Giáo trình phương pháp phần tử hữu hạn , đại học GTVT

NGUYỄN XUÂN LỰU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN . NHÀ XUẤT BẢN GIAO THÔNG VẬN TẢI HÀ NỘI - 2007 PPPTHH 3 LỜI NÓI ðẦU Trong những phương pháp tính toán kết cấu hiện nay, các phương pháp số, ñặc biệt là phương pháp phần tử hữu hạn ngày càng ñược ứng dụng rộng rãi. Ở các trường ñại học kỹ thuật, môn học Phương pháp phần tử hữu hạn ñã ñược ñưa vào chương trình giảng dạy. ðể ñáp ứng yêu cầu học tập và nghiên cứu của sinh viên, chúng tôi biên soạn cuốn sách này nhằm cung cấp cho người ñọc những kiến thức cơ bản nhất của môn học, biết sử dụng phương pháp này ñể giải những dạng bài toán ñiển hình ñơn giản, từ ñó có cơ sở ñể vận dụng vào công tác tính toán, thiết kế công trình trong thực tế. Sách cũng có thể làm tài liệu tham khảo cho các học viên cao học, các kỹ sư thiết kế cơ khí và công trình. ðể nắm vững môn học này người ñọc cần ôn lại hoặc bổ túc thêm các kiến thức về Cơ học vật rắn, Lý thuyết ñàn hồi, Lý thuyết ma trận, Phương trình ñạo hàm riêng. Vì vậy ở cuối cuốn sách chúng tôi giới thiệu thêm về ðại cương Lý thuyết ñàn hồi như là Phần phụ lục của cuốn sách. Trong quá trình biên soạn cuốn sách, tác giả ñã nhận ñược nhiều ý kién ñóng góp quí báu của các bạn ñồng nghiệp, nhân ñây chúng tôi xin tỏ lòng cám ơn chân thành. Tác giả Chương 1 KHÁI NIỆM CHUNG VỀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 1.1. Mô hình rời rạc hóa kết cấu Trong mấy chục năm gần ñây, kỹ thuật tính toán kết cấu ñã có những bước phát triển mới do việc ứng dụng rộng rãi máy tính ñiện tử. Một trong những phương pháp tính toán ñang ñược sử dụng ngày càng nhiều và có hiệu quả là phương pháp phần tử hữu hạn (sau ñây viết tắt là PTHH). Phương pháp PTHH trong tính toán kết cấu là tổng hợp của nhiều bộ môn, vì nó liên quan ñến kiến thức trong ba lĩnh vực sau ñây: - Cơ học kết cấu: sức bền vật liệu, lý thuyết ñàn hồi, lý thuyết dẻo, ñộng lực học… - Giải tích số: các phương pháp gần ñúng, giải hệ phương trình tuyến tính, bài toán trị riêng… - Tin học ứng dụng. Ý tưởng cơ bản của phương pháp PTHH trong tính toán kết cấu là coi vật thể liên tục như là tổ hợp của nhiều phần nhỏ liên kết với nhau bởi một số hữu hạn các ñiểm, gọi là nút. Các phần nhỏ ñược hình thành gọi là các phần tử hữu hạn (gọi tắt là phần tử). Hình dạng và kích thước các phần tử có thể khác nhau, tạo thành các mạng lưới khác nhau. Trên hình 1.1 giới thiệu một số sơ ñồ rời rạc hóa kết cấu liên tục thành mạng lưới PTHH. Dĩ nhiên, quan niệm rời rạc hóa như vậy chỉ là gần ñúng. Khi thay thế kết cấu thực (hệ liên tục) bằng tổ hợp các phần tử như trên, người ta thừa nhận rằng, năng lượng bên trong mô hình thay thế phải bằng năng lượng trong kết cấu thực. Trong mỗi phần tử, các ñại lượng cần tìm (thí dụ chuyển vị, ứng suất) ñược lấy xấp xỉ theo một dạng hàm ñơn giản gọi là hàm xấp xỉ. Các hàm xấp xỉ, thí dụ hàm xấp xỉ chuyển vị, phải thỏa mãn ñiều kiện liên tục trên biên các phần tử tiếp xúc với nhau. Trong một số trường hợp, các ñiều kiện tương thích này chỉ thỏa mãn một cách gần ñúng. Người ta căn cứ vào hình dạng và tình hình chịu lực của kết cấu ñể chọn loại phần tử thích hợp. ðối với hệ thanh, lấy ñoạn dầm và thanh làm PTHH. Với kết cấu tấm phẳng thường sử dụng các phần tử hình tam giác, phần tử hình chữ nhật, phần tử hình tứ giác có cạnh thẳng hoặc cong. ðối với kết cấu vỏ, ngoài các loại phần tử tấm phẳng còn sử dụng phần tử vỏ. ðối với vật thể khối, thường dùng các loại phần tử hình tứ diện, hình lập phương, hình lục diện. Còn ñối với vật thể ñối xứng trục, thường dùng phần tử hình vành khăn. Hình 1.2a giới thiệu một số loại phần tử thường dùng. PPPTHH 5 Hình 1.1 Tùy theo số lượng nút và cách bố trí nút trong mỗi PTHH, người ta phân biệt các loại phần tử tuyến tính và phần tử bậc cao, tương ứng với các dạng hàm chuyển vị tuyến tính và dạng hàm chuyển vị bậc cao. Hình 1.2b giới thiệu 3 loại phần tử bậc cao. a) b) Hình 1.2 Khi phân tích các kết cấu có thể sử dụng các mô hình tính như sau: 1. Mô hình chuyển vị chọn chuyển vị ở các nút làm ẩn. Các ẩn này ñược xác ñịnh từ hệ phương trình cân bằng thành lập trên cơ sở nguyên lý thế năng toàn phần dừng. Nguyên lý này phát biểu như sau: Trong tất cả các trường chuyển vị thỏa mãn các ñiều kiện tương thích và ñiều kiện biên ñộng học, thì trường chuyển vị tương ứng với sự cân bằng của vật thể sẽ làm cho thế năng toàn phần π ñạt giá trị dừng (ñạt giá trị cực tiểu). 0 U V δπ δ δ = + = (1.1) trong ñó: U V π = + là hàm của các chuyển vị. U – thế năng biến dạng ñàn hồi của vật thể, biểu diễn bằng phần diện tích vẽ trên hình 1.3. V – công của ngoại lực sinh ra trên dịch chuyển của ngoại lực do vật thể bị biến dạng. Nếu hệ ở trạng thái ổn ñịnh, thế năng toàn phần có giá trị cực tiểu. Như vậy sau khi giả thiết một dạng hàm chuyển vị trong phần tử, từ ñiều kiện dừng của phiếm hàm π ta sẽ nhận ñược một hệ phương trình cân bằng trong khi các ñiều kiện liên tục ñã ñược thỏa mãn. Hình 1.3 2. Mô hình cân bằng chọn các ứng suất hay nội lực ở các nút làm ẩn. Các ẩn này ñược xác ñịnh từ hệ phương trình tương thích thành lập trên cơ sở nguyên lý cực tiểu của thế năng bù toàn phần. Nguyên lý này phát biểu như sau: Trong tất cả các trường ứng suất thỏa mãn ñiều kiện cân bằng và ñiều kiện biên tĩnh học, thì trường ứng suất thỏa mãn ñiều kiện tương thích sẽ làm cho thế năng bù toàn phần π ∗ ñạt giá trị dừng. 0 U V δπ δ δ ∗ ∗ ∗ = + = (1.2) trong ñó: U V π ∗ ∗ ∗ = + là hàm của các ứng suất. U ∗ - thế năng bù của biến dạng, biểu diễn bằng phần diện tích phía trên vẽ trên hình 1.3. V ∗ - công bù của ngoại lực. PPPTHH  7 Thông thường người ta hay sử dụng mô hình chuyển vị vì nó thuận lợi hơn cho việc tự ñộng hóa tính toán trên máy tính. Do ñó trong tài liệu này chỉ ñề cập ñến mô hình chuyển vị của phương pháp PTHH. 1.2. Hàm chuyển vị. Hàm dạng 1.2.1. ða thức xấp xỉ. Hàm chuyển vị Nếu sử dụng mô hình chuyển vị trong phương pháp PTHH thì hàm xấp xỉ của ñại lượng cần tìm là hàm chuyển vị. Hàm này mô tả gần ñúng chuyển vị của các ñiểm trong phần tử. Thông thường người ta chọn hàm chuyển vị dưới dạng ña thức, bởi vì ở dạng ña thức dễ ñạo hàm, tích phân, dễ thiết lập công thức khi xây dựng các phương trình cơ bản của phương pháp PTHH. Bậc của ña thức và số lượng số hạng trong ña thức phụ thuộc vào bậc tự do của phần tử, tức là số chuyển vị ở tất cả các nút của phần tử. ðiều này sẽ nói kỹ hơn khi phân tích những kết cấu cụ thể trong những phần sau. Các ña thức xấp xỉ phải thỏa mãn ñiều kiện hội tụ, tức là khi kích thước phần tử nhỏ dần thì kết quả sẽ hội tụ ñến lời giải chính xác. Muốn vậy trong ña thức ñược chọn phải tồn tại số hạng tự do (hằng số) và tồn tại ñạo hàm riêng ñến bậc cao nhất trong phiếm hàm năng lượng. Thí dụ, ñối với bài toán một chiều có thể chọn: 1 2 ( ) f x x α α = + (xấp xỉ tuyến tính) 2 1 2 3 ( ) f x x x α α α = + + (xấp xỉ bậc hai) 1 1 1 ( ) n i i f x x α + − = ∑ (xấp xỉ bậc n) ðối với bài toán hai chiều có thể chọn: 1 2 3 ( , ) f x y x y α α α = + + (xấp xỉ tuyến tính) 2 2 1 2 3 4 5 6 ( , ) f x y x y x xy y α α α α α α = + + + + + (xấp xỉ bậc hai) 1.2.2. Biểu diễn hàm chuyển vị qua chuyển vị nút. Hàm dạng Hình 1.4 Ta xem xét một PTHH hình tam giác trong bài toán phẳng của Lý thuyết ñàn hồi. Phần tử có 3 nút là 3 ñỉnh của tam giác, nối khớp với các phần tử khác (hình 1.4). Mỗi nút có 2 bậc tự do, tức là có thể chuyển dịch theo 2 phương x và y. Như vậy phần tử có 6 bậc tự do, chúng ñược biểu diễn bằng 6 chuyển vị ở các nút là , , , , , i i j j m m u v u v u v . Ta gọi ñó là các chuyển vị nút. Chúng hợp thành vectơ chuyển vị nút của phần tử: { } i i j j m m u v u v u v δ           =             (1.3) Các chuyển vị nút này là ẩn của bài toán tính kết cấu theo mô hình chuyển vị của phương pháp PTHH. Trong nhiều trường hợp, các thành phần trong vectơ chuyển vị nút không chỉ bao gồm các giá trị hàm chuyển vị tại các nút, mà còn có cả giá trị ñạo hàm của hàm chuyển vị nữa (thí dụ trong bài toán uốn thanh, bài toán tấm … ). Như ñã thấy, hàm chuyển vị (ña thức xấp xỉ) là hàm của các tọa ñộ, cho phép xác ñịnh chuyển vị tại một ñiểm bất kỳ trong phần tử. Bây giờ ta tìm cách biểu diễn hàm chuyển vị theo các chuyển vị nút. Thí dụ hàm chuyển vị của phần tử tam giác có dạng: 1 2 3 4 5 6 ( , ) ( , ) u x y x y v x y x y α α α α α α = + + = + + (1.4) hay { } ( ) ( ) 1 2 3 4 5 6 1 0 0 0 0 0 0 1 x y f x y α α α α α α                 = =                       u x, y v x, y (1.5) hoặc { } [ ] { } α f = Q (1.6) trong ñó: { } f là vectơ chuyển vị [ ] Q là ma trận các ñơn thức { } α là vectơ các tham số Chuyển vị tại các nút, theo (1.6) ta có { } [ ] { } C δ α = (1.7) trong ñó: [ ] C là giá trị [ ] Q tại các nút, tức là ma trận tọa ñộ nút. PPPTHH  9 Có thể xác ñịnh { } α theo [ ] C , ta có từ (1.7) { } [ ] { } 1 C α δ − = (1.8) Do ñó theo (1.6): { } [ ] [ ] { } 1 f Q C δ − = (1.9) hay { } [ ] { } f N δ = (1.10) trong ñó: [ ] [ ] [ ] 1 N Q C − = (1.11) Ma trận [ ] N gọi là ma trận các hàm dạng , còn gọi là ma trận các hàm nội suy, vì có thể từ chuyển vị các nút nội suy ra chuyển vị của ñiểm bất kỳ. Các hàm dạng có một ý nghĩa rất quan trọng khi phân tích kết cấu theo phương pháp PTHH. 1.2.3. Lực nút Khi vật thể chịu lực, trong các phần tử sinh ra các nội lực. Phương pháp PTHH giả thiết rằng các nội lực này ñều truyền qua nút. Các lực tác dụng lên nút gọi là lực nút, ñó là lực tương tác giữa các phần tử liên kết với nhau tại nút do các chuyển vị nút sinh ra. ðương nhiên tại các nút còn có thể có các ngoại lực (tải trọng). Nếu tải trọng không ñặt tại nút thì phải dời về nút theo phép biến ñổi tương ñương. Trong mỗi phần tử các lực nút hợp thành vectơ lực nút { } e F . Vectơ này có số thành phần bằng số thành phần của vectơ chuyển vị nút, ñược sắp xếp tương ứng với vectơ chuyển vị nút. Thí dụ ñối với phần tử tam giác phẳng ở hình 1.4, ta có vectơ lực nút (hình 1.5a) là: { } T e i i j j m m F U V U V U V   =   Hay thí dụ ñối với phần tử thanh chịu uốn (hình 1.5b), tương ứng với vectơ chuyển vị nút (gồm chuyển vị thẳng và góc quay) { } T i i j j v v δ θ θ   =   là vectơ lực nút { } T e i i j j F V M V M   =   a) b) Hình 1.5 1.3. Phương trình cơ bản của phương pháp PTHH 1.3.1. Các quan hệ chuyển vị, biến dạng, ứng suất trong phần tử Theo mô hình chuyển vị của phương pháp PTHH, ñại lượng cần tìm ñầu tiên là chuyển vị ở các nút. Sau khi chọn hàm xấp xỉ của chuyển vị, ta xác ñịnh ñược trường chuyển vị theo chuyển vị nút: { } [ ] { } f N δ = (1.12) Sử dụng phương trình biến dạng Cauchy trong Lý thuyết ñàn hồi { } [ ] { } f ε = ∂ (1.13) trong ñó: [ ] ∂ là toán tử vi phân [ ] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x y z x x y y z z ∂     ∂   ∂     ∂   ∂     ∂ ∂ =   ∂ ∂     ∂ ∂   ∂ ∂   ∂ ∂     ∂ ∂     ∂ ∂   (1.14) ta có vectơ biến dạng : { } [ ] [ ] { } N ε δ = ∂ hay { } [ ] { } δε B= (1.15) trong ñó: [ ] [ ] [ ] B N = ∂ (1.16) gọi là ma trận tính biến dạng . Ứng suất tại một ñiểm trong phần tử xác ñịnh theo ñịnh luật Hooke: { } [ ] { } D σ ε = (1.17) trong ñó: [ ] D gọi là ma trận ñàn hồi . Từ ñó theo (1.15) ta có vectơ ứng suất : { } [ ] [ ] { } D B σ δ = (1.18) PPPTHH  11 hay { } [ ] { } S σ δ = (1.19) trong ñó: [ ] [ ] [ ] S D B = (1.20) gọi là ma trận tính ứng suất . 1.3.2. Phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn. Ma trận ñộ cứng phần tử. Vectơ tải phần tử Sau ñây ta sử dụng nguyên lý cực tiểu thế năng toàn phần ñể thiết lập phương trình cơ bản của phương pháp PTHH. Giả sử một PTHH có thể tích e V chịu tác dụng của lực thể tích p và lực bề mặt q trên diện tích e S . Thế năng toàn phần của phần tử là e U có thể viết dưới dạng: [ ] { } [ ] { } [ ] { } 1 2 e e e T T T e V V S U dV f p dV f q dS ε σ = − − ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫ (1.21) ðể ý tới (1.12), (1.15), (1.19) ta có [ ] [ ] [ ][ ] { } { } [ ] { } [ ] [ ] { } 1 2 e e e T T T T T V V S B D B dV N p dV N q dS δ δ δ δ − − ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫ (1.22) hay [ ] [ ] [ ][ ] { } { } [ ] { } [ ] { } 1 2 e e e T T T T T e V V S U B D B dV N p dV N q dS δ δ δ   = − +       ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫ (1.23) ðặt [ ] [ ] [ ] [ ] e T V k B D B dV = ∫∫∫ (1.24) và { } [ ] { } [ ] { } e e e T T V S P N p dV N q dS = + ∫∫∫ ∫∫ (1.25) ta có [ ] [ ] { } [ ] { } 1 2 T T e e U k P δ δ δ = − (1.26) Ma trận [ ] k gọi là ma trận ñộ cứng phần tử , còn vectơ { } e P là vectơ tải phần tử bao gồm các thành phần lực ñặt tại nút, các lực này ñược quy ñổi sau khi dời các tải trọng P và q về nút, do ñó { } e P còn gọi là lực nút tương ñương . Trong trường hợp ở nút có tồn tại lực tập trung { } 1 2 e n R R R R       =         M thì phải cộng thêm các lực tập trung này vào vectơ tải { } e P . [...]... i t a ñ Thí d ta xét m t h thanh ph ng hình 2.12a Các h t a ñ ñ a phương là xyz , h t a ñ t ng quát là x ′ y′ z′ (tr c z và z′ hư ng ra ngoài m t gi y) G i chuy n v theo phương x,y là u,v, chuy n v theo phương x , y′ là u , v′ , góc quay chung quanh tr c z và z′ là θ x và θ x′ , ñ ng th i g i các l c tương ng là U, V, Mz và U , V , Mz′ T hình 2.12b ta có quan h : a) b) Hình 2.12 u = u′ cos ϕ + v′... h phương trình này tìm ñư c vectơ chuy n v nút t ng th trong h t a ñ t ng quát (6) Xác ñ nh vectơ chuy n v nút c a t ng PTHH trong h t a ñ ñ a phương c a t ng ph n t T ñó xác ñ nh bi n d ng, ng su t trong t ng ph n t Câu h i ôn t p Chương I 1 Trình bày cơ s lý thuy t ñ thi t l p các phương trình cơ b n c a phương pháp ph n t h u h n 2 Có m i liên h gì gi a phương pháp ph n t h u h n và phương pháp. .. Trên ñây khi xác ñ nh vectơ l c nút tương ñương ta ñã s d ng phương pháp năng lư ng v i công th c (1.25) Ngoài phương pháp ñ , còn có th dùng phương pháp qui ñ i tương ñương tĩnh h c, r t thu n ti n ñ i v i h thanh Cách làm theo các bư c như sau: - C ñ nh hai ñ u ph n t , t c là g n c ng các nút, sau ñó tính các ph n l c ngàm theo phương pháp c a Cơ h c k t c u - Xác ñ nh l c nút tương ñương b ng cách... ng nhau H t a ñ riêng ñ i v i t ng ph n t , ta g i là h t a ñ ph n t ho c h t a ñ ñ a phương Khi tính k t c u g m nhi u ph n t , ñ thu n ti n khi thành l p các phương trình cân b ng, ngư i ta c n s d ng m t h t a ñ chung cho toàn b k t c u, g i là h t a ñ k t c u ho c h t a ñ t ng quát Vì v y, trư c khi b t tay vào vi c l p phương trình cân b ng t t c các nút, c n ph i bi n ñ i quan h gi a chuy n v... và (1.38) ñ thi t l p [ K ] và { P} , mà s d ng phương pháp ñơn gi n và nhanh chóng hơn, ñó là phương pháp ch s ði u này s trình bày nh ng ph n sau 1.4 Trình t tính k t c u theo phương pháp ph n t h u h n Quá trình gi i bài toán tính k t c u theo phương pháp PTHH bao g m các bư c sau ñây: (1) R i r c hóa k t c u, t c là chia k t c u thành m ng lư i các PTHH Vi c ch n lo i ph n t và s lư ng ph n t... Trên ñây, khi xác l p các vectơ chuy n v nút và vectơ t i ph n t cũng như thi t l p ma tr n ñ c ng c a PTHH, ta ñ u ch n h t a ñ như sau: coi tr c x là tr c thanh, PPPTHH 31 các tr c y và z là các tr c quán tính chính c a m t c t ngang c a thanh, và chi u dương c a tr c x, y, z xác ñ nh theo qui t c tam di n thu n Trong k t c u thanh (giàn, khung…) thư ng các ph n t (thanh) có phương khác nhau, nên nói... theo phương pháp ph n t h u h n Chương 2 TÍNH H THANH 2.1 Ph n t h u h n trong h thanh Trong các h thanh như k t c u giàn, k t c u khung, các ño n thanh hình lăng tr ñư c coi là các PTHH Trong k t c u thanh, các thành ph n chuy n v c a ph n t là hàm c a m t bi n, t c là ch thay ñ i d c theo tr c thanh, do ñó bài toán h thanh là bài toán m t chi u k t c u giàn, các ph n t ch u bi n d ng kéo ho c nén, còn...Theo nguyên lý c c ti u th năng toàn ph n, ñi u ki n cân b ng t i các nút c a ph n t là: ∂U e =0 (1.27) ∂ {δ } ∂U e ∂U e ∂U e =0 , = 0 , , =0 ∂ {δ1} ∂ {δ 2 } ∂ {δ n } t c là (1.28) Sau khi l y c c ti u t (1.26) ta ñư c [ k ]{δ } = {P} e (1.29) ðây là phương trình cơ b n c a phương pháp ph n t h u h n tính theo mô hình chuy n v ði u ñó có nghĩa là t i t ng nút, l c nút do chuy n v nút gây ra {F }δ =... ′ θ x  θ x      ′ θ y  = [ λ ] θ y  , θ  θ ′   z  z u   u′       v  = [ λ ]  v′  ,  w  w′     hay trong ñó: (2.80)  λxx′ λxy′ λxz ′  (2.81) [λ ] = λ yx′ λ yy′ λyz′     λzx′ λzy ′ λzz′    λmn’là côsin c a góc t tr c m c a h t a ñ ñ a phương ñ n tr c n ′ c a h t a ñ t ng quát ( m = x, y, z , n′ = x , y , z ′ ) T ñó ta có [ λ ]  0 T] =  [  0   0... còn g i là hàm n i suy Hermite Theo lý thuy t u n c a d m, n u trên ph n t thanh không có l c phân b tác d ng (ñi u này phù h p v i gi thi t c a phương pháp PTHH là ñưa t i trong trên ph n t v các nút) thì ñ võng c a thanh ph i th a mãn phương trình vi phân N1 = 1 − d 4v =0 (2.41) dx 4 Chuy n v tính theo (2.27) rõ ràng có th th a mãn phương trình (2.41) ð th các hàm d ng và ñ th c a chuy n v (x p x . nay, các phương pháp s , ñặc biệt là phương pháp phần tử hữu hạn ngày càng ñược ứng dụng rộng rãi. Ở các trường ñại học kỹ thuật, môn học Phương pháp phần tử hữu hạn ñã ñược ñưa vào chương trình. 1.3.2. Phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn. Ma trận ñộ cứng phần tử. Vectơ tải phần tử Sau ñây ta sử dụng nguyên lý cực tiểu thế năng toàn phần ñể thiết lập phương trình cơ. sử dụng phương pháp ñơn giản và nhanh chóng hơn, ñó là phương pháp chỉ số. ðiều này sẽ trình bày ở những phần sau. 1.4. Trình tự tính kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn Quá trình giải