Giáo trình Phương pháp Phần tử hữu hạn docx

Sau phần giới thiệu phương pháp PTHH, một số loại phần tử thực và phần tử quichiếu hay gặp Chương 1, giáo trình đề cập đến một số phép tính ma trận, phươngpháp khử Gauss Chương 2 và thuậ

Ngô Như Khoa

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

THÁI NGUYÊN 2011

MỞ ĐẦU

Giáo trình Phương pháp Phần tử hữu hạn (PP PTHH) được biên soạn dựa trên

cuốn: Giáo trình Phương pháp Phần tử hữa hạn – Lý thuyết, bài tập và chương trìnhMatlab GS.TS Trần Ích Thịnh, TS Ngô Như Khoa NXB Khoa học Kỹ thuật 2007

Và kinh nghiệm giảng dạy môn học cùng tên trong những năm gần đây cho sinh viênkhoa Cơ khí, trường Đại học Bách khoa Hà Nội và học viên cao học ngành Cơ học Kỹthuật, trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - Đại học Thái Nguyên Nội dung giáotrình có mục đích trang bị cho sinh viên các ngành kỹ thuật: Công nghệ chế tạo máy,

Kỹ thuật cơ khí, v.v Với các nội dung:

- Những kiến thức cơ bản nhất của PP PTHH ứng dụng,

- Áp dụng phương pháp để giải quyết một số bài toán kỹ thuật khác nhau,

- Nâng cao kỹ năng lập trình Matlab trên cơ sở thuật toán PTHH

Giáo trình biên soạn gồm 11 chương

Sau phần giới thiệu phương pháp PTHH, một số loại phần tử thực và phần tử quichiếu hay gặp (Chương 1), giáo trình đề cập đến một số phép tính ma trận, phươngpháp khử Gauss (Chương 2) và thuật toán xây dựng ma trận độ cứng và véctơ lực nútchung cho kết cấu (Chương 3) Phương pháp Phần tử hữu hạn trong bài toán mộtchiều chịu kéo (nén) được giới thiệu trong Chương 4 và ứng dụng vào tính toán hệthanh phẳng (Chương 5) Tiếp theo, giáo trình tập trung vào mô tả phần tử hữu hạntam giác biến dạng hằng số trong bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi (Chương 6) vàứng dụng vào tính toán kết cấu đối xứng trục (Chương 7) Chương 8 giới thiệu phần tử

tứ giác kèm theo khái niệm tích phân số Chương 9 mô tả phần tử Hermite trong bàitoán tính dầm và khung Chương 10 trình bày phần tử hữu hạn trong bài toán dẫn nhiệtmột và hai chiều Chương 11 xây dựng thuật toán PTHH tính tấm-vỏ chịu uốn

Cuối mỗi chương (từ chương 4 đến chương 11) đều có chương trình Matlab kèmtheo và một lượng bài tập thích đáng để người đọc tự kiểm tra kiến thức của mình Rất mong nhận được những góp ý xây dựng của bạn đọc

Tác giả

M C L C ỤC LỤC ỤC LỤC

9 SƠ ĐỒ TÍNH TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 6

BÀI TẬP CHƯƠNG 9 91

3.1 Phương trình vi phân quá trình dẫn nhiệt hai chiều 96

Chương 1

GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

1 GIỚI THIỆU CHUNG

Sự tiến bộ của khoa học, kỹ thuật đòi hỏi người kỹ sư thực hiện những đề án ngàycàng phức tạp, đắt tiền và đòi hỏi độ chính xác, an toàn cao

Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là một phương pháp rất tổng quát và hữuhiệu cho lời giải số nhiều lớp bài toán kỹ thuật khác nhau Từ việc phân tích trạng tháiứng suất, biến dạng trong các kết cấu cơ khí, các chi tiết trong ô tô, máy bay, tàu thuỷ,khung nhà cao tầng, dầm cầu, v.v, đến những bài toán của lý thuyết trường như: lýthuyết truyền nhiệt, cơ học chất lỏng, thuỷ đàn hồi, khí đàn hồi, điện-từ trường v.v.Với sự trợ giúp của ngành Công nghệ thông tin và hệ thống CAD, nhiều kết cấu phứctạp cũng đã được tính toán và thiết kế chi tiết một cách dễ dàng

Hiện có nhiều phần mềm PTHH nổi tiếng như: ANSYS, ABAQAUS, SAP, v.v

Để có thể khai thác hiệu quả những phần mềm PTHH hiện có hoặc tự xây dựnglấy một chương trình tính toán bằng PTHH, ta cần phải nắm được cơ sở lý thuyết, kỹthuật mô hình hoá cũng như các bước tính cơ bản của phương pháp

2 XẤP XỈ BẰNG PHẦN TỬ HỮU HẠN

Giả sử V là miền xác định của một đại lượng cần khảo sát nào đó (chuyển vị, ứng

suất, biến dạng, nhiệt độ, v.v.) Ta chia V ra nhiều miền con v e có kích thước và bậc tự

do hữu hạn Đại lượng xấp xỉ của đại lượng trên sẽ được tính trong tập hợp các miền

v e

Phương pháp xấp xỉ nhờ các miền con v e được gọi là phương pháp xấp xỉ bằng cácphần tử hữu hạn, nó có một số đặc điểm sau:

- Xấp xỉ nút trên mỗi miền con v e chỉ liên quan đến những biến nút gắn vào nút

của v e và biên của nó,

- Các hàm xấp xỉ trong mỗi miền con v e được xây dựng sao cho chúng liên tục

trên v e và phải thoả mãn các điều kiện liên tục giữa các miền con khác nhau

- Các miền con v e được gọi là các phần tử.

3 ĐỊNH NGHĨA HÌNH HỌC CÁC PHẦN TỬ HỮU HẠN

3.1. Nút hình học

Nút hình học là tập hợp n điểm trên miền V để xác định hình học các PTHH Chia

miền V theo các nút trên, rồi thay miền V bằng một tập hợp các phần tử v e có dạng đơn

giản hơn Mỗi phần tử v e cần chọn sao cho nó được xác định giải tích duy nhất theo

các toạ độ nút hình học của phần tử đó, có nghĩa là các toạ độ nằm trong v e hoặc trênbiên của nó

3.2. Qui tắc chia miền thành các phần tử

Việc chia miền V thành các phần tử v e phải thoả mãn hai qui tắc sau:

- Hai phần tử khác nhau chỉ có thể có những điểm chung nằm trên biêncủa chúng Điều này loại trừ khả năng giao nhau giữa hai phần tử Biên giới giữacác phần tử có thể là các điểm, đường hay mặt (Hình 1.1)

- Tập hợp tất cả các phần tử v e phải tạo thành một miền càng gần với miền

V cho trước càng tốt Tránh không được tạo lỗ hổng giữa các phần tử

4 CÁC DẠNG PHẦN TỬ HỮU HẠN

Có nhiều dạng phần tử hữu hạn: phần tử một chiều, hai chiều và ba chiều Trongmỗi dạng đó, đại lượng khảo sát có thể biến thiên bậc nhất (gọi là phần tử bậc nhất),bậc hai hoặc bậc ba v.v Dưới đây, chúng ta làm quen với một số dạng phần tử hữuhạn hay gặp

5 PHẦN TỬ QUY CHIẾU, PHẦN TỬ THỰC

Với mục đích đơn giản hoá việc xác định giải tích các phần tử có dạng phức tạp,

chúng ta đưa vào khái niệm phần tử qui chiếu, hay phần tử chuẩn hoá, ký hiệu là v r.Phần tử qui chiếu thường là phần tử đơn giản, được xác định trong không gian qui

chiếu mà từ đó, ta có thể biến đổi nó thành từng phần tử thực v e nhờ một phép biến đổi

hình học r e Ví dụ trong trường hợp phần tử tam giác (Hình 1.2)

Các phép biến đổi hình học phải sinh ra các phần tử thực và phải thoả mãn các quitắc chia phần tử đã trình bày ở trên Muốn vậy, mỗi phép biến đổi hình học phải đượcchọn sao cho có các tính chất sau:

a Phép biến đổi phải có tính hai chiều (song ánh) đối với mọi điểm  trong phần tử

qui chiếu hoặc trên biên; mỗi điểm của v r ứng với một và chỉ một điểm của v e vàngược lại

b Mỗi phần biên của phần tử qui chiếu được xác định bởi các nút hình học của biên đó ứngvới phần biên của phần tử thực được xác định bởi các nút tương ứng

1

0,1

Hình 1.2 Phần tử quy chiếu và các phần tử thực tam giác

- Một phần tử qui chiếu v r được biến đổi thành tất cả các phần tử thực v e

cùng loại nhờ các phép biến đổi khác nhau Vì vậy, phần tử qui chiếu còn đượcgọi là phần tử bố-mẹ

- Có thể coi phép biến đổi hình học nói trên như một phép đổi biến đơn giản

-  (, ) được xem như hệ toạ độ địa phương gắn với mỗi phần tử

6 MỘT SỐ DẠNG PHẦN TỬ QUI CHIẾU

Phần tử qui chiếu một chiều

Phần tử qui chiếu hai chiều

Phần tử qui chiếu ba chiều

Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba

vr

10,0

1



vr

10,0

1



vr

10,0

1

1 /2,1/2

1 / 2

1 / 2

1 / 3

,2/ 3

2 / 3

,1/ 3

2 /3

1 /3

1 / 3

2 / 3

Phần tử sáu mặt

Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba

vr

0,1,00,0,0

7 LỰC, CHUYỂN VỊ, BIẾN DẠNG VÀ ỨNG SUẤT

Có thể chia lực tác dụng ra ba loại và ta biểu diễn chúng dưới dạng véctơ cột:

 = [x , y , z , yz , xz , xy ] T (1.2)Trường hợp biến dạng bé:

T x

v y

u x

w z

u y

w z

v z

w y

v x

 = D  (1.5)Trong đó:

0 0 0

0 5

0 0 0

0 0

0 0

5 0 0 0 0

0 0

0 1

0 0

0 1

0 0

0 1

2 1 1

, ,

,

E D

E là môđun đàn hồi,  là hệ số Poisson của vật liệu

8 NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU HOÁ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN

Thế năng toàn phần  của một vật thể đàn hồi là tổng của năng lượng biến dạng U

và công của ngoại lực tác dụng W:

Với vật thể đàn hồi tuyến tính thì năng lượng biến dạng trên một đơn vị thể tíchđược xác định bởi: T

2 1

Do đó năng lượng biến dạng toàn phần:

T i S

T V

T FdV u TdS u P u

i

T i S

T V

T V

Trong đó: u là véctơ chuyển vị và P i là lực tập trung tại nút i có chuyển vị là u i

Áp dụng nguyên lý cực tiểu thế năng: Đối với một hệ bảo toàn, trong tất cả các di chuyển khả dĩ, di chuyển thực ứng với trạng thái cân bằng sẽ làm cho thế năng đạt cực trị Khi thế năng đạt giá trị cực tiểu thì vật (hệ) ở trạng thái cân bằng ổn định.

9 SƠ ĐỒ TÍNH TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

Một chương trình tính bằng PTHH thường gồm các khối chính sau:

Khối 1: Đọc các dữ liệu đầu vào: Các dữ liệu này bao gồm các thông tin mô tả nút và

phần tử (lưới phần tử), các thông số cơ học của vật liệu (môđun đàn hồi, hệ

số dẫn nhiệt ), các thông tin về tải trọng tác dụng và thông tin về liên kếtcủa kết cấu (điều kiện biên);

Khối 2: Tính toán ma trận độ cứng phần tử k và véctơ lực nút phần tử f của mỗi phần

theo yêu cầu

Sơ đồ tính toán với các khối trên được biểu diễn như hình sau (Hình 1.3);

Tính toán ma trận độ cứng phần tử k

Tính toán véctơ lực nút phần tử f

Giải hệ phương trình KQ = F

(Xác định véctơ chuyển vị nút tổng thể Q)

Đọc dữ liệu đầu vào

- Các thông số cơ học của vật liệu

- Các thông số hình học của kết cấu

- Các thông số điều khiển lưới

- Tải trọng tác dụng

- Thông tin ghép nối các phần tử

- Điều kiện biên

Xây dựng ma trận độ cứng K và véctơ lực chung F

Áp đặt điều kiện biên

(Biến đổi các ma trận K và vec tơ F)

Tính toán các đại lượng khác

(Tính toán ứng suất, biến dạng, kiểm tra bền, v.v)

Chương 2

ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSSIAN

Áp dụng phương pháp PTHH trong các bài toán kỹ thuật thường liên quan đếnmột loạt các phép toán trên ma trận Vì vậy, các phép toán cơ bản trên ma trận vàphương pháp khử Gaussian (Gauss) để giải hệ phương trình tuyến tính sẽ là 2 nội dungchính được đề cập trong chương này

1 ĐẠI SỐ MA TRẬN

Các công cụ toán học về ma trận được đề cập trong phần này là các công cụ cơbản để giải bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính, có dạng như sau:

n n nn n

n

n n

n n

b x a x

a x a

b x a x

a x a

b x a x

a x a

2 2

2 22 1 21

1 1

2 12 1 11

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a A

2 22

21

1 12



2 1



2 1

0 1 0

0 0 1

I

1.3 Phép cộng và phép trừ ma trận.

Cho 2 ma trận A và B, cùng có kích thước là (m n) Tổng của chúng là 1 ma trận

C = A + B và được định nghĩa như sau:

1

5 8 1

5

2 3

phép trừ được định nghĩa tương tự

1 5

2 3







n k kj ik

ij a b c

70 54 4

6

5 2

5 4 4 1 3

5 8 2

1.6 Chuyển vị ma trận

Chuyển vị của ma trận A = [a ij ] kích thước (m n) là 1 ma trận, ký hiệu là A T có

kích thước là (n m), được tạo từ ma trận A bằng cách chuyển hàng của ma trận A thành cột của ma trận A T Khi đó, (A T ) T = A.

Chuyển vị của một tích các ma trận là tích các chuyển vị của ma trận thành phầntheo thứ tự đảo ngược, có nghĩa là:

y x

xy x y x A

4 6

A dx

PTHH trong các chương sau Xét ma trận vuông A, kích thước (n n) với các hệ số hằng, véctơ cột x = {x 1 x 2 x n } T chứa các biến Khi đó, đạo hàm của Ax theo 1 biến x p

sẽ là:

p p

a Ax dx

d

 ) (

(2.10)

trong đó, a p là véctơ cột và chính là cột thứ p của ma trận A

1.8 Định thức của ma trận

Cho ma trận vuông A = [a ij ], kích thước (n n) Định thức của ma trận A được

định nghĩa như sau:

n n

nn n

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a A a

a a

a a

a

a a

a A

3 33

32

2 23

22

11

2 1

2 22

21

1 12

11

Công thức (2.11) là công thức tổng quát Theo công thức này, định thức của ma trận

vuông có kích thước (n n) được xác định theo phương pháp truy hồi từ định thức các

ma trận có kích thước (n-1 n-1) Trong đó, ma trận chỉ có 1 phần tử (1 1) có:

1.9 Nghịch đảo ma trận

Cho ma trận vuông A, nếu det(A)  0, thì A có ma trận nghịch đảo và ký hiệu là A

-1 Ma trận nghịch đảo thỏa mãn quan hệ sau:

12 22

1 22 21

12 11 1

det

1

a a

a a

A a

a

a a A

0 3 0

0 0 2

D

1.11 Ma trận đối xứng

Ma trận đối xứng là một ma trận vuông có các phần tử thoả mãn điều kiện:

a ij = a ji hay: A = A T (2.15)Như vậy, ma trận đối xứng là ma trận có các phần tử đối xứng qua đường chéo chính

1.12 Ma trận tam giác

Ma trận được gọi là ma trận tam giác trên hay ma trận tam giác dưới, tương ứng làcác ma trận có tất cả các phần tử nằm dưới hay nằm trên đường chéo chính bằngkhông

Ví dụ, các ma trận được minh hoạ dưới đây tương ứng là ma trận tam giác trên A

và ma trận tam giác dưới B:

0 4 0

11 3 2

0 4 3

0 0 2

lớn và các phần tử của A thường là số thực với miền xác định rất rộng; do đó, việc tính toán ma trận nghịch đảo của A là rất phức tạp và dễ gặp phải sai số do việc làm tròn

trong các phép tính Vì vậy, phương pháp khử Gauss là một công cụ rất hữu ích choviệc giải hệ phương trình đại số tuyến tính

1  x  x 

2 3

5

4

15 3 2

1  x  x 

4 7

5 20

Bước 2: khử x2 trong phương trình (31), ta được hệ:

1 5

1  x  x 

4 7

9 27 0

Ở đây, ta nhận được hệ phương trình mà ma trận các hệ số lập thành ma trận tamgiác trên Từ phương trình cuối cùng (32), ta tìm được nghiệm x , lần lượt thế các

nghiệm tìm được vào phương trình trên nó, (21) và (1) Sẽ nhận được các ẩn số cần tìmnhư sau:

3

8

; 3

5

; 3

1

1 2

3  x   x 

x Phương pháp tìm nghiệm khi ma trận các hệ số là

ma trận tam giác trên này được gọi là phương pháp thế ngược.

Các thao tác trên có thể được biểu diễn dưới dạng ngắn gọn như sau:

4 7 1 0

1 5 2 1

5 20 1 0

4 7 1 0

1 5 2 1

4 15 1 1

2 3 5 2

1 5 2 1

bằng phương pháp thế ngược, cuối cùng ta nhận được các nghiệm:

3

8

; 3

5

; 3

1

1 2

3  x   x 

x

2.2 Giải thuật khử Gauss tổng quát

Giải thuật khử Gauss tổng quát sẽ được biểu diễn thông qua các bước thực hiện đối với một hệ phương trình tuyến tính tổng quát như sau:

n n n

in ij

i i i

n j

n j

n j

b b

b b b

x x

x x x

a a

a a a

a a

a a a

a a

a a a

a a

a a a

a a

a a a

3 2 1

3 2 1

3 2 1

3 3

33 32 31

2 2

23 22 21

1 1

13 12 11

n n n

in ij

i i i

n j

n j

n j

a a

a a a

a a

a a a

a a

a a a

a a

a a a

a a

a a a

3 2 1

3 3

33 32 31

2 2

23 22 21

1 1

13 12 11

b b b





3 2 1

a a a a a

i i i

j i ij ij

, , 2 ,

; 1 11 1 1

1 11 1 1

(2.18)

Bước 2 Sử dụng phương trình thứ hai (hàng 2) để loại x 2 ra khỏi các phương trình cònlại Bước này sẽ tác động đến các phần tử nằm trong vùng đã đánh dấu dưới đây vàlàm cho các phần tử từ hàng 3 đến hàng thứ n của cột 2 bằng không

1 3

1 2

1 1

1 3

1 2

1 3

1 3

1 33

1 32

1 2

1 2

1 23

1 22

1 1

13 12 11

00

00

nn nj

n n

in ij

i i

n j

n j

n j

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a a

1 3

1 2 1

n

i

b b

b b b



Các bước như trên sẽ được lặp lại đến khi trong vùng đánh dấu chỉ còn 1 phần tử Một

cách tổng quát, tại bước thứ k ta có:

1 ,

1 1 ,

1 ,

1 ,

1 1 ,

1 , 1

1 , 1

1 1 , 1

2 3

2 3

2 33

1 2

1 2

1 23

1 22

1 1

13 12 11

000

000

000

000

k n n

k j n

k k n

k n i

k j i

k k i

k n k

k j k

k k k

n j

n j

n j

a a

a

a a

a

a a

a

a a

a

a a

a a

a a

a a a

1 1

3 3

1 2 1

k n

k i

k k

b b b

b b b

j i b

a

a b

b

n k

j i a

a

a a

a

k k kk

k ik k

i k i

k kj k kk

k ik k

ij k ij

, , 1 ,

;

, , 1 ,

;

1 1

1 1

1 1 1 1

) 2 ( 3

) 1 ( 2 1

4 3 2 1

) 1 (

) 3 ( 4 )

3 ( 44

) 2 ( 3 )

2 ( 34 ) 2 ( 33

) 1 ( 2 )

1 ( 24 ) 1 ( 23 ) 1 ( 22

1 14

13 12 11

0

n n n

n nn

n n n n

b

b b b b

x

x x x x

a

a a

a a

a

a a

a a

a a

a a a

1

, , n , n i

; a

x a b

x ,

; a

b x

ii

n i j

j ij i

i nn

Cách dễ nhất để ghép các phần tử là gán số cho mỗi dòng và cột của ma trận độcứng phần tử đúng với bậc tự do của phần tử ấy, sau đó chúng ta sẽ làm việc qua các

số hạng của ma trận phần tử; tức là cộng các số hạng này vào ma trận chung mà mỗidòng, mỗi cột cũng được gán đúng những số trên

Dưới đây ta sẽ xét hai ví dụ

1 CÁC VÍ DỤ

1.1 Ví dụ 1

Một kết cấu được chia ra 8 phần tử tam giác như Hình 3.1 Mỗi phần tử có 3 nút;mỗi nút có 1 bậc tự do (ví dụ nhiệt độ)

Mô tả quá trình ghép nối ma trận độ cứng chung K với giả sử chỉ xét 3 phần tử đầu

tiên: 1, 2 và 3 với các ma trận độ cứng đã biết như sau:

2 6 3

1 3 7

3 7 1

2 1 8

0 6 4

1 4 9

Lời giải

1 Xây dựng bảng ghép nối phần tử (đường đến các nút ngược chiều kim đồng hồ)

Bậc tự doPhần tử

5 2 1

2 6 3

1 3 7

4 2 1

0 0 0 0 0

0 5 0 2 1

0 0 0 0 0

0 2 0 6 3

0 1 0 3 7

5 4 3 2 1

4 3 2

3 7 1

2 1 8

5 2 4

4 2 0 3 0

2 8 5 0 1 2 1

0 0 0 0 0

3 1 2 0 7 6 3

0 1 0 3 7

5 4 3 2 1

5 0 1

0 6 4

1 4 9

5 3 2

5 4 2 0 0 1 3 0

2 13 0 3

1

0 0 0 6 4

0

1 3 3 4 9 13 3

0 1 0 3

7

5 4 3 2

Giả sử có hai phần tử 1 và 4 trong bài toán hai chiều; mỗi phần tử có 3 nút, mỗi

nút có 2 bậc tự do (Hình 3.2) Hãy mô tả quá trình ghép nối ma trận độ cứng chung K

và véctơ lực nút chung, theo các ma trận độ cứng phần tử và véctơ lực nút phần tử k1,

k4, f1 và f4 cho trước như sau:

2 16 4 3 1 6

8 4 31 6 9 4

5 3 6 30 9 7

7 1 9 9 29 3

2 6 4 7 3 22

7 27 2 8 7 3

4 2 25 7 6 8

7 8 7 30 2 6

5 7 4 2 19 1

5 3 8 6 1 23

j j

4

21

Hình 3.2

2

10 9 4 3 2 1

24 2 8 5 7 2

2 16 4 3 1 6

8 4 31 6 9 4

5 3 6 30 9 7

7 1 9 9 29 3

2 6 4 7 3 22

10 9 4 3 2 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 24 2 0 0 0 0 8 5 7 2

0 0 2 16 0 0 0 0 4 3 1 6

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 8 4 0 0 0 0 31 6 9 4

0 0 5 3 0 0 0 0 6 30 9 7

0 0 7 1 0 0 0 0 9 9 29 3

0 00 2 6 0 0 0 0 4 7 3 22

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

j j

i

12 11 4 3 10 9

28 7 4 7 5 5

7 27 2 8 7 3

4 2 25 7 6 8

7 8 7 30 2 6

5 7 4 2 19 1

5 3 8 6 1 23

12 11 4 3 10 9

28 7 5 5 0 0 0 0 4 7 0

0

7 27 7 3 0 0 0 0 2 8 0

0

5 7 43 3 0 0 0 0 12 7

7 2

5 3 3 39

0 0 0 0 12 9

1 6

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 2 14 12 0 0 0 0 56 13 9 4

7 8 7 9 0 0 0 0 16 60

9 7

0 0 7 1 0 0 0 0 9 9 29 3

0 0 2 6 0 0 0 0 4 7 3 22

12 11 10 9

8 7 6 5 4 3 2 1

0 0 5 7 0 0 0 0 1 4 6 3

5 4 2 6 7 9

5 4 12 16 0 0 0 0 3 10 6 3

Qua hai ví dụ trên ta thấy ma trận độ cứng chung K chính là tổng của các ma trận

mở rộng [k e ] của các phần tử Véctơ lực chung F cũng chính là tổng của các véctơ lực

Khi ấy:  T

Q Q Q Q Q

4 2 1





index

Q Q Q

5 2 4





index

Q Q Q

5 3 2





index

Q Q Q

10 9 4 3 2 1





index

Q Q Q Q Q Q

12 11 4 3 10 9





index

Q Q Q Q Q Q

Với sự giúp đỡ của bảng index, mỗi số hạng k ij của ma trận k e được cộng vào K IJ của

[K] sao cho:

I = index(e,i), với i = 1 sdof

J = index(e,j), với j = 1 sdof

hoặc: K IJ Kindex(e,i)index(e,j) k e j (3.2)

Tương tự, mỗi số hạng f i của {f e }được chuyển sang F I của F sao cho:

i

e i e

2.2. Thuật toán ghép nối phần tử:

Bước 1: Khởi tạo ma trận vuông [K] có kích thước (sdof  sdof) và véctơ cột {F} có kích thước (sdof  1), với các số hạng bằng không Trong đó, sdof là ký hiệu cho

tổng số bậc tự do của các nút trong toàn hệ

Bước 2: Với mỗi phần tử e (e = 1:noe), cộng đúng vị trí mỗi số hạng k ij của của ma

trận phần tử k e vào số hạng K IJ của ma trận [K]:

) , ( ),

, (

; : 1 ,

; i j edof I index e i J index e j k

K

Bước 3: Với mỗi phần tử e (e = 1:noe), cộng đúng vị trí mỗi số hạng f i của của véctơ

lực phần tử f vào số hạng F I của véctơ lực chung F:

) , (

; : 1

; i edof I index e i f

, (

F

F

Hình 3.3 Sơ đồ thuật toán ghép nối phần tử

Chương 4

PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN MỘT CHIỀU

1 MỞ ĐẦU

Để giải bài toán một chiều (1D) bằng phương pháp phần tử hữu hạn, chúng ta sẽ

sử dụng nguyên lý cực tiểu hoá thế năng toàn phần và các quan hệ: quan hệ ứng biến dạng, quan hệ biến dạng-chuyển vị Với bài toán hai chiều (2D) và ba chiều (3D),cách tiếp cận cũng tương tự

suất-Trong bài toán một chiều, các đại lượng: chuyển vị, biến dạng, ứng suất chỉ phụ

thuộc vào biến x Ta biểu diễn chúng như sau:

 x;

u

u 

  x ;   x (4.1)Quan hệ giữa ứng suất với biến dạng, biến dạng với chuyển vị:

Trong bài toán một chiều, mỗi nút chỉ có một chuyển vị theo phươngx Vì vậy

mỗi nút chỉ có một bậc tự do, n nút có n bậc tự do.

Chuyển vị tổng thể được kí hiệu là Q i ; i = 1, n; chuyển vị địa phương của mỗi

Để ghép nối các phần tử với nhau, ta sử dụng bảng ghép nối các phần tử như sau:

Bảng 3.1 B ng ghép n i các ph n t ảng ghép nối các phần tử ối các phần tử ần tử ử

1(đầu) 2(cuối)

12345

12345

23456

Theo ký hiệu, x = x1 là tọa độ của nút thứ nhất; x = x2 là tọa độ của nút thứ hai Ta định

nghĩa hệ tọa độ qui chiếu (hay chuẩn hoá) được ký hiệu là  như sau:

2

1 1 2

2 1





x x x x

(4.3)Vậy: 1:1 x x1:x2

Ta sử dụng hệ tọa độ địa phương này để xác định hàm dạng với mục đích nội suy ratrường chuyển vị trong các phần tử

Bây giờ trường chuyển vị cần tìm cho một phần tử sẽ được nội suy bằng một phépbiến đổi tuyến tính (Hình 4.3).

e

x2x

(b) (a)

Để thực hiện được phép nội suy này, cần đưa vào một hàm dạng tuyến tính:

2

1

; 2

1

2 1

Các hàm dạng được minh hoạ trên Hình 4.4 Đồ thị của hàm dạng N1 trên Hình 4.4a

được suy ra từ phương trình (4.4): N1 = 1 tại = -1 và N 1 = 0 tại  = 1 Tương tự ta có

đồ thị của N2.

Một khi các hàm dạng được xác định, trường chuyển vị của phần tử sẽ được biểu diễn

qua các chuyển vị nút q1 và q2 như sau:

2 2 1

Trong biểu thức trên, q là véctơ chuyển vị của phần tử Từ (4.5), ta thấy u = q1 tạinút

1; u = q 2 tại nút 2 và u biến thiên tuyến tính trong phần tử (Hình 4.4c).

2 1

1

N N x

0

N N x

1x N x N

2 2 1 1

q N q N u

x N x N x

ta thấy chuyển vị u và toạ độ x được nội suy trên cùng phần tử nhờ cùng các hàm dạng

N1 và N2 Trong trường hợp này, ta có phép biểu diễn đẳng tham số.

Chú ý: Các hàm dạng cần thoả mãn:

1) Đạo hàm bậc nhất phải hữu hạn,

2) Chuyển vị phải liên tục trên các biên của phần tử

Mặt khác:

dx

d d

du dx

2 2 1 1

2

1 2

1

q q

q N q N

2

2

1 q q d

1

q q x

Trong đó ma trận B được gọi là ma trận biến dạng-chuyển vị của phần tử.

Theo định luật Hooke, ta có biểu thức tính ứng suất:

Chú ý:

B, ,  là các đại lượng hằng số;

Các biểu thức u = Nq;  = Bq;  = EBq mô tả chuyển vị, biến dạng và ứng

suất qua các giá trị chuyển vị nút của phần tử Ta sẽ thế các biểu thức này vàobiểu thức thế năng của thanh để thiết lập ma trận độ cứng và ma trận lực nút củaphần tử

i

T i L

T L

T L

e

T

e   

2 1

là thế năng biến dạng của phần tử, ta có:

x x

22

l A q

e

e e

1

 với:

 1 1

1

1 2







x x B

ta có:

q l

E A q U

e

e e T

1 1 2

1 1

e

e e e

l

E A

e T e

T

dx N f A

dx N f A q Adx f u

2 1

1 2

2 2

1 2 1

1 2

1 1 1

e e

e

e e

e

l d l

dx N

l d l

dx N

e T e

e e

e

dx N T

dx N T q dx T q N q N dx T

2 1 1

e

e T l

được gọi là lực diện tích qui đổi về nút của phần tử

Cuối cùng, biểu thức  được viết gọn dưới dạng

F Q KQ





 2

1

(4.23)Trong đó:

Q là véctơ chuyển vị nút chung,

phần tử:

K k









Với phần tử một chiều và mỗi nút có một bậc tự do, ta vẫn sử dụng bảng ghép nối

phần tử ở trên để thiết lập ma trận độ cứng K và véctơ lực F.

7 ĐIỀU KIỆN BIÊN, HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN

Sau khi rời rạc hóa vật thể nhờ phương pháp phần tử hữu hạn, ta xác định đượcbiểu thức thế năng toàn phần (4.23)

Bây giờ phải xây dựng phương trình cân bằng để từ đó xác định các chuyển vị nút,sau đó tính ứng suất, biến dạng và các phản lực liên kết

Bằng cách cực tiểu biểu thức thế năng  đối với Q, tức là cho cho thế năng biến

dạng "chịu" điều kiện biên, ta sẽ thu được phương trình cân bằng

Dưới đây ta trình bày cách nhập điều kiện biên Phương pháp này được áp dụngkhông chỉ cho bài toán một chiều mà còn cho cả bài toán hai, ba chiều

Điều kiện biên thường có dạng:

Q i = a i

Biểu thức trên có nghĩa là chuyển vị Q i phải bằng a i

Ở đây, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp khử để nhập các điều kiện biên

Khảo sát trường hợp đơn giản: Q1 = a1

Với một kết cấu có n bậc tự do, ta có

n

Q Q

n

n n

K K

K

K K

K

K K

K K

2 22

21

1 12

n n

n

n n n n

F Q F

Q F

Q Q

K Q Q

K Q Q

K Q

Q K Q Q

K Q Q

K Q

Q K Q Q

K Q Q

K Q

1 2

2 1

1

2 2 2

22 2 1

21 2

1 1 2

12 1 1

11 1 2

n n

n

n n n n

F Q F

Q F

a Q

K Q Q

K Q a

K Q

Q K Q Q

K Q a

K Q

Q K a Q

K a a

K a

1 2

2 1

1

2 2 2

22 2 1

21 2

1 1 2

12 1 1

11 1 2

1

(4.26)

Chú ý rằng chúng ta đã khử chuyển vị Q1 trong biểu thức của thế năng ở trên Áp dụng

điều kiện cực tiểu thế năng:

n i

3 2

2

1

3 1 3

3 3

3 3 2

32

1

2 1 2

2 3

2 3 2

2 2

a K

F Q

K Q

K Q

K

a K

F Q

K Q

K Q

K

a K

F Q

K Q

K Q

K

n n

n nn

n n

n n

n n

Khi ấy, hệ phương trình PTHH được biểu diễn như sau:

1 31 3

1 21 2 3

2

3 2

3 33

32

2 23

22

a K F

a K F

a K F

Q

Q Q

K K

K

K K

K

K K

K

n n n

nn n

n

n n

Nhờ bảng thông tin ghép nối phần tử đã giới thiệu ở phần đầu, ta sẽ xác định được

chuyển vị nút q của phần tử từ chuyển vị chung Q đã tìm được ở trên.

Áp dụng công thức  EBq ta tìm được ứng suất;

Để xác định phản lực liên kết R1, ta viết phương trình cân bằng cho nút 1:

1 1 1

2 12 1

E A

1

1 1

4 4

4 4 1

1

1 1

E A

2

2 2

2 2

2 2 1

1

1 1

2 2 0

2 2 4 4

0 4 4

2 0

2 2 4 4

0 4 4

10

3 2

1 4

R Q

Q

Q

6 Áp đặt điều kiện biên:

Do Q1 = 0 (liên kết ngàm tại A), do đó ta loại dòng 1 và cột 1 trong hệ phương trình

trên Cuối cùng ta thu được hệ phương trình:

2

2 6 10

3

2 4

Q Q

7 Xác định chuyển vị, biến dạng, ứng suất

Giải hệ phương trình trên ta được:

Q2 = 0,25  10-3 mm

Q3 = 0,75  10-3 mm

áp dụng công thức (4.31), ta tìm được phản lực liên kết:

R1 =104  (-4 Q2 ) = -10 NBiến dạng được tính cho mỗi phần tử

1 = (-q1 + q2 )/l = l = 0,25 x10-5 /100 = 2,5 x10-6

2 = (-q2 + q3 )/l = l = 5 x10-6

Ứng suất được tính cho mỗi phần tử

1 = E 1 = 0,5 N/mm2

Ví dụ 4.2.

Cho một trục bậc chịu liên kết ngàm 2 đầu và tác dụng của lực P = 200 kN (hình 4.6a) Biết tiết diện các đoạn: A1=2400 mm2; A2 = 600 mm2; chiều dài các đoạn l1 = 300mm, l2 = 400 mm; và môđun đàn hồi: E1 = 70 gPa, E2 = 200 gPa Hãy xác định

chuyển vị tại B; ứng suất trong các đoạn trục AB, BC và phản lực tại A và C

Lời giải

Chia trục làm hai phần tử: 1 và 2, như hình 4.5b ở ví dụ 4.1

1 Bảng ghép nối phần tử được thiết lập như sau:

E A

1 1 300

10 70 2400 1

mm

N l

E A

1 1 400

10 200 600 1

3 Ma trận độ cứng chung K:

mm N

300 300

300 860

560

0 560 560

3 2

1

300 300 0

300 860

560

0 560 560

10

R

R Q

Q Q

2A

Hình 4.6 Trục bậc chịu kéo đúng tâm

x

C

P=200 KN

6 Áp đặt điều kiện biên:

Do Q1 = 0 (liên kết ngàm tại A) và Q3 = 0 (liên kết ngàm tại C) , do đó ta loại dòng 1,

cột 1 và dòng 3, cột 3 trong hệ phương trình trên Cuối cùng ta thu được phương trình:

860 Q2 = 200

7 Xác định chuyển vị, biến dạng, ứng suất

Giải phương trình trên ta được:

Q2 = 0,23257 mm

Áp dụng công thức (4.31), ta tìm được các phản lực liên kết:

R1 =103  (-560 Q2 ) = -130,233 KN

R3 =103  (-300 Q2 ) = -69,767 KNBiến dạng được tính cho mỗi phần tử

Cho một trục tròn chịu liên kết ngàm tại A, khe hở giữa đầu C và thành cứng là

1,2mm, chịu tác dụng của lực P = 60 kN tại B (hình 4.7) Biết tiết diện của thanh là A=250 mm2; và môđun đàn hồi: E = 20103N/mm2 Hãy xác định chuyển vị tại B; vàphản lực tại A và C

mm N K

1 2 1

0 1 1 150

10 20

3 2

1 3

10 60 1

1 0

1 2 1

0 1 1 150

10 20 250

R

R Q

Q Q

Áp đặt điều kiện biên: Do Q1 = 0 (liên kết ngàm tại A) và Q3 = 1,2 (khe hở tại C) , do

đó ta loại dòng 1, cột 1 Cuối cùng ta thu được hệ phương trình:

3,3333104(2 Q2 – 1,2)= 60103

3,3333104

(- Q 2 + 1,2) = R3

Xác định chuyển vị, biến dạng, ứng suất

Giải phương trình trên ta được:

Q2 = 1,5 mm;

R 3 =3,3333104 (-Q2 + 1,2) = - 10 kN

R1 =3,3333104 (- Q2) = -50 kN