốn thanh, toán ) N hư thấy, hàm chuyển vị (đa thức xấp xỉ) hàm tọa độ, cho phép xác định chuyển vị điểm phần tử Bây ta tìm cách biểu diễn hàm chuyển vị theo chuyển vị nút Thí dụ hàm chuyển vị phần tử tam giác có dạng: u ( x , y ) = α1 + α x + α y (1.4) v ( x, y ) = α + α x + α y u ( x, y ) 1 x y 0 = v ( x, y ) 0 x y { f } = hay đó: α1 α 2 α α α α { f } = [Q]{α } { f } vectơ chuyển vị [Q ] ma trận đơn thức {α } vectơ tham số (1.5) (1.6) Chuyển vị nút, theo (1.6) ta có đó: {δ } = [C ]{α } [C ] giá trị [Q ] nút, tức ma trận tọa độ nút (1.7) Có thể xác định {α } theo [C ] , ta có từ (1.7) {α } = [C ] {δ } −1 (1.8) Do theo (1.6): { f } = [Q ][C ] −1 {δ } (1.9) { f } = [ ]{δ } hay (1.10) (1.11) [ ] = [Q ][C ] Ma trận [ ] gọi ma trận hàm dạng, gọi ma trận hàm nội suy, −1 đó: từ chuyển vị nút nội suy chuyển vị điểm Các hàm dạng có ý nghĩa quan trọng phân tích kết cấu theo phương pháp PTHH 1.2.3 Lực nút Khi vật thể chịu lực, phần tử sinh nội lực Phương pháp PTHH giả thiết nội lực truyền qua nút Các lực tác dụng lên nút gọi lực nút, lực tương tác phần tử liên kết với nút chuyển vị nút sinh Đương nhiên nút có ngoại lực (tải trọng) N ếu tải trọng không đặt nút phải dời nút theo phép biến đổi tương đương Trong phần tử lực nút hợp thành vectơ lực nút { F } Vectơ có số thành phần số thành phần vectơ chuyển vị nút, xếp tương ứng với vectơ chuyển vị nút Thí dụ phần tử tam giác phẳng hình 1.4, ta có vectơ lực nút (hình 1.5a) là: e {F } e = U i Vi U j V j U m Vm T Hay thí dụ phần tử chịu uốn (hình 1.5b), tương ứng với vectơ chuyển vị nút (gồm chuyển vị thẳng góc quay) {δ } = vi θi v j θ j T vectơ lực nút {F } e = Vi Mi Vj M j T a) b) Hình 1.5 PPPTHH 1.3 Phương trình phương pháp PTHH 1.3.1 Các quan hệ chuyển vị, biến dạng, ứng suất phần tử Theo mơ hình chuyển vị phương pháp PTHH, đại lượng cần tìm chuyển vị nút Sau chọn hàm xấp xỉ chuyển vị, ta xác định trường chuyển vị theo chuyển vị nút: { f } = [ ]{δ } (1.12) Sử dụng phương trình biến dạng Cauchy Lý thuyết đàn hồi {ε } = [∂ ]{ f } đó: (1.13) [∂ ] tốn tử vi phân ∂ ∂x 0 0 [∂ ] = ∂ ∂x 0 ∂ ∂z ∂ ∂y ∂ ∂x ∂ ∂y 0 0 ∂ ∂z 0 ∂ ∂y ∂ ∂z (1.14) ta có vectơ biến dạng: {ε } = [∂ ][ ]{δ } hay {ε } = [B ]{δ } (1.15) đó: [ B ] = [ ∂ ][ ] (1.16) gọi ma trận tính biến dạng Ứng suất điểm phần tử xác định theo định luật Hooke: {σ } = [ D ]{ε } đó: (1.17) [ D ] gọi ma trận đàn hồi Từ theo (1.15) ta có vectơ ứng suất: {σ } = [ D ][ B ]{δ } (1.18) hay {σ } = [ S ]{δ } (1.19) đó: [ S ] = [ D ][ B ] (1.20) gọi ma trận tính ứng suất 1.3.2 Phương trình phương pháp phần tử hữu hạn Ma trận độ cứng phần tử Vectơ tải phần tử Sau ta sử dụng nguyên lý cực tiểu toàn phần để thiết lập phương trình phương pháp PTHH Giả sử PTHH tích Ve chịu tác dụng lực thể tích p lực bề mặt q diện tích Se Thế tồn phần phần tử Ue viết dạng: U e = ∫∫∫ Ve T T T [ε ] {σ } dV − ∫∫∫ [ f ] { p} dV − ∫∫ [ f ] {q} dS Ve Se (1.21) Để ý tới (1.12), (1.15), (1.19) ta có ∫∫∫ [δ ] [ B ] [ D ][ B ]{δ } dV − ∫∫∫ {δ }[ ] { p} dV − ∫∫ [δ ] [ ] {q} dS T T T Ve hay U e = Đặt T Ve T [δ ] T (1.22) Se T T T T ∫∫∫ [ B ] [ D ][ B ] dV {δ } − {δ } ∫∫∫ [ ] { p} dV + ∫∫ [ ] {q} dS Ve Ve Se [ k ] = ∫∫∫ [ B ] [ D ][ B ] dV T (1.23) (1.24) Ve {P} e = ∫∫∫ [ T T ] { p} dV + ∫∫ [ ] {q} dS Ve ta có Ue = (1.25) Se T T e [δ ] [ k ]{δ } − [δ ] {P} (1.26) Ma trận [ k ] gọi ma trận độ cứng phần tử, vectơ { P} vectơ tải phần tử bao gồm thành phần lực đặt nút, lực quy đổi sau dời tải e trọng P q nút, { P} gọi lực nút tương đương e Trong trường hợp nút có tồn lực tập trung {R} e R1 R = 2 M Rn phải cộng thêm lực tập trung vào vectơ tải { P} e PPPTHH 11 E (1 −ν ) ν εy εx + (1 + ν )(1 − 2ν ) −ν E (1 −ν ) ν σy = εx ε y + (1 + ν )(1 − 2ν ) −ν E τ xy = γ xy 2(1 + ν ) σx = (19) Viết dạng ma trận: σ x E (1 −ν ) ν σ y = τ (1 + ν )(1 − 2ν ) 1 −ν xy ma trận đàn hồi ν −ν εx ε y γ − 2ν xy 2(1 −ν ) (20) ν 1 −ν E (1 −ν ) ν (21) [ D] = (1 + ν )(1 − 2ν ) −ν − 2ν 0 2(1 −ν ) Tóm lại hai loại tốn phẳng, phương trình hình học (17) nhau, phương trình vật lý có dạng với toán ứng suất phẳng [ D ] lấy theo (16), với tốn biến dạng phẳng [ D ] lấy theo (21) Cần ý rằng, N ếu công thức (16) thay E E ν thay ν cơng −ν −ν thức (21) BÀI TOÁ ĐỐI XỨ G TRỤC N ếu vật thể có hình dáng, điều kiện liên kết tải trọng đối xứng qua trục (tức tất mặt qua trục mặt đối xứng) tất ứng suất, biến dạng, chuyển vị vật thể đối xứng qua trục Bài tốn gọi toán đối xứng trục Để biểu diễn ứng suất biến dạng toán đối xứng trục, người ta dùng hệ tọa độ trụ gồm tọa độ r , θ , z (hình 5) Vì z trục đối xứng nên thành phần ứng suất, biến dạng, chuyển vị hàm hai biến r z, mà không phụ thuộc θ PPPTHH 183 Hình Từ vật thể đàn hồi tách phân tố sáu mặt có kích thước hình vẽ Trên mặt bên có ứng suất pháp σ r theo phương hướng kính r, σ θ theo phương vòng quanh θ σ z theo phương trục z Do tính đối xứng vật thể tải trọng nên ứng suất tiếp τ rθ ,τ θ r ,τ θ z ,τ zθ không, lại τ zr = τ rz Vectơ ứng suất trường hợp có dạng: {σ } σ r σ = θ σ z τ zr (22) Tương ứng với thành phần ứng suất thành phần biến dạng: biến dạng đường ε r , ε θ , ε z biến dạng góc γ zr Các biến dạng lại γ rθ , γ θ z khơng tính đối xứng Vectơ biến dạng {ε } εr ε = θ εz γ zr (23) Chuyển vị điểm vật thể phân tích thành thành phần: chuyển vị theo phương hướng kính u chuyển vị theo phương z w Phương trình hình học có dạng: 184 PPPTHH ∂u u , εθ = , ∂r r ∂w ∂u + γ zr = ∂r ∂z εr = εz = ∂w ∂z Viết dạng ma trận: ∂u ∂r u r {ε } = ∂w ∂z ∂w ∂u + ∂r ∂z (24) Phương trình định luật Hooke [σ r −ν (σ θ + σ z )] E ε θ = [σ θ −ν (σ z + σ r ) ] E ε z = [σ z −ν (σ r + σ θ )] E 2(1 +ν ) γ zr = τ zr E Có thể biểu diễn ứng suất qua biến dạng: ν 1 −ν σ r ν σ E (1 −ν ) 1 −ν θ = ν σ z (1 + ν )(1 − 2ν ) ν −ν −ν τ zr 0 εr = ν −ν ν −ν ε r εθ ε z γ zr − 2ν 2(1 −ν ) (25) Ta viết: {σ } = [ D ]{ε } ma trận đàn hồi: PPPTHH 185 ν E (1 −ν ) 1 −ν [ D] = (1 + ν )(1 − 2ν ) ν −ν ν ν −ν −ν ν −ν ν −ν − 2ν 2(1 −ν ) (26) BÀI TOÁ UỐ TẤM MỎ G Khi mỏng chịu tác dụng ngoại lực vuông góc với mặt (cũng tức vng góc với mặt trung bình tấm) bị uốn xoắn Mặt trung bình biến dạng thành mặt võng đàn hồi Trên hình mỏng chịu uốn Chọn hệ tọa độ có mặt xy mặt trung bình, trục z vng góc với mặt trung bình Để phân tích tốn người ta thường đưa giả thiết sau đây: (1) Phần tử thẳng vng góc với mặt trung bình sau bị uốn thẳng vng góc với mặt trung bình (2) Các mặt song song với mặt trung bình không ép đNy (3) Các điểm mặt trung bình khơng có chuyển vị mặt phẳng Hình Từ giả thiết (2) ta có ε z = , suy ∂w = , từ ta có độ võng hàm x ∂z y, w = w( x, y ) Từ giả thiết (1) ta có γ yz = , γ zx = , phương trình hình học trở thành: ∂w ∂v + =0 , ∂y ∂z Từ ta có 186 PPPTHH ∂u ∂w + =0 ∂z ∂x (27) ∂v ∂w =− , ∂z ∂y ∂u ∂w =− ∂z ∂x Tích phân z ta ∂w v = −z + f1 ( x, y ) ∂y ∂w u = −z + f ( x, y ) ∂x Từ giả thiết (3) ta có (28) ( u ) z =0 = , ( v ) z =0 = Thay vào (28) ta ∂w u = −z , ∂x v = −z ∂w ∂y Từ ta biểu diễn biến dạng qua chuyển vị: ∂u ∂2w = −z εx = ∂x ∂x ∂v ∂2w ε y = = −z ∂y ∂y γ xy = (29) ∂u ∂v ∂2w + = −2 z ∂y ∂x ∂x∂y Trong giả thiết biến dạng nhỏ − ∂2w ∂2w − biểu diễn độ cong mặt ∂x ∂y ∂2w biểu thị độ xoắn, chúng gọi thành phần biến dạng ∂x∂y mỏng, hợp thành vectơ biến dạng: tấm, − ∂2w − ∂x ∂ w χ = { } − ∂y ∂2w −2 ∂x∂y (30) Theo (29) ta có quan hệ biến dạng biến dạng điểm (các thớ) sau: {ε } = z {χ } (31) PPPTHH 187 Vì giả thiết bỏ qua ứng suất pháp σ z , ứng suất tiếp τ xz ,τ yz thường nhỏ bỏ qua, nên ứng suất mặt cắt ngang lại là: E (ε x +νε y ) −ν E σy = (ε y +νε x ) −ν E τ xy = γ xy 2(1 + ν ) σx = Để ý tới (29) ta có σx = − ∂2w E ∂2w + z ν −ν ∂x ∂y ∂2w E ∂2w + ν z −ν ∂y ∂x E ∂2w =− z + ν ∂x∂y σy = − τ xy (32) Để xác định nội lực ta tách phân tố có bề dày t cạnh theo phương x phương y có độ dài đơn vị (hình 7) Từ hình vẽ ta thấy: Hình Mơ men uốn đơn vị bề rộng mặt cắt vng góc với trục x t M x = ∫ 2t zσ z dz − hay để ý đến (30) ta có 188 PPPTHH Mx = − Et ∂ w ∂2w + ν 12(1 −ν ) ∂x ∂y (33) Mô men xoắn mặt cắt này: t t − M xy = ∫ Et ∂2w z τ xy dz = − 12(1 + ν ) ∂x∂y (34) Tương tự ta có mặt cắt vng góc với trục y: My = − M yx Et ∂ w ∂2w + ν 12(1 −ν ) ∂y ∂x (35) Et ∂2w =− = M xy 12(1 + ν ) ∂x∂y Để ý đến (3) ta có σx = 12 M x z, t3 σy = 12 M y t z, τ xy = 12 M xy t3 z (36) N ếu ký hiệu vectơ nội lực đơn vị Mx {M } = M y M xy (37) ta có quan hệ ứng suất nội lực: {σ } = 12 z {M } t3 (38) Từ (33),(34),(35) ta viết ∂2w ∂2w ν − − ∂y ∂x Et ∂ w ∂ w − {M } = −ν 12(1 −ν ) ∂x ∂y ∂2w −(1 −ν ) ∂x∂y hay viết dạng ma trận: PPPTHH 189 ∂2w − ∂x 1 ν ∂ w Et ν {M } = − ∂y 12(1 −ν ) −ν 0 ∂ w −2 ∂x∂y (39) Biểu thức biểu diễn quan hệ nội lực biến dạng, viết gọn thành: {M } = [ D ] { χ } (40) 1 ν Et ν [ D] = 12(1 −ν ) −ν 0 (41) đó: ma trận đàn hồi chịu uốn 190 PPPTHH TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] O.C.ZIEN KIEVICZ and R.L.TAYLOR The Finite Element Method, Volum1,2, 4th Edition, Mac Graw Hill, London, 1991 [2] R.H GALLAGHER Finite Element Analysis, Prentice Hall, 1973 [3] S TIMOSHEN KO, S WOJN OWSKY KRIEGER Theory of Plates and Shells, 2th Edition, Mac Graw Hill, 1969 [4] K.J.BATHE, E.L.WILSON N umerical Methods in Finite Element Analysis, Prentice Hall, 1976 [5] J.F IMBERT Analyse des structures par éléménts finis Cepadues édition, 1979 [6] JEAN -CHARLES CRAVEUR Modélisation des structures, Calcul par élémént finis avec problèmes corrigés, Masson, Paris, 1979 [7] MIODRAG SEKULOWIC Metod konacnih elemenata, Iro Gnadevinska knjiga, Beograd, 1998 PPPTHH 191 192 PPPTHH MỤC LỤC Trang Lời nói đầu Chương KHÁI N IỆM CHUN G VỀ PHƯƠN G PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 1.1 Mô hình rời rạc hóa kết cấu 1.2 Hàm chuyển vị Hàm dạng 1.2.1 Đa thức xấp xỉ Hàm chuyển vị 1.2.2 Biểu diễn hàm chuyển vị qua chuyển vị nút Hàm dạng 1.2.3 Lực nút 1.3 Phương trình phương pháp PTHH 1.3.1 Các quan hệ chuyển vị, biến dạng, ứng suất phần tử 1.3.2 Phương trình phương pháp phần tử hữu hạn 1.3.3 Ma trận độ cứng phần tử Vectơ tải phần tử 1.4 Trình tự tính kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn 10 11 12 13 15 Chương TÍN H HỆ THAN H 16 2.1 Phần tử hữu hạn hệ 2.1.1 Phần tử chịu kéo (nén) dọc trục 2.1.2 Phần tử chịu uốn 2.1.3 Phần tử chịu xoắn túy 2.1.4 Phần tử giàn phẳng 2.1.5 Phần tử khung phẳng 2.1.6 Phần tử không gian 2.2 Biến đổi tọa độ 2.3 Ma trận độ cứng tổng thể vectơ tải tổng thể 2.3.1 Phương pháp thiết lập ma trận độ cứng tổng thể vectơ tải tổng thể 2.3.2 Tính chất ma trận độ cứng tổng thể 2.4 Thành lập phương trình Tính chuyển vị nút 2.4.1 Sắp xếp lại phương trình cân Áp đặt điều kiện biên 2.4.2 Tính chuyển vị nút 2.5 Xác định nội lực phần tử hữu hạn 2.5.1 N ội lực phần tử chịu kéo (nén) 2.5.2 N ội lực phần tử chịu uốn ngang phẳng PPPTHH 20 25 27 29 31 35 39 41 43 48 49 52 193 2.5.3 N ội lực phần tử giàn phẳng 2.5.4 N ội lực phần tử khung phẳng 2.6 Một số trường hợp cần ý 2.6.1 Trường hợp có chuyển vị cưỡng 2.6.2 Trường hợp có gối đàn hồi 2.6.3 Trường hợp có gối xiên 2.7 Dầm đàn hồi 2.7.1 Phần tử hữu hạn dầm đần hồi 2.7.2 Hàm chuyển vị 2.7.3 Ma trận độ cứng phần tử 56 57 59 62 65 67 68 69 Chương BÀI TOÁN PHẲN G CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI 73 3.1 Khái niệm chung 3.2 Phần tử hình tam giác Hàm xấp xỉ chuyển vị 3.3 Biến dạng ứng suất Ma trận đàn hồi 3.4 Ma trận độ cứng 3.5 Dời tải trọng nút Lực nút tương đương 3.6 Ma trận độ cứng kết cấu Hệ phương trình cân 3.7 Trình tự giải tốn phẳng phương pháp phần tử hữu hạn 3.8 Vấn đề chia phần tử 3.9 Tính ứng suất nhiệt 3.10 Sử dụng phần tử hình chữ nhật 3.11 Tọa độ diện tích 3.12 Sử dụng phần tử tam giác bậc cao 74 75 78 79 80 81 88 89 92 97 99 Chương BÀI TOÁN ĐỐI XỨN G TRỤC 4.1 Mở đầu 4.2 Phần tử vành tiết diện tam giác 4.2.1 Hàm chuyển vị 4.2.2 Biến dạng 4.2.3 Ma trận đàn hồi 4.3 Ma trận độ cứng 4.4 N goại lực nút lực nút tương đương 4.5 Tính ứng suất Chương BÀI TỐN KHƠN G GIAN 5.1 5.2 5.3 5.4 194 Sơ đồ tính Phần tử tứ diện Hàm chuyển vị Biến dạng ứng suất Ma trận đàn hồi Ma trận độ cứng PPPTHH 108 110 111 112 113 114 115 117 119 5.5 Dời tải trọng nút 5.6 Ứng suất nhiệt 5.7 Về cách chia phân tử 5.8 Khái niệm phần tử đẳng tham số 5.9 Tính tốn phần tử khơng gian đẳng tham số 5.10 Tích phân Gauss 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 7.1 7.2 7.3 7.4 8.1 8.2 8.3 8.4 120 121 123 127 131 Chương TẤM MỎN G CHNU UỐN 134 Mở đầu Phần tử hình chữ nhật Các quan hệ Hàm chuyển vị Hàm dạng Biến dạng nội lực Ma trận độ cứng phần tử Xác định vectơ tải trọng nút Tấm mỏng tựa đàn hồi Phần tử mỏng hình tam giác 135 136 138 139 143 144 145 Chương VỎ MỎN G ĐÀN HỒI 151 Mở đầu Phần tử hình chữ nhật Phần tử hình tam giác Vỏ tròn xoay 158 160 Chương BÀI TOÁN ĐỘN G 164 Phương trình động lực học Ma trận khối lượng phần tử Ma trận cản Dao động tự khơng có lực cản 165 169 170 Phụ lục ĐẠI CƯƠN G VỀ LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI 175 Tài liệu tham khảo 191 PPPTHH 195 Chịu trách nhiệm xuất LÊ TỬ GIAN G Biên tập VŨ VĂN BÁI Chế sửa XƯỞN G IN TRƯỜN G ĐẠI HỌC GTVT HÀ XUẤT BẢ GIAO THÔ G VẬ TẢI 80B Trần Hưng Đạo – Hà N ội ĐT: 04 9423345 – Fax: 04 8224784 MS 075(6V) 119/12-06 GTVT − 06 In 520 cuốn, khổ 19 x 27cm, Xưởng in Trường Đại học GTVT Quyết định xuất số: 151–2006/CXB/119–313–05/GTVT, ngày 28/2/2006 In xong nộp lưu chiểu quý I năm 2007 196 PPPTHH PPPTHH 197 ... Trong phương pháp tính tốn kết cấu nay, phương pháp số, đặc biệt phương pháp phần tử hữu hạn ngày ứng dụng rộng rãi Ở trường đại học kỹ thuật, môn học Phương pháp phần tử hữu hạn đưa vào chương trình. .. tính ứng suất 1.3.2 Phương trình phương pháp phần tử hữu hạn Ma trận độ cứng phần tử Vectơ tải phần tử Sau ta sử dụng nguyên lý cực tiểu tồn phần để thiết lập phương trình phương pháp PTHH Giả sử... đơn giản nhanh chóng hơn, phương pháp số Điều trình bày phần sau 1.4 Trình tự tính kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn Quá trình giải tốn tính kết cấu theo phương pháp PTHH bao gồm bước sau